[精品]2017年山西省晋中市祁县高考数学模拟试卷及解析答案word版(理科)(5月份)

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2017版《3年高考2年模拟》高考数学(山西专用,理)训练：第4章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用A组基础题组1.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x2.(2015山东,3,5分)要得到函数y=sin-的图象,只需将函数y=sin 4x的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位3.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为( )A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sin-D.y=2sin-4.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )5.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图,则f= .6.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于.7.(2016福建三明一中期中)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M-.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递减区间;(3)当x∈时,求f(x)的值域.8.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.B组提升题组9.(2015江西南昌调研,4)要得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=sin的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度10.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )A.-B.-C.D.11.(2015河南郑州检测,8)如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ ≤的部分图象与坐标轴的三个交点为P、Q、R且P(1 0) ∠PQR=,M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为( )A.2B.C.D.412.(2015天津联考二,15)函数f(x)=cos(πx+φ)的部分图象如图所示.(1)求φ及图中x0的值;(2)设g(x)=f(x)+f,求函数g(x)在区间-上的最大值和最小值.13.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0),其最小正周期为.(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.A 选项A,y=cos=-sin 2x,符合题意,故选A.2.B 将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位可得到函数y=sin-=sin-的图象.3.B 由题图可知A=2,=--=,∴T=π ∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),又图象过点-,∴f-=2sin-=2,即-+φ=+2kπ k∈Z∴φ=+2kπ(k∈Z)结合选项可知选B.4.A 把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数解析式为y=cos x+1,然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为y=cos(x+1),易知选A.5.答案解析由=-=×,得ω=2,∴f(x)=Atan(2x+φ).又图象过点 ∴Atan=0,又|φ|< ∴φ=,∴f(x)=Atan.又图象过点(0,1),即Atan=1,故A=1,∴f(x)=tan,∴f=tan=tan=.6.答案 6解析将f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)=f-=cos-=cos-的图象,则由题意知-ω=2kπ(k∈Z) ∴ω=-6k(k∈Z) 又ω>0 ∴k<0 当k=-1时,ω有最小值6.7.解析(1)由题意知,A=2,T=,故T=π ∴ω==2,∵图象上一个最低点为M-,∴2×+φ=2kπ- k∈Z∴φ=2kπ-=2(k-1)π+(k∈Z)又0<φ<,∴φ= ∴f(x)=2sin.(2)令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z) 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴f(x)的单调递减区间为 k∈Z.(3)当x∈时,2x+∈,此时-≤sin≤1则-1≤f(x)≤2即f(x)的值域为[-1,2].8.解析(1)根据表中已知数据,可得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:函数表达式为f(x)=5sin-.(2)由(1)知 f(x)=5sin-,得g(x)=5sin-.由y=sin x图象的对称中心为(kπ 0) k∈Z令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ k∈Z.由函数y=g(x)的图象关于点中心对称,令+-θ=,解得θ=- k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.B组提升题组9.C 因为f(x)=cos-=sin-=sin=sin,所以要得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=sin的图象向左平移个单位长度.故选C.10.A f(x)=sin(2x+φ)的图象y=sin=sin的图象 ∴y=sin的图象关于原点对称 ∴+φ=kπ(k∈Z) ∴φ=kπ-(k∈Z) ∵ φ|< ∴φ=-,∴f(x)=sin-.当0≤x≤时,-≤2x-≤,∴-≤sin-≤1.∴函数f(x)在上的最小值为-.11.C 依题意得,点Q的横坐标是4,R的纵坐标是-4 ∴T==2|PQ|=6,Asin φ=-4, f=A,∴ω=,Asin=A,∴sin=1.又∵ φ ≤,∴≤+φ≤ ∴+φ=,φ=- ∴Asin-=-4,A=,选C.12.解析(1)由题图得f(0)=,所以cos φ=,因为0<φ<,所以φ=.由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1<x0<2,故<πx0+<,由f(x0)=得cos=,所以πx0+=,x0=.(2)因为 f=cos=cos=-sin πx,所以g(x)=f(x)+f=cos-sin πx=cos πxcos-sin πxsin-sin πx=cos πx-sin πx-sin πx=cos πx-sin πx=sin-.当x∈-时,-≤-πx≤.所以-≤sin-≤1故当-πx=,即x=-时,g(x)取得最大值;当-πx=-,即x=时,g(x)取得最小值-.13.解析(1)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-=sin 2ωx+-=sin,又f(x)的最小正周期T=,所以T===,所以ω=2,所以f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin-的图象;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象,所以g(x)=sin-,当0≤x≤时,-≤2x-≤,易知当-≤2x-≤,即0≤x≤π时,g(x)递增,且g(x)∈-,当<2x-≤,即π<x≤时,g(x)递减,且g(x)∈.又g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数y=g(x)与y=-k的图象在区间上有且只有一个交点,所以-≤-k<或-k=1,解得-<k≤或k=-1,所以实数k的取值范围是-∪{-1}.。

山西省高考数学一模试卷(理科)Word版含解析

2017年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5]C．[﹣1，5）D．（0，8）3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB 与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A=A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．2017年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣iiz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5]C．[﹣1，5）D．（0，8）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合M与N中不等式变形后，分别求出解集确定出M与N，求出M 与N补集的并集即可．【解答】解：M={x|0＜x＜27}，N={x|x＜﹣1或x＞5}，∁R N={x|﹣1≤x≤5}，∴M∪（∁R N）={x|0＜x≤5}，故选B．【点评】此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的单调性即可判断．【解答】解：由题意可得函数f（x）在R上为单调递增函数，∵f（2﹣x）≥f（x），∴2﹣x≥x，解得x≤1，故选：A【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，属于基础题．4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB 与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得=，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则=，∴=4，∴=，∴C的渐近线方程为y=±x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×=，其中比赛进行了3局的概率为×+×=，∴所求概率为=，故选B．【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即可得出结论．【解答】解：由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，∴猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为，故选A．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，正确类比是关键．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【考点】二项式系数的性质．，求出（【分析】化（﹣+1）7=[1+（﹣）]7，利用展开式通项公式T r+1﹣）r展开式中x3项的系数即可．【解答】解：（﹣+1）7=[1+（﹣）]7的展开式通项公式为：=（﹣）r，T r+1对于（﹣）r，通项公式为：==（﹣2）m，T m+1令=3，得r=6+3m；根据0≤m≤r≤7，r、m为自然数，求得m=0，r=6；∴（﹣+1）7展开式中x3项的系数为（﹣2）0=7．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式中通项公式的灵活应用问题，是基础题．8．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程代入椭圆方程，由△=0，求得a2+b2=9，由题意的离心率公式，求得=，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意可知：，整理得：（a2+b2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2=0，则△=0，则36a2﹣4（a2+b2）（9a2﹣a2b2）=0，整理得：a2+b2=9，①由题意的离心率e===，则=，②由①②，解得：a2=5，b2=4，∴椭圆C的方程：，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出T，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合φ的范围，求出φ得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：由图象可知T=4π，从而ω=，将（，0），（0，﹣）在函数图象上，，|φ|＜，可得：φ=﹣，A=3，f（x）=3sin（﹣），可得：g（x）=3sin[（x+）﹣]=3cos．由x∈，可得：∈[，]，可得：3cos∈[﹣3，]．故选：C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC外接球半径R=，由此能示出该球的表面积．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，及OB=OD，得OB=，∴外接球半径为R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；验证题目中的命题是否正确即可．【解答】解：本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；对于①，“水仙花数”是三位数，即100≤m=i≤999，∴①正确；对于②，152是“水仙花数”，由13+53+23≠152，∴②不正确；对于③，407是“水仙花数”，即407=43+03+73，∴③正确；综上，正确的命题有2个．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是分析出程序的含义，是基础题．12．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案．【解答】解：函数f（x）=xcosx﹣sinx﹣sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，∵y1′=﹣xsinx，∴y1=xcosx﹣sinx在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′=a，由y1=xcosx﹣sinx的图象可得：a＞0时，y2=sinx的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用余弦定理可得BC，运用勾股定理逆定理，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，再由共线向量和向量的投影可得向量在上的投影为||cos＜，＞，计算可得．【解答】解：在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA=4+1﹣2×2×1×=3，即有BC=，由AB2=AC2+BC2，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为AB的中点，可得=，即有向量在上的投影为||cos＜，＞=1（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为3．【考点】余弦定理．【分析】由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：sinAcosB=sinAsinB，由sinA≠0，可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，利用余弦定理，基本不等式可求12≥ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由sin（A+B）=sinC，及sinC=（sinA+cosA）sinB，可得：sinAcosB=sinAsinB，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合B∈（0，π），可得：B=，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：12=a2+c2﹣ac≥ac，=acsinB=ac≤3，可得：S△ABC=bh=h≤3，又由S△ABC可得：h≤3，即AC边上的高的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，其直观图如图所示：四棱柱的底面面积为2，高为2，故体积为4；四棱锥的底面面积为2，高为，故体积为：，故组合体的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用二倍角公式化简a n，可得a n=．求出数列{b n}的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把{a n}、{b n}的通项公式代入求解；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（1）由=2+1+cosnπ=3+cosnπ=．于是，，b2=a2=4，∴等差数列{b n}的公差为3，则b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n=2[3（2n﹣1）﹣2]+4[3×2n﹣2]=36n﹣18；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，则S2n=a1b1+a2b2+…+a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n==．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X的可能取值为6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出甲得分的期望；Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出结果．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，则事件A包含3个基本事件，推导出B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，由此进行分类讨论经，能求出k的所有值．【解答】解：（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，则X的可能取值为6，24，54，0，当X=6时，向上的点数为1，P（X=6）=，当X=24时，向上的点数为4，P（X=24）=，当X=54时，向上的点数为9，P（X=54）=，当X=0时，向上的点数为42，52，…，122，有种情况，P（X=0）=，∴X的分布列为：X624540P∴甲得分的期望为E（X）==7．Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3， (12)∴Y的分布列为：Y1 2 3456789101112 P∴乙得分的期望为E（Y）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54）==．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，则事件A包含3个基本事件，（1点，4点，9点），记n（AB），n（B）分别表示事件AB，B包含的基本事件个数，由P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得：=，∴n（B）=4n（AB），①∴B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，当k=4时，n（B）=4，AB={1，4}，n（AB）=2，不符合①，当k=8时，n（B）=8，AB={1，4}，n（AB）=2，符合①，当k=12时，n（B）=12，AB={1，4，9}，n（AB）=3，符合①，故k的所有值为8或12．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A=A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结B1C交BC1于点E，连结DE．DE∥A1C，得A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．则A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．求出面BC1D的法向量，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C交BC1于点E，连结DE．则E是B1C的中点，又D为A1B1，所以DE∥A1C1，且DE⊂面BC1D，A1C⊄BC1D，∴A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y=﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【点评】本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q的坐标；（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论．【解答】（1）解：设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q（，）；（2）证明：设直线方程为y﹣t=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程整理得ky2﹣4y+4t+4k=0，△=0，可得k2+kt﹣1=0．特别地，t=0，k=±1，这时切点为A（1，2），B（1，﹣2），AB过定点F（1，0）．一般地，k1+k2=t，k1k2=﹣1，切点为A（，），B（，），∴=（﹣1，），=（﹣1，），∴（﹣1）﹣=﹣1））=0，∴∥，∴AB过点F（1，0），综上所述，直线AB过点F（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数g（x）的导数，根据g′（x）≤0，分离参数a，求出a 的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，令y=ax2+x+1，通过讨论a的范围，令x0=，根据函数的单调性得到b≤﹣ax0﹣lnx0，a=﹣，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵g（x）=f（x）+=lnx+ax++b，x＞0，g′（x）=+a﹣，x＞0，∵g（x）为减函数，∴g′（x）≤0，即a≤﹣=﹣，∴a≤﹣；（2）证明：f′（x）=++a=，（x＞0），令y=ax2+x+1，a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，不满足f（x）≤0恒成立，当a＜0时，△=1﹣4a＞0，由ax2+x+1=0，得x=＞0或x=＜0，设x0=，函数f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，+∞）递减，又f（x）≤0恒成立，故f（x0）≤0，即lnx0+ax0﹣+b≤0，由上式得b≤﹣ax0﹣lnx0，由a+x0+1=0得a=﹣，∴a+b≤﹣ax0﹣lnx0﹣=﹣lnx0+﹣+1，令t=，t＞0，h（t）=lnt+t﹣t2+1，h′（t）=﹣，0＜t＜1时，h′（t）＞0，函数h（t）在（0，1）递增，t≥1时，h′（t）≤0，函数h（t）在（1，+∞）递减，h（t）≤h（1）=1，故a+b≤1，即a≤1﹣b．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，两曲线均关于x，y轴、原点对称，四边形也关于x，y轴、原点对称，即可求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），普通方程为+=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），直角坐标方程为x2+y2=r2，r=a或b时，两曲线有两个公共点；b＜r＜a时，两曲线有四个公共点；0＜r＜b或r＞a时，两曲线无公共点；（2）两曲线均关于x，y轴、原点对称，∴四边形也关于x，y轴、原点对称，设四边形位于第一象限的点为（aco sθ，bsinθ），则四边形的面积为S=4acosθbsinθ=2absin2θ≤2ab，当且仅当sin2θ=1，即θ=45°时，等号成立．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017山西一模）已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，若m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，进而变形可得或，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由x∈[2，3]，将原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①，分m≤﹣2与m＞﹣2两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，等价于或，解可得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥}；（2）当x∈[2，3]时，原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①当m≤﹣2时，m+2≤0，①式恒成立；当m＞﹣2时，即m+2＞0时，①式等价于x﹣m≥或x﹣m≤﹣，化简可得：x2﹣2≥m（x+1）或x2+2≤m（x+1），②又由x∈[2，3]，则有x+1＞0且x﹣1＞0，则②可以变形为m≤或m≥；又由=x﹣﹣1，=x﹣1++2；又由x∈[2，3]，则（）min=，（）max=6；则有m≤或m≥6；故m的取值范围是{m|m≤或m≥6}．【点评】本题考查绝对值不等式的运用以及解法，关键是熟练掌握绝对值三角不等式．。

