2012年新观察八年级数学专题专题_与角平分线有关的问题(扫描版有答案)

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部编数学八年级上册专题08内外角平分线问题(解析版)含答案

专题08 内外角平分线问题类型一一内一外求角1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E．（1）求∠E的度数；（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行解答即可；（2）根据（1）中的推导过程进行推论即可．【详解】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,∴∠A =2∠E ，∵∠A =40°，∴∠E =20°.（2）∠A =2∠E .理由如下：∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACD =2∠DCE ，由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠DCE =∠E +∠CBE ，∴∠A +∠ABC =2（∠E +∠CBE ）,∴∠A =2∠E ，【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．2．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到12Ð=Ð，34Ð=Ð，再根据三角形外角性质得1234A Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，13D Ð=Ð+Ð，则2123A Ð=Ð+Ð，利用等式的性质得到12D A Ð=Ð，然后把A Ð的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵ABC Ð的平分线与ACE Ð的平分线交于点D ，∴12Ð=Ð，34Ð=Ð，∵ACE A ABCÐ=Ð+Ð，即1234A Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，∴2123AÐ=Ð+Ð，∵13DÐ=Ð+Ð，∴11301522D AÐ=Ð=´°=°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________．【答案】80°.【解析】【详解】试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，然后整理得到∠PCD=12∠A，再代入数据计算即可得解．在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PCB，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，∴∠P+∠PCB=12（∠A+∠ABC）=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠PCB，∴∠PCD=12∠A，∴∠BPC=40°，∴∠A=2×40°=80°，即∠BAC=80°．考点：三角形内角和定理．4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D 的度数为（）A．90°+12m°-12n°B．90°-12m°+12n°C．90°-12m°-12n°D．不能确定【答案】C【解析】【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.【详解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=12m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=12∠ACE=()111809022-=-o o o on n在△BCD中，∠DBC=12m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=1902+o o n，∴∠D=1111180DBC BCD=180********æö-Ð-Ð--+=--ç÷èøo o o o o o o o m n m n 故选C.【点睛】本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.5．如图，在ABC V 中，点D 在边BA 的延长线上，∠ABC 的平分线和∠DAC 的平分线相交于点M ，若∠BAC ＝80°，∠AB C ＝40°，则∠M 的大小为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】C【解析】【分析】先由80,BAC Ð=° 结合角平分线求解,,MAC MAB ÐÐ 再利用角平分线与40,ABC Ð=°求解ABM Ð，利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠BAC=80°，∴100,DAC Ð=°AM Q 平分,DAC Ð150,2MAC DAC \Ð=Ð=° 130,BAM BAC MAC \Ð=Ð+Ð=°Q ∠ABC=40°，BM 平分ABC Ð，∴∠ABM=20°，∴∠M=1802013030,°-°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，熟记定理和概念是解题的关键．6．如图，已知BD 为ABC V 中ABC Ð的平分线，CD 为ABC V 的外角ACE Ð的平分线，与BD 交于点D ．若∠ABD =20°，50ACD Ð=°，则A D Ð+Ð=（）A ．70°B ．90°C ．80°D ．100°【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠DCE 、∠ACE 、∠DBC ，根据三角形外角性质求出∠A 、∠D ，即可求出答案．【详解】解：∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于D ，∠ABD =20°，∠ACD =55°，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =20°，∠ACD =∠DCE =12∠ACE =50°，∴∠ABC =40°，∠ACE =100°，∴∠A =∠ACE -∠ABC =60°，∠D =∠DCE -∠DBC =50°-20°=30°，∴∠A +∠D =90°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．如图所示，在Rt ABC △中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB=（）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°【答案】B【解析】【分析】过点E 作ED BC ^，EH AB ^，EF AC ^，利用角平分线性质结合三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作ED BC ^，EH AB ^，EF AC ^，∴BE ，CE 是角平分线，∴ED EH =，ED EF =．∴EH EF =．∵EH AB ^，EF AC ^，∴AE 是BAF Ð的角平分线．∵60CAB Ð=°，∴30CBA Ð=°，60=°∠BAE ，∴75ABE Ð=°，由三角形内角和可得：45AEB Ð=°．故答案为：45．【点评】本题考查的知识点是角平分线性质，综合利用角平分线的性质是解此题的关键．8．如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2，⋯，∠A 3BC 与∠A 3CD 的平分线相交于点A 4，得∠A 4，则∠A 4的度数为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知11118022A A Ð=Ð=´°，212118022A A Ð=Ð=´°，¼，依此类推可知4A Ð的度数【详解】解：ABC ÐQ 与ACD Ð的平分线交于点1A ，11118022A ACD ACB ABC \Ð=°-Ð-Ð-Ð，11180()(180)22ABC A A ABC ABC =°-Ð+Ð-°-Ð-Ð-Ð，11804022A =Ð=´°=°，同理可得，21211802022A A Ð=Ð=´°=°，¼4480521A \Ð=´°=°．故选：A ．【点睛】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．类型二内外角分线进阶9．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB 的角平分线与∠ABC 的邻补角的平分线相交于点P ，且∠D +∠C ＝210°，则∠P ＝（）A ．10°B ．15°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】【分析】利用四边形内角和是360°可以求得150DAB ABC Ð+Ð=°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 PAB ABP Ð+Ð的度数，所以根据ABP D 的内角和定理求得P Ð的度数即可．【详解】解：210D C Ð+Ð=°Q ，360DAB ABC C D Ð+Ð+Ð+Ð=°，150DAB ABC \Ð+Ð=°．又DAB ÐQ 的角平分线与ABC Ð的外角平分线相交于点P ，111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC \Ð+Ð=Ð+Ð+°-Ð=°+Ð+Ð=°，180()15P PAB ABP \Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．10．如图，在V ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠DOC ＝48°，则∠D ＝_____°．【答案】42【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD ＝12∠ACE ，∵∠ACB +∠ACE ＝180°，∴∠OCD ＝∠ACO +∠ACD ＝12（∠ACB +∠ACE ）＝12×180°＝90°，∵∠DOC ＝48°，∴∠D ＝90°﹣48°＝42°，故答案为：42．【点睛】本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角．11．如图，等腰ABC V 中，顶角42A Ð=°，点E ，F 是内角ABC Ð与外角ACD Ð三等分线的交点，连接EF ，则BFC Ð=_________°．【答案】14【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC 和∠ACB ，再根据三角形外角的性质可求∠ACD ，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC 和∠BCF ，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC ．【详解】解：∵等腰△ABC 中，顶角∠A=42°，∴∠ABC=∠ACB=12×（180°-42°）=69°，∴∠ACD=111°，∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，∴∠FBC=13×69°=23°，∠FCA=23×111°=74°，∴∠BCF=143°，∴∠BFC=180°-23°-143°=14°．故答案为：14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__．【答案】 48°， 24°， 96°×1 (2n【解析】【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝96°，∴∠A1＝48°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝2×2∠A2＝96°，∴∠A2＝24°，∴∠A＝2n n AÐ，∴1962nnAæöÐ=°´ç÷èø．故答案为48°，24°，96°×1 ()2n．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数【答案】∠P=25°．【解析】【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．【详解】解：延长ED，BC相交于点G．在四边形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP=12（∠DCB-∠CDG）=1 2∠G=12×50°=25°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．类型三综合解答14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．【答案】不变，45°【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【详解】解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠4＝12∠ABY＝12（90°+∠OAB）＝45°+12∠OAB，即∠4＝45°+∠1，又∵∠4＝∠C+∠1，∴∠C＝45°．【点睛】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E.（1）∠DBE 的度数;（2）若∠A=70,求∠D 的度数;（3）若∠A=a ,求∠E 的度数(用含a 的式子表示).【答案】（1）90DBE Ð=°；（2）35D Ð=°；（3）1902E a Ð=°-【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得11,,22DBC ABC EBC FBC Ð=ÐÐ=Ð 再根据平角的定义可得出结论；（2）根据角平分线的定义可得11,,22DCG ACG DBC ABC Ð=ÐÐ=Ð 再根据三角形外角的性质可推出2A D Ð=Ð则可求出∠D 的度数；（3）由第（2）问的结论可知1122D A a Ð=Ð=，再加上第（1）问的结论90DBE Ð=°，则可表示出∠E 的度数.【详解】（1）∵BD 平分ABC Ð，BE 平分,FBC Ð∴11,,22DBC ABC EBC FBC Ð=ÐÐ=Ð∵180ABF Ð=°∴1()902DBE DBC EBC ABC FBC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°（2）∵CD 平分ACG Ð, BD 平分ABCÐ∴11,,22DCG ACG DBC ABC Ð=ÐÐ=Ð∵ACG A ABC Ð=Ð+Ð∴22DCG A DBCÐ=Ð+Ð∵DCG D DBCÐ=Ð+Ð∴222DCG D DBCÐ=Ð+Ð∴2A DÐ=Ð∴11703522D A Ð=Ð=´°=°（3）由（2）知1122D A a Ð=Ð=∵90DBE Ð=°∴1902E a Ð=°-【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键.16．已知，在四边形ABCD 中，∠F 为四边形ABCD 的∠ABC 的平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A ＝α，∠D ＝β，（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F ＝____（用含α，β的式子表示）；（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F ，且∠F ＝___（用含α，β的式子表示）；（3）当α，β满足条件___时，不存在∠F ．【答案】（1）12（α+β）﹣90°；（2）90°﹣12（α+β）；（3）α+β＝180°．【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可；（3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在．【详解】解：（1）如图：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠DCE，∴∠F+∠FBC＝12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝12（∠A+∠D）+12∠ABC﹣90°，∴∠F＝12（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠F＝12（α+β）﹣90°；（2）如图3，由（1）可知，∠BCD ＝360°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠ABC ，∴∠DCE ＝180°﹣（360°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠ABC ）＝∠A+∠D+∠ABC ﹣180°，∴∠FCE ＝∠F+∠FBC ，∵∠FBC ＝12（360°﹣∠ABC ），∠FCE ＝180°﹣12∠DCE ，∴∠F=∠FCE ﹣∠FBC=180°﹣12（∠A+∠D+∠ABC ﹣180°）﹣12（360°﹣∠ABC ），∴∠F=90°﹣12（∠A+∠D ）∴∠F ＝90°﹣12（α+β）；（3）当α+β＝180°时，∴∠F ＝90°﹣118002´°=，此时∠F 不存在．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．17．如图，90MON Ð=°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，BC 是ABN Ð的平分线，BC 的反方向延长线与BAO Ð的平分线交于点D ．①若60BAO Ð=°，则D Ð为多少度？请说明理由．②猜想：D Ð的度数是否随A 、B 的移动发生变化？请说明理由．（2）如图2，若13ABC ABN Ð=Ð，13BAD BAO Ð=Ð，则D Ð的大小为度（直接写出结果）；（3）若将“90MON Ð=°”改为“MON a Ð=（0180a °<<°）”，且1ABC ABN n Ð=Ð，1BAD BAO n Ð=Ð，其余条件不变，则D Ð的大小为度（用含a 、n 的代数式直接表示出米）．【答案】（1）①45°，理由见解析；②∠D 的度数不变；理由见解析（2）30 ；（3）a n【解析】【分析】（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=12∠ABN=75°、∠BAD=12∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D 度数；②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD 可得答案；（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD 可得答案；（3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=n a +β，由∠D=∠ABC-∠BAD 得出答案．【详解】解：（1）①45°∵∠BAO=60°，∠MON=90°，∴∠ABN=150°，∵BC 平分∠ABN 、AD 平分∠BAO ，∴∠CBA=12∠ABN=75°，∠BAD=12∠BAO=30°∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，②∠D 的度数不变．理由是：设∠BAD=α，∵AD 平分∠BAO ，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，∵BC 平分∠ABN ，∴∠ABC=45°+α，∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；（2）设∠BAD=α，∵∠BAD=13∠BAO，∴∠BAO=3α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，∵∠ABC=13∠ABN，∴∠ABC=30°+α，∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；（3）设∠BAD=β，∵∠BAD=1n∠BAO，∴∠BAO=nβ，∵∠AOB=α°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，∵∠ABC=1n∠ABN，∴∠ABC=an+β，∴∠D=∠ABC-∠BAD=an+β-β=an.【点睛】本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键．。

