若当标准型求解

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若当标准型求解

• 方法步骤：
由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i) 中 Jordan 块的个数由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i ) 的阶数。由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA
另外，注意的选择。观察上面的公式可以发现
R(( A i I )nj1) N ( A iI )
2 1
例 A
20 2 2
，求可逆矩阵P使得A相似
2 3
2
于Jordan 标准型。
解：可计算A的包含阶数为2和3的两个Jordan块。可计算得：
0 1
00
A2I
0 2
0 3
0
2. 矩阵的化简
方阵A的Jordan 标准形变换矩阵P的求法
• 目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA • 求法与步骤：根据前面的计算求出初等因子组
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )ks
矩阵A和JA的特征值相等
APi Pi Ji( i )
先求二阶Jordan对应的特征向量和广义特征向量。显然取
p1 R(( A 2 I )) N ( A 2 I ), p1 (a,0,b,0,0)T , a 0或b 0
这时
p2 (x, a, z, b / 2, 0)T (x, 0, z, 0, 0)T (0, a, 0， b / 2, 0)T
2
1
g( A ) P 15 23 P1
15
关于Jordan标准形的计算
由于计算涉及的内容偏多，有兴趣或需要的可以参见教材。另外很多定理的证明可参见北京大学出版社出版的<<高等代数>>教材的相关内容即可。