高考数学理科模拟试卷及答案

高考数学理科模拟试卷及答案迎战高考，十年寒窗，今日出招。

早睡早起休息好，餐餐养分搭配好，生冷零食远离好，考试用具预备好，有备而战发挥好。

祝高考顺当，金榜题名！下面就是我给大家带来的高考数学理科模拟试卷及答案，盼望大家喜爱！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设全集，集合,则()A.{2,4}B.{2,4，6}C.{0，2,4}D.{0，2,4，6}2.若复数是纯虚数，则实数()A.±1B.C.0D.13.已知为等比数列，若，则()A.10B.20C.60D.1004.设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，,则()A.2B.4C.6D.85.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是()A.0B.2C.4D.66.给出命题p：直线相互平行的充要条件是;命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。

对以上两个命题，下列结论中正确的是()A.命题“p且q”为真B.命题“p或q”为假C.命题“p且┓q”为假D.命题“p且┓q”为真7.若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是()A.(-∞，1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1，+∞)8.把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的（方法）有()A.36种B.45种C.54种D.84种9.设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，∠=90°，||=1，则的值为()A.B.C.D.10.已知点,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A.B.C.D.11.函数有且只有两个不同的零点，则b的值为()A.B.C.D.不确定12.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为()A.5B.10C.20D.30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

【真卷】2017年山西省晋中市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2017年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设全集U是实数集R，已知集合A={x|x2＞2x}，B={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．（5分）已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a2a12）的值为（）A．B．C．D．4．（5分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积．意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图中的网格纸中的小正方形的边长为1）（）A．4 B．8 C．16 D．205．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a=（）A．2 B．4 C．6 D．86．（5分）将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为（）A．3 B．2 C．D．7．（5分）已知实数x，y满足，若使得目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无数个，则实数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5分）若圆C1（x﹣m）2+（y﹣2n）2=m2+4n2+10（mn＞0）始终平分圆C2：（x+1）2+（y+1）2=2的周长，则+的最小值为（）A．B．9 C．6 D．39．（5分）下列命题中，真命题的个数为①对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③非零向量，若，则向量与向量的夹角为锐角；④．（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知x、y是[0，1]上的两个随机数，则点M（x，y）到点（0，1）的距离小于其到直线y=﹣1的距离的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数的图象上有且只有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在直线y=kx﹣1上，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知数据x，y的取值如表：从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线上，则m的取值为．14．（5分）在的展开式中，x2的系数为．15．（5分）在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为．16．（5分）表面积为40π的球面上有四点S、A、B、C且△SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，S4=24，数列{b n}的前n项和T n=n2+a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和B n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．（1）求证：l∥EF；（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AE﹣B的余弦值．19．（12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点在直线l：x﹣y﹣3=0上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线t经过点P（1，0），且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2）使得A，B到l0的距离d A，d B满足恒成立？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2a2lnx﹣x2，g（x）=﹣x2+2a3x+．（1）讨论函数f（x）在（1，e2）上零点的个数；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1•x2＞2e2．（参考数据：e取2.8，ln2取0.7，取1.4）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l：x+y﹣2=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=1，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C2，又直线l与曲线C2交于A，B两点．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）设定点P（2，0），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c．（1）当a=b=c=1时，求不等式f（x）＞5的解集；（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求的最小值．2017年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设全集U是实数集R，已知集合A={x|x2＞2x}，B={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【解答】解：由A中的不等式变形得：x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，∴A={x|x＞2或x＜0}，∵全集U=R，∴∁U A={x|0≤x≤2}，由B中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21，得到0＜x﹣1≤1，解得：1＜x≤2，即B={x|1＜x≤2}，则（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：=，∴z=+i．则z的共轭复数﹣对应的点（，﹣）位于复平面内的第四象限．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a2a12）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，∴a1a13+2a72=3a72=5π，∴=，=，∴cos（a2a12）=cos=cos（2）=cos=．故选：D．4．（5分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积．意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图中的网格纸中的小正方形的边长为1）（）A．4 B．8 C．16 D．20【解答】解：由题意可得，不规则几何体与三视图所对应的几何体的体积相同，根据三视图，可得该几何体是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且该四棱柱的底面是长方形，长为BC=6，宽为AB=2，四棱锥的高为PH=4，其中，AH=2，如图所示：故它的体积为•（6•2）•4=16，故选：C．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：模拟程序的运行，可得a=10，i=1不满足条件i≥5，不满足条件a是奇数，a=5，i=2不满足条件i≥5，满足条件a是奇数，a=16，i=3不满足条件i≥5，不满足条件a是奇数，a=8，i=4不满足条件i≥5，不满足条件a是奇数，a=4，i=5满足条件i≥5，退出循环，输出a的值为4．故选：B．6．（5分）将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，可得g（x）=2sin[ω（x﹣）+]=2sin（ωx）在[﹣，]上为增函数，∴且，（k∈Z）解得：ω≤3﹣12k且，（k∈Z）∵ω＞0，∴当k=0时，ω取得最大值为．故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足，若使得目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无数个，则实数a的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示：由z=ax+y得y=﹣ax+z；当a=0时，直线化为y=z，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；当a＞0时，直线y=﹣ax+z截距取得最大值，此时的最优解只有一个C点，不满足条件；当a＜0时，直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与AC平行，由直线AC的斜率k=1，解得a=﹣1；综上，满足条件的a=﹣1．故选：D．8．（5分）若圆C1（x﹣m）2+（y﹣2n）2=m2+4n2+10（mn＞0）始终平分圆C2：（x+1）2+（y+1）2=2的周长，则+的最小值为（）A．B．9 C．6 D．3【解答】解：把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为（m+1）x+（2n+1）y+5=0，由题意知直线l经过圆C2的圆心（﹣1，﹣1），因而m+2n=3．∴+=（+）（m+2n）=（5++）≥（5+4）=3，m=n时取等号．∴+的最小值为3，故选：D．9．（5分）下列命题中，真命题的个数为①对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③非零向量，若，则向量与向量的夹角为锐角；④．（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，若a＞b≥0，则a|a|＞b|b|显然成立；若a≥0＞b，a|a|＞b|b|⇔a2＞﹣b2⇔a2+b2＞0，成立；若0＞a＞b，a|a|＞b|b||⇔﹣a2＞﹣b2⇔a2＜b2，成立；故对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故①正确；对于②，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，又由正弦定理知，a＞b⇔2RsinA＞2RsinB ⇔sinA＞sinB，故②正确；对于③，非零向量，若，则向量与向量的夹角为锐角或0，故③错误；对于④，∵﹣==＞0，∴＞；同理可得，；∴，故④正确．综上所述，真命题的个数为3个，故选：C．10．（5分）已知x、y是[0，1]上的两个随机数，则点M（x，y）到点（0，1）的距离小于其到直线y=﹣1的距离的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，正方形的面积为S=1×1=1，因为点M（x，y）到点（0，1）的距离小于其到直线y=﹣1的距离，所以＜|y+1|，即x2＜4y阴影部分的面积为S′=1﹣=1﹣=1﹣=，所以所求概率为．故选：D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O 为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF1|﹣|OA|=m，则==+6a≥12a，当且仅当m=3a，取等号，∴|PF1|=4a，∴4a≥c﹣a，∴5a≥c，∴25a2≥a2+b2，∴≤2，设双曲线一三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2，∴cosα≥，∴双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是，故选：A．12．（5分）已知函数的图象上有且只有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在直线y=kx﹣1上，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：直线y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称直线是y=﹣kx﹣1，则直线y=﹣kx﹣1与f（x）的图象有四个交点，作出y=f（x）与直线y=﹣kx﹣1的函数图象如图所示：设直线y=k1x﹣1与y=x2+x（x≤0）相切，切点为（x1，y1），则，解得x1=﹣1，y1=﹣，k1=﹣，设直线y=k2x﹣1与y=xlnx﹣3x（x＞0）相切，切点为（x2，y2），则，解得x2=1，y2=﹣3，k2=﹣2，∴﹣2，∴．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知数据x，y的取值如表：从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线上，则m的取值为13.8．【解答】解：第四组数据在回归直线上，可得15.4=0.8×4+，∴=12.2∵=3，=，∴代入得=2.4+12.2，解得：m=13.8，故答案为13.8．14．（5分）在的展开式中，x2的系数为28．=．【解答】解：的展开式的通项公式：T r+1==（﹣1）k．的通项公式为：T k+1令=2，即r﹣3k=4，可得：k=0，r=4；k=1，r=7．∴x2的系数=﹣=28．故答案为：28．15．（5分）在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为8．【解答】解：由CD=6sin∠DAC，可得CD⊥AD．∴点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）．∴当BD经过AC的中点O时取最大值，OB2=32+72﹣2×3×7cos∠BAC=25，解得OB=5，∴BD的最大值=5+AC=8．故答案为：8．16．（5分）表面积为40π的球面上有四点S、A、B、C且△SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为6．【解答】解：过O作OF⊥平面SAB，则F为△SAB的中心，过F作FE⊥SA于E点，则E为SA中点，取AB中点D，连结SD，则∠ASD=30°，设球O半径为r，则4πr2=40π，解得r=．连结OS，则OS=r=，OF=，∴SF==2=2．=SA2=6．∴DF=EF=，SE==．∴SA=2SE=2，S△SAB过O作OM⊥平面ABC，则当C，M，D三点共线时，C到平面SAB的距离最大，即三棱锥S﹣ABC体积最大．连结OC，∵平面SAB⊥平面ABC，∴四边形OMDF是矩形，∴MD=OF=，OM=DF=．∴CM==2．∴CD=CM+DM=3．∴三棱锥S﹣ABC体积V=S•CD=3=6．△SAB故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，S4=24，数列{b n}的前n项和T n=n2+a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和B n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由a3=7，S4=24，得，解得a1=3，d=2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∵T n=n2+a n=n2+2n+1=（n+1）2，当n=1时，b1=4，当n≥2=n2，∴T n﹣1∴b n=T n﹣T n﹣1=2n+1，当n=1时，b1=3≠4，∴b n=，（2）当n=1时，；当n≥2时，．∴B1=2，当n≥2时，，则，得===．∴，验证n=1时成立，∴．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．（1）求证：l∥EF；（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AE﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）在平面PCD中，过E作EF∥CD，交PD于F，连结AF，则F即为平面ABE与棱PD的交点，在平面PCD中，过P作PG DC，连结CG、BG，则BG是平面PCD与平面PAB的交线l．∵EF∥CD，l∥CD，∴l∥EF．解：（2）取AD中点O，连结OP，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD ⊥平面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP 为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，4，0），设P（0，0，t），（t＞0），则=（﹣1，﹣4，t），∵PB与平面ABCD所成角的正弦值为，平面ABCD的法向量=（0，0，1），∴|cos＜＞|===，解得t=2，则P（0，0，2），C（﹣1，4，0），E（﹣），A（1，0，0），B（1，4，0），=（﹣，2，1），=（﹣1，0，2），=（0，4，0），设平面PAE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，1，1），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，0，3），设二面角P﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣AE﹣B的余弦值为．19．（12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．【解答】解：（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下；计算观测值K2==≈14.512＞10.828，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；（2）根据题意，X所有可能取值有0，1，2，3，P（X=0）=•=，P（X=1）=•+•=，P（X=2）=•+•=，P（X=3）=•=，所以X的分布列是所以X的期望值是EX=0×+1×+2×+3×=．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点在直线l：x﹣y﹣3=0上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线t经过点P（1，0），且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l0：x=x0（其中x0＞2）使得A，B到l0的距离d A，d B满足恒成立？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的焦点在直线l：x﹣y﹣3=0，∴右焦点F2（，0），即c=，设P（x0，y0），M（x1，y1），N（﹣x1，﹣y1）．则，，得到y 02=b2（1﹣），y12=b2（1﹣），∴k PM•k PN=•==﹣．即=，即a2=4b2，由a2﹣b2=c2=3，解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1），，整理得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），即有x1+x2=，x1x2=，存在直线l0：x=x0（其中x0＞2），使得A，B到l0的距离d A，d B满足：恒成立，∴=，即为2x1x2+2x0﹣（1+x0）（x1+x2）=0，即有+2x0﹣（1+x0）•=0，即为8k2﹣8+2x0（1+4k2）﹣8k2（1+x0）=0，∴2x0=8，解得x0=4＞2．故存在这样的直线l：x=4．21．（12分）已知函数f（x）=2a2lnx﹣x2，g（x）=﹣x2+2a3x+．（1）讨论函数f（x）在（1，e2）上零点的个数；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1•x2＞2e2．（参考数据：e取2.8，ln2取0.7，取1.4）【解答】（1）解：∵f（x）=2a2lnx﹣x2，∴f′（x）=．∵x＞0，a＞0，∴当0＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，a]上是增函数，在[a，+∞）上是减函数．∴f（x）max=f（a）=a2（2lna﹣1），讨论函数f（x）的零点情况如下．①a2（2lna﹣1）＜0，即0＜a＜时，函数f（x）无零点，在（1，e2）上也无零点；②当a2（2lna﹣1）=0，即a=时，函数f（x）在（0，+∞）内有唯一零点a，而1＜a＜e2，∴f（x）在（1，e2）内有一个零点；③当a2（2lna﹣1）＞0，即a＞时，由于f（1）=﹣1＜0，f（a）=a2（2lna﹣1）＞0．f（e2）=（2a﹣e2）（2a+e2），当2a﹣e2＜0时，即＜a＜时，1＜＜a＜＜e2，f（e2）＜0，由单调性可知，函数f（x）在（1，a）内有唯一零点x1、在（a，e2）内有唯一零点x2满足，∴f（x）在（1，e2）内有两个零点；当2a﹣e2≥0时，即a≥＞时，f（e2）≥0，而且f（）=a2﹣e＞0，f（1）=﹣1＜0，由单调性可知，无论a≥e2还是a＜e2，f（x）在（1，）内有唯一的一个零点，在[，e2）内没有零点，从而f（x）在（1，e2）内只有一个零点；综上所述，有：当0＜a＜时，函数f（x）无零点；当a=或a≥时，函数f（x）有一个零点；当＜a＜时，函数f（x）有两个零点．（2）证明：h（x）=f（x）﹣g（x）=2a2lnx﹣x2+x2﹣2a3x﹣=．由h（x）=0，得，由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记t=＞1，令F（t）=（t＞1），则F′（t）=＞0，∴F（t）=在（1，+∞）上单调递增，则F（t）=＞F（1）=0，∴lnt＞，则＞，∴=＞2，又＜lnx1x2==，∴＞2，即＞1，令G（x）=lnx﹣，则x＞0时，G′（x）=＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又ln﹣=ln2+1≈0.85＜1，∴G（）=＞1＞，则，即x 1•x2＞2e2．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l：x+y﹣2=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=1，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C2，又直线l与曲线C2交于A，B两点．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）设定点P（2，0），求的值．【解答】解：（1）曲线C1：ρ=1，即直角坐标方程：x2+y2=1．将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C2，可得与曲线C2的方程为：=1，化为：．（2）直线l的参数方程为：，代入曲线C2的方程为：3t2+4t﹣8=0．∴t1+t2=﹣，t1•t2=﹣．∴=+====．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c．（1）当a=b=c=1时，求不等式f（x）＞5的解集；（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求的最小值．【解答】解：（1）当a=b=c=1时，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x﹣1|+1＞5，化为：|x+1|+|x﹣1|＞4．①x≥1时，化为：x+1+x﹣1＞4，解得x＞2．②﹣1＜x＜1时，化为：x+1﹣（x﹣1）＞4，化为：0＞2，解得x∈∅．③x≤﹣1时，化为：﹣（x+1）﹣（x﹣1）＞4，化为：x＜﹣2．综上可得：不等式f（x）＞5的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）不妨设a≥b＞0．①x＞b时，f（x）=x+a+x﹣b+c=2x+a﹣b+c，②﹣a≤x≤b时，f（x）=a+x﹣（x﹣b）+c=a+b+c，③x＜﹣a时，f（x）=﹣（a+x）+b﹣x+c=﹣2x﹣a+b+c．可知：﹣a≤x≤b时，f（x）取得最小值a+b+c=5．∴=（a+b+c）≥×=，当且仅当a═b=c=时取等号．∴的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

