2012-2013年运城市第一学期高三期中考试数学试题
山西省运城市2023-2024学年高三上学期10月月考(A)卷数学试题含解析
学校2023-2024学年度第一学期高三月考（10月）数学（A 卷）试题（答案在最后）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题1.命题：“220x x x ∀∈-+≥R ，”的否定是（）A.200020x x x ∃∈-+≥R ，B.220x x x ∀∈-+≥R ，C.200020x x x ∃∈-+<R ，D.220x x x ∀∈-+<R ，【答案】C 【解析】【分析】因为全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可得出结论.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“220x x x ∀∈-+≥R ，”的否定是“200020x x x ∃∈-+<R ，”.故选：C.2.已知集合}{0,1,2,3,5,7A =，{}07,B x x x N =≤<∈，则A ∩B 中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】用列举法表示集合B ，从而可求出A B ⋂.【详解】解：{}{}07,0,1,2,3,4,5,6B x x x N =≤<∈=，则{}0,1,2,3,5A B ⋂=共5个元素，故选:C.3.设()i ,z x y x y =+∈∈Z Z ，则满足1z z ⋅≤的复数z 的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算可得，221x y +≤，即可求出满足题意的解的个数．【详解】因为1z z ⋅≤，所以221x y +≤，而,x Z y Z ∈∈，所以当=1x -时，0y =；当0x =时，1y =或1y =-或0y =；当1x =时，0y =，即满足1z z ⋅≤的复数z 的个数为5．故选：D ．4.已知函数f (x )＝2,0,0x x x x x ≤⎧⎨->⎩若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为()A.[－12，1] B.[－12，1)C.(－14，0) D.(－14，0]【答案】C 【解析】【详解】试题分析：函数g （x ）=f （x ）-m 有三个不同的零点，等价于函数y=f （x ）与y=m 的图象有三个不同的交点，作出函数f （x ）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=12时，抛物线取最低点为-14，函数y=m 的图象为水平的直线，由图象可知当m ∈（-14，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点考点：分段函数的应用5.已知点O 为ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO =++，则ABC 的内角A 等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】【分析】由题意可得OA OB OC +=，又因为||||||OA OB OC == ，所以四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠=︒，即可得答案.【详解】解：由0OA OB CO =++ 得，OA OB OC +=，由O 为ABC 外接圆的圆心，所以||||||OA OB OC ==，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠=︒，故30CAB ∠=︒.故选：A.6.已知函数,0()2,0x e a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是A.(0,1] B.[1,)+∞ C.(0,1)D.(,1]-∞【答案】A 【解析】【详解】由题意可得：1002a a-≥⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <≤故选A7.已知函数()()()241e 42xf x a a x =-++，若()0f x ≤，则a 的取值范围是（）A.1e 2,22e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.11,2e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D.12e ,22e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】分类讨论，利用导数研究函数单调性，求出最值解决恒成立问题.【详解】函数()()()()()241e 422121e 2xxf x a a x a a x ⎡⎤=-++=+-+⎣⎦，①当210a +=，即12a =-时，满足()0f x ≤；②当210a +>，即12a >-时，若()()()02121e 2x f x a a x ⎡⎤=++⎣⎦≤-，则有()021e 2x a x -≤+，令()()21e 2xg x a x =-+，则有()0g x ≤，若210a -≥，易知()g x 在R 上单调递增，不一定都满足()0g x ≤，∴210a -<，即12a <，()()21e 2x g x a '=-+，由()0g x '>，解得2ln12x a <-，由()0g x '<，解得2ln 12x a>-，所以，()g x 在2,ln 12a ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭上单调递增，在2ln ,12a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减，由()0g x ≤，则有()max 22ln 2+2ln 01212g x a g a ⎛⎫=-≤ ⎪--=⎝⎭，解得e 22e a -≤，所以1e 222ea --<≤时，满足()0f x ≤；③当210a +<，即12a <-时，若()()()02121e 2x f x a a x ⎡⎤=++⎣⎦≤-，则有()021e 2xa x -≥+，即()0g x ≥，易知e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，当0x ≠时，所以()()()()()()21e 221122121xg x a x a x x a x a =-+<-++=++-，即12012a g a -⎛⎫<⎪+⎝⎭，所以不满足()0f x ≤恒成立；综上，若()0f x ≤，a 的取值范围是1e 2,22e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A8.若关于x 的方程e x ax =有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()0,e C.()1,+∞ D.()e,+∞【答案】D 【解析】【分析】关于x 的方程e xax =有两个实数根等价于关于x 的方程e xa x =有两个实数根.令()ex f x x=，利用导数判断其单调性，画出图象，由图可解.【详解】当0x =时，e x ax =不成立，则0x ≠，所以关于x 的方程e xax =有两个实数根等价于关于x 的方程ex a x=有两个实数根.令()e xf x x =，则()()2e 1x xf x x -'=当0x <或01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当0x >时，()()min 1e f x f ==，又0x <时()0f x <，0x >时()0f x >.则()e xf x x=的图象如下所示：由图可知，当e a >时，关于x 的方程ex a x=有两个实数根，即关于x 的方程e x ax =有两个实数根.故选：D 二、多选题9.（多选）设函数()sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈，则关于()f x 的说法正确的是（）A.最小正周期为πB.最小正周期为2πC.奇函数D.偶函数【答案】AD 【解析】【分析】正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωφω=+>>的周期可代入公式去求，奇偶性的判断，可以使用诱导公式看是否能转化为sin y A x ω=或cos y A x ω=形式来判定.【详解】()sin 2=cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期2=2T ππ=,排除B ，选A;由()()cos(2)cos 2f x x x f x -=--=-=可知函数()sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数，排除C ，选D 故选:AD.10.已知函数()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=--，则下列结论一定正确的是（）A.()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称B.()f x 是周期为4的周期函数C.()f x 的图象关于直线2x =-轴对称D.(4)f x +为偶函数【答案】AD 【解析】【分析】由()2()2f x f x +=--，可知()f x 的图象关于点()2,0中心对称；结合函数()f x 为偶函数可得()f x 是周期为8以及关于直线4x =轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出()4f x +为偶函数【详解】因为()2()2f x f x +=--，所以()f x 的图象关于点()2,0中心对称，又因为函数()f x 为偶函数，所以()f x 是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(2,0)-中心对称和关于直线4x =轴对称，所以()4f x +为偶函数.故选：AD.11.已知函数()sin sin 2nnf x x x =⋅，N n *∈，则下列说法正确的是（）A.对任意的N n *∈，()f x 的周期都不可能是π2B.存在N n *∈，使得()f x 的图象关于直线π4x =对称C.对任意的N n *∈，()9nf x ⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭D.对任意的N n *∈，()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数的周期性的定义以及诱导公式可判断A ；利用诱导公式计算π()2f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭是否成立可判断B ；先利用二倍角公式化简sin sin 2x x ⋅，再换元构造新函数，借助函数的单调性及最值可判断C ，对化简后的函数()f x 求导，利用导数判断()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ，ππsin sin (2π)(1)cos sin 2()22n n n n nf x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=-⋅≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的周期都不可能是π2，故选项A 正确；对于B ，若()f x 的图象关于直线π4x =对称，则π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而ππsin sin (π2)cos sin 2()22n n n n f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不存在N n *∈，使得()f x 的图象关于直线π4x =对称，故选项B 不正确；对于C ，注意到()22sin sin 22sin cos 21cos cos x x x x x x ⋅==-，令cos t x =，则11t -≤≤，令()()221g t t t =-，则()()2213g t t '=-，()()110g g -==，易知()g t的最大值为39g ⎛⎫=⎪⎝⎭，因此()439nf x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ，因为2sin sin 22sin cos x x x x ⋅=，所以()22sincos nnn f x x x =⋅，()()2112112122sin cos sin cos sin os 2c n n n n n n n n n x x n x x x f x n x --++-=⋅-⋅⋅'+⋅()121122sin cos 2cos cos 2n n n n x x x x ---=⋅⋅-+-当ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0x >，1cos 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221152cos cos 22cos 048x x x ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，故()0f x '<，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故选项D 正确，故选：ACD.12.已知函数()sin sin (0,)2f x a x x a πωωω⎛⎫=++>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的最小正周期为π，且对任意x ∈R ，均有()0()f x f x ≥，则下列结论中正确的是（）A.若0712x π=-，则3a =±B.若032f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则a =±C.函数()()y f x f x =+在区间00,6x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上一定不存在零点D.若函数()2()y f x f x =-在003,4x x πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，则324ππθ≤<【答案】BD 【解析】【分析】先化简()f x ，再由函数的最小正周期确定ω的值，由()()0f x f x ≥可知()f x 在0x x =处取得最小值，从而得到0x 与辅助角的关系，进而可判断选项A ，B 的正误；由()f x 在0x x =处取得最小值以及函数的最小正周期，可确定函数()f x 在00,6x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭）以及003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭，00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上的正负以及单调性，从而得出函数()|()|y f x f x =+以及()2|()|y f x f x =-的单调性，即可判断选项C ，D 的正误．【详解】()sin sin sin cos sin()2f x a x x a x x x πωωωωωϕ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，其中cos ϕ=sin ϕ=，依题意可得22πωπ==，于是())f x x ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=．因为()0()f x f x ≥，即()f x 在0x x =处取得最小值，所以022()2x k k πϕπ+=-∈Z ，所以022()2k x k πϕπ=--∈Z ．当0712x π=-时，22()3k k πϕπ=+∈Z ，因此1cos 2ϕ==-，sin 2ϕ==，解得3a =．故A 选项错误；因为(002)2f x x ππϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()02232x k πϕπ⎛⎫=+=-== ⎪⎝⎭，所以219a +=，解得a =±B 选项正确；由于()f x 在0x x =处取得最小值，且周期为π，所以当00,6x x x π⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x <，因此()|()|0y f x f x =+=，因此()|()|y f x f x =+在区间00,6x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，故C 选项错误；由于()f x 在0x x =处取得最小值，且周期为π，所以0304f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当003,42x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，且()0f x >，于是当003,42x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()2|()|()y f x f x f x =-=-单调递减，而当00,24x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，且()0f x >，于是当00,24x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，y ()2|()|()y f x f x f x =-=-单调递增，故000342x x x ππθ-<-≤-，即324ππθ≤<，故D 选项正确．故选：BD【点睛】解决三角函数综合问题的一般步骤：（1）将()f x 化为sin cos a x b x ωω+的形式；（2）构造()sin cos f x x x ωω⎫=⎪⎭；（3）和角公式逆用，得())f x x ωϕ=+（其中0ab ≠，tan baϕ=）；（4）利用正弦函数的图象与性质研究())f x x ωϕ=+的图象与性质．三、填空题13.设i 为虚数单位，若复数()()12i 2i z =+-，则z 的实部与虚部的和为___________.【答案】7【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数z ，即可求得结果.【详解】因为()()12i 2i 43i z =+-=+，因此，复数z 的实部与虚部之和为437+=.故答案为：7.14..在正方形ABCD 中，2AB AD ==，,M N 分别是边,BC CD 上的动点，当·4AM AN=时，则MN的取值范围是__________．【答案】2]【解析】【分析】根据直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，根据向量的数量积坐标运算以及模长的坐标运算即可利用函数的性质求其最值.【详解】以点A 为原点建立如图坐标系，()()()2,,,202,02M y N x x y ≤≤≤≤，224AM AN x y⋅=+=，即2x y +=，而MN ====，当1x =时，MN ，当0x =或2x =时，MN 最大为2，所以取值范围为2⎤⎦.故答案为：2]15.在ABC 中，边a ，b 满足3a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为______．【答案】2．【解析】【分析】首先利用基本不等式得2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，然后()22222cos1209c a b ab a b ab ab =+-⨯︒=+-=-，然后即可得出答案.【详解】3a b += ，120C ∠=︒，2924a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，由余弦定理可得()22229272cos1209944c a b ab a b ab ab =+-⨯︒=+-=-≥-=，2c ∴≥，则边c的最小值为2．【点睛】本题考查的是余弦定理及利用基本不等式求最值，属于基础题.16.已知函数()f x 为定义域为R 的偶函数，且满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[]1,0x ∈-时，()f x x =-.