8.影响线(2)

Pcr 未过顶点
+ Pcr tan α + R r tan β ≥ 0 Pcr过顶点后 R l tan α + R r + Pcr tan β ≤ 0
l
(R
)
(
)
当荷载向右移动时
c c tan α = , tan β = a b
例：求 Mc 的最大值及对应的最不利荷载位置
P1 A 3.6m 2.52 2.07 MC 影响线 0.07 P1 位置Ⅰ 位置Ⅰ 3.5m P2 P 1.5m 3 3.5m P4 1.02 3.5m P2 P 1.5m 3 3.5m P4 B 8.4m
关于虚功原理的补充
3.虚功与实功 3.虚功与实功
关于虚功原理的补充
4.虚位移原理 4.虚位移原理
对于具有理想约束的质点系， 对于具有理想约束的质点系，其处于静力平 衡的充分和必要条件是： 衡的充分和必要条件是：作用于质点系上的所有 主动力在任何虚位移上所作虚功的和等于零。 主动力在任何虚位移上所作虚功的和等于零。
△ y2
α2
△ y1 △ y3
y2 α1 y1 y3 α3 R3
位置Ⅰ 位置Ⅰ
P1
R1
P2
P3
P4
R2
P5
P6

P7
R1 位置Ⅱ 位置Ⅱ
P3
P4
R2
P5
R3
x
x
x
Z 1 = R1 y 1 + R2 y 2 + R3 y 3 = ∑ Ri yi
Z 2 = R1 y 1 + y1 + R2 y 2 + y2 + R3 y 3 + y3 = Z1 + ∑ Ri yi
所以,对寻求 所以 对寻求最大值来说
Pcr 未过顶点之前 ∑Ri tanαi ≥0 Pcr 过顶点之后 ∑Ri tanαi ≤0
同理可推知， 必须满足的条件是： 同理可推知，Z 发生 极小值必须满足的条件是：
Pcr 未过顶点之前 ∑Ri tanαi ≤ 0 Pcr 过顶点之后 ∑Ri tanαi ≥ 0
机动法作静定梁的影响线
理论依据：刚体体系的虚位移原理 理论依据： 刚体体系的虚位移原理—— 刚体体系的虚位移原理
一个刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和 充分条件是：体系在任何微小的、 充分条件是：体系在任何微小的、约束许可的 虚位移中，力系所作的虚功之和等于零。 虚位移中，力系所作的虚功之和等于零。
关于虚功原理的补充
2.理想约束 2.理想约束
在质点系的任何虚位移中， 在质点系的任何虚位移中，所有约束力 所作虚功的和等于零, 所作虚功的和等于零,这种约束称为理想约 束。
关于虚功原理的补充
3.虚功与实功 3.虚功与实功
力在虚位移中所作的功称为虚功。 力在虚位移中所作的功称为虚功。 必须注意，虚功与实位移中的元功虽然采用同 必须注意， 一符号．但它们之间是有本质区别的。 一符号．但它们之间是有本质区别的。因为虚 位移只是假想的，不是真实发生的，因而虚功 位移只是假想的，不是真实发生的， 也是假想的，是虚的。 也是假想的，是虚的。如下图中的机构处于静 止平衡状态，显然任何力都没作实功， 止平衡状态，显然任何力都没作实功，但力可 以作虚功。 以作虚功。
M C max = 82 × (0.07 + 2.52 + 2.07 + 1.02) = 456.76kNm
【例】求图示简支梁截面C 最大正剪力。 求图示简支梁截面 最大正剪力。
252kN 4.4m 252kN 1.15m 106.4kN 3.40m 106.4kN
A 2.4m
C 3.6m 0.6
各极大值大中取大，得影响量最大值； 各极大值大中取大，得影响量最大值； 各极小值小中取小，得影响量最小值。 各极小值小中取小，得影响量最小值。
影响线为三角形时
Z
——以求极大值为例 以求极大值为例
c
α β x
a
Rl Pcr
b Rr
R l + Pcr R r ≥ a b l r R + Pcr R ≤ a b
恒取正值； 根据荷载移动时， △x 恒取正值；而tanαi 根据荷载移动时，各荷载所 是增大还是减小来确定。 对应影响 线竖标 y 是增大还是减小来确定。
Z
Z
dZ =0 dx dZ ＞0 dx
dZ ＜0 dx dZ ＞0 dx
dZ ＜0 dx
Z极值 极值 x
Z极值 极值 x
荷载组向右移动时
能使∑ 能使∑Ri tanαi 发生变号的荷载称为临界荷载，Pcr 发生变号的荷载称为临界荷载，
δZ δP δA δB
δZ b
MC
b ab/l 1
MC影响线
QC
y
QC
δZ
1 b/l QC影响线
a/l 1
δZ
2δZ
MB影响线
1
2
δZ
1/2 QF影响线 1/6
1/2