【精品】2017年山西省晋中市祁县高考数学模拟试卷及参考答案(理科)(5月份)

2017年山西省晋中市祁县高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．[0，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）2．（5分）下面是关于复数z=2﹣i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z2=3﹣4i；p3：z 的共轭复数为﹣2+i；p4：z的虚部为﹣1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣4）=（）A．B．C．D．4．（5分）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）定义：，如，则=（）A．0 B．C．3 D．66．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）11的展开式中，x2的系数是（）A．55 B．66 C．165 D．2207．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B=（）A．15 B．29 C．31 D．638．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=，A=30°，B为锐角，那么角A：B：C的比值为（）A．1：1：3 B．1：2：3 C．1：3：2 D．1：4：19．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．10．（5分）已知A，B是半径为的球面上的两点，过AB作互相垂直的两个平面α、β，若α，β截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB的长度是（）A．B．2 C．D．411．（5分）P为双曲线右支上一动点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和圆（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．412．（5分）若关于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集为A，且（2，+∞）⊆A，则整数k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=的最大值是．14．（5分）已知，，则tanθ=．15．（5分）直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为．16．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）数列{a n}满足a n+5a n+1=36n+18，n∈N*，且a1=4．（1）写出{a n}的前3项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．18．（12分）某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：=，方程乙：=．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB=EC=2，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P（x0，y0）为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x+4y0y﹣12=0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．21．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）若b＞a＞1，，，，试判断A，B，C三者是否有确定的大小关系，并说明理由．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l：（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．2017年山西省晋中市祁县高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|y=ln（x+1）}，则A∩B=（）A．[0，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：集合A={x|y=}={x|x≥0}B={x|y=ln（x+1）}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．故选：A．2．（5分）下面是关于复数z=2﹣i的四个命题：p1：|z|=5；p2：z2=3﹣4i；p3：z 的共轭复数为﹣2+i；p4：z的虚部为﹣1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：∵z=2﹣i，∴p1：|z|=，p2：z2=（2﹣i）2=3﹣4i，p3：z的共轭复数为2+i，p4：z的虚部为﹣1．∴其中真命题为：p2，p4．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣4）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=f（2）=f（4）==．故选：A．4．（5分）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数，∴甲获胜的概率是P==．故选：D．5．（5分）定义：，如，则=（）A．0 B．C．3 D．6【解答】解：由定义=2xdx﹣1×3=x2|﹣3=4﹣1﹣3=0，故选：A6．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）11的展开式中，x2的系数是（）A．55 B．66 C．165 D．220【解答】解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）11的展开式中，x2的系数是C22+C32+C42+…+C112=C33+C32+C42+…+C112=C43+C42+…+C112=…=C123=220故选：D．7．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B=（）A．15 B．29 C．31 D．63【解答】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=3满足条件A＜5，执行循环体，B=7，A=2满足条件A＜5，执行循环体，B=15，A=3满足条件A＜5，执行循环体，B=31，A=4满足条件A＜5，执行循环体，B=63，A=5不满足条件A＜5，退出循环，输出B的值为63．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=，A=30°，B为锐角，那么角A：B：C的比值为（）A．1：1：3 B．1：2：3 C．1：3：2 D．1：4：1【解答】解：∵a=1，b=，A=30°，B为锐角，∴由正弦定理可得：sinB===，可得：B=60°，C=180°﹣A ﹣B=90°，∴A：B：C=30°：60°：90°=1：2：3．故选：B．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．【解答】解：由三视图可知；该几何体为三棱柱．该几何体的表面积S=2×4+22++×2=20+4．故选：A．10．（5分）已知A，B是半径为的球面上的两点，过AB作互相垂直的两个平面α、β，若α，β截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB的长度是（）A．B．2 C．D．4【解答】解：如图所示：设过AB作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆O1，O2，半径分别为r1，r2，球半径为R，则有，⇒又因为α，β截该球所得的两个截面的面积之和为16π，∴⇒∴，=2×．∵OH2==8，∴AB=2故选：D11．（5分）P为双曲线右支上一动点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和圆（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．4【解答】解：圆（x+4）2+y2=4的圆心是（﹣4，0），圆（x﹣4）2+y2=1的圆心是（4，0），由双曲线定义知，连接P与左焦点F1与下半圆交于M点，PF2交上半圆于N点，显然PM﹣PN=（PF1+2）﹣（PF2﹣1）=2a+3=5是最大值．故选A．12．（5分）若关于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集为A，且（2，+∞）⊆A，则整数k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：关于x的不等式x（1+lnx）+2k＞kx的解集为A，且（2，+∞）⊆A，∴当x＞2时，x（1+lnx）＞k（x﹣2）恒成立，即k＜恒成立．令h（x）=，h′（x）=，x＞2．令φ（x）=x﹣4﹣2lnx，φ′（x）=1﹣＞0，∴φ（x）在（2，+∞）上单调递增，∵φ（8）=4﹣2ln8＜0，φ（9）=5﹣2ln9＞0，方程φ（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．则φ（x0）=x0﹣4﹣2lnx0=0，即x0﹣4=2lnx0．当x∈（8，x0）时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，h′（x）＞0．故h（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故h（x）的最小值为h（x0）===∈（4，）．∴整数k的最大值为4．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=的最大值是2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图则z=的几何意义为动点P到定点Q（﹣1，﹣1）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==2，故答案为：2．14．（5分）已知，，则tanθ=．【解答】解：∵已知，，∴1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=﹣，∴sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ==﹣，故答案为：﹣．15．（5分）直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为2．【解答】解：令f（x）=2x+1﹣x﹣lnx=x﹣lnx+1，则f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=2，∴|AB|的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是2．【解答】解：∵E在底面ABCD上的投影为AB中点，E′，C在底面ABCD上的投影为C点本身，F的投影在边AD上，G的投影在边BC上，如图：要使三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大，则F与D重合，G与B重合．则三棱锥E﹣FGC的正视图为等腰三角形EAB，底边长为2，底边上的高为2．∴面积S=．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）数列{a n}满足a n+5a n+1=36n+18，n∈N*，且a1=4．（1）写出{a n}的前3项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：（1）由a n+5a n=36n+18，n∈N*，且a1=4，+1可得a1+5a2=36+18=54，即有a2=10，由a2+5a3=72+18=90，可得a3=16，猜想a n=6n﹣2，n∈N*；（2）证明：①当n=1时，a1=4=6×1﹣2成立；②假设n=k，k∈N+时，猜想成立，即有a k=6k﹣2，=36k+18，及a k=6k﹣2，由a k+5a k+1即5a k=36k+18﹣6k+2=30k+20，+1得a k=6k+4=6（k+1）﹣2，即当n=k+1时猜想成立，+1由①②可知，a n=6n﹣2对一切正整数n均成立．18．（12分）某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：=，方程乙：=．（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）【解答】解：（1）①经计算，可得下表：②模型甲的残差平方和Q1=0.12+（﹣0.1）2+0.12=0.03，模型乙的残差平方和Q2=0.12=0.01，∴Q1＞Q2，模型乙的拟合效果更好；（2）若二次印刷8千册，则印刷厂获利为（5﹣1.7）×8000=26400（元），若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元）故印刷总成本为16640（元），设新需求量为X（千册），印刷厂利润为Y（元），则EX=8×0.8+10×0.2=8.4，故EY=5×1000×EX﹣16640=42000﹣16640=25360，故印刷8千册对印刷厂更有利．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB=EC=2，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则，又MG∥EC∥BF，∴MBFG是平行四边形，故MB∥FG．∵MB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，∴MB⊥平面ACC1A1，而BM∥FG，∴FG⊥平面ACC1A1，∵FG⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACC1A1．（Ⅱ）以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M﹣xyz，则A （1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，0，2），，，，，设平面ACF的一个法向量，则有即令y 1=1，则，设平面AEF的一个法向量，则有即令x 2=1，则，设二面角C﹣AF﹣E的平面角θ，则．∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P（x0，y0）为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x+4y0y﹣12=0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，4a=8，a=2，，b2+c2=a2=4，所以，c=1，或b=1，（经检验不合题意舍去），故椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当y0=0时，由，可得x0=±2，当x0=2，y0=0时，直线l的方程为x=2，直线l与曲线C有且只有一个交点（2，0）．当x0=﹣2，y0=0时，直线l的方程为x=﹣2，直线l与曲线C有且只有一个交点（﹣2，0）．当y0≠0时，直线l的方程为，联立方程组，消去y，得．①由点P（x0，y0）为曲线C上一点，得，可得．于是方程①可以化简为，解得x=x0，将x=x0代入方程可得y=y0，故直线l与曲线C有且有一个交点P（x0，y0），综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P（x0，y0）．21．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（Ⅰ）求实数m，n的值；（Ⅱ）若b＞a＞1，，，，试判断A，B，C三者是否有确定的大小关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）．由于所以m=1，n=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx．（i），而a≠b，故A＞B．（ii）=．设函数，x∈（0，+∞），则，．当x＞a时，g''（x）＞0，所以g'（x）在（a，+∞）上单调递增；又g'（x）＞g'（a）=0，因此g（x）在（a，+∞）上单调递增．又b＞a，所以g（b）＞g（a）=0，即A﹣C＞0，即A＞C．（iii）=．设，x∈（0，+∞）．则，有．当x＞a时，h''（x）＞0，所以h'（x）在（a，+∞）上单调递增，有h'（x）＞h'（a）=0．所以h（x）在（a，+∞）上单调递增．又b＞a，所以h（b）＞h（a）=0，即C﹣B＞0，故C＞B．综上可知：A＞C＞B．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l：（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标；（2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积．【解答】解：（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C的直角坐标方程为y2=x，其焦点为．（2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，则，①，即|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，②把①代入②得，∴sin2α=1，∵α是直线l的倾斜角，∴，∴l的普通方程为x=1，且|AB|=2，点F 到AB 的距离d=1﹣= ∴△FAB 的面积为S=|AB |×d==．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f （x ）=|x +2|+|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≤6的解集A ；（2）若m ，n ∈A ，试证：|m ﹣n |≤．【解答】（1）解：不等式|x +2|+|x ﹣2|≤6可以转化为或或，解得﹣3≤x ≤3，即不等式的解集A={x |﹣3≤x ≤3}．（2）证明：因为，又因为m ，n ∈A ，所以|m |≤3，|n |≤3，所以，当且仅当m=﹣n=±3时，等号成立，即，得证．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2020届山西省晋中市2017级高三下学期一模考试数学(理)试卷参考答案

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【数学】山西省晋中市2017届高考二模试卷(理)(解析版)