若函数()()412x F x f x x+=+-在区间[]9,10-上的所有零点之和为__________．【答案】5【解析】【分析】将()F x 在[]9,10-上的零点之和转化为()f x 与421x y x +=-的交点的横坐标之和；根据抽象函数关系式可判断出()f x 图象关于1x =对称且周期为2；由41921242x y x x +==+--可知421x y x +=-关于11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称；作出()f x 与421x y x +=-的图象，根据交点个数和交点关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称可求得结果.【详解】1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x \图象关于1x =对称，且()()2f x f x =-，()f x 为偶函数，()()()2f x f x f x ∴=-=+，()f x \是周期为2的周期函数；()F x 在[]9,10-上的零点之和等价于()f x 与421x y x +=-的交点的横坐标之和；又()1921419222121242x x y x x x -++===+---，421x y x +∴=-图象关于11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称；作出()f x 与421x y x +=-的图象如下图所示，由图象可知：()f x 与421x y x +=-在[]9,10-上有10个交点，并且关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴交点横坐标之和为11052⨯=，即所有零点之和为5.故答案为：5.四、解答题17.已知正项数列{}n a 满足：2423n n n S a a =+-，其中n S 为{}n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 通项公式.（2）设211n n b a =-，求数列{}n b 前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）44nn +．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项n a 与前n 项和n S 的关系11,1,,2,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行整理化简，可以发现数列{}n a 是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得n b ，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.试题解析：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =.当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1120n n n n a a a a --+--=， 0n a >，12n n a a -∴-=，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，故()31221n a n n =+-⨯=+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()221111111444141n n b a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+++⎝⎭，12+n n T b b b ∴=++ 1111111111422314144n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ .点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前n 项和公式的运算，其中涉及到数列通项n a 与前n 项和n S 的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.18.已知3cos ,,052παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭．（1）求cos 2α的值；（2）求sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（1）725-（2）410+【解析】【分析】（1）直接用二倍角余弦公式即可得结果；（2）由三角恒等式求出sin α，再根据两角差的正弦公式即可得结果.【小问1详解】因为3cos ,,052παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，所以297cos 22cos 1212525αα=-=⨯-=-.【小问2详解】因为3cos ,,052παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 5α==-，所以3144sin 3252510πα+⎛⎫⎛⎫-=⨯-⨯-=⎪ ⎝⎭⎝⎭.19.已知函数2()1ax b f x x+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且13()310f =.（1）确定函数()f x 的解析式；（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明；（3）解不等式1(1)()02f x f x -+<.【答案】（1）2()1x f x x =+；（2）()f x 在区间()1,1-上是增函数，证明见解析；（3）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由奇函数的概念可得b 的值，根据13(310f =可得a 的值，进而得结果；（2）设1211x x -<<<，用作差法分析可得可得()()12f x f x <，由函数单调性的定义即可得证明；（3）将奇偶性和单调性相结合列出不等式组，解出即可.【详解】（1）∵()()f x f x -=-，∴221()1ax b ax bx x -+--=+-+，即b b -=，∴0b =.∴2()1axf x x =+，又13(310f =，1a =，∴2()1x f x x =+.（2）对区间()1,1-上得任意两个值1x ，2x ，且12x x <，22121221121212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)+-+---=-==++++++x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ，∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴12())0(f x f x -<，∴12()()f x f x <，∴()f x 在区间()1,1-上是增函数.（3）∵1(1)()02f x f x -+<，∴1(1)()2f x f x -<-，1111211211x x x x ⎧-<-<⎪⎪⎪-<-⎨⎪-<<⎪⎪⎩，解得203x <<，∴实数x 得取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.20.已知函数()4cos sin()16=+-f x x x π.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．【解析】【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭314cos sin cos 122x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当ππ266x +=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.21.在数列{}n a 中，已知前n 项和为 n S ，12a =，25a =，()22n n S n a =+．（1）求{}n a 的通项公式及 n S 的表达式；（2）设12n a n b n +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T 的表达式．【答案】（1）()31N n a n n *=-∈，()22N 3n n n nS *∈+=（2）()1(71)88N 49n n n T n +*-+=∈【解析】【分析】（1）根据已知条件累加求出{}n a 的通项公式，得出是等差数列，进而求出前n 项和 n S .（2）求出数列{}n b 的通项公式，错位相减得出数列{}n b 的前n 项和n T 的表达式．【小问1详解】由题意，N n *∈在数列{}n a 中，()22n n S n a =+，∴()()11222(1)2n n n n S n a S n a ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，解得：112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即111211n n a a n n n n +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，(2)n ≥∴11121212n n a a n n n n -⎛⎫-=- ⎪----⎝⎭，(3)n ≥121122323n n a a n n n n --⎛⎫-=- ⎪----⎝⎭，，…，321122121a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，累加得，2121111n a a n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，∴31(3)n a n n =-≥，∵12a =，25a =符合上式，∴()31Nn a n n *=-∈，∴{}n a 的是以首项为12a =，公差3d =的等差数列.∴()1232n n n S n -=+⨯即：()22N 3n n n nS *∈+=．【小问2详解】由题意及（1）得，N n *∈在等差数列{}n a 中，31n a n =-，在数列{}n b 中，1311228n a n n n b n n n +-+=⋅=⋅=⋅，∴231182838(1)88n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ，23418182838(1)88n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+ ，∴123411887188888887n nn n n T n n +++--=⨯+++++-= 解得：()1(71)88N 49n n n T n +*-+=∈．22.△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，D 是AC 的中点，已知平面向量m 、n满足()sin sin ,sin sin m A B B C =--，(),n a b c =+ ，m n ⊥ ．（1）求A ；（2）若BD =，2b c +=ABC 的面积．【答案】（1）3A π=（2）332【解析】【分析】（1）先利用正弦定理角化边得到222b c a bc +-=，再借助余弦定理即可求出A ；（2）先利用余弦定理得到224212c b bc +-=，再化简为()22612b c bc +-=，即可求出6bc =，再利用三角形面积公式求解即可.【小问1详解】∵()sin sin ,sin sin m A B B C =-- ，(),n a b c =+ ，m n ⊥ ，∴()()()sin sin sin sin 0A B a b B C c -++-=．∴()()()0a b a b b c c -++-=，即222b c a bc +-=．∴2221cos 22b c a A bc +-==．∵0A π<<，∴3A π=．【小问2详解】在△ABD 中，由BD =，3A π=和余弦定理，得2222232cos BD AB AD AB AD A AB AD AB AD ==+-⋅=+-⋅．∵D 是AC 的中点，∴2b AD =∴22322b b c c ⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭，化简得224212c b bc +-=，即()22612b c bc +-=．∵2b c +=∴(2612bc -=，解得6bc =．∴11sin sin 22342ABC S bc A bc π====．∴△ABC 的面积为2．。
山西省运城市2014-2015年名校联合考试数学试题(二)
山西省运城市名校2014-2015年九年级联合考试数学试题时间 120分钟 满分120分 2015、1、12一、填空题（每小题3分共24分）1、(2013·烟台)已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋ab 的值是( )A ．7B ．－7C ．11D ．－112、 (2014·武汉)如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D.若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是( )A .51213B .125C .3513D .23133、 (2014·泸州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a)(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是( )A ．4B ．3＋ 2C ．3 2D ．3＋ 34、(2014·厦门)已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是( )A ．a ＜13，b ＝13B ．a ＜13，b ＜13C ．a ＞13，b ＜13D ．a ＞13，b ＝135、用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，可配成紫色的概率是( )A.14B.34C.13D.126、(2013·安徽)如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( )A.16B.13C.12D.237、(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则BFEF的值是( )A.2－1 B．2＋ 2C.2＋1D. 28(2014·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3二、填空题（每小题3分24分）9、(2013·自贡)已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.则正确结论的序号是__ __．10、如图，已知A点从(1，0)点出发，以每秒1个单位的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形OABC，使B，C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝____．11、(2013·巴中)在－1，3，－2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝kx的图象在第一、三象限的概率是____．12、(2013·黄石)甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0，1，2，3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n.若m，n满足|m－n|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是___．13、(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△A B′O′是△ABO 关于A 的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为____．14、 (2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝____里．15、 (2014·咸宁)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252；④0＜CE ≤6.4.其中正确的是__ __.(把你认为正确结论的序号都填上)16、 (2013·苏州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P.则点P 的坐标为__ __．三、解答题（共72分）17、 (2013·南京)如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，过点B 作BC ∥AD ，交⊙O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD ∥AB ，交AD 于点D ，连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD.(1)判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AB ＝9，BC ＝6，求PC 的长．（12分）18、(2014·宁波)作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；(2)用(1)中的平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次？(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率．(精确到0.1%)（10分）19、(2013·绵阳)为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：图1甲、乙射击成绩统计表图2甲、乙射击成绩折线图(1)请补全上述图表；(请直接在表中填空和补全折线图)(2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？（8分）20、(2013·荆门)经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时．(1)求三辆车全部同向而行的概率；(2)求至少有两辆车向左转的概率；(3)由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为25，向左转和直行的频率均为310.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．（10分）21、(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB 边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．（12分）22、(2013·衢州)(1)提出问题如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.(2)类比探究如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由．（10分）23、已知y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．（10分）。
63徐州市2012-2013学年高三(上)期中数学试卷(文科)
