高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算课件新人教B版选修210920636
2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算(第2课时)课件新人教B版选修2_1
走进教材
向量运算
坐标表示 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
走进教材
(a2－a1，b2－b1，c2－c1)
自主练习
C
自主练习
B
自主练习
-4
典例导航
题型一：空间向量的坐标运算
典例导航
解：
变式训练
变式训练
典例导航
题型二：利用坐标运算解决平行、垂直问题
解：
典例导航
变式训练
典例导航
题型三：利用坐标运算解决距离、夹角问题
解：
z
D1
C1
A1 E
B1
D
G
Cy
A
F B
x
典例导航
变式训练
3. 如 图 所 示 ， 直 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 ， 底 面 △ ABC 中 ， CA ＝ CB ＝ 1 ， ∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点． (1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
变式训练
归纳小结
1．如何确定向量的坐标？ (1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标； (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标； (3)给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立 方程组，解方程组求其坐标．
归纳小结
2．如何利用向量坐标处理空间中的平行与垂直？ (1)向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：即写出向量的坐标； (3)求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．
第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的直角坐标运算
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及
3.1.4 空间向量的直角坐标运算课后训练1．已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则|OB uuu r |2＝( )A ．(9,0,16)B ．25C ．5D ．132．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 中点M 到点C 的距离|CM u u u u r |＝( )A B ．532C D 3．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )A ．2C ．4D ．84．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90° B．60°C ．30° D．0°5．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，152y = C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝6，152y =6．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以AB u u u r ＝a ＝(2,1，－1)，AD u u u r ＝b ＝(1，－2,1)，1AA u u u r ＝c ＝(1,1,1)为三条棱，则|1AC u u u u r |＝__________.7．已知三点P 1(－x,1，－3)，P 2(2，y ，－1)，P 3(－3,0，z )，若13PP u u u u r ＝3235P P u u u u r ，则x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.8．已知点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，且BC uuu r ＝a ，CA u u u r ＝b ，则〈a ，b 〉＝__________.9．设空间两个单位向量OA u u u r ＝(m ，n,0)，OB uuu r ＝(0，n ，p )与OC u u u r ＝(1,1,1)的夹角都等于π4，求cos ∠AOB .10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于AB何处时，MN⊥MC1?参考答案1. 答案：B 由题意，得B (3,0，－4)，∴|OB uuu r |2＝32＋02＋(－4)2＝25.2. 答案：C 由题意，得M (2,1.5,3)，CM u u u u r ＝(2,0.5,3)，|CM u u u u r |=. 3. 答案：A∵|a ，|b |＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝49， sin 〈a ，b， S ＝|a ||b |sin 〈a ，b4. 答案：A 因(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝cos 2α＋12＋(sin α)2－(sin 2α＋12＋cos 2α)＝0，故a ＋b 与a －b 的夹角是90°. 5. 答案：D a ∥b 6,245153.2x x y y =⎧⎪⇔==⇒⎨=⎪⎩ 6.∵1AC u u u u r ＝a ＋b ＋c ＝(2,1，－1)＋(1，－2,1)＋(1,1,1)＝(4,0,1)，∴|1AC u u u u r |=.7. 答案：6 53- 94- 由已知条件得， (－3＋x,0－1，z ＋3)＝35(2＋3，y －0，－1－z )， 解得x ＝6，53y =-，94z =-. 8. 答案：60° 由题中条件得a ＝(－1，－1,0)，b ＝(－1,0，－1)．故cos 〈a ，b 〉＝·||||a b a b＝12， 所以〈a ，b 〉＝60°.9. 答案：解：由题意得，22221,1,πcos 4πcos 4m n n p ⎧+=⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩解得4n =， 故cos ∠AOB ＝||||OA OB OA OB ⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ＝n 2＝24±. 10. 答案：解：以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ， 则0,0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)． 1MC u u u u r ＝,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，MN u u u u r ＝,0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， MN u u u u r ·1MC u u u u r ＝xa －24a ＝0，得x ＝4a . 所以点N 的坐标为,0,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
人教B版高中数学选修空间向量的直角坐标运算课件
2．空间向量的坐标运算类似于平面两向量的坐标运算， 牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知 识解决立体几何问题提供了有力的工具．
3．运用空间向量的坐标运算证明平行、垂直问题时， 首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标， 进而写出向量的坐标，再结合向量平行、垂直的条件进行 论证，最后转化为几何结论．
[ 例 4] 如 图 所 示 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD—
A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分 别为x，y，z轴建立直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求 点M的坐标．
[分析] 借助于向量垂直、平行坐标运算建立方程， 进一步求解．
[解析] 设 M(x，y，z)，由图可知，A(a,0,0)，B(a， a,0)，C1(0，a，a)，则A→C1＝(－a，a，a)，A→M＝(x－a，y， z)，B→M＝(x－a，y－a，z)．
＝(0，－14，－1)．
∴|C→1G|＝
17 4.