八年级数学角平分线综合(综合)(含答案)

=90°- 66°=57°
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
7.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC的度数为( )
A.30° B.35°
C.37.5° D.40°
答案：A
解题思路：
α=∠AEC+β，
∴∠BEC=90°- ∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确.
故选D
试题难度：三颗星知识点：略
∴∠E=∠ECD-∠EBC= ∠ACD- ∠ABC= (∠ACD-∠ABC)= ∠A
= 40°=20°
故选B．
试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到点D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2的度数为( )
A.24° B.48°
C.12° D.69°
答案：A
解题思路：
如图，
设，，
∠ACD看作是△ABC的一个外角，则，
∠A1CD看作是△A1BC的一个外角，则，
消去α，β，得到．
同理可以得到，即，
因为∠A=96°，所以．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：略
5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠BCF的平分线CE的反向延长线相交于点D，若∠A=30°，则∠D的度数为( )
∵∠CBP是△ABC的一个外角，∠BCQ是△ABC的一个外角，
∴∠CBP=∠A+∠ACB，∠BCQ=∠A+∠ABC，
∴∠CBF+∠BCF= (∠A+∠ACB)+ (∠A+∠ABC)

部编数学八年级上册专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法(解析版)(人教版)含答案

专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð的平分线OC 上的任意一点，PD OA ∥交OB 于点D ，PE OA ^于点E ，如果8cm OD =，求PE 的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PF ＝PE ，∠EOP ＝∠DOP∵PD P OA ，∠AOB ＝30°，∴∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠DPO ＝∠EOP ＝∠DOP ，∴ PD ＝OD ＝8cm在Rt △PDF 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF =12PD =4cm ，∴ PF ＝PE ＝4cm ．【变式训练1】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，点,D E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð．求证： AD 平分BAC Ð．【答案】见解析【详解】证明：过点D 作DF AB ^于点F ． 90DFB \Ð=°90ACB Ð=°Q ,DFB ACB DC AC \Ð=Ð^．在DCE D 和DFB D 中，,,,DCE DFB DEC B DE DB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DCE DFB AAS \D D ≌．DC DF \=．\点D 在BAC Ð的平分线上．\AD 平分BAC Ð．．【变式训练2】图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ．AE ＝AB ，AF ＝AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)EC ＝BF ；(2)EC ⊥BF ；(3)连接AM ，求证：AM 平分∠EMF ．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAF +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵AE AB EAC BAF AF AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC ＝BF ；(2)根据（1），∵△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC ＝∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°，∴∠AEC +∠ADE ＝90°，∵∠ADE ＝∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF +∠BDM ＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为______cm 2．【答案】4.5【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠EBP，∵AP ⊥BP ，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP PB PB APB EPB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP=PE ，∴,APB EPB ACP ECP S S S S ==V V V V ∴119 4.522BPC ABC S S ==´=V V cm 2，故答案为4.5．【变式训练1】如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，若BD ＝4，则CE ＝________．【答案】2【详解】解：如图，延长BA 、CE 相交于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△BCE 和△BFE 中，90ABD CBD BE BE BEF BEC ìïíïÐÐÐÐ°î＝＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （ASA ），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE ⊥BD ，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF ，在△ABD 和△ACF 中，90ABD ACF AB AC BAC CAF ìïíïÐÐÐÐ°î＝＝＝＝，∴△ABD ≌△ACF （ASA ），∴BD=CF ，∵CF=CE+EF=2CE ，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F. 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,90ACF BCD AC BC FAC DBC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ACF ≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=12BD ，∴AE=12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB=BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C=90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD=DF.类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例1.已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB Ð和ABD Ð，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AB=AC+BD，证明见详解．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵//AC BD，∴∠F=∠CAF，∵AE平分CABÐ，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵BE平分ABFÐ，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)43AE+CD=AC，证明见解析【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC =90°+12∠ABC ；(2)解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L ，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MONS AO ON S D D =，∵AOM MON S AM S MN D D =，∴AO AM ON MN=，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【变式训练2】如图，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ．求证：AE 是∠DAB 的平分线．（提示：过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ．）【答案】见解析【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC =60°，理由见解析【解析】(1)证明：∵∠BDC =∠BAC ，∠DFB =∠AFC ，又∵∠ABD +∠BDC +∠DFB =∠BAC +∠ACD +∠AFC =180°，∴∠ABD =∠ACD ；(2)证明：过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，如下图所示：则∠AMC =∠ANB =90°．∵OB =OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，由(1)可知：∠ABD =∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN (AAS )，∴AM =AN ．∴DA 平分∠CDE ．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC 的度数为60°，理由如下：在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，如下图所示：∵CD=AD+BD ，∴AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD =∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP (SAS ) ，∴AD=AP ，∠BAD =∠CAP ，∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【变式训练4】已知：如图1，在ABC V 中，AD 是BAC Ð的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2Ð=ÐABE ACE ．（1）如图2，若18Ð=°ACE ，且EA EC =，则DEC Ð=________°，AEB Ð=_______°．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE Ð和BAC Ð的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）3180Ð+Ð=°ABE BAC 【详解】（1）∵18Ð=°ACE ，且EA EC =，∴∠EAC =∠ACE =18°，∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴∠BAD =∠CAD =18°，∵2Ð=ÐABE ACE ，∴∠ABE =36°，∴1801836126Ð=°-°-°=°AEB ；故答案为：36，126（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，又∵AE =AE ，EAF EAB Ð=Ð，∴()V V ≌AEF AEB SAS ，∴EF EB =，AFE ABEÐ=Ð∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ，∠ABE =2∠ACE ，∴FEC FCE Ð=Ð，∴EF FC=∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =，∴BED BDE Ð=Ð，∵BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，∠CAD =∠BAE ，∴∠ACD =∠ABE ，∵∠ABE =2∠ACE ，∴∠ACD =2∠ACE ，∴CE 平分∠ACB ，∴点E 到CA 、CB 的距离相等，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴点E 到AC 、AB 的距离相等，∴点E 到BA 、BC 的距离相等，∴BE 是ABD Ð的平分线，∴∠ABE =∠CBE ，∴Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又∵180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，∴2180Ð+Ð+Ð=°ABE ABE BAC ，即3180Ð+Ð=°ABE BAC ．课后训练1．如图①，CDE Ð是四边形ABCD 的一个外角，AD //BC ，BC BD =，点F 在CD 的延长线上，FAB FBA Ð=Ð，FG AE ^，垂足为G ．(1)求证：①DC 平分BDE Ð；②BC DG AG +=．(2)如图②，若4AB =，3BC =，1DG =．求AFD Ð的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵AD ∥BC ，∴∠C =∠CDE ，∵BC =BD ，∴∠C =∠CDB ，∴∠CDB =∠CDE ，∴DC 平分BDE Ð；②如图，过点F 作FH ⊥BD ，交BD 延长线于H ，∵∠FDG =∠CDE ，∠FDH =∠CDB ，∠EDC =∠CDB ，∴∠FDG =∠FDH ，∵FG ⊥AE ，FH ⊥BD ，∴FH =FG ，∠H =∠FGD =∠AGF =90°,∵FD =FD ，∴Rt △FHD ≌Rt △FGD （HL ），∴DH =DG ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴Rt △FHB ≌Rt △FGA （HL ）∴BH =AG ，∵BD =BC ，∴AG =BH =BD +DH =BC +DG ，即AG =BC +DG ；(2)解：∵AB =4，BC =3，DG =1，∴BD =BC =3，AG =BC +DG =3+1=4，∴AD =AG +DG =4+1=5，∵AB 2+BD 2=42+32=52=AD 2，∴∠ABD =90°，过点F 作FM ⊥AB 于M ，交AD 于N ，如图，则∠AMF =∠BMF =90°=∠ABD ，∴FM ∥BD ，∴∠BFM =∠FBD ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴AM =12AB =2，∠AFM =∠BFM ，∴∠AFM =∠FBD ，由（1）②知，Rt △FHB ≌Rt △FGA ，∴∠FAG =∠FBD ，∴∠FAG =∠AFN ，∵FM ∥BD ，∴∠MFD =∠BDC ，∵∠BDC =∠CDE =∠FDG ，∴∠MFD =∠FDG ，∴∠AFM +∠FAG +∠DFN +∠FDG =180°，∴2∠AFM +2∠DFN =180°，∴2∠AFD =180°，∴∠AFD =90°．