1.3.2函数的极值与导数_图文.ppt
1.3.2函数的极值与导数(上课)
3 (a (2) f ( x）＝ ax + 2bx + c ≠ 0)
/ 2
f (1) = a + b + c = 5
{
.
f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / (2) = 12a + 4b + c＝0
a = 2, b = −9, c = 12
注意： 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
1 3 x -4x+4 3
+
-
28 3
o -2
4 − 3
2 + x
求可导函数f(x)极值的 步骤： 极值的 步骤： 求可导函数
(1) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x)； 求导数f 求导数 ； (3)求方程 ’(x）=0的根； 求方程f 的根； 求方程 ） 的根 (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间， 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 •如果左正右负（+ ~ -）， 如果左正右负 如果左正右负（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 •如果左负右正（- ~ +）， 如果左负右正 如果左负右正（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
28 3
(-2,2) ↘
2 0
极小值 − 4
3
(2,+∞) ∞ + ↗
28 因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值= 3 ; 时有极大值 并且,y 4 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值= − 3 . 当 时有极小值 并且,y
1.3.2函数的极值与导数
y
O
1
2 x
例题讲解
3 2
例3. 若f ( x ) x 3ax 3(a 2) x 1既 有 极 大 值 ， 又 有 极 小 值 a的 取 值 范 围 .求 .
例题讲解
3 2
例3. 若f ( x ) x 3ax 3(a 2) x 1既 有 极 大 值 ， 又 有 极 小 值 a的 取 值 范 围 .求 .
2可导函数y=f(x)在x0处有极值的特点：
（1） f / (x0)=0 (2)在x0两侧异号
3.求极值的步骤:
1).求导数 2).解方程f/(x)=0. 3).列表 4).结论：
函数பைடு நூலகம்极值与导数
一、复习：
1.函数的单调性与导数的关系： 2、用导数法确定函数的单调区间的步骤： (1) 求函数的定义域 （2）求出函数的导函数,即求 f (x ) （3）求解不等式 f ( x) 0,求得其解集， 再根据解集与定义域写出单调递增区间 求解不等式 f ( x) 0 ,求得其解集， 再根据解集与定义域写出单调递减区间
练习
1. 已 知f ( x ) x ax bx c当x 1时 ， 取 得 极 大 值 ， 当x 3时 ， 取 得 极 小 值 ， 求 个 7 这 极 小 值 及 、b、c的 值. a
3 2
例题讲解
已 知f ( x ) ax3 bx2 cx(a 0)在x 1 例1. 时 取 得 极 值 ， 且 (1) 1. f （1） 求 常 数 、b、c的 值 ； a （2） 判 断 1分 别 是 极 大 值 点 还 是 小 值 点 ？ x 极
课前练习
求函数y=2x3-6x2+7的单调区间，画 出其草图 y
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
高二数学极值课件
设函数y=f(x)在某个区间内有导数， 如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
y`<0
增函数 减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1) 求函数的定义域
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 x 1 （ 1， 2） 2 （ 2， 5） 5
y
'
3
0 2
+
11
y
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
(1) 若曲线 y=x3 在点Ｐ处的切线的斜率等于 ３，则点Ｐ的坐标为( ) (A)(2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8) (2) 若曲线 y=x5/5 上一点Ｍ处的切线与直线 y=3-x垂直，则此切线方程为( ) (A)5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非 (3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角 为3π/4，则Ａ的坐标为 .
函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
函数的极值与导数 课件
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
1.3.2 函数的极值与导数
(2)解方程f'(x)=0,得方程的根x0;
(3)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;如
果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.
【做一做2】 函数f(x)=x3-3x的极大值等于
,极小值等
于
.
解析:由题意知f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0得x=±1,当x∈(-∞,-1)时
1.3.2 函数的极值与导数
-1-
学习目标
思维脉络
1.了解函数的极值、极值点的概念. 2.理解函数在某点取得极值的条件. 3.会利用导数求函数的极值.
