2016_2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题高效测评

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高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算

5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征方向___相_同__或_相__反_____
特例零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算学案湘教版选修2-1-湘教版高

3．1 空间中向量的概念和运算1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法．2.掌握空间向量的线性运算，数量积．3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题．1．空间向量 (1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模． (2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记作|AB →|或|a |.2．空间向量的加减法如图，从任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b .并且从A 出发作AC →＝b ，则a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →．3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．空间向量与实数相乘(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量． (2)向量a 与λa 的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0 方向相同λa 的模是a 的模的|λ|倍λ＝0λa ＝0，其方向是任意的λ<0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律①λ(a ＋b )＝λa ＋λb (对向量加法的分配律)． ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a (对实数加法的分配律)．5．空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b ，则θ＝∠AOB 就是a ，b 所成的角，a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |·cos__θ.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b )交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c1．下列命题错误的是( )A ．空间向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：选B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 正确．2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＝0.3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AA 1→与CC 1→是______向量，向量AC →与C 1A 1→是________向量．答案：相等相反空间向量的加减运算如图所示，已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD→表示．解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→，在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →，故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．1.化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：02．如图，在四棱锥V ABCD 中，化简VA →－VC →＋AB →＋BC →.解：VA →－VC →＋AB →＋BC →＝CA →＋AC →＝0.空间向量的线性运算如图所示，已知空间四边形ABCD 中，向量AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，若M 为BC 中点，G 为△BCD 的重心，试用a 、b 、c 表示下列向量：(1)DM →；(2)GM →；(3)AG →.【解】 (1)连接AM ，在△ADM 中，DM →＝DA →＋AM →，由线段中点的向量表示知 AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，由相反向量的概念知DA →＝－AD →＝－c ，所以DM →＝DA →＋AM → ＝12(a ＋b )－c ＝12(a ＋b －2c )． (2)在△BCD 中，GM →＝13DM →＝13·12(a ＋b －2c ) ＝16a ＋16b －13c .(3)在△ADG 中，由三角形重心的性质，得 AG →＝AD →＋DG →＝c ＋23DM →＝c ＋13(a ＋b －2c )＝13(a ＋b ＋c )．(1)有限多个空间向量a 1，a 2，a 3，…，a n 相加，可以从某点O 出发，逐一引向量OA 1→＝a 1，A 1A 2→＝a 2，…，A n －1A n ＝a n .如图，于是以所得折线OA 1A 2…A n 的起点O 为起点，终点A n 为终点的向量OA n →就是a 1，a 2，…，a n 的和，即OA n→＝OA 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ――→＝a 1＋a 2＋…＋a n .此即为空间向量的多边形法则．(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重合，则和向量为零向量．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x 、y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解：如图， (1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2)因为PA →＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又因为PC →＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. 所以x ＝2，y ＝－2.向量的数量积及应用已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→.解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.(1)空间向量运算的两种方法①利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．已知|a |＝3，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则(3a －2b )·(a ＋2b )＝________．