2012-2013学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，A∩B={0，1}．2．（5分）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是∃x∈（1，2），x2≤1．3．（5分）设（i为虚数单位），则a+b=．解：因为==，b=．故答案为：．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=24．=55．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）⊥”•=0：已知=⊥”，∴•“”⊥”6．（5分）设直线是y=3x+b是曲线y=e x的一条切线，则实数b的值是3﹣3ln3．﹣=3﹣+7．（5分）在△ABC中，a=14，b=7，B=60°，则边c=7（1+）．，，=，即=，又∴由正弦定理得：==14，sin75sin（××）1+8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是[﹣7，3]．w=表示的平面区域如下图所示：w=，当w=9．（5分）下列四个命题：①函数f（x）=xsinx是偶函数；②函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；③把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图象；④函数f（x）=sin（x﹣）在区间[0，π]上是减函数．其中是真命题的是①②③（写出所有真命题的序号）．）x+））），图象向右平移个单位长度﹣10．（5分）（2008•长宁区二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．4+，利用基本不+==4++≥4+，11．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有a n﹣a n+1≠1，a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2，则S2012=4023．12．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2．上，而而=2解：由题意可得：，故=2cos，，由基本不等式可得：≤213．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为3．±上，∴±＜﹣时，当﹣＜﹣（﹣．＜．，﹣=1967114．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4．•sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=]≤﹣=二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2010•苏州一模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）若{a n}是等比数列，求{b n}的前项和S n．，=16．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）设，试求的取值范围．cosB=．由此能求出），由，得，由此能求出cosB=…）因为）…的取值范围是17．（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？×（==x=）时，，x=）=．答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为18．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．，由根系关系即可求得实数，），，=x，=x=﹣x==，=+（（==+=19．（16分）各项为正数的数列{a n} 的前n项和为S n，且满足：S n=2++（n∈N*）（1）求a n；（2）设函数f（n）=，c n=f（2n+4（n∈N*），求数列{c n} 的前n项和T n；（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n＞λS k恒成立，求实数λ的最大值．2（2（+恒成立．．20．（16分）设函数y=f（x）=x2﹣bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称．又y=f （x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|．（1）求b及k的值；（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：++≤．，可以求出≥≤得：=，，，）=恒成立，所以（≤（+[2=γ≥∴（）=时，等号成立．。
山西省运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试理科数学试题
山西省运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}1,R y y x x A ==-∈，{}2x x B =≥，则下列结论正确的是（ ） A ．3-∈A B ．3∉B C ．A B =B D ．A B =B2、若命题“0R x ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2-- 3、若复数z 满足()12z i z -=+，则z 在复平面所对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4、已知函数()[](]23,1,23,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（ ）A2 B或4 C．或2 D．或4 5、执行如图所示的程序框图，运行的结果为3S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ） A ．6k >? B ．6k <? C ．5k >? D ．5k <?6、抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当F ∆PM 为等边三角形时，其面积为（ ）A． B ．4 C ．6 D． 7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4255S a +=，则一定有（ ） A ．6a 是常数 B ．7S 是常数 C ．13a 是常数 D ．13S 是常数8、一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（ ）A ．6π+ B．π C ．64π+ D．4π 9、已知三棱锥C S -AB 的四个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面C AB，C A =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB =（ ） A．B ．12 C． D ．12- 11、已知函数()sin cos f x a x b x =+（R x ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则点(),a b 所在的直线为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y += 12、设函数()sin x f x e x =+，()2g x x =-，设()()11,x f x P ，()()22Q ,x g x （10x ≥，20x >），若直线Q//P x 轴，则P ，Q 两点间最短距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知1a =，2b =，3a b +=，则a 与b 的夹角为 ． 14、如图所示，在矩形C OAB 内任取一点P ，则点P 恰落在图中阴影部分中的概率为 ．15、若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值为 ． 16、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线C A ，C B 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且cos C sin a b =+B ． ()1求B ；()2若1c =，3a =，C A 的中点为D ，求D B 的长．18、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 为菱形，PA ⊥平面CD AB ，C 60∠AB =，E ，F 分别是C B ，C P 的中点．()1证明：D AE ⊥P ；()2若2AB =，2PA =，求二面角F C E -A -的余弦值．19、（本小题满分12分）2014年11月10日C APE 会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：()1分别求出成绩在第3，4，5组的人数；()2现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，13n n n a S +=+（n *∈N ）．()1求证：{}3n n S -是等比数列；()2若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．21、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,1M ，焦距为．()1求椭圆E 的方程；()2若直线平行于OM ，且与椭圆E 交于A 、B 两个不同的点（与M 不重合），连接MA 、MB ，MA 、MB 所在直线分别与x 轴交于P 、Q 两点，设P 、Q 两点的横坐标分别为s ，，探求s t +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本小题满分12分）设函数()2ln f x x bx a x =+-．()1若2x =是函数()f x 的极值点，和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1x n n ∈+，n ∈N ，求n ；()2若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试试题理科数学参考答案。
2019-2020学年山西省运城市高一上学期期中调研测试数学试题(解析版)
2019-2020学年山西省运城市高一上学期期中调研测试数学试题一、单选题1．若集合{|62}A x x =-剟，{|23}B x x =-<<，则()A B =Rð（ ）A ．{|63}x x -<≤B ．{|62}x x -<…C ．{|62}x x -≤≤-D ．{|6x x <-或3}x …【答案】C【解析】根据集合的基本运算先求R B ð再求()RA B ð即可.【详解】因为R {|2B x x =-…ð或3}x …,所以()R {|62}A B x x ⋂=--剟ð 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型. 2．函数()()1ln 24f x x x =-+-的定义域是( ) A ．)2,4⎡⎣B ．()2,+∞C ．()()2,44,⋃+∞D ．)()2,44,⎡⋃+∞⎣【答案】C【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】 由题意得20,40,x x ->⎧⎨-≠⎩解得()()2,44,x ∈+∞.故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3．把“2019”中的四个数字拆开，可构成集合{}2,0,1,9，则该集合的所有真子集的个数为（ ） A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】根据元素个数为n 的集合真子集个数为 21n -求解即可. 【详解】集合{}2,0,1,9中共有四个元素,故其子集的个数为4216=个,所以其真子集的个数为16115-=.故选：C 【点睛】本题主要考查知识点元素个数为n 的集合真子集个数为 21n -.属于基础题型. 4．已知函数2(1)3f x x x +=-+，则()f x =（ ） A ．235x x -+ B ．25x x -+ C ．233x x -+ D ．23x x ++【答案】A【解析】换元设1t x =+,再反解代入2(1)3f x x x +=-+即可. 【详解】设1t x =+,则1x t =-,则22()(1)(1)335f t t t t t =---+=-+,即2()35f x x x =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查利用换元法求函数解析式的问题,属于基础题型. 5．已知5log 2a =，0.9log 1.1b =，0.92c -=，则( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．b a c <<【答案】D【解析】根据对数的性质判断10,02a b <<<，根据指数的性质判断12c >，由此得出三者的大小关系. 【详解】因为5510log 2log 2a <=<=，0.9log 1.10b =<，0.911222c --=>=，所以b a c <<.故选：A. 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.6．函数()3ln x f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性以及函数()y f x =在()0,1和()1,+∞上的函数值符号，可得出正确选项. 【详解】自变量x 满足0ln 0x x ⎧>⎪⎨≠⎪⎩，解得0x ≠且1x ≠±，则函数()y f x =的定义域为()()()(),11,00,11,-∞--+∞U U U .()()()33ln ln x x f x f x x x--==-=--Q ，则函数()y f x =为奇函数，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ∴<，当1x >时，ln 0x >，()0f x ∴>. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．函数()212()log 295f x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭B ．(,5)-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】先求出()212()log 295f x x x =+-的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可. 【详解】令22950x x +->,得f(x)的定义域为1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭,根据复合函数的单调性规律,即求函数2295t x x =+-在1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭上的减区间,根据二次函数的图象可知(,5)-∞-为函数2295t x x =+-的减区间. 故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.8．已知函数()f x 满足1,0()2,0xx f x ax a x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．(1,0)-C ．(,0)-∞D ．[1,)-+∞【答案】A【解析】根据12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减可知()f x 单调递减，从而得到一次函数单调递减及分段处函数值的大小关系，由此求得结果. 【详解】12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在0x ≤时单调递减 y ax a ∴=-在0x >时单调递减 0a ∴<又()f x 在R 上单调递减 012a ⎛⎫∴≥- ⎪⎝⎭，即1a ≥- 综上所述：[)1,0a ∈- 本题正确选项：A 【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略分段处的函数值的大小关系，属于常考题型.9．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()12x f x g x ++=，则()1g -= A ．32-B ．32C ．52D ．52-【答案】A【解析】根据奇偶性可得()()12x f x g x -+-=，构造方程组求得()g x 解析式，代入1x =-即可求得结果.【详解】()(),f x g x Q 分别为R 上的偶函数和奇函数 ()()()()12x f x g x f x g x -+∴-+-=-=又()()12x f x g x ++= ()()111222x x g x +-+∴=- ()()1311422g ∴-=⨯-=- 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到构造函数法求解函数解析式、函数奇偶性的应用等知识.10．函数113()934x x f x --⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[)1,-+∞上的值域为（ ） A ．3,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,3]-∞【答案】C【解析】令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭换元得23()3(03)4g t t t t =-++<…,再根据二次函数的值域求解方法求解即可. 【详解】1213113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,因为[1,)x ∈-+∞,所以(0,3]t ∈,原函数的值域等价于函数2233()33(03)42g t t t t t ⎛⎫=-++=--+< ⎪⎝⎭…的值域,所以3(),34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查了与二次函数有关的复合函数问题,利用换元法再根据二次函数的图像性质求解值域即可.属于基础题型.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ） A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log <<D ．()()()0.31.130.50.24f log f f <<【答案】A【解析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.12．已知函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④.123401x x x x <<这四个结论中正确的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出函数()f x 的图像，根据二次函数的对称性、值域和对数函数运算，结合图像，判断四个结论的正确性. 【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图.得出122x x +=-，341x x =，故①错误②正确；由图可知412x <<，故③正确；因为121x -<<-，()()()22121111122110,1x x x x x x x =--=--=-++∈，所以()1234120,1x x x x x x =∈，故④正确.故选C. 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的对称性和值域，考查对数运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、填空题13．已知函数2(2)1,0,()2,0,f x x f x x x -+>⎧=⎨+⎩…则(5)f =_______. 【答案】6【解析】根据分段函数的分段定义域分析代入(5)f 直至算出具体函数值即可. 【详解】由题意知2(5)(3)1(1)2(1)3(1)236f f f f =+=+=-+=-++=. 故答案为：6【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题,属于基础题型. 14．若幂函数()222()22m mf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m =_______.【答案】1【解析】根据幂函数的定义可知2221m m +-=,再代入指数中判断是否为减函数即可. 【详解】由已知2221m m +-=,解得3m =-或1m =.当3m =-时,15()f x x =在(0,)+∞上为增函数,不符合题意；当1m =时,1()f x x -=在(0,)+∞上为减函数,符合题意.故答案为：1 【点睛】本题主要考查根据幂函数求解参数的问题,同时也考查了幂函数的单调性.属于基础题型.15．设函数2log ,0,()2,0,xx x f x x ⎧>=⎨⎩…则函数2()3()8()4g x f x f x =-+的零点个数是_______. 