高等代数_若当标准形

第八章若当标准形一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点矩阵的相似问题一直是高等代数中的重点研究对象，除了前面所谈到的化矩阵为对角形的方法外我们还可以从其他渠道探讨这个问题.比如，周知A ~⇔B 存在可逆矩阵P 使得1B P AP -=.但是寻找可逆矩阵P 往往是件比较困难的工作，因此我们可论证等价性成立：E A E B λλ-≅-（或论证它们有相同的标准形），那么就相当于A ~B ；此外，对不能对角化的矩阵我们也可以研究将其化成上（下）三角形或准对角形──若当（Jordan ）标准形.作为理论准备，-λ矩阵的标准形理论是本章的重点之一. 通过-λ矩阵的初等变换求其标准形是最基本的要求；了解-λ矩阵的不变因子、行列式因子以及初等因子这三个重要概念并掌握它们的性质、相互之间的关系和求法等技术方面的工作，是本章的关键.讨论矩阵的相似标准形是本章的主要目的.本章的难点有如下几个方面：掌握-λ矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子这三个重要概念以及它们的性质、关系和求法；● 理解并掌握两个数字矩阵A 与B 相似的充分必要条件，以及数字矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件；● 充分发挥最小多项式的性质在讨论矩阵的相似标准形中的作用；● 掌握矩阵的Jordan 标准形的求法、性质及其应用.三、本章的基本知识要点（一）λ-矩阵的概念和性质1.设F 是一个数域，λ是一个文字，如果n m ⨯矩阵()A λ的每个元素都是λ的多项式，即 ()A λ=(())ij m n a λ⨯，那么，()A λ就是一个关于λ的多项式矩阵，简称为-λ矩阵.如果 n m =，则称()A λ为n 阶-λ矩阵.2. 如果在-λ矩阵()A λ中，有一个(1)r r ≥阶子式不为零，一切1r +阶子式（如果存在）全为零，则称()A λ的秩为r ，记为(())r A r λ=.注意：① (())0r A λ=⇔()0A λ=；② 若A 是一个数字n 阶矩阵，则必有()r E A n λ-=.3. 设()A λ是n 阶-λ矩阵，若存在n 阶-λ矩阵()B λ使得()()()()A B B A E λλλλ==则称()A λ是可逆的，并称()B λ是()A λ的逆矩阵，记为1()()B A λλ-=.4．注意：（1）一个n 阶-λ矩阵()A λ是可逆的充要条件为行列式：()0A c λ=≠.（2）若()A λ是可逆时，则有)(|)(|1)(*1λλλA A A =-，其中()A λ*是()A λ伴随矩阵. （3）在数字矩阵中，n 阶矩阵A 是可逆的充分必要条件是行列式||0A ≠（即A 是满秩矩阵），但对于-λ矩阵来说，当矩阵的行列式|()|0A λ≠时，矩阵()A λ未必是可逆的，即满秩的-λ矩阵未必是可逆的.（二）初等λ-矩阵1、由n 阶单位矩阵E 经过一次-λ矩阵的初等变换得到的n 阶-λ矩阵称为初等-λ矩阵.其有三种不同的类型，分别是(,)P i j 、(())P i k 与(,(()))P i j ϕλ，而且都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是同类的初等-λ矩阵.2、对m n ⨯的矩阵()A λ进行一次初等行变换，相当于在()A λ的左边乘上相应的m 阶初等-λ矩阵；而对()A λ进行一次初等列变换，就相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等-λ矩阵.3．-λ矩阵()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表成一系列初等-λ矩阵的乘积.4．注意：(1) 由于在-λ矩阵的第二类型的初等变换中，不允许用一个非常数的多项式()ϕλ去乘或除矩阵的某一行（列），这导致了λ-矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换在性质上有些区别，这请读者充分注意.(2) 等价的-λ矩阵具有相同的秩、行列式因子、不变因子和初等因子.（三）λ-矩阵的标准形1．λ-矩阵不变因子设m n ⨯的-λ矩阵()A λ的秩为r ，那么()A λ可经过一系列的初等变换化成对角矩阵()11()()(),,(),0,,000r r d d diag d d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, ()* 即存在m 阶可逆矩阵()P λ和n 阶可逆矩阵()Q λ，使()()()P A Q λλλ=()1(),,(),0,,0r diag d d λλ= ，其中()i d λ是首一多项式(1,2,,)i r = ，且1()(),(1,2,,1)j j d d j r λλ+=- .并称※式为-λ矩阵()A λ的标准形.其中12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子.注意：若A 是一个n 阶数字矩阵，则A 的特征多项式必有（1）12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= ；（2）1(())n ii d n λ=∂==∑所有不变因子的次数之和. 2、λ-矩阵的行列式因子（1）设m n ⨯的-λ矩阵()A λ的秩为r ，那么对于正整数,1,k k r ≤≤()A λ的全部k 阶子式的首项系数为1的最大公因式，称为()A λ的k 阶行列式因子，记为()k D λ.（2）不变因子12(),(),,()r d d d λλλ 与行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ 之间的关系是： 11()()D d λλ=，212()()()D d d λλλ=，……，12()()()()r r D d d d λλλλ= （I ）（3）两个-λ矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子.（4）n 阶可逆-λ矩阵()A λ的各阶行列式因子是12()()()1n D D D λλλ==== ，进一步，()A λ的不变因子是12()()()1n d d d λλλ==== ，从而知道矩阵()A λ的标准形是单位矩阵E .即可逆的-λ矩阵的标准形是单位矩阵，反过来，如果-λ矩阵()A λ与单位矩阵等价，那么()A λ一定是一个可逆矩阵.3. λ-矩阵的初等因子与n 阶数字矩阵的初等因子（1）把-λ矩阵()A λ的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为()A λ的初等因子.特别地，如果A 为n 阶数字矩阵，A 的特征矩阵E A λ-的初等因子习惯上称为A 的初等因子.（2）设A 为n 阶数字矩阵，若特征矩阵E A λ-等价于下列的对角形矩阵（不一定是标准形）1()()()n h B h λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()i h λ都是首一多项式. 那么将()i h λ分解成互不相同的一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是A 的全部初等因子.4. 不变因子、行列式因子与初等因子之间的关系-λ矩阵()A λ的不变因子、行列式因子与初等因子之间存在有密切关系，它们之间可以互相导出.（1）如果已知不变因子12(),(),,()r d d d λλλ ，直接使用定义可得到初等因子，利用上面的关系式（I ）可导出行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ .（2）如果已知行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ ，同样可以利用关系式（I ）导出不变因子12(),(),,()r d d d λλλ ，从而得出初等因子.（3）如果已知矩阵()A λ的秩r 及其初等因子，这时可以将全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行.如果不可约因子的方幂的个数不足r 个，则在后面用1补足，这时全体不可约因子的方幂排成下列的形式：11121212221211122212(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),r r s s sr t t t t t t i i ir t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，矩阵()A λ的不变因子是12112()()()()sr r r t t t s d P P P λλλλ= ，11121212()()()()s r r r tt t s d P P P λλλλ---= ， ………………1112112()()()()s t t t r s d P P P λλλλ=依此就可以得到矩阵的行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ .下图列出了矩阵及其标准形，不变因子，行列式因子以及秩与初等因子之间的关系.在计算过程中，读者可以根据具体情况采用适当的步骤进行.（四）λ-矩阵的等价、数字方阵相似和对角化的条件1．设()A λ与()B λ都是m n ⨯的-λ矩阵，那么有下列等价条件：（1）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的标准形；（2）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的不变因子；（3）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的行列式因子；（4）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的秩和初等因子；（5）()A λ与()B λ等价⇔存在一系列初等-λ矩阵12,,,s P P P 和12,,,t QQ Q 使得1212()()s t PP P A QQ Q B λλ= ；（6）()A λ与()B λ等价⇔存在可逆-λ矩阵()P λ和()Q λ使得()()()()P A Q B λλλλ=. 注意：两个阶数一样的-λ矩阵仅是初等因子相同时，不能保证它们等价.例如矩阵10()01A λλλ-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭如(1)(1)0()00B λλλ-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭的初等因子相同，但它们不等价. 2．设,A B 都是n 阶数字矩阵，那么有下列关于矩阵相似的等价条件：（1）A ~⇔B E A λ-与E B λ-等价；（2）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的标准形；（3）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的不变因子；（4）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的行列式因子；（5）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的初等因子（或者A 与B 有相同的初等因子）；（6）A ~⇔B A 与B 有相同的若当标准形.3．设A 是n 阶数字复矩阵，那么有下列等价条件：（1）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是E A λ-的不变因子没有重根；（2）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的；（3）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根；（4）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 每个特征根的代数重数等于几何重数.（五）数字矩阵的若当标准形与有理标准形从前面所谈论的化矩阵为对角形矩阵可知，并不是所有的n 阶数字矩阵都能相似对角化，虽然如此，但对于实数域R 上的n 阶对称矩阵A ，即实对称矩阵A 是一定与一个实对角矩阵相似的.于是，我们自然会提出这样一个有待解决的重要问题：当一个矩阵不与对角矩阵相似时，能否退而求其次，使A 相似于一个比对角矩阵稍为复杂，但仍能给计算和研究带来便利的某种标准形呢？这就是我们下面要介绍的矩阵的若当标准形与有理标准形.1．矩阵的若当标准形（1）设0λ是一个复数，形式为0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当（Jordan ）块. 而由若干个若当块(,)i i J t λ组成的准对角矩阵（分块对角矩阵）1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为若当形矩阵，其中参数12,,,s λλλ 可以是相等，也可以是不相等.（2）由于若当块0(,)J t λ的特征矩阵0(,)E J t λλ-的各阶行列式因子是1210()()()1,()()t t t D D D D λλλλλλ-=====- ，因此，它的不变因子是1210()()()1,()()t t t d d d d λλλλλλ-=====- .由此即得，0(,)E J t λλ-的初等因子是0()t λλ-，也就是若当块0(,)J t λ的初等因子.由于若当块0(,)J t λ完全被它的级数t 与主对角线上的元素0λ所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子0()t λλ-中.因此，若当块是由它的初等因子唯一决定的.（3）类似地，我们可以求得若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的初等因子是1212(),(),,()s t t t s λλλλλλ--- .也就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子是由它的全部若当块的初等因子构成的.而每个若当块是由其初等因子来决定的，由此可见，若当形矩阵除去其中的若当块排列的次序外，是被它的初等因子唯一决定的.（4）若当形矩阵的主要结论是：复数域C 上任一个n 阶矩阵A 都相似于一个若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，这个若当形矩阵称为A 的若当标准形.（5）设A 是一个n 阶矩阵，J 是A 的若当标准形，那么● 存在可逆矩阵T ，使得1T AT J -=；●A 与J 有相同的秩与行列式； ● A 与J 有相同的特征多项式与最小多项式；● 特征矩阵E A λ-与E J λ-有相同的行列式因子；● E A λ-与E J λ-（或者A 与J ）有相同的不变因子与初等因子.（6）对于复数域C 上的n 维线性空间V 的任一个线性变换σ，在V 中必存在有一组基12,,,n ααα ，使得σ在此基下的矩阵是一个若当形的.（7）每个n 阶的复数矩阵A 都与一个下（或上）三角形矩阵相似，其主对角线上的元素刚好是矩阵A 的全部特征值. 即存在可逆矩阵T ，使110*n T AT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（下三角形矩阵），其中1,,n λλ 是矩阵A 的全部特征值.如果()g λ是一个多项式，则()g A 的全部特征值是1(),,()n g g λλ ，即11()0()*()n g T g A T g λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2．矩阵的有理标准形在上面我们讨论了复数域C 上任何一个n 阶矩阵可相似于一个若当形矩阵，下面我们将在任意一个数域F 上来讨论类似的问题，而且证明了F 上任意一个n 阶矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.（1）对于数域F 上的一个多项式12121(),1n n n n n f a a a a n λλλλλ---=+++++≥ ，称矩阵122100001000010000100001n n n a a a A a a ---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是多项式()f λ的伴侣阵.多项式()f λ的伴侣阵A 的不变因子（即是E A λ-的不变因子）是121()()()1n d d d λλλ-==== ，()()n d f λλ=.（2）设n 阶矩阵A 的不变因子是121,,1,(),(),,()k k n d d d λλλ++其中()k i d λ+的次数大于等于1，并且假设12,,,n k N N N - 分别是12(),(),,()k k n d d d λλλ++ 的伴侣阵，这时我们称分块对角矩阵12n k N N F N -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵A 的有理标准形. （3）数域F 上的任意一个n 阶矩阵A 必相似于它的有理标准形（因为它们具有相同的初等因子）.注意：若当标准形在复数域上是一定存在的，而有理标准形在任何数域上都是存在的.（六）最小多项式及其性质1．零化多项式与最小多项式设F 是一个数域，A 是F 上的n 阶数字矩阵，如果数域F 上的多项式()f x 使得()0f A =，则称()f x 以A 为根或()f x 为A 的零化多项式.在以A 为根的多项式中，次数最低且首一的多项式称为A 的最小多项式，记为()A m λ.2、哈密顿─凯莱定理设F 是一个数域，A 是F 上的n 阶数字矩阵，记A 的特征多项式为12121()n n n A n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++那么 12121()0n n n A n n f A A a A a A a A a E ---=+++++=即A 的特征多项式是A 的零化多项式.