山西省晋中市2017届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．（5分）i是虚数单位，若复数z满足z i=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．（5分）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B．C．D．1﹣5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π7．（5分）执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．（5分）已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．24 B．8 C．12 D．1611．（5分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，] 12．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sin x+1}；③={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=log2x}其中是“垂直对点集”的序号是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．14．（5分）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．（5分）我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=2a n+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和S n=．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20．已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2ln x+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式＞mx﹣1恒成立，求实数m的取值范围．22．（14分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q 两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．C【解析】由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C2．C【解析】复数z满足z i=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．3．D【解析】由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．4．A【解析】由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．5．D【解析】f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D6．B【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．7．D【解析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．8．D【解析】由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选D．9．C【解析】不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点，=﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．10．A【解析】抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由，可得y2﹣y﹣4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，|y A﹣y B|=△AOB的面积为2，可得：×1×|y A﹣y B|=2，解得k2=，|AB|=×|y A﹣y B|=24．故选：A．11．B【解析】f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∉Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A=，x B=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．故选B．12．D【解析】由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sin x+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sin x+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sin x+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sin x+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．二、填空题13．120°【解析】∵==∴，∴（+）•（﹣）=﹣2||2，设的夹角为θcosθ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120°故答案为120°14．﹣x2=1【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m ≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．66【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．16．2n+2﹣4﹣【解析】∵a n+1=2a n+3n﹣1（n∈N*），a1=﹣1，∴a2=0．n≥2时，a n=2a n﹣1+3n﹣4，相减可得：a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1+3，化为：a n+1﹣a n+3=2（a n﹣a n﹣1+3），∴数列{a n﹣a n﹣1+3}为等比数列，首项为4，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+3=4×2n﹣2，∴a n﹣a n﹣1=2n﹣3．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1，=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴其前n项和S n=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵，所以（2c﹣b）•cos A=a•cos B由正弦定理，得（2sin C﹣sin B）•cos A=sin A•cos B．整理得2sin C•cos A﹣sin B•cos A=sin A•cos B．∴2sin C•cos A=sin（A+B）=sin C．在△ABC中，sin C≠0．∴，．（Ⅱ）由余弦定理，．∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．18．解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P0.1225 0.315 0.3425 0.18 0.04E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．19．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∴AB==2，∴tan．∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．20．解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．21．解：（1），令x=2，∴f'（2）=1+a+f'（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f'（2）），则y﹣（2ln2+2a﹣2f'（2））=f'（2）（x﹣2），代入（﹣4，2ln2）得：2ln2﹣2ln2﹣2a+2f'（2）=﹣6f'（2），∴，∴，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）恒成立，令，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，∵φ（1）=0，∴，∴在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0．22．解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为，∴2a=6，a=3，，c=1；b2=a2﹣c2=8，（II）△PF2Q的周长是定值，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．23．解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。

2019年山西省晋中市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2017年山西省晋中市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{2}2．在复平面中，复数+i4对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．1016．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．608．已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]9．若a=2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项10．在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．D．﹣11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12．已知函数f （x ）=e 2x ﹣ax 2+bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，若f （1）=0，f′（x ）是f （x ）的导函数，函数f′（x ）在区间（0，1）内有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．（e 2﹣3，e 2+1） B ．（e 2﹣3，+∞） C ．（﹣∞，2e 2+2）D ．（2e 2﹣6，2e 2+2）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i =2x i ﹣1（i=1，2，…，2017），则y 1，y 2，…y 2017的方差为．14．在平面内将点A （2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B ，则点B的坐标为．15．设二面角α﹣CD ﹣β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC=45°，则AB 与平面β所成角的大小为．16．非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ= ．三、解答题（本题共6题，70分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1=﹣4，S m =0，S m +2=14（m ≥2，且m ∈N*）．（1）求m 的值；（2）若数列{b n }满足=log a b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F ﹣ABED 的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上，点M 是在线段CF 上，且CM=CF ．（Ⅰ）证明：直线GM ∥平面DEF ；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．20．（12分）设M、N、T是椭圆+=1上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL 面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．21．（12分）已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a ＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求△OAB的面积最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．2017年山西省晋中市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以∁U B={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁U B={﹣3，﹣2，﹣1，0}故选：C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．2．在复平面中，复数+i4对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+i4=+1=+1=﹣i对应的点（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理=，得sinA＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理=，得a＞b，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件．故选：C【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．4．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sin（π﹣α）=，∴sinα=，又∵≤α≤π，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．101【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的K，S的值，观察规律，可得当K=99，S=2，满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，根据图中数据，计算体积即可．【解答】解：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图体积为=20；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体，利用三视图的数据求体积．8．已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】利用导数研究函数的单调性；正弦函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的单调性求解函数的求解函数单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的一个单调减区间为：[，]．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，三角函数的化简以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．9．若a=2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项【考点】二项式系数的性质．【分析】a=2（x+|x|）dx=+2=18．再利用通项公式即可得出．【解答】解：a=2（x+|x|）dx=+2=18．==（﹣1）则在的通项公式：T r+1r．（r=0，1，2，…，18）．只有r=0，6，12，18时x的幂指数是整数，因此x的幂指数不是整数的项共有19﹣4=15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，△ABF2的周长为24，利用双曲线的定义，可得=24﹣4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=24﹣4a，∴b2=a（6﹣a），∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，∴a=4.5时，y=a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b=，∴c=3，∴e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．12．已知函数f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞） C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用f（1）=0得出a，b的关系，根据f′（x）=0有两解可知y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．【解答】解：∵f（1）=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1，∴f（x）=e2x﹣ax2+（e2﹣a﹣1）x﹣1，∴f′（x）=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，令f′（x）=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2，∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，∴y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，作出y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象，如图所示：当a+1﹣e2≥2即a≥e2+1时，直线y=2ax与y=2e2x最多只有1个交点，不符合题意；∴a+1﹣e2＜2，即a＜e2+1，排除B，C，D．故选A．【点评】本题考查的知识点是函数零点与函数图象的关系，转化思想，分类说讨论思想，中档题．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为16．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，设数据x1，x2，…，x2017的平均数为，由方差公式可得=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，进而对于数据y i=2x i ﹣1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，…，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，对于数据y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），其平均数=（y1+y2+…+y2017）=[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]=2﹣1，其方差= [（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=16，故答案为：16．【点评】本题考查数据的方差计算，关键是掌握方差的计算公式．14．在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B，则点B的坐标为（﹣，）．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，由点A的坐标得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根据旋转的性质得到∠BOC=∠AOC+，OA=OB，利用两角和的正弦函数，余弦函数公式即可得到B点坐标．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴OA==，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，∵OA绕原点按逆时针方向旋转得OB，∴∠AOB=，OA=OB=，∴∠BOC=∠AOC+，∴sin∠BOC=sin（∠AOC+）=sin∠AOCcos+cos∠AOCsin=×（﹣）+×=，cos∠BOC=cos（∠AOC+）=cos∠AOCcos﹣sin∠AOCsin=×（﹣）﹣×=﹣，∴DB=OBsin ∠BOC=×=，OD=OBcos ∠BOC=×（﹣）=﹣，∴B 点坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，根据直角三角形的性质确定点的坐标．也考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．15．设二面角α﹣CD ﹣β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC=45°，则AB 与平面β所成角的大小为 30° ．【考点】直线与平面所成的角．【分析】先根据题意画出相应的图形，然后找出AB 与面β的所成角，在直角三角形ABD 中进行求解即可．【解答】解：根据题意先画出图形作AD ⊥β交面β于D ，由题意可知∠ABC=45°，∠ACD=45°，设AD=1，则CD=1，AC=，BC=，AB=2，而AD=1，三角形ABD 为直角三角形， ∴∠ABD=30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查了直线与平面所成角的度量，解题的关键是通过题意画出相应的图形，属于中档题．16．非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ=．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出．【解答】解： =||×λ||×cos=2，=λ22，向量组，，共有3种情况，即（，，），（），（），向量组，，共有3种情况，即（），（），（，），∴•+•+•所有可能值有2种情况，即++=（λ2+λ+1），3=，∵•+•+•所有可能值中的最小值为42，∴或．解得λ=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三、解答题（本题共6题，70分）17．（12分）（2017•晋中一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14（m≥2，且m∈N*）．（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足=log a b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（1）计算a m，a m+1+a m+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；（2）求出a n，b n，得出数列{（a n+6）•b n}的通项公式，利用错位相减法计算．【解答】解：（1）∵S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14，∴a m=S m﹣S m﹣1=4，a m+1+a m+2=S m+2﹣S m=14．设{a n}的公差为d，则2a m+3d=14，∴d=2．∵S m==0，∴a1=﹣a m=﹣4．∴a m=a1+（m﹣1）d=﹣4+2（m﹣1）=4，∴m=5．（2）由（1）可得a n=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6．∵=log a b n，即n﹣3=log a b n，∴b n=a n﹣3，∴（a n+6）•b n=2n•a n﹣3，设数列{（a n+6）•b n}的前n项和为T n，则T n=2•a﹣2+4•a﹣1+6•a0+8•a+…+2n•a n﹣3，①∴aT n=2•a﹣1+4•a0+6•a+8•a2+…+2n•a n﹣2，②①﹣②得：（1﹣a）T n=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2a n﹣3﹣2n•a n﹣2，=﹣2n•a n﹣2=﹣，∴T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．18．（12分）（2017•石家庄二模）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK=．又MF=，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2，=，∴FG=．即V F﹣ABCD又BC=EF=，∴EG=，即点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK=．又MF=，∴MF=GK且MF∥GK．四边形MFKG为平行四边形，∴GM∥FK，∴直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），M（）．，，．设平面ABM，ABF的法向量分别为，．由，则，取y=﹣，得，同理求得．∴cos＜＞=，∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017•石家庄二模）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知其概率及其分布列．（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由统计数据可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列为：…（4分）所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+=．…（8分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…（10分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=50万元．…（12分）【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•石家庄二模）设M、N、T是椭圆+=1上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL 面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则h1h2=，又即可得h1h2（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），根据面积之比得r即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）分①当直线MN垂直于x轴时，②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2）x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）．【解答】解：（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则h1h2=，…（2分）又两式相减得，即h1h2==﹣，…（…=×|r﹣3|•|y M﹣y N|（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s△MNL=|．由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|y M﹣y N|=|，得=5，r=4（舍去）或r=2．…（8分）即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；…（9分）②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2），则联立．⇒（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0．…（10分）x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）．综上所述，点K的轨迹方程为（x﹣1）2+=1（x＞0）．…（12分）【点评】本题考查了轨迹方程的求法，及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12分）（2017•石家庄二模）已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．【解答】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=（x＞﹣1），当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…（2分）当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+），增区间是（﹣1+，+∞）…（4分）（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）=（x﹣a），即y=x+mln（a+1）﹣，函数g（x）=在点（b，）处的切线方程为y﹣=（x﹣b），即y=x+．y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线所以=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0…（6分）由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解…（8分）令t（b）=2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1，t′（b）=﹣=，方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．所以t（b）min=t（（﹣1+）=m﹣mlnm﹣1．由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，只需m﹣mlnm﹣1=0…（10分）令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0为单减函数，且m=1时，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0，所以m=1时，关于b的方程2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．此时a=b=0，公切线方程为y=x…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和转化思想的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•石家庄二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求△OAB的面积最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据sin2β+cos2β=1消去β为参数可得曲线C的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，直线l的极坐标方程化为普通方程，曲线C与l只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，可得a的值．（Ⅱ）利用极坐标方程的几何意义求解即可．【解答】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为由直线l与圆C只有一个公共点，则可得解得：a=﹣3（舍）或a=1所以：a=1．（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）设A的极角为θ，B的极角为则：==∵cos=所以当时，取得最大值∴△OAB的面积最大值为．解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且由正弦定理得：，所以|AB=由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|则：≤×=．∴△OAB的面积最大值为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•晋中一模）设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，作出函数f（x）的图象；（2）求出函数的值域，即可求m的值，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=（1﹣x）+2x+1=x+2；当﹣＜x＜1时，f（x）=（1﹣x）﹣2x﹣1=﹣3x：当x≥1时，f（x）=（x﹣1）﹣2x﹣1=﹣x﹣2，函数f（x）的图象，如图所示；（2）由题意，当x=﹣时，f（x）取得最大值m=1.5，∴a2+2c2+3b2=1.5，∴ab+2bc≤（a2+2c2+3b2）=，即ab+2bc的最大值为．【点评】本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