【答案】5【解析】先求解关于()f x 的方程23()8()40f x f x -+=的根,再根据所得的根2()3f x =和()2f x =与原函数2log ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>=⎨⎩…数形结合进行交点个数的求解即可.【详解】令函数2()3()8()4[3()2][()2]0g x f x f x f x f x =-+=--=则2()3f x =或者()2f x =,又函数2log ,0,()2,0xx x f x x ⎧>=⎨⎩…的图像如图所示：由图可得方程2()3f x =和()2f x =共有5个根,即函数2()3()8()4g x f x f x =-+有5个零点. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了复合函数零点问题,重点是先求出关于()f x 的方程的根,再将所求得的根看成纵坐标从而数形结合求与原函数的交点个数即可.属于中等题型. 16．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.【答案】0【解析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为：0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.三、解答题 17．化简或求值． （10,0)a b >>；（2）11232012720.148π-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）1132a b ；（2）101【解析】（1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可. 【详解】（1）原式()()112333213121133221213322b a ab b a a b a b a b a b ab --⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭====⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭（2）原式1123329133311001101410222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题. 18．已知集合{|34}A x x =-≤<，{|131}B x a x a =+<-…. （1）当2a =时，求A B ；（2）若AB B =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|35}A B x x ⋃=-剟；（2）5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】(1)代入2a =,再计算AB 即可.(2)利用集合的包含关系列出对应的端点的不等式再求解即可. 【详解】(1)因为2a =,所以{|35}B x x =<…,因为{|34}A x x =-<…,所以{|35}A B x x ⋃=-剟. (2)因为AB B =,所以B A ⊆.当B =∅时,B A ⊆符合题意,此时131a a +-…,即1a …. 当B =∅时,因为B A ⊆,所以131,13,314,a a a a +<-⎧⎪+-⎨⎪-<⎩… 解得513a <<. 综上,a 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,同时注意B A ⊆时需要考虑B =∅的情况即可.属于中等题型.19．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【答案】(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩(2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【解析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩ （2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+.所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.20．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩…；（3）7m < 【解析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,∴21,3,a ab =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -…,即2t …时,函数h(x)在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h(x)在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩… (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.21．已知函数()21()22x x f x t t e e =---是定义域为R 的奇函数. （1）求t 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若函数221()2()x x g x e kf x e=+-在[0,)+∞上的最小值为-2，求k 的值. 【答案】（1）3t =或1t =-；（2）增函数，证明见解析；（3）2k =【解析】(1)由()f x 是定义域为R 的奇函数,利用(0)0f =求解得出t 的值.(2) 设12x x <,再计算()()12f x f x -的正负进行单调性的判断即可.(3)代入1()x x f x e e =-至221()2()x x g x e kf x e =+-中,令1()x x f x u e e=-=进行换元,再利用二次函数的方法分析最值求参数即可.【详解】(1)因为()f x 是定义域为R 的奇函数,所以(0)0f =,即2(0)230f t t =--=,解得3t =或1t =-, 可知1()x x f x e e=-,经检验,符合题意. (2) ()f x 在R 上单调递增.证明如下：设12x x <,则()()()2121212121111e e e e 1e e e e x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⋅⎝⎭. 因为12x x <,所以120e e x x <<,所以12e e 0x x -<,12110e ex x +>⋅,可得()()120f x f x -<. 因为当12x x <时,有()()120f x f x -<,所以()f x 在R 单调递增.(3)由(1)可知2221111()e 2e e 2e 2e e e e x x x x x x x x g x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 令1()e ex x u f x ==-,则2()22h u u ku =-+, 因为()f x 是增函数,且0x …,所以(0)0u f =…. 因为221()e 2()ex x g x kf x =+-在[0,)+∞上的最小值为-2, 所以()h u 在[0,)+∞上的最小值为-2.因为222()22()2h u u ku u k k =-+=-+-,所以当0k …时,2min ()()22h u h k k ==-=-,解得2k =或2k =-(舍去)； 当k 0<时,22min ()(0)222h u h k k ==+-=≠-,不合题意,舍去.综上可知,2k =.【点睛】本题主要考查奇函数的性质,单调性的证明以及换元法求解二次函数的复合函数问题的最值与范围问题.属于中等题型.22．已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；. （2）若不等式(ln )ln 0g x n x -…在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围； （3）若函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠；（2）52n -…；（3）6k =，该函数的零点为0，2-，2.【解析】(1)根据(2)y f x =-是偶函数求得表达式算出m 的值,进而求得()g x 的解析式即可.(2)换元令ln x t =,再求解(ln )ln g x n x -的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.(3)换元令()22log 4x p +=,结合复合函数的零点问题,分析即可.【详解】(1)∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数,∴60m -=,∴6m =.∴2()46f x x x =+-, ∴6()4(0)g x x x x=-+≠. (2)令ln x t =,∵21,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, ∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x -…在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt -…在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++…. 令2641z t t =-++,1s t =,则12s -…,256412z s s =-++-…,∴52n -…. (3)令()22log 4x p +=,则2p …,方程()()()22222log 490log 4g x k x ++⋅-=+可化为2()90g p k p +⋅-=,即62490k p p p -++-=,也即25(26)0p p k p-+-=. 又∵方程()()()22222log 490log 4g x k x ++⋅-=+有三个实数根, ∴25(26)0p p k p-+-=有一个根为2,∴6k =. ∴2560p p -+=,解得2p =或3p =.由()22log 42x +=,得0x =,由()22log 43x +=,得2x =±,∴该函数的零点为0,-2,2.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.。
山东青岛2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题(解析版)
2024年高三年级期初调研检测数学试题2024.09本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){}ln 4Ax y x ==−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）A. {5}B. {1,2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==−=<，则{1,2,3}A B ∩=. 故选：B.2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1−C. iD. i −【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法的计算公式得2i z =−，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可. 【详解】()()()()43i 12i 43i105i2i 12i12i 12i 5z +−+−====−++−， 则2i z =+，则其虚部为1.故选：A.3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα−≠+B. R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+C. R α∀∉，sin cos 44ππαα−=+D. R α∃∉，sin cos 44ππαα −=+【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则p ¬为“R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+”. 故选：B.4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ）A. 1−B. 3C. 24−D. 24【答案】D 【解析】2=d ，后根据等差数列求和公式计算即可.【详解】236,,a a a 成等比数列,则2326a a a =⋅，即21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+， 11a =−代入.得到212)1)15)(((d d d −+−+−+⋅=，0d ≠，解得2=d .则{}n a 的前6项和6656(1)2242S ×=×−+×=. 故选：D.5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1cos 3α=−，则()cos αβ−=（ ）A.19B. 79−C. 1D.79【答案】B 【解析】【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则1cos cos 3αβ==−，sin sin αβ=−，且228sin 1cos 9αα=−=，28sin sin sin 9αβα⋅=−=−， 故()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ−=⋅+⋅=−=−. 故选：B6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S =．粒子B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S上的投影向量为（ ）A.B.C. (1,2)D. (2,1)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得(3,1)B A S S S=-=，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量(1,2)A S =，(4,3)B S = ，可得粒子B 相对粒子A 的位移为(3,1)B A S S S =-=， 可得13215A S S =××=⋅+， 所以S在A S上的投影向量为(1,2)(1,2)A A AAS S S S S ⋅⋅== .故选：C.7. 设()()2,01,0x a x f x x a x x +≤= ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A. []1,0− B. []1,2−C. []2,1−−D. []2,0−【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式,二次不等式求解.【详解】由于()()2,01,0x a x f x x a x x +≤ = ++>，则当0x =，()20f a =.由于()0f 是()f x 的最小值，则(,0]−∞为减区间，即有0a ≤.则21,0a x a x x≤++>恒成立.由12x x +≥=，当且仅当1x =取最值.则 22a a ≤+，解得12a −≤≤。
2021年9月山西省运城市小升初数学历年思维应用题专训四卷含答案解析
2021年9月山西省运城市小升初数学历年思维应用题专训四卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.修一段长82.5米的路，第一天修23.5米，第一天修32.4米，还剩下多少米没有修？2.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行46千米，行了3小时，距中点还差15千米，甲乙两地相距多少千米．3.王老师买了4枝钢笔和12枝圆珠笔，共用去33.6元．钢笔的单价是圆珠笔的4倍，钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？4.植树节到了的时候，八班的学生栽了6棵树，每两棵间隔2米，照这样计算，栽15棵树距离是几米﹖5.有一个长方形长15厘米，宽8厘米，另一直角梯形上底长7厘米，下底长6厘米，高8厘米，将它们拼成一个梯形，梯形的面积是多少平方厘米．6.某小学五年级有学生250人，数学考试有5人不及格，及格率是多少？7.教育储蓄所得的利息不需要纳税,爸爸为吴铭斌存了5000元三年期的教育储蓄,年利率是3.24%。
到期后,可以从银行取得本金和利息一共多少元?8.食堂共有大米和面粉338千克，吃了大米的1/3、面粉的1/7正好是78千克，大米和面粉各有多少千克？9.一个长方形的周长30厘米，长和宽的比是2：1，它的面积是多少平方厘米？10.某小区新建12栋楼，每栋楼可人住48户居民，原有500户居民都能全部住进去吗？11.某商场第一季度销售小轿车157辆，一月份销售了87辆，二月份与三月份销售的辆数比是3：2，二月、三月份各销售了多少辆？12.某工厂要加工500个零件，已经加工了3天，每天加工96个，余下的要两天完成．平均每天要加工多少个？13.两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，甲车每小时行33千米，甲车每小时比乙车多行6千米，两车在途中相遇时，甲车比乙车多行多少千米？14.修一段路，小明独做10天完成，小华独做8天完成．小华的工作效率是小明的多少百分数？15.商店运来苹果和梨各12筐，共1080千克，已知苹果每筐重48千克，梨每筐重多少千克？16.玩具厂第一车间5天生产玩具705个，比第二车间每天少生产20个．第二车间每天生产玩具多少个？17.有一个棱长之和为60厘米的正方体木块，重量为75克，照这样，4立方分米的木块重多少克？18.甲乙两城相距670千米，一列客车从早上8：10出发，以每小时行65千米的速度从甲地出发开往乙地；一列货车从早上9：10出发，以每小时行45千米的速度从乙地出发开往甲地，货车行驶了几小时后两车相遇？19.王老师每天骑车到学校上班，他刚从家出发时是宽阔的一级马路，以每小时14.6千米的速度骑行了0.15小时，之后他又骑行了2.8千米的一段三级马路到达了学校，王老师的家到学校有多少千米？20.师徒两人一起加工零件．师傅加工的个数是徒弟的1.5倍，师傅一共比徒弟多加工了120个零件．师傅和徒弟各加工了多少个零件？（用方程解）21.一辆货车和一辆客车从甲、乙两地相对开出，货车每小时行46.8千米，客车每小时行63.4千米，4.8小时后相遇，甲、乙两地公路长多少千米？22.植树节时同学们去种树，种了7行，每行9棵，结果死了4棵，成活了多少棵？23.一辆汽车从甲地开往乙地，5小时行了375千米，这辆汽车的速度是多少？如果照这样的速度，再行7小时就能到达乙地，甲、乙两地的路程是多少千米？24.妈妈去超市购买了一些蔬菜、水果和一台豆浆机，一共付款178.6元．其中购买水果用去了38.2元，比较购买蔬菜多用了15.5元，豆浆机需要多少元？25.大山化肥厂前2天生产化肥148.2吨，后3天生产化肥225.6吨，这几天平均每天生产化肥多少吨？26.两个小组做纸花，第一小组做了348朵，第二小组有4个组员，平均每个组员做了58朵，他们一共做了纸花多少朵？27.小明看一本240页的书，3天看了全书的1/5．照这样计算，多少天能够看完．28.在一个长20厘米，宽10厘米，水深6厘米的玻璃缸中放下一块棱长为10厘米的正方体石块，石块完全沉入水中，水位升高几厘米？29.甲、乙两地相距471千米，一辆客车和一辆货车同时分别从两地相对开出，经过3小时相遇．已知客车每小时行82千米，货车每小时行多少千米？30.甲、乙两辆电动玩具车分别从相距100厘米的A、B两端同时相对开出，到达B端(或A端)立即返回，往返运行，两车的速度分别是每秒25厘米和每秒10厘米．问10分钟内它们一共相遇多少次？31.一个长方体的鱼缸，从里面量长6分米、高5分米、宽4分米，现在往鱼缸内注入96升水，水面离鱼缸的沿口有多少分米？32.师徒两人共同完成一批零件，师傅每时做45个，徒弟每时做32个，两人共同工作了6小时，师傅有事离开，剩下的由徒弟一人工作了5小时才完成，这批零件共有多少个？33.某车间有普通工人84人，技术人员16人，按工作的最优组合，技术人员与普通工人的比是1：4．如果你是厂长，为了达到工作的最优组合，你打算如何做？（请考虑“辞退”、“招工”等不同情况）34.看一本书，第一天看了24页，第二天看了全书的25%，第二天看的页数比第一天多50%，这本书共多少页？35.有58个同学参加夏令营，其中女同学有27个．每个房间能住4人．