同时，还有*12231211211()()()()n n n n n n E A A a A a a A a a E λλλλλλ-------=++++++++++3、最小多项式的性质设A 是数域F 上的n 阶数字矩阵，()A m λ为A 的最小多项式.（1）最小多项式是唯一的；（2）设()[]g F λλ∈，则()0g A =的充分必要条件是()()A m g λλ；特别地，矩阵A 的最小多项式()A m λ是A 的特征多项式()A f E A λλ=-的一个因式.（3）若A 是一个n 阶数字矩阵，且A 的特征多项式为12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= 那么()()A n m d λλ=1()()A n f D λλ-=；（4）A 的特征根都是()A m λ根.（5）设,A B 都是n 阶数字矩阵，如果,A B 相似，即A ~⇔B ()()A B m m λλ=；（6）设1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是准对角形，且()i m λ分别是i A 的最小多项式，那么()A m λ12[(),(),,()]s m m m λλλ= ；（7）t 阶若当块0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式0()()t J m λλλ=-. （六）主要定理与结论定理1 假设,A B 都是n 阶数字矩阵，如果存在n 阶数字矩阵00,P Q 满足00()E A P E B Q λλ-=-则矩阵A 与B 相似.作为矩阵多项式，-λ矩阵也有下列的带余除法定理.定理2 设(),()A B λλ是数域F 上的两个n 阶-λ矩阵，其中1011(),(),0,1,,.m m m m i n B B B B B B M F i m λλλλ--=++++∈=如果0B 可逆，则存在-λ矩阵(),()L L Q R λλ及(),()R R Q R λλ，满足()()()()L L A B Q R λλλλ=+，()()()()R R A Q B R λλλλ=+，其中(),()L R R R λλ分别是零或者(())(()),(())(())L R R B R B λλλλ∂<∂∂<∂，且满足上述条件的(),()L L Q R λλ及(),()R R Q R λλ是唯一的.(())A λ∂表示矩阵()A λ中所有元素的最高次数.如果把定理2的矩阵()B λ分别改成数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-，那么定理2变成下列的定理.定理3 对于任何不是零的n 阶数字矩阵A ，以及-λ矩阵()U λ与()V λ，一定存在-λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U E A Q U λλλ=-+，0()()()V R E A V λλλ=-+.定理3的一个常用推论是下面的定理4 设()[],()n f F A M F λλ∈∈，则存在唯一的-λ矩阵()Q λ使得()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+.证明：存在性的验证. 假设多项式1011()m m m m f c c c c λλλλ--=++++那么，1011()m m m m f E c E c E c E c E λλλλ--=++++1011()m m m m f A c A c A c A c E --=++++取120121()m m m m Q D D D D λλλλ----=++++其中10110,0,1,, 1.kk i k k k i k k i D c A c A c A c A c k m ---===++++=-∑代入定理中，可以验证等式成立.唯一性的证明. 假设还存在有另一个-λ矩阵1()Q λ使得11()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+只要把两个等式相减，可以得到11(()())(()())Q Q A Q Q λλλλλ-=-再通过比较等式两边λ的次数，即可得到1()()Q Q λλ=. ■定理5 n 阶数字矩阵A 的最大不变因子()n d λ等于A 的所有初等因子的最小公倍式. 证明：因为 ()r E A n λ-=，将矩阵A 全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行，不足n 个的在后面用1补足. 排列的形式如下：11112221221*********(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),n n s s sn t t t t t t i i in t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，不变因子 1112112()()()()s tt t n s d P P P λλλλ= ，也就是等于所有初等因子的最小公倍式. ■定理6 设n 阶矩阵A 的最小多项式为()m λ，证明：()()n m d λλ=，其中()n d λ是E A λ-的最后一个不变因子.证明：设A 的全部初等因子是1111211121111112112(),(),,(),(),(),,(),r sr s s s sn n n rn n n s s s s s sr n n n n n n λλλλλλλλλλλλ⎧---≤≤≤⎪⎪⎨⎪---≤≤≤⎪⎩其中12,,,s λλλ 两两不同.这时 121212()()()()sr r r sn n nn s d λλλλλλλ=--- .其次，由于A 相似于若当标准形1112srs n n n J J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，1,1,2,,.1,2,,.1ij i i n s i J i s j r λλλ⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于对角分块矩阵的最小多项式等于各分块矩阵最小多项式的最小公倍式，而且相似矩阵有相同的最小多项式，所以1111111()(),,(),,(),,()sr r s sn nn n s s m λλλλλλλλλ⎡⎤=----⎣⎦111()()()sr r s nns n d λλλλλ=--= . ■定理7 设1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是准对角形，且()i m λ分别是i A 的最小多项式，证明： ()A m λ1[(),,()]s m m λλ= ，其中1[(),,()]s m m λλ 表示1(),,()s m m λλ 的最小公倍式.证明：因为 1()()0()A A A s m A m A m A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1()()0A A s m A m A === ，即()A m λ是矩阵1,,s A A 零化多项式，因此)(|)(,,)(|)(1λλλλA s A m m m m ，故()A m λ是1(),,()s m m λλ 的一个公倍式.另一方面，任取1(),,()s m m λλ 的一个公倍式)(λh ，则有1()()0()s h A h A h A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，可见)(λh 是矩阵A 的一个零化多项式，所以，()|()A m h λλ. 再因为()A m λ的首项系数为1，因此()A m λ1[(),,()]s m m λλ= . ■定理8 相似矩阵具有相同的最小多项式.证明：设n 阶矩阵A 与B 相似，即存在可逆矩阵T ，使得1B T AT -=.又设12(),()m m λλ分别是矩阵A ，B 的最小多项式，且设12110()s s s m b b b λλλλ--=++++那么，我们有121100()s s s m B B b B b B b E --==++++1111102()().s s s T A b A b A b E T T m A T ----=++++=所以，2()0m A =，2()m λ是A 的零化多项式，而1()m λ是A 的最小多项式，因此，12()|()m m λλ.类似可以证明，21()|()m m λλ.再从12(),()m m λλ的首项系数为1，即可得到12()()m m λλ=.■四、基本例题解题点击1．λ-矩阵的基本概念与计算【例1】设有-λ矩阵2222123(),()1253A B λλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，计算：（1）()2()A B λλ-；（2）()()A B λλ⋅.【提示及点评】-λ矩阵的运算法则与数字矩阵的运算法则相同. 【例2】设21()12A λλλλλ⎛⎫=⎪+++⎝⎭，求1()A λ-. 【提示及点评】可以按数字矩阵求逆的方法进行计算.【例3】设00()1001A λλλλ=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求()nA λ.【解】因为00100000()1001010001001010A E B λλλλλλ==+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而EB BE B ==，所以可以应用牛顿二项式定理来进行计算.01112220()()nnnk n k k n n n n n n n k A E B C E B C E C B C B λλλλλλ---==+=⋅=++∑ 1(1)21200n n n n n n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ■ 【知识扩展提示】题目可以扩充为对任意阶数的若当块00000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭,求0(,)n J t λ.【例4】设有-λ矩阵2221211111()2211,()2131221023A B λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+-+--+=-+++=---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试求矩阵(),()L L Q R λλ使得()()()()L L A B Q R λλλλ=+，其中()0L R λ=或者(())(())L R B λλ∂<∂.【提示及点评】此例子主要介绍-λ矩阵的带余除法定理. 【解】首先把矩阵(),()A B λλ表示成矩阵多项式的形式：22012100120111()010121211002101012A A A A λλλλλ---=++-=++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 01101111()010*********B B B λλλ--=+--=+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后借助于多项式除以多项式的运算，我们有 01B B λ+ 2012A A A λλ++100()L Q B A λλ-= 210100A B B A λλ-+1101100()B A B B A --+-111002()A B B A A λ--+1111100101100()()A B B A B B A B B A λ----+-112101100()()L R A B B A B B A λ--=--所以，1110001100211()()134002L Q B A B A B B A λλλλλ-----⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭，112101100250()()169205L R A B B A B B A λ--⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭. ■【知识扩展提示】题目如果是求-λ矩阵(),()R R Q R λλ使得()()()()R R A Q B R λλλλ=+，则在做多项式除法的时候，注意矩阵01B B λ+与()R Q λ相乘时的左右方向即可.2．求λ-矩阵的标准形、行列式因子、不变因子与初等因子（1）行列式因子的计算方法一：直接使用行列式因子的定义进行计算. 【例5】设有-λ矩阵2221211()2211122A λλλλλλλλλλλ⎛⎫-+-+- ⎪=-+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭，试求其行列式因子.【解】由于矩阵()A λ的元素中含有非零常数1，所以一阶行列式因子1()1D λ=.或者是由于下列所有多项式{}2221,21,1,2,21,1,,1,22λλλλλλλλλλ-+-+--+++-+-的最大公因式是1，所以1()1D λ=.对于二阶行列式因子2()D λ. 由于()A λ的2阶子式一共有9个，一一计算比较麻烦，我们只要找出特别的几个出来，看它们是否互素即行. 由于2阶子式22211λλλλ-++- 与 2211211λλλλ-+-+++是互素的，即最大公因式是1，所以二阶行列式因子2()1D λ=.最后计算三阶行列式因子3()D λ，由于矩阵()A λ的3阶子式只有1个，所以65432311()|()|(2338385)2D A a λλλλλλλλ==++--+-. ■ 【注意】由于使用定义的方法求行列式因子的计算过程比较麻烦，因此一般很少用，除非是矩阵()A λ比较简单.方法二：先用初等变换化简-λ矩阵，一般情况是化简成为标准形或者对角形，再对简化后的-λ矩阵求行列式因子.【例6】设有-λ矩阵111()2131023B λλλλλ+--+=----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于(1)(3)1111023()2132131023111B λλλλλλλλλ↔+--+--=------+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32100010002447λλλ-→→--+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此，所求的行列式因子是12()()1D D λλ==，3237()222D λλλλ=-+-. ■ 方法三：对于特殊类型的-λ矩阵（如对角形、上下三角形等等），可以先求出阶数大的行列式因子，再利用1()|()k k D D λλ-的关系，求出阶数低的行列式因子.【例7】设有下列-λ矩阵①1221000100010()0000001n n n a a a A a a λλλλλλ--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭；②31104101()0021001A λλλλλ--⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+- ⎪⎝⎭ 试求它们的行列式因子.【解】① 由于矩阵()A λ的行列式12121|()|n n n n n A a a a a λλλλλ---=+++++所以， 12121()nn n n n n D a a a a λλλλλ---=+++++ ,又由于在()A λ中有一个1n -阶的子式110001(1)0000001n λλλ---=--，故1()1n D λ-=，于是，231()()()1n n D D D λλλ--==== .② 显然 2243121()(1)(1)411D λλλλλλλ--+-==-++，又其中的一个3阶子式 1110123021λλλ-+=++-，由于三阶行列式因子3()|(23)D λλ+并且还有34()|()D D λλ，因此可见3()1D λ=，于是21()()1D D λλ==. ■（2）-λ矩阵的标准形、不变因子与初等因子的计算方法一：直接使用矩阵的初等变换，求-λ矩阵的标准形，进而可以得到不变因子. 【例8】用初等变换求下列-λ矩阵的标准形、不变因子与初等因子.222223222213()2322A λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎪=--+-- ⎪ ⎪+++⎝⎭. 【提示及点评】在使用初等变换来求-λ矩阵的标准形时，第一步应将矩阵左上角的元素变成能够整除矩阵的所有元素，第二步才能消去矩阵的第一行与第一列的其余元素，重复这个过程即可把-λ矩阵化其标准形. 关键的一步是在矩阵的所有元素中直接找出一个或者经过加减运算后找出一个元素，使其能够整除矩阵的所有元素.【解】2222222322232(1)(2)(1)2222212112()23222322022A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⋅-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=--+--−−−−→--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭1000(1)000(1)(1)λλλλλ⎛⎫⎪→→+ ⎪ ⎪+-⎝⎭于是，()A λ的不变因子123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，从而得出矩阵的初等因子是,,1,1, 1.λλλλλ++-. ■方法二：对于一些形如上（下）三角形、对角形等特殊的-λ矩阵，可以先求其行列式因子（或者初等因子），再利用不变因子与行列式因子的关系，求出不变因子，进而得到矩阵的标准形.【例9】求下列-λ矩阵的标准形与不变因子.①21000210()00210002A λλλλλ+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭；②22220(1)00(1)000()000100(1)0A λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭ 【解】① 显然，行列式因子44()|()|(2)D A λλλ==+，而且矩阵)(λA 有一个3阶子式1002101021λλ+=+，所以有321()()()1D D D λλλ===，故)(λA 的不变因子是123()()()1d d d λλλ===，44()(2)d λλ=+，即)(λA 的标准形是410000100001000(2)λ⎛⎫⎪⎪⎪⎪+⎝⎭.