2．已知：如图1，四边形ABCD 中，135ABC Ð=°，连接AC 、BD ，交于点E ，BD BC AD AC ^=，．(1)求证：90DAC Ð=°；(2)如图2，过点B 作BF AB ^，交DC 于点F ，交AC 于点G ，若2DBF CBF S S =V V ，求证：AG CG =；(3)如图3，在（2）的条件下，若3AB =，求线段GF 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)52【解析】(1)解：如图，过点A 作AP ⊥BD 于点P ，AF ⊥BC ，交CB 的延长线于点F ，∵AP ⊥BD ，AF ⊥BC ，BD ⊥BC∴四边形APBF 是矩形∵∠ABC ＝135°，∠DBC ＝90°，∴∠ABP ＝45°，且∠APB ＝90°，∴AP ＝PB ，∴四边形APBF 是正方形，∴AP ＝AF ，且AD ＝AC ，∴ΔΔRt APD Rt AFC HL ≌（），∴∠DAP ＝∠FAC ，∵∠FAC +∠PAC ＝90°，∴∠DAP +∠PAC ＝90°，∴∠DAC ＝90°(2)如图，过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BD 于点N ，过点C 作CP ⊥BF 于点P ，在BD 上截取DH ＝BC ，连接AH ，∵∠ABC ＝135°，∠ABF ＝90°，∴∠CBF ＝45°，且∠DBC ＝90°，∴∠DBF ＝∠CBF ，且FN ⊥BD ，FM ⊥BC ，∴FN ＝FM ，∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴1122BD FN BC FM ´´=´´×2，∴BD ＝2BC ，∴BH ＝BD ﹣DH ＝BD ﹣BC ＝BC ，∵∠AED ＝∠BEC ，∠DAC ＝∠DBC ＝90°，∴∠ADH ＝∠ACB ，且AD ＝AC ，DH ＝BC ，∴△ADH ≌△ACB （SAS ），∴∠AHD ＝∠ABC ＝135°，AH ＝AB ，∴∠AHB ＝∠ABD ＝45°，∴∠HAB ＝90°，∵BC ＝BH ，∠HAB ＝∠BPC ，∠AHB ＝∠FBC ＝45°，∴△AHB ≌△PBC （AAS ），∴AB ＝PC ，∵AB ＝PC ，且∠ABP ＝∠BPC ，∠AGB ＝∠CGP ，∴△AGB ≌△CGP （AAS ），∴AG ＝GC(3)解：如图，∵AB ＝3＝PC ，∠PBC ＝45°，PC ⊥BF ，∴BP ＝PC=3，∵△AGB ≌△CGP ，∴BG ＝PG ＝32，在Rt PGC D 中，CG ，∴AG ＝GC ∴AC ＝AD ＝2AG ＝在Rt ADC D 中，CD ∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴DF ＝2FC∵DF +FC ＝DC ，∴F C在Rt PFC D 中，PF 1，∴FG ＝PG +PF ＝1+32 ＝52．3．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，交CD 于点G ．(1)求证：CG =CE ；(2)如图2，连接FC ，AC ．若BF 平分∠DBE ，求证：CF 平分∠ACE ；(3)如图3，若G 为DC 中点，AB =2，求EF【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，∵BF ⊥DE ，∴∠DFG ＝∠BCG ＝90°，∵∠DGF ＝∠BGC ，∴∠GBC ＝∠EDC ，在△BCG 和△DCE 中，BCG DCE BC DC GBC EDC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△BCG ≌△DCE （ASA ），∴CG ＝CE ；(2)证明：∵BF 平分∠DBE ，BF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，∴CF 是Rt △DCE 的中线，∴CF ＝EF ，∴∠E ＝∠FCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBE ＝∠ACB ＝45°，∵BF 平分∠DBE ，∴∠FBE 12=∠DBE ＝22.5°，∴∠E ＝90°﹣∠FBE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE ＝67.5°，∴∠ACF ＝180°﹣∠FCE ﹣∠ACB ＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF ＝∠FEC ，∴CF 平分∠ACE ；(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCG ＝90°，AB ＝BC ＝CD＝2，BD =＝∵G 为DC 中点，∴CG ＝GD 12=CD＝1，在Rt△BCG 中，由勾股定理得：BG ==设GF ＝x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得：BD 2﹣BF 2＝DF 2，DG 2﹣GF 2＝DF 2，∴2222-=1-x x （），解得：x =∴DF 2＝12﹣22025=，∴DF =，由（1）知：△BCG ≌△DCE ，∴BG ＝DE =，∴EF ＝DE ﹣DF ==．4．已知：在四边形ABCD 中，180,B CAD DE AC Ð+°Ð=^于E ，且2AD AE =．(1)如图1，求B Ð的度数；(2)如图2，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，点G 在BC 上，连接FG ，且AF FG =．求证：AB BG =；(3)如图3，在（2）的条件下，AF AD =，过点F 作FH CD ^，且2CH CG =，若21,52CD AB ==，求线段BF 的长．【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．【解析】(1)解：如图1，取AD 的中点F ，连接EF ，∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴AD =2AF =2EF ，∵AD =2AE ，∴AE =EF =AF ，∴∠CAD =60°，∵∠B +∠CAD =180°，∴∠B =120°；(2)证明：如图2，作FM ⊥BC 于M ，FN ⊥AB 于点N ，∴∠BMF =∠BNF =90°，∠GMF =∠ANF =90°，∵BF 平分∠ABC ，∴FM =FN ，在Rt △BFM 和Rt △BFN 中，BF BF FM FN =ìí=î，∴Rt △BFM ≌Rt △BFN （HL ），∴BM =BN ，在Rt △FMG 和Rt △FNA 中，FG FA FM FN=ìí=î，∴Rt △FMG ≌Rt △FNA （HL ），∴MG =NA ，∴BN +NA =BM +MG ，∴AB =BG ．(3)如图3，连接AG ，DF ，DG ，作FM ⊥BC 于M ，延长GF 交AD 于N ，∵AF =AD ，∠DAE =60°，∴△ADF 是等边三角形，∴∠AFD =60°，AF =DF ，∵GF =AF ，∠DFC =180°-∠AFD =120°，∴AF =GF =DF ，∴∠FGD =∠FDG ，∠FAG =∠FGA ，∴∠AGD =12∠AFN +12∠DFN =12∠AFD =12×60°＝30°，∵∠ADC =120°，AD =DG ，∴∠DGA =∠DAG =1802ADC °-Ð=30°，∴∠DGC =180°-∠DGA -∠AGD =180°-30°-30°=120°，∴∠DGC =∠DFC ，∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC -∠1=180°-∠DFC -∠2，∴∠GCF =∠FDG ，∠DCF =∠FGD ，∴∠GCF =∠DCF ，∵FH ⊥CD ，∴FM =FH ，∵∠FMG =∠FHD =90°，∴Rt △FMG ≌Rt △FHD （HL ），∴DH =MG ，同理可得：△MCF ≌△HCF （HL ），∴CM =CH =2CG ，∴GM =CG =DH ，∴3CG =CD =212，∴GM =CG =72，∴BM =BG -GM =AB -GM =5-72=32，在Rt △BFM 中，∠BFM =90°-∠FBM =90°-60°=30°，∴BF =2BM =3．5．如图1，ABC D 的ABC Ð和ACB Ð的平分线BE ，CF 相交于点G ，60BAC Ð=°．（1）求BGC Ð的度数；（2）如图2，连接AG ，求证：AG 平分BAC Ð；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC 上取点H ，使得AGH BGC Ð=Ð，且8AH =，10BC =，求ABC D 的周长．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28【详解】（1）证明：如图1，BE CF Q 、分别平分ABC ACB ÐÐ、，111 , 2 22ABC ACB \Ð=ÐÐ=Ð，()()11112 180 90 222ABC ACB A A \Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，60BAC Ð=°Q ，() 1 180 ********BGC A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°；(2)如图2，过点G 分别作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ， GQ ⊥AC 于Q ，BE Q 平分ABC Ð， GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，GM GN \=，同理GN GQ =，GM GQ \=，∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ， AG \平分BAC Ð ；（3）解：∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，GM =GQ ，∴AG 平分BAC Ð，∵又60BAC Ð=°， 30BAG CAG \Ð=Ð=°，在BC 上取点K ，使 BK BA =，BE Q 平分ABC Ð，ABG CBG \Ð=Ð，又BG BG =Q ，ABG KBG \D D ≌，BKG BAG \Ð=Ð，30BKG BAG \Ð=Ð= ，=18030150GKC \Ð-= ，120AGH BGC Ð=Ð=°Q ， 30CAG Ð=°，120 30 150GHC \Ð=°+°=°，GKC GHC \Ð=Ð，又CG CG =Q ，KCG HCG Ð=Ð，KCG HCG \D D ≌，CK CH \=，△ABC 的周长为：()()2210828AB BC CA AB BK KC AH CH BC AH ++=++++=+=´+=， ABC \D 的周长是28．6．如图所示，AD 是ABC V 的高，点H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，HC AB =．（1）如图1，求证：2B C Ð=Ð；（2）如图2，若2DAF B C Ð=Ð-Ð，求证：AC BF BA =+；（3）在（2）的条件下，若12AC =，CF 10=，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【详解】解：（1）连接AH ，∵H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，∴HA HC =，HAC C Ð=Ð，∵HC AB =，∴AB AH =，∴B AHB Ð=Ð，∵AHB C HAC Ð=Ð+Ð，∴2AHB C Ð=Ð，∴2B C Ð=Ð．（2）∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，∴1122DAF B C Ð=Ð-Ð，在Rt ADF V 中，9090DAF AFD FAC C Ð=°-Ð=°-Ð-Ð，∴119022FAC C B C °-Ð-Ð=Ð-Ð∴[]111190180()2222FAC B C B C BAC Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=Ð，即AF 平分BAC Ð，在AC 上截取AG AB =，连接FG ，在BAF △和GAF V 中，AB AG BAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAF GAF SAS V V ≌，∴BF FG =，AB =AG ，B AGF Ð=Ð，∵2B CÐ=Ð∴2AGF C Ð=Ð，∴GFC C Ð=Ð，∴FG GC BF ==，∴AC GC AG BE BA =+=+．（3）在DB 上截取DM DF =，连接AM ，在ADF V 和ADM △中，AD AD ADF ADM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADM SAS V V ≌，∴DAF DAM Ð=Ð，∴2MAC DAF FAC Ð=Ð+Ð，由（2）可知119022FAC B C Ð=°-Ð-Ð，又∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，2B C Ð=Ð．∴11131909029022222MAC B C B C C C C Ð=Ð-Ð+°-Ð-Ð=+´Ð-Ð=-°Ð°．∵()11111180909022222AMC AFM C FAC C BAC C B C B C C °Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+-Ð-Ð=-Ð+°Ð=-Ð°∴MAC AMC Ð=Ð ，∴AC MC =∴2MC CF AC CF DF -=-=，∴12102DF-=∴1DF =．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若AC =3，BC =4，求CD 的长；（2）如图③．在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点P 在AD 上，点M 在AC 上．若AC =6，BC =8，则PC +PM 的最小值为．【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）32；（2）245．【详解】教材呈现：OC Q 是AOB Ð的平分线，POD POE \Ð=Ð，,PD OA PE OB ^^Q ，90PDO PEO \Ð=Ð=°，在POD V 和POE △中，POD POE PDO PEO OP OP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()POD POE AAS \@V V ，PD PE \=；定理应用：（1）如图，过点D 作DE AB ^于点E ，Q 在ABC V 中，90,3,4C AC BC Ð=°==，5AB \==，Q AD 平分BAC Ð，且90C Ð=°，CD DE \=，在Rt ACD △和Rt AED △中，AD AD CD ED =ìí=î，()Rt ACD Rt AED HL \@V V ，3AC AE \==，532BE AB AE \=-=-=，设CD DE x ==，则4BD BC CD x =-=-，在Rt BDE V 中，222DE BE BD +=，即2222(4)x x +=-，解得32x =，即CD 的长为32；（2）如图，过点M 作MN AD ^，交AB 于点N ，连接PN，Q AD 平分BAC Ð，AD \垂直平分MN （等腰三角形的三线合一），PM PN \=，PC PM PC PN \+=+，由两点之间线段最短得：当点,,C P N 在同一条直线上时，PC PN +取得最小值，最小值为CN ，又由垂线段最短得：当CN AB ^时，CN 取得最小值，Q 在ABC V 中，90,6,8ACB AC BC Ð=°==，10AB \==，又1122Rt ABC S AC BC AB CN =×=×V Q ，11681022CN \´´=´，解得245CN =，即PC PM +的最小值为245，故答案为：245．。

