安徽省怀宁中学0910学年高一上学期期中考试(数学)

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2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

安徽省安庆市怀宁县第二中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

怀宁二中2021-2022学年度第一学期期中考试高一数学试题命题人：何承义一、选择题（5分×12题＝60分） 1. 现有以下说法，其中正确的是（） ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③将来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的全部自然数构成一个集合. A.①②B.②③C.③④D.②④2. 设集合M 是由不小于32的数组成的集合，11=a ，则下列关系中正确的是（） A.M a ∈B.M a ∉C.M a =D.M a ≠3.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（） A.2)(|,|)(x x g x x f ==B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f4. 下列四个函数中，在),0(+∞ 上为增函数的是（） A.x x f -=3)(B.x x x f 3)(2-=C.11)(+-=x x fD.||)(x x f -=5. 如图，I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A.C )(⋂⋂B AC I B.C A B C ⋂⋃)(1 C.)()(C C B A I ⋂⋂D.C B C A I ⋂⋂)(6. 已知函数)(x f 是定义在（-6,6）上的偶函数，)(x f 在[0,6)上是单调函数，且)1()2(f f <-，则下列不等式成立的是（） A.)3()4()1(f f f <<-B.)4()3()2(-<<f f fC.)1()0()2(f f f <<-D.)1()3()5(-<-<f f f7. 函数)1(1)(2+=x n x f 的图象大致是（）8. 若,3lg ,2lg b a ==则15lg 12lg 等于（） A.b a ba +-+12B.b a ba +++12C.b a b a +-+12D.b a b a +++12 9. 若函数x a a x f ⋅-=)321()(是指数函数，则)21(f 的值为（）A.2B.－2C.22-D.2210. 已知集合},50|{),,023|{2N x x x B R x x x x A ∈<<=∈=+-=，则满足条件A C B 的集合C 的个数为（） A.1B.2C.3D.411. 函数)4(log )(221-=x x f 的单调递增区间为（） A.),0(+∞B.)0,(-∞C.),2(+∞D.)2,(--∞12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=)1(2),1(5)3()(x x a x x a x f 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A.)3,0(B.]3,0(C.)2,0(D.]2,0(二、填空题（5分×4题＝20分） 13. 函数xx y -++=211的定义域为____________.14. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=],1,0[,4),0,1[,)41()(x x x f x x则=)3(log 4f _____________.15. 若函数 ,0(32)(1>-=+a a x f x 且)1≠a 的图象恒过的定点是__________.16. 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，,)(2x x x f --=则函数)(x f 的解析式为_____________.三、解答题（10分+12分×5题＝70分）17.求值.(1);)32()25(10002.0)833(0121－32－-+--+--－ (2) 计算.)2(lg 20lg 5lg )25.0(2)32(2410+⋅+⋅+18. 已知全集},11|{},15|{},35|{<≤-=-<≤-=≤≤-=x x B x x A x x U 求).()(,,B C A C B C A C U U U U ⋂19.(1)已知)(x f 是一次函数，且,2516))((-=x x f f 求).(x f(2)已知,2)1(x x x f +=+求)(x f 的解析式.20.已知函数111)(--=x mxn x f 是奇函数. (1)求m 的值；(2)判定)(x f 在),1(+∞上的单调性，并加以证明.21. 函数)(x f 的定义域为R ，且对任意,,R y x ∈有),()()(y f x f y x f +=+，且当.2)1(,0)(,0-=<>f x f x(1)求证：)(x f 是奇函数. (2)求证：)(x f 在R 上是减函数. (3)解不等式：4)12(-<-x f .22. 已知定义在R 上的函数141)(++=xa x f 是奇函数. (1)求a 的值；(2)推断)(x f 的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的,R t ∈不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围.高一数学答案一、选择题（5分×12题＝60分）题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A C D D 题号 7 8 9 10 11 12 答案AADBDD二、填空题（5分×4题＝20分）13. 1|{-≥x x 且}2≠x14. 3 15.)1,1(--16.⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=)0()0()(22x x x x x x x f二、填空题（10分+12分×5题＝70分）17.(1)原式=12510)5001()833()1(213231+--+⨯---- 1)25(10500)827(2132++-+=-.916712051051094-=+--+=(2)原式=2)2(lg )2lg 25(lg 5lg 2121++⋅+⨯+=22)2(lg 2lg 5lg 2)5(lg 11++++ =2)2lg 5(lg 2++ =318. 由补集的定义，得},31|{≤≤-=x x A C U,15|{-≤≤-=x x B C U 或},31≤≤x方法一：}.31|{)()(≤≤=⋂x x B C B C u U 方法二：∵},15|{≤≤-=⋃x x B A∴}.31|{)()()(≤≤=⋃=⋂x x B A C B C A C U U U19. (1)设),0()(≠+=k b kx x f 则,)())((2b kb x k b b kx k x f f ++=++=∴.25162-=++x b kb x k∴⎩⎨⎧-=+=25,162b kb k ，∴⎩⎨⎧-==5,4b k 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=325,4b k∴54)(-=x x f 或3254)(+-=x x f (2)20.21.(3))1()1()12(f f x f +<- )2()12(f x f <-由（2）知，)(x f 在R 上是减函数 ∴212>-x 32>x 23>x ∴不等式的解集为}23|{>x x22.(1)∵)(x f 是定义在R 上的奇函数 ∴0)0(=f 即021=+a ∴21-=a (2) )(x f 在R 上为减函数. (3)∵0)2()2(22<-+-k t f t t f ∴)2()2(22k t f t t f --<- ∵)(x f 为奇函数 ∴)2()2(22t k f t t f -<- 又)(x f 在R 上为减函数 ∴2222t k t t ->- ∴k t t >-232又3131)31(32322-≥--=-t t t∴31-<k高一数学答题卷考号______________ 姓名_______________考生须知1、考生答题前，在规定的地方精确填写考号和姓名。