② 虽然矩阵)(λA 不是对角形，但可用初等变换化成对角形：2222(1)(2)(3)(4)22220(1)00(1)000(1)0000(1)00()000100(1)000(1)00001A λλλλλλλλλλλλλλλ↔↔⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭由此可得矩阵)(λA 的初等因子是222,,,(1),(1),1,1,1λλλλλλλλ+++--，而矩阵的秩= 4，据此可知不变因子是2123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，224()(1)(1)d λλλλ=+-，故矩阵的标准形是22210000(1)0000(1)(1)0000(1)(1)λλλλλλλλ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+- ⎪+-⎝⎭. ■（3）有关数字矩阵的初等因子的计算【例10】求下列数字矩阵的初等因子（以及不变因子，相应特征矩阵的行列式因子）.308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭..【提示及点评】对于计算数字矩阵的初等因子，其实其过程与求矩阵的若当标准形一样. 计算方法与求一般-λ矩阵的初等因子是一样的.【解】因为(2)(3)1308308316111205205E A λλλλλλλλ+⋅----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-−−−−→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭210002(1)000(1)/2λλ-⎛⎫⎪→→+ ⎪ ⎪-+⎝⎭因此，所求的初等因子是2(1),1λλ++，不变因子是2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+，行列式因子是3123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ==+=+. ■3．有关λ-矩阵等价的判断与证明【例11】判断下列两个矩阵是否等价？010001()000000A λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭，010100()000000B λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭ 【提示及点评】利用-λ矩阵等价的6个方法之一进行判断. 【解】易见，矩阵)(λA 与)(λB 的行列式因子都是241234()()1,()(),()()D D D D λλλλαλλα===+=+因此，矩阵)(λA 与)(λB 是等价的. ■【例12】对于任意的n 阶-λ矩阵)(λA ，证明)(λA 与)(/λA 等价. 【提示及点评】可以证明它们有相同的行列式因子或者有相同的标准形. 【解】假设矩阵)(λA 的标准形是()1()(),,(),0,,0r D diag d d λλλ=因此，存在可逆矩阵)(,)(λλQ P 使得)()()()(λλλλD Q A P =，两边取转置得到)()()()()(////λλλλλD D P A Q ==，从而知道)(λA 与)(/λA 有相同的标准形，所以)(λA 与)(/λA 等价. ■4．有关数字矩阵A 的特征矩阵（特征多项式、凯莱定理）E A λ-的应用【例13】设有矩阵130240121A -=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求nA ，其中n 是正整数.【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算. 【解】设()||f E A λλ=-是矩阵A 的特征多项式，那么计算可得322()452(2)(1)f λλλλλλ=-+-=--再根据计算nA 的要求，取多项式()ng λλ=，并令（带余除法）2()()()n g f q a b c λλλλλλ==+++分别把2,1λλ==代入，得到 422,1na b c a b c ++=++=.又因为1λ=是特征多项式()f λ的2重根，所以，对上式两边求导后有///1()()()()()2n g f q f q a b n λλλλλλλ-=+++=再代入1λ=得到，2a b n +=.求解上面关于,,a b c 的联立方程组，我们可以得到121,223,22n n n a n b n c n +=--=-+=-因此，12323(12)02(12)23206(12)799271n n n n n n n A aA bA cE n n +⎛⎫--+ ⎪=++=--+-+⋅ ⎪ ⎪-+--⋅+⎝⎭. ■【注意】关键是如何利用矩阵A 的特征值，找到关于,,a b c 的联立方程组.【例14】设有矩阵130240121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，及多项式119653()461f λλλλλλλ=-+--+-，求1()f A -.【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算. 【解】因为特征多项式32()||452g E A λλλλλ=-=-+-，再由带余除法得到2()()()(759933)f g q λλλλλ=+-+-因此，由哈密顿—凯莱定理得到22433780()75993325238703997779f A A A E -⎛⎫ ⎪=-+-=- ⎪ ⎪--⎝⎭,再求其逆，得到431413545128151********13590()0f A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. ■ 【注意】此题型的计算量比较大，关键是掌握其计算的方法与技巧.【例15】如果A 是一个n 阶可逆矩阵，导出使用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵1-A 的公式. 【解】假定矩阵A 的特征多项式是12121()||n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++则由凯莱定理知道，121210n n n n n A a A a A a A a E ---+++++=而(1)||0n na A =-≠，因此，1231211()n n n n nA A a A a A a E E a -----⋅++++= 即矩阵A 的逆矩阵11231211()n n n n nA A a A a A a E a ------=++++ . ■ 【知识扩展提示】题目可以改成：证明存在一个实系数多项式)(x g ，使得)(1A g A =-.【例16】设A 是任意一个n 阶矩阵，且12121()||n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++证明：A 的伴随矩阵*A 是A 的多项式，并且*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ .【证明】由上例知道，123121(1)()n n n n n A A a A a A a E a E ----⋅-++++=而||(1)||n n a A A =-=-，代入上述，可以得到1123121(1)()||n n n n n A A a A a A a E A E -----⋅-++++=所以，*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ . ■5．相似矩阵的判断与证明【例16】判断下列矩阵3253212610,222123365A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是否相似.【提示及点评】要判断两个矩阵是否相似，通常的方法是先求出它们的不变因子（或行列式因子、或初等因子），如果它们相同，则相似，否则不相似.当然，如果两个矩阵的秩，行列式，特征多项式或最小多项式有一个不相等，则它们一定不相似.要注意的是，即使它们的秩，行列式，特征多项式或最小多项式都相等，仍然不能确定它们是否相似.许多学生往往根据两个矩阵的特征多项式相同，就断定这两个矩阵相似，这是初学者常犯的一个错误，请读者给予充分的注意.【解】由于2325100261002012300(2)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭232110022202036500(2)E B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭从而，A 与B 有相同的不变因子，故A 与B 相似. ■【例17】假设多项式12121()n n n n nf a a a a λλλλλ---=+++++ 有n 个不同的根12,,,n λλλ ，证明矩阵1210000100001000001n n n a a A a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭与 12n B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似. 【提示及点评】验证两个矩阵的不变因子相同即行. ■【例18】下列形式的矩阵112231000,,*i j n n a b a b H a a b C b a -⎛⎫ ⎪⎪⎪=∈ ⎪⎪⎪⎝⎭（其中j b 称为上对角元素）称为海森伯格矩阵.试证明：两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的特征多项式.【提示及点评】计算特征矩阵H E -λ的行列式因子，再依此进行证明. 【证明】由于特征矩阵112231000*n n a b a b E H a b a λλλλλ---⎛⎫⎪--⎪⎪-=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭如果0(1,2,,1)jb j n ≠=- ，由于HE -λ有一个1-n 阶的子式12211211000(1)00n n n b a b b b b b λ------=-≠-所以H E -λ的行列式因子1()1n D λ-=.由此得，H E -λ的行列式因子是121()()()1,()()||n n H D D D D f E H λλλλλλ-======- .于是，两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵1H 相似于2H ⇔1H E -λ与2H E -λ有相同的行列式因子⇔)()(21λλH H f f =. ■6．求矩阵的Jordan 标准形和有理标准形【例19】求下列数字矩阵的若当（Jordan ）标准形和有理标准形.（1）308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭；（2）2300020000420013A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 【提示及点评】可以先求出矩阵的初等因子，然后由初等因子写出矩阵的若当标准形及有理标准形.【解】（1）由于2308308100316112401020520500(1)E A λλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+-→++→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，初等因子是21,(1)λλ++，因此矩阵A 的若当标准形J 与有理标准形F 分别是100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，100001012F -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）容易算得，矩阵A 的初等因子是25,2,(2)λλλ---，所以，若当标准形J 与有理标准形F 分别是52212J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，520414F ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ■ 【知识扩展提示】从上面的例子可以看出，矩阵A 的若当标准形J = 有理标准形F 的充分必要条件是：矩阵A 的初等因子都是一次的.【例20】设308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. 求可逆矩阵T ，使得1T AT -成为若当标准形.【提示及点评】这是求相似变换矩阵的问题. 可先求出若当标准形，然后通过求解线性方程组来求可逆矩阵T .【解】由例19知道，矩阵A 的若当标准形是100010011J -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.设有可逆矩阵T ，使得1T AT J -=，则AT TJ =. 令()123,,T ααα=，其中123,,ααα是列向量组，那么1122333,,,A A A ααααααα=-=-+=-所以，13,αα是A 的属于特征值1λ=-的特征向量，且23,αα满足23()A E αα+=.下面先求向量2α，因223()()0A E A E αα+=+=，所以2α是齐次线性方程组2()0A E X +=的非零解，并且满足()0A E X +≠又因为2()0A E +=，所以每一个非零向量都是2()0A E X +=的非零解. 取()/21,1,1α=，则/32()(12,9,6)0.A E αα=+=-≠再从齐次线性方程组()0A E X +=求出一个属于特征值1λ=-的特征向量/1(2,0,1)α=-，此时取矩阵()1232112,,019116T ααα-==-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则T 可逆，且1100010011.T AT J --==--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭■ 7．矩阵最小多项式的计算及在证明中的应用求n 阶方阵A 的最小多项式()A m λ，通常采用如下三种方法：方法一试探法：首先求出A 的特征多项式()||f E A λλ=-，然后写出()f λ中包含A 的所有互异特征值的因式，最后验证这些因子是否是A 的零化多项式，其中次数最低的首一多项式即是()A m λ.方法二求出A 的若当标准形，再利用1212()()()()t r r r A t m λλλλλλλ=---其中i r 是A 的若当标准形J 中以i λ为对角元的若当块的最高阶数.方法三当A 的1-n 阶行列式因子1()n D λ-易于求得，利用1()()()A n f m D λλλ-=求最小多项式.【例21】求下列矩阵的最小多项式.(1)2300020000420013A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭； (2)2123021200210002A ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭；(3)308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 【解】(1) 因为3()||(2)(5)f E A λλλλ=-=--，其包含A 的所有互异的特征值的因式有：23(2)(5),(2)(5),(2)(5)λλλλλλ------，直接计算有(2)(5)0A E A E --≠，2(2)(5)0A E A E --=从而A 的最小多项式2()(2)(5)A m λλλ=--.(2) 显然可以求得E A λ-的三阶行列式因子3()1D λ=，而特征多项式4()(2)f λλ=-，所以最小多项式443()()()(2)()A f m d D λλλλλ===-.(3) 由例19知道，矩阵A 的不变因子是2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+，所以最小多项式是2()(1)A m λλ=+. ■【例22】求指定的数字矩阵A 的最小多项式 (1) 4阶矩阵A 的元素均是1；(2) 123331313;3;31333J J J ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (3) 已知3阶矩阵B 的特征值分别是1，-1，2，325A B B =- (4) ()()A A f m λλ=的充分必要条件是什么？(5) 若A 的特征值都是单根，那么()()A A f m λλ=对吗？【解】(1) 由于3()||(4)A f E A λλλλ=-=-，而计算知道(4)0A E A -=，所以最小多项式是()(4)A m λλλ=-.【知识扩展提示】题目可扩充为如果n 阶矩阵A 的所有元素都是a 且不为零，求其最小多项式. (2) 可以把矩阵看作若当标准形矩阵，其最小多项式由各个若当块的最小多项式的最小公倍式组成. 因此，3个矩阵的最小多项式分别是1()[3,3,3]3J m λλλλλ=---=-；222()[(3),3](3)J m λλλλ=--=-；333()[(3)](3)J m λλλ=-=-(3) 由于325A B B =-，而且矩阵B 的特征值分别是1，-1，2，由此，可以求得矩阵A 的特征值分别是-4，-6，-12.故A 的特征多项式()(4)(6)(12)A f λλλλ=+++，由此得到A 的最小多项式是()(4)(6)(12)A m λλλλ=+++.(4) 对于n 阶数字矩阵A ，()()A A f m λλ=的充分必要条件是E A λ-的行列式因子1()1n D λ-=. 这可从计算公式1()()()A n f m D λλλ-=得到.(5) 若A 的特征值都是单根，那么矩阵A 与一对角矩阵相似，从而知道最小多项式()A m λ没有。