山西省晋中市高2020届高2017级高三下学期一模考试普通招生考试模拟理科数学试题及参考答案解析

2020年普通高等学校招生统一模拟考试理科数学(本试卷考试时间120分钟,满分150分)★祝考试顺利★注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =(其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高). 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|20A x x x =+-,{|}B x y x ==,则()R A B =( )A.[0,2)B.(1,)+∞C.[0,1)D.(2,1)-【参考答案】C 【试题解析】求解一元二次不等式解得集合A ,求解y x =B ,再求集合交和补运算,则问题得解.【详细解答】因为集合{}2|20{|2A x x x x x =+-=-或1}x ,{|21}RA x x =-<<,集合{|}{|0}B x y x x x ===,所以()[0,1)RA B =.故选：C .本题考查一元二次不等式的求解,集合的交运算和补运算,属综合基础题. 2.若复数12aii-+(a R ∈,i 为虚数单位)是纯虚数,则a 的值为( ) A.12-B.0C.1D.2【试题解析】利用复数的混合运算化简12aii-+,令其实部为零,虚部不为零,即可求得结果. 【详细解答】因为1(1)(2)2(12)2(2)(2)5ai ai i a a ii i i -----+==++-, 由题意知20,5120,5a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩解得2a =. 故选：D .本题考查复数的混合运算,涉及由复数的类型求参数值,属综合基础题. 3.若||2a =,1b ||=,且(4)a a b ⊥-,则向量,a b 的夹角为( ) A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【参考答案】B 【试题解析】由向量垂直则数量积为零,求得1a b ⋅=,再根据夹角公式求得结果. 【详细解答】根据题意,由于向量||2a =,1b ||=,且(4)a a b ⊥-,2(4)040a a b a a b ∴⋅-=⇔-⋅=,1a b ∴⋅=,故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅,又向量夹角的范围为[]0,π,故可知向量,a b 的夹角为60︒. 故选：B .本题考查向量垂直的转化,以及由数量积求向量的夹角,属综合基础题. 4.若x y >,则下列不等式恒成立的是( )A.11x y< B.tan tan x y > C.ln()0x y ->D.1133x y >【试题解析】根据不等式性质,正切函数、幂函数、对数函数的性质,结合特值,进行判断即可. 【详细解答】若0x y >>,则11x y>,所以A 错误；若x y >,取34x π=,4y π=,tan tan x y <,所以B 错误；对于C 选项,由于对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增,x y >,当01x y <-<时,ln()ln10x y -<=,C 选项中的不等式不恒成立,故C 错误；若x y >,且幂函数13y x =在(,)-∞+∞上单调递增,所以1133x y >,所以D 正确. 故选：D .本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性,以及不等式的性质,属综合基础题. 5.给定下列四个命题,其中真命题是( ) A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【参考答案】D 【试题解析】根据空间中直线与直线、平面与平面,直线与平面的位置关系,结合判定定理和性质定理,对选项进行逐一分析即可判断.【详细解答】正方体同一顶点的三条棱两两垂直,则垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A 错误；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 两直线可以相交,也可以成为异面直线,故B 错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面,这两个平面不平行,C 错误对D ：利用反证法简单证明如下：若两个平面,αβ垂直,假设一个平面α内与它们的交线l 不垂直的直线1l 与另一个平面β垂直. 因为1l β⊥,且平面,αβ的交线l β⊂,故可得1l l ⊥,这与题设l 与1l 不垂直相互矛盾,故假设不成立,原命题成立. 即D 选项正确. 故选：D .本题考查空间中直线与直线、平面与平面,直线与平面的位置关系,属综合基础题.6.已知抛物线的焦点在y 轴上,顶点在坐标原点O ,且经过点()0,2P x ,若点P 到该抛物线焦点的距离为3,则||OP 等于( )A.B. C.4D.【参考答案】B 【试题解析】根据抛物线的定义,求得p ,再结合抛物线方程,求得点P 的坐标,利用两点之间的距离公式,即可求得结果.【详细解答】因为抛物线过点()0,2P x ,故可得该抛物线开口向上, 设其方程为22,(0)x py p =>, 由抛物线定义知,232p+=,所以2p =, 则抛物线方程为24x y =,因为点()0,2P x 在此抛物线上,所以208x =,于是||OP ==故选：B .本题考查抛物线的定义,以及抛物线上一点坐标的求解,属基础题. 7.已知函数21()sin (0)2f x x ωω=->的最小正周期为π,若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位,所得图象关于3x π=对称,则实数a 的最小值为( )A.4π B.3π C.34π D.π【参考答案】B 【试题解析】利用降幂扩角公式化简()f x ,再根据其周期求得ω,结合图象的左右平移求得平移后的解析式,利用3x π=是函数的对称轴,求得关于a 的方程,即可求得a 的最小值.【详细解答】容易知211()sin cos222f x x x ωω=-=-又其周期为22ππω=,可得1ω=,故1()cos 22f x x =-. 将其图象向右平移a 个单位可得1cos[2()]2y x a =--的图象,根据其图象关于3x π=对称,可得223a k ππ-=,k Z ∈, 则32k a ππ=-,k Z ∈,又0a >, 故当0k =时,a 取得最小正值为3π. 所以实数a 的最小值为3π. 故选：B .本题考查降幂扩角公式的应用,求函数图像平移后的解析式,以及余弦型三角函数的性质,属综合中档题.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20,80)mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ,若在停止喝酒后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,要想安全驾驶,那么他至少经过( ) A.2小时 B.4小时 C.6小时D.8小时【参考答案】C 【试题解析】列出函数模型()16010.3ny =-,根据题意,列出不等式,求解即可.【详细解答】因为1.6100160⨯=,故喝酒后驾驶员100mL 血液中酒精含量为160mg . 不妨设喝酒后经过的时间为n ,n 小时后100mL 血液中酒精含量为y , 故可得()16010.3ny =-.根据题意,若想安全驾驶,则20y <, 即可得160(10.3)20n⨯-<, 即10.78n<, 因为210.70.492=<,又31182⎛⎫= ⎪⎝⎭,610.78<,510.78>,根据选项可知,n 取整数, 所以6n , 故选：C .本题考查指数函数模型的应用,解决问题的关键是要建立正确的函数模型,属中档题. 9.已知a 为正整数,tan 1lg a α=+,tan lg a β=,且4αβπ=+,则当函数()sin ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时,θ=( )A.2π B.23π C.56π D.43π 【参考答案】C 【试题解析】利用正切的差角公式,结合已知条件求得参数a ；再利用辅助角公式化简()f x ,根据其最值,求得 θ即可. 【详细解答】由条件知4αβ-=π,则由tan()1αβ-=, 得tan tan (1lg )lg tan()11tan tan 1(1lg )lg a aa aαβαβαβ-+--===+++,即(1lg )lg 0a a +=, 解得1a =或110a =(舍去),则()sin 2sin 3f x πθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.因为[0,]θπ∈, 所以2,333πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 则当32ππθ-=,即56πθ=时, 函数()f x 取得最大值, 故选：C .本题考查正切的差角公式的应用,对数运算,以及三角恒等变换,涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解,属综合中档题.10.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示,总体的中位数为12,若要使该总体的标准差最小,则42x y +的值是( )A.12B.14C.16D.18【参考答案】A 【试题解析】由题,中位数为12,求得4x y +=,再求得平均数,利用总体标准差最小和基本不等式求得x,y 的值,即可求得答案.【详细解答】由题,因为中位数为12,所以242x yx y +=∴+= 数据的平均数为：1(22342019192021)11.410x y ++++++++++= 要使该总体的标准最小,即方差最小,所以222222.8(1011.4)(1011.4)( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y x y +-+-++-=-+-≥= 当且紧当 1.4 1.4x y -=-,取等号,即2x y ==时,总体标准差最小此时4212x y += 故选A本题考查了茎叶图,熟悉茎叶图,清楚中位数、标准差的求法是解题的关键,属于中档题型.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆222:O x y b +=相交于,,,A B C D 四点,如图所示,点F 是双曲线C 的左焦点,且||3||AF CF =,则双曲线C 的离心率为( )A.2B.3C.2D.5【参考答案】B 【试题解析】设双曲线的右焦点为2F ,连接22,,AF CF AC ,由四边形是平行四边形,结合双曲线的定义,即可求得90ACF ∠=︒,再在ACF 中,由勾股定理,即可求得,a b 等量关系,结合离心率的求解公式,则问题得解.【详细解答】设双曲线的右焦点为2F ,连接22,,AF CF AC ,作图如下：根据对称性知2AFCF 是平行四边形,所以有2||AF CF =, 又点A 在双曲线上,所以2||2AF AF a -=,因为||3||AF CF =,所以2||3||||2||2AF AF CF CF CF a -=-==, 即||CF a =,而在三角形OFC 中,||FC a =,||OC b =,||OF c =, 所以三角形OFC 为直角三角形,且90OCF ︒∠=.在三角形AFC 中,||3AF a =,||CF a =,||2AC b =,90ACF ︒∠=, 所以22294a a b =+,即222a b =,所以双曲线的离心率e ==故选：B .本题考查双曲线离心率的求解,本题的难点在于求得,a b 的等量关系,属中档题.12.函数()21f x x =-,2()24g x x x =-+,若存在12,,,[1,5)n x x x ∈,其中*n N ∈且2n ,使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++,则n 的最大值为( )A.8B.9C.10D.11【参考答案】C 【试题解析】构造函数2()()()45h x g x f x x x =-=-+,将问题转化为()()()12n h x h x h x =+++ ()1n h x -,有根,结合()h x 的值域,将问题进一步转化为根据集合之间的关系,求参数范围即可. 【详细解答】令2()()()45h x g x f x x x =-=-+, 则()()()()121n n f x f x f x g x -++++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++()()n n g x f x ⇔- ()()()()()()112211n n g x f x g x f x g x f x --=-+-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()12n h x h x h x ⇔=+++ ()1n h x -,因为12,,,[1,5)n x x x ∈,容易知二次函数()245h x x x =-+对称轴为2x =,所以()[1,10)h x ∈, 即()110n h x <, 所以()()()121110(1)n n h x h x h x n --+++<-, 由()()()()121n n h x h x h x h x -=+++知,集合[1,10)[1,10(1))n n --≠∅.因为*n N ∈且2n , 所以11n -,10(1)10n -,所以1110n -<,即211n <,又*n N ∈. 所以n 的最大值为10. 故选：C .本题考查由集合之间的关系求参数范围,函数思想的应用,涉及二次函数值域的求解,属综合压轴题. 二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75,在一次罚篮训练中连续投篮50次,X 表示投进的次数,则()E X =_______.【参考答案】37.5 【试题解析】根据题意,X 服从二项分布,根据二项分布数学期望的计算公式即可容易求得结果. 【详细解答】根据题意可知：X 满足二项分布,即可()~50,0.75X B , 故()500.7537.5E X =⨯=. 故答案为：37.5.本题考查二项分布数学期望的求解,属基础题.14.已知函数()f x 是奇函数,当0x >时,()log (1)a f x x =-(0a >且1a ≠),且()0.5log 162f =-,则a =______.【试题解析】利用函数奇偶性,结合已知函数值和函数解析式,利用对数运算,即可求得结果. 【详细解答】因为0.5log 1640=-<,且()f x 为奇函数, 故可得()0.5log 162f =-()()44f f =-=-, 则()42f =；又当0x >时,()log (1)a f x x =-故可得()4log 32a f ==, 即23a =,故可得3a =或3a =-(舍).即3a =.故答案为：3.本题考查利用函数奇偶性求参数值,涉及对数运算,属综合基础题.15.现有一副斜边长为10的直角三角板,将它们斜边AB 重合,若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -,如图所示,已知6DAB π∠=,4BAC π∠=,则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______.【参考答案】 (1).100π (2).12536【试题解析】(1)容易知AB 中点为外接球球心,则AB 为外接球直径,从而求得半径,利用表面积公式,即可求得结果； (2)体积最大时,即平面ABC ⊥平面ABD ,求得点C 到平面ABD 距离,利用棱锥体积公式即可求得结果. 【详细解答】(1)因为90ADB ACB ︒∠=∠=,10AB =, 且6DAB π∠=,4BAC π∠=,所以53AD =5BD =,52AC BC ==因为90ADB ACB ︒∠=∠=,所以三棱锥A BCD -的外接球的直径为AB , 所以球的半径5R =,故球的表面积为24S R π==100π.(2)当点C 到平面ABD 距离最大时三棱锥A BCD -的体积最大, 此时平面ABC ⊥平面ABD ,过点C 作CH AB ⊥,因为CH ⊂平面ACB ,平面ABC ⊥平面ABD ,且交于AB , 故可得CH ⊥平面ABD , 则点C 到平面ABD 的距离为CH , 又在RtABC 中,(22510AC CB CH AB⨯===,所以11112535355332A BCD C ABD ABD V V S CH --==⋅=⨯⨯⨯=故答案为：100π；12536. 本题考查三棱锥外接球表面积的求解,以及棱锥体积的求解,涉及面面垂直推证线面垂直,属综合中档题. 16.在ABC 中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且sin 2sin 0a B b A +=,若ABC 的面积3S b =,则ABC 面积的最小值为______.【参考答案】123【试题解析】利用正弦的倍角公式,结合正弦定理将边化角,即可求得B ,结合面积公式,求得,,a b c 等量关系；再由余弦定理,以及基本不等式求得ac 的最小值,即可求得面积的最小值. 【详细解答】由sin 2sin 0a B b A +=,得2sin cos sin 0a B B b A +=, 由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=,所以1cos 2B =-,23B π=,则1sin 2S ac B ===, 所以4ac b =,由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++,即21()316ac ac , 所以48ac ,当且仅当a c =时等号成立,故1234S =,所以ABC 面积的最小值为故答案为：本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化,涉及余弦定理,面积公式,以及基本不等式求最值,属综合压轴题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.2020年新年伊始,新型冠状病毒来势汹汹,疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校,教育部就此提出了线上教学和远程教学,停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学,某地学校为了加强学生爱国教育,拟开设国学课,为了了解学生喜欢国学是否与性别有关,该学校对100名学生进行了问卷调查,得到如下列联表：(1)请将上述列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？(2)针对问卷调查的100名学生,学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中女生人数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据：2.07222()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.【参考答案】(1)列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系.(2)分布列见解析；4()3E X = 【试题解析】(1)根据总数为100,结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式,求得2K 的观测值,结合参考数据,即可容易判断；(2)求得分层抽样的抽样比,计算出6人中男生和女生人数,利用概率计算公式即可求得分布列,结合分布列求得()E X .【详细解答】(1)补充完整的列联表如下：计算得22100(20104030)16.6710.82860405050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系. (2)喜欢国学的共60人,按分层抽样抽取6人,则每人被抽到的概率均为110, 从而需抽取男生2人,女生4人, 故X 的所有可能取值为0,1,2.22261(0)15C P X C ===,1142268(1)15C C P X C ===,242662(2)155C P X C ====,故X的分布列为：X12P11581525数学期望1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. 本题考查2K 的计算,离散型随机变量的分布列和数学期望,涉及分层抽样,属综合中档题. 18.已知三棱锥P ABC -中,ABC 为等腰直角三角形,90BAC ︒∠=,PB ⊥平面ABC ,且PB AB =,//EC PB 且12EC PB =,,D F 分别为,PA BC 的中点.(1)求证：直线//DE 平面ABC ； (2)求锐二面角P AE F --的余弦值. 【参考答案】(1)证明见解析；6【试题解析】(1)设AB 的中点为G ,连接,DG CG ,通过证明四边形DGCE 为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行；(2)以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求得两个平面的法向量,由法向量的夹角与二面角平面角的关系,即可容易求得结果.【详细解答】(1)设AB 的中点为G ,连接,DG CG ,则//DG PB ,12DG PB =, 又//EC PB 且12EC PB =, //EC DG ∴且EC DG =, ∴四边形DGCE 为平行四边形,//DE GC ∴,又DE ⊄平面ABC ,GC ⊂平面ABC ,//DE ∴平面ABC .即证.(2)因为AB AC ⊥,且PB ⊥平面ABC , 又,AB AC ⊂平面ABC , 故可得,PB AB PB AC ⊥⊥,故以A 为坐标原点,,,AB AC 分别为,x y 轴建立空间直角坐标系A xyz - 如下图所示：令4AB PB ==,则(0,0,0)A ,(0,4,2)E ,(2,2,0)F ,(4,0,0)B ,(4,0,4)P ,(2,0,2)D ,(2,2,4)PF =--,(2,2,2)EF =--,(2,2,0)AF =,0PF EF ∴⋅=,0PF AF ⋅=,PF EF ∴⊥,PF AF ⊥. AFEF F =,PF ∴⊥平面AEF ,∴平面AFF 的一个法向量为(2,2,4)PF =--.设平面PAE 的一个法向量为(,,)n x y z =,则由0n AE n AP ⋅=⋅=,即20,0,y z x z +=⎧⎨+=⎩令2x =,则2z =-,1y =,(2,1,2)n ∴=-,6cos ,||||n PF n PF n PF ⋅∴〈〉==,由图知二面角P AE F --为锐角,∴二面角P AE F --本题考查由线线平行推证线面平行,用向量法求二面角的余弦值,属综合中档题. 19.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,59a =,525S =. (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)设(1)nn n b S =-,求{}n b 前n 项和n T .【参考答案】(1)21n a n =-,2n S n =；(2)(1)(1)2nn n n T +=- 【试题解析】(1)利用等差数列的基本量,列方程即可求得首项和公差,再利用公式求通项公式和前n 项和即可； (2)根据(1)中所求即可求得n b ,对n 分类讨论,结合等差数列的前n 项和公式,即可容易求得结果. 【详细解答】(1)由53525S a ==得35a =. 又因为59a =,所以5322a a d -==, 则311245a a d a =+=+=,解得11a =；故21n a n =-,2(121)2n n n S n +-==.(2)2(1)nn b n =-.当n 为偶数时：()()()12341n n n T b b b b b b -=++++++()()2222221234(1)n n ⎡⎤=-++-+++--+⎣⎦(21)(21)(43)(43)[(1)][(1)]n n n n =-⨯++-⨯+++--⨯+-123(1)n n =++++-+(1)2n n +=. 当n 为奇数时：()()()123421n n n n T b b b b b b b --=+++++++()()22222221234(2)(1)n n n ⎡⎤=-++-++--+--⎣⎦2(21)(21)(43)(43)[(1)(2)][(1)(2)]n n n n n =-⨯++-⨯+++---⨯-+--2123(2)(1)n n n =++++-+--(1)2n n +=-. 综上得(1)(1)2nn n n T +=-. 本题考查数列通项公式和前n 项和基本量的求解,涉及并项求和,属综合中档题.20.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>长轴长为4,右焦点F 到左顶点的距离为3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过原点O 的直线交椭圆于,A B 两点(,A B 不在坐标轴上),连接AF 并延长交椭圆于点C ,若OD OA OC =+,求四边形ABCD 面积的最大值.【参考答案】(1)22143x y +=；(2)92 【试题解析】(1)根据题意,列出,,a b c 的方程组,求解即可求得结果；(2)设出直线AC 方程,联立椭圆方程,结合韦达定理,用参数表示AOC 的面积；根据向量关系,求得3ABCD AOCS S=,再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.【详细解答】(1)由题意可得2,2,331a aba c c⎧==⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩,所以椭圆方程为22143x y+=.(2)由(1)知(1,0)F,设直线AC的方程为1x my=+,联立221,1,43x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my++-=.设()11,A x y,()22,C x y,则122634my ym+=-+,122934y ym=-+.因为OD OA OC=+,故可得四边形AOCD为平行四边形,则2AOCD AOCS S=,又AOC BOCS S=,故()22121212213181 33||42234 ABCD AOCm S S OF y y y y y ym+ ==⨯⨯⨯-=+-=+. 设21t m=+,1t,则218181313ABCDtSt tt==++,令13y tt=+,故可得213yt'=-,当1t≥时,0y'>恒成立,故13y tt=+在[)1,+∞单调递增,故218181313ABCD t S t t t==++在[1,)t ∈+∞上单调递减,所以当1t =,即0m =时, 四边形ABCD 的面积取得最大值92. 本题考查椭圆方程的求解,椭圆中四边形面积的最值的求解,属综合中档题. 21.已知函数ln 1()a x a f x x+-=.(1)求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)(i )若()1xf x x -恒成立,求a 的取值范围；(i i )当1a =时,证明(2)(3)()13232224f f f n n n n ++⋯+<+-+. 【参考答案】(1)2y x a =+-；(2)(i )[0,1]a ∈；(i i )证明见解析. 【试题解析】(1)对函数求导,求得()()1,1f f ',利用导数的几何意义,即可求得切线方程；(2)(i )将问题转化为()0h x alnx x a =-+≤恒成立,对参数a 进行分类讨论,根据函数单调性,即可容易求参数的范围；(i i )当1a =时,2()ln f n nn n =；结合(i )中所求,可得22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,再利用不等式进行适度放缩,结合裂项求和,即可容易证明. 【详细解答】(1)因为ln 1()a x a f x x+-=,故可得22ln 11ln ()(0)a a x a a xf x x x x'--+-==>, (1)1f a =-,(1)1f '=,所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y a x --=-, 即2y x a =+-.(2)(i )因为()1xf x x -恒成立,ln 11a x a x +--恒成立,即ln 0a x x a -+≤恒成立.令()ln h x a x x a =-+,则()1(0)a a x h x x x x'-=-=>, ①当0a =时,()0h x x =-<,所以0a =满足；②当0a <时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞上单调递减,因为0x →时,()h x →+∞,所以0a <不满足；③当0a >时,(0,)x a ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增；(,)x a ∈+∞时,()0h x '<,()h x 单调递减；max ()()ln 0h x h a a a ==,解得01a <≤.所以a 的取值范围为[0,1]a ∈.(i i )1a =时,()lnx f x x =,所以2()ln f n n n n=. 由(i )知：()1xf x x -,即ln 1x x -,所以ln 11x x x -. 令2x n =,得222ln 11n n n -,即22ln 121n n n -,所以22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭. 222(2)(3)()ln 2ln 3ln 2323f f f n n n n ++⋯+=++⋯+ 22211111111[(1)2232n n ⎛⎫≤-+-++-=-- ⎪⎝⎭22211123n ⎤⎛⎫+++ ⎪⎥⎝⎭⎦1111(1)22334(1)n n n ⎡⎤⎛⎫<--+++⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦ 11111(1)22334n ⎡⎛=---+- ⎢⎝⎣111n n ⎤⎫++-⎪⎥+⎭⎦ 11113(1)2212224n n n n ⎡⎤⎛⎫=---=+- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 即证.本题考查利用导数几何意义求切线方程,由恒成立问题求参数范围,利用导数证明不等式,涉及不等式放缩以及裂项求和求数列的前n 项和,属压轴题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为6πθ=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)已知曲线3C 的极坐标方程为4cos ρθ=,点A 是曲线2C 与1C 的交点,点B 是曲线3C 与2C 的交点,且,A B 均异于极点O ,求||AB 的值.【参考答案】(1)22(2)4x y +-=；(0)y x =；(2)2- 【试题解析】(1)利用22sin cos 1ϕϕ+=,消参即可求得1C 的普通方程；利用y tan xθ=,即可求得曲线2C 的直角坐标方程；(2)联立12,C C 以及23,C C 的极坐标方程,即可容易求得,A B 两点在极坐标系下的坐标,再求两点之间的距离即可.【详细解答】(1)曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数). 转换为普通方程为22(2)4x y +-=.曲线2C 的极坐标方程为6πθ=.转换为直角坐标方程为：(0)y x =. (2)曲线1C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数). 转换为极坐标方程为：4sin ρθ=.联立4cos ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩与4sin ,,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：A ρ=,2B ρ=.整理得12||2AB ρρ=-=.本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化,以及利用极坐标求两点之间的距离,属综合基础题.【选修4—5：不等式选讲】23.已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-.(1)若存在x 使得不等式()31f x a -成立,求实数a 的取值范围；(2)若()|3|f x x +的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求a 的取值范围.【参考答案】(1)[1,)+∞；(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【试题解析】(1)利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值,再解绝对值不等式即可；(2)当x ∈1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时,将问题转化为max min (2)(2)x a x -+恒成立,即可容易求得参数的范围.【详细解答】(1)对x ∈R ,()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+,当且仅当(1)()0x x a +-时,等号成立,故原条件等价于|1|31a a +-,即31131a a a -++-,解得1a ,故实数a 的取值范围是[1,)+∞.(2)当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+,所以||2x a -≤,即22x a --,则22x a x -+,又()|3|f x x +的解集包含1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,所以()|3|f x x +在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立, 所以当1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,max min (2)(2)x a x -+,因为max (2)0x -=,min 3(2)2x +=,因此a 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值,绝对值不等式的求解,属综合中档题.。