解析：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2＝3×9＋4×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4×16＝27－24－64＝－61. 答案：－611．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止．2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量a ，b 中，b ≠0，且有a ＝λb (λ∈R )，则a ，b 共线．3．两向量的数量积，其结果是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．4．当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0，这由向量的几何意义就可以理解．1.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )A.AB 1→B.DC →C.AD →D.BA →解析：选B.因为D 1C 1→＝A 1B 1→，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→－BB 1→＝AB 1→＋B 1B →＝AB →. 又AB →＝DC →，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝DC →.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________．解析：因为AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，因为AP ⊥BD ，所以AP →·BD →＝0.因为AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，所以AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18. 答案：183.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0.[A 基础达标]1．若向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c·a ＝0且b·c ＝0”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a ∥b 时，由c·a ＝0且c·b ＝0得不出l ⊥α；反之，l ⊥α一定有c·a ＝0且c·b ＝0.故选B.2．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－23解析：选A.因为CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.3.如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析：选A.AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→D.AC →＋CB 1→ 解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：选A.注意到AM →＝12AC →＝12A 1C 1→＝12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝12(a ＋b )，B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .6．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则直线AB 1和BM 的位置关系是________．解析：因为AB 1→＝AA 1→＋AB →，BM →＝BC →＋12CC 1→＝BC →＋12AA 1→，设三棱柱的各棱长均为a ，则AB 1→·BM →＝(AA 1→＋AB →)·(BC →＋12AA 1→)＝AA 1→·BC →＋12AA 1→2＋AB →·BC →＋12AB →·AA 1→＝0＋12a 2＋a 2cos 120°＋0＝0.所以AB 1→⊥BM →. 答案：垂直7．如图，已知四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．命题：①向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a 所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a ＝0，而b ≠0时，则找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；③中M 是△ABC 的重心，故M 在平面ABC 上且在△ABC 内，故③是真命题．答案：③9．已知正四面体O ABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝（OA →＋OB →＋OC →）2 ＝12＋12＋12＋2（1×1×cos 60°）×3＝ 6.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →.并在图中标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)因为E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．[B 能力提升]11.正四面体A BCD 的棱长为a ，点E 、F 、G 分别为棱AB 、AD 、DC 的中点，则四个数量积：①2BA →·AC →；②2AD → ·BD →；③2FG →·AC →；④2EF →·CB→中结果为a 2的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B.①2BA →·AC →＝2·a ·a cos 120°＝－a 2.②2AD →·BD →＝2·a ·a ·cos 60°＝a 2.③2FG →·AC →＝2·a 2·a ·cos 0°＝a 2. ④2EF →·CB →＝2·a 2·a ·cos 120°＝－a 22. 12．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，所以(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.答案：013．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′→；(3)AB →＋AD →＋12CC ′→； (4)13(AB →＋AD →＋DD ′→)．解：如图所示，(1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→.(3)设M 是线段CC ′的中点，则 AB →＋AD →＋12CC ′→＝AC →＋CM →＝AM →.(4)设G 是线段AC ′的三等分点，则 13(AB →＋AD →＋DD ′→)＝13(AC →＋CC ′→)＝13AC ′→＝AG →.14.(选做题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则a·b ＝0，b·c ＝0，a·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c .所以A 1O →·BD →＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝12(|b |2－|a |2)＝0.所以A 1O →⊥BD →，所以A 1O ⊥BD .同理可证：A 1O →⊥OG →，所以A 1O ⊥OG .又因为OG ∩BD ＝O ，且A 1O ⊄平面BDG ，所以A1O⊥平面GBD.。