又E→F·C→1G＝12×0＋12×(－14)＋(－12)×(－1)＝38，|E→F|＝ 23，
∴cos<E→F，C→1G>＝|E→E→FF|··C|C→→11GG|＝
51 17 .
即异面直线
EF
与
C1G
所成角的余弦值为
51 17 .
(3)∵F(12，12，0)、H(0，78，12)，
[解析] 以C为坐标原点，CB，CA，CC1所在直线分 别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.
可得 M(0,0，26)，A1(0， 3， 6)，A(0， 3，0)，B1(1,0， 6)．
∴A→B1＝(1，－ 3， 6)，A→1M＝(0，－ 3，－ 26)． ∵A→B1·A→1M＝0，∴A→B1⊥A→1M. ∴AB1 与 A1M 所成角为 90°.
高二数学选修课件：3-1-4空间向量的直角坐标运算
第三章
空间向量与立体几何
→ C1 G EF·→ 51 → ，C1G>＝ → ∴cos<EF ＝ 17 . → |C1G| |EF|·→ 51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 . 17 1 1 7 1 (3)∵F(2，2，0)、H(0，8，2)， → ＝(－1，3，1)， ∴FH 2 8 2 → ∴|FH|＝ 12 32 12 41 (－ ) ＋( ) ＋( ) ＝ . 2 8 2 8
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第三章
空间向量与立体几何
[证明]
→ → → 设正方体的棱长为 1，以DA、DC、DD1为坐
标向量，建立空间直角坐标系 D－xyz，如图所示． 1 1 (1)易知 A(1,0,0)、E(1,1，2)、F(0，2，0)、D1(0,0,1)． → ＝(0,1，1)，D1F＝(0，1，－1)． → ∵AE 2 2 → ·→ ＝(0,1，1)· 1，－1)＝0， 又AE D1F (0， 2 2 ∴AE⊥D1F. → → (2)DA＝(1,0,0)＝D1A1，
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4)＋(2,1,8)]＝(1,4，－12)·(5,6,4)＝5＋24－48＝－19.
第三章
空间向量与立体几何
[例 2]
1 1 1 已知 a＝(1,2，2)，b＝(2，－2，1)，c＝(－2,3，
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1 2 1 － )，d＝(1，－ ， )． 2 3 4 求证：a⊥b，c∥d.