课前篇自主预习
【思考1】如何画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象. 答案:f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).由f'(x)>0得x<-2或 x>3,
是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极
小值,④正确. 答案:①②④
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟由函数图象研究极值的方法 这类函数图象问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一 种题型,解答这类问题的关键是选准出发点,对于导函数的图象,我 们重点考查其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x 轴相交,在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值, 则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小 值.
=
1.3.2函数的极值与导数
第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数基础过关练题组一极值的概念1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中正确的是( )A.导数为零的点一定是极值点B.如果在点x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值C.如果在点x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极小值D.如果在点x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)3.(2019内蒙古开来中学高二期中)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( )A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间B.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间C.函数y=f(x)在x=5处取得极小值D.函数y=f(x)在x=0处取得极大值4.(2019北京海淀一o一中学高二下期中)已知函数y=f(x) 的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2019北京八中高二下期中)如图是函数y= f(x)的导函数y= f'(x)的图象,给出下列命题:①-2是函数y= f(x)的极值点;②1是函数y= f(x)的极值点;③函数y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零;④y= f(x)在区间(-2,2)上单调递增.其中真命题的序号是.题组二不含参函数的导数与极值(点)6.(2020黑龙江牡丹江第三高级中学高二期末)函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( )A.极大值5,极小值-22B.极大值5,极小值-2C.极大值5,无极小值D.极小值-22,无极大值,则( )7.(2019天津耀华中学高二下期中)函数f(x)= lnxxA.x=e为函数f(x)的极大值点B.x=e为函数f(x)的极小值点为函数f(x)的极大值点C.x=1e为函数f(x)的极小值点D.x=1e8.(2019北京海淀一o一中学高二下期中)下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x,其中在x=0处取得极值的是( )A.①②B.②③C.③④D.①③9.(2019内蒙古包头高二下期中)已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-x,则f(x)的极大值e点为( )A.1B.1eC.eD.2e10.(2019河南驻马店高二上期末)函数f(x)=x3-3x的极大值为.题组三含参函数的导数与极值(点)11.(2019四川成都七中高三模考)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为( )A.2或6B.2C.6D.-2或-6x3+(a+1)x2-(a2+a-12.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试)若x=1是函数f(x)=133)x的极值点,则a的值为( )A.-2B.3C.-2或3D.-3或213.(2019河北邢台一中高二下月考)设a<0,若函数y=e x+2ax,x∈R有小于零的极值点,则实数a的取值范围是.14.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.题组四导数与极值的综合运用15.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+12,则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为( )A.52B.3 C.72D.216.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)= .17.(2019湖南长沙铁路一中高二上期末)已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值12.(1)求a,b的值;(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.18.(2019安徽高三上联考)已知函数f(x)=(a-1)ln x+x+ax.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性与极值点.