高等代数第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型

X 3 1, 0, 0
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
0 4 1 P X 1, X 2 , X 3 1 3 0 0 2 0
例 2 求方阵
1 2 6 A 1 0 3 1 1 4
J 0 3 1 0 0 3
或
3 1 0 J 0 3 0 0 0 1
例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵
1 0 A 0 0
的Jordan标准形。
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为
矩阵的Jordan标准形定义：称 n 阶矩阵
ai Ji
1 ai
1 1 ai ni ni
为Jordan块。设 J1, J 2 ,, J s 为Jordan块，称准对角形矩阵
J1 J
J2
Js
X 3 2, 0, 1
T
T
再由第三个方程解出一个特解为
，那么所求相似变换矩阵为
1 2 2 P X 1, X 2 , X 3 1 1 0 0 1 1
从而有
1 0 0 1 P AP 0 1 1 0 0 1
故 A 的Jordan标准形为
0 0 0 J 0 0 0 0 0 2
或
0 0 0 J 0 2 0 0 0 0
求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法. 具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值 A （2）其Jordan标准形的主对角线上都是 i 在主对角线上出的特征值，并且特征值现的次数等于 i 作为特征根的重数。对于每 i ，求出以它为主对角元的各级个特征值 Jordan 块的数目N (i ) ，首先求出

若当(JORDAN)标准形

1 , i2, i2
8.6 若当标准形的理论推导
编辑ppt
19
A 的若当标准形为
1 0
1 1
10
11
10
11
1
1
i
1i
i 1
i
8.6 若当标准形的理论推导
编辑ppt
20
练习：求矩阵A的若当标准形
1 1 1
A
3 2
3 2
3 2
1 0 0
答案： E A0 0 0 0 2
( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s .
8.6 若当标准形的理论推导
编辑ppt
8
可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的. 由于每个若当块完全被它的级数与主对角线上的元素 0 所刻划，
而这两个数都反应在它的初等因子 ( 上0).n
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的
标准形
§3 不变因子
§4 矩阵相似的条件 §5 初等因子
§6 若当(Jordan)标准形的理论推导
小结与习题
编辑ppt
1
§8.6 若当标准形的理论推导
一、若当块的初等因子二、若当形矩阵的初等因子三、若当标准形存在定理
8.6 若当标准形的理论推导
0 0
0 0
0 2
.
8.6 若当标准形的理论推导
编辑ppt
18
例2、已知12级矩阵A的不变因子为
1 , 1 ,, 1 ,( 1 ) 2 ,( 1 ) 2 1 , 1 2 1 (2 1 ) 2
9 个
求A的若当标准形.
解：依题意，A的初等因子为

若当标准型求解

若当标准型的计算 1.首先，给出如下定义：
2. 矩阵的化简
方阵A的Jordan 标准形变换矩阵P的求法
• 目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA • 求法与步骤：根据前面的计算求出初等因子组
f ( ) I A ( 1 )k1 ( 2 )k2 ( s )ks

15
关于Jordan标准形的计算
由于计算涉及的内容偏多，有兴趣或需要的可以参见教材。另外很多定理的证明可参见北京大学出版社出版的<<高等代数>>教材的相关内容即可。
A2I
0 2

0 3

0
0 0 0

000

(A 2 I )2
0 0 6

0
0

0
R((A 2 I)) {(x,0, y, z,0)T | x, y, z C}
R((A 2 I)2 ) {x (0,0,1,0,0)T | x C}
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。再由 ( A 2 I ) p5 p4
p5 ( x, 0, z, 0, c / 6)T ( x, 0, z, 0, 0)T (0, 0, 0, 0, c / 6)T
很明显前一个向量属于N(A-2I)，因此可以去除的。
综合前面的两步可得
Jordan 标准形
我们称
其中
若当标准型的基本性质：
• 任意矩阵A若当标准型J可以写成 J=D+R的形式, 那么 DR= R D 证明：由于D和R为相同划分的块对角矩阵，因此乘积对应的块等于相应块的乘积，而D中相应分块为单位单位矩阵的数乘，即