(7) a· a a· b (8) |a||b| a1b1＋a2b2＋a3b3 2 a2＋a2＋a3 b2＋b2＋b2 1 2 1 2 3
第三章
空间向量与立体几何
2．(1)(a2－a1，b2－b1，c2－c1) (2) (a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的直角坐标运算课
3.1.4 空间向量的直角坐标运算课堂探究探究一空间向量的坐标运算解决空间向量的坐标运算问题，首先要正确记忆空间向量的直角坐标运算公式，其次要结合向量的运算法则，先化简，再代入坐标运算．【典型例题1】已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．思路分析：利用空间向量的直角坐标运算求解．解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)方法1：2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.方法2：2a·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝|a|2－|b|2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.探究二空间向量的平行与垂直问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．【典型例题2】设向量a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .思路分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立关于x 的方程，再解方程即可． 解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b . ②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ， ∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x ＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b . (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 探究三 空间向量的夹角及长度公式的应用空间向量的夹角及长度公式除直接应用在向量的计算中外，经常利用其求异面直线所成的角以及线段的长度，通过应用向量的坐标运算使立体几何中复杂的角与距离的计算简单化．【典型例题3】 已知点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a .思路分析：(1)由公式S Y ＝ab sin θ(θ为a ，b 边的夹角)知，需首先求出AB →与AC →的夹角．(2)向量a 由横坐标、纵坐标、竖坐标的值确定，这就需要找到三个方程列出方程组求得a .解：(1) AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， 设θ为AB →，AC →的夹角，则cos θ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12，∴sin θ＝32. ∴S Y ＝|AB →||AC →|sin θ＝7 3.∴以AB →，AC →为边的平行四边形面积为7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)． 探究四 易错辨析易错点 忽视参数的取值范围【典型例题4】 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)，c ＝a ＋t b .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的情况下，求b 和c 的夹角的余弦值．错解：(1)c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )， |c |＝－1＋t2＋12＋3－2t2＝5t 2－14t ＋11＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －752＋65， 所以当t ＝75时，|c |的最小值为305.(2)当t ＝75时，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，1，15，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝25＋0－25|b ||c |＝0，即b 和c 的夹角的余弦值为0.错因分析：(1)题设中关于x 的方程有两实根，应考虑t 的限制，而不是t ∈R . (2)向量夹角和直线夹角既有联系又有区别．正解：(1)因为关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根， 所以Δ＝(t －2)2－4(t 2＋3t ＋5)≥0， 即－4≤t ≤－43.又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2) ＝(－1＋t,1,3－2t )， 所以|c |＝－1＋t2＋12＋3－2t2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －752＋65. 因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－43时，上述关于t 的函数单调递减， 所以当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)当t ＝－43时，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，1，173，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c|b ||c |＝－73＋0－34312＋02＋－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－732＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1732＝－411 735＝－41 1 7351 735.所以向量b 与c 夹角的余弦值为－41 1 7351 735.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的直角坐标运算课堂导学案新人教B版选
3.1.4 空间向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、空间向量坐标的表示【例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，建立如下图坐标系，写出B，C，D，B1，C1，D1点的坐标.解析:由空间向量坐标的定义可知.B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2).温馨提示求空间向量的坐标要严格按照定义.二、空间向量坐标运算【例2】已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),求a·b,|a|,|b|及（2a+3b）·(a-2b).思路分析：两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.解：（1）a·b=4×6+(-2)×(-3)+(-4)×2=22;(2)|a|===36=6;(3)|b|===7;(4)(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.温馨提示空间向量的坐标运算应把握好新向量的坐标与原坐标的对应关系.三、向量坐标运算的应用【例3】已知空间三点A（0，2，3）、B（-2，1，6）、C（1，-1，5）.(1)求以、为边的平行四边形的面积；（2）若|a|=3，且a分别与、垂直，求向量a的坐标.思路分析：（1）根据公式S=a bsinθ(θ为a、b边夹角)知首先必须求出、夹角；（2）向量a由横坐标、纵坐标、竖坐标值决定，我们需要找到三个方程列一个方程组才能求得，依题意这是容易办到的.解：（1）=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∵cosθ==∴sinθ=.∴S=|AB|·|AC|·sinθ=.(2)设a=(x,y,z)，由题意，得解方程组得∴a=(1,1,1)或（-1，-1，-1）.温馨提示用向量的坐标解决实际问题时，往往与前面所学的知识相结合，构造方程组是求解坐标的一种很好的办法.各个击破类题演练 1与点P(1,3，5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是（）A.(-1,-3,-5)B.(-1,-3,5)C.(1,-3,5)D.(-1,3,5)答案：A变式提升 1已知i、j、k是空间直角坐标系O—xyz的坐标向量，并且=-i+j-k,则B点的坐标为 ( )A.(-1，1，-1)B.(-i,j,-k)C.(1,-1,-1)D.（1，1，1）答案：A类题演练2若a=(1,1,2),b=(3,0,-2),c=(2,-1,0),则a+b+c为（）A.（0，0，6）B.（6，0，0）C.（6，6，6）D.（0，6，0）答案：B变式提升2下列各项中为单位向量的是（）A.a=(0,0,-1)B.b=(1,2,3)C.c=(1,1,1)D.d=(,,)答案：A类题演练 3已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则|b-a|的最小值是_________________.答案：变式提升3如果三点A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（a，3，b+2）在同一条直线上，那么( )A.a=3，b=-3B.a=6，b=-1C.a=3，b=2D.a=-2，b=1答案：C。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教B版