能力提升练一、选择题1.(2019福建泉州高三月考,★★☆)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( )A.0B.1C.2D.4e2x+(a-e)e x-aex+b(a,b∈R) 2.(2019四川雅安高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=12在x=1时取得极大值,则a的取值范围是( )A.(-∞,-e)B.(-∞,0)C.(-e,0)D.[0,+∞)二、填空题3.(2019北京西城高二下期末,★★☆)能说明“若f'(0)=0,则x=0是函数y=f(x)的极值点”为假命题的一个函数是.4.(2019甘肃临夏中学高二下期中,★★☆)如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是.(填序号)①f(x)在(-3,1)内是增函数;②x=-1是f(x)的极小值点;③f(x)在(2,4)内是减函数,在(-1,2)内是增函数;④x=1是f(x)的极大值点.5.(2019河北鹿泉一中高二月考,★★☆)若函数y=ln x+ax2-(2a+1)x(a>0)在x=1处取得极小值,则a的取值范围是.三、解答题6.(★★☆)已知函数 f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数 f(x)的极小值.7.(★★☆)设函数f(x)=2ln x-x2+ax+2.(1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值;(2)若直线y=-x+1是曲线y=f(x)的切线,求a的值.8.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=e x-aln x-x.(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(0,1)上存在极值点,求a的取值范围.9.(2019北京朝阳高三二模,★★☆)已知函数f(x)=(2ax2+4x)ln x-ax2-4x(a∈R,且a≠0).(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)的极小值为1,求a的值.a答案全解全析基础过关练1.B 根据极值的概念,在点x0附近的左侧f'(x)>0,函数单调递增;在点x0附近的右侧 f'(x)<0,函数单调递减,所以f(x0)为极大值.2.D 由题图可得函数y=(1-x)f'(x)的零点为-2,1,2,则当x<1时,1-x>0,此时在(-∞,-2)上y>0, f'(x)>0,在(-2,1)上y<0, f'(x)<0;当x>1时,1-x<0,此时在(1,2)上y>0, f'(x)<0,在(2,+∞)上y<0,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,因此f(x)有极大值f(-2),极小值f(2),故选D.3.D 由题图可知:当x<-1时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当-1<x<3时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当3<x<5时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>5时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增.综上,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,5),单调递增区间为(-1,3)和(5,+∞),且函数f(x)在x=-1和x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值.4.B 由题中函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象可知,函数y=f(x)在区间(-3,-2)和(-1,2)上递增;在区间(-2,-1)和(2,3)上递减,f'(x)在x=-2两边左正右负,f'(x)在x=2两边左正右负,所以x=±2是函数y=f(x)的极大值点,则f(x)的极大值点共有2个.故选B. 5.答案 ①④解析 命题①:通过题中导函数的图象可知当x ∈(-∞,-2)时, f'(x)<0,所以函数y=f(x)单调递减,当x ∈(-2,1)时, f'(x)>0,所以函数y=f(x)单调递增,故-2是函数y=f(x)的极值点,故本命题是真命题;命题②:通过题中导函数的图象可知,当x ∈(-2,1)时, f'(x)>0,所以函数y=f(x)单调递增,当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,所以函数y=f(x)单调递增,故1不是函数y=f(x)的极值点,故本命题是假命题;命题③:由题图可知f'(0)>0,所以函数y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率大于零,故本命题是假命题;命题④:由题图可知当x ∈(-2,2)时, f'(x)≥0,且只有当x=1时, f'(x)=0,所以函数y=f(x)单调递增,故本命题是真命题. 故真命题的序号是①④. 6.C y'=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1),当x ∈(-2,-1)时,y'>0,函数单调递增;当x ∈(-1,2)时,y'<0,函数单调递减, ∴当x=-1时,函数取得极大值,极大值为-1-3+9=5,无极小值. 7.A f'(x)=1-lnx x ,故当0<x<e 时, f'(x)>0,函数单调递增,当x>e 时, f'(x)<0,函数单调递减,故x=e 为函数的极大值点.8.B 因为函数y=x 3与函数y=2x 在R 上递增,所以函数y=x 3与函数y=2x 都没有极值,所以①④不合题意,排除A 、C 、D.