山西晋中2017届高三下学期第二次模拟考试(理科)数学试卷(含答案)

2017届高三模拟考试（理科）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}1A x y lg x ==+，}2{B x x =<，则A B ⋂= （） A ．()2,0- B ．()0,2 C. ()1,2- D ．()2,1--2．i 是虚数单位，若复数z 满足zi=﹣1+i ，则复数z 的实部与虚部的和是（） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则()()135810336a a a a a a ++++=，则11S =（） A ． 66 B ．55 C.44 D ．334．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A ．1﹣B ．C ．D ．1﹣5.函数()cos xf x x=的图像大致为（）A ．B ． C. D ．6. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．πC ．πD ．20π7. 执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。

若输入的[],t m n ∈，则实数n m -的最大值为（）A ．1B ．2 C.3 D ．48. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．61π+ B．(2414π+C. (23142π+ D．(2314π++()1:,,10P x y D x y ∀∈++≥其中真命题的是（）A ．12,P PB ．23,P P C.24,P P D ．34,P P10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为，则AB =（） A ．6 B ．8 C. 12 D ．1611. 已知函数()()0f x sinwx w >=，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数w 的取值范围为（）A ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知集合M={（x ，y ）|y=f （x ）}，若对于任意实数对（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①M={（x ，y ）|y=}；②M={（x ，y ）|y=sinx +1}； ③={（x ，y ）|y=2x ﹣2}； ④M={（x ，y ）|y=log 2x }其中是“垂直对点集”的序号是（）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．14. 已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为．()2:,,220P x y D x y ∀∈-+≤()224:,,2P x y D x y ∃∈+≤15.我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．16.已知数列中，，则其前项和．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 17．（12分）（2017•长沙模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。