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（上）期中数学试卷一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∃x ＞0，x +2√x −2＜0”的否定为（） A ．∀x ≤0，x +2√x −2≥0 B ．∃x ≤0，x +2√x −2＞0 C ．∀x ＞0，x +2√x −2≥0D ．∀x ＞0，x +2√x −2＞02．已知幂函数y ＝k •x a 的图象过点（4，2），则k +a 等于（） A ．32B ．3C ．12D ．23．化简√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√ba3（a 、b ＞0）的结果是（）A ．baB ．abC ．abD ．a 2b4．已知函数f(x)={a x ，x ＞1(4−a2)x +2，x ≤1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（1，+∞）B ．[4，8）C ．（1，8）D ．（4，8）5．已知函数y ＝f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f （2a ﹣1）＜f （1﹣a ），则实数a 的取值范围是（） A ．（23，+∞）B ．（23，1)C ．（0，2）D ．（0，+∞）6．设函数f(x)={x −3，x ≥10f(f(x +4))，x ＜10，则f （9）＝（）A ．6B ．7C ．9D ．107．已知0＜a ＜1，b ＜﹣1，则函数y ＝a x +b 的图象必定不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2﹣4[x ]﹣15＜0成立的x 的取值范围（）A ．{x|−32＜x ＜52} B ．{x |﹣2≤x ≤3}C ．{x |﹣1≤x ＜3}D ．{x |﹣1≤x ＜2}二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．∀x ∈R ，关于x 的不等式x 2﹣ax +a ＞0恒成立的一个必要不充分条件是（） A ．0＜a ＜4 B ．a ＞﹣1C ．0＜a ＜12D ．a ≤1010．已知函数f(x)=||x|+1|x|−1|，则正确的结论为（） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1} B ．函数f （x ）的图像关于y 轴对称C ．f （x ）在（0，1）上单调递减D ．f （x ）在（﹣1，1）上的最小值为111．设函数f （x ）＝min {|x ﹣2|，x 2，|x +2|}其中min {x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者．下列说法正确的有（）A ．函数f （x ）为偶函数B ．当x ∈[1，+∞）时，有f （x ﹣2）≤f （x ）C ．方程f(x)=12有6个实数解D ．当x ∈[﹣4，4]时，|f （x ﹣2）|≥f （x ）12．给出定义：若m −12＜x ≤m +12（m ∈Z ），则称m 为离实数x 最近的整数，记作{x }＝m ．在此基础上给出下列关于函数f （x ）＝|x ﹣{x }|的四个结论，其中正确的是（） A ．函数y ＝f （x ）的定义域为R ，值域为[0，12]B ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x =k2（k ∈Z ）对称C ．函数y ＝f （x ）是偶函数D ．函数y ＝f （x ）在[−12，12]上单调递增三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上） 13．设函数f(x)={x ，x ≥a −x 2+2x ，x ＜a，若函数f （x ）为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是．14．定义在R 上的函数f （x ），当﹣1≤x ≤1时，f （x ）＝x 3．若函数f （x +1）为偶函数，则f （3）＝． 15．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1的图象关于原点对称，则满足（a +1）m ＞（3﹣2a ）m 成立的实数a 的取值范围为． 16．（1+1232）（1+1216）（1+128）（1+124）（1+122）（1+12）的值等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算下列各式：（1）(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5；（2）(279)0.5+0．1−2+(21027)−23−3π0+3748．18．（12分）已知a ＞0，且a 2x =√2+1，求下列代数式的值：（1）a x +a −x a x −a −x；（2）a 3x +a −3x a x +a −x．（注：立方和公式a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2））19．（12分）已知函数f （x ）＝a •2x ﹣21﹣x是定义在R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）求不等式f （f （x ）﹣2）＞3的解集；（3）若关于x 的不等式f(x)＞k 2x−1+2恒成立，求实数k 的取值范围．20．（12分）在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x 万册纪念册，投入生产成本C （x ）万元，且C （x ）={3x 2+6x ，0＜x ＜632x +128x+1−100，x ≥6每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．（1）求利润f （x ）（万元）关于生产册数x （万册）的函数关系式；（2）问生产多少册纪念册时，利润f （x ）最大？并求出最大值．21．（12分）（1）已知f （x ）为一次函数，若f [f （x ）]＝4x +8，求f （x ）的解析式；（2）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞﹣1时函数f （x +1）＝2x 2+5x +2，求函数f （x ）的解析式．22．（12分）已知f(x)=x 2−x+1x−1(x ≥2)，g （x ）＝ax +1．（1）若∃x ∈[2，+∞），使f （x ）＝m 成立，求实数m 的取值范围；（2）若∀x 1∈[2，+∞），∃x 2∈[2，+∞），使f （x 1）＝g （x 2），求实数a 的取值范围．2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选择：共40分．只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∃x ＞0，x +2√x −2＜0”的否定为（） A ．∀x ≤0，x +2√x −2≥0 B ．∃x ≤0，x +2√x −2＞0 C ．∀x ＞0，x +2√x −2≥0D ．∀x ＞0，x +2√x −2＞0解：特称命题的否定是全称命题，原命题的否定是：∀x ＞0，x +2√x −2≥0．故选：C ．2．已知幂函数y ＝k •x a 的图象过点（4，2），则k +a 等于（） A ．32B ．3C ．12D ．2解：幂函数y ＝kx a 的图象过点（4，2），所以{k =14a =2，解得k ＝1，a =12，所以k +a =32．故选：A ．3．化简√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3（a 、b ＞0）的结果是（）A ．baB ．abC ．abD ．a 2b解：√a 3b 2√ab 23(a 14b 12)4⋅√a=a 32b⋅a 16b 13(a 14b 12)4⋅a −13⋅b 13=a 32+16−1+13b 1+13−2−13=ab ﹣1=a b．故选：C ．4．已知函数f(x)={a x ，x ＞1(4−a2)x +2，x ≤1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（1，+∞）B ．[4，8）C ．（1，8）D ．（4，8）解：∵函数f(x)={a x ，x ＞1(4−a2)x +2，x ≤1满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立， ∴函数单调递增，故需满足：{a ＞14−a2＞04−a 2+2≤a，解得4≤a ＜8，故选：B ．5．已知函数y ＝f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f （2a ﹣1）＜f （1﹣a ），则实数a 的取值范围是（） A ．（23，+∞）B ．（23，1)C ．（0，2）D ．（0，+∞）解：函数y ＝f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则有：{1＞2a −1＞−1−1＜1−a ＜12a −1＞1−a，解得：23＜a ＜1，故选：B ． 6．设函数f(x)={x −3，x ≥10f(f(x +4))，x ＜10，则f （9）＝（）A ．6B ．7C ．9D ．10解：根据题意，函数f(x)={x −3，x ≥10f(f(x +4))，x ＜10，则f （9）＝f （f （9+4））＝f （f （13））＝f （10）＝7，故选：B ．7．已知0＜a ＜1，b ＜﹣1，则函数y ＝a x +b 的图象必定不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵0＜a ＜1，b ＜﹣1，∴y ＝a x 的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过（0，1），f （x ）＝a x +b 的图象可看成把 y ＝a x 的图象向下平移﹣b （﹣b ＞1）个单位得到的，故函数f （x ）＝a x +b 的图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，故选：A ．8．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2﹣4[x ]﹣15＜0成立的x 的取值范围（）A ．{x|−32＜x ＜52} B ．{x |﹣2≤x ≤3}C ．{x |﹣1≤x ＜3}D ．{x |﹣1≤x ＜2}解：4[x ]2﹣4[x ]﹣15＜0，（2[x ]﹣5）（2[x ]+3）＜0，−32＜[x]＜52，由于[x ]表示不大于x 的最大整数，所以﹣1≤[x ]≤2，所以x的取值范围是{x|﹣1≤x＜3}．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．∀x∈R，关于x的不等式x2﹣ax+a＞0恒成立的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜4B．a＞﹣1C．0＜a＜12D．a≤10解：∵∀x∈R，关于x的不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，∴Δ＝（﹣a）2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，记为M＝（0，4），设所求的必要不充分条件是N，则M⫋N，对比选项可知，选项B，D均符合题意．故选：BD．10．已知函数f(x)=||x|+1|x|−1|，则正确的结论为（）A．f（x）的定义域为{x|x≠0且x≠±1}B．函数f（x）的图像关于y轴对称C．f（x）在（0，1）上单调递减D．f（x）在（﹣1，1）上的最小值为1解：A．由f(x)=||x|+1|x|−1|有意义，可得|x|﹣1≠0，所以x≠±1，所以函数f(x)=||x|+1|x|−1|的定义域为{x|x≠±1}，故A错误；B．因为f(−x)=||−x|+1|−x|−1|=||x|+1|x|−1|=f(x)，所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故B正确；C．当x∈（0，1）时，f(x)=|x+1x−1|=x+11−x=−1−2x−1，所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，C错误；D．当x∈（1，+∞）时，f(x)=|x+1x−1|=x+1x−1=1+2x−1，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，又函数f（x）为偶函数，作出函数f（x）的图象如下．则f（x）有最小值f（0）＝1，故D正确．故选：BD．11．设函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（）A．函数f（x）为偶函数B．当x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x）C．方程f(x)=12有6个实数解D．当x∈[﹣4，4]时，|f（x﹣2）|≥f（x）解：画出函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}的图像，如图黑色部分，对于A：由图可知f（x）是偶函数，A正确；对于B：画出f（x﹣2）图像（将f（x）图像向右平移两个单位即可），得到如图红色部分，由图可知，当x∈[1，+∞）时，红色图像恒在黑色图像下方或有公共点，即f（x﹣2）≤f（x），B正确；对于C：作出y=12图像，如图黑色直线，与f（x）图像有六个交点，故方程f(x)=12有6个实数解，C正确；对于D：由图可知f（x﹣2）≥0，则|f（x﹣2）|≥f（x）即，f（x﹣2）≥f（x），由图可知当x∈[1，+∞）时，f（x﹣2）≤f（x），D错误；故选：ABC．12．给出定义：若m−12＜x≤m+12（m∈Z），则称m为离实数x最近的整数，记作{x}＝m．在此基础上给出下列关于函数f（x）＝|x﹣{x}|的四个结论，其中正确的是（）A ．函数y ＝f （x ）的定义域为R ，值域为[0，12]B ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x =k 2（k ∈Z ）对称C ．函数y ＝f （x ）是偶函数D ．函数y ＝f （x ）在[−12，12]上单调递增解：根据{x }的定义可得函数y ＝f （x ）的定义域为R ， {x }−12＜x ≤{x }+12，即−12＜x ﹣{x }≤12，所以0≤|x ﹣{x }|≤12，函数y ＝f （x ）的值域为[0，12]，故A 正确；函数y ＝f （x ）的图象如图所示，由图象可得y ＝f （x ）的图象关于直线x =k2（k ∈Z ）对称，故B 正确；由图象可得y ＝f （x ）是偶函数，故C 正确；由图象可得D 不正确．故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上） 13．设函数f(x)={x ，x ≥a −x 2+2x ，x ＜a，若函数f （x ）为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 {a |a ≤0或a ＝1} ．解：因为函数f(x)={x ，x ≥a −x 2+2x ，x ＜a为R 上的单调函数，所以a ≤1且a ≥﹣a 2+2a ，解得a ≤0或a ＝1．故答案为：{a |a ≤0或a ＝1}．14．定义在R 上的函数f （x ），当﹣1≤x ≤1时，f （x ）＝x 3．若函数f （x +1）为偶函数，则f （3）＝ ﹣1 ．解：因为函数f （x +1）为偶函数，所以f （x ）关于x ＝1对称，所以f （3）＝f （﹣1）＝（﹣1）3＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x m +1的图象关于原点对称，则满足（a +1）m ＞（3﹣2a ）m 成立的实数a 的取值范围为 (23，4) ．解：由幂函数的定义可知，m 2﹣3m +3＝1，解得：m ＝1或2，又∵幂函数f （x ）是奇函数， ∴m ＝2，原不等式化为：（a +1）2＞（3﹣2a ）2，整理得：3a 2﹣14a +8＜0，解得：23＜a ＜4，故答案为：（23，4）．16．（1+1232）（1+1216）（1+128）（1+124）（1+122）（1+12）的值等于 2−1263．．解：（1+1232）（1+1216）（1+128）（1+124）（1+122）（1+12）＝2（1+1232）（1+1216）（1+128）（1+124）（1+122）（1+12）（1−12）＝2（1+1232）（1+1216）（1+128）（1+124）（1+122）（1−122）＝…＝2（1+1232）（1−1232）＝2（1−1264）＝2−1263．故答案为：2−1263．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算下列各式：（1）(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5；（2）(279)0.5+0．1−2+(21027)−23−3π0+3748．解：（1）原式=1+14×(32)2×(−12)−110=1+16−0.1=1615（2）原式=(259)12+100+(6427)−23−3+3748=53+100+916−3+3748=100 18．（12分）已知a ＞0，且a 2x =√2+1，求下列代数式的值：（1）a x +a −x a x −a −x；（2）a 3x +a −3x a x +a −x．（注：立方和公式a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2））解：（1）因为a ＞0，且a 2x =√2+1，所以a ﹣2x=1a 2x =1√2+1=√2−1，所以a x +a −x a x −a −x=(a x +a −x )2(a x −a −x )(a x +a −x )=a 2x +2+a −2x a 2x −a −2x=√2+1+2+√2−1√2+1−√2+1=√2+1．（2）因为a ＞0，且a 2x =√2+1，a ﹣2x=√2−1，所以a 3x +a −3x a x +a −x=(a x +a −x )(a 2x −1+a −2x )a x +a −x=a 2x ﹣1+a﹣2x=√2+1﹣1+√2−1＝2√2−1．19．（12分）已知函数f （x ）＝a •2x ﹣21﹣x是定义在R 上的奇函数．（1）求实数a 的值；（2）求不等式f （f （x ）﹣2）＞3的解集；（3）若关于x 的不等式f(x)＞k 2x−1+2恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝a •2x ﹣21﹣x是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）+f （x ）＝0，即a •2﹣x ﹣21+x +a •2x ﹣21﹣x ＝0，即(a −2)(2x +12x )=0，因为2x +12x ＞0，所以a ﹣2＝0，所以a ＝2（经检验，a ＝2符合题意）．（2）由（1）得f （x ）＝21+x ﹣21﹣x ，因为y ＝21+x 与y ＝﹣21﹣x在R 上均为增函数，所以f （x ）＝21+x ﹣21﹣x在R 上为增函数，又f （1）＝3，所以f （f （x ）﹣2）＞f （1），所以f （x ）﹣2＞1，即f （x ）＞3＝f （1），所以x ＞1，所以不等式f [f （x ）﹣2]＞3的解集是（1，+∞）．（3）因为关于x 的不等式f(x)＞k 2r−1+2恒成立，即21+x−21−x ＞k 2x−1+2恒成立，所以k ＜22x ﹣2x ﹣1恒成立，所以k ＜（22x ﹣2x ﹣1）min ，因为22x −2x −1=(2x −12)2−54，所以当2x =12，即x ＝﹣1时，22x ﹣2x ﹣1取得最小值−54．所以k ＜−54，即实数k 的取值范围是(−∞，−54)．20．（12分）在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x 万册纪念册，投入生产成本C （x ）万元，且C （x ）={3x 2+6x ，0＜x ＜632x +128x+1−100，x ≥6每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．（1）求利润f （x ）（万元）关于生产册数x （万册）的函数关系式；（2）问生产多少册纪念册时，利润f （x ）最大？并求出最大值．解：（1）因为C （x ）={3x 2+6x ，0＜x ＜632x +128x+1−100，x ≥6，所以f （x ）＝30x ﹣C （x ）﹣10={−3x 2+24x −10，0＜x ＜6−2x −128x+1+90，x ≥6．（2）0＜x ＜6时，f （x ）＝﹣3x 2+24x ﹣10＝﹣3（x ﹣4）2+38，x ＝4时，最大值f （x ）＝38， x ≥6时，f(x)=−2x −128x+1+90=−2[(x +1)+64x+1]+92≤−2×2√64+92=60，当且仅当x +1=64x+1，即x ＝7时等号成立．综上，生产7万册纪念册时，利润f （x ）最大，最大值为60万元．21．（12分）（1）已知f （x ）为一次函数，若f [f （x ）]＝4x +8，求f （x ）的解析式；（2）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞﹣1时函数f （x +1）＝2x 2+5x +2，求函数f （x ）的解析式．解：（1）设f （x ）＝kx +b （k ≠0），则f [f （x ）]＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +kb +b ＝4x +8，所以{k 2=4kb +b =8，解得：k ＝±2，当k ＝2时，3b ＝8，解得：b =83，所以一次函数解析式为f(x)=2x +83，当k ＝﹣2时，﹣2b +b ＝8，解得：b ＝﹣8，所以一次函数解析式为f （x ）＝﹣2x ﹣8，综上：f(x)=2x +83或f （x ）＝﹣2x ﹣8；（2）当x ＞﹣1时，f （x +1）＝2x 2+5x +2，令x +1＝t ∈（0，+∞），则x ＝t ﹣1，则f （t ）＝2（t ﹣1）2+5（t ﹣1）+2＝2t 2+t ﹣1，故当x ＞0时，f （x ）＝2x 2+x ﹣1，因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以当x ＜0时，﹣x ＞0，故f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣[2（﹣x ）2+（﹣x ）﹣1]＝﹣2x 2+x +1，当x ＝0时，f （0）＝0，综上，f(x)={2x 2+x −1，x ＞00，x =0−2x 2+x +1，x ＜0．22．（12分）已知f(x)=x 2−x+1x−1(x ≥2)，g （x ）＝ax +1．（1）若∃x ∈[2，+∞），使f （x ）＝m 成立，求实数m 的取值范围；（2）若∀x 1∈[2，+∞），∃x 2∈[2，+∞），使f （x 1）＝g （x 2），求实数a 的取值范围．解：（1）因为x ≥2，所以f(x)=x 2−x+1x−1=x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时等号成立，所以f （x ）的值域是[3，+∞），所以若∃x ∈[2，+∞），使f （x ）＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，+∞）；（2）若∀x 1∈[2，+∞），∃x 2∈[2，+∞），使f （x 1）＝g （x 2），则f （x ）的值域⊆g （x ）（x ≥2）的值域，又f （x ）的值域是[3，+∞），当a ＜0时，则g （x ）为减函数，当x ≥2时，g （x ）≤2a +1，而f （x ）≥3，不满足f （x ）的值域⊆g （x ）的值域；当a ＝0时，g （x ）＝1，不满足f （x ）的值域⊆g （x ）的值域；当a ＞0时，则g （x ）为增函数，当x ≥2时，g （x ）≥2a +1，g （x ）的值域是[2a +1，+∞），所以2a +1≤3，解得0＜a ≤1．故实数a 的取值范围为（0，1]．。