故选B. 9.D 因为f(x)=2ef'(e)ln x-xe (x>0),所以f'(x)=2ef '(e )x-1e,所以f'(e)=2ef '(e )e -1e=2f'(e)-1e ,因此f'(e)=1e,所以f'(x)=2x -1e,令f'(x)>0,得0<x<2e,令f'(x)<0,得x>2e,所以函数f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+∞)上单调递减,因此f(x)的极大值点为x=2e. 10.答案 2解析 ∵f'(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1), 令f'(x)>0,得x<-1或x>1; 令f'(x)<0,得-1<x<1,∴函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. ∴函数f(x)=x 3-3x 在x=-1时取得极大值2.故答案为2. 11.C f(x)=x(x-c)2=x 3-2cx 2+c 2x, 则f'(x)=3x 2-4cx+c 2,由题意知f'(2)=0,即12-8c+c 2=0,解得c=6或c=2. 又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,故导数值f'(x)在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.当c=2时, f'(x)=3x 2-8x+4=3(x -23)(x-2),不满足导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.当c=6时, f'(x)=3x 2-24x+36=3(x 2-8x+12)=3(x-2)(x-6),满足导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数. 综上,c=6.12.B f(x)=13x 3+(a+1)x 2-(a 2+a-3)x,则f'(x)=x 2+2(a+1)x-(a 2+a-3),由题意可知f'(1)=0,即1+2(a+1)-(a 2+a-3)=0,解得a=3或a=-2.当a=3时, f'(x)=x 2+8x-9=(x+9)(x-1),当x>1或x<-9时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-9<x<1时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减,显然x=1是函数f(x)的极值点,符合题意;当a=-2时, f'(x)=x 2-2x+1=(x-1)2≥0,且只有当x=1时,等号成立,所以函数在R 上是单调递增函数,没有极值,不符合题意,舍去.故选B. 13.答案 (-12,0)解析 函数y=e x +2ax,x ∈R 有小于零的极值点等价于y'=0有小于零的根,即e x =-2a 有小于零的实数根x 0,当x 0∈(-∞,0)时,e x 0∈(0,1),所以-2a ∈(0,1),所以a ∈(-12,0).14.解析 (1)f'(x)=e x (ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f'(0)=4,即b=4,a+b=8,从而a=4,b=4. (2)由(1)知, f(x)=4e x (x+1)-x 2-4x, 则f'(x)=4e x (x+2)-2x-4=4(x+2)e x -12.令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x ∈(-2,-ln 2)时, f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e -2). 15.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,故k+12=0,k=-12,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数在(-∞,-1),(23,+∞)上单调递增,在(-1,23)上单调递减,故当x=-1时, f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.16.答案 1解析 f'(x)=3mx 2+2nx+p,由题中三次函数的图象可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,由f'(-1)=3m-2n+p=0, f'(2)=12m+4n+p=0, 解得p=-6m,2n=-3m,∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m, ∴f '(1)f '(0)=1,故答案为1.17.解析 (1)f'(x)=2ax+bx,则{2a +b =0,a ×12+bln1=12,解得{a =12,b =-1.(2)由(1)知f(x)=12x 2-ln x,其定义域为(0,+∞), f'(x)=x+-1x=x 2-1x,令f'(x)=0,则x=1或-1(舍去),所以当0<x<1时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x>1时, f'(x)>0, f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞). 18.解析 (1)当a=1时, f(x)=x+1x ,则f(2)=52, f'(x)=1-1x,所以所求切线的斜率为k=f'(2)=1-14=34.故所求的切线方程为y-52=34(x-2),即3x-4y+4=0.(2)y=f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=a -1x+1-a x=x 2+(a -1)x -a x =(x+a )(x -1)x .①若a ≥0,则当x∈(0,1)时, f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.