高三二轮复习不等式的综合应用
高三数学不等式的综合应用
３若 则 的取值范围为
４周长为 的直角三角形面积的最大值为
５已知方程 有解：则实数ａ的取值范围是
６已知关于ｘ的不等式 的解集为A：且 ,试求实数ａ的取值范围．
７若不等式 对一切ｘ恒成立：求实数ａ的取值范围．
８已知函数 的图象过点（－１：０）：是否存在常数ａ：ｂ：ｃ：使不等式 对一切实数ｘ都成立？
９某生产服装的企业准备投入适当的广告费：对产品进行促销．在一年内：预计年销售量Q（万件）与广告费ｘ（万元）之间的函数关系为 已知生产此产品的固定投入为３万元：每生产１万件产品需再投入３２万元：若每件售价为＂年平均每件成本的１５０﹪＂与＂年平均每件所占广告费的５０﹪＂之和：当年产量相等．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费ｘ（万元）的函数：并判定当年广告费投入１００万元时：企业当年是亏损还是盈利？
姓名
班级
学号
时间
课题
不等式的综合应用
设计
一、方法点拨：
（1）函数性质：三角式：直线与圆锥曲线：数列的通项及其部分和的变化等内容常与不等式的证明或解不等式有密切的关系：要熟悉这方面问题的类型和思考方法：
（2）应用题中有一类是寻找最优化结果的：通常是把问题转化为不等式表示的题型：再求出极值．
二、知能达标：
高三理科数学高考复习课件：不等式的综合应用
[解] 依题意，椭圆的左顶点 A(－4,0)，所以直线 AB 的 方程为 y＝k(x＋4)(k＞0)．
y＝k(x＋4) 由1x62 ＋y2＝1 消去 x 得(16k2＋1)y2－8ky＝0， 解得 y＝0 或 y＝16k82k＋1， 即 B 点的纵坐标是 yB＝16k82k＋1. 所以△ABC 的面积 S△ABC＝2S△AOB ＝2·12·|OA|·yB＝163k22＋k 1.
[解] 设进水量选第 x 级，则 t 小时后水塔中水的剩余量 为 y＝100＋10xt－10t－100 t，
(1)当 x＝2 时，由 y＜10 得，t－10 t＋9＜0， 所以 1＜ t＜9,1＜t＜81. 所以从 7 时起，水塔中水的剩余量开始低于 10 吨．
(2)根据题意，0＜y≤300， 所以 0＜100＋100xt－10t－100 t≤300. 由左边得，x＞1＋10( 1t－1t ) ＝1＋10[－( 1t－21)2＋14]， 当 t＝4 时，1＋10[－( 1t－12)2＋41]有最大值 3.5， 所以 x＞3.5.
题型二
不等式在数列中的应用
思维提示 把不等式作为一种工具应用于数列问题中
例 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－n2－1，其中 n∈N*.