请问：(1)女生需要多少个房间？(2)男生需要多少房间？36.某工厂五月份交税180万元，比四月份多交了20万元，比四月份多交了百分这几？37.两地相距400千米，甲乙两车同时从两地相对开出，经过4小时两车相遇，甲车每小时行46千米，乙车每小时行多少千米？38.某人到商店买两件货物，在付钱时，他把其中一件货物单价个位上的“零”漏掉了，准备付43元钱取货，售货员说：“你弄错了，应该付61元．”请你算一算，两件货物价格分别是多少元？39.饲养场养了257只公鸡，268只母鸡，平均每只卖35元，一共卖多少元钱？40.甲、乙两车分别同时从A、B两城相向行驶6小时后可在途中某处相遇．甲车因途中发生故障抛描，修理2.5小时后才继续行驶．因此，从出发到相遇经过7.5小时．那么，甲车从A城到B城共用了多少小时？41.六年级同学开展植树活动，成活80棵，5棵没有成活．成活率是多少？42.一桶油第一次取出3/8千克，第二次取出2/5千克，第三次取出1/3千克，哪次取出的多？43.某车间计划生产400条红领巾，第一天生产了60条，第二天生产了80条．生产了计划的多少百分数？44.某机器厂九月份计划安装机器1350台，结果上半月完成计划的5/9，下半月完成计划的3/5，九月份实际超产多少台？45.甲乙两人共同生产一批零件，甲每小时生产32个，乙每小时生产28个，3.5小时后，这批零件全部生产完，这批零件一共有多少个？46.外语学校四．五．六年级学生在迎亚运征文活动中共有325人获奖，四年级比五年级多18人，六年级比四年级多25人．三个年级各有多少人获奖？47.甲、乙两地相距678千米，一辆客车从甲城开往乙城，每小时行52千米，3小时后，一辆货车从乙城开往甲城，每小时64千米．货车开出几小时后和客车相遇？48.淘气看一本书，第一周看了全书的30%，第二周看了全书的50%，还有70页没看，这本书共有多少页？49.从甲地到乙地铁路长835千米，一列快车从甲地开往乙地，同时一列慢车从乙地开往甲地，两车相向而行经过5小时相遇，慢车每小时行65千米，快车每小时比慢车多行多少千米？50.一个三角形的面积是96平方厘米，它的底是16厘米，高与底的比是多少？51.小丁丁在学校图书馆借了一本255页的科技书，计划用一个星期看完．前5天平均每天看37页，剩下的要在双休日看完，平均每天要看多少页？52.师徒两人同时装计算机，师傅每天装配31台，徒弟每天装配22台．经过多少天师傅比徒弟多装配81台？53.王老师在黑板上写了15个自然数，让同学们计算平均数，并指出平均数是一个循环小数，要保留两位小数．结果有一位学生得出的答案是12.46，王老师笑了笑，说：这个答案的最后一位数字错了，其他数字都对，正确的答案是多少？54.一匹马最快每小时可以跑69千米，一辆汽车每小时可以行驶120千米．这种汽车2.3小时行的路程，一匹马要用多长时间跑完？55.做一个有盖的长方体铁皮箱，长是10分米，宽是7分米，高是5分米，共需铁皮多少平方米？56.新和小学组织四年级381个同学到市影剧院观看演出．（1）用8辆48座的客车能一次载完吗？（2）市影剧院每排有25个座位，四年级的同学可以坐满几排？还剩几人？57.一个长方形草坪的周长是22米，它的长是8米，这个长方形的面积是多少平方米．58.两辆汽车分别从相距630千米的两地相向开出，甲车每小时行48.3千米，乙车每小时行51.7千米，经过多少小时两车相遇？59.五年级和六年级共有310人参加学科竞赛．已知六年级参赛人数的3/8等于五年级参赛人数的2/5．五、六年级参加学科竞赛的各有多少人？60.小英看一本故事书有188页，前4天平均每天看17页，以后每天看20页，还要几天可以看完？（请你解答后，把得数当作已知数来检验一下）．61.甲、乙、丙三人的步行速度分别为每分钟70米、60米和50米，甲从B地，乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后2分钟又遇到丙，求A、B两地距离是多少米．62.光明小学有学生840人，五年级占学校学生的2/7，五年级的女生占本年级的5/12，五年级有女生多少人？63.工人叔叔做零件，前3天每天做125个，后4天每天做160个，一星期工人叔叔做零件多少个？64.甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的最多；乙拿出一些给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的最多；丙又拿出一些给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果三人的钱数一样多．如果他们三人共有81元，则三人原有的钱数分别是多少元？65.甲、乙两辆汽车合运一批货物，原计划甲车运货量是乙车的2倍，实际乙车比原计划多运4吨，这样甲车就只运了这批货物的14/27，求这批货物共有多少吨？66.一根钢管，截去它的40%，还剩下2.4米．这根钢管原长多少米？如果要剩下这根钢管的45%，要截去多少米？67.两汽车从相距525千米的两地同时相对开出，甲车每小时行84.5千米，乙车每小时行65.5千米，经几小时两车相遇？68.妈妈今年43岁，女儿今年11岁，多少年前，妈妈的年龄是女儿的5倍？69.某养鸡场要砌一道长12.6米、宽0.6米、高1.8米的围墙，如果每立方米需用砖500块，那么砌这道墙一共要用砖多少块？70.小红看一本80页的故事书，第一天看了全书的1/5，第二天比第一天多看4页，第二天看了全书的几分之几？71.一辆客车每小时行驶125千米，上午9：30从甲城出发，下午4：30到达乙城，那么甲乙两城相距多少千米？72.王老师买了12张成人票和儿童票,一共用去128元。
2023-2024学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省运城市2023-2024学年高三上学期摸底调研测试数学试题含解析
运城市2023-2024学年高三摸底调研测试数学试题（答案在最后）2023.9本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的．1.已知集合{}220A x x x =+<，{}1B x x =>-，则A B ⋃=（）A.()2,0-B.()2,-+∞C.()1,-+∞ D.()1,0-【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.【详解】由{}()2202,0A x x x =+<=-，而{}1B x x =>-，所以A B ⋃=()2,-+∞.故选：B 2.若复数z 满足()()1i 11z --=，则z=（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则，给合复数模的运算公式进行运算即可.【详解】()()()()()i 1i 111i 1111i 1111i 1i 1i 1i 1i 1i 22z z z -+----=⇒-=⇒=-===-----+，因此2z ==，故选：A3.已知两条不同的直线m ，n 和平面α满足m α⊥，则“//m n ”是“n α⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．【详解】解：若//m n ，则由m α⊥，可得n α⊥，充分性成立；反之，若n α⊥，则由m α⊥，可得//m n ，必要性成立．所以“//m n ”是“n α⊥”的充要条件．故选：C ．4.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）A.15B.910C.35D.920【答案】D 【解析】【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：22342255C C 1192C 2C 20⨯+⨯=，故选：D5.已知()()()2lg2lg 10lg f x x x =⋅+，则()5f =（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数运算律计算即可.【详解】()()()()()()()()()()22225lg2lg 50lg5lg2lg5+lg10lg5lg2lg5+lg10lg5lg2lg5lg5+lg2lg5lg2lg5+lg2lg5lg10+lg2===l ====g5+lg2lg10=1f =⋅+⋅+⋅+⋅++故选：A.6.在数列{}n a 中，如果存在非零的常数T ，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()*21Nn n n x x x x ++=-∈，若11x=，2x a=（1a ≤且0a ≠），当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2024项的和2024S 为（）A.676B.675C.1350D.1349【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得341,2x a x a =-=-，得到41x =，求得1a =，进而得到1232x x x ++=，结合周期性，即可求解.【详解】因为2111,(x x a a =≤=且0)a ≠，满足()*21N n n n x x x x ++=-∈所以321=11x x x a a =--=-，因为数列{}n x 的周期为3，可得432221x x x a a =-=-=-=，所以1a =，所以1231,1,0x x x ===，所以1232x x x ++=，同理可得4561,1,0x x x ===，所以4562x x x ++=， ，所以20242023202467426742111350S a a =⨯++=⨯++=.故选：C.7.设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ，又122PF PF a -=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+，故225c a =，离心率ca=故选：D8.已知1sin 0.1a =+，1ln1.1b =+，101.01c =，则（）A .a b c<< B.b a c <<C.c<a<b D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据二项式展开式，得到 1.1c >，设()sin g x x x =-，利用导数得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，根据()()00g x g >=，得到a c <，令()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+∈，得到a b >，即可求解.【详解】由()101012210101101010101.0110.11C 0.01C 0.01C 0.011C 0.01 1.1c ==+=+⋅+⋅++⋅>+⋅+= ，设()sin g x x x =-，可得()1cos 0g x x ='-≥恒成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g >=，所以sin x x >在在(0,)+∞上恒成立，所以1sin 0.110.1 1.1a =+<+=，所以a c <，设()21cos 1,(0,1)2x x x x ϕ=-+∈，可得()sin 0x x x ϕ'=-+>，所以()()00ϕϕ>=x ，所以211s 2co x x >-设()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+∈，可得()2111(2)(1)cos 101212(1)x x x f x x x x x x -+-'=->--=>+++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，所以()()0.100f f >=，可得sin 0.1ln1.1>，即a b >，所以b a c <<.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1//A M 平面1ACD B.三棱锥A M BC -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大【答案】ABD【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质，结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展开图逐一判断即可.【详解】A ：如下图所示：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以11//A C AC ，而11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理由1111ABCD A B C D -是正方体可得11//A B D C ，同理可证明1//A B 平面1ACD ，而1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂平面11A C B ，所以平面11//A C B 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A C B ，所以直线1//A M 平面1ACD ，因此本选项正确；B ：如下图所示：过M 作1//EF BB ，交11BC 、BC 于E 、F ，过M 作//MG BC ，交1CC 于G ，因为11BCC B 是正方形，所以可得ME MG =，111111222222323233A MBC D MCD M ABC M CDD V V V V MF MG MF ME----+=+=⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⋅=+2242333EF =⋅=⨯=，因此本选项正确；C ：将平面11BCC B 与平面11ABC D展成同一平面，如下图所示：当,,A M C 三点共线时，AM MC +最小，作CN AB ⊥，交AB 延长线于N ，则2CN BN ==，2AN AB BN =+=+，AM MC AC +==，所以AMC的周长的最小值为，因此本选项不正确；D ：当点M 是1BC 的中点时，1CM BC ⊥，因为11D C ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以11D C CM ^，而1111111,,BC D C C BC D C =⊂ 平面11AD C ，所以CM ⊥平面11AD C ，CM 与平面11AD C 所成角为π2，因此本选项正确，故选：ABD11.已知函数()()()2222,1log 1,1x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x 、2x 、3x 、4x （1234x x x x <<<），则下列结论正确的是（）A.12m ≤<B.132x -≤<-C.233458122416x x x <++≤D.2212log mx x ++172【答案】BC 【解析】【分析】画图象判断m 和1x 的取值范围，可得A 错误，B 正确；将方程变形，用m 表示1x 、2x 、3x 、4x ，代入原式化简，利用导数求函数最值判断C 正确，利用基本不等式计算判断D 错误.【详解】如图，由函数()f x 的图像可知，12m <≤，A 错误；当2m =时，13x =-，当1m =时，122x x ==-，故132x -≤<-，B 正确；2324log (1)log (1)x x m -+=+=，则321m x -=-，421m x =-，所以2233422(21)2(21)2(21)mm m x x x --++=-+-+-22223m m -=+⨯-令2m t =，则(2,4]t ∈，原式2123y t t=+-，3332222t y t t-=-+='，显然在(2,4]t ∈时，0'>y ，即y 在(2,4]t ∈上单调递增，21522324y >+⨯-=，2181243416y ≤+⨯-=，即233458122416x x x <++≤，C 正确；由图像可知，22122)2)22x x m ++==（（，则12x =-，22x =-+，所以221222log 4log 224log 22log m m x x m m ++++⨯⨯+-⨯⨯282log log 8log 8210m m m =++=+≥+=，当且仅当logm =m =错误.故选：BC.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数为()f x '，且()()ln f x f x x x ='+，11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()11e 1e 1ef f -⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭B.()()e 1e e1f f -⋅>C.()f x 在()0,∞+上是增函数 D.()f x 存在最小值【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，构造()()1ex F x f x -=，求导得到其单调性，从而判断AB 选项，CD 选项，构造()()1ex F x f x -=，二次求导，得到其单调性，判断CD.【详解】设()()1ex F x f x -=，则()()()()11e e ln x x F x f x f x x x --''=+=，当1x >时，()0F x '>，当01x <<时，()0F x '<，()()1e x F x f x -=在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，A 选项，因为11e <，所以()11e F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()11e1e 1e ff -⎛⎫> ⎪⎝⎭，A 正确；B 选项，因为e 1>，所以()()e 1F F >，即()()e 1e e 1f f ->，B 正确；C 选项，()()1ex F x f x -=，则()()()1ex F x F x f x -'-'=，令()()()g x F x F x '=-，则()()()111e ln e ln e 1ln x x x g x x x x x x ---''=-=+，当1e x >时，()0g x '>，当10ex <<时，()0g x '<，故()()()g x F x F x '=-在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又11111111e e e e11111111e ln e e +e 0e e e e e e e e g F F f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=⋅-=-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()()0g x F x F x '=-≥恒成立，所以()()()10ex F x F x f x -'-'=≥在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，故无最小值.故选：ABC【点睛】利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e xg x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e，若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f x g x x=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足：a 5()2a b + ⊥a ，则a b ⋅ =_______【答案】52-## 2.5-【解析】【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.【详解】由()2a b + ⊥a 可得252=02a ab a b ，+⋅∴⋅=-，故答案为：52-14.已知()()4529012912x x a a x a x a x +-=++++ ，则2468a a a a +++=______________．【答案】24【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在()()4529012912x x a a x a x a x +-=++++ 中，令1x =，得()()450129111216a a a a +-=++++=- ①，令=1x -，得()()45012911120a a a a -+--=-++-= ②，令0x =，得()()450010232a +-==-①+②，得()()024682468221616232242a a a a a a a a a ++++=-⇒+--⨯-==++，故答案为：2415.