矩阵若当标准形的一种算法

（A） = a 0 E + a 1 A + … + a m -1 Am -1 + Am = !. 显然，若g（是低于 m 次的多项式，则g （A） !）因此，称] （为 A 的最小多项式. !， !）引理! 复数! 0 是 A 的特征值的充分必要条（的根. 件是! !） ] 0 是 A 的最小多项式
矩阵标准形的理论是线性代数的重要内容，这方面的一个重要定理是若当标准形定理. 这个定理的推导是比较复杂的. 多数教材采用 !- 矩阵的方法. 这种方法不仅繁琐，而且没有指出计算过渡矩阵
［ 1， 2 ］有些书籍采用直接证明，即直接求出一的方法 .
组基的方法，实际做起来仍很复杂. 本文给出这个定理的一种简洁的证明方法，同时给出求过渡矩阵的一种简单算法.
Vol .30 No .5 M ay 2002
文章编号：（ 1000- 565 X 2002 ） 05- 0012- 04
矩阵若当标准形的一种算法
陶志穗洪毅
（华南理工大学应用数学系，广东广州 510640 ）
摘
要：若当标准形定理是线性代数的一个重要定理. 我们采用线性变换语言叙述和证
明了这个定理，同时给出求过渡矩阵的一种简洁算法. 关键词：矩阵；特征根；若当标准形中图分类号： 0 151 .2 文献标识码： A 若! 是 A 的特征根，的 x 是属于 ! 0 0 ，因此（A）（），但特征向量，则A x= ! x= ] ! 0x 0 x （A）故] （） x !， ! = !， 0 = 0. 是] （的根，则反之，若! !） 0 （）（）， !） !- ! =（ ] 0 g ! 因此，是 m - 1 次多项式，（A） !，所以存在 !） g g（向量 x !，使g （A），而 x ! ）（）（A）（A - ! x = !. 0E g A x = 所以g （A）的特征向量. 故! x 是A 的属于! 0 0 是 A 的特征值. 证明

【论文】矩阵的若当标准形的计算方法及其应用

摘要矩阵的若当标准形的求解方法在代数中有着极其重要的作用，在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、解微分方程等问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学和计算方法中是一个非常重要的工具.但是，在众多的教科书及包含矩阵理论的著作中，对矩阵的若当标准形的求解方法及其相似变换矩阵的介绍并不全面，所以显得这部分内容比较的简单，不容易被学生所重视.本论文首先阐述了矩阵的若当标准形的求解方法的背景、意义、研究现状、相关概念和性质定理，然后对矩阵的若当标准形的求解方法进行归纳和总结，并给出具体例题以便详细说明每一种解法的步骤与特点.同时，对各种方法进行比较，指出各种方法的优缺点和适应性，以期待能够帮助读者在解决与矩阵的若当标准形的求解有关题目时能够选择使用适当的方法，从而提高解题的效率；最后，鉴于矩阵的若当标准形在“矩阵方程论”、“矩阵函数论”以及“常微分方程”和“现代控制论”中都有广泛的应用，所以对矩阵的若当标准形的应用进行总结，并给出具体实例，强调理论联系实际的重要性.此外，利用所总结的矩阵的若当标准形的求解方法及其应用，教学者能更深刻地向学生展示数学方法的多样性与统一性，进一步培养学生的发散性思维，使学生能更深刻地理解数学之美.关键词：矩阵，若当标准形，计算方法，应用AbstractHow to get the Jordan Canonical form of a matrix has an extremely important role in the algebra. The Jordan Canonical form of a matrix can be used in calculating the determinant, the power of matrices, the decomposition of matrices, the solution of differential equations and so on. In addition, the Jordan Canonical form of a matrix is also a very important tool in mechanics and computational methods. However, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are not elaborated in many textbooks and books include matrix theory. In this paper, the background, the significance of research, the nature of the relevant concepts and theorems with respect to the Jordan Canonical form of a matrix are given firstly. And then, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are summarized and concluded, and there is a specific example of each method to help the readers understand the method. At the same time, comparisons of various methods are given. Finally, in view of the Jordan Canonical form of a matrix is wide used in the "matrix equation"、 " matrix function of "、" Ordinary Differential Equations "and" modern control theory ", the application of the Jordan Canonical form of a matrix are summarized. Furthermore, this paper can be used to help teachers show students the diversity and unity of mathematical methods and the beauty of mathematics.Key words:Matrix，Jordan Canonical form，solution，application目录第一章前言 (1)1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义 (1)1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状 (1)1.3 论文的结构安排 (2)第二章矩阵的若当标准形的相关概念与结论 (3)2.1 基本概念的介绍 (3)2.2 若当块、若当标准形的定义和性质 (4)2.3 矩阵的若当标准形的基本定理 (5)第三章矩阵的若当标准形的计算方法 (6)3.1 初等因子方法一 (6)3.2 初等因子方法二 (7)3.3 特征值方法一 (8)3.4 特征值方法二 (10)3.5 行列互逆初等变换法 (11)3.6 λ-矩阵初等变换法 (12)3.7 初等相似变换法 (14)3.8 幂零矩阵的若当标准形求法 (16)3.9 可分块矩阵的若当标准形的求法 (17)第四章矩阵的若当标准形的应用 (19)4.1 在计算矩阵多项式中的应用 (19)4.2 在矩阵的高次幂计算中的应用 (20)4.3 在证明过程中的应用 (22)4.4 在解线性微分方程组中的应用 (25)第五章总结 (27)参考文献 (28)致谢 (29)声明 (30)第一章前言1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义在高等代数和线性代数中，矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.同时矩阵也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.若当标准形定理是矩阵标准形理论的一个重要定理.矩阵的若当标准形在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、求解微分方程等数学问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学及其计算方法中也是一个非常重要的工具.鉴于矩阵的若当标准形在各个领域的重要性，讨论、归纳和总结矩阵的若当标准形的计算方法及矩阵的若当标准形的应用是有必要的，且具有一定的理论和实际意义.希望通过对若当标准形的的多种计算方法的总结和比较，加深笔者和读者对矩阵的若当标准形的理解和认识，进一步培养笔者和读者的发散性思维，从而有助于今后更好地利用该方法解决各类实际问题.1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状若当标准形是矩阵理论中不可缺少的部分，在研究矩阵若当标准形的过程中，大多是以矩阵若当标准形的基本定理[1]出发，即：每个n阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，它称为A的若当标准形.这个定理是计算矩阵的若当标准形各种方法的理论基础.根据这个基本定理和其他定理，能够得出其他的推论[2,3]，如：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.求解矩阵的若当标准形的最常见的方法是初等因子法、特征值法和初等变换法.初等因子方法是最为基础的求解矩阵若当标准形的计算方法.[4]中介绍了两种初等因子法求矩阵若当标准形的详细步骤，并给出简单的例子进行说明.文献[4～7]中介绍的求矩阵的若当标准形的方法是特征值法，该方法也是比较基础的计算方法.两种方法都是先求出矩阵的特征值，之后再根据不同的方法来求解矩阵的若当标准形。