安徽省怀宁中学2020学年高一数学上学期第二次月考试题

安徽省怀宁中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题（满分150分时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案涂在答题卡上）1．若集合{}21A x x =-<<，{}02B x x =<<，则集合A B =U （）A ．{}11x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}22x x -<<D ．{}21x x -<< 2．幂函数()y f x =的图象经过点()8,22，则()f x 的图象是（） A ． B ．C ．D ．3.若为第三象限角，则的值为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．34. 函数2(-+=x e x f x ）的零点所在的一个区间是（） A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()0,1 D ．()1,25.若252log a =，30.4b =，ln3c =，则,,a b c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a << 6.已知函数的定义域为(－1,0)，则函数(22)f x -的定义域为( ) A ．(-4,-2) B ．(-1，-12 ) C ．(12，1) D ．(-1,0)7.设2log 3a =，则6log 12可表示为（）A ．12a a ++B ．21a a ++C ．12a a +D ．21a a+8.若,a b b a e ee ππ--+≥+为自然对数底数，则有（） A ．0a b +≤B ．0a b -≥C ．0a b -≤D ．0a b +≥9.若()f x 对于定义域内的任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（） A ．0 B ．1 C ．83 D ．410.函数()f x 是定义在(2,2)-上的奇函数，当(0,2)x ∈时，()21,x f x =-则21()3f log 的值为 ( )A ．2-B ．23-C ．7D 111.若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（）A ．()0,4B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对任意正实数,a b ，都有()()()2f ab f a f b =+-，且当1x >时恒有()2f x <，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在()0,∞+上是增函数B ． ()f x 在()0,∞+上是减函数C ．()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数D ．()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在题后横线上．）13．=ο600sin _________ 。

安徽省怀宁中学09-10学年高二数学上学期期中考试(缺答案) 新人教版

怀宁中学09—10学年高二第一学期期中考试数学试题一．选择题（每题5分，共60分）1.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，需从中抽取一个容量为36的样本，适合抽取样本的方法是（）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老年人中排除一人，再分层抽样2.若x 2+y 2=16,则的x+y 最大值是（）A. 3．（文科）“11≤x”是“1≥x ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件（理科）不等式x 2-x-2＜0的一个必要不充分条件是（）A. -1＜x ＜0B.-2＜x ＜2C.-2＜x ＜1D. 0＜x ＜34. 已知三棱锥P-ABC 各顶点坐标分别为P(0,0,5),A(3,0,0) ,B(0,4,0) ,C(0,0, 0)则三棱锥 P-ABC 的体积是（） A.103B. 5C. 53D. 105．如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）A 84，85B 84,84C 85,84D 85,85 7 9 8 456479 3 6.将389化成四进位制数的末位是（）A. 1B. 2C. 3D. 07.有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从这五条线段中任取3条，则所取3条线段能构成三角形的概率是（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7 8.五组变数：（1）汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程（2）平均日学习时间和平均学习成绩（3）某人每日吸烟量和其身体健康状况（4）正方形的边长和面积（5）汽车的重量和百公里耗油量其中两个变量成正相关的是（）A (1)(3)B (2)(4)C (2)(5)D (4)(5)9.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. 至少有一个红球，都是红球 B 至少有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，至少有一个白球D.恰有一个红球，恰有两个红球 10.判断下列命题真假，真命题有（）个（1）用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+3x+2x 2+4x 3+5x 4在x=0.3的值时，共进行了4次乘法和4次加法(2)在△ABC 中，若a 2tanB=b 2tanA,则△ABC 是等腰或直角三角形 (3)已知函数f(x)=cosx sinx ，若ｆ（ｘ１）＝－ｆ（ｘ２），则ｘ１＝－ｘ２（４）若存在实数ｔ０，使得a＝ｔ０b ，则b a +＝b a +．Ａ. ４Ｂ. ３Ｃ. ２Ｄ. １11．从Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜2-x ＋2-y ≦２，ｘ，ｙ∈Ｒ｝内任取一点，该点到原点的距离不超过２的概率是（）Ａ82-π Ｂ42-π Ｃ162-π Ｄ4112．函数ｆ（ｘ）＝cos(ｘ－2π）＋２)sin(x +π，ｘ∈［０，２π］的图像与直线ｙ＝ｋ有且仅有两个不同交点，则ｋ的取值范围是（）Ａ（－１，３）Ｂ（－１，０）∪（０，３）Ｃ（０，１）Ｄ（１，３）二．填空题（每题4分，共16分）13.命题“01,200<+∈∃x R x ”的否定是____________14.(文科)用辗转相除法求得459与357的最大公约数是＿＿＿＿ (理科)1734，816，1343的最大公约数是＿＿＿＿15.数据a 1,a 2,a 3,…,a n 的方差为s 2,则2a 1,2a 2,2a 3,…,2a n 的方差为＿＿＿＿ 16.下列程序中，若输入t=8,则程序执行后输出结果是＿＿＿＿ INPUT tIF t ＜＝4 THEN c=0.2 ELSEc=0.2+0.1*(t-3) END IF PRINT cEND三．解答题（共74分）17. （12分）已知P:函数)(42)(2R m mx x x f ∈+-=在),2[+∞单调递增，Q ：关于x 的不等式244(2)10x m x +-+>)(R m ∈的解集为R ，若P Q ∨为真命题，P Q ∧为假命题，求m 的取值范围．18.（文科）（12分）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，求切线的方程18.（理科）（12分）设动点M 与两定点()0,0O ，()3,0A 的距离之比为λ． ⑴ 求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么；⑵ 若轨迹C与直线30x -=只有一个公共点，求λ的值。

安徽省怀宁中学09-10学年高一上学期期中考试(历史)

怀宁中学09-10高一学年上学期期中考试历史卷（时间：70分钟，满分：100分）命题：程周红第Ⅰ卷客观题（本卷共50小题，每题中只有一个最佳选项，每小题1.5分，共75分）1、在招收研究生的试卷中，有这样一道题：谈谈你对古代中国早期政治制度的认识。

某考生答题要点概括如下，你认为其中不符合．．．历史实际情况的是 A ．禹用王位世袭制代替了禅让制 B ．商朝中央机构中相和卿、士参与商王决策C ．分封制和宗法制是互为表里的政治制度D ．宗法制的最大特点是嫡长子继承制2、第十一届全运会开幕式定于2009年的10月11日在山东举行，CCTV5体坛快讯也特别开设的“走齐鲁看全运”板块，全景展现“齐鲁大地”的风采。

山东省“齐鲁大地”称呼渊源于A ．商朝的内外服制度B ．西周的分封制C ．秦朝实行的郡县制D ．西汉初年的分封制3、中国古代有一位大臣向皇帝进言：“臣闻殷、周之王千馀岁，封子弟功臣，自为枝辅。

”今陛下有海内，而子弟为匹夫，卒有田常、六卿之臣，无辅拂，何以相救哉？事不师古而能长久者，非所闻也。

”此大臣的主张A ．反对郡县制B ．主张郡县制C ．反对中央集权D ．主张中央集权4、易中天在《帝国的终结》中说：“秦，虽死犹存，它亡的悲壮。

”从政治上看，“秦，虽死犹存”主要是指A ．统一度量衡B ．开创皇帝制度C ．在中央建立三公九卿制度D ．建立统一国家和中央集权制5、黄仁宇在其著作《中国大历史》中说：“新朝代遇到的第一个问题就是帝国跨地过广-----于是采用一种“斑马式”的管理，就是有些地区秦朝所设置郡县原封不动地任其存在，其他地区则派遣新任命的王侯，世守为业。

”。

文中的“斑马式”管理应该对应的制度是A ．分封制B ．郡国二制C ．郡县制D ．行省制6、按唐制，中男(男丁l6岁以上至21岁为中男)不服兵役，成男(男丁22岁以上为成男)才服兵役。

某次，封德彝提出中男服役的建议，得到太宗许可。

但是，魏征不肯签署文件，并指出这是竭泽而渔的做法。

安徽省怀宁中学09-10学年高一上学期期中考试(数学)

怀宁中学09－10学年高一第一学期期中考试数学试卷命题人：王志强注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须将答案书写在答题卷规定的位置上，在试题卷上答题无效。

4. 不准使用计算器。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的，答案请填写在答题卡内，否则无效）1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是（）A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝2．图中阴影部分所表示的集合是（）A. B ∩［C U (A ∪C)］B. (A ∪B) ∪(B ∪C)C. (A ∪C)∩(C U B)D. ［C U (A ∩C)］∪B3.若12a <，则化简的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C .1－2a D ．－1－2a 4．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（） A ．(,1)-∞ B ．(2,)+∞(,1)()(1)f x x x -∞=+ C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞） 5.下列函数既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A.43y x = B.32y x = C.2y x -= D.14y x-=6．函数(2)1x y a +=+ （a ＞0且a ≠1）的图象过定点（） A.（1，2）B.（2，1）C.（-2，2）D.（-1，1） 7. ()[]()()121f x f x +,,-已知函数y=定义域为-23则y=的定义域为A 502⎡⎤,⎢⎥⎣⎦B []4-1,C []-5,5D []-3,78．函数⎩⎨⎧<≥+=)0(3)0(1)(||x x x x f x 的图象为（）A ．B ．C ．D ． 9.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（） A.(,())a f a -- B.(,())a f a --- C.(,())a f a - D.(,())a f a - 10若偶函数()f x 在(]-∞,0上是减函数，则下列关系中成立的是（）A ()()()020********f f f ..6..<.<. B ()()()020********f f f ...6.<.<. C ()()()020********f f f ...6.>.>. D ()()()020********f f f ...6.<.<. 11.若a>0且a ≠1，且143log a<，则实数a 的取值范围是（） A ． 01a <<B ．43a 0<<C ．43a 043a <<>或D ．43a 0<<或1a >12．已知函数b ax x x f ++=2)(满足对任意实数t ，都有)1()1(t f t f +=-，若1212x x x -<<，则( )A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题：（本大题共4小题，每题4分，共16分。