已知函数()22π()2sin cos ()sin 024x f x x x ωωωω=-->，现将该函数图象向右平移π4ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，且()g x 在区间3(,)24ππ上单调递增，则ω的取值范围为______________．【答案】711(0,1][,23【解析】【分析】根据给定条件，化简函数()f x ，结合图象平移求出函数()g x ，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.【详解】函数22π()sin [1cos()]sin sin (1sin )sin sin 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=+--=+-=，因此ππ)sin())44((g x x f x ωω==--，0ω>，由πππ2π2π,Z 242k x k k ω-≤≤+∈-，解得2ππ2π3π,Z 44k k x k ωωωω-≤≤+∈，即函数()g x 在2ππ2π3π[,](Z)44k k k ωωωω-+∈上单调递增，于是)π3π(2,2πππ3π[,](Z 4244k k k ωωωω-∈⊆+，即2πππ42,Z 2π3π3π44k k k ωωωω⎧-≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得142,Z 813k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，由811432,Z 8103k k k k ⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+>⎪⎩，得3988k -<≤，而Z k ∈，即0k =或1k =，当0k =时，01ω<≤，当1k =时，71123ω≤≤，所以ω的取值范围为711(0,1][,23.故答案为：711(0,1][,2316.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，圆M ；()2211x y -+=，过F 的直线l与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则94AP BQ +的最小值为______________．【答案】12【解析】【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“9||4||13AF BF +-”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将9||4||13AF BF +-表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =，如下图，1PF QF ==，因为()()9||4||9||||4||||9||4||13AP BQ AF PF BF QF AF BF +=-+-=+-，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1122||1,||122p pAF x x BF x x =+=+=+=+，所以129||4||94AP BQ x x +=+，因为直线l 水平时显然不合题意，故可设:1l x my =+，因为直线所过定点()1,0F 在抛物线内部，则直线l 必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，()222410x m x -++=，所以121=x x ，所以129||4||9412AP BQ x x +=+≥，当且仅当1294x x =，即1223,32x x ==时取等号，所以9||4||AP BQ +的最小值为12.故答案为：12.【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在等比数列{}n a 中，12a =，24a ，32a ，4a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n n a =（2）()1122n n S n +=-+【解析】【分析】（1）由题意设等比数列的公比为q ，根据题意，列出方程组求得2q =，进而得到数列的通项公式；（2）由（1），得到2nn b n =⋅，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.【小问1详解】解：由题意设等比数列的公比为()0q q >，因为12a =，且24a ，32a ，4a 成等差数列，可得32444a a a =+，则2311144a q a q a q =+，即32440q q -+=，解得2q =，所以数列{}n a 的通项公式为111222n n n n a a q --==⨯=.【小问2详解】解：由（1）可得222log 2log 22n n nn n n b a a n =⋅=⋅=⋅，则()231122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减，可得2311222222n n n n S n -+-=+++++-⋅ ()1122n n +=--所以()1122n n S n +=-+.18.在①222sin 3b c a ac B +-=；②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）若a =，求ABC 周长的范围．【答案】（1）π3A =（2）a b c <++≤【解析】【分析】（1）正弦定理结合余弦定理求解即可；（2）先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.【小问1详解】选择①：因为222sin 3b c a ac B +-=，由余弦定理可得232cos sin 3bc A ac B =，cos sin sin B A A B =．因为()0,πB ∈，则sin 0B >，sin A A =，即tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =；选择②：因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为()0,πA ∈，所以π3A =；【小问2详解】由（1）知π3A =，又已知a =，由正弦定理得：∵8sin sin sin a b c A B C===,∴8sin b B =，8sin c C =,∴2π18sin 8sin 8sin sin 8sin sin +cos 322b c B C B B B B B ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=+=+-=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦1cos sin22B B ⎫=+⎪⎪⎭π6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2π03B <<,∴1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,∴b c <+≤,∴a b c <++≤19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130140,，[]140,150，得到如图所示的频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为X ，求X 的分布列及均值.（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()*2,n n n ≥∈N个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为Y ，Z .①求Y 的分布列及均值；②求Z 的均值取最大值时，正整数n 的值.【答案】（1）分布列答案见解析，34EX =；（2）①分布列答案见解析，()222EX n =+；②n 的值为2.【解析】【分析】（1）可得X 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）①可得Y 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列；②利用基本不等式可求出.【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以X 的可能取值为0，1，2.()306238C C C 5014P X ===，()216238C C C 15128P X ===，()126238C C C 3228P X ===，所以X 的分布列为X012P5141528328所以515330121428284=⨯+⨯+⨯=EX .（2）①由题意，知Y 的可能取值为0，1，2.()()()()222244310122n n P Y n n ⎡⎤++==-=⎢++⎢⎥⎣⎦，()()()()()222411221212222P Y n n n n ⎡⎤==-⨯=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦，()()4122P Y n ==+，所以Y 的分布列为Y012P()()224432nn n +++()()242222n n -++()412n +所以()()()()()()224244243221201222222n n EY n n n n n ⎡⎤++=⨯+⨯-+⨯=⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦.因为Z nY =，所以()22214424n EZ nEY n n n===≤+++，当且仅当2n =时取等号.所以EZ 取最大值时，n 的值为2.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，CD AB ∥，1===AD DC CB ，2AB =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒.（1）证明：BD PA ⊥；（2）求二面角D PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）作DM AB ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，通过余弦定理角解得BD =，再通过勾股数得BD AD ⊥，再利用线面垂直的性质得到BD PD ⊥，从而得到BD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可证明结果；（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.【小问1详解】作DM AB ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，因为1===AD DC CB ，2AB =，则1MN CD ==，12AM BN ==，所以1cos 2DAB ∠=，又(0,π)DAB ∠∈，所以60DAB ∠=︒，由余弦定理可知22212cos 1421232BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得到BD =，所以222AD BD AB +=，所以BD AD ⊥，又PD⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD PD ⊥，又AD PD D =I ，,AD PD ⊂面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂面PAD ,所以BD PA ⊥.【小问2详解】以D 点为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立如图坐标系因为PD⊥平面ABCD ，所以PB 与平面ABCD 所成的角就是PBD∠所以45PBD ∠=︒，PBD △为等腰直角三角形，所以PD=(P，()B，1,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(PB =，1,,22PC ⎛=- ⎝ 设平面PBC 的法向量(),,n x y z = ，则则由00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到013022x y =⎨-+=⎪⎩，取1x y z ===-，得)1,1n =--，又易知，平面DPB 的一个法向量()1,0,0m =，cos ,||||5n m n m n m ⋅===⋅，由图知二面角为锐角所以二面角D PB C --的余弦值为5.21.已知函数3()2cos ,()(1),[0,1]2x f x x x g x a x x ==--∈．（1）当2a =时，求证：()2()f x g x ；（2）若()()f x g x 对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）,)[3a ∈+∞.【解析】【分析】（1）由2a =得到3()2x g x x =-，然后作差2()2()2cos 12x f x g x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，构造函数2()cos 12x h x x =-+，用导数法证明.（2）将()()f x g x 对[0,1]x ∈成立，转化212cos 2x a x -+ 对[0,1]x ∈成立，令2()2cos 2xn x x =+，用导数法求得其最大值即可.【详解】（1）2a =时，3()2x g x x =-，23()2()2cos 22cos 1,[0,1]2x f x g x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-+∈ ⎪⎝⎭令2()cos 1,()sin 2x h x x h x x x =-+=-+'，令()()m x h x '=，则()cos 10m x x =+'- ，∴()m x 在[0,1]上是增函数，∴()()(0)0h x m x m ='= ，∴()h x 在[0,1]上是增函数，∴()(0)0h x h = ，∴[0,1]x ∈时，()2()2()0f x g x xh x -= ，∴()2()f x g x ；（2）∵()()f x g x 对[0,1]x ∈成立，∴212cos 2x a x -+ 对[0,1]x ∈成立，令2()2cos 2x n x x =+，则()2sin n x x x '=-+，令()()t x n x '=，则()2cos 1t x x ='-+，∵[0,1]0,3x π⎡⎤∈⊆⎢⎥⎣⎦，∴1cos 2x >，∴()0t x '<，∴()t x 在[0,1]上是减函数，∴()()(0)0n x t x t ='= ，∴()n x 在[0,1]上是减函数，∴()(0)2n x n = ，∴12a - ，∴3a ，即,)[3a ∈+∞．【点睛】方法点睛：求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．22.已知椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，离心率3e =，且过点1)3，（1）求椭圆方程；（2）Rt ABC △以(0,)A b 为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于,B C 两点，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）2219x y +=；（2）278．【解析】【分析】（1）根据离心率及所给的点可得方程，解之即得椭圆方程；（2）不妨设AB 的方程1(0)y kx k =+>，与椭圆方程联立，求出,B C 两点的坐标，结合弦长公式及三角形面积公式得到关于k 的函数，然后利用换元法及基本不等式求函数的最值．【小问1详解】由3c e a ==，222a b c =+，得3a b =，把点1)3带入椭圆方程可得22221()(22)319b b +=，解得1b =，所以3a =，所以椭圆方程为：2219x y +=；【小问2详解】由题可知()0,1A ，不妨设AB 的方程1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k =-+，由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(19)180k x kx ++=，所以21819B k x k -=+，k 用1k -代入，可得218,9C k x k=+从而有22,1818199k k AB AC k k==++，于是2222211(1)16216212(19)(9)9(82ABC k k k k S AB AC k k k k++==⋅=⋅++++ ，令12t k k =+³，有2162162276496489ABC t S t t t ==≤++ ，当且仅当823t =>时，ABC 面积的最大值为278．。
运城市盐湖区2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案
运城市盐湖区2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中。
1．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．如图，在△BCD中，CD边上的高是（ ）A．BD B．AD C．AF D．CD【分析】根据三角形的高的概念判断即可．解：在△BCD中，CD边上的高是BD，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，AC＝9，则BD的长为（ ）A．3B．9C．12D．15【分析】关键是根据全等三角形的性质解答即可．解：因为△ABC≌△DEC，CE＝6，AC＝9，所以BC＝CE＝6，CD＝AC＝9，所以BD＝BC+CD＝6+9＝15，故选：D．4．已知三角形三个内角的度数之比为3：3：4，则这个三角形是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】（方法一）设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°，利用三角形内角和定理可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再分别将其代入3x°，4x°中可求出三角形的各内角，进而可得出这个三角形是等腰三角形；（方法二）由三个内角之间的比例关系，利用等腰三角形的定义，可得出这个三角形为等腰三角形．解：（方法一）设三角形最大的内角为4x°，则另外两个内角均为3x°，依题意得：3x+3x+4x＝180°，解得：x＝18，所以3x°＝3×18°＝54°，4x°＝4×18°＝72°，所以这个三角形是等腰三角形；（方法二）因为三角形三个内角的度数之比为3：3：4，所以这个三角形为等腰三角形．故选：A．5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠DAE的度数为（ ）A．46°B．56°C．36°D．26°【分析】根据正五边形的性质得出AE＝DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以AE＝DE，∠E＝＝108°，所以△AED是等腰三角形，所以∠DAE＝∠ADE＝×（180°﹣∠E）＝×（180°﹣108°）＝36°．故选：C．6．如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为（ ）A．34°B．40°C．45°D．60°【分析】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可．解：因为∠CDB′＝94°，所以∠ADB＝∠CDB′＝94°，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝60°，因为AB′平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠BAD＝120°，所以∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝34°，因为△ABC≌△A′B′C′，所以∠C′＝∠C＝34°，故选：A．7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，AB＝7cm，BD＝3cm，则△BDE的周长为（ ）A．13cm B．10cm C．4cm D．