2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角高效测评新人教A版选修2-1资料

2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2.2 用向量方法求空间中的角高效测评新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角等于( )A ．45°B ．30°C ．90°D ．60°解析：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BE 为z 轴建立空间直角坐标系．则A (1,0,0)，C (0,1,0)，F (1,0,1)，∴AC →＝(－1,1,0)，BF →＝(1,0,1)．∴cos 〈AC →，BF →〉＝－12.∴〈AC →，BF →〉＝120°.∴AC 与BF 所成的角为60°. 答案： D2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：建系如图，设正方体棱长为1，则BB 1→＝(0,0,1)．∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取B 1D →＝(1,1,1)为面ACD 1的法向量．设BB 1与面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BB 1→·B 1D →|BB 1→||B 1D →|＝13＝33，∴cos θ＝63. 答案： D3．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )A.36B.34C.33D.233解析：设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.答案： D4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34解析：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2，2,4)，D 1(0,0,4)，∴D 1B 1→＝(2,2,0)，D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的法向量，则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1→＝0n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝02x －4z ＝0，令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)． A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→·n ||n |＝43.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，v ＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．解析： cos 〈n ，v 〉＝－12·2＝－12.∴〈n ，v 〉＝120°. 答案： 60°6．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1.因为A 1D ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，由AD ＝32，AA 1＝1知A 1D ＝12.故A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12.又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，∴AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，12，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，∴cos 〈AA 1→·AB →〉＝34.又∵CC 1∥AA 1，∴cos 〈AA 1→，AB →〉＝cos 〈CC 1→，AB →〉．故异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为34.答案： 34三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠ACB ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值．解析：方法一：取BC 中点E ，连接EF 1，D 1F 1， ∵D 1F 1綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴D 1F 1綊BE ，∴四边形BEF 1D 1是平行四边形， ∴EF 1∥BD 1，∠AF 1E 是BD 1与AF 1所成的角，连接AE ，设BC ＝CA ＝CC 1＝1，则AE ＝1＋14＝52， AF 1＝1＋14＝52， EF 1＝BD 1＝1＋24＝62，在△AEF 1中，由余弦定理得：cos ∠AF 1E ＝EF 21＋AF 21－AE22·EF 1·AF 1＝64＋54－542×62×52＝3010. ∴BD 1与AF 1所成角的余弦值为3010. 方法二：如图所示，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设CB ＝CA ＝CC 1＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，则AF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，BD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1， ∴|AF 1→|＝52，|BD 1→|＝62，则cos 〈BD 1→，AF 1→〉＝AF 1→·BD 1→|AF 1→||BD 1→|＝3010，∴BD 1与AF 1所成角的余弦值为3010. 8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值．解析：取CD 的中点M ，则EM ∥PD ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴EM ⊥平面ABCD ， ∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ， ∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， ∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，0，cos 〈BM →，BE →〉＝BE →·BM →|BE →|·|BM →|＝1＋1432×52＝306，∴BE 与平面ABCD 夹角的余弦值为306.9．(10分)如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA1＝2.E ，F 分别是线段AB ，BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求二面角C －DE －C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．解析： (1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则有D (0,3,0)，D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)，C 1(4,3,2)．于是，DE →＝(3，－3,0)，EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)．设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DE →，n ⊥EC 1→⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z 2，－z 2，z ＝z2(－1，－1,2)，其中z >0.取n ＝(－1，－1,2)，则n 是平面C 1DE 的一个法向量． ∵向量AA 1→＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，设二面角C －DE －C 1的平面角大小为θ. 由图知所求二面角为锐二面角， ∴cos θ＝cos 〈n ，AA 1→〉＝n ·AA 1→|n |·|AA 1→|＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝63， ∴tan θ＝22. (2)设EC 1与FD 1所成角为β，则cos β＝|cos 〈EC 1→，FD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EC 1→·FD 1→|EC1→|×|FD 1→| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1× －4 ＋3×2＋2×212＋32＋22× －4 2＋22＋22＝2114.。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法解决垂直问题a21a高二21数学

题型一
题型二
题型三
解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB=1,
3
2
依题意,得 D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4), 1, ,0 .
3
1
∴ = (1,2,1), 1 = -1,- ,4 , = -1, ,0 ,
2
2
∴ ·1 = 0, · = 0.
12/9/2021
∴ = 21 1 , = 21 1 ,
∴A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面.
第十九页，共二十二页。
典例透析
题型一
题型二
题型三
(2)1 · = (0,0,2)·(-2,2,0)=0, · = (2,2,0)·(-2,2,0)=0.
(2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直,即
设a,b是在平面α内(或与平面α平行)的两条直线的方向向量,且a与b不平行,
直线l的方向向量为c,则l⊥α⇔c⊥a,且c⊥b⇔a·c=b·c=0.
3.面面垂直
(1)根据面面垂直的判定定理转化为证明相应的线面垂直、线线垂直.
(2)证明两个平面的法向量互相垂直.
2 2
4 4 4
3 1 1
∴ 1 · = − + + = 0.
8 8 4
∴ 1 ⊥ , 即AB1⊥MN.
第六页，共二十二页。
典例透析
题型一
题型二
题型三
反思证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0,可以建
立空间(kōngjiān)直角坐标系,用坐标运算来解决,也可以利用向量间的几何关系
第2课时用向量方法(fāngfǎ)解决垂直问题

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ，又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)．设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)，设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点．综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ，由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。