安徽省怀宁县新安中学2024届高三第一学期期中考试试卷数学含答案解析

安徽省怀宁县新安中学2024届高三第一学期期中考试试卷数学一、单选题(共32 分)1已知a⃗b⃗⃗为单位向量则|a⃗+b⃗⃗|+|a⃗−b⃗⃗|的最大值为（）A2√3B√3+1C3 D2√2【答案】D【分析】设a⃗, b⃗⃗的夹角为θ有|a⃗+b⃗⃗|+|a⃗−b⃗⃗|=2√2sin(θ2+π4)由三角函数在θ∈[0,π]上的值域即可求最大值【详解】设a⃗, b⃗⃗的夹角为θθ∈[0,π]而由已知条件知|a⃗−b⃗⃗|2=|a⃗|2−2|a⃗||b⃗⃗|cosθ+|b⃗⃗|2=2(1−cosθ)同理有|a⃗+b⃗⃗|2=2(1+cosθ)∴|a⃗+b⃗⃗|+|a⃗−b⃗⃗|=√2(√1−cosθ+√1+cosθ)=2(sinθ2+cosθ2)=2√2sin(θ2+π4)而θ2+π4∈[π4,3π4]∴|a⃗+b⃗⃗|+|a⃗−b⃗⃗|的最大值为2√2故选：D【点睛】本题考查了利用向量的几何意义求向量模的最大值应用了辅助角公式、三角函数的性质属于基础题2计算cosπ5.cos3π5的值为（）A−38B−14C−316D−√36【答案】B【分析】根据题意结合三角函数的诱导公式和正弦的倍角公式即可求解【详解】由cosπ5cos3π5=cosπ5cos(π−2π5)=−cosπ5cos2π5=−2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=−sin2π5os2π52sinπ5=−12sin4π52sinπ5=−sin(π−π5)4sinπ5=−14故选：B3已知平面向量a⃗=(1,3)b⃗⃗=(−2,4)则a⃗在b⃗⃗上的投影向量为（）A(1,−2)B(−1,2)C(1,3)D(−110,1 5 )【答案】B 【分析】根据a⃗在b⃗⃗上的投影向量是|a⃗|cosθ·b⃗⃗|b⃗⃗|=a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗|2·b⃗⃗计算即可解决【详解】由题知a⃗=(1,3),b⃗⃗=(−2,4)所以a⃗·b⃗⃗=−2+12=10,|b⃗⃗|=√4+16=2√5设a⃗与b⃗⃗夹角为θ所以a⃗在b⃗⃗上的投影向量是|a⃗|cosθ·b⃗⃗|b⃗⃗|=a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗|2·b⃗⃗=1020·(−2,4)=(−1,2)故选：B4数列{a n}满足a1=1a1+2a2+⋯+2n−1a n=2n+1a n+1(n∈N∗)若a1+a2+⋯+a n<m恒成立则m的最小值为A4B2C53D4 3【答案】B 【分析】由已知可得当n≥2时a1+2a2+⋯+2n−2a n−1=2n a n与已知式子相减可得a n+1a n =34即可求出通项公式a n={1,n=114×(34)n−2,n≥2；结合等比数列的求和公式可知a1+a2+a3+⋯+a n=2−(34)n−1<2从而可求出m 的最小值【详解】解：由a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =2n+1a n+1(n ∈N ∗)可得：当n ≥2时由a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=2n a n 两式相减可得：a n+1a n=34又a 1=1得a 2=14所以数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =114×(34)n−2,n ≥2所以a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1+14[1−(34)n−1]1−34=2−(34)n−1<2所以实数m 的取值范围是[2,+∞)即m 的最小值为2 故选:B 【点睛】本题考查了数列的求和考查了数列的通项公式的求解本题的关键是求出数列的通项公式本题的易错点是忽略了n ≥2时a n+1a n=34才成立从而误把{a n }当成了等比数列5在△ABC 中内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c 且asin2B +bsinA =0．若a +c =2则边b 的最小值为（） A √2 B 3√3 C 2√3 D √3【答案】D 【分析】由二倍角的正弦公式以及边角互化关系可求得cosB 的值再利用余弦定理结合基本不等式可求得b 的最小值【详解】∵asin2B +bsinA =0所以2asinBcosB +bsinA =0 由正弦定理得2abcosB +ab =0∴cosB =−12由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ≥(a +c )2−(a+c 2)2 =3(a+c )24=3即b ≥√3当且仅当a =c =1时等号成立因此边b的最小值为√3故选：D【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求边的最小值同时也考查了正弦定理边角互化以及二倍角正弦公式的应用考查计算能力属于中等题6若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ则（）A tan(α−β)=1B tan(α+β)=1C tan(α−β)=−1D tan(α+β)=−1【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简结合同角三角函数的商数关系即可得解【详解】[方法一]：直接法由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0即：sin(α−β)+cos(α−β)=0所以tan(α−β)=−1故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0取α=π2排除A, B；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ取β=π4排除D；选C[方法三]：三角恒等变换sin(α+β)+cos(α+β)=√2sin（α+β+π4）=√2sin[（α+π4）+β]=√2sin（α+π4）cosβ+√2cos（α+π4）sinβ=2√2cos（α+π4）sinβ所以√2sin（α+π4）cosβ=√2cos（α+π4）sinβsin（α+π4）cosβ−cos（α+π4）sinβ=0即sin（α+π4−β）=0∴sin （α−β+π4）=sin （α−β）cos π4+cos （α−β）sin π4=√22sin （α−β）+√22cos （α−β）=0 ∴sin （α−β）=−cos （α−β）即tan(α−β）=−1, 故选：C7四边形ABCD 中AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)1|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+1|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗则四边形ABCD 面积为（） A √3 B √2 C 2D √33【答案】A 【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形ABCD 为菱形|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6再根据模长运算可得∠ABC =π3结合菱形的性质求四边形的面积【详解】若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)则四边形ABCD 为平行四边形且|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 可知1|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,1|BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示分别与BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗同向的单位向量若1|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+1|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗则对角线BD 为∠ABC 的角平分线故四边形ABCD 为菱形则|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2 故√2+√2⃗⃗⃗⃗⃗=√22(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=√22BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√6 ∵|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2即2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2=6 解得BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1故cos∠ABC =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12 且cos∠ABC ∈(0,π)则∠ABC =π3即△ABC 为等边三角形则|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴四边形ABCD 面积S =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12×√2×√6=√3 故选：A8已知函数f(x)的定义域为R 且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1则∑22k=1f(k)=（） A −3B −2C0D1【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数f (x )的一个周期为6求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )令x =1,y =0可得2f (1)=f (1)f (0)所以f (0)=2令x =0可得f (y )+f (−y )=2f (y )即f (y )=f (−y )所以函数f (x )为偶函数令y =1得f (x +1)+f (x −1)=f (x )f (1)=f (x )即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)从而可知f (x +2)=−f (x −1)f (x −1)=−f (x −4)故f (x +2)=f (x −4)即f (x )=f (x +6)所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2f (4)=f (−2)=f (2)=−1f (5)=f (−1)=f (1)=1f (6)=f (0)=2所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． [方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cosxcosy 可设f (x )=acosωx 则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,acosω=1解得cosω=12取ω=π3 所以f (x )=2cos π3x 则f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3xcos π3y =f (x )f (y )所以f (x )=2cos π3x 符合条件因此f(x)的周期T =2ππ3=6f (0)=2,f (1)=1且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0 由于22除以6余4所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期即可解出是该题的通性通法；法二：作为选择题利用熟悉的函数使抽象问题具体化简化推理过程直接使用具体函数的性质解题简单明了是该题的最优解二、多选题(共 16 分)9已知f (x )=sinxcos 2x 下列结论中正确的有（） A f (x )既是奇函数也是周期函数 B f (x )的最大值为√33C f (x )的图象关于直线x =π2对称 D f (x )的图象关于点(π，0)中心对称【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性和周期性的定义可判断A 象限；令t =sinx ∈[−1,1]可得出f (x )=t −t 3利用导数求出函数g (t )=t −t 3在[−1,1]上的最大值可判断B 选项；利用函数对称性的定义可判断CD 选项【详解】对于A 选项函数f (x )的定义域为Rf (−x )=sin (−x )cos 2(−x )=−sinxcos 2x =−f (x ) f (x +2π)=sin (x +2π)cos 2(x +2π)=sinxcos 2x =f (x )所以函数f (x )既是奇函数也是周期函数A 对；对于B 选项令t =sinx ∈[−1,1]则f (x )=sinxcos 2x =sinx (1−sin 2x )=t (1−t 2)=t −t 3 令g (t )=t −t 3其中t ∈[−1,1]则g ′(t )=1−3t 2 由g ′(t )>0可得−√33<t <√33；由g ′(t )<0可得−1≤t <−√33或√33<t ≤1所以函数g (t )的减区间为[−1，−√33)和(√33,1]增区间为[−√33,√33] 因为g (−1)=−1+1=0g (√33)=√33−√39=2√39所以函数f (x )的最大值为2√39B 错；对于C 选项因为f (π−x )=sin (π−x )cos 2(π−x )=sinx (−cosx )2=sinxcos 2x =f (x ) 所以函数f (x )的图象关于直线x =π2对称C 对；对于D 选项因为f (2π−x )=sin (2π−x )cos 2(2π−x )=−sinxcos 2x =−f (x ) 所以函数f (x )的图象关于点(π,0)对称D 对故选：ACD10若实数x,y 满足x 2+y 2−xy ＝1则（）A x +y <1B x +y ≥−2C x 2+y 2≤2D x 2+y 2≥1【答案】BC 【详解】选项A ：当x =1时得y =1或0显然不满足x +y <1故A 错误；选项B ：因为x 2+y 2≥2xy ⇒x 2+y 2+x 2+y 2≥2xy +x 2+y 2 ⇒2(x 2+y 2)≥(x +y )2 因为x 2+y 2≥2xyx 2+y 2−xy ＝1所以有x 2+y 2−xy ≥x 2+y 2−x 2+y 22得1≥x 2+y 22所以有x 2+y 2≤2当x =y =1或x =y =−1时等号成立所以4≥2(x 2+y 2)≥(x +y )2得2≥x +y ≥−2所以x +y ≥−2当x =y =−1时等号成立；选项C ：由选项B 得选项C 正确；选项D ：由选项B 得选项D 错误故选：BC11已知函数f(x)=x 3−x +1则（） A f(x)有两个极值点B f(x)有三个零点C 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A 结合f(x)的单调性、极值可判断B 利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D 【详解】由题f ′(x )=3x 2−1令f ′(x )>0得x >√33或x <−√33令f ′(x)<0得−√33<x <√33所以f(x)在(−∞,−√33)(√33,+∞)上单调递增(−√33,√33)上单调递减所以x =±√33是极值点故A 正确；因f(−√33)=1+2√39>0f(√33)=1−2√39>0f (−2)=−5<0所以函数f (x )在(−∞,−√33)上有一个零点当x ≥√33时f (x )≥f (√33)>0即函数f (x )在(√33,+∞)上无零点综上所述函数f(x)有一个零点故B 错误；令ℎ(x)=x 3−x 该函数的定义域为Rℎ(−x )=(−x )3−(−x )=−x 3+x =−ℎ(x ) 则ℎ(x)是奇函数(0,0)是ℎ(x)的对称中心将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象所以点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心故C 正确；令f ′(x )=3x 2−1=2可得x =±1又f(1)=f (−1)=1当切点为(1,1)时切线方程为y =2x −1当切点为(−1,1)时切线方程为y =2x +3故D 错误故选：AC12已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)若f (32−2x)g(2+x)均为偶函数则（） A f(0)=0 B g (−12)=0C f(−1)=f(4)D g(−1)=g(2)【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性结合原函数与导函数图象的关系根据函数的性质逐项判断即可得解【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f(x)因为f (32−2x)为偶函数所以f (32−2x)=f (32+2x)即f (32−x)=f (32+x)①所以f (3−x )=f (x )所以f(x)关于x =32对称则f(−1)=f(4)故C 正确；对于g(x)因为g(2+x)为偶函数g(2+x)=g(2−x)g(4−x)=g(x)所以g(x)关于x =2对称由①求导和g(x)=f ′(x)得[f (32−x)]′=[f (32+x)]′⇔−f ′(32−x)=f ′(32+x)⇔−g (32−x)=g (32+x)所以g (3−x )+g (x )=0所以g(x)关于(32,0)对称因为其定义域为R 所以g (32)=0结合g(x)关于x =2对称从而周期T =4×(2−32)=2所以g (−12)=g (32)=0g (−1)=g (1)=−g (2)故B 正确D 错误；若函数f(x)满足题设条件则函数f(x)+C （C 为常数）也满足题设条件所以无法确定f(x)的函数值故A 错误故选：BC[方法一]：【最优解】特殊值构造函数法由方法一知g(x)周期为2关于x =2对称故可设g (x )=cos (πx )则f (x )=1πsin (πx )+c 显然AD 错误选BC 故选：BC [方法三]：因为f (32−2x)g(2+x)均为偶函数所以f (32−2x)=f (32+2x)即f (32−x)=f (32+x)g(2+x)=g(2−x) 所以f (3−x )=f (x )g(4−x)=g(x)则f(−1)=f(4)故C 正确；函数f(x)g(x)的图象分别关于直线x =32,x =2对称又g(x)=f ′(x)且函数f(x)可导所以g (32)=0,g (3−x )=−g (x )所以g(4−x)=g(x)=−g (3−x )所以g(x +2)=−g(x +1)=g (x ) 所以g (−12)=g (32)=0g (−1)=g (1)=−g (2)故B 正确D 错误；若函数f(x)满足题设条件则函数f(x)+C （C 为常数）也满足题设条件所以无法确定f(x)的函数值故A 错误故选：BC 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质即可判断各选项的真假转化难度较高是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数再验证选项简单明了是该题的最优解．