7cm【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠CAD，求得AE＝DE，于是得到结论．解：因为AD平分∠BAC，所以∠EAD＝∠CAD，因为DE∥AC，所以∠ADE＝∠CAD，所以∠EAD＝∠ADE，所以AE＝DE，所以△BDE的周长＝DE+BE+BD＝AE+BE+BD＝AB+BD，因为AB＝7cm，BD＝3cm，所以△BDE的周长为7+3＝10（cm），故选：B．8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB＝7cm，BC＝15cm，则AE的长为（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】利用AAS证得△PBE≌△PBF，从而得BE＝BF，再由HL证得Rt△PEA≌Rt△PFC，从而得到AE＝CF，根据则有AB+AE＝BC﹣FC，即可解答．解：因为PF⊥BC，PE⊥AB，所以∠E＝∠PFB＝90°，因为PB平分∠ABC，所以∠EBP＝∠FBP，在△PBE与△PBF中，，所以△PBE≌△PBF（AAS），所以BE＝BF，所以AB+AE＝BC﹣FC，连接AP，CP，如图所示，因为PD是AC的垂直平分线，所以AP＝CP，因为PB平分∠ABC，PF⊥BC，PE⊥AB，所以PE＝PF，在Rt△PEA与Rt△PFC中，，所以Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），所以AE＝CF，所以AB+AE＝BC﹣FC，即7+AE＝15﹣AE，解得：AE＝4cm．故选：B．9．如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝5：3，则∠DBC 的度数为（ ）A．12°B．24°C．20°D．36°【分析】设∠A＝5x，根据全等三角形的性质用x表示出∠BDE，∠E，根据三角形内角和定理求出x，结合图形计算，得到答案．解：设∠A＝5x，则∠C＝3x，因为∠BDA＝∠A，所以∠BDA＝5x，因为△ABC≌△DBE，所以∠BDE＝∠A＝5x，∠E＝∠C＝3x，在△ADE中，∠A+∠ADE+∠E＝180°，所以5x+5x+5x+3x＝180°，解得：x＝10°，所以∠A＝5x＝50°，∠C＝3x＝30°，所以∠ABC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∠ABD＝180°﹣50°×2＝80°，所以∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝100°﹣80°＝20°，故选：C．10．有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值【分析】以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB，结合平行线的性质可求解∠DFB＝140°，当点F位于点F'处时，由DF＝DF'可求解∠DF'B的度数．解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，所以∠DFF'＝∠DF'F，因为BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，因为DE∥AB，∠ABC＝40°，所以∠DEB＝180°﹣40°＝140°，所以∠DFB＝140°；当点F位于点F'处时，因为DF＝DF'，所以∠DF'B＝∠DFF'＝40°，故选：A．二、填空题本大题共5个小题，每小题3分，共15分.11．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 9 ．【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．解：360÷40＝9，即这个多边形的边数是9．12．如图，在平面直角坐标系上有A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3）三点，若P是△ABC 三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为 （﹣2，﹣1） ．【分析】根据线段垂直平分线的性质解答．解：如图所示：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点P，点P的坐标为（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．13．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 22cm ．【分析】首先根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，再根据AE的长可以计算出AB+CB，进而可得△ABD的周长．解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，因为AE＝4cm，所以CE＝4cm，因为△ABC的周长为30cm，所以AB+CB＝30﹣8＝22（cm），△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝22cm，故答案为：22cm．14．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 20 ．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，因为OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，所以OE＝OF＝OD＝2，因为△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，所以S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×2＝×20×2＝20，故答案为：20．15．如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 30°或15°或60° ．【分析】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三种情况，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A即可得解．解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，所以∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝30°；②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝30°，所以∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，所以∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；或AB＝BD，∠A＝60°；或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．综上所述，∠A的度数可以是30°或15°或60°．故答案为：30°或15°或60°．三、解答题本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
山西省运城市景胜中学2024_2025学年高二数学上学期期中试题文
山西省运城市景胜中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题文一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 下列几何体不是旋转体的为( )A.圆柱B.棱柱C.球D.圆台2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是A. B. C. D.3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.4. 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是A.，B.，C.，D.，5. 圆与圆的公共弦的长为A. B. C. D.6. 在空间中，有如下四个命题：①若平面垂直平面，则平面内的随意一条直线垂直于平面；②平行于同一个平面的两条直线是平行直线；③垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直．其中正确的两个命题是( )A.①、③B.②、④C.③、④D.②、③7. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥中最长的棱长为A. B. C. D.8. 三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心9. 在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.10. 已知方程，则的最大值是( )A. B. C. D.11. 圆关于直线对称，则的最小值是( )A. B. C. D.12. 如图，已知正方体的棱长为，点在线段上，且，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为( )A. B. C. D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 圆锥底面半径为，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________.14. 直线被圆所截的弦长的最小值为________.15. 圆＝上恰有两点到直线＝的距离为，则实数的取值范围是________．16. 若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则的最小值是________.三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）17.(10分) 已知圆的方程为.求过点且与圆相切的直线的方程；直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程.18.(12分) 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，.证明：平面；求点到平面的距离．19.(12分) 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求边所在直线方程；求过顶点且与平行的直线．20.(12分) 如图，已知平面，，，，，，点，分别为，的中点．求证：平面；求证：平面平面；求直线与平面所成角的大小．21.(12分) 如图，几何体中，，均为边长为的正三角形，且平面平面，四边形为正方形.若平面平面，求证：平面平面；若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.22.(12分) 在平面直角坐标系中，已知，直线．圆的半径为，圆心在直线上．若圆心又在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；若圆上存在一点满意，求圆心的横坐标的范围．景胜中学高二期中考试数学抽考试题答案（文）一、选择题1.BAABC 6 CDCCD 11 CB二、填空题13.14.15.16.三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.解：当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满意题意；当斜率存在时，设直线方程为：，即，∵ 圆圆心坐标为，半径，∴ 圆心到直线的距离，解得：，∴ 直线方程为，即.综上所述：过点且与圆相切的直线的方程为：或.由知，直线斜率存在，可设其方程为，设圆心到直线距离为，∵ ，∴ ，即，解得：或，∴ 直线的方程为或，即或.【解答】解：当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满意题意；当斜率存在时，设直线方程为：，即，∵ 圆圆心坐标为，半径，∴ 圆心到直线的距离，解得：，∴ 直线方程为，即.综上所述：过点且与圆相切的直线的方程为：或.由知，直线斜率存在，可设其方程为，设圆心到直线距离为，∵ ，∴ ，即，解得：或，∴ 直线的方程为或，即或.18.【答案】证明：∵ 平面平面，平面平面，，平面，∴ 平面．又∵ 平面，∴ ．在中，，，，∴ ．∵ ，，平面，∴ 平面．解：如图，设点到平面的距离为，取的中点，连接，，，作于，则．∵ 平面平面，平面平面，∴ 平面．∵ ，，∴ 在中，，同理，．∴ 是等腰三角形．由得：，，解得，∴ 点到平面的距离为．【解答】证明：∵ 平面平面，平面平面，，平面，∴ 平面．又∵ 平面，∴ ．在中，，，，∴ ．∵ ，，平面，∴ 平面．解：如图，设点到平面的距离为，取的中点，连接，，，作于，则．∵ 平面平面，平面平面，∴ 平面．∵ ，，∴ 在中，，同理，．∴ 是等腰三角形．由得：，，解得，∴ 点到平面的距离为．19.【答案】解：由边上的高所在直线方程为，可知.又，故边所在直线方程为，即边所在直线方程为．联立解得所以顶点的坐标为.又因为所在直线的斜率为，故所求直线方程为，即．【解答】解：由边上的高所在直线方程为，可知.又，故边所在直线方程为，即边所在直线方程为．联立解得所以顶点的坐标为.又因为所在直线的斜率为，故所求直线方程为，即．20.【答案】证明：连接，在中，∵ 和分别是和的中点，∴ ，又∵ 平面，平面，∴ 平面.证明：∵ ，为的中点，∴ ．∵ 平面，，∴ 平面.∵ 平面，∴ ．又∵ 平面，平面，，∴ 平面.∵ 平面，∴ 平面平面．解：取中点和中点，连接，，，∵ 和分别为和的中点，∴ 平行且等于，∴ 平行且等于，∴ 四边形是平行四边形，∴ 平行且等于.又∵ 平面，∴ 平面，∴ 即为直线与平面所成角.在中，可得，∴ .∵ ，，∴ 且.又由，∴ .在中，，在中，，∴ ，即直线与平面所成角的大小为. 【解答】证明：连接，在中，∵ 和分别是和的中点，∴ ，又∵ 平面，平面，∴ 平面.证明：∵ ，为的中点，∴ ．∵ 平面，，∴ 平面.∵ 平面，∴ ．又∵ 平面，平面，，∴ 平面.∵ 平面，∴ 平面平面．解：取中点和中点，连接，，，∵ 和分别为和的中点，∴ 平行且等于，∴ 平行且等于，∴ 四边形是平行四边形，∴ 平行且等于.又∵ 平面，∴ 平面，∴ 即为直线与平面所成角.在中，可得，∴ .∵ ，，∴ 且.又由，∴ .在中，，在中，，∴ ，即直线与平面所成角的大小为.21.【答案】证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，，则，又平面平面，平面平面，所以平面，同理平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，平面，又，平面，又因为和交于点，所以平面平面．解：连结，则，又，所以为二面角的平面角，所以.因为，，所以平面，所以平面平面，且交线为，又因为，所以与平面所成的角即为所求.过在平面中作于，则平面，所以即为所求的角.因为,即.所以，所以.所以.【解答】证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，，则，又平面平面，平面平面，所以平面，同理平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，平面，又，平面，又因为和交于点，所以平面平面．解：连结，则，又，所以为二面角的平面角，所以.因为，，所以平面，所以平面平面，且交线为，又因为，所以与平面所成的角即为所求.过在平面中作于，则平面，所以即为所求的角.因为, 即.所以，所以.所以.22.【答案】解：联立得：解得：，∴ 圆心．若不存在，不合题意；若存在，设切线为：，可得圆心到切线的距离，即，解得：或，则所求切线为或.设点，由，知：，化简得：，∴ 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，又∵ 点在圆上，，∴ 圆与圆的关系为相交或相切，∴ ，其中，∴ ，解得：，∴ 圆心的横坐标的取值范围为.【解答】解：联立得：解得：，∴ 圆心．若不存在，不合题意；若存在，设切线为：，可得圆心到切线的距离，即，解得：或，则所求切线为或.设点，由，知：，化简得：，∴ 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，又∵ 点在圆上，，∴ 圆与圆的关系为相交或相切，∴ ，其中，∴ ，解得：，∴ 圆心的横坐标的取值范围为.。
山西省运城市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(含答案)
运城市2023~2024学年第二学期七年级期中学业诊断数学（考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）1．计算的结果是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．272．下列说法正确的有（）A ．若直线，则直线B ．同旁内角相等，两直线平行C ．相等的角是对顶角D ．在同一平面内，若直线，则直线3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．细胞壁是细胞外层的结构，包裹在细胞膜外部，存在于许多生物细胞中，如细菌、真菌、植物细胞等．研究表明，细胞壁的厚度一般为．数据，用科学记数法表示为（）A ．B ．C ．D ．5．在狭义相对论中，爱因斯坦用质能方程描述了物体能量与质量之间的关系，能量E （单位：焦耳）与物体质量m （单位：千克）之间的关系可以用来表示，其中c 是真空中的光速，（单位：米秒）．若一个物体的质量为0.3千克时，则该物体的能量为（ ）A ．焦耳B ．焦耳C ．焦耳D ．焦耳6．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（）33a b b c ∥，∥a c ∥a b b c ⊥⊥，a c⊥2a a a ÷=32a aa -+=()3236aba b -=222()a b a b -=-()91530nm 1nm 10m --=15nm 91510m -⨯91.510m -⨯81.510m -⨯101.510m-⨯2E mc =8310c =⨯16910⨯162.710⨯64910⨯642.710⨯A ．B ．C ．D ．7．如图，，点B 在AO 的延长线上，则以下说法正确的是（）A ．的余角只有B ．与互余C ．与互补D ．与互补8．如图，已知直线，则下列条件不能判定直线的是（）A ．B ．C ．D ．9．随着社会的发展，越来越多的人开始注重养宠物带来的精神享受，他们将宠物视为家庭成员，注重宠物带来的幸福感，也越来越注重宠物的饮食健康、医疗保健等等．下图为某平台最近7周的“宠物零食”周销量y （个）随时间t （周）变化的图象，则下列说法错误的是（）A ．第4周到第5周，周销量y （个）随时间t （周）的增大而减小B ．第3周和第5周的销量相同C ．在这7周中，第1周到第2周与第3周到第4周的周销量增长速度相同D ．第1周到第7周的平均销售量是2000个/周10．如图所示，叫做C 型积木，叫做H 型积木，若C 型积木的个数为x ，H 型积木的个数为y ，按照此规律连接两种积木，则y 与x 之间的关系式为（）(2)(2)a a --(2)(2)a a +-(3)(3)a a ++()()a b a b --+90AOE COD ∠=∠=︒AOE ∠EOB ∠COE ∠DOB ∠AOC ∠DOE ∠AOD ∠COE ∠a b ∥c d ∥12∠=∠35180∠+∠=︒45∠=∠25∠=∠A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．比较大小：__________．12．若一个角的补角是它的4倍，则这个角的度数为__________．13．为了探究某种植物种子萌发的最适宜条件，晓峰同学通过试验记录了相关数据，种子萌发率Y 与温度T （）的关系如表：温度T （）10152025303540种子萌发率Y/61524334251■若晓峰不慎将实验数据污染，根据表格中两者的对应关系，被污染的实验数据（表中■）为__________．14．求图中阴影部分的面积__________（用代数式表示）．15．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图：选取4张A 型卡片，12张B 型卡片及一些C 型卡片拼成了一个新的正方形，则需__________张C 型卡片．三、解答题（本大题共8个小题，共75分。
高考数学一轮总复习课件：正态分布
解析 ∵X～N(4，σ2)，∴P(X≥6)＝P(X≤2)＝p，∴P(x≤6) ＝1－P(X>6)＝1－p.故选D.