部编数学八年级上册专题06角的平分线性质问题(解析版)含答案

2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题06 角的平分线性质问题一、选择题1. （2023湖南张家界）如图，已知直线AB CD P ，EG 平分BEF Ð，140Ð=︒，则2Ð的度数是（）A. 70︒B. 50︒C. 40︒D. 140︒【答案】A 【解析】根据平行线的性质可得140EFG ︒Ð=Ð=， 180EFG BEF Ð+Ð=︒，EGF BEG Ð=Ð，推得140BEF Ð=︒，根据角平分线的性质可求出BEG Ð的度数，即可求得2Ð的度数．∵AB CD P ，∴140EFG ︒Ð=Ð=，180EFG BEF Ð+Ð=︒，EGF BEG Ð=Ð，∴18040140BEF Ð=︒-︒=︒，又∵EG 平分BEF Ð，∴1702BEG BEF Ð=Ð=︒，∴027BEG =Ð=︒Ð故选：A ．【点睛】考查平行线的性质和角平分线的性质．掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题的关键．2.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（　）A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°【答案】C ．【解析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形角平分线的性质求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出∠A 即可．∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣35°=85°3.如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A.59°B.60°C.56°D.22°【答案】A ．【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB ，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (46)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图△ABC中，AD平分△BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．【答案】．【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得出DE=DF，再由AB=4，⊥ABD的面积为3求出DE的长，由AC=2即可得出⊥ACD的面积．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，⊥AD平分⊥BAC，⊥DE=DF，⊥AB=4，⊥ABD的面积为3，⊥S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；⊥DF=，⊥AC=2，⊥S△ACD=AC•DF=×2×=．故答案为．考点：角平分线的性质．52．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=48°，点D在AC上，将△ABC 沿BD折叠，若点C恰好落在AB边上的C′处，则∠AC′D的度数是．【答案】114°．【解析】试题分析：先由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠C=66°，再由折叠的性质得出∠BC′D=∠C=66°，然后根据邻补角定义得到∠AC′D=114°．解：∵AB=AC，∠BAC=48°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣48°）=66°．∵将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在AB边上的C′处，∴∠BC′D=∠C=66°，∴∠AC′D=180°﹣∠BC′D=114°．故答案为114°．考点：翻折变换（折叠问题）．53．如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为__________．【答案】5【解析】【分析】直接根据角平分线的性质定理即可得出结论．【详解】过D 点作DE AB ⊥于点E ，则DE 即为所求，∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，∴CD=DE （角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=5，∴DE=5．故答案为554．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=9cm ，则△BDE 的周长等于 cm ．【答案】9【解析】试题分析：先根据角平分线的性质得到DC=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，则BC=AE，然后根据三角形周长的定义和等线段代换得到△BDE的周长=AB=9cm．解：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，∴BC=AE，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=9cm．故答案为9．考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．55．如图，△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC，过点D作DE△AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．【答案】12．【解析】试题分析：由⊥ABC中，⊥C=90°，AD平分⊥BAC，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，继而可求得⊥BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案．解：⊥⊥ABC中，⊥C=90°，⊥AC⊥CD，⊥AD平分⊥BAC，DE⊥AB，⊥DE=CD，⊥BC=9，BE=3，⊥⊥BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．故答案为12．56．如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE的长cm．【答案】1.5【解析】试题分析：延长CD交AB于F点．根据AD平分∠BAC，且AD⊥CD，证明△ACD≌△AFD，得D是CF的中点；又E为BC中点，所以DE是△BCF的中位线，利用中位线定理求解．解：延长CD交AB于F点．如图所示：∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD；∵AD⊥CD，∴∠ADF=∠ADC；在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（ASA），∴CD=DF，AF=AC=5cm．∵E为BC中点，BF=AB﹣AF=8﹣5=3，∴DE=BF=1.5（cm）．故答案为：1.5．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．57．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC= ．【答案】125°【解析】试题分析：根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解：∵OF=OD=OE，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案为：125°．考点：角平分线的性质．58．（2015秋•西昌市期末）△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是．【答案】4【解析】试题分析：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式可解得结果．解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，∴OE=OF=OD=2，∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC==∵△ABC的面积18，∴=18，解得：BC=4，故答案为：4．考点：角平分线的性质．59．（2015秋•镇江期末）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=8cm，BC=7cm，则DE= cm．【答案】4【解析】试题分析：作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE=DF=x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．解：作DF⊥BC于F，设DE为x，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=x，∴×AB×DE+×BC×DF=30，即4x+3.5x=30，解得，x=4cm，故答案为：4．考点：角平分线的性质．60．如图，ABC的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，其中三条角平分线相交于点O，则ABOS：CAOS：BCOS ______．【答案】9：10：12【解析】【分析】过作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，即可求得ABOS：BCOS：CAOS的值．【详解】如图，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，∵点O是三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=12AB•OD：12BC•OE：12AC•OF=AB：BC：AC=45：50：60=9：10：12，故答案为9：10：12．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握辅助线的作法以及角平分线的性质、运用注意数形结合思想是解题的关键.。