三、填空题(共 16 分)13已知0<m <12,若1m +21−2m ≥k 恒成立,则实数k 的最大值为 _____________ 【答案】8 【分析】根据2m +1−2m =1变形后利用均值不等式求出1m +21−2m 的最小值即可求解【详解】∵0<m <12,2m +1−2m =1,∴1m +21−2m=(1m+21−2m)(2m+1−2m)=2+2+1−2mm+4m1−2m≥4+2√4=8,当且仅当1−2mm =4m1−2m即m=14时等号成立所以k≤8即实数k的最大值为8故答案为：8【点睛】本题主要考查了均值不等式“1”的变形应用不等式的恒成立属于中档题14数列{a n}满足a1=17a n=a n−1+2n−1(n≥2,n∈N∗)则a nn的最小值是______ 【答案】8【分析】根据累加法求出a n从而求出a nn再根据基本不等式即可求出最值．【详解】解：∵a n=a n−1+2n−1(n≥2,n∈N∗)∴a n−a n−1=2n−1∴a2−a1=3a3−a2=5……a n−a n−1=2n−1又∵a1=17上述n个式子相加得a n=17+[3+5+⋅⋅⋅+(2n−1)]=17+(n−1)(3+2n−1)2=n2+16∴a nn =n2+16n=n+16n≥8当且仅当n=16n即n=4时等号成立故答案为：8．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式考查基本不等式的应用属于中档题．15若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线则a的取值范围是________________．【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【分析】设出切点横坐标x0利用导数的几何意义求得切线方程根据切线经过原点得到关于x0的方程根据此方程应有两个不同的实数根求得a的取值范围【详解】∵y=(x+a)e x∴y′=(x+1+a)e x设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a)e x0,切线斜率k=(x0+1+a)e x0,切线方程为：y−(x0+a)e x0=(x0+1+a)e x0(x−x0),∵切线过原点∴−(x0+a)e x0=(x0+1+a)e x0(−x0),整理得：x02+ax0−a=0,∵切线有两条∴Δ=a2+4a>0,解得a<−4或a>0,∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)16如图已知△ABC为边长为2的等边三角形动点P在以BC为直径的半圆上若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ 则2λ+μ的最小值为_______．【答案】1【分析】如图建系设P点坐标(cosθ,sinθ)则可得AP⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标根据题意可得λ,μ的表达式代入所求根据θ的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC 中点O 以O 为原点OCOA 方向为x 轴y 轴正方向建系如图所示由题意得：OA =2sin60°=√3所以A(0,√3),B(−1,0),C(1,0) 如图以BC 为直径的半圆方程为：x 2+y 2=1(y ≤0) 设P(cosθ,sinθ)因为sinθ≤0所以θ∈[π,2π]则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ−√3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3) 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以{cosθ=−λ+μsinθ−√3=−√3λ−√3μ整理可得{μ=12+12cosθ−√36sinθλ=12−√36sinθ−12cosθ 所以2λ+μ=2(12−√36sinθ−12cosθ)+12+12cosθ−√36sinθ=32−sin(θ+π6)因为θ∈[π,2π]所以θ+π6∈[7π6,13π6]当θ+π6=13π6时sin(θ+π6)取最大值12所以2λ+μ的最小值为32−12=1 故答案为：1 【点睛】解题的关键是在适当位置建系进而可得点的坐标及向量坐标利用向量的坐标运算即可求得2λ+μ的表达式再利用三角函数图像与性质求解综合性较强考查分析理解计算求值的能力属中档题四、解答题(共 12 分) 已知奇函数f (x )=a⋅2x −12x +1的定义域为[−a −2，b]17 求实数a,b 的值；18 当x ∈[1，2]时2+mf (x )+2x >0恒成立求m 的取值范围【答案】17 a =1b =3 18 (−2√6−5,+∞) 【分析】⑴利用奇函数f (−x )=−f (x )和定义域关于原点对称的性质即可解题； ⑵利用分离参数的思路把2+mf (x )+2x>0转化成−m <(2x +2)(2x +1)2x −1再利用换元法对(2x +2)(2x +1)2x −1进行换元求出最小值让−m 小于最小值即可【17题详解】因为函数f (x )=a⋅2x −12x +1是奇函数所以f (−x )=−f (x )即a⋅2−x −12−x +1=−a⋅2x −12x +1即a−2x2x +1=−a⋅2x +12x +1即a −2x =−a ⋅2x +1整理得(a −1)(2x +1)=0所以a −1=0即a =1则−a −2=−3因为定义域为[−a −2，b]关于原点对称所以b =3；【18题详解】因为x ∈[1,2]所以f (x )=2x −12x +1>0又当x ∈[1，2]时2+mf (x )+2x >0恒成立所以−m <(2x +2)(2x +1)2x −1x ∈[1，2]时恒成立令t =2x−1则−m <(t+3)(t+2)t=t 2+5t+6t=t +6t +5t ∈[1，3]时恒成立所以让−m 小于t +6t +5的最小值而t +6t +5≥2√t ⋅6t +5=2√6+5当且仅当t =6t 即t =√6时等号成立所以−m <2√6+5m >−2√6−5即m 的取值范围是(−2√6−5,+∞) 19已知函数f (x )=√3sinωx −2cos 2ωx 2其中ω>0若f (m )=1f (n )=−1且|m −n |的最小值为π4．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）在△ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知f(A)=1a=√32AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0求b+c的取值范围【答案】（Ⅰ）f(x)=2sin(2x−π6)−1；（Ⅱ）(√32,32)．【分析】（Ⅰ）利用二倍角余弦公式以及辅助角公式可得∵f(x)=2sin(ωx−π6)−1再由|m−n|的最小值为π4求出最小正周期即可求解（Ⅱ）利用向量的数量积可得cosB<0再求出A=π3根据正弦定理可得b=sinBc=sinC结合三角函数的性质即可求解【详解】（Ⅰ）∵f(x)=√3sinωx−2cos2ωx2=2sin(ωx−π6)−1∵f(m)=2sin(mω−π6)−1=1得sin(mω−π6)=1由f(n)=2sin(nω−π6)−1=−1得sin(nω−π6)=0∵|m−n|的最小值为π4则函数y=f(x)的最小正周期为4×π4=π则ω=2ππ=2因此f(x)=2sin(2x−π6)−1；（Ⅱ）∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos(π−B)=−|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB>0∴cosB<0所以B为钝角A为锐角∵f(A)=2sin(2A−π6)−1=1可得sin(2A−π6)=1∵0<A<π2∴−π6<2A−π6<5π6则2A−π6=π2解得A=π3由正弦定理得bsinB =csinC=asinA=√32√32=1则b=sinBc=sinC由题意得{0<C<π2π2<B<π即{0<C<π2π2<2π3−C<π解得0<C<π6∴b+c=√3sin(C+π6)∵0<C<π6∴π6<C+π6<π3则12<sin(C+π6)<√32∴√32<b+c<32．因此b+c的取值范围是(√32,3 2 )【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角恒等变换以及三角函数的性质考查了计算能力综合性比较强属于中档题五、其它(共4 分)20已知数列{a n}满足1a1−2+2a2−2+3a3−2+⋯+na n−2=nn∈N∗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=1(a n−2)(a n+1−2)数列{b n}的前n项和为T n求证：T n<1【答案】（1）a n=n+2(n∈N∗)；（2）证明见解析【分析】（1）当n=1时a1=3当n≥2时na n−2=n−(n−1)=1可得a n=n+2检验a1满足a n即可得{a n}的通项公式；（2）利用数列求和的裂项求和的方法即可求T n即可得证【详解】（1）因为1a1−2+2a2−2+3a3−2+⋯+na n−2=n①当n=1时a1=3当n≥2时1a1−2+2a2−2+3a3−2+⋯+n−1a n−1−2=n−1②由①－②得：a n=n+2因为a1=3适合上式所以a n=n+2(n∈N∗)（2）由（1）知b n=1(a n−2)(a n+1−2)=1n(n+1)=1n−1(n+1)T n=(11−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1∵1n+1>0即T n<1【点睛】本题主要考查了数列递推公式以及数列与不等式的综合应用考查求数列的通项公式和前n项和公式属于中档题六、解答题(共8 分)21已知正项数列{a n}的前n项和为S n如果∀n∈N∗都有S n=12(a n+1a n)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1a n2数列{b n}的前n项的和为T n试证明：T n<2n2【答案】（1）a n=√n−√n−1；（2）证明见解析【分析】（1）将a n=S n−S n−1(n≥2)代入S n=12(a n+1a n)可得到S n2−S n−12=1从而可知数列{S n2}是等差数列即可求出S n2的表达式进而可得到S n的表达式再结合a n=S n−S n−1(n≥2)可求出a n的表达式；（2）由（1）可得b n=2n−1+2√n⋅√n−1结合(√n)2+(√n−1)2>2√n⋅√n−1可得b n< 4n−2从而T n<2+6+10+⋯+(4n−2)通过计算可证明结论【详解】（1）当n=1时S1=a1=12(a1+1a1)整理得a12=1因为a n>0所以a1=1当n≥2时S n=12(S n−S n−1+1S n−S n−1)可得S n+S n−1=1S n−S n−1所以S n2−S n−12=1即数列{S n2}是一个以1为首项1为公差的等差数列所以S n2=1+(n−1)=n 由a n>0可得S n>0则S n>√n所以当n≥2时a n=S n−S n−1=√n−√n−1经验证a1=1符合a n=√n−√n−1所以正项数列{a n}的通项公式是a n=√n−√n−1（2）由（1）得b n=1a n2=(√n−√n−1)2=(√n+√n−1)2=2n−1+2√n⋅√n−1因为(√n−√n−1)2>0所以(√n)2+(√n−1)2>2√n⋅√n−1所以2n−1+2√n⋅√n−1<2n−1+(√n)2+(√n−1)2=4n−2即b n<4n−2从而T n=b1+b2+⋯+b n<2+6+10+⋯+(4n−2)=(2+4n−2)n2=2n2【点睛】本题考查求数列的通项公式考查数列不等式的证明考查转化思想、放缩法的应用考查学生的推理能力与计算能力属于中档题22已知函数f(x)=x+2xlnx．（1）若直线l过点(0,−2)且与曲线y=f(x)相切求直线l的方程；（2）若∀x>1时f(x)−kx+k>0成立求整数k的最大值．【答案】（1）y=3x−2（2）4【分析】（1）设切点坐标写出切线方程建立等量关系求解；（2）将问题转化为∀x>1x+2xlnxx−1>k恒成立利用函数求解最值即可得解【详解】（1）因为点(0,−2)不在直线l上设切点坐标为(x0,y0)则y0=x0+2x0lnx0．因为f′(x)=1+2lnx+2=3+2lnx．所以k l=f′(x0)=3+2lnx0=y0+2x0=x0+2+2x0lnx0x0解得x0=1．所以k l=3所以直线l的方程为y=3x−2．（2）由题意知∀x>1x+2xlnxx−1>k恒成立(x+2xlnxx−1)min>k令g(x)=x+2xlnxx−1∴g′(x)=(3+2lnx)(x−1)−(x+2xlnx)(x−1)2=2x−2lnx−3(x−1)2．设ℎ(x)=2x−2lnx−3所以ℎ′(x)=2(x−1)x>0所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增．又ℎ(2)=−1−2ln2<0, ℎ(52)=2(1−ln 52)>0所以存在x 0∈(2,52)在x ∈(2,x 0),ℎ(x)<0, x ∈ (x 0,52),ℎ(x)>0 所以g(x)在(2,x 0)上单调递减在(x 0,52)上单调递增．所以g(x)min =g(x 0)=x 0+2x 0lnx 0x 0−1而ℎ(x 0)=2x 0−2lnx 0−3=0, 所以g(x)min =2x 02−2x 0x 0−1=2x 0．所以k <2x 0∈(4,5),∴k max =4．【点睛】此题考查导数的综合应用利用导数的几何意义解决切线问题等价转化分离参数利用导数求解最值问题涉及隐零点问题的处理七、其它(共 8 分)已知函数f (x )=xe ax −e x ．23 当x >0时f (x )<−1求a 的取值范围； 24 设n ∈N ∗证明：√12+1+√22+2+⋅⋅⋅√n 2+n>ln (n +1)．【答案】23 (−∞,12] 24 证明见解析【分析】（1）令g (x )=f (x )+1二次求导后分别在a >12和a ≤12的情况下结合ℎ′(0)的正负和放缩法可确定g ′(x )的正负由此可得g (x )的单调性从而确定符合题意的区间；（2）令m =e 12x 由（1）中不等式可整理得到2lnm <m −1m 对任意m >1恒成立代入m =√n+1n累加即可得到所证不等式【23题详解】令g (x )=f (x )+1=xe ax −e x +1则当x >0时g (x )<0； ∵g ′(x )=(ax +1)e ax −e x ∴g ′(0)=0；令ℎ(x )=g ′(x )则ℎ′(x )=(a 2x +2a )e ax −e x ∴ℎ′(0)=2a −1；①当a >12时ℎ′(0)>0则在(0,+∞)上存在点x 0使得当x ∈(0,x 0)时ℎ′(x )>0 ∴ℎ(x )即g ′(x )在(0,x 0)上单调递增∴此时g ′(x )>g ′(0)=0 ∴g (x )在(0,x 0)上单调递增则g (x )>g (0)=0不合题意； ②当a ≤12时ℎ′(x )=(a 2x +2a )eax−e x≤(12x +1)e12x −e x令m (t )=1+t −e t (t >0)则m ′(t )=1−e t <0∴m (t )在(0,+∞)上单调递减∴m (t )<m (0)=0即1+t <e t ∴1+12x <e 12x 则(12x +1)e12x <e x∴ℎ′(x )≤(12x +1)e 12x −e x <0∴ℎ(x )即g ′(x )在(0,+∞)上单调递减∴g ′(x )<g ′(0)=0 ∴g (x )在(0,+∞)上单调递减∴g (x )<g (0)=0满足题意；综上所述：a 的取值范围为(−∞,12] 【24题详解】当a =12时由（1）知：当x >0时xe12x −e x +1<0恒成立令m =e 12x 则m >1m 2=e x ∴x =lnm 2=2lnm ∴2mlnm <m 2−1即2lnm <m −1m 对任意m >1恒成立 ∴对∀n ∈N ∗2ln√n+1n<√n+1n−√n n+1即ln (n +1)−lnn <√n⋅√n+1=√n 2+n∴√12+1+√22+2+⋅⋅⋅√n 2+n>ln2−ln1+ln3−ln2+⋅⋅⋅+ln (n +1)−lnn =ln (n +1)【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题、不等式的证明；本题证明不等式的关键是将不等式左侧看作数列求和的形式结合恒成立的不等式将数列通项进行放缩从而采用累加的方式证得结论。

