有限元分析可能会出现什么错误

图一 应变能随单元尺寸变化图
有限元分析可能会出现什么错误？
当有限元分析扩散向可能没有正式数字化程序培训的设计者的时候，专业人员必须问“最适当的方法是否被采用？这些方法是否产生了精确的结果？”
在今天的设计领域，有限元方法被广泛的应用，其中包括各种各样的通用商业软件和适合某专业领域的专业软件。

这些方法日益增长的被用，在帮助确定好的新的设计的同时改良了设计性能和成本。

考虑到有限元方法在各个设计领域起着重要的作用，专业人员需要问他们自己“他们的设计程序是否是可获得的最适合的技术？这些方法是否会产生精确的结果？”。

这些问题是非常重要的，因为越来越多的设计
人员不见得受过数字化程序培训，但
是他们却在他们的工作中应用有限元
方法。

右图是应变能量随单元尺寸减小
的变化示意图。

从图中可以看出应变
能会随着单元尺寸的减小而收敛。

当这些有限元方法被向越来越多且越来越广的群体广泛的应用的时
候，用户必须问有限元分析会出现什么样的错误。

本文目的不是在广义上解决这个问题，更恰当的说，我们必须集中焦点于有限元方法的可靠性和准确应用方面。

为了便于说明，我们考虑线弹性问题，假设有限元的代数方程精确地被求解。

对于复杂的分析，考虑这些条件的同时，还有一些额外的要求也有必要得到。

数学模型
首先，设计人员应该记住有限元方法是为了求解数学模型，这数学模型是实际物理问题的理想化结果。

数学模型是建立在考虑几何、材料特性、加载条件和位移边界条件等假设的基础上的。

数学模型的指导方程是考虑到边界条件的偏微分方程。

这些方程不能用封闭的解析方式求解，因此，设计人员要借助有限元方法获得一个数值解。

例如，考虑一个几何和载荷为轴对称的阀套。

在这种条件下，考虑轴对称分析条件是合理的。

分析的数学模型可以通过指定几何尺寸、支撑条件、材料常数和加载条件来获得。

虽然通常情况下设计人员不能用封闭方程的数学模型的精确解，但是这个数学模型的精确解是存在的，且是唯一的。

高精度的精确解的近似解可以用有限元方法求得。

为了充分理解这些观察到的，必须要有收敛概念。

这里E 表示应变能的数学模型的精确解（未知的），Eh 表示对应于单元尺寸h 的应变能的有限元解。

那么收敛表示为：
上述图一中的示意图表明了收敛是如何达到。

当单元网格趋于精确时（这就意味着单元尺寸h 的减少），应变能Eh 将趋向于数值E 。

E 和Eh 之间的误差值的减少速度视解答的题目，也依靠采用单元类型和网格质量。

明显地，网格细化过程中高阶单元减少误差率比低阶单元快。

可靠性问题
有限元方法的可靠性是指，在提出很好的数学模型求解时，有限元程序有两个特性。

第一，在任何材料特性、位移边界条件和加载条件下，当单元尺寸h 趋向0时，有限元的结
果会向着数学模型的精确解收敛，合理的有限元网格可以得到一个合理的有限元答案。

此外，当材料特性（或板壳的厚度）变化时，有限元结果的质量不会发生彻底地剧烈变化。

上述条件时非常重要的。

如果违背了第一个收敛性条件，这变细的网格所得到的有限元分析渐进的结果也不是数学模型的精确结果。

这样的误差结果可能导致错误设计，随之带来不幸的后果。

当然，违背收敛性的有限元方法也不应该被采用。

为了考虑第二个条件，即用合理的网格得到合理的结果，假设阀套采用的是钢铁材料（杨氏模量是2E5Mpa，泊松比是0.30）。

用合理的网格能得到一个能够接受的结果，即误差|E—Eh|是可以接受的小。

假如我们现在把材料变为塑料的，材料的泊松比是0.49（接近不能压缩情况0.50）。

材料情况的变化会导致精确解相对小的变化，那么它也应该导致相应的有限元结果的一个小的变化。

不幸的是，现用的有限元公式违背了第二个条件，这使得当泊松比变化到0.49时，有限元结果会产生一个非常大的误差。

这解答现象是遵守“以位移为基础的有限元”。

大误差的存在是因为当泊松比v接近0.50时，单元的刚度太大，，所以当V＝0.50时，不能被用的。

这个问题出现的力学原因是：考虑到应力p=Ke v，p为压力，K为体积模量，ev为体积应变，当v趋近于0.50时，K变得非常的大，当V＝0.50时，它是无限大。

再者，在精确解中，是当n趋近于0.50时，ev变得非常的小，当V＝0.50时，它为零。

因此，在一个几乎不能压缩的分析中，压力是被赋予一个大的数（体积模量）和一个很小的数（体积应变）相乘，应力必须被精确计算来平衡这种表面力。

当体积模量变的非常大时，压力一直是个有限数，因此当v趋于0.50时它通常的变化是不大。

作为“位移为基础的有限元方法”补救，“减缩积分”被采用。

这意味着在单元刚度矩阵的数值积分中，精确的矩阵是不能被计算的。

这个方法是简单地用于规划，它为了用少的计算时间建立单元刚度矩阵，常常通过经验来获得可以接受的结果。

然而，这个方法也会导致非常大的误差。

考虑后续章节中提到的支架的频率分析。

在这个分析中，采用九个节点的单元，相应于全数值积分的是323个高斯积分，对应于减缩积分的是222个高斯积分。

因为对于支架的频率，没有封闭形式的分析结果存在，所以一个很细的网格模型（16264个单元的模型）用以获得精确解。

主要关注用16个粗糙单元的分析结果。

正像理论预测的一样，用全积分方法，16个粗糙单元的模型的频率比精确解大。

当采用减缩积分方法时，某些频率比采用全积分方法更近似，但是在这些频率中出现了幽灵的频率。

幽灵频率的概念在实际上是不存在的，它是减缩积分方法引出的。

如果完成一个逐步的动态计算，这种幽灵频率不会被注意到，它吸收能量，因此会给计算结果带来很大的误差。

误差测量可得到结果表明误差是大的，但是误差大小在动态分析中常常不能得到。

因此，减缩积分是不可靠的，应该避免。

取而代之的是应用最佳的可靠的混合有限元公式，它不采用减缩积分。

这种公式是可以得到的，它满足了条件一和条件二，能够可靠地用于计算任何材料特性、加载和边界条件的数学模型。

一个“位移/压力为基础的公式化”是特别值得关注的。

当所分析的支架采用的是不可压缩的塑性材料时，如材料的泊松比为0.499，，这个公式也可以有效地被用于非线性分析，这种分析中经常要考虑不可压缩的边界条件。

一般具有非弹性情形是：塑性、蠕动的和橡胶似的情形。

导致不可压缩的特性。

对板和壳结构进行这种几乎不能压缩的分析时也会遇到同样的麻烦。

现在，一些有限元技术仍然用减缩积分，而计算的结果误差会很大。

现在可靠的公式是可以得到的，所以应该用可靠公式代替这种减缩积分。