6. 方阵的若当标准形

§6 方阵的若当标准形一、不变子空间设L 为一个实（或复）线性空间V 的一个线性变换，S 为V 的一个子空间，若S S ⊂L ，则称S 为关于L 的一个不变子空间.设s V V V ,,,21 是n 维线性空间V 的一个线性变换L 的不变子空间，V 可以用它们的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21来表示的充分必要条件是：在某基底下线性变换L 对应的矩阵A 可化为分块对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s A A A A 0021式中i A 的阶数分别等于i V 的维数),,2,1(s i =.二、方阵的标准化[若当块与若当标准方阵] 形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii m i i J λλλλ0101, 的m 阶方阵称为若当块，式中i λ是一特征值.一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块，而其余的子阵都是零矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s s m m m J J J J λλλ,,,2211O O （1）则称其为若当标准方阵或若当标准形. 注意，不同块里的这些i λ未必两两不同.[方阵的标准化]1o 特征值都不同的情形若一个方阵A 的特征值都不相等，则A 可以化为对角矩阵，它的主对角线上的元素就是这些特征值：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00212o 特征值有相等的情形任意方阵A 都可以化为与它相似的若当标准形（1），其中i λ 是它的特征值，i m 是特征值i λ的重数. 如不计若当块i i m J λ,的次序，则A 的标准形是唯一的.当且仅当一切若当块的阶i m 都等于1时，可化为对角矩阵. 这就是1o 的情形. 以上说明，假定A 是一个方阵，那末总可找到一个非奇异的方阵T ，使得方阵AT T 1-与A 相似.AT T J 1-=三、方阵标准化的方法与步骤[λ矩阵] 假定一个n 阶方阵A 的元素都是变数λ的复系数多项式 )(λA A =则)(λA 称为λ矩阵. 一个λ矩阵)(λA 的不恒等于零的子式的最高阶数r 称为)(λA 的秩. [不变因子与初等因子] 设r 为)(λA 的秩，k 是正整数r k ≤≤1，)(λk D 为)(λA 的一切k 阶子式的最高公因式，则)(λk D 是一个λ的多项式，规定)(λk D 的λ最高次项系数是1；此外规定)(0)(,1)(o n k r D D k ≤<==λλ 称⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=-)(0)()()()(1n k r n k r D D d k k k λλλ为)(λA 的不变因子.把每个)(λk d 分解为一次因子，得到),,2,1()()()()(2121r k d ikk k t i t t k =---=λλλλλλλ式中指数ik t 有的可能是零，当0≠ik t 时，ik t i )(λλ-称为)(λA 的一个初等因子.[初等变换·矩阵的等价] 对λ矩阵)(λA 的下列三种变换的有限次组合称为)(λA 的初等变换.（i ）任何两行（列）互换；（ii ）把任何一行（列）的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行（列）的相应的元素上；（iii ）把任何一行（列）的元素乘上同一个不等于零的复数. 应当指出，适当地施行（ii ），（iii ）两种变换可以得到（i ）.若)(λB 可由)(λA 经过有限次初等变换得到，则称)(λA 与)(λB 等价，记作)()(λλB A ≅. λ矩阵经过初等变换后，其不变因子和初等因子都不变.[λ矩阵的标准形] 设λ矩阵)(λA 的秩为r ，不变因子为)(,),(),(21λλλr d d d ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡≅000)()(0)()(21 λλλλr d d d A称右边的方阵为)(λA 的标准形. 它是由)(λA 唯一确定的.等价的λ矩阵具有相同的标准形.[特征矩阵] 方阵A 的特征矩阵)(I A λ-是一个特殊的λ矩阵. 所以 1o 若)(I A λ-的初等因子为 m s s m m )(,,)(,)(2211λλλλλλ--- 其中各i λ未必两两不同，则n m m m s =+++ 21 且有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---≅-ms s m m I A )(0)()(101)(2211λλλλλλλ 2o 如果n 阶λ矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=ms s m m B )(0)()(101)(2211λλλλλλλ 其中n m m m s =+++ 21，则)()(I J B λλ-≅式中J 为A 的若当标准形.3o 若A 的特征矩阵的初等因子为m s s m m )(,,)(,)(2211λλλλλλ---则 J A ~ J 为A 的若当标准形.[方阵标准化的步骤] 把方阵A 化为A 的若当标准形的步骤如下： (1) 利用初等变换把)(I A λ-化为对角矩阵，分解对角线上的多项式，就得到I A λ-的全部初等因子.(2) 相应于每个初等因子m )(0λλ-，作出一个m 阶的若当块⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000101λλλ (3) 把全部若当块合并起来就得到A 的若当标准形. 例1 求方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=412927313A 的若当标准形.解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=-λλλλ412927313I A 容易求出它的不变因子为1，1，2)2)(1(--λλ，所以初等因子是2)2(),1(--λλ，因此得到A的若当标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200120001 例2 求方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=01514121600140013A 的若当标准形. 解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-λλλλλ1514121600140013I A 经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000)1(0000)1(0000122λλ 所以初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ，相应的若当块为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011,1011 所以A 的若当标准形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000110000100011。

若当标准型

A1 A=
A2
i 0 A2 = J ( i , 2) = , 1 i
第六章线性空间
二,若当(Jordan)标准形
对于复数域上线性空间V上的线性变换 σ 来说,可以在V中找到一个基,使 σ 在这个基下的矩阵为若当形,这就是下面的定理,它回答了前面提出的问题. 定理7.8.1 设 σ 是C上n维线性空间V的一个线性变换,在V 中必存在一个基,使 σ 在这个基下的矩阵是若当形矩阵,且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是由 σ 唯一决定的,这个矩阵称为 σ 的若当标准形. 这个结论用矩阵的语言可叙述为: 定理7.8. 1′ 每个n阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似, 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外被矩阵A唯一确定,它称为A的若干标准形.
例如,
λi
1
λi
1
, λ1 , λ2 , λi t × t i i
, λs 可以相等.
1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 = J (1, 3), 0 0
0 0 0 i 0 0 0 0 = J (0, 4), = J ( i , 2) 1 0 0 1 i 0 1 0
都是若当块.
第六章线性空间
例7.8.1 以下若当形矩阵是由哪几个若当块组成?
1 1 0 A= 0 0 0
解:
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 1 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
, A3
1 0 其中 A1 = J (1, 2) = , 1 1 0 0 A3 ,其中 λ 是复数. J (λ , t ) 中的 t 表示若当块的阶数. 由若干个若当块组成的准对角矩阵就是若当形矩阵,其一般 A1 A2 , 其中 Ai = J (λi , t i ), i = 1, , s . 形式是: AS

一些情况下若尔当标准型的简解

问题：有没有简便的方法求若尔当标准型？记号：以下U ∗表示矩阵U 的共轭转置命题1：若存在酉矩阵U ，使得U ∗AU=B ，设A=【a ij 】，B=【b ij 】，则：|a ij |2n i,j=1= |b ij |2n i,j=1证明： |a ij |2n i,j=1=tr A ∗A , |b ij |2n i,j=1= tr B ∗B =tr U ∗A ∗AU ，由矩阵乘法在迹运算下的可交换知：tr A ∗AU U ∗= tr A ∗A ，得证由这个定理，则将矩阵A 酉相似为若尔当标准型后，记s= |a ij |2n i,j=1，t= |λi |2n i=1（λi 为A 的特征根），则s 与t 的差值即为若尔当标准型中剩下的1的个数。

对每个若尔当块J t 为n t ×n t ，有n t -1个“1”，设化为若尔当标准型后有k 个若尔当块，则s −t = （n i −1）=n-k ，故 k=n+t-s .命题：记号同上，矩阵A 的若尔当标准型中若尔当块的个数k= n+t-s . 推论：记号同上，则s-t 为非负整数，且等于0当且仅当A 可对角化当且仅当A 是正规矩阵.分析：记号同上，设矩阵A 的特征根λi 的重数为n i ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt ，对应重数为n t ，那么应该有n t -1个1，而其他的特征值由于互异，对应的若尔当块没有1，若矩阵A 一共有m 个不同的特征根，其中只有λi 的重数大于1，为n i ，那么λi 将对应k-m+1个若儿当块，此时可以很快写出若尔当标准型。

命题：记号同上，设矩阵A ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt，对应重数为n t，令p= k-m+1，若方程x1+……x p=n i的正整数解唯一，则可以直接写出A的若尔当标准型。

问题：对于其他情况将更加复杂，是否可以再多求解一下简单的量值的情况下求出其他情况下矩阵A的若尔当标准型？？？。

初等因子法求若尔当标准型

初等因子法求若尔当标准型初等因子法是一种数论中常用的方法，用于将一个整数分解为若尔当标准型的形式。

这种分解方法主要基于一个简单的概念，即一个整数可以被表示为一些互不相同的质数的乘积。

我们需要明确什么是若尔当标准型。

若尔当标准型是指一个整数被分解为一些质数的乘积，其中每个质数都是以指数形式出现的。

若一个整数为10，则它的若尔当标准型为2^1 * 5^1。

2和5均为质数，指数1表示它们出现的次数。

接下来，让我们详细介绍一下初等因子法的步骤。

我们需要将待分解的整数进行质因数分解。

这一步需要将整数依次除以所有可能的质数，直到不能再被整除为止。

对于整数200，我们可以将其依次除以2、3、5、7等质数，得到20、10、5与2的商。

接下来，我们需要确定每个质数的指数。

我们可以通过不断除以质数，直到不能再被整除为止，来确定它的指数。

对于整数200，我们可以依次除以2，得到100，再除以2，得到50，再除以2，得到25，最后再除以5，得到1。

我们将得到的质数与指数组合在一起，就得到了整数的若尔当标准型。

对于整数200，我们可以得到2^3 * 5^2。

初等因子法的优点是简单易行，适用于大多数整数的分解。

它也有一些局限性，比如对于较大的整数，计算时间会较长。

此时，我们可以采用其他更高级的算法，如Pollard rho算法、费马小定理等。

初等因子法是一种简单实用的方法，用于将一个整数分解为若尔当标准型。

它可以帮助我们更好地理解和研究整数的性质。

我们也可以结合其他算法进行更复杂的数论问题的求解。

3-3.方阵的若当标准型

其中，每个初等因子 (i )kti 对应J 的若当
子块 J it
Department of Mathematics
33
例6：求矩阵 1 1 0
A
4
3
0
1 0 2 的Jordan标准形。
解：先求出 A 的初等因子。对I A 运用初等
变换可以得到
所以 A 的初等
J
s
其中
Ji1
Ji
Ji2
J isi
mi mi
为A的特征值 i 的若当块, m i 为 i 的代数重复度
Department of Mathematics
31
而:
i 1
i 1
J it
i
1
i kti kti
为A的特征值 i 的若当子块,
t 1 ,2 , si ,i 1 ,2 , , .
换，相当于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A ( ) 。对A ( )
的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右
乘 A( ) 定义4 如果 A经( 过) 有限次的初等变换之后变成
B，( 则) 称与A ( ) 等价B (， )记之为
A()B()
定理2: A ( ) 与 B ( ) 等价的充要条件是存在两个可逆
为不变因子
Department of Mathematics
13
练习1
(1)
A()
(1)2
将其化成Smith标准形。
解：
(1)
A()
(1)2
Department of Mathematics
14
(1)
A()
(1)2
( 1)
( 1)