2022-2023学年安徽省部分示范高中高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省部分示范高中高一上学期期中数学试题一、单选题1．若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是（）A ．－3<a －|b |≤3B ．－3<a －|b |<5C ．－3<a －|b |<3D ．1<a －|b |<4【答案】C【分析】由－4<b <2，得－4<－|b |≤0，根据不等式的性质同向相加可得结果.【详解】∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0.又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.2．已知为正数，，则的最大值为（）,a b 2247a b +=ABC ．D ．2【答案】D【解析】利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当时，取得最大值.22114122222a b ⎛⎫++=⨯≤= ⎪⎝⎭2241a b =+故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.3．存在，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（）{}12x x x ∈<<x 240x mx ---<m A ．B ．C ．D ．4m >-4m <-5m >-5m <-【答案】C【解析】由可得，然后求出右边的范围即可.240x mx ---<4m x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭【详解】由有解，可得240x mx ---<4min m x x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为时，{}12x x x ∈<<()45,4x x ⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭所以5m >-故选：C4．若正实数，满足，则的最小值为（）a b 1a b +=33b a b +A ．B ．C ．5D ．193【答案】C【解析】根据，将，变形为，利用基本不等式求解.1a b +=33b a b +33333333b b a b b a a b a b a b ++=+=++【详解】因为正实数，满足，a b 1a b +=所以，3333335333b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=当且仅当时，取等号，334b a ==所以的最小值为533b a b +故选：C5．设，，则（）lg 2a =lg 3b =12log 10=A ．B ．C ．D ．12a b +12a b+2a b+2b a+【答案】A【解析】利用换底公式将化为，然后运用对数运算法则即可求得结果.12log 101lg12【详解】解：.12111log 10=lg12lg 3+2lg 22a b ==+故选：A.6．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x >()f x 是A ．B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞【答案】C【详解】试题分析：由题意得，因为，，函数在区间内恒有，所以，由复合函数的单调()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠()0f x >性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性()0f x >求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.7．已知函数是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）()()(21)2()log (1)2a a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩A ．B ．C ．D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎫⎪⎝⎭2,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由题意可得：，解不等式组即可求解.()()21001212log 21a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯+≥-⎩【详解】由题意可得：，即，()()21001212log 21a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯+≥-⎩120152a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩所以，2152a ≤<所以实数a 的取值范围是，21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是两段函数在各自的定义域内都是减函数，且，即可求a 的取值范围.()()212log 21a a a -⨯+≥-8．已知函数，若不等式（e 是自然对数的底数），对21()21x xf x -=+()()222180k f m m f m e -+-++>任意的恒成立，则整数k 的最小值是（）[]2,4m ∈-A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】先由函数的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，然后利用其奇偶性和单调21()21x xf x -=+性将对任意的恒成立，转化为对任意()()222180k f m m f m e -+-++>[]2,4m ∈-22101k e m m >-+的恒成立求解.[]2,4m ∈-【详解】因为函数的定义域为R ，关于原点对称，21()21x xf x -=+又2121()()2121x x x x f x f x -----==-=-++所以是奇函数，()f x 又在R 上是增函数，212122()1212121x x x x x f x +--===-+++所以对任意的恒成立，等价于：()()222180k f m m f m e -+-++>[]2,4m ∈-对任意的恒成立，()()22218k f m m f m e --+-<+[]2,4m ∈-即对任意的恒成立，()()22218k f m m f m e -+<+[]2,4m ∈-即对任意的恒成立，22218k m m m e -+<+[]2,4m ∈-即对任意的恒成立，22101k e m m >-+[]2,4m ∈-令，因为，所以，22101t m m -=+[]2,4m ∈-max 29t =所以29ke >解得，ln 29k >所以整数k 的最小值是4故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是将函数解析式转化为，判断其212122()1212121x x x x x f x +--===-+++单调性，进而结合奇函数，利用单调性的定义求解.二、多选题9．设函数定义域，且满足：①时，；②，()f x ()1,1-()1,0x ∈-()0f x >()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭则下列说法正确的是（）(),1,1x y ∈-A ．是奇函数B ．是偶函数()f x ()f x C ．在定义域上是减函数D ．在定义域上是增函数()f x ()f x 【答案】AC【解析】由条件②，令，可得，再令，即可得到，从而可0x y ==(0)0f =y x =-()()0f x f x +-=得函数的奇偶性，判断选项，；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数的单调性，A B ()f x 从而判断选项，．C D 【详解】，()()()1x yf x f y f xy ++=+令，则，0x y ==(0)(0)(0)f f f +=所以，(0)0f =令，则，y x =-()()(0)0f x f x f +-==又因为，(1,1)x ∈-所以为奇函数，故对，错；()f x A B 任取，1210x x -<<<所以，12121212()()()()()1x xf x f x f x f x f x x --=+-=-因为，所以，，所以，1210x x -<<<120x x -<1201x x <<1210x x ->所以，因为，所以，121201x x x x -<-12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--121211x x x x ->--所以，1212101x xx x --<<-由条件①得，1212()01x xf x x ->-所以，12())0(f x f x ->所以在上单调递减，()f x (1,0)-所以在上单调递减，故对，错．()f x (1,1)-C D 故选：AC【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；12,x x D ∈12x x <②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.12()()f x f x -10．对于定义在上的函数，下列说法正确的是（）R ()f x A ．若是奇函数，则的图象关于点对称()f x ()1f x -(1,0)B ．若对，有，则的图象关于直线对称x ∈R ()()11f x f x =+-()f x 1x =C ．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数()1f x +=1x -()f x D ．若，则的图象关于点对称()()112f x f x ++-=()f x (1,1)【答案】AC【分析】根据函数奇偶性，对称性，周期性解决即可.【详解】对A ，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得()f x ()f x 的图象，故的图象关于点对称，故A 正确；()1f x -()1f x -(1,0)对B ，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函x ∈R ()()11f x f x =+-()()2f x f x +=()f x 数，不能说明其图象关于直线对称，故B 错误.；1x =对C ，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，故为偶函数，故()1f x +=1x -()f x y C 正确；对D ，由得，()()112f x f x ++-=()()()()112,202f f f f +-=+=，的图象不关于对称，故D 错误.()()()()312,42 2......f f f f +=+=()f x (1,1)故选：AC.11．（多选题）已知，则a ，b 满足下列关系的是（）3515a b==A ．B ．C ．D ．4ab >4a b +>224a b +<22(1)(1)16a b +++>【答案】ABD 【解析】由已知可得，，有，依据基本不等式33log 151log 5a ==+55log 151log 3b ==+a b ab +=即可知，进而可知、、的范围.4a b +>ab 22a b +22(1)(1)a b +++【详解】由题意知：，，33log 151log 5a ==+55log 151log 3b ==+∴，即，151511log 3log 51a b ab a b +=+=+=a b ab +=∵，3312log 524log 5a b +=++>+=∴，4a b ab +=>，22222()2()2(1)18a b ab ab ab ab a b =+-=-=-->+，222222()2()2(1)(1)1816a b a b ab a b =++++=++++>>故选：ABD【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.12．已知正实数a ，b 满足，且，则的值可以为（）4ab =2log 3a b +=a b +A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】BC【分析】由指数式化对数式得到，代入到，解方程得到和.log 42log 2b b a ==2log 3a b +=b a 【详解】由得到，4a b =log 42log 2b b a ==则，即，22log 2log 3b b +=222log 3log b b +=整理得，()222log 3log 20b b -+=解得或，2log 2b =2log 1b =当时，，则2log 2b =4,1b a ==5;a b +=当时，，则.2log 1b =2,2b a ==4a b +=故选：BC.【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的性质，属于基础题.三、填空题13．已知集合，，则________.(){}3,A x y y x ==(){}2,B x y y x ==A B = 【答案】()(){}0,0,1,1【解析】解出方程组即可得答案.32y x y x ⎧=⎨=⎩【详解】联立可解得或32y x y x ⎧=⎨=⎩00x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以()(){}0,0,1,1A B = 故答案为：()(){}0,0,1,114．设，则“且”是“”的________.,x y R ∈2x ≥2y ≥228x y +≥（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）【答案】充分不必要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】且可以推出，2x ≥2y ≥228x y +≥反之不一定成立，如，满足，但不满足且0,4x y ==228x y +≥2x ≥2y ≥故“且”是“”的充分不必要条件2x ≥2y ≥228x y +≥故答案为：充分不必要条件15．已知，用表示为__________．13log 7,134ba ==,ab 28log 52【答案】1b a b++【解析】由指数与对数运算的关系可得，再由对数运算的运算法则及换底公式运算即可13log 4b =得解.【详解】由题意，，13134log 4b b =⇒=利用换底公式得：，13lg 7log 7lg 7lg13lg13a a ==⇒=，132lg 2log 42lg 2lg13lg13b b ==⇒=所以.28lg132lg 252lg 72lg lg 52lg13lg131log lg 28lg 3lg 2113b b a b a b ++==+=+=++故答案为：.1b a b ++16．若幂函数在上为增函数，则实数m 的值为______.()226844mm y m m x -+=-+()0,+∞【答案】1【分析】由幂函数有求m 值，结合幂函数的区间单调性验证m 值，即可得答案.2441m m -+=【详解】由题设，即，可得或，2441m m -+=(3)(1)0m m --=1m =3m =当时，在上为增函数，符合；1m =3y x =()0,+∞当时，在上为减函数，不符合.3m =1y x -=()0,+∞所以.1m =故答案为：1四、解答题17．已知命题：“，不等式成立”是真命题．p 11x ∀- 2x x m --<0(1)求实数的取值范围；m (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．:44q m a -<-<p a 【答案】(1)；(2,)+∞(2).[)6,+∞【分析】（1）由命题为真命题可得出在恒成立，求出的最大值可得的范2m x x >-11x - 2x x -m 围；（2）求出命题，所对应的集合，因为是的充分不必要条件，所以，由条件p q ,A B qp B A列出不等关系求解可得的范围.a 【详解】（1）由题意命题：“，不等式成立”是真命题．p 11x ∀- 2x x m --<0在恒成立，即，；2m x x ∴>-11x - 2()max m x x >-[]1,1x ∈-因为，所以，即，2211()24x x x -=--2124x x -- m>2所以实数的取值范围是；m (2,)+∞（2）由得，设，由得，设，p {|2}A m m =>q{|44}B m a m a =-<<+因为是的充分不必要条件；:44q m a -<-<p 所以，但推不出，；　q p ⇒p q B A ∴ 所以，即，42a - 6a 所以实数的取值范围是，．a [6)∞+18．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲ABCD 1111D C B A 区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分1111D C B A 别为4米和10米（如图）．（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析1111(1)A B x x B C =>ABCD S x ()S x 式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？1111D C B A 【答案】（1）；（2）长100米、宽为40米.80000()41608(0)S x x x x =++>【详解】(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4000，得a 则S(x)＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4000＋(8x ＋＋160＝)＋4160(x>1)．＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．19．已知函数.2(1)1()y m x mx m m R =+-+-∈（1）关于不等式的解集为，求的取值范围；x ()()2110m x mx m m R +-+-<∈∅m （2）关于不等式的解集为，且，求的取值范围.x ()2110m x mx m +-+-≥D {}11x x D -≤≤⊆m【答案】（1）；（2）.)+∞)+∞【解析】（1）不等式的解集是空集，分和两种情况求解；0y <1m =-10m +≠（2）由条件知对任意的，，不等式恒成立，即恒成立，[1x ∈-1]2(1)10m x mx m +-+- 2211x m x x -+-+ 然后解出的最大值可得的范围．2211x y x x -+=-+m 【详解】（1）①当，即时，，不合题意；10m +=1m =-2y x =-②当，即时，，10m +≠1m ≠-2104(1)(1)0m mm m +>⎧⎨=-+-⎩ 解得的取值范围是；m m ∴)+∞（2）不等式的解集为，若，0y D []1,1-D ⊆即对任意的，不等式恒成立，[]1,1x ∈-2(1)10m x mx m +-+- 即恒成立，22(1)1m x x x -+-+ 恒成立，恒成立，210x x -+> ∴22212111x x m x x x x -+-=-+-+-+ 设，则，，2t x =-[]1,3t ∈2x t =-，∴2222131(2)(2)1333x t t x x t t t t t t-===-+---+-++-，当且仅当时取等号， 3t t +t =时取等号，∴221x x x -=-+2x =当时，的最大值为∴2x =2211x x x -+-+1-+=的取值范围是．m∴)+∞【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，首选的方法是分离变量法，然后转化为最值问题.20．计算下列各式的值：（1）)()3102340.064--+（2log 3718182log 7log 9log 6log 3-++ 【答案】（1），（2）07π-【解析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解即可；（2）利用对数的运算性质求解【详解】解：（1）)()3102340.064--+()1335180.42π-=-++-125752π-⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭7π=-（2log 3718182log 7log 9log 6log 3-++18lg 7lg 9log 18lg 3lg 7=-⋅+lg 911lg 3=-+2lg 3110lg 3=-+=21．（1）求值：；222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23++⋅+（2）已知，求．14x x -+=3322x x -+【答案】（1）3；（2）【解析】（1）直接利用对数运算求解.（2）根据，由，解得，再由14x x -+=112122()2x x x x --+=++1122x x -+求解.332211122(1)()x x x x x x ----+=++【详解】（1），222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23++⋅+，()()22lg 52lg 21lg 21lg 2lg 2=++-⋅++.()222lg 5lg 21lg 2lg 2213=++-+=+=（2）因为，14x x -+=所以，112122()26x x x x --+=++=又，11220x x -+>所以1122x x -+=所以331112222()(1)x x x x x x ---+=+-+=22．已知函数.()2342()log log 16a f x x x =⋅⋅（1）若，求方程的解集；1a =()1f x =-（2）当时，求函数的最小值.[]2,4x ∈()f x 【答案】（1）；（2）.12⎫⎪⎬⎪⎭2343,243,332812,3a a a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩【解析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值.【详解】()()234342222()log log 16log log 2log a a f x x x x x =⋅⋅=⋅+()22log 43log (0)x a x x =+>（1）若，则，1a =()22()log 43log 1f x x x =+=-令，则方程为，2log t x =(43)1t t +=-解得：或，13t =-1t =-则或，21log 3x =-2log 1x =-∴，132x -==12x =∴方程的解集为.12⎫⎪⎬⎪⎭（2）∵，[2,4]x ∈∴，2log [1,2]x ∈令，2log [1,2]t x =∈则，对称轴为.[]()(34),1,2f t t t a t =+∈23t a =-①当，即时，；213a -≤32a ≥-min ()(1)43f t f a ==+②当，即时，；2123a <-<332a -<<-2min 24()33f t f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭③当，即时，.223a -≥3a ≤-min()(2)812f t f a ==+综上，.2min 343,243(),332812,3a a f x a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.[1,2]。