(1)求 Sn－2an 的最大值； (2)记 bn＝a2nn，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
证明：①bn＋1＜bn＋14；②Tn＜18n(n－1)．
由右边得，x≤2t0＋10t＋1， 当 t＝16 时，2t0＋10t＋1 有最小值 4.75， 所以 x≤4.75. 综上所述，进水量应选为第 4 级．
不等式的综合应用
标准形式
$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$，其中 $a neq 0$。
一元二次不等式解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，判断不 等式的解集情况。
配方法
将不等式左边配成完全平方形式，再利用平方根的性 质求解。
构建目标函数
根据问题的要求，构建合适的目标函数，使得目标函数的最优解对应不等式最值问题的解。
求解线性规划问题
利用线性规划方法求解转化后的线性规划问题，得到目标函数的最优解，从而得到不等式最值问 题的解。
线性规划在不等式证明中的应用
不等式证明的转化
将不等式证明问题转化为线性规划问题，通过构建合适的目标函数和约束条件，使得原不等式的证明转化为验证目标 函数的最优解是否满足特定条件。
通过绘制每个不等式的解集在坐标系中的表示区域，找出所有区域 的交集，即为不等式组的解集。
代数法
通过消元法或代入法将多元一次不等式组转化为一元一次不等式或 一元一次方程进行求解。
特殊值法
在特定情况下，可以通过代入特殊值来快速判断不等式组的解集。
实际应用举例
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理 分配资源使得多个目标同时得到 满足，可以通过建立多元一次不 等式组进行求解。
用不等号（<、>、≤、≥）连接两个数学表达式，表示它们 之间的大小关系。
不等式的表示方法
除了使用不等号，还可以使用区间表示法、数轴表示法等。
不等式基本性质
传递性
若a<b且b<c，则a<c；若a>b且b>c，则a>c。
高三数学复习不等式的应用
不等式的应用一、内容归纳1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立. 二、例题选讲题型1、不等式在方程、函数中的应用。
例1、P96 函数122++=x bax y 的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。
小结：本题用的是判别式法的思想 练习：P96深化拓展练习：若关于x 的方程0124=++⋅+a a xx有实根,求实数a 的取值范围。
解：()222212212122)12(2)12(12142-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=+++-+-=++-=x x x x x xx a 题型2：不等式在几何中的应用例2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a ，宽为b ，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？ 解：如图：A —CC 1---B 是二墙面所成直二面角, CC 1⊥面ABC4421121221111CC AB CC CB AC CC CB AC V C B A ABC ⋅=⋅+≤⋅⋅=-（AC=CB 时取”=”） 当AB=a,AA 1=b 时，421ba V =当AB=b,AA 1=a 时，422ab V =因此，所围成直三棱柱的底面是等腰∆Rt ，高等于b 时，这柱体的体积有最大值42ba .题型3、建立函数关系式，利用均值不等式求最值。
例3，已知a>0,求函数ax a x y +++=221的最小值。
练习：. 设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上下各留cm 8的空白，左右各留cm 5的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果]43,32[∈λ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解：设画面的高为xcm ，宽为x c m λ，则48402=x λ，设纸张面积为S ，则有)10)(16(++=x x S λ6760)58(10445000160)1016(2≥++=+++=λλλλx x ，当且仅当λλ58=时，即85=λ时，S 取最小值，此时，高cm x 884840==λ，宽cm x 558885=⨯=λ. 如果]43,32[∈λ，则上述等号不能成立.现证函数)(λS 在]43,32[上单调递增.设433221≤<≤λλ, 则 )58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S ，因为05885322121>-⇒>≥λλλλ，又021<-λλ，所以0)()(21<-λλS S ，故)(λS 在]43,32[上单调递增，因此对]43,32[∈λ，当32=λ时，)(λS 取得最小值. [思维点拔] 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解. 题型四、 综合问题 P96 例3已知函数)00()(2≠>++=bc a c bx ax x f 且 （1） 若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；（2） 今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X 轴上截得的弦的长度为L 且20≤<l ，试求f(x)的解折式。
28高三数学理科复习28----不等式的综合应用
高三数学理科复习28－不等式的综合应用
【学习难点疑点】
1.不等式功能：不等式的知识已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，
体现不等式广泛运用的工具功能.
2.建立不等关系的途径：运用不等式知识解题的关键是建立不等式关系，其建立的途径有：
利用几何意义；利用判别式；应用变量的有界性；应用函数的有界性；应用均值不等式等.
【知识复习与自学质疑】
1.设点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是 .
2.已知，且都是正数，则的最小值是 .
3.已知，则的取值范围为，的取值范围为 .
4.给出下列四个不等式：
①②③④其中正确的不等式有 .（填序号）
【例题精讲】
1.若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
2.已知关于的方程的两根为，试问：是否存在实数，使得不等式对任意实数及恒成立？
若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由.
3.某渔业公司年初用了98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年
都增加4万元，每年捕鱼收益为50万元.
（1）问从第几年起开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：一是，平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总收入获利最大时，以8万元出售该船.问：哪种方案合算？（注：取）
【矫正反馈】
1.如果正数满足那么的取值范围是 .
2.已知直角三角形的周长为定值，求这个三角形面积的最大值.