山西省晋中市2017届高三模拟考试数学（文）试题Word版含答案（5）

⼭西省晋中市2017届⾼三模拟考试数学（⽂）试题Word 版含答案（5）⼭西省晋中市2017届⾼三模拟考试试题数学（⽂科）【满分150分，考试时间为120分钟】⼀、选择题(5×12＝60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，请将正确选项⽤2B 铅笔涂⿊答题纸上对应题⽬的答案标号)1. 设全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,1=A ,集合{}4,3=B ,则()U C A B ?= A.{}4 B {}4,3. C. {}4,3,2 D. {}5,4,3,,12.已知复数z 满⾜ii z -+-=111，则z 的虚部为 A.i 21- B. 21- C. i 21D.213. 在△ABC 中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则C cos 的值是A. 2-B. 12C.2D. 12-4. 已知⾮零向量b a ,满⾜0)(,1||,2||=?+==b b a b a ，则与的夹⾓为 A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 实轴长为2，且经过点)3,2(，则双曲线的渐近线⽅程为A. x y 23±= B. x y 23±= C. x y 3±= D. x y 3±=6．执⾏如图所⽰的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是A. ]72,56(B. ]90,72(C. ]110,90(D. )90,56(7. 如图是⼀个⼏何体的三视图，其中正视图与侧视图都是两底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该⼏何体的侧⾯积为A. 6πB. 12πC. 18πD. 24π8．将函数)2sin()(θ+=x x f 的图象向右平移)0(>??个单位长度得到函数)(x g 的图象，若)(x f 与)(x g 的图象的对称轴重合，则?的值可以是 A.4πB.43π C.2π D. 6π 9. 已知变量,x y 满⾜不等式组21022020x y x y x y +-≥??+-≤??-+≥?，则82x yz =?的最⼩值为A.14B.12C. 3D. 410. 已知定义域为]12,1[+-a a 的奇函数x x b x x f +-+=23)1()(，则(2)()0f x b f x -+≥的解集为A. ]3,1[B. ]2,31[C. ]2,1[D. ]1,31[11. 在直⾓坐标平⾯内，过定点P 的直线01:=-+y ax l 与过定点Q 的直线03:=+-ay x m 相交于点M ，则22MQ MP +的值为A.210 B. 10 C. 5 D. 1012. 定义在R 上的函数)(x f 满⾜)()2(x f x f =+，当]1,1(-∈x 时，2)(x x f =，?≤>-=1,21),1(log )(3x x x x g x，那么函数)()()(x g x f x h -=在区间[－5，5]上零点的个数为A. 9B. 8C. 7D. 6⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13. 已知边长为3的正三⾓形ABC 三个顶点都在球O 的表⾯上，且球⼼O 到平⾯ABC 的距离为该球半径的⼀半，则球O 的表⾯积为 .14. 某珠宝店丢了⼀件珍贵珠宝，以下四⼈中只有⼀⼈说真话，只有⼀⼈偷了珠宝.甲说：我没有偷；⼄说：丙是⼩偷；丙说：丁是⼩偷；丁说：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝⼈是 .15. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上存在⼀点P 满⾜线段1PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段1PF 的中点，则该椭圆的离⼼率为_____________. 16. 在△ABC 中，3,3==AC B π，D 为线段BC 上⼀点，若AD AB =，则△ADC 的周长的取值范围是 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，满分70分. 解答须写出⽂字说明、证明过程和演算步骤） 17. （本⼩题满分12分）已知等差数列{}n a 中的公差是d ，且{})3,2,1(5,4,3,2,1,0=--∈),(n n b n B 在函数x a x g 2)(?=的图象上运动，其中a 是与x ⽆关的常数（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （本⼩题满分12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -，底⾯ABCD 为平⾏四边形，且1==AD AB ，261=AA ,060=∠ABC . （1）求证：1BD AC ⊥. （2）求四⾯体C AB D 11-的体积.19.（本⼩题满分12分）对某产品1⾄6⽉份销售量及其价格进⾏调查，其售价和销售量之间的⼀组数据如下表所⽰：（1）根据1⾄5⽉份的数据，求出y 关于x 的回归直线⽅程；（2）根据（1）的回归⽅程计算6⽉份的残差估计值；（3）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收⼊-成本）（参考公式：1221,ni ii ni i x y nx yba y bx x nx==-==--∑∑）（参考数据：5.502,39251251==∑∑==i i i i i x y x ）20. （本⼩题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点)2,1(A 为抛物线上⼀点（1）求抛物线C 的⽅程；（2）若点)2,1(-B 也在C 上，过B 作C 的两条弦BP 与BQ ，若直线BP 与直线BQ 的斜率之积为2-，求证：直线PQ 过定点.21. （本⼩题满分12分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=.（1）若)(x f 在)21,0(上是减函数，求a 的取值范围;（2）函数)(x f 是否既有极⼤值⼜有极⼩值？若有，求a 的取值范围；若没有，请说明理由.[来源:/doc/0f3148cb760bf78a6529647d27284b73f2423614.html ]请考⽣在第22、23两题中任选⼀题做答，如果多做，则按所做的第⼀题记分. 22. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程选讲在直⾓坐标系xOy 中，曲线1C 的参数⽅程为==ααsin cos 3y x （α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为sin()4πρθ+=（1）求曲线1C 的普通⽅程与曲线2C 的直⾓坐标⽅程.（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最⼩值，并求此时点P 坐标.23. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数22)(b x a x x f -++=，其中b a ,均为实数.（1）若022222=++-+b a b a ，解关于x 的不等式3)(≥x f （2）若4=+b a ，证明：8)(≥x f⼭西省晋中市2017届⾼三模拟考试试题数学（⽂科）答案⼀、选择题 1-5 CBCCD 6-10 BBC AD 11-12 DB⼆、填空题 13．316π14. 甲 15.3516. ]32,32(+ 三、简答题17. 解：（1）因为等差数列{}n a 中的公差是0所以321a a a >>，且3122a a a +=所以1,3,5321===a a a ，即2-=d ……..2分所以n n a n 27)1(25-=--=………………4分因为点),(n n b n B 在函数x a x g 2)(?=的图象上[来源:学科⽹ZXXK]所以n n a b 2?=，⼜因为11=b ，所以21=a 所以12-=n nb …………………………………6分（2）因为12-?==n n n n n a b a c所以12312012222-?++?+?+?=n n n a a a a S ①n n n n n a a a a a S 22222211332211?+?++?+?+?=--②………………………………………8分①-②得，n n n n a d d d a S 222221211?-?++?+?+?=--………………………………………….10分所以n n nn a a S 221222210---?-=-，即92)29(-?-=n n n S ………………………….12分18.解: (1)连结BD 、AC 相交于O. 因为四边形ABCD 为平⾏四边形,且AB=AD,所以四边形ABCD 为菱形, 则AC ⊥BD ……………….2分由直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1, 所以BB 1⊥平⾯ABCD,可知BB 1⊥AC, …………………………………………….4分则AC ⊥平⾯BB 1D 1D ，⼜BD 1?平⾯BB 1D 1D ，则AC ⊥BD 1…………………………………………………6分 (2) 111111*********D AB C ABCD A B C D B ABC D ACD A A BD CC B D V V V V V V -=----=1111114434ABCD A B C D B ABC V V --=-?=…………………………………………12分19.（1）由题得8,10==--y x ……………………………2分所以2.310055.5028105392-=?-??-=∧b40102.38=?+=∧a ……………………………..4分[来源:Z_xx_/doc/0f3148cb760bf78a6529647d27284b73f2423614.html ]所以402.3+-=∧x y ………………………………6分（2）当8=x 时，4.144082.3=+?-=∧y所以0.4y y ∧-=-…………………………………..8分（3）依题意，利润)402.3)(5.2(+--=x x L)5.125.2(100482.32<<-+-=x x x …………….10分所以当5.7=x 时，利润最⼤所以该产品定价为5.7元时，利润最⼤……………………………………12分20（1）设抛物线⽅程为ax y =2代⼊)2,1(A 得4=a所以抛物线⽅程为x y 42=…………………………….2分设抛物线⽅程为my x =2代⼊)2,1(A 得21=m 所以抛物线⽅程为y x 212=故抛物线C ⽅程为x y 42=或y x 212=………………4分（2）证明：由题得C 的⽅程为x y 42= 设直线BP ⽅程为)1(2-=+x k y 代⼊x y 42=得0)2()442(2222=++++-k x k k x k ………………………6分设),(11y x P ，则221)2(k k x +=所以)42,)2((22kk k k P ++ 同理可得)22,)1((2k k Q --…………………………8分[来源:学。

山西省晋中市2017届高考适应性调研考试数学试题(理)含答案

2017年3月高考适应性调研考试高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U R =，{3,2,1,0,1,2}A =---，{|1}B x x =≥，则U AC B =（）A ．{1,2}B ．{1,0,1,2}-C ．{3,2,1,0}---D ．{2}2.在复平面中，复数421(1)1i i +++对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“sin sin A B >”是“a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.若1sin()3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（）A ．9-B ．9- C. 9 D ．95.执行下面的程序框图，则输出K 的值为（）A ． 98B ． 99 C. 100 D ．1016.李冶（1192～1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边形到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算） A ．10步，50步 B ．20步，60步 C.30步，70步 D ．40步，80步7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ． 16B ． 20 C. 52 D ．60 8.已知函数()sin(2)12f x x π=+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一个单调递减区间是（） A ．7[,]1212ππB ．5[,]1212ππ-C. 2[,]33ππ- D ．5[,]66ππ- 9.若332(||)a x x dx -=+⎰，则在a的展开式中，x 的幂函数不是整数的项共有（）A ．13项B ． 14项 C. 15项 D ．16项10.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r ⎧+≤⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为（）A ． -1 B．17-C. 13 D ．75- 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（）A B D 12.已知函数22()1xf x eax bx =-+-，其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（）A ．22(3,1)e e -+ B ．2(3,)e -+∞ C. 2(,22)e -∞+ D ．22(26,22)e e -+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设样本数据122017,,,x x x 的方差是4，若21(1,2,,2017)i i y x i =-=，则122017,,,y y y 的方差为．14.在平面内将点(2,1)A 绕原点按逆时针方向旋转34π，得到点B ，则点B 的坐标为．15.设二面角CD αβ--的大小为45，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且45ABC ∠=，则AB 与平面β所成的角的大小为． 16.非零向量,m n 的夹角为3π，且满足||||(0)n m λλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ++所有可能值中的最小值为24m ，则λ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（2m ≥ 且*m N ∈）.（1）求m 的值；（2）若数列{}n b 满足2log 2nn a b =*()n N ∈，求数列{(6)}n n a b +的前n 项和．18. 如图，三棱柱ABC DEF -中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且3ABE π∠=，2BC =，四棱锥F ABED -的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上点M 是线段CF 上，且14CM CF =．（1）证明：直线//GM 平面DEF ；（2）求二面角M AB F --的余弦值．19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元： ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．20. 设,,M N T 是椭圆2211612x y +=上三个点，,M N 在直线8x =上的射影分别为11,M N ．（1）若直线MN 过原点O ，直线,MT NT 斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；（2）若,M N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程．21. 已知函数()ln(1)f x m x =+，()(1)1xg x x x =>-+．（1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(1,)-+∞上的单调性；（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a ββ=+⎧⎨=⎩（0a >，β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3cos()32πρθ-=．（1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；（2）,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OAB ∆的面积最大值．23.选修4-5：不等式选讲设函数()|1||21|f x x x =--+的最大值为m ．（1）作出函数()f x 的图象；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值．试卷答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBACD 11、12：DA二、填空题13. 16 14. (,22-15. 30 16. 83三、解答题17.（1）由已知得：14m m m a S S -=-=，且12214m m m m a a S S ++++=-=，设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d +=， ∴2d =，由0m S =，得1(1)202m m ma -+⨯=，即11a m =- ∴1(1)214m a a m m =+-⨯=-= ∴5m =（2）由（1）知，14a =-，2d =，∴26n a n =-，∴23log n n b -=，得32n n b -=. ∴32(6)222n n n n a b n n --+=⨯=⨯设数列{(6)}n n a b +的前n 项和为n T∴10321222(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯① 012121222(1)22n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯②①–②，得：1212222n n n T n ---=+++-⨯112(12)212n n n ---=-⨯-111222n n n --=--⨯∴1*1(1)2()2n n T n n N -=-+∈ 18.（1）因为四棱锥F ABED -的体积为2，即14223F ABED V FG -=⨯⨯=，所以FG =又BC EF ==，所以32EG =，即点G 是靠近A 的四等分点，过点G 作//GK AD 交DE 于点K ，所以3344GK AD CF == 又34MF CF =，所以MF GK =且//MF GK 所以四边形MFKG 为平行四边形所以//GM FK ，所以直线//GM 平面DEF .（2）设,AE BD 的交点为O ，OB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，(0,1,0)A -，B，1(0,2F -，5(,44M -，(1,0)BA =-，5(44BM =--，1(2BF =-，设平面ABM ，ABF 的法向量为,m n ，00m BA m BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则(1,1)m =-，00n BA n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则1(1,3,)2n =- 785cos 85||||m n m n θ==，即为所求. 19.（1）由题意可知：X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a 由统计数据可知：1(0.9)6P X a ==，1(0.8)12P X a ==，1(0.7)12P X a ==，1()3P X a ==， 1( 1.1)4P X a ==，1( 1.3)12P X a ==所以X 的分布列为：所以11111111.9113050.90.80.7 1.1 1.39426121234121212a EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为3123112(1)()333P C =-+2027=②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000,10000 所以Y 的分布列为：所以500010000500033EY =-⨯+⨯=所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元20.（1）设(,)M p q ，(,)N p q --，00(,)T x y ，则22012220y q k k x p-=- 又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22220001612x p y q --+=，即22022034y q x p -=-- 1234k k =-（2）设直线MN 与x 轴相交于点(,0)R r ，1|3|||2MNL M N S r y y ∆=-- 111115||2M N L M N S y y ∆=- 由于115M N L MNL S S ∆∆=且11||||M N M N y y y y -=-，得11115||5|3|||22M N M N y y r y y -=--，4r =（舍去）或2r = 即直线MN 经过点(2,0)F ，设1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)K x y ①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为(2,0)F②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为(2)y k x =-，则2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2222(34)1616480k x k x k ⇒+-+-=21221634k x x k +=+，2122164834k x x k -=+，202834k x k =+，02634ky k-=+，消去k ，整理得：22004(1)1(0)3y x y -+=≠ 综上所述，点K 的轨迹方程为224(1)1(0)3y x x -+=>. 21.（1）'''221(1)1()()()1(1)(1)m m x F x f x g x x x x +-=-=-=+++，1x >-，当0m ≤时，'()0F x <，函数()F x 在(1,)-+∞上单调递减；当0m >时，令'()0F x <11x m ⇒<-+，函数()F x 在1(1,1)m--+上单调递减； '()0F x >11x m ⇒>-+，函数()F x 在1(1,)m-++∞上单调递增，综上所述，当0m ≤时，()F x 的单减区间是(1,)-+∞；当0m >时，()F x 的单减区间是1(1,1)m--+；单增区间是1(1,)m-++∞. （2）函数()ln(1)f x m x =+在点(,ln(1))a m a +处的切线方程为ln(1)()1my m a x a a -+=-+，即ln(1)11m may x m a a a =++-++ 函数()1x g x x =+在点1(,1)1b b -+处的切线方程为211(1)()1(1)y x b b b --=-++，即2221(1)(1)b y x b b =+++. ()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线所以2221(1)1(1)ln(1)(2)1(1)m a b ma b m a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩有唯一一对(,)a b 满足这个方程组，且0m >由（1）得：21(1)a m b +=+代入（2）消去a ，整理得： 22ln(1)ln 101m b m m m b +++--=+，关于(1)b b >-的方程有唯一解令2()2ln(1)ln 11g b m b m m m b =+++--+ '22222[(1)1]()1(1)(1)m m b g b b b b +-=-=+++方程组有解时，0m >，所以()g b 在1(1,1)m --+单调递减，在1(1,)m -++∞单调递增所以min 1()(1)ln 1g b g m m m m=-+=-- 因为b →+∞，()g b →+∞，1b →-，()g b →+∞，只需ln 10m m m --=令()ln 1m m m m σ=--'()ln m m σ=-在0m >为单减函数且1m =时，'()0m σ=，即max ()(1)0m σσ==所以1m =时，关于b 的方程22ln(1)ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解此时0a b ==，公切线方程为y x =22.（1）曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为半径的圆直线l的直角坐标方程为30x +-=由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|3|2a a -= 解得：3a =-（舍），1a =所以：1a =（2）曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（0a >）设A 的极角为θ，B 的极角为3πθ+，则21||||sin 2cos ||2cos()||cos cos()|2333OAB S OA OB a a πππθθθθ∆==+=+21cos cos()cos cos 32πθθθθθ+=-1cos 21222θθ+=111(cos 22)2224θθ=-+11cos(2)234πθ=++ 所以当6πθ=-时，11cos(2)234πθ++取得最大值34. OAB ∆的面积最大值24a . 23.（1）12,21()3,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩画出图象如图，（2）由（1）知，32m =∵2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+， ∴324ab bc +≤，∴2ab bc +的最大值为34，当且仅当12a b c ===时，等号成立．。