3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题

向量；
②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量；
③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行
的向量，然后求平面的法向量．
数学选修2-1
第三章空间向量与立体几何
1 ．已知平面 α 经过三点 A(1,2,3) ， B(2,0 ，－ 1) ， C(3 ，－
数学选修2-1
第三章空间向量与立体几何
设平面 EFBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， → n· DB＝0 ∴ → DE＝0 n· y＝－x， ∴ 1 z＝－2x. 令 x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1， ∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面 EFBD 的一个法向量．
证法二：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则有 D(0，0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)， → → → ∴A1P＝(－2,1，－2)，DM＝(0,2,1)，DN＝(1,2,0)，设 n＝(x，y，z)是平面 DNM 的一个法向量， → n· DM＝0，则 → DN＝0， n·
数学选修2-1
第三章空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题
数学选修2-1
第三章空间向量与立体几何
1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系． 2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的
垂直与平行．
数学选修2-1
第三章空间向量与立体几何
直线的方向向量与平面的法向量
1．直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线____________ 共线或平行的向量．

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定(一)课件苏

→ n1· DA＝2x1＝0，即 → AE＝2y1＋z1＝0， n1·
→ → 则 n1⊥DA，n1⊥AE，
x1＝0，得 z1＝－2y1，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). → → 因为FC1· n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
证明
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， → → → 所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明
—→ 因为C1B1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → —→ 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
→ n2· FC1＝2y2＋z2＝0，得 —→ C1B1＝2x2＝0， n2· x2＝0，得 z2＝－2y2.
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的
联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何
问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；
第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCDAD＝ 3，试建立恰当的空间直角坐标系，
求平面ACE的一个法向量.
解答
引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面 PCD的一个法向量.

第三章3.2用向量方法解决问题

→ → (2)∵EG＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)， PG → BC＝(0，－3,3)， → → → → ∴EG· ＝1－1＝0，EG· ＝3－3＝ PG BC 0， ∴EG⊥PG，EG⊥BC.
【名师点评】证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．
→ 于是PA＝(3,0,0)， → FG＝(1,0,0)， → → 故PA＝3FG，∴PA∥FG. 而 PA⊥平面 PBC， ∴FG⊥平面 PBC. 又 FG⊂平面 EFG， ∴平面 EFG⊥平面 PBC.
法二：同法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、 F(0,1,0)、G(1,1,0)， → → ∴EF＝(0，－1，－1)，EG＝(1，－1，－1)．设平面 EFG 的法向量是 n＝(x，y，z)， y＋z＝0， → → 则有 n⊥EF，n⊥EG，∴ x－y－z＝0，令 y＝1，得 z＝－1，x＝0，即 n＝(0,1，－1)． → 显然PA＝(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量． → → 这样 n· ＝0，∴n⊥PA，即平面 PBC 的法向量与平 PA 面 EFG 的法向量互相垂直，∴平面 EFG⊥平面 PBC.
3．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤： (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面； (2)通过向量运算研究平行、垂直问题； (3)根据运算结果解释相关问题．
3．2.2 用向量方法求空间中的角
学习目标
1.理解直线与平面所成角的概念．
问题探究 1．异面直线所成的角是否等于它们的方向向量所成的角？提示：不一定．若方向向量所成角小于等于90°, 则相等；若方向向量所成角大于90°，则不相等． 2．直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？提示：不一定．