第三节角平分线性质及应用(含答案)...八年级数学学而思

第三节平分线性质及应用1. 角平分线性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等，如图2-3-1所示：C O 平分,,,OB CE OA CD AOB .CE CD 注：①证明题中可按上述过程书写，无需证明两三角形全等，②考查点到线段的距离相等时，可以考虑角平分线性质．132 232 3322.角平分线的判定定理角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，如图2-3-2所示：,,OB CE OA CD OC CE CD ,平分.AOB注：①证明题中可按上述过程书写，无需证明两三角形全等；②常考查运用此定理判定一个角的平分线， 3.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，称为内心．注意：三角形中任意两个角的平分线的交点与第三个角的顶点的连线平分第三个角．已知：.AOB求作：AOB 的平分线，作法：如图2-3-3所示．(1)以0为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于点M ．交OB 于点N. (2)分别以M ，N 为圆心，大于MN 21的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C. (3)作射线OC.则射线OC 即为所求．1.与角平分有关的辅助线(1)在角平分线上取一点向角两边做垂线段，如图2-3-4所示．注：①若OC 平分∠AOB 为条件，此类辅助线可得到,CE CD 可进一步求证OCD .OCE ②若OC 平分AOB 为需证的结论，此类辅助线可通过证明CE CD 来证明结论， ③若题中条件中角平分线上有一条垂线，过交点补另一垂线段，④若题中条件中角平分线上无垂线，找到和解题相关点向角两边做垂线段． (2)过角平分线上的点做垂线，必然有全等三角形出现，如图2-3-5所示．注：①由)(AAS OCE OCD 可以得到对应边、对应角相等，②若题中条件有一垂直于角平分线的线段（如CD ），延长得到另一垂线段 (3)在角两边上截取相等线段，构造全等三角形，如图2-3-6所示，注：由)(SAS OCE OCD 可以得到对应边和对应角以及周长、面积相等．432 532 6322，证明一个角的平分线思路(1)根据角平分线定义去证明两个角度相等． (2)证明线上的点到角两边的垂线段相等．例1．（广东端州区期末）如图2-3-7所示，△ABD 中，,90 BAD ACE AD AB ,中，.,90AE AC CAE(1)求证：:BE DC(2)求证：AF 平分.DFE732检测1.如图2-3-8所示，BD ，CE 是△ABC 的角平分线，CE BD ,相交于点0，连结OA ，求证：OA 平分.BAC例2．如图2-3-9所示，已知AE CB AB CB AB ,, 平分,,CD AD CAB 求证： AE .2CD832 932检测2.如图2 -3 - 10所示，在△ABC 中，BD 是ABC 的平分线，,BD AD 垂足为点D.(1)求证：;21C(2)若,28,//ABD BC ED 求ADE 得度数，1032例3．如图2 -3 -11所示，,21 点P 为BN 上一点，且BC PD 于点 BC AB D ,.2BD求证：.180BCP BAP1132检测3.如图2 -3 -12所示，在四边形ABCD 中，BD CD AD BA BC ,, 平分.ABC 求证：.180C A1232第三节角平分线性质及应用(建议用时25分钟)实战演练1．（江苏高邮一模）如图2-3-1所示，OP 平分ON PA MON ,于点A ．点Q 是射线OM 上一个动点，若,3 PA则PQ 的最小值为( )3.A 2.B 3.C x D .132 232 3322．（安徽宣城市期末）如图2-3-2所示，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ．交CD 于点,2,5, DE BC E 则△BCE 的面积等于( )5.A 7.B 10.C 3.D3．（山东莘县期末）如图2-3-3所示，直线c ,,b a 表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有( ）A ．一处B ．两处C ．三处D ．四处4．如图2-3-4所示，O CD AB ,//为ACD BAC ,的平分线的交点，AC OE 于E ．且,3 OE 则AB 与CD 之间的距离为( )3.A 5.3.B4.C 6.D5．已知在△ABC 中，如图2-3-5所示，D 是BC 的中点，,21 若,10 AB 则 AC432 532 6326．（河北石家庄期末）如图2-3-6所示，0是△ABC 内一点，且0到三边CA BC AB ,,的距离,OF OD OF 若 BOC BAC ,707．如图2-3-7所示，BD 是ABC 的平分线，,BC AB 点P 在BD 上， PN AD PM ,,CD 垂足分别是点M ，N.试说明：.PN PM7328．如图2-3-8所示，已知△ABC 中，AD ,90C平分BAC 交BC 于点AB DE D ,于点E ．点F 在AC 上，且.FD BD 求证：.AF BE AE8329．如图2-3-9所示，在三角形ABC 中，AD EBD ABE ,2 是∠BAC 的平分线，A D BE 于E.求证：.C EBD93210．如图2 -3 - 10所示．BM 平分D ABC , 是BM 上一点，过点D 作,,BC DF AB DE 分别交AB 于点E ．交BC 于点F ，P 是BM 上的另一点，连接.,PF PE (1)若,124EDF 求ABC 的度数；（2）求证：.PF PE103211．如图 2 -3- 11所示，点E C B ,,三点在同一条直线上，CD 平分,,DA DB ACE BE DM 于点M ，若,1,2 BC AC 求CM 的长．113212.如图2-3 - 12所示，在△ABC 中，CE ABC ,100平分ACB 交AB 于点E ．点D 在AC 上．且.20oCBD(1)求证：BA 是△CBD 的外角平分线； (2)求CED 的度数．123213.如图2-3 -13所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AB DE 于点AC DF E ,于点F ，请你添加一个条件，使.EF AD(1)你添加的条件是；证明;EF AD(2)如图2-3 - 14所示，AD 为BAC 的角平分线，当有一点G 从点D 向点A 运动时，AB GE 于点AC GF E , 于点F.求证：;EF AD(3)当点G 沿AD 方向向其延长线上运动时，其他条件不变，此时(2)中的条件是否仍然成立？1332 143214.如图2-3 -15所示，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于点H. 求证：;)1(CE AG ;)2(CE AG DH )3(平分.AHE1532拓展创新15.如图2-3 - 16所示，四边形ABCD 中，DAB C D ,90的平分线AE 和CBA 的平分线BE 交于点E ，点E 在CD 上．求证.AB BC AD1632拓展1．如图2 -3 - 17所示，四边形ABCD 中，DAB BC AD ,//的平分线AE 和CBA 的平分线BE 交于点E ，点E 在CD 上，探究BE 和AE 的位置关系．1732拓展2．如图2 -3 - 18所示，四边形ABCD 中，DAB BC AD ,//的平分线AE 和CBA 的平分线BE 交于点E ，点E 在CD 上．求证：E 是CD 的中点，1832极限挑战16.如图2-3 - 19所示，在△ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PC PB 与C A AB 的大小关系，并说明理由．1932答案。

八年级上册数学三角形的角平分线知识点和典型习题分类汇总附答案

第5讲三角形的角平分线❖ 基本知识（熟记，会画图，要提问。

） 1等。

如何证明？2、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如何证明？3、三角形的内心：三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心。

4、三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。

如何证明？【角的平分线的性质】【基本题型】1、【易】如图，铁路OA 和铁路OB 交于O 处，河道AB 与铁路分别交于A 处和B 处，试在河岸上建一座水厂M ，要求M 到铁路OA ，OB 的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位置？请在图中标出M 点的位置．2、【易】如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE△AB 、DF△AC ，垂足为E 、F ，求证：EB=FC ．3、【易】如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE//AB ，交BC 于点E ，PF//AC ，交BC 于点F 。

求证：点D 到PE 和PF 的距离相等。

