第三章_计算机控制系统的数学描述2(差分方程_脉冲传递函数)

R( z ) r *(t ) R( s )
r (t )
G( z )
（a）
Y ( z)
y *(t )
R *(s) r *(t )
G( s)
Y (s)
y (t )
Y * ( s)
G( z )
（b）
图3.2 脉冲传递函数
输入信号 r (t ) 经采样后为 r *(t ) ，其Z变换为 R( z ) ，但其输出为 连续信号 y(t ) ，为了用脉冲传递函数表示，可在输出端虚设一个 与输入开关同步的采样开关，如图3.2（b）所示，这样系统变成了 离散系统。
G p ( s)
Y ( s) Y ( z )
图3.5 有零阶保持环节的开环脉冲传递函数 实际上，采样信号要加到一个连续环节上时，一定要通过 零阶保持环节。对计算机系统来说，计算机输出一定要通 过D/A变换器（即零阶保持环节）。
1 eTs G( s) Gh0 ( s)G p ( s) G p ( s) s
脉冲传递函数 G( z ) 的求法：
1 g ( t ) L G(s)，求得脉冲响应。 · 对 G(s) 做拉氏反变换
· 对 g (t ) 响应）。
采样，求得采样信号 g *(t ) （离散系统脉冲
g * (t ) g (kT ) (t kT )
k 0
· 对采样信号 g *(t ) 进行拉氏变换，得 G( z )
（3.30）
（c）采样输入与采样输出
Y (s) R( z)G(s)
Y * (s) R( z)G(s) R( z)G* (s)
*
Y ( z) R( z)G( z)
星号交换原则2：等号两边都取星号，对已有星号的可 以移出括号之外，注意 R( z)G( z) RG( z)
（d）采样输入与连续输出
Y (s) R( z)G1 (s)G2 (s)
* Y (s) R( z) G1 (s)G2 (s) R( z )G1G2 ( s) * *
Y ( z ) R( z )G1G2 ( z )
类似，对几个无采样开关串联连接的情况，
G( z) Z G1(s)G2 (s) Gn (s) G1G2 Gn ( z)
i 1 j 0 n m
并设所有初始条件均为零，得
z nY ( z ) ai z n iY ( z ) b j z m j R( z )
i 1 j 0 n m
G( z)
m j b z j j 0
m
z n ai z n i
i 1
n
3、开环脉冲传递函数 （1）单个环节脉冲传递函数
（2）串联环节的脉冲传递函数
G( z )
R( s )
R( z )
G1 ( s)
G1 ( z ) Y1 (s)
Y1 ( z )
G2 ( z)
G2 ( s)
Y ( s)
Y ( z)
（a）
G( z )
R( s )
R( z )
Y ( s)
G1 ( s)
G2 ( s)
Y ( z)
（b）
图3.4 串联环节的脉冲传递函数
解：对上述差分方程两端做Z变换，得 z 2Y ( z) z 2 y(0) zy(1) 3zY ( z) 3zy(0) 2Y ( z) 0
( z 2 3z 2)Y ( z) ( z 2 3z) y(0) zy(1) z Y ( z) 2 z 3z 2
y(k ) y(k 1) r (k ) 2r (k 2)
设初始条件 y(0) 2 ，求
y (k ) 。
解：将差分方程式写成递推形式
y(k ) r (k ) 2r (k 2) y(k 1)
y(1) r (1) 2r (1) y(0) 令 k 1 ，则 k 0 k 设 r (k ) k 0 0 故 y(1) 1 0 2 1
A1 A2 Y ( z) 1 1 1 2 z z 3z 2 ( z 1) ( z ห้องสมุดไป่ตู้) z 1 z 2
z z Y ( z) z 1 z 2
查Z反变换表，得
y(k ) (1)k (2)k
k 0,1, 2,
§3.3 脉冲传递函数
图3.6 单位阶跃函数
gh0 (t ) us (t ) us (t T )
Y ( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
类似，几个环节串联，且它们之间均有采样开关隔开， 则可得
G( z ) G1 ( z )G2 ( z ) Gn ( z ) Gi ( z )
i 1 n
对第2种情况，两个连续环节之间无采样开关，这样在 输入与输出两个采样开关之间的连续函数为 G(s) G1 (s)G2 (s) ， G( s) 可看作一个独立环节 。
1 eTs G p (s) 1 G ( z ) Z G ( s ) Z G p (s) (1 z ) Z s s
什么是零阶保持环节？即保持一个采样周期的采样信号， 如图3.6所示。