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法破题致胜

3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法复习指导考点一：空间向量的线性运算1.加法：a b OB =u u u r＋减法：a b CA -=u u r数乘：a a λλ=当0λ＞时，a λ与a 方向相同；当0λ＜时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量．线性运算律①加法交换律：a b b a +=+②加法结合律：()()a b c a b c ++=++③分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+ 2.（1）向量定理两个空间向量0()a b b a b ≠，，∥的充要条件是存在唯一的实数x ，使a xb ＝. （2）向量共面的条件（3）空间向量的分解定理（4）两个向量的夹角（5）异面直线（6）两个向量的数量积3.空间向量的坐标表示 (1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i j k ，，都叫做坐标向量． (2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组123()a a a ，，，使123123a a i a j a k a i a j a k ＝＋＋，，，分别为向量a 在i j k ，，方向上的分向量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作123()a a a a ＝，，4空间向量平行和垂直的条件设123123()()a a a a b b b b ＝，，，＝，，，则()()11223310b a b b a a b a b a b λλλλ≠P ＝＝，＝，＝，当123b b b ，，3都不为0，a b P ⇔312123a a ab b b ==； (2)a b ⊥⇔·a b ＝0⇔1122330a b a b a b ＋＋＝ 4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设123123()()a a a a b b b b ＝，，，＝，，，则a ==b ==cos a ba b a b ⋅〈，〉＝设111222()()A x y z B x y z ，，，，，，则AB =u u u r解题指导：空间向量解决立体几何问题的步骤：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义例题1. 在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长;(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.【答案】（1）EF（2）见解析（3）见解析例题2. 已知12e e u ru r 是空间单位向量, 1212e e ⋅=u r u r ,若空间向量b r 满足12b e ⋅=r u r ,252b e ⋅=r u r ，对于任意,x y R ∈()()()120102001,b xe ye b x e y e x y R -+-+=∈r u r u r r u r u r≥则0x =_______ 0y =_______,b r=________【答案】1,2,巩固练习1．若直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-，则（） A. l ⊥α B. l //α C. l ⊂α D. A 、C 都有可能2．过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若P A B A =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是（）．A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒3．设点M 是棱长为2的正方体的棱AD 的中点，P 是平面11BCC B 内一点，若面1D PM 分别与面ABCD 和面11BCC B 所成的锐二面角相等，则1PC 长度的最小值是（）24．如图所示，已知六棱锥的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB ，则下列结论正确的是（）A. PB ⊥ADB. 平面PAB ⊥平面PBCC. 直线BC ∥平面PAED. 直线PD 与平面ABC 所成的角为45°5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PD ⊥平面ABCD ，且1,2PD AD AB ===，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4π时， AE =（）A. 2B. 12C. 26．在平行四边形中，,,若将其沿折成直二面角,则与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.7．已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C 三点， ()1,1,1n =，则以n 为方向向量的直线与平面ABC 系是（）A. 垂直B. 不垂直C. 平行D. 以上都有可能8．已知球O 的半径为1， ,A B 是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A. 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， 4AB =， 16AA =，若E 、F 分别是棱1BB ， 1CC 上的点，且1BE B E =， 1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）10．在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111ABC A B C -中， 2AB = ， 13AA =，点D 为棱BD 的中点，点E 为,A C 上的点，且满足1=mEC A E （m R ∈），当二面角E AD C --的余时，实数m 的值为（）A. 1B. 2C.12D. 311．已知矩形ABCD ， AD =，沿直线BD 将ABD 折成A BD '，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD 内（不含边界）．设二面角A BD C '--的大小为θ，直线A D '， A C '与平面BCD 所成的角分别为,αβ则（ )A. αθβ<<B. βθα<<C. βαθ<<D. αβθ<<12．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2 ，侧棱长为4 ，则1B 点到平面1AD C 的距离为（）A.83 D. 43 13．把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A. 120°B. 30°C. 90°D. 60° 二、解答题14．如图，在三棱锥A BOC -中， ,,AO OB OC 两两互相垂直，点,D E 分别为棱,BC AC 的中点， F 在棱AO 上，且满足14OF OA =，已知4OA OC ==， 2OB =.