【迁移应用】
1.若均为正数，且，则大小为____ .
2.如果函数的最小值是，那么的值为 .
3.若对于中的实数，不等式均成立，则的取值范围 .
4.已知集合，函数的定义域为.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若方程在内有解，求实数的取值范围。
不等式的综合应用
不等式的综合应用不等式是数学中常见且重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的综合应用，包括数学问题求解、经济学和物理学中的应用。
一、数学问题求解不等式在数学问题的求解中起着重要的作用。
例如，在解决线性方程组时，我们通常需要对方程组进行不等式的相关处理。
设想有以下线性方程组：3x + 5y ≥ 102x - 4y ≤ 8我们可以将其转化为不等式的形式。
首先，将第一个等式左右两边都减去10得到：3x + 5y - 10 ≥ 0然后，将第二个等式左右两边都加上8得到：2x - 4y + 8 ≤ 0通过这样的处理，我们可以将线性方程组问题转化为不等式问题。
进一步分析这个不等式系统，我们可以求解出x和y的取值范围，从而得到方程组的解。
二、经济学中的应用不等式在经济学中也具有广泛的应用。
例如，在市场需求与供给的分析中，我们经常需要利用不等式关系来描述市场状况。
假设某种商品的市场需求量D(x)和市场供给量S(x)分别与价格x相关。
根据供需关系，我们可以得到以下不等式：D(x) ≥ S(x)通过对不等式进行进一步分析，我们可以确定市场均衡价格的范围，从而指导市场的调节和决策。
三、物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，在运动学问题中，不等式可以帮助我们描述物体的运动状态。
考虑一个自由落体问题，物体从高度h自由落下，其下落时间t和下落距离s满足以下不等式关系：s = (1/2)gt^2 ≥ h其中，g表示重力加速度。
通过这个不等式关系，我们可以求解出物体的下落时间和下落距离的范围。
结论综上所述，不等式的应用范围广泛且多样化。
无论是在数学问题的求解、经济学的市场分析，还是物理学中的运动描述，不等式都能够提供重要的辅助工具。
在实际问题中，我们可以运用不等式的性质和方法，解决各种与大小关系相关的计算和推理问题。
通过不等式的综合应用，我们可以更好地理解和解决数学、经济学和物理学中的各种实际问题。
基本不等式的综合应用
作业布置： 课时作业（二十九）
最大值和最小值。此方法在应用中一定要注意满足 三个条件：一正---各项为正数；二定-----“和”或 “积”为定值；三相等------等号一定能取到。三条 件缺一不可。
题型二：利用基本不等式求代数式的最值
知识归纳：知分式求整式最值或知整式求分式最值 都是巧妙代换，保证式子定值，以便基本不等式应 用的成立。
复习回顾
1.基本不等式的内容是什么？
若a>0，b>0，则
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号
2.基本不等式应用应注意什么？
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
题型一：利用基本不等式求最值
知识归纳：利用基本不等式，通过恒等变形，以及
配凑，造就“和”或“积”为定值，进而求得函数
题型三：利用均值不等式求参数的取值范围
知识归纳：利用基本不等式，构造关于某个变量的 不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围， 再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值。
题型四：利用基本不等式证明不等式
知识归纳：把数、式合理地分拆小结回顾：
第二章 考点9 不等式的综合应用
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
解：设使用x年的平均费用为y万元，由题意得
10 0.9x 0.2 0.2x x
y
2
1 10
x
1 2
x 10 3，
x
x 10
10 x
当10 x 即x＝10时，取等号． x 10
∴使用10年报废最划算．
【回顾反思】 解不等式的应用题，关键是构造不等式模型，即分析题目
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 设床价提高10x元/床，则床位减少10x张，由题意得 (50＋10x)(200－10x)>15 000⇒5<x<10， 5×10＋50＝100(元/床)，10×10＋50＝150(元/床).∴价格应定 为100～150元/床．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【提示】
∵ 3a 2b a b 6a 4b 5a 5b a b 0 ，
5
2
10
10
∴a>b.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
2．设矩形的长为a，宽为b(a>b)，面积为S1，与此矩形周长相
等的正方形的面积为S2，则( A )
A．S1<S2
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例3】 设计一个面积为800 cm2的矩形广告牌，要求左右均 留2 cm的空白，上下边均留1 cm的空白．问：怎样设计使中 间的文字面积最大？并求此最大值．
【思路点拨】 本题是求最值问题，一般选用“基本不等式” 模型或“一元二次函数”模型来解决．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
2．常见的应用题类型 (1)分配问题、速度和时间问题、工程问题等一般用一元一次 不等式(组)模型解决． (2)价格问题、面积问题等一般用一元二次不等式(组)模型解 决． (3)最值问题等一般用基本不等式模型(均值定理)解决．
北京四中高三数学高考总复习不等式的综合应用(基础)知识梳理