4、【中】已知：如图，OC 是△AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD△OA ，PE△OB ，垂足分别为D 、E ，点F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ．求证：DF=EF ．5、【中】如图，△1=△2，AE△OB 于点E ，BD△OA 于点D ．AE ，BD 交于点C ，试说明AC=BC ．6、【中】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE△AB ，DF△AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是______．7、【中】如图，在△ABC 中，△C=90°，AD 是△BAC 的平分线，DE△AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ．求证：（1）CF=EB ；（2）△CBA+△AFD=180°．8、【中】【周长】如图，三角形纸片中，AB=8cm ，BC=6cm ，AC=5cm ．△ABC 的平分线交AC 于点D ，AC △BC ，DE △AB ，求△ADE 的周长．9、【中】【周长】如图，在△ABC 中，△C=90°，AC=BC ，AD 平分△CAB 交BC 于点D，DE△AB于点E，若AB=6cm ．求△BDE 的周长．10、【中】【面积】如图：在△ABC 中，AD 是它的角平分线．求证：（1）S △ABD ：S △ACD =AB ：AC ；（2）S △ABD ：S △ACD =DB ：DC ；（3）AB ：AC=DB ：DC ．11、【中】【面积】如图，BD 平分△ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，则DE 等于______．12、【中】【面积】如图，△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC ，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是_________．13、【中】【面积】如图，AD 是△ABC 中△BAC 的角平分线，DE△AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是______．14、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】如图，AC 平分△BAD ，CD=CB ，AB>AD ，说明:△B+△D=180°．15、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ＞AD ，AC 平分△DAB ，△B+△D=180°．求证：CD=CB ．16、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】在△ABC 中，AD 是△BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且△EDF+△EAF=180°，求证：DE=DF ．参考答案1、作AOB 的平分线，交AB 于点M 。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (4)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，△ABC中，△C = 90°，AC = BC，AD是△BAC的平分线，DE△AB 于E，若AB = 10cm，则△DBE的周长等于( )A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm【答案】A【解析】∵AD平分∠CAB,∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，AE由勾股定理得：AC∴DE+BD=CD+BE=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10.故选A.二、填空题32．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE △AB 于E ，△ABC 的面积是50cm 2，AB ＝11cm ，BC ＝14cm ，则DE ＝ cm ．【答案】4【解析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE=DF.∵S △ABC =S △ABD +S △CBD =1122AB DE BC DF ⋅+⋅=50cm 2， ∵115022AB DE BC DE ⋅+⋅=，即1(1114)502DE +⋅=，解得DE=4（cm ）.33．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，若S △ABD ：S △ACD ＝3：2，则AB ：AC ＝________．【答案】3:2；【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，又∵AD是∵BAC的角平分线，∵DE=DF，又∵S△ABD=12AB·DE，S△ACD=12AC·DF，∵S△ABD：S△ACD=AB：AC=3：2.故答案为3：2.点睛：本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.34．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=8，AD平分△BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为_______．【答案】8【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∵DE=DC=2，∵S△ABD=AB?DE2=822=8，故答案为8.35．在Rt△ABC中，△C=90°，若AB=20，AC=12，AD平分△BAC 交BC于点D，且BD：CD=5：3，则点D到线段AB的距离为___________．【答案】6【解析】解：∵∵C=90°，AB=20，AC=12，∵BC=16，∵BD：CD=5：3，∵CD=16×353+=6，∵AD平分∵BAC，∵DE=CD=6，即点D到线段AB的距离为6．故答案为：6．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．36．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥BC,垂足为E，若AB=16，BC=12，DE=6，则△ABC的面积为______．【答案】84【解析】过点D 作DF ⊥AB ,根据线段垂直平分线的性质可得:DE =DF =6,然后根据三角形面积公式进行计算可得:111664822ADB S AB DF =⨯⨯=⨯⨯=,11 1263622cDB S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=,所以483684ABC ABD CDB S S S =+=+=,故答案为:84.37．如图,已知:ABC ∆中，090C ∠=，AM 平分CAB ∠，CM =20cm 那么M 到AB 的距离是_____________.【答案】20cm【解析】∵∠C =90°，AM 平分∠CAB ，∴M 到AB 的距离等于CM =20cm .故答案为20 cm.38．如图，在ΔABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BD 平分∠ABC ，则∠1的度数是_______．【答案】72°【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠1=72°，故答案是：72°．39．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=，30B ∠=，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1DE cm =，则BC =________cm ．【答案】3【解析】∵AD 平分∠CAB ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE=1cm ，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2cm ，∴BC=1+2=3cm ，故答案是：3cm ．40．已知∠1与∠2互余，若∠1=58°12＇则∠2=_____________.【答案】31°48＇【解析】因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2＝90o ,又因为∠1=58°12＇，所以∠2＝31°48＇. 故答案是：31°48＇.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (75)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，△ABD△△CBD，若△A=80°，△ABC=70°，则△ADC的度数为．【答案】130°【解析】试题分析：∵∵ABD∵∵CBD，∵∵C=∵A=80°，∵∵ADC=360°﹣∵A﹣∵ABC﹣∵C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为130°．考点：全等三角形的性质42．边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为__．【答案】3.【解析】试题分析：首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．试题解析：∵72+242=252，∵∵ABC是直角三角形，根据题意画图，如图所示：连接AP，BP，CP．设PE=PF=PG=x，S△ABC=12×AB×CB=84，S△ABC=12AB×x+12AC×x+12BC×x=12（AB+BC+AC）•x=12×56x=28x，则28x=84，x=3．考点：1.勾股定理的逆定理；2.三角形的面积；3.角平分线的性质．43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是．【答案】2.【解析】试题分析：过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．试题解析：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=2考点：角平分线的性质．44．在Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD 的面积是 ..【答案】1nm2【解析】试题分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=n，∴△ABD的面积=11⋅⋅=.AB DE nm22考点：角平分线的性质．45．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA交AC于点D，若CD=2cm，则AD= cm。