（1）求异面直线AD 与OC 所成角的余弦值；（2）求二面角C EF D --的正弦值.15．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形， 3ABC π∠=，且PA ⊥平面ABCD .（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若平面PAB 与平面PCD 的夹角为3π，试求线段PA 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥底面ABC ， 2AC BC ==， AB = 14CC =，M 是棱1CC 上一点．（I ）求证： BC AM ⊥．（II ）若M ， N 分别是1CC ， AB 的中点，求证： CN ∥平面1AB M ．（III ）若二面角1A MB C --的大小为π4，求线段1C M 的长参考答案与解析1．A【解析】直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-且2a b =，即//a b .所以l ⊥α. 2．B()0,1,0B ， ()0,0,1AP =， ()0,0,1P ， ()0,1,0DC =， ()1,1,0C ， ()1,0,1DP -， ()1,0,0D ，设平面CDP 的一个法向量为(),,n x y z ，{y x z =-+=， ()1,0,1n ，∵平面ABP 的一个法向量为()1,0,0m ，cos 2m n ⋅==， ∴所求锐二面角为45︒． 3．A【解析】如图，过点P 作1D M 的平行线交BC 于点Q 、交11B C 于点E ，连接MQ ，则PN 是平面1D PM 与平面11BCC B 的交线， MN 是平面1D PM 与平面ABCD 的交线．1//EF BB ，交BC 于点F ，过点F 作FG 垂直MQ 于点G ，则有MQ 与平面EFG 垂直，所以， EG ⊥ MQ ，即角EGF 是平面1D PM 与平面ABCD 的所成二面角的平面角，且EF sin EGF EG∠=， //MN CD 交BC 于点N ，过点N 作NH EQ ⊥ 于点H ，同上有： MNsin MHN MH∠= ，且有EGF MHN ∠=∠ ，又因为EF MN AB == ，故EG MH =，而2EMQSEG MQ MH EQ =⨯=⨯ ，故MQ EQ = ，∴1PC长度的最小值211BE BC d BC BE BC ⎫⋅⎪=⋅-==⎪⎭4．D【解析】∵PA ⊥平面ABC ，∴∠ADP 是直线PD 与平面ABC 所成的角.∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AD=2AB ，即tan ∠ADP=，∴直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 5．A又平面A B C D 的一个法向量是()10,0,1n =且122n n ⋅=⇒=，解之得2t =6．B 【解析】∵，，如图∴，∴，过点A 作，在和，，则，，在空间四边形中，直二面角，∵，，∴平面，以点为原点，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，∴，，，，∴，，∴，，，设与所成的角为，则7．A【解析】由题意， ()()1,1,0,0,1,1AB BC =-=-， 0,0n AB n BC ⋅=⋅=，所以以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 垂直 8．B9．D【解析】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为14,6AB AA ==且1111,3BE B E C F CC ==，所以()()()()10,2,0,0,2,6,0,2,3,A A E F ---, 所以()()10,2,0,2,4A E AF =-=-, 则1112cos ,105A E AF AE AF A E AF⋅〈〉===-⨯⋅,所以异面直线1A E 与AF10．A【解析】由题意知0m >，过点A 在平面ABC 内作Ox AC ⊥，则以A 为原点O ，分别以,,Ox OC OA '为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示，则230,,11m E m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 33,022AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 230,,11mAE m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，则02{31,30n AD m n n AE ⋅=⎛⎫⇒=- ⎪⎭⋅=，，取平面ADC 法向量为()0,0,1m =，由二面角E AD C --余弦值为10，则10cos ,10n m 〈〉=-2211m m m =⇒=⇒=11．D12．A距离为183n BD n ⋅= 13．D【解析】过作，交于，连结，则是的中点，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线、所成的角为，则，所以.所以异面直线、所成的角为14．（1）异面直线AD 与OC （2）二面角C EF D -- 【解析】（1）如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.因此异面直线AD 与OC 所成角的余弦值为21. （2）平面AOC 的一个法向量为()2,0,0OB =. 设(),,m x y z =为平面DEF 的一个法向量，又()()0,2,1,1,0,2EF DE =--=-，则0,{ 0,m EF m DE ⋅=⋅=即20,{20.y z x z +=-=不妨取2z =，则4,1x y ==-，所以()4,1,2m =-为平面DEF 的一个法向量，从而2,0,04,1,2,OB m cos OB m OB m⋅-⋅===,设二面角C EF D --的大小为θ，则cos 21θ=.因为[]0,θπ∈，所以sin θ==.因此二面角C EF D --. 15．（1）见解析；（2）线段PA 的长为1.设()0PA m m =>． ()()))0,0,0,0,0,,,1,0A P m C D-所以设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =,得0{20y mz y ++==，令x m =，则(n m =．平面PAB 的法向量可取()1,0,0r =，由题， 21coscos ,32n r n r n rm π====⋅+，解得1m =，所以线段PA 的长为1．16．（I ）见解析（II ）见解析（III ）132C M = 【解析】（I ）∵1CC⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， ∴1CC BC ⊥．∵2AC BC ==， AB = ∴ABC ∆中， 2228AC BC AB +==， ∴BC AC ⊥． ∵1AC CC C ⋂=， ∴BC ⊥平面11ACC A ． ∵AM ⊂平面11ACC A ， ∴BC AM ⊥．∴四边形MCNP 是平行四边形， ∴CN MP ⊥．又CN ⊄平面1AB M ， MP ⊂平面1AB M ， ∴CN ∥平面1AB M ．（III ）∵BC AC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ， ∴CA ， CB ， 1CC 两两垂直。