若当_JORDAN_标准形的计算方法及其在计算行列式中的应用

例1 求A= 矩阵 P 。
3 - 2
的 Jordan 标准形及变换
λ- 3 解:
1 0 0 0
0 0
- 8 - 6
出一类具有线性递推关系的行列式这类行列式的一种解 → 法 ,从而进一步说明若当标准形理论的重要性 , 应用的广泛性。二、 Jordan 标准形在计算行列式中的应用
a1 1 0 a2 a1 1
…
0 0
…
0
…
0
…
0
…
- 4
0 0 0 … 1 3 解 : 因为 Dn = 3Dn - 1 + 4Dn - 2 - 12Dn - 3 。 3 4 0 1 - 12 0 0 1 4 1 5 1 20 2n - 4 ,J
n- 4
取 Un =
…
Dn - k
- a2 0 1 0
…
Dn - k - 1
…
D1
从而
= ( - 2K2 , K1 , K2 ) T , 所以选取 K1 , K2 , 使得方程组 - 4 - 3 2 0 0 0 - 8 - 6 4 X1 X2 = X3 2K2 - K1 有解 . 容易求出 , 当 K1 = - K2
解步骤为 : [ 5 ] ( 1) 令 P = ( P1 ,P1 , …, Pt ) 其中 Pi ∈Cn ×n , 则由 AP = PJ 及分块矩阵的乘法可得 ( AP1 ,AP2 , …,APt ) = ( P1J 1 ,P2J 2 , …,PtJ t ) 。即 APi = PiJ i ,i = 1 ,2 , …,t 。( 2) 求 Pi 。
2
…
p- 2 Cp λ i p- 1 λ Cp 1 i p λ i

求若当标准型例题4阶

求若当标准型例题4阶本例题目，问一个分数的问题。

要求给一个方程式，求出这一个数量的数的平方和。

求这个数的乘积，和就是四则运算的减法运算。

若不想减分，也可以不写。

这道题给出了四个条件，要求用什么方式求？这三种类型都是题型特点，可以作为解题的标尺；或者直接写答案；也可以结合其他方法解题。

其实这样做有两个好处：第一、对于初学者来说，本题考察了一定范围内任意数都可以从不同方向得出结果；第二点说明了只要在求解这类题目时只考虑几个字母就行了。

本例题是先给出一个数。

一般情况下这种题型有两种解法，一是直接给出答案或一个答案；二是把题所求之值减去相应的系数进行求和(-1),再乘以相应得出结论或结果。

这种题型又称“一次不变式”或“求为式”或“不求为式”，它有三个特点：①计算简便；②要求数形结合；③有规律可循、条件易于证明。

解出后若能根据已知结果直接求答案更为省时省力，但此选项不是最终结果；也不是必选项）等。

这里我们要注意三个基本的条件:(1) x与 z成对(0-1)(2+4)=8等式中2x-9=0,,因此要做二次不等式才能得到答案，否则不能够求出问题也没有办法解决；因为x+1>4是数据点，所以无法通过运算得出答案。

所以需要二次元函数或者等差的代数形式为 y= x+2x-y轴的交点为坐标轴时,,也就是正方形时，然后用最小值得此答案；二次方程也可由 y= k 得到结果，但只有到x时才能算出题目中所要求的所有解的情况下。

②只需利用求出结果来计算。

注意本题是一道典型的二一、对于有多个数相乘的题，因为求出的数太多，求不出结果；出多个数而又未给出任何结果时不能用一次方程计算，只能通过求和来求解；②用不等式或二次不等式求出结果后，再根据结果来求得相应解项。

③因二次方程未给出结果而只需找出二次方程中的一阶解即可，所以用最小值的方法可以得到答案。

①由于本题用的二次方程是由 y=k- l x= k得到的结果，所以用求和结果计算就行了；②由于本题要求的所有解都是二次方程，所以用最小值就可以求得解项了；③对于多个数相乘的题，通过求出多个相乘的解即可，在求解的过程中二次元函数的性质必须同时满足(y= k+1)两个条件。

第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章矩阵的对角化、若当标准型§ 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。

一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ⨯∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。

下面定理1是显然的。

定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。

由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。

定理2 设n n A ⨯∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。

定义2设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为iλ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。

由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。

定理3 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则rank()i i n n I A αλ=--证明特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以dim dim ()ii i n V N I A λαλ==-dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=--例1 求123323001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 123det()32301I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。

1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--2233rank 3331000---⎡⎤⎢⎥=----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--3233rank 3231005--⎡⎤⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理4 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。

若当(Jordan)标准形介绍

1 1 0 A = 0 1 0 0 0 1
• 矩阵
• 的最小多项式是: (x-1)2 的最小多项式是: (x-
1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 矩阵A = 与矩阵B = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 的最小多项式都是( x − 1) 2 ( x − 2).
1

0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0
矩阵A与B的最小多项式相同但它们的特征值不同(特征多项式不同),从而A和B不是相似矩阵
引理3.设A是一个准对角矩阵
A1 A= A 2
如果A1的最小多项式是g1(x),A2的最小多项式是g2(x),则A的最小多项式是g1(x)和 g2(x)的最小公倍式[g1(x),g2(x)]. 推论: 推论:准对角矩阵的最小多项式是个块矩阵最小多项式的最小公倍式. 阵最小多项式的最小公倍式.
用最小多项式判断一个矩阵能否对角化的问题引理1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 引理1.矩阵A的最小多项式是唯一的. 1.矩阵证明: d(x)与g(x)都是矩阵A 证明:设d(x)与g(x)都是矩阵A的最小多项都是矩阵 g(x)且 |d(x),从而式,则d(x)| g(x)且g(x) |d(x),从而 d(x)= g(x). 引理2.设是矩阵A的最小多项式, 引理2.设g(x)是矩阵A的最小多项式,那么 2. 为根的充分必要条件是g( f(x)以A为根的充分必要条件是g(x)整除 f(x).
关于约旦形矩阵的主要结论: 关于约旦形矩阵的主要结论:
设A是复数域上n维线性空间V的线性变换. 是复数域上n维线性空间V的线性变换. 中必定存在一组基, 在V中必定存在一组基,使A在这组基下的矩阵是若当形矩阵,并且这Jordan Jordan形矩阵矩阵是若当形矩阵,并且这Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外,是被A Jordan块的排列次序外除去其中Jordan块的排列次序外,是被A 唯一决定的-称为矩阵A Jordan标准形标准形. 唯一决定的-称为矩阵A的Jordan标准形.

方阵的若当标准型

在上式中，所有指数大于零的因子
( j )eij ,eij 0,i 1,L , r, j 1,L , s
称为矩阵A() 的初等因子
例4 如果矩阵A() 的不变因子为
d1 1
则A() 的初等因子为
d2 ( 1) d3 ( 1)2( 1)2 d4 2( 1)3( 1)3( 2)
( 1)2 1
A3()
2
2
那么
A1() 0
0
A(
)
0
A2 ()
0
0
0 A3()
对于 A3() ，其初等因子为, 1, 1
由上面的定理可知 A() 的初等因子为
,,, 1, 1, 1
A() 的不变因子为
d4 ( 1)( 1), d3 ( 1),
d2 , d1 1
Dk ()
规定: D0( ) 1
显然，如果 rank( A()) r ，则行列式因子一共有r
例个1 求
1 2
A(
)
的各阶行列式因子。
1 2 2 2
由于 (1 , ) 1 ，所以D1() 1 。
1 2 (2 1) f ()
1 2 3( 1) g()
2 1 2
所以：At1 [t1 , t2 , , tn ] j1 At2 [t1 , t2 , , tn ] j2 解方程并选择适当的
t1 , t2 , , tn 即得。
Atn [t1 , t2 , , tn ] jn
称T 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的
一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题
A( ) B( )
定理2: A() 与B() 等价的充要条件是存在两个可
逆
P() Q()

若当标准型求解

若当标准型求解

高等代数_若当标准形

高等代数 第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型

若当(JORDAN)标准形

若当标准型求解

矩阵若当标准形的一种算法

【论文】矩阵的若当标准形的计算方法及其应用

6. 方阵的若当标准形

若当标准型

一些情况下若尔当标准型的简解

初等因子法求若尔当标准型

3-3.方阵的若当标准型

若当_JORDAN_标准形的计算方法及其在计算行列式中的应用

求若当标准型例题4阶

第三章矩阵对角化、若当标准型

若当(Jordan)标准形介绍

方阵的若当标准型

高等代数第9章矩阵的标准型 9.6 若当标准型