5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似 服从正态分布，曲线图象如下，可得下列说法中正确的是( A )
A．甲学科总体的方差最小 B．丙学科总体的均值最小 C．乙学科总体的方差最小 D．甲、乙、丙学科总体的均值不相同
【解析】 因为ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，所以曲线
的对称轴是直线x＝1，又ξ在(0，2)内取值的概率为0.6，根据正
态曲线的性质，则在(2，＋∞)内取值的概率为P(ξ>2)＝
1－0.6 2
＝
0.2.故选D.
【讲评】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的
意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，X是服从正态分
A．0.997 4
B．0.963 8
C．0.881 9
D．0.993 6
【解析】 由于σ＝9，μ＝47，那么P(|X－47|<27)＝P(|X－ μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 4.
(3)(2021·深圳一模)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝
1 2πσi
e－
（x－μi）2 2σi2
【解析】 本题考查正态分布．因为数学成绩x服从正态分
布N(100，17.52)，则P(100－17.5<x<100＋17.5)＝
P(82.5<x<117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩不超过
82.5分的概率为P(x≤82.5)＝
1－P（82.5<x<117.5） 2
≈
1－0.68 2
山西省运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试文科数学试题
山西省运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U R =，{}0x x A =≤，{}1x x B =≥，则集合()U A B =ð（ ） A ．{}0x x ≥ B ．{}1x x ≤ C ．{}01x x ≤≤ D ．{}01x x <<2、复数12ii+（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．15i B ．15- C ．15i - D ．153、若平面向量a ，b 满足1a b +=，且2a b =，则b =（ ） A ．23 B ．13 C ．1 D ．124、已知数列{}n a 是等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +=（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．25、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16C ．1112D ．25246、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆy bx a =+中的ˆ4b =-．据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为（ ）A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个 7、过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A ．B ．2CD ．8、如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．πB ．3πC ．6πD ．12π 9、给出下列命题：①“若2x >，则3x >”的否命题；②“()0,a ∀∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数sin 2y x=的一个周期”；④“220x y +=”是“0xy =”的必要条件． 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110、已知02a <<，01b <<，则双曲线22221x y a b-=的离心率e > ）A ．12 B ．14 C ．18 D ．11611、函数()23sinlog 2f x x x π=+的零点个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．512、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()0f x f x '->（其中()f x '是()f x 的导函数）恒成立．若()ln 33f a =，()ln 22f b =，()1c ef =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知函数()f x 的定义域为[]2,3-，则()1f x -的定义域是 ．14、设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值是 ．15、已知函数()(ln f x x =满足()()130f a f b -+-=，则a b += ．16、已知抛物线的方程是22y px =（0p >），其焦点是F ，C ∆AB 的顶点都在抛物线上，直线AB ，C A ，C B 斜率存在且满足F F FC 0A +B +=，则C C 111k k k AB B A++= ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足5532S a =-，1a ，2a ，5a 依次成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2令11n n n b a a +=（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 18、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且满足sin C cos c c =-A ． ()1求角A 的大小；()2若a =C ∆AB 面积的最大值．19、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是平行四边形，C B ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，D 2PA =A =，1AB =． ()1求证：D//P 平面C A M ；()2求点A 到平面C MB 的距离．20、（本小题满分12分）国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高三某班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分进行测试，并对50分以上的成绩进行统计（最低分均超过50分），其频率分布直方图如图所示，若90100分数段的人数为2人．()1请求出7080分数段的人数；()2请根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、⋅⋅⋅、第五组）中任意选出两人，形成搭档小组，若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率．0,1，21、（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为()．直线l与椭圆C交于M，N两点．离心率等于2()1求椭圆C的方程；()2问椭圆C的右焦点F是否可以为∆BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()1ln f x a x x=+，其中a 为实常数． ()1求()f x 的极值；()2若对任意1x ，[]21,3x ∈，且12x x <，恒有()()121211f x f x x x ->-成立，求实数a 的取值范围．运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试试题文科数学参考答案。
2024届运城市高三数学第一学期期末调研测试卷附答案解析
2024届运城市高三数学第一学期期末调研测试卷考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i 12i z =-，则z 等于（）A．1C．2D．2．设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知e ()1e xax f x =-是奇函数，则=a （）A．2-B．1-C．2D．14．第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A．150种B．300种C．720种D．1008种5．设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a，b，c 的大小关系为（）A．a b c>>B．b a c >>C．c a b >>D．b c a>>6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）B．D．37．已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A．51-B．48-C．17-D．08．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠=，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A．B．C．D．23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．关于下列命题中，说法正确的是（）A．若事件A、B 相互独立，则()()P A B P A =B．数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C．已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D．已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10．已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A．()f x 的一个周期为2B．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C．()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()f x 在区间[]1,2上单调递增11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A．1C PB．PB PC +的最小值为C．三棱锥1B ACP -的体积为83D．以点B为球心，为半径的球面与面1AB C在正方体内的交线长为312．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上BA 间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A．抛物线焦点F 的坐标为()0,3B．过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C．在FMN 中，若MN t MF=，t ∈R ，则tD．2TF AF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13．已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b⊥- ，则λ=.14．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为.15．过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A，B.记线段AB 的中点为P，则当直线l绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为.16．设12,x x 是函数21()e 1,()2x f x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且2cos 2b C a c =-.(1)求角B 的大小；(2)若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18．已知递增的等比数列{}n a 满足22a=，且1a ，2a ，31a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19．如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．(1)在弧AB 上是否存在点C（C，1B 在平面11OAA O 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角111A OB B --的余弦值．20．某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B 两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.(1)若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X，()334P X ≤=，求X 的分布列；(2)若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B，且1tan 2A BO ∠=．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q，与直线1A B相交于点P，与y 轴相交于点M，且223PA MQ QA MP=．求k 的值．22．已知函数2()ln xf x e a x =-，函数ln ()m xg x n x +=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2ee ，证明：当0x >时，()()f xg x ≥.1．D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i 12i i 2i 2i 12i 12i 12i 555z +-+-====+--+，所以5z =.故选：D.2．B【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()200220x x xx x ⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x ≤<，由于02x ≤<是03x ≤≤的真子集，故03x ≤≤是02xx ≤-的必要不充分条件.故选：B 3．C【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e 1e 1e x xax ax --=---，所以e e e 11e ax x xaxax -=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C 4．A【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A 5．D【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】1.61122a ⎛⎫=<⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D 6．C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为by x a =±，联立222x y c b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQb k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C7．C【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin sin 21x x x x x =+--πcos 2sin 212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++ [][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8．B【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知2293223172PC =+-⨯⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC中，916171cos2343PBC+-∠==⨯⨯，则sin3PBC∠=，根据等面积公式，1221344232PN⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN=3NC===，OD==又2ON MB==，所以2PO==，则PD==直线PD与平面ABCD夹角的夹角为PDO∠，sinPOPDOPD∠==.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O的位置，以及垂直关系的转化.9．AC【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A，若事件A、B相互独立，则()()()P AB P A P B=,而()()()()()()()P AB P A P BP A B P AP B P B===，A正确；对于B，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B错误；对于C，由于()0.65P A=，()0.32P AB=，故()03232()()06565P BA.P B|AP A.===，则3233()1()16565P B|A P B|A=-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P AP AB P BA====⨯，C正确；对于D，由于~(0,1)Nξ，(1)P pξ≤=，故(1)1P pξ>=-，故(1)(1)1P P pξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p pPξξ<-=--≤≤==---，D错误，故选：AC10．ACD【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11．ABD【分析】对于选项A，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A，11C A D为边长为的等边三角形，1C P的最小值即该等边三角形的高，为3cos302= A正确；对于B，如图，将等边1A BD绕1A D旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯⨯=≠，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d,11B AB C B ABCV V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，131222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，233d =，以点B 为球心，为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，以=为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，3OM =，由A 得133OH h ==，2cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯，故D 对.故选：ABD.12．CD【分析】设点,2p D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-，设点,2p D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME=，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos4，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3xy '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=--，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TFAF BFTF=，所以，2TF AF BF=⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．13．7【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=-- ，因为()a a b ⊥- ，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14．80-【解析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512rr r r r T C x --+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15．4π3【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为3r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG .因为33CF r CE===，易得120FEC ∠=，则120GEC ∠=，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯= .故答案为：4π316．⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与e xy x =有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x =的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定t =，进而得到()()12g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2x f x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0xax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是e x a x =的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,xg x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∈-∞ 时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1-∞单调递减；在()1,+∞上单调递增.则()e xg x x =图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且ea >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t==，则13e e 3t tt t =，即13e 3e t t =，化简得13e t =t =，当213x x =时，()()12g x g x ==，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．(1)π3B =(2)选①或选②均为【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin A sin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.（2）若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCDS S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b a c ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯△若选②：得()12BD BA BC=+ ，()()222211244BD BA BC BA BA BC BC=+=+⋅+ ，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b a c ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯△18．(1)12n n a -=(2)212323-【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【详解】（1）设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q +-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.（2）根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19．(1)存在，1B C 为圆柱1OO的母线(2)【分析】（1）1B C为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A OB B --的余弦值.【详解】（1）存在，当1B C为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC，AC，1B C，因为1B C为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC，又因为BC ⊂平面ABC，所以1B C BC⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．（2）以O 为原点，OA，1OO 分别为y，z 轴，垂直于y，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，11,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =-- ，1113,22O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z = ，则1112013022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，z =，所以2m ⎛=- ⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B，所以平面11A O B的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==-，又二面角111A OB B --的平面角为锐角，故二面角111A OB B --的余弦值为17．20．(1)分布列见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【详解】（1）依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X0235P161211214（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21．(1)2214x y +=(2)1-【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k -=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421Pk x k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【详解】（1）由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b ∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；（2）直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P kx k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q P x x x x --=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k kk k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22．（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2xg x x +=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1x x e x --≥，令()2()2ln x h x x e x =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x '=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2x at x f x e x '==-，则22()40x at x e x '=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()e e f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x +=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12x x e x +≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln x h x x e x =--，则22121()(21)(21)x xx h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)x F x e x x =->，则221()20x F x e x '=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()02min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201e x x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。