3.2.1-立体几何中的向量方法(1)---平行、垂直

2
uuur DC

1
uuur DE
3
3
uuuur uuur uuur 所以MN、DC、DE共面
但MN 平面CDE 故MN // 平面CDE
垂直关系：
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
线1线,垂2直的法l1 向量l2 分别eu为ur1rn1euu,urr2n2，eu则 urr1
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c平2 )面的法向量
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的不惟一，合理
取值即可。
方程组

r nr n
• •
r ar b

0 0

aa12
x x

b1 b2
y y

c1z c2z

0时 ,e // n
a1 a2

b1 b2

c1 c2
uur uur
uur uur
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0.
例7.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F
平面ADE
uuur uuur
uuuur
e1
l1
n1

ur uur ur uur l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1 n2
2
uur uur uur uur
1 // 2 n1 // n2 n1 n2

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中

(3)若 n1，n2 分别是平面 α，β 的法向量，则 n1⊥n2 ⇔α⊥β.( )
(4)已知 a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则 a∥c，a⊥b.( )
解析：(1)正确．因为 v2＝－2v1，所以 v1 与 v2 共线，所以 l1 与 l2 的位置关系是平行．
|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)， A→N＝b＋14c，M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c，所以 AB1·M→N＝(a＋c)·－12a＋12b＋14c＝
－12＋12cos 60°＋14＝0. 所以A→B1⊥M→N，所以 AB1⊥MN. 法二(坐标法)．设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，
解析：由 l1⊥l2，知 a·b＝0，即 1×(－2)＋2×3＋(－ 2)×m＝0，解得 m＝2.
答案：2
5．设 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则适合条件A→M·n＝0 的点 M 的轨迹是____________0，
所以 M 点在过 A 且与 n 垂直的平面上．答案：过 A 且以 n 为法向量的平面
(2)线面垂直．设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 v＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv． (3)面面垂直．设平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β⇔u⊥v ⇔ uv＝0⇔a1a2＋b1b2＋ c1c2＝0．
OO1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得
A－12，0，0，B12，0，0， C0， 23，0，N0， 23，14， B112，0，1，

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(

3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一空间向量的数乘运算【例1】设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式．【解】由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二空间向量的共线问题【例2】如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三空间向量的共面问题【例3】已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量及平面

3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )，则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量．探究3 利用方向向量、法向量判断线、面关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0，所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交．拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案－8解析因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系a21

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组:
n n
a b
0, 0.
(4)解方程组,取其中的一组解,即得该平面的一个法向量.由于平面的法
向量有无数个,故可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量.
7.利用空间向量表示立体几何中的平行与垂直关系因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线与平面的位置关系,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量来研究空间直线、平面的平行(或垂直)问题. 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则
4.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1, 1 ,2),且l∥α,
2
则m=
.
答案:-8
5.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的
值为
.
答案:-10
课堂探究
题型一求平面的法向量【例1】如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD= 1 ,建立适当的空间直角坐标系,求平面 SCD与平面SBA的一个法向量. 2
法三
因为 MN
= C1N
- C1M
=
1 2
D1
A1
-
1 2
D1D
=
1 2
(
DB +
BA )-
1 2
(
D1 A1
+
A1D
)=
1 2
DB
+
1 2
BA
-
1 2
D1 A1
-
1 2
A1D
=
1 2