人教八上：专题三--角平分线的性质与判定(含解析)

专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (2)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB于E ，AB=a ，CD=m ，则AC 的长为（）A ．2mB ．a-mC ．aD．a+m 【答案】B【解析】：∵AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD ADCD DE ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC=AE ，∵∠B=45°，DE ⊥AB ，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴BE=DE=m ，∵AE=AB-BE=a-m ，∴AC=a-m ．故选B ．12．下列说法①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．②三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心；③三角形的三条高线交于一点；④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三条边的距离相等；其中正确的个数有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】（1）第①种说法错误，因为三角形的三条角平分线是相交于一点，但这点到三边的距离相等，而不是到三个顶点的距离相等；（2）第②种说法正确；（3）第③种说法错误，因为三角形的三条高所在的直线是相交于一点的，但三条高本身不一定相交于一点；（4）第④种说法错误，因为三角形的三边的垂直平分线是交于一点的，但这点到三个顶点的距离相等，而不是到三边的距离相等；即正确的说法只有1种.故选A.13．如图，已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD= （）。

A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】试题解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE=12PC=3，∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3，故选C．14．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB 上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3【答案】C【解析】【分析】作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．【详解】解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质,属于简单题,熟悉角平分线的性质是解题关键.15．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=( )A．130°B．150°C．100°D．140°【答案】B【解析】∵DB⊥AE，DC⊥AF，DB=DC，∴∠GAD=∠BAD=12∠BAC=20°，∴∠DGF=∠GAD+∠ADG=20°+130°=150°.故选B.16．如图,已知AB∥CD，PE∥AB，PF∥BD，PG∥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∥BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】D【解析】∵PE∵AB，PF∵BD，PF=PE，∴PB平分∵ABD，∵∵PBD=12∠ABD，同理∠PDB=12∵CDB，∵AB∵CD，∵∵ABD+∵CDB=180°，∵2∵PBD+2∵PDB=180°，∵∵PBD+∵PDB=90°，∵∵BPD=180°-∵PBD-∵PDB=90°.故选D.点睛：本题最后求的是角度，关键是利用角平分线的判定将PF=PG=PE转化为角度的关系.17．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=（）A．10°B．40°C．30°D．20°【答案】B【解析】∵DB⊥AB，DC⊥AC，且BD=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°．故选B.点睛：此题考查角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．18．如图，△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC;A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】∵中，要使PA=PC，则∠PAC=∠PCA，又AP、CP为△ABC的两个外角平分线，所以∵BAC=∵BCA，题中没有要求∵BAC=∵BCA，则①错误；∵∵中，过点P作PD⊥BA于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．∵AP 平分∠DAE，CP平分∠ACF，∴PD=PE=PF．∴点P在∠ABC的平分线上，P 到AB，BC的距离相等．则②③正确；∵中，要使BP平分∠APC，即∵APB=∵CPB，又因为BP=BP，∵ABP=∵CBP，则∵ABP∵∵CBP，则AB=BC，题中没有要求AB=BC，则④错误.故选C.19．如图，在Rt∥ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE∥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=BE B．DB=DE C．AE=BD D．∥BCE=∥ACE 【答案】D【解析】A中，∵DE⊥BC，∠A=90°，∴∠A=∠CDE=90°，在Rt△CAE和Rt△CDE中，∵CA=CD，CE=CE，∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），∴AE=DE，∵在Rt△BED中，BE＞DE，∴BE＞AE，故A错误；B中，根据已知不能得出BD=DE，故B错误；C中，根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C错误；D中，∵Rt△CAE≌Rt△CDE，∴∠BCE=∠ACE，故D正确.故选D．点睛：本题关键是证明直角三角形全等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．20．如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定【答案】A【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，PA＝PB，∠CPA=∠DPB，∴△CPA≌△∠DPB(AAS)，∴PC=PD，∴∠1＝∠2，故选A.点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质；主要先利用全等三角形证明CP＝DP，再由角平分线的逆定理可知OP是角AOB的平分线，由判定可知∠1＝∠2．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (48)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．求∠EOF的度数.【答案】90°.【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，然后根据∠EOF=∠COE+∠COF=12(∠AOC+∠BOC)和平角的定义解答．【详解】解：∵O为直线AB上一点∴∠AOB=180°∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC∴∠EOC=12∠AOC，∠COF=12∠BOC∴∠EOF=∠EOC+∠COF=1 2∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=1∠AOB2=1×180°2=90°【点睛】本题考查角平分线的定义、平角.三、填空题72．如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，⊥BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，⊥MN=ME，⊥CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为20，AB=10，⊥12×10⋅CE=20，⊥CE=4.即CM+MN的最小值为4.故答案为4.【点睛】本题考查的是最短路线问题，熟练掌握垂直是解题的关键.73．如图，AD是△ABC的角平分线，AB=3,AC=2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为__________ .【答案】10.【解析】【分析】已知AB=3，△ABD 的面积为15，根据三角形的面积公式即可求得点D 到AB 的距离等于10；再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，再由AC=2，根据三角形的面积公式即可求得△ACD 的面积为10．【详解】∵AB=3，△ABD 的面积为15，∴点D 到AB 的距离等于10；∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵AC=2，D 到AC 的距离等于10，∴△ACD 的面积为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，利用角平分线的性质求得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离是解决问题的关键．74．如图，点P 是BAC ∠的平分线上一点，PB AB ⊥于B ，且PB 4=，PC 5=，AC 12=，则ABP 的面积是______．【答案】18【解析】【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过P 作PD AC ⊥于D ，点P 是BAC ∠的平分线上一点，PB AB ⊥于B ，4PD PB ∴==，3CD ∴=，9AD AC CD ∴=-=，在Rt APD 与Rt APB 中，PD PB PA PA =⎧⎨=⎩， Rt APD ∴≌Rt APB ，()HL9AB AD ∴==，11941822APB S AB PB ∴=⋅=⨯⨯=，故答案为18．【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．75．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取_____，再分别过点M，N作OA、OB 的垂线，交点为P，画射线OP，可利用_____（填写判定方法）证明△POM≌△PON，然后根据_____得∠POM＝∠PON，则OP平分∠AOB．【答案】OM＝ON HL全等三角形的对应角相等．【解析】【分析】根据作图的作法得到OM=ON，根据全等三角形的判定定理得到HL，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可利用HL（填写判定方法）证明△POM≌△PON，然后根据全等三角形的对应角相等得POM=∠PON，则OP 平分∠AOB．故答案为：OM=ON，HL，全等三角形的对应角相等．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定方法．76．已知OC是∠AOB的平分线．有下列结论：①∠AOB=12∠BOC；②∠AOC=12∠AOB；③∠AOC=∠BOC；④∠AOB=2∠AOC．其中正确结论的个数是______.【答案】3.【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据角平分线的定义即可得出结论．【详解】解：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∴①错误，②、③、④正确，故答案是：3．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线是这个角的平分线．77．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【详解】当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD＝PE＝2，故答案是：2．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．78．如图，在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为点E，AB=10 cm．那么△BDE的周长是__________cm.【答案】10【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再根据角平分线的对称性可得AC=AE，然后求出△BDE的周长=AB，即可得解．【详解】∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∵BC=AC，∴BC=AC=AE，∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB，∵AB=10cm，∴△BDE的周长=10cm.故答案为10.【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.79．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为______．【答案】4【解析】【分析】过点E作EF⊥CD于F，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠B=90°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=EF=BE，从而得解．【详解】解：如图，过点E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠A=∠B=180°-90°=90°，∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE=EF=BE，∵AB=8，∴EF=12×8=4，即点E 到CD 的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造出角平分线的性质的应用条件是解题的关键．80．如图,Rt △ABC 中,△C=90°,AD 是△BAC 的平分线,DE △AB,垂足为 E,若 AB=5cm ，AC=3cm,则 BE 的长是______．【答案】2cm.【解析】【分析】利用HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ，则该全等三角形的对应边相等，即AC=AE ，由图解答即可．【详解】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C=90°即AC ⊥CD ，∴CD=ED ．在Rt △ACD 与Rt △AED 中，CD ED AD AD ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．∴AC=AE．又AB=5cm，AC=3cm，∴BE=AB-AE=AB-AC=2（cm）．故答案是：2cm．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》例题与讲解