3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝____________，|b|＝____________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝________________________. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标．(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )． 分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算．反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可．反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝－3x ＋11－x ＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是：①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标；③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( )A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0)B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1)C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1)D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0)3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．14．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________. 5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________.6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b .答案：基础知识·梳理1．(1)单位 垂直 坐标向量【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3)【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3 (2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23 x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12 【做一做4】32 2典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b .②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ，∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝－3，x ＋11－x ＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)．∴|AB |＝－22＋－12＋32＝14， |AC |＝12＋－32＋22＝14，AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12， ∴sin 〈AB ，AC 〉＝32， 以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)， b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0，∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2，∴2(1－x )＝－2，x ＝2.4．26 |AB →|＝3－22＋4－02＋－2－12＝26.5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2×1＋0＋022＋－32＋3212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0，n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x .于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
规律与方法
1.一些特殊向量特征 (1)零向量不是没有方向，而是它方向是任意. (2)单位向量方向即使不一定相同，但它们长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相 等，则它们不但模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向 相反，则它们为相反向量.
|a|.或|A→B|
第6页
(2)几类特殊空间向量
名称
定义及表示
零向量 • 起点与终点重合向量叫做
，零记向为量0
单位向量 • 相反向量 •
相等向量 •
向量称为模单为位1向量
与 －向a 量a长相度等
而相方反向
向量，称为a相反向量，记为
方相向同 且相模等 向量称为相等向量，同向 等且长 有向线
段表示同一向量或相等向量
②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1；
④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1.
1 2 3 4第39页5
5.化简 2A→B＋2B→C＋3C→D＋3D→A＋A→C＝__0__. 答案 解析 2A→B＋2B→C＋3C→D＋3D→A＋A→C ＝2A→B＋2B→C＋2C→D＋2D→A＋C→D＋D→A＋A→C＝0.
O→B＋B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→G＋G→H＋H→O＝0.
第26页
(3)空间向量减法运算也能够看成是向量加法运算，即a－b＝a＋(－b). (4)因为空间任意两个向量都能够平移到同一平面内，成为同一个平面内 两个向量，而平面向量满足加法交换律，所以空间向量也满足加法交换 律. (5) 空间向量加法结合律证实：如图，
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算课件新人教B版选修2_1
|C→G|＝ 12＋02＋122＝ 25，
所以
cos〈E→F，C→G〉＝
→→ EF·CG →→
＝
|EF||CG|
1 4 23×
5＝ 2
15 15 .
(3)求CE的长.
解 |CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋122＝
5 2.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便利.建立坐标系后，写出相关点的坐 标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐 标运算求解夹角和距离问题.
A.(16,0,4) C.(8,16,4)
B.(8，－16,4)
√D.(8,0,4)
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).
12345
2.已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为
A.0
π B.4
√π
12345
4.已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是
1
3
A.1
B.5
C.5
解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以 4k＋k－2－5＝0，解得 k＝75.
反思感悟 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. ②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两 向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用 ①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程. ②选择坐标情势，以到达简化运算的目的.