此时, f(x)的极小值点为1.②若a<0,则由f'(x)=0得x=-a或x=1.(i)当-1<a<0时,0<-a<1.当x∈(0,-a)∪(1,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(-a,1)时, f'(x)<0,所以f(x)在(0,-a)和(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减.此时, f(x)的极小值点为1,极大值点为-a.(ii)若a=-1,则f'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(x)无极值.(iii)若a<-1,则-a>1,当x∈(0,1)∪(-a,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(1,-a)时, f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)和(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减.此时, f(x)的极小值点为-a,极大值点为1.能力提升练一、选择题1.D f'(x)=3ax2-b,设方程3ax2-b=0的两个根为x1,x2,故f(x)在x1,x2处取到极值,,M+m=4-b(x1+x2)+a(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2],而x1+x2=0,x1x2=-b3a所以M+m=4,故选D.e2x+(a-e)e x-aex+b(a,b∈R),则f'(x)=e2x+(a-e)e x-ae=(e x+a)(e x-e), 2.A f(x)=12当a≥0时,e x+a>0,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在x=1时取得极小值,不符合题意;当a<0时,令f'(x)=0,得x=1或x=ln(-a),为使f(x)在x=1时取得极大值,则有ln(-a)>1,所以a<-e.故选A.二、填空题3.答案f(x)=x3(答案不唯一)解析极值点的导数必须为0,且极值点左右两侧的函数单调性相反.函数f(x)=x3,当x=0时, f'(0)=3×02=0,但是f(x)=x3在R上单调递增,所以x=0不是函数f(x)=x3的极值点.4.答案②③解析①错,因为在(-3,-1)上f'(x)<0,在(-1,1)上f'(x)>0,所以f(x)在(-3,-1)内是减函数,在(-1,1)内是增函数;②正确,因为f'(x)在(-3,-1)上为负,f'(-1)=0, f'(x)在(-1,2)上为正;③正确,因为在(2,4)内f'(x)<0,故f(x)在(2,4)内是减函数,在(-1,2)内f'(x)>0,故f(x)在(-1,2)内为增函数;④错, f'(1)≠0,故x=1不是极值点.5.答案a>12解析由题意得函数的定义域(0,+∞),yꞌ=1x +2ax(2a+1)= 2ax2-(2a+1)x+1x=2a(x-1)(x-12a)x,当12a>1时,令y'>0,得x ∈(0,1)∪(12a,+∞),令y'<0,得x ∈(1,12a),即函数y=ln x+ax 2-(2a+1)x 在x=1处取得极大值,不符合题意; 当12a=1时,y'=2a (x -1)2x=(x -1)2x≥0恒成立,即函数不存在极值;当0<12a <1时,令y'>0,得x ∈(0,12a)∪(1,+∞),令y'<0,得x ∈(12a ,1),即函数y= ln x+ax 2-(2a+1)x 在x=1处取得极小值,符合题意,此时a>12.三、解答题6.解析 (1)f'(x)=3ax 2+2bx, 由题意得{f (1)=3,f '(1)=0,即{a +b =3,3a +2b =0,解得{a =-6,b =9,经检验知,满足题意.(2)由(1)得f(x)=-6x 3+9x 2, 所以f'(x)=-18x 2+18x, 令f'(x)=0,解得x=0或x=1,当0<x<1时, f'(x)>0,当x<0时, f'(x)<0, 所以x=0是极小值点, 所以f(x)极小值=f(0)=0.7.解析 f(x)的定义域为(0,+∞). (1)当a=3时, f(x)=2ln x-x 2+3x+2, 所以f'(x)=2x -2x+3=-2x 2+3x+2x,令f'(x)=-2x 2+3x+2x=0,得-2x 2+3x+2=0,因为x>0,所以x=2.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下:x (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 -f(x) ↗2ln 2+4 ↘所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞),所以f(x)有极大值,极大值为2ln 2+4,f(x)无极小值.(2)因为f(x)=2ln x-x2+ax+2,所以f'(x)=2x-2x+a.设直线y=-x+1与曲线y=f(x)的切点为(x0, f(x0)),则f'(x0)=-1,即2x02-(a+1)x0-2=0.①又因为f(x0)=2ln x0-x02+ax0+2=-x0+1,即2ln x0-x02+(a+1)x0+1=0,②所以由①②得2ln x0+x02-1=0.设g(x)=2ln x+x2-1,因为g'(x)=2(1+x 2)x>0(x>0),所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,因为g(1)=0,即x0=1.所以a=-1.8.解析(1)当a=-1时, f(x)=e x+ln x-x,x>0.所以f'(x)=e x+1x-1,f(1)=e-1,所以 f'(1)=e,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(e-1)=e(x-1), 整理得ex-y-1=0.(2)因为f(x)=e x-aln x-x,x>0.所以f'(x)=e x-ax-1=xe x -x -ax,依题意, f'(x)在区间(0,1)上存在变号零点.