2023-2024学年安徽省高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，集合N ＝{x ∈R |x 2＝2x }，则M ∩N ＝（） A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{0}D ．∅2．已知命题p ：∃x ∈R ，4x ＞x 4，则¬p 是（） A ．∃x ∈R ，4x ≤x 4 B ．∀x ∈R ，4x ＜x 4C ．∀x ∈R ，4x ＞x 4D ．∀x ∈R ，4x ≤x 43．若α是β的必要不充分条件，γ是β的充要条件，则γ是α的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈Z ），具有如下性质：f 2（1）+f 2（﹣1）＝2[f （1）+f （﹣1）﹣1]，则f （x ）是（） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，且f （a ﹣3）＝f （a +2）（a ∈R ），则f （a ）＝（）A ．2B ．1C ．√2D ．06．已知实数a ，b ，c 满足3×2a ﹣2b +1＝0，且a ＝c +x 2﹣x +1（x ∈R ），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a7．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出的速度如图甲乙所示．某天零点到六点该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下三个论断：①零点到三点只进水不出水；②三点到四点不进水只出水；③四点到六点不进水也不出水．其中正确论断的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①8．设函数f(x)=√ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ，且a ＜0）的定义域为D ，若所有点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域，则a ＝（） A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽高一高中数学期中考试带答案解析