3.1.4空间向量的坐标运算 人教课标版精品课件
Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ （５,４,６）
６
y
Ｐ2
例２．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。 那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。
一一对应
(x, y, z)
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j, k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫
高中数学 3.1.4空间向量的直角坐标运算配套课件 新人教B版选修21
第十四页，共27页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更 高效
3.1.4
小结 已知两个向量的坐标，证明这两个向量平行或垂 直，就是根据 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，c∥d ⇔c＝xd⇔c1＝xd1，c2＝xd2，c3＝xd3 (x∈R，x≠0)来证明．
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a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
第三页，共27页。
填一填·知识要点、记下(jì xià) 疑难点
3.1.4
3. 空间向量平行和垂直的条件：
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
(1)a∥b
(b≠0)⇔__a_＝__λ_b__⇔
a1＝λb1 a2＝λb2
a3＝λb3
当 b 与三个坐标平面都不平行时，
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高效
3.1.4
跟踪训练 2 将本例中“若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂
直”改为“若向量 ka＋b 与 a＋kb 互相平行”其他条件
不变，求 k 的值．
解 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
效
(2)设
O
为坐标原点，向量O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝
(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，
求点 Q 的坐标．
解 设O→Q＝λO→P， ∴Q→A＝O→A－O→Q＝O→A－λO→P
＝(1,2,3)－λ(1,1,2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， Q→B＝O→B－O→Q＝O→B－λO→P
3.1.4
|a|＝___a_21_＋__a_22_＋__b_23____，|b|＝____b_21_＋__b_22_＋__b_23___. a1b1＋a2b2＋a3b3
课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算
4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直 线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、 夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】 不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正 方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间 向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做 单位正交基底 ．单位 向量i，j，k都叫做 坐标向量 ．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所 以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再 进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算 括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)
高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选修2_1
α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0_
l，m的夹角为θ
0≤θ≤π2，cos
|a·b| θ＝_|_a_||_b_| _
l，α的夹角为θ
0≤θ≤π2， sin
|a·μ| θ＝_|_a_||_μ_| _
|μ·v| α，β的夹角为θ 0≤θ≤π2， cos θ＝__|μ__||v_|__
2.用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
题型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中 点，求证： (1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线 向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量 是共面向量.
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ_⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直 线线夹角 线面夹角 面面夹角
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证： 平面AED⊥平面A1FD1.
题型三 利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修211．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、重点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的直角坐标运算阅读教材P89～P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题．1．单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量坐标运算法则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)B ．a －b ＝(2，－1，－6)C ．a ·b ＝10D ．2a ＝(8，－4，－8)【解析】 易验证A ，B ，C 均不正确，D 正确． 【答案】 D2．在空间直角坐标系中，若A (1,3,2)，B (0,2,4)，则向量AB →的坐标为______． 【答案】 (－1，－1,2)教材整理2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材P 90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)平行(a∥b )a∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )垂直(a⊥b ) a⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．1 B ．15 C.35D ．75【解析】 k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.【答案】 D教材整理3 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 阅读教材P 91第10行以下部分内容，完成下列问题． 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝________； (2)|a |＝a·a ＝________； (3)a ≠0，b ≠0，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝________；(4)a≠0，b≠0，a⊥b ⇔a·b ＝0⇔________. 【答案】 (1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3(2)a 21＋a 22＋a 23 (3)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(4)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 2，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°教材整理4 空间中两点间的距离公式阅读教材P 91“例3”以上部分内容，完成下列问题． 在空间直角坐标系中，设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则 (1)AB →＝________； (2)d AB ＝|AB →|＝________.【答案】 (1)(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1) (2)x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 1C 1＝90°，D 为BB 1的中点，则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为( )A.105 B ．257C.1515D ．1015【解析】 建系如图，则C 1(0,1,2)，D (1,0,1)，A 1(0,0,2)，C (0,1,0)． ∴C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)．∴cos 〈C 1D →，A 1C →〉＝C 1D →·A 1C→|C 1D →||A 1C →|＝－1＋23×5＝1515. 故选C. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量的坐标运算已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p ＝AB →，q ＝CD →，求下列各式的值：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )；(4)cos 〈p ，q 〉．【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】 由于A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →＝(2,1,3)，q ＝CD →＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6) ＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6) ＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. (4)cos 〈p ，q 〉＝p ·q|p ||q |＝2，1，3·2，0，－622＋12＋32×22＋02＋－62＝－1414×210＝－3510.1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.[再练一题]1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)．求：(1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)a ·b ； (4)2a ·(－b )；(5)(a ＋b )·(a －b )．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a ＝(4，－2，－4)，∴(2a )·(－b )＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．【精彩点拨】 (1)向量共线的条件是什么？(2)向量垂直的条件是什么？ 【自主解答】 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)法一 因为(k a ＋b )∥(a －3b )， 所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. 法二 因为a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)， 所以a ≠0，b ≠0.又因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k 1＝1－3，解得k ＝－13.法三 因为(k a ＋b )∥(a －3b )， 所以k a ＋b ＝λ(a －3b )(λ∈R )，即(k －2,5k ＋3，－k ＋5)＝(7λ，－4λ，－16λ)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧k －2＝7λ，5k ＋3＝－4λ，－k ＋5＝－16λ，解得k ＝λ＝－13，所以k ＝－13.