因为x>0,设g(x)=xe x -x-a,所以g(x)在区间(0,1)上存在变号零点. 因为g'(x)=e x (x+1)-1,所以,当x ∈(0,1)时,e x >1,x+1>1, 所以e x (x+1)>1,即g'(x)>0,所以g(x)在区间(0,1)上为单调递增函数, 所以{g (0)<0,g (1)>0,即{-a <0,e -1-a >0, 解得0<a<e-1.综上,若f(x)在区间(0,1)上存在极值点,则a 的取值范围是(0,e-1). 9.解析 (1)因为f(x)=(2ax 2+4x)ln x-ax 2-4x(a ∈R ,且a ≠0), 所以f'(x)=4(ax+1)ln x,x ∈(0,+∞), f'(1)=0, f(1)=-a-4,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=-a-4.(2)①当a<-1时, f'(x), f(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:x (0,-1) -1a(-1a ,1) 1 (1, +∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x)↘极小值↗极大值↘此时极小值为f (-1a )=3a -2a ln (-1a )=1a ,解得a=-1e>-1,故不成立.②当a=-1时, f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. 此时f(x)无极小值,故不成立.③当-1<a<0时, f'(x), f(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,-1a ) -1a(-1a ,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x)↘极小值↗极大值↘此时极小值为f(1)=-a-4=1a,解得a=-2+√3或a=-2-√3. 因为-1<a<0,所以a=-2+√3.④当a>0时, f'(x), f(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x)↘极小值↗此时极小值为f(1)=-a-4=1a,解得a=-2+√3或a=-2-√3,故不成立. 综上,a=-2+√3.。
1.3.2函数的极值与导数
y 极大值 2 0 极小值 x
③下结论 思考】 【思考】函数 f(x)在 x＝0 和 x＝2 处的函数 在 值与这两点附近的函数值有什么关系? 值与这两点附近的函数值有什么关系
函数的极值: 二、新课——函数的极值: 新课 函数的极值
Байду номын сангаас
例3:函数 3:函数 处具有极值， 的值 处具有极值，求a的值
分析：f(x)在 分析：f(x)在 要条件可知， 要条件可知， 解： ∵ ∴ ，
在
处有极值， 处有极值，根据一点是极值点的必 可求出a的值. 可求出a的值.
∴a=2 ∴a=2.
例4:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处 有极值， 有极值，求a、b的值
因此,当 时有极小值,并且 因此 当x=-1时有极小值 并且 极小值=-3; 时有极小值 并且,y 时有极大值,并且 而,当x=1时有极大值 并且 极大值=3. 当 时有极大值 并且,y
思考题:已知函数 思考题 已知函数f(x)=-x3+ax2+b. 已知函数 (1)若函数 若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值 且极小值为 处取得极值,且极小值为 若函数 在 处取得极值 且极小值为-1, 的值. 求a、b的值 、 的值 (2)若 x ∈ [0,1],函数 函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 若 函数 图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论 率为 试讨论k≥-1成立的充要条件 . 成立的充要条件 试讨论 2 解:(1)由 f ′( x) = −3 x + 2ax = 0得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, 由 或 故 a=6. 由于当x<0时, f ′(x) < 0,当x>0时, f ′(x) > 0.故当 故当x=0时, 由于当 时 时 时 f(x)达到极小值 达到极小值f(0)=b,所以 所以b=-1. 达到极小值 所以 (2)等价于当 x∈[0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立 即g(x)= 恒成立,即 等价于当 恒成立 3x2-2ax-1≤0对一切 x ∈[0,1] 恒成立. 对一切 恒成立 由于g(0)=-1≤0,故只需 故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1. 由于 故只需 即 反之,当 恒成立. 反之 当a≥1时,g(x)≤0对一切 x ∈[0,1] 时 对一切 恒成立 所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件 是 成立的充要条件. 所以 成立的充要条件
1.3.2_函数极值与导数的关系(2课时)教程
1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必 须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号. 3 通过图像来观察函数的极值点
函数的极值与导数（2）
函数极大值的定义：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0 附近的所有的点,都有 f(x)﹤f (x0) 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f (x0)；
'
1
个.