不等式的综合应用【考纲要求】1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力;2．掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;4．通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力; 5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识．． 【知识网络】【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化．在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰．通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是：作差(商)→变形 →判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维等,将会起到很好的促进作用．在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当不等式的综合应用解不等式问题实际应用问题不等式中的含参问题不等式证明的证明方法．通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点．考点二：不等式与相关知识的渗透1．不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用．在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。
高考数学二轮复习 不等式的综合运用
高考数学二轮复习 不等式的综合运用主干知识提炼1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决. 3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立. 典型问题研究1．★某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则 【 】A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。
正确答案为B 。
2．★已知函数y=㏒21(3x )52+-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值X 围A a ≤-6B -60＜a ＜-6C -8＜a ≤-6D －8≤a ≤-6【 】 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。
3．★★已知实数x 、y 、z 满足x+y+z=0,xyz ＞0记T=x 1＋y 1＋z1,则【 】 A T ＞0 B T=0 C T ＜0 D 以上都非正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T 的符号改为判定 xyz(x1＋y 1＋z1)的符号。
4．★★下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是【 】 A ． 甲 a ＞b ，乙a 1 ＜b1B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2abD 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。
5．f(x)=︱2x—1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则【 】 A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2a-＜2c D 22+a c＜2正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。
不等式的综合应用
思想：参数分离思想
不 等 动手练一练： 式 的 若关于x的方程 4 x a 2 x a 1 0 综 合 有实根,求实数a的取值范围。 应 用
题型二、不等式在几何中的应用
不 等 式 的 综 合 应 用
例2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一
直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长 为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两 两互相垂直，怎样围法，直三棱柱的空 间最大？这个最大值是多少？ C
思维点拨：用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定 三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则 应先判断函数的单调性后求解
不 等 式 的 综 合 应 用
例4：若关于 x 的方程 2 x 1 x m 有两个不等的实根，求实数 m的取值范 围.
思维点拨：解无理方程应转化为有理方 程，本题经转化后变为二次方程的实根 的分布问题； 或者数形结合求最值。
例 1、 不 已知集合P 1 ,2பைடு நூலகம் ，函数
2 等 2 式 y log 2 ax 2 x 2 的定义域为Q 的 2 综 （1）若方程 log 2 ax 2 x 2 2 1 合 在 ,2内有解，求实数a的取值范围。 应 2 用 （2）若 P Q ，求实数a的取值范围。
不 等 式 的 综 合 应 用
不等式的综合应用
不等式的应用大致可分为两类： 一类是建立不等式求参数的取值范 围或解决一些实际应用问题； 另一类是建立函数关系，利用均值 不等式求最值问题，使考生能够运用 不等式的性质、定理和方法解决函数、 方程、实际应用等方面的问题.