(2)法一 因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.法二 因为a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)， 所以a 2＝27，b 2＝38，a·b ＝8. 因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k a ＋b )·(a －3b )＝k a 2－3b 2＋(1－3k )a·b ＝27k －114＋8(1－3k ) ＝3k －106 ＝0. 所以k ＝1063.向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．[再练一题]2．已知a ＝(λ＋1,1,2λ)，b ＝(6,2m －1,2)． (1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【导学号：15460068】【解】 (1)由a ∥b ，得 (λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k 2m －1，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3.∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋12＋12＋2λ2＝5，λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．[探究共研型]利用向量的坐标运算求夹角与距离探究1 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤？ 【提示】 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为几何结论．探究2 已知A (2,1，－3)，B (1，－2,4)，求与向量AB →共线的单位向量． 【提示】 ∵AB →＝(－1，－3,7)，|AB →|＝－12＋－32＋72＝59，∴与AB →共线的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5959，－35959，75959或⎝⎛⎭⎪⎫5959，35959，－75959.在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．【精彩点拨】 建系Dxyz →得各点的坐标→ 数量积运算→夹角、长度公式→几何结论【自主解答】 如图所示，以DA ，DC ，DD 1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0，1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0.∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C . ∴EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)因为C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1. 则|C 1G →|＝174.又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，∴cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵H 是C 1G 的中点，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12. 又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， ∴FH ＝|FH →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02 ＝418.空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有： (1)求向量的模|a |＝a ·a ；(2)求角，利用公式cos 〈a ·b 〉＝a ·b|a ||b |；(3)证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b .[再练一题]3．如图3133，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC .图3133(1)求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值； (2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS . 【解】 以点A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系．设SA ＝AB ＝BC ＝a ， 则B ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，C (0, 2a,0)，S (0,0，a )．(1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，SC →＝(0, 2a ，－a )．cos 〈AB →，SC →〉＝22a ·2a a ·3a＝33， 故SC 与AB 所成角的余弦值为33. (2)由于AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，AS →＝(0,0，a )，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0， 显然，AB →·BC →＝0，AS →·BC →＝0.即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB ∩AS ＝A ， 故BC ⊥平面ABS .[构建·体系]1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则|3a ＋b |为( ) A.15 B ．4 C ．5D ．17【解析】 3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)，故|3a ＋b |＝4＋9＋4＝17.【答案】 D2．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12 B ．22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB →＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫n －122＋12，当n ＝12时，|AB →|的最小值为22.【答案】 B3．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴b ＝λa .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，xλ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4.【答案】 44．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角等于________． 【解析】 AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， 于是cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝332×2＝12，故AB →与AC →的夹角为60°. 【答案】 60°5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．【解】 ∵OA →＝(1,0,0)， OB →＝(0，－1,1)，∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ， |OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2. |OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12， ∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0， ∴λ＝－66.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( )【导学号：15460069】A.534 B ．532C.532D ．132【解析】 ∵AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，∴CM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |＝|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532. 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23C.23D ．14【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.【答案】 C4．如图3134，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( )图3134A ．1B ．52C.62D ．32【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1，1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF |＝2－12＋1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫22－22＝62，故选C. 【答案】 C5．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A.55B ．555C ．355D ．115【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95.∴|b －a |2最小值＝95.∴|b －a |最小值＝355.【答案】 C 二、填空题6．已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB→取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 7．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【导学号：15460070】【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－12138．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.【解析】 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2，6)，由题意得AB →∥AC →，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0. 【答案】 0 三、解答题9．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝5 2.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心． 求证：OA 1→⊥AM →.【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0.∴OA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12.∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0， ∴OA 1→⊥AM →.[能力提升]1．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A3．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．【解析】 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a·b <0，所以3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1<0，解得x >－2.若a 与b 的夹角为π，则x ＝53，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 4．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？【解】以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝⎛⎭⎪⎫32，32，0. 又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)， 则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1.如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°. 又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1.所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾． 所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°.。