安徽高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在内，使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．2.函数（）的值域为（）A．B．C．D．3.已知扇形的面积为5，周长为9，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．或D．或4.已知，，则（）A．B．C．D．5.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A．B．C．D．7.已知是不共线的向量，，，且三点共线，则（）A．-1B．2C．-2或1D．-1或28.设，向量，，且，则（）A．-10B．10C．D．9.已知平面向量满足，，，则（）A．B．2C．D．310.已知为直线，为平面，，，则与之间的关系是（）A．平行B．垂直C．异面D．平行或异面11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9B．18C．27D．3612.已知直线与关于直线对称，与垂直，则（）A．B．C．-2D．2二、填空题1.设，函数是奇函数，则最小正周期的最大值为__________．2.__________．3.已知向量在向量方向上的投影为，且，则__________．4.在正方体中，分别是的中点，在上，若平面平面，则__________．三、解答题1.已知向量的夹角为，且，.（1）求与的值；（2）求与的夹角.2.已知函数.（1）不画图，说明的图象经过怎样的变换可得到的图象；（2）当时，求函数的最小值.3.已知函数（，，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设为锐角，，，求的值.4.如图，长方体中，，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上.（1）求的值；（2）求的值.6.如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.安徽高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.在内，使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出函数图像如下图所示，由图可知，的的范围是.点睛：本题主要考查求解三角不等式的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先在同一个坐标轴下画出在内的图像，观察图像可以知道，余弦值比正弦值大的有两段，再结合特殊角的三角函数值，即可求得的解集.也可以考虑用三角函数线来解决.2.函数（）的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于，故.3.已知扇形的面积为5，周长为9，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】依题意，解得或，故圆心角为或.4.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对已知两个方程两边平方并相加得，解得.5.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】由，即，由，得，故，令，解得.6.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.7.已知是不共线的向量，，，且三点共线，则（）A．-1B．2C．-2或1D．-1或2【答案】D【解析】由于三点共线，故，即，解得或.8.设，向量，，且，则（）A．-10B．10C．D．【答案】C【解析】由于两个向量平行，所以，故，，，.9.已知平面向量满足，，，则（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，两式相减得，解得，负根舍去.10.已知为直线，为平面，，，则与之间的关系是（）A．平行B．垂直C．异面D．平行或异面【解析】直线和平面平行，则直线和平面上的直线可能平行或异面.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9B．18C．27D．36【答案】B【解析】画出几何体的直观图如下图所示，由图可知该几何体由两个相同的四棱锥组成，故体积为.12.已知直线与关于直线对称，与垂直，则（）A．B．C．-2D．2【答案】B【解析】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得，即，相互垂直，故斜率乘积.点睛:本题主要考查了直线关于直线对称直线的方程，考查了直线与直线垂直的概念与运用.点关于直线的对称点为，故关于对称的直线即是交换的位置得到，也即，再根据相互垂直，故斜率乘积为可求得的值.二、填空题1.设，函数是奇函数，则最小正周期的最大值为__________．【答案】4【解析】为奇函数，故，故，由于为减函数，故当时，取得最大值为.2.__________．【答案】8【解析】注意到可化为.项证明一般结论如下：，由于，故原式.3.已知向量在向量方向上的投影为，且，则__________．【答案】2【解析】依题意，由于，所以，即.4.在正方体中，分别是的中点，在上，若平面平面，则__________．【答案】2【解析】画出图像如下图所示，由图可知，要两个平面垂直，注意到是恒成立的，则只需就有平面，显然，当为中点时，，，即，从而平面，也即有平面平面，所以.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查已知面面垂直探究点的位置.要使两个平面垂直，就需要满足面面垂直的判定定理，也即是要在一个平面上找到另一个平面的垂线，根据图像可以判断出最有可能满足条件，使得，利用全等三角形易得为中点.三、解答题1.已知向量的夹角为，且，.（1）求与的值；（2）求与的夹角.【答案】（1）2（2）【解析】（1）对要求的式子两边平方后，利用向量数量积的运算求出表达式的值，再开方即可到结果；（2）利用两个向量的夹角公式，计算的值，根据特殊角的三角函数值得出角的大小..试题解析：解：（1），.，（2）∵∴，.2.已知函数.（1）不画图，说明的图象经过怎样的变换可得到的图象；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）见解析（2）4【解析】（1）先用二倍角公式、降次公式和辅助角公式，将原函数化简为；利用三角函数图像变换：伸缩变换和平移变换的知识，可得到由变换到的方法.（2）对函数分子分母同时除以，化简函数，再利用配方法可求得函数的最小值.试题解析：解：（1），将向左平移个单位，得到；再将所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到；再将所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到，最后将向下平移个单位，即可得到的图象.（2）由已知，，∴当时，取得最小值4.3.已知函数（，，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设为锐角，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用半周期求得的值，代入点可求得的值，代入点可求得的值，由此得到函数的解析式；（2）计算的值，由于，根据三角函数的单调性可知为钝角，由此求得的值，通过，展开后可计算得的值，进而取得的值，根据求值.试题解析：解：（1）由图可得，，，，，.（2）∵，，∴为钝角，，，，4.如图，长方体中，，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连接交于点，则是的中点，为的中点，连接，利用三角形的中位线证得，由此证得平面；（2）利用有平面，故. 试题解析：解：（1）由题意四边形为正方形，连接交于点，则是的中点，为的中点，连接，∴为的中位线，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）正方形中，，由已知可得平面，∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）斜率等于倾斜角的正切值，故，利用诱导公式化简原式后分子分母同时除以，变为关于的表达式，由此求得式子的值；（2）先利用两角和的正弦公式展开后，用二倍角公式化简，并除以，变为只含的式子，并求出最终的值.试题解析：解：（1）由已知得，原式（2）点睛：本题主要考查同角三角函数关系，考查诱导公式，考查用齐次方程求解三角函数求值的问题.首先根据直线方程，求出直线的斜率，根据斜率等于倾斜角的正切值求出.第一问先用诱导公式化简，然后分子分母同时除以变为来求解，第二问先除后再分子分母同时除以变为来求解.6.如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在点且满足条件.【解析】（1）根据，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点，过作交于，连接，设，求得几何体的体积，将其分割成两个三棱锥，利用表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得的值.试题解析：解：（1）∵平面，平面，∴，∴平面，∵是正方形，，∴平面，∵，平面，平面，∴平面平面.（2）假设存在一点，过作交于，连接，，设，则，设到的距离为，则，，∴，解得，即存在点且满足条件.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出的位置的值.。

高一第一学期数学期中考试试卷含答案

高中一年级第一学期期中质量测试数学试题本识题共4页，满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(8小题，每小题5分，共40分；在每小题提供的4个选项中，只有一项符合题目要求)1.若集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N ⋂等于（）A.{0,1}B.{1,0,1}-C.{0,1,2}D.{1,0,1,2}- 2.命题"2,210x R x x ∀∈-+≥"的否定是（）A.2,210x R x x ∃∈-+≤B.2,210x R x x ∃∈-+≥C.2,210x R x x ∃∈-+<D.2,210x R x x ∀∈-+< 3.设()f x 是定义在R 上的函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（）A.3-B.1-C.1D.3 4.设,a b R ∈，则"2()0a b a -⋅<"是"a b <"的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若命题2:,20p x R x x m ∀∈-+≠是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.1m >C.1m <D.1m ≤ 6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.1y x =+B.2y x =-C.1y x =D.||y x x = 7.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（）A. B. C. D.8.当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，取得最小值时，x =（） 6B.26 66 D.266 二､不定项选择题(4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求)9.已集合{22},M x R x a π=∈≤=∣有下列四个式子，其中正确的是（） A.a M ∈B.{}a M ⊆C.a M ⊆D.{}a M ∈10.下列函数中，满足(2)2()f x f x =的是（）A.()|2|f x x =B.()f x x =C.()f x x =D.()||f x x x =-11.已知幂函数()f x k x α=⋅，下列说法正确的有（）A.1k =B.如果()f x 是偶函数，则α一定是偶数C.()f x 的图像恒经过定点(0,0)和(1,1)D.()f x 的图像与x 轴正半轴没有交点12.已知2()f x ax bx c =++，不等式()0f x >的解集是{13}x x <<∣，下列说法正确的是（）A.0a >B.0a b c ++=C.关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣D.如果()0f m >，则(2)0f m +< 二､填空题(4小题，每小题5分，共20分：第16题第一空2分，第二空3分)13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数1x y x+=的定义域为__________. 15.已知12,24a b a b ≤-≤≤+≤，则42a b -的取值范围是__________.16.设函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦__________：如果()1f a =，则a __________. 三､解答题(6道大题，共70分) 17.(本小题满分10分)设()f x 为定义在R 上的偶函数，当01x ≤≤时，3y x =；当1x >时，24y x x =-+，直线3y x =与抛物线24y x x =-+的一个交点为A ，如图所示.（1）当0x >时，写出()f x 的递增区间(不需要证明)；（2）补全()f x 的图像，并根据图像写出不等式()0f x <的解集，18.(本小题满分12分)已知集合2(4,21,},{5,1,9}A m m B m m =--=--，若{}9A B ⋂=，求实数m 的值.19.(本小题满分12分)（1）已知2x <，求142x x +-的最大值：（2）已知x ，y 均为正实数，若45x y xy ++=，求xy 的最大值.20.(本小题满分12分)已知函数2()1ax b f x x +=+，()f x 为R 上的奇函数且1(1)2f = （1）求,a b ；（2）判断()f x 在[1,)∞+上单调性，并证明.21.(本小题满分12分)已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)∞∞-⋃+，且满足()()2a f x g x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式：（2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分)为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：231p x =-+(其中0x a ≤≤，a 为正常数)，已知生产该产品还需投入成本(102)p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x万元的函数：（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案一､选择题题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AC D A B D C A AB ABD AD BCD 三､填空题13.1214.{10}x x x ≥-≠∣且15.54210a b ≤-≤16.1516；0或1312- 四､解答题17.解：（1）由图象观察可知()f x 的单调增区间为(0,2]（2）函数()f x 图象如图所示：()0f x <的解集为(,4)(4,)∞∞--⋃+18.解：因为{9}A B ⋂=，故9A ∈且9B ∈，所以219m -=，或者29m =解得5m =，或者3=±当5m =时，{4,9,25},{0,4,9},{4,9}A B A B =-=-⋂=-，不合题意；当3m =时，{2,2,9}B =--，与集合元素的互异性矛盾；当3m =-时，{4,7,9},{8,4,9},{9}A B A B =--=-⋂=，符合题意；综上所述，3m =-19.解：（1）已知2x <，20x ∴-<1144(2)822x x x x ∴+--++--14(2)42x x ∴-->- 当且14(2)2x x --=--∣，即32x =时等号成立14(2)42x x ∴-+≤-1144(2)8422x x x x ∴+=-++≤--142x x ∴+-的最大值为4（2）解：45x y xy ++=54xy x y ∴-=+≥=当且仅当4x y =，45x y xy ++= 即12,2x y ==时，等号成立.50xy ∴+≤xy ∴的最大值为120.解：（1）()f x 为R 上的奇函数(0)0f ∴=，得0b = 又1(1),122a bf a +==∴=2()1xf x x ∴=+（2）()f x 在[1,)∞+上为减函数证明如下：在[1,)∞+上任取1x 和2x ，且12x x <()()()()()()221221212122222112111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()22121222121222121211111x x x x x x x x x x x x x x ---+-==++++ 2122121,10,0x x x x x x >≥->-<()()210f x f x ∴-<，即()()21f x f x ≤∣()f x ∴)在[1,)∞+上为减函数21.解：（1）油已知条件()()2a f x g x x x-=+-——① ①式中以x -代替x ，得()()2a f x g x x x ---=---——② 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()(),()()f x f x g x g x -=--=②可化为()()2a f x g x x r --=---——③ ①-③，得22()2a f x x x =+故(),()2,(,0)(0,)a f x x g x x x∞∞=+=∈-⋃+ （2）由（1）知，()()2,[1,)a f x g x x x x∞+=++∈+ 当0a ≥时，函数()()f x g x +的值恒为正；当0a <时，函数()()2a f x g x x x +=++在[1,)∞+上为增函数故当1x =时，()f x 有最小值3a +故只需30a +>，解得30a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(3,)∞-+法二：由（1）知，()()2a f x g x x x+=++ 当[1,)x ∞∈+时，()()0f x g x +>恒成立，等价于()22a x x >-+而二次函数()222(1)1y x x x =-+=-++在[1,)∞+上单调递减 1x =时，max 3y =-故3a >-22.解：（1）由题意知204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭将231p x =-+代入化简得416(0)1y x x a x =--≤≤+（2）当]a ≥时，417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭ 当且仅当411x x =++，即1x =时，上式取等号所以当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元. 当01a <<时，4161y x x =--+在(0,1)上单调递增。