题型一、不等式在方程、函数中的应用
A B
思想：建立立体模型
高三数学(理科)二轮复习-不等式
第3讲不等式一、本章知识结构：实数的性质二、高考要求（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。
（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4）掌握某些简单不等式的解法。
（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。
三、热点分析1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
高中总复习第二轮数学(新人教A) 难点20 不等式的综合应用
难点20 不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0),方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a 1. （1）当x ∈［0，x 1)时,证明x ＜f (x )＜x 1；(2)设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，证明：x 0＜21x . ●案例探究［例1］用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1）求a 关于h 的解析式;(2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度）命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值。
知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0。
技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理。
解：①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V （h ＞0） 得：2121)1(31=⋅=++=h h h h hh V 而 所以V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号 故当h =1米时,V 有最大值，V 的最大值为61立方米. ［例2］已知a ，b ,c 是实数，函数f （x )=ax 2+bx +c ，g （x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时｜f （x ）｜≤1.(1）证明:|c ｜≤1；（2)证明：当－1 ≤x ≤1时，|g （x )|≤2；(3）设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g （x )的最大值为2,求f （x ）. 命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂。
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新疆奎屯
· 2007·
9．若不等式
t t2 a 2 ，在 t (0,2] 上恒成立，则 a 的取值范围是 t 9 t
2
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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4
是_______________．
12．对一切实数 x ，不等式 x2 a x 1 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是___________．
13．已知不等式 (a2 4) x2 (a 2) x 1 0 对任意 x R 恒成立，则 a 的取值范围是_______． 14．设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f ( x) x 2 ，若对任意的 x t , t 2 ，不等 式 f ( x t ) 2 f ( x) 恒成立，则实数 t 的取值范围是 _____________ ．
高三二轮复习不等式的综合应用
1．不等式 ( x 4) x2 3x 4 0 的解集是______ _______．
2．不等式
x2 0 的解集是___________ x 3
_______．
3．设 a 0, b 0 ，则以下不等式中不恒成立 的是___________． ．．．． ① (a b)( ) 4 ；② a3 b3 2ab2 ；③ a 2 b 2 2 2a 2b ；④
1 a
1 b
a b a b
1 1 4．设 x, y 为正数，则有 ( x y )( ) 的最小值为__________________． x y
1, x 0 5．已知 f ( x) ，则不等式 xf ( x) x 2 的解集是 1, x 0
_________
2
求出所有适合条件的实数 ；若不存在，试说明理由．
19．设 f ( x) 3ax2 2bx c ，若 a b c 0, f (0) 0, f (1) 0 ，求证： b （1） a 0 且 2 1 ； （2）方程 f ( x) 0 在 (0,1) 内有两个实根． a
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10．若 a, b, c 0 且 a(a b c) bc 4 2 3 ，则 2 a b c 的最小值为_____________ ． 11．若不等式 log a x sin 2 x （ a 0 且 a 1 ）对于任意 x (0, ) 都成立，则 a 的取值范围
20 ． 对 1 个 单位 质 量的含 污 物 体进 行 清洗 , 清 洗前 其 清 洁度 ( 含污 物 体的清 洁 度 定义 为 ： 污物质量 （1)为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99．有两种方案可供选择,方案甲： 物体质量(含污物) 一次清洗； 方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 a (1≤a≤3)． 设 x+0.8 用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 x+1 (x>a-1)，用 y 质量的水第二次 y+ac 清洗后的清洁度是 y+a ，其中c (0.8<c<0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度． (Ⅰ)分别求出方案甲以及 c=0.95 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少； (Ⅱ)若采用方案乙,当 a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨 论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
15．解关于 x 的不等式：
1 x a ( a R) ． x
16．设不等式 x2－2ax+a+2≤0 的解集为 M，如果 M 1,4 ，求实数 a 的取值范围．
17．求使 x y a x y (x 0, y 0) 恒成立的 a 的最小值．
18．已知奇函数 f ( x) 的定义域为全体实数，且当 x 0 时， f ( x) 0 ，问是否存在这样的实 数 ，使得 f (cos 2 3) f (4 2 cos ) f (0) 对所有的 [0, ] 均成立？若存在，则
王新敞
奎屯
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6．若 a 是 1 2b 与 1 2b 的等比中项，则
2ab 的最大值为______________ | a | 2 | b |
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7 ．设 a 0, a 1 ，函数 f ( x) log 有最小值，则不等式 loga (x 1) 0的解集为 x2 2x 3) a ( _____________． 8．函数 y a1 x (a 0, a 1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0(mn 0) 1 1 上，则 的最小值为 ___________ m n