1/3
δZ
4/3 1
RB影响线
2/3
δZ
1 QC影响线
1/2
δZ
2δZ
1 MG影响线
1
1.5dδZ δZ
1.5d 3d/5 1
ME影响线
d/5
d/5 2d/5
4d/15
影响线的应用
1.利用影响线计算影响量 1.利用影响线计算影响量 1) 集中荷载作用下 2) 分布荷载作用下 2.确定移动荷载的最不利位置 2.确定移动荷载的最不利位置 1) 影响线为一般多边形 2) 影响线为三角形
P=1 P1 A C b/l
P=1 P2
d d
e
e
当
q(x)=C时，QC=qA 时
即： Z=qA
15kN
D A
15kN
q=8kN/m
C
35kN
B
2m 求 MC
1m
4m
3m 3 15/8 1
MC影响线
3/8
3/4
3 15 3 M C = 15 + 15 + 35 8 8 4 15 1 3 1 + 8 ×8× × 2× 8 2 4 2 = 60 + 54 = 114kN m
即:
We=0
δZ δP
RB
在上式中， 即得R 在上式中，令δZ=1 ,即得 B影响线 即得
1 RB影响线
注意正负号的规定！ 注意正负号的规定！
机动法作影响线的步骤： 机动法作影响线的步骤：
撤去与所求影响量相对应的约束，代以未知力； 撤去与所求影响量相对应的约束，代以未知力； 使体系沿Z的正方向发生位移，作单位移动荷载 使体系沿 的正方向发生位移，作单位移动荷载P=1 的正方向发生位移 作用点对应的δ 即为影响线的轮廓图； 作用点对应的 P图，即为影响线的轮廓图； 令δZ=1,确定出影响线纵坐标数值； 确定出影响线纵坐标数值； 确定出影响线纵坐标数值 影响线在轴线以上部分，纵坐标取正值； 影响线在轴线以上部分，纵坐标取正值； 影响线在轴线以下部分，纵坐标取负值。 影响线在轴线以下部分，纵坐标取负值。
关于虚功原理的补充
1.虚位移与实位移 1.虚位移与实位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下， 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人 所假想的任何无限小位移称为虚位移。 所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可 以是线位移， 以是线位移，也可以是角位移
关于虚功原理的补充
1.虚位移与实位移 1.虚位移与实位移
——临界荷载的判别式 临界荷载的判别式
需注意两点: 需注意两点:
1. 上述判别式是假定荷载组自左向右移动而得 出的。如荷载自右向左移动， 出的。如荷载自右向左移动，也将得到同样 的判别式——即它与荷载移动的方向无关； 即它与荷载移动的方向无关； 的判别式 即它与荷载移动的方向无关 上述判别式是根据影响线为连续折线导出的， 2. 上述判别式是根据影响线为连续折线导出的， 不适用于影响线范围内竖标有突变的情况。 不适用于影响线范围内竖标有突变的情况。
M C = 82 × (0.07 + 2.52 + 2.07 + 1.02) = 456.76kNm
3)对 P3 试算其是否为临界荷载 对 未过顶点 越过顶点
82 + 82 82 ＞ 3.6 8.4 82 82 + 82 ＞ 3.6 8.4
不是M ∴P3 不是 C 的临界荷载 ∴P2 位于影响线顶点时对应的值即为 MC 的最大值 即：
利用影响线求极大（极小） 利用影响线求极大（极小）值的一般步骤
利用判别式确定临界荷载及临界荷载位置； 利用判别式确定临界荷载及临界荷载位置； 试算时注意： ）若求最大值， 试算时注意：1）若求最大值，应使较大较密 集的荷载布于影响线正号区域内， 集的荷载布于影响线正号区域内，而使负号范 围内的荷载尽可能少或对应竖标尽可能小。 围内的荷载尽可能少或对应竖标尽可能小。 2）计算时取梁上实际荷载的影 ） 不应包括移出影响线范围的荷载。 响，不应包括移出影响线范围的荷载。
B
QC 影响线
0.408
0.4
QC max = P1 y1 + P2 y2 = 252 × 0.6 + 106.4 × 0.408 = 194.61kN
公路、 公路、铁路的标准荷载值极换算荷载
汽车—10级 级 汽车
汽车—15级 级 汽车
汽车—20级 级 汽车
汽车—超 级 汽车 超20级
铁路的标准荷载值
P3 P=1 B
QC影响线
y2 y3
y1
a/l
QC=P1*y1 +P2*y2 +P3*y3
Z = P1 y1 + P2 y2 + + Pn yn = ∑ Pi yi