山西省晋中市2017届高三考前适应性训练考试数学(理)试题Word版含答案

山西省晋中市2017届高三考前适应性训练考试试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}22|log 0,|log 12A x x B x x =≥=-≤，则集合A B = （） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3 C ．(]1,3 D ．(]1,5 2.已知函数()(),f x g x ：则函数()()y f g x =的零点是（）A ．0B ．1C ．2D ．33. 已知命题：1:p 函数()x x f x e e -=-在R 上单调递增；2:p 函数()x x g x e e -=+在R 上单调递减，则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:q p p ∧⌝中，真命题是（） A ．13,q q B ．23,q q C ．14,q q D ．24,q q4. 已知数列{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1060S =，则其公差d =（） A ．29-B ．29 C. 89- D ．895.已知平面α，及直线,a b下列说法正确的是（）A ．若直线,a b 与平面 α所成角都是30，则这两条直线平行B ．若直线,a b 与平面 α所成角都是30，则这两条直线不可能垂直C. 若直线,a b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线,a b 垂直，则这两条直线与平面 α不可能都垂直6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和413n n S -=，则数列的前n 项和nT=（）A ．21n- B 213n - D ．1233n +-7.2017年高考前第二次适应性训练结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布()2~95,8N 的密度曲线非常拟和，据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2 名同学的英语成绩超过95分的概率是（） A ．16 B ．13 C.12 D ．388. 执行如图所示的程序框图，如果输入的10x =-，则输出的y =（）A ．0B ．1 C. 8 D ．279.已知椭圆()2221025x y m m +=>与双曲线()222107x y n n-=>有相同的焦点，则m n +的取值范围是（）A ．(]0,6B ．[]3,6C. (⎤⎦D ．[)6,910. 如图，网格纸上小正方形长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个棱长为4的正方形毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（）A ．38 B ．58 C.512 D ．71211. 对定义在R 上的连续非常函数()()(),,f x g x h x ，如果()()()2g x f x h x =⋅总成立，则称()()(),,f x g x h x 成等比函数.若()()(),,f x g x h x 成等比函数，则下列说法中正确的个数是（）①若()(),f x h x 都是增函数，则()g x 是增函数；②若()(),f x h x 都是减函数，则()g x 是减函数； ③若()(),f x h x 都是偶函数，则()g x 是偶函数；④若()(),f x h x 都是奇函数，则()g x 是奇函数； A ．0 B ．1 C.2 D ．312.已知椭圆22:12x C y +=的上、下顶点分别为,M N ，点P 在椭圆C 外，直线PM 交椭圆于点A ，若PN NA ⊥，则点P 的轨迹方程是（）A ．()210y x x =+≠B ．()230y x x =+≠C.()2210,02x y y x -=>≠ D ．()30y x =≠ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()()()22x x a f x x -+=为偶函数，则a = ．14.设i 为虚数单位，则(2i 6)x -的展开式中含4x 项的系数为．15. 已知函数()ln f x x =，若()()()0f m f n m n =>>，则11m nm n +=++ ． 16.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且满足()()sin 12,cos 522C Ca b a b +=-=，则c = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()44sin cos 2cos 2f x x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值.18. 如图，梯形ABCD 中，90,22BAD ADC CD AD ∠=∠=== ，四边形BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面,ABCD BD CF ⊥.（1）若AF CE ⊥，求证：CE CF ⊥；（2）在棱AE 上是否存在点G ，使得直线//BG 平面EFC ？并说明理由.19.学校的校园活动中有这样一个项目，甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球，3个黑球 . 乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球，2个黑球 .（1）从两个箱子中分别摸出1个球，如果它们都是白球则获胜，有人认为，这两个箱子里装的白球比黑球多，所以获胜的概率大于0.5，你认为呢？并说明理由；（2）如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球，求取到的白球数的分布列和期望；（3）如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱子中，充分混合后，再从乙箱子中2个球放回甲箱，求甲箱中白球个数没有减少的概率.20. 已知动圆C 与圆()221:21C x y -+=外切，又与直线:1l x =-相切 . （1）求动圆C 的圆心的轨迹方程E ；（2）若动点M 为直线l 上任一点，过点()1,0P 的直线与曲线E 相交,A B 两点.求证：2MA MB MP k k k +=.21. 已知函数()()2x f x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x ax e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()(f x m m =∈R)有两个正实数根12,x x ，求证：121mx x m e-<++.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos (3cos 2cos x y αααααα⎧=-⎪⎨=--⎪⎩为参数）. 以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 有公共点，求实数m 的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2,f x x m m =+-∈R ，且()0f x ≤的解集为[]3,1--. （1）求m 的值；（2）设,,a b c 为正数，且a b c m ++=.山西省晋中市2017届高三考前适应性训练考试试题数学（理科）参考答案一、选择题1-5:DBCDD 6-10:ADCCC 11-12：AD 二、填空题13. 2 14.60- 15. 1 16.13 三、解答题17. 解：()44sin cos 2cos 22f x x x x x =++()22222sin cos 2sin cos 4x x x x x =+-211sin 242x x =-+11cos 41422x x -=-⋅13134cos 4sin 4444264x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. (1)242T ππ==. (2)当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，714,,sin 4,166662x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则当462x ππ+=，即12x π=时，函数()f x 取到最大值54；当7466x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 取到最小值12.所以，函数()f x 最大值54，最小值12.18. 解：(1)容易知：,,DA DC DE 两两垂直.因此，可以以D 为原点，以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系.不妨设,DE m AB y ==，则()()()()()()()()0,0,0,1,,0,1,0,0,0,0,,1,,,0,2,0,1,,0,1,2,D B y A E m F y m C DB y CF y m ==-. ()()(),0, 1.0,1,,0,2,1,1,BD CF BD CF y AF m CE m DF m ⊥∴⋅=∴=∴==-=,,0AF CE AF CE ⊥∴⋅= ,即220m -+=，又22,0,CE DF m CE DF CE DF ⋅=-+∴⋅=∴⊥ .(2)在棱AE 上存在点G ，使得直线//BG 平面EFC ，且12AG GE =，证明如下：由（1）知：()()21,0,,,1,,1,1,0,0,2,3333m m G BG EF EC m ⎛⎫⎛⎫∴=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面EFC 的一个法向量为(),,n a b c = ，则00n EF n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020a b b mc +=⎧⎨-=⎩，可取()()212121,1,,111103333m n BG n m m ⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⨯-+-⨯+⋅=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,//BG n BG ∴⊥∴ 平面EFC .19. 解：(1)我认为“获胜”的概率小于0.5，理由如下：记“获胜”为事件A ，则()43120.57535P A =⨯=<，所以获胜的概率比0.5小.(2)设取出的白球的个数为变量X ，则X 可取的值为1,2,3,4.从而有：()()1322434344774181,23535C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()3140434344771213,43535C C C C P X P X C C ⋅⋅======，所以X 的发布列为：()16123435353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.（3）记“甲箱中白球个数没有减少”为事件B ，则()21121122343443542222277777C C C C C C C C P B C C C C C ⋅+⋅=+⋅+⋅3722011321147147147=++=. 20. 解：(1)依题知，动圆C 的圆心到点()2,0的距离等于到直线2x =-的距离，所以由抛物线的定义可知：动圆C 的圆心轨迹是以()2,0为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以动圆圆心C 的轨迹方程为：28y x =. (2)由题知当直线AB 斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB 的方程为1x my =+，联立218x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得22880,64320y my m --=∆=+>恒成立，所以可设()()()1122,,,,1,A x y B x y M t -，则2121212128,8,82,1y y m y y x x m x x +=⋅=-+=+⋅=，而2211MP tk t =⋅=---， ()12211212121212122111MA MB y x y x y y t x x ty t y t k k x x x x x x +++-+---+=+=+++++ ()()()2121212122121212848184y y y y y y t x x tt m t x x x x m +++-+--+===-++++，所以2MA MB MP k k k +=成立.21. 解：(1)()()()()2'1,'01,00x f x x x e f f =+-=-=,故曲线()y f x =在原点处的切线方程0x y +=.(2) ①当0x =时，R a ∈；②当0x >时，问题等价为()1xea x e x≤-+恒成立，设()()()10x eg x x e x x=-+>，则()2'xe g x xe x=-，因为()'y g x =在()0,+∞上单调递增，且()'10g =，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()y g x =上的最小值为()1g e =，所以a e ≤.③当0x <时，问题等价为()1xe a x e x ≥-+恒成立，设()()()10xe h x x e x x=-+<，则()()20,'0x eh x h x xe x<=-<，所以()y h x =在(),0-∞上单调递减，而x →-∞时，()0h x →所以0a ≥即可.综上所述0a e ≤≤.（3）依第（2）问，取a e =，有()2xx x e ex e -≥-，因为()y f x =在0x =处的切线方程为y x =-.设()()()20x x x x e x x ϕ=-+>，则()()()()22'11,''3x x x x x e x x x e ϕϕ=+-+=+，令()''0x ϕ=得3x =-或0x =.容易知道()'y x ϕ=在()(),3,0,-∞-+∞单调递增，在()3,0-单调递减，而()'00ϕ=，所以当0x >时，()()'0,x y x ϕϕ>=单调递增.而()00ϕ=，所以，当0x >时，()0x ϕ>恒成立.所以()2xx x e x -≥-.设y m =分别与y x =-和()1y e x =-的两个交点的横坐标为34,x x ，则3124x x x x <<<，所以12431mx x x x m e-<-=++. 22. 解：(1)曲线1C 的普通方程为2y x =；曲线2C 的直角坐标方程为0x y m -+=.(2)联立20y x x y m ⎧=⎨-+=⎩，消去y 得20x x m --=，因为曲线1C 与曲线2C 有公共点，所以()()2140m ∆=---≥，解得14m ≥-，所以实数m 的取值范围为1|4m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.23. 解：（1）由()0f x ≤得2x m +≤，所以022m m x m ≥⎧⎨--≤≤-⎩，又 ()0f x ≤的解集为[]3,1--，所以2321m m --=-⎧⎨-=-⎩，解得1m =.（2）由(1) 知1a b c ++=，由柯西不等式得：2≤()()2222111⋅++所以()()233318a b c ≤+++=，=13a b c ===。

山西省2017年高考考前质量检测(二)数学(理)试题 Word版含答案

山西省2017年高考考前质量检测（二）数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|1,|A x x x N B x y x =≤∈==，则A B =A. []1,1-B.{}1,1-C. {}1,0,1-D.{}0,12.若实数,x y 满足10240220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则12z x y =+的最大值是A. 1-B. 1C. 32 D.523.甲、乙两名射击爱好者各自之中飞盘的概率分别为13和p ，当二人同时射击飞盘时，飞盘被击中的概率为12，且甲、乙二人是否击中飞盘相互独立，则p = A. 12 B. 13 C. 14 D.164.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5S 是n S 的最大值，若15a =，则公差d 的取值范围是 A.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 51,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.刘徽为了计算球的体积，创造了一个新的立体图形——“牟合方盖”.如图（1）所示，将两个直径与正方体棱长相等的圆柱插入正方体中，且两圆柱的轴相互垂直，这两个圆柱的公共部分及时“牟合方盖”（如图2）.图（1）的正视图是6.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的内接正方形的边长为2，则ab 的取值范围是A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()8,+∞D. [)8,+∞7.已知0a >，且1a ≠，设函数()1,34log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为2，则a 的取值范围是A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 8.执行如图所示的程序框图，若输出的[]15,17x ∈，则输入的x的取值范围是 A. 73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []63,71 D. []27,143 9.已知函数()()()2sin 04f x x ωϕω=+<<，且2463f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列四个命题：①点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数()f x 的图象的一个对称中心；②对任意的a R ∈，函数()f x a +都不可能是偶函数；③函数3f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]1,2-.其中，真命题的序号是A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④10.三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面,,ABC AB BC AE SC ⊥⊥于点E ，AF SB ⊥于点F ，若4SA AC ==，则三棱锥C AEF -的体积的最大值为A.3C. 3D.4311.若12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，M 为C 上的一点，且满足12120,MF MF MF F ⋅=∆的面积为9，内切圆的半径为1，则C 的方程为 A. 22197x y -= B. 22179x y -= C. 221169x y -= D.221916x y -= 12.数列{}n a 满足121,1a a =-=，且当2n ≥时，1156n n n a a a +-=-，则2017a =A. 2017201732- B.2008200932- C.2018201832- D.2017201832-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数()2321iz i +=-，则z 的虚部为 .14.等边ABC ∆的边长为1，已知,2AC a AB a b ==+，则a b ⋅= .15.某学校举办了一场趣味科普知识竞赛，共设置了5到判断题，学生认为正确的填“T ”,错误的填“F ”，每题的给分标准为：答对得2分，答错扣1分，不答得0分.下表为甲、乙、丙、丁四位同学的大题情况，表中空格表示没有答题，则丙的得分是 .16.已知关于x 的方程()()1ln 0,,1a x x b a b R a --+=∈>至多有一个实数根，则a b +的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,2a b c c =，且t a n t a n t a nt a n .A B A B +=⋅ （1）求B ；（2）若2224,a a c b =+<，求BA 在CB 上的投影.18.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，四边形ABCD 为梯形，//,3,AB EF AB EF G=为线段CD 上的一点，若//FG 平面AED .（1）求DG GC的值；（2）若平面ABCD ⊥平面,,ABEF EA AB AD EF AE ⊥==，求平面AFG 与平面BCF 所成二面角（锐角）的余弦值19.（本题满分12分）某高校共有2000名学生，学校食堂午餐提供蔬菜（A ）,菌类（B ），荤菜（C ）三类不同的菜肴，三类菜肴每一份售价依次为4元，5元和6元.每位学生每餐选择两份菜肴，免费领取主食.（1）若学生甲、乙均打算从这三类菜肴中等可能地任选两类，各买一份，求二人所选菜肴种类不全相同的概率；（2）为了了解学生午餐费用情况，工作人员对1000为学生的选择进行了统计：A,B,C 三类菜肴被选择的份数依次为400,600,1000，试估计该校学生人均午餐费；（3）在（2）的条件下，为鼓励学生多吃蔬菜，对午餐中购买A 类菜肴的学生每人赠送鸡蛋一枚，预计此方案出台后，以往不购买A 类菜的学生会有15的概率从以往选择的两份菜肴中等可能的选择一份，换成A 类菜肴，其余学生购买菜肴种类保持不变，试估计，此方案出台后，该校食堂每天午餐出售A 类菜肴分数增加量的数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，准线m 与对称轴交于点E ，以点E 为圆心，EF 为半径的圆与m 交于,A B 两点，且FAB ∆的面积为1.4（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过点()1,0的直线n 与C 相交于,G H 两点，GO 与过点H 平行于x 轴的直线相交于点P ，HO 与过点G 平行于x 轴的直线相交于点Q ，求四边形GHPQ 面积的最小值.21.（本题满分12分）设函数()()2ln 1f x x a x =-++ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()22y f x x =+有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2221112ln 22f x x x x +>-+.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。