a
O
b x
2 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数 y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点， 那些是极小值点？ X2,x4为极值点 X2为极大值点 X4为极小值点 y
Y=f’(x)
x2 x3 a x1
O
x4
x5
x6
b
X
3 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的 点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ X2 （2）导函数y=f’(x)有极小值？ X 4 （3）函数y=f(x)有极大值？ X3 （4）函数y=f(x)有极小值？
（1）极值是某一点附近的小区间而言的, 是函数的局部性质;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义 区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极 大值可能比极小值还小. y
R( x3 , f ( x3 ))
y=f(x)
S ( x4 , f ( x4 ))
P(x1,f(x1))
3 2 2
取极值，求实数a, b的值.
例2. 若f ( x) x ax 3ax 2既有极大值，
3 2
又有极小值.求a的取值范围.
分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的 符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函 数有两个相异的实根
函数的极值与导数
极大值 和_______ 极小值 统称为极值． 极值点，_______
练习1：指出下图中的极大值、极小值、极 值点、极值
y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) o a x1 x2 x3 b x
4
2、上图的左右端点是极值点吗？极值点 在图像的什么地方出现？ 3、一个函数只有一个极大值和一个极小 值吗？它的极大值一定大于它的极小值吗？
• 1.理解极大值、极小值的概念． • 2.会用导数求最高次幂不超过三次的 多项式函数的极大值、极小值． 重点： 利用导数求函数的极大值、极小值．
（一）导学案自主探究（一） 在点t=a附近的图像有什么特点（自左向右上 升还是下降）？此点附近的导数符号有什么 变化？在t=a时，函数h(t)在此点的导数是多少？
∴a＝－6，b＝9. ………………………6 分
• (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1) ……… ……… 8分 • 当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1. • 当f′(x)>0时，0<x<1； • 当f′(x)<0时，x<0或x>1. ……… ……… ……… ……… 10分 • ∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为 f(0)＝0. ……… 12分
3
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋
∞)
f ′ (x )
＋
0
－
0
＋
f(
x)
极
大值
极
小值
2 ∴f(x)的递增区间为－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间 2 为－3，1. 2 49 2 当 x＝－3时，f(x)有极大值，f－3＝27；
1.3.2 函数的极值与导数(4)
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第 1 页 共 1 页 1.3.2 函数的极值与导数（4）
运用导数及函数的极值判断方程解的个数、函数图象与x 轴交点个数
例1、设a 为实数，函数f (x ) = x 3 – x 2 – x + a .
（1）求f (x )的极值；
（2）当a 在什么范围内取值时，曲线y = f (x )与x 轴仅有一个交点.
例2．已知函数3()f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．
例3．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.2
3)21
(='f (Ⅰ)求)(x f 的解析式; (Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.
例4．设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．
证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．
例5．设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12
b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．。
高中数学选修2精品课件1.3.2函数的极值和导数
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
x
f ( x )
的一个极大值。
2. 如 果 x0 是 f′(x)=0 的 一 个 根 ， 并 且 在 x0 的 左 侧 附 近 的一个极小值。
f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是 f(x0)函数f(x)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0为函数是极值点的必要条件。
课堂练习
练习1:下列函数中，x=0是极值点的函数是( A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－x
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f ( x ) 0 ;②当 x<2时, f ( x ) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值. 证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x 2 ) 2 x. 2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0 ,即 :
f (b) 0
极大值点
y
f ( x ) >0
f ( x )<0
f ( x ) <0 a
f (a) 0
f ( x) >0
o 极小值点 b
x