us (t )
T
o
t
o
t
us (t T )
§3.2 差分方程
连续系统的动态过程，用微分方程来描述； 离散系统的动态过程，用差分方程来描述。
1、差分方程的一般形式 系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初 始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为
Y ( z ) b0 b1 z 1 b1 z 2 bm z m R( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
利用Z变换基本性质中延迟移位定理，可写成 差分方程,一般形式为：
y(k ) a1 y(k 1) an y (k n)
b0 r (k ) b1r (k 1) bm r (k m)
（3.25）
若系统的Z传递函数写成超前形式
b0 z m b1 z m 1 bm Y ( z) R( z ) z n a1 z n 1 an
（c） （d） 图3.3 单个环节脉冲传递函数
（a）连续输入与连续输出 （b）连续输入与采样输出
Y ( s) G( s) R( s)
Y * ( s) R( s)G( s)
*
（3.28）
（3.29）
星号交换原则1：等号两边都取星号，即
Y ( z ) Z R(s)G(s) GR( z ) RG( z )
星号变换规则3：在串连环节中，每一项需要进行星号变 换，或二个采样开关之间的环节为独立环节(离散形式)。
注意：
G1 ( z)G2 ( z) G1G2 ( z)
这一点可通过实例说明： 设:
1 G1 ( s ) s
， G2 ( s) 1
s 1
1 1 G( z ) G1 ( z )G2 ( z ) Z Z s s 1
R( s )
G( s)
Y ( s)
R( s )
G( s)
Y ( s) Y * ( s)
（a）
（b）
G1 (s)
R( s ) R( z )
G( s)
Y ( s) Y ( z )
Y ( z) Y ( s)
G( z )
R( s ) R( z )
G1 ( z ) Z [G ( s )Gh 0 ( s )]
或
超前形式：
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k )
b0r (k m) b1r (k m 1) bmr (k )
如果差分方程为
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0 r (k ) b1r (k 1) bmr (k m)
i 1
j 0 n
bj z
j
如果差分方程为
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k )
b0r (k m) b1r (k m 1) bmr (k )
y(k n) ai y(k n i) b j r (k m j )
G( z ) L g * (t ) g (kT ) z k
G ( z ) Z g (t ) g (kT ) z k
k 0
k 0

G ( z ) Z G ( s )
以上3式均可通用。
2、差分方程与脉冲传递函数 已知差分方程为
延后形式：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0 r (k ) b1r (k 1) bmr (k m)
令
k 2
y(2) r (2) 2r (0) y(1) 2 0 1 3
继续令 k =3,4,--- ，可求出k为任何整数时的输出 y(k ) 。 迭代法的缺点，难以写出通式 y (k ) 。
（2）Z变换法 在求解数学问题时，采用Z变换法也需考虑初 始条件。 在利用Z变换的左移定理时，即
当初始条件为零时
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k ) b0 r (k m) b1r (k m 1) bm r (k )
2、差分方程的求解 （1）迭代法 若看作数学问题求解，需考虑初始条件。 例3.8 已知差分方程为
1 e Ts 注意，此时 G1 ( s) 中包含有零阶保持环节 s
Y (s) G1 (s) R( z)
（3.31） 。
第2种、第4种情况，只能写出输出的表达式，不能写出它 的脉冲传递函数。只有当输入信号和输出信号均有采样开 关，即它们均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传 递函数。 能否得到脉冲传递函数，与采样开关的设置有关，也与观 察的角度有关。