12.3角的平分线的性质1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点 P 在∠ AOB的角平分线上，PD⊥ OA， PE⊥ OB，∴PD＝ PE.谈重点角平分线的性质的理解和应用(1) 使用角的平分线的性质有两个条件：①点在角的平分线上；②过这一点作角的两边的垂线段．结论是：这点到角的两边的距离相等，即两条垂线段相等．(2)角的平分线的性质是证明两线段相等的方法之一，而且不用再证明两个三角形全等．(3)如果已知一个点在角的平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相等．【例 1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D. 若CD＝ 2 cm，则点D 到直线 AB的距离是__________ cm.解析：因为点 D在∠ ABC的角平分线上，所以点离，即点D到直线 AB的距离等于CD的长．答案： 22．角的平分线的判定D 到直线AB的距离等于点D到直线BC的距(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥ OA， PE⊥ OB， PD＝ PE，∴点 P 在∠ AOB的角平分线上．(3)作用运用角的平分线的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线．警误区角的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一线段当作“距离”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的．．平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件．【例 2】如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，求证：AD平分∠ BAC.证明：∵ BF⊥ AC， AB⊥ CE，∴∠ DEB＝∠ DFC＝90°.在△ BDE和△ CDF中，∠DEB＝∠ DFC，∵∠BDE＝∠CDF，BE＝ CF，∴△ BDE≌△ CDF(AAS)．∴DE＝ DF.又∵ BF⊥ AC， AB⊥ CE，∴ AD平分∠ BAC(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) ．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型( 角的平分线 ) ．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．【例3】如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是 3 000 m ．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．( 比例尺为 1∶100 000)解：如图．作法： (1) 以点C为圆心，以任意长为半径画弧，交两河岸于，两点，分别以，B为圆A B A1心，以大于2AB长为半径画弧，两弧交于点O，过 C， O作射线CO.(2 ) 按比例尺计算得古塔与P 的图上距离为 3 cm，以古塔为圆心，以 3 cm 长为半径画弧交CO于点 P，则点 P 即为所求．【例 4】如图所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街两侧以及过街天桥AB的距离相等的点 P 处．此时，这位民警发现有一可疑分子从天桥A处走向 B 处，请问民警在注视可疑分子从 A 处走到 B 处时，他的视线转过了多大角度？解：连接 PA， PB.∵点 P 到 BE， AF， AB的距离相等，11∴ PA， PB分别是∠FAB，∠ EBA的角平分线，即∠PBA＝2∠ EBA，∠ PAB＝2∠ FAB.∵ BE∥ AF，∴∠ EBA＋∠ FAB＝180°.1∴∠ PBA＋∠ PAB＝2(∠ EBA＋∠ FAB)＝90°.∴∠ APB＝180°－(∠PBA＋∠ PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的视线转过的角度为90°.【例 5】如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点 D， PF⊥ BN于点 F，求证： BP为∠ MBN的平分线．分析：要证BP 为∠的平分线，只需证＝，而，为外角平分线，故可过点P MBN PD PF AP CP作PE⊥ AC于点 E，根据角平分线的性质有PD＝ PE， PF＝ PE，所以 PF＝ PD.因此 BP为∠ MBN的平分线．证明：过点 P 作 PE⊥ AC于点 E.∵AP， CP分别是∠ MAC与∠ NCA的平分线， PD⊥ BM于点 D， PF⊥ BN于点 F，∴ PD＝ PE， PF＝ PE(角平分线上的点到角两边的距离相等) ．∴PD＝PF.又∵ PD⊥ BM于点D， PF⊥ BN于点F，∴点P 在∠ MBN的平分线上( 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上) ．∴ BP为∠ MBN的平分线．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置 ( 如建货物中转站、建集市、建水库等) 的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．4【例 6】如下图所示，三条公路l1，l超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，2，l 3 两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ ABC 的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路 l 1，l 2， l 3的距离相等；同理还有∠角平分线的交点，因此满足条件的点共有BAC，∠ BCA的外角平分线的交点；∠4 个．BAC，∠ CBA的外作法： (1) 如右图所示，作出△ABC两内角∠ BAC，∠ ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ ACB，∠ ABC的外角平分线的交点 O2，∠ BAC，∠ BCA的外角平分线的交点 O3，∠BAC，∠ CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1， O2， O3， O4处．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (5)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．则∠ADC+∠B=_____°．【答案】180【解析】试题解析：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，∵BC=DC，∴RtΔCDF≌RtΔCBE，∴∠CDF=∠B，∵∠ADC+∠CDF=180°，∴∠ADC+∠B=180°.42．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC 的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP=__________.【答案】32【解析】∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP.∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°.故答案为32.43．如图，AE是∠BAC的角平线，AE的中垂线PF交BC的延长线于点F，若∠CAF=50°，则∠B=_______．【答案】50°【解析】∵AE是中垂线PF交BC的延长线于点F，∴AF=EF，∴∠FAE=∠FEA，∵∠FAE=∠FAC+∠CAE，∠FEA=∠B+∠BAE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠FAC=∠B=50°.故答案为50°.44．如图，两条笔直的公路l₁、l₂相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D．已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l₁的距离为4 km，则村庄C到公路l₂的距离是______km.【答案】4【解析】连接AC, AB=BC=CD=DA,所以四边形ABCD是菱形，所以∠DAC=∠BAC,所以C到两边的距离相等，所以村庄C到公路l₂的距离是4km.点睛：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形.（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法.45．如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，∠BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有________个，∠BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有________个．【答案】无数 1【解析】根据角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，则到∠BAD两边距离相等的点在∠BAD的平分线上即可，而∠BAD的平分线在△BDC的内部是一线段，故△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有无数个；到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点即∠BAD的平分线与∠DBC的平分线的交点，此交点在△BDC的内部，故BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有一个.故答案为无数；1.46．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是_________．【答案】3cm【解析】∠BC=20cm，DB=17cm，∠DC=BC-DB=20-17=3（cm），∵AD平分∠BAC，DE∠AB，∠C=90°，∠DE=DC=3（cm）.故答案为3cm.47．如图, AD是△ABC的角平分线, 若AB : AC = 4 : 3, 则S△ABD : S△ACD =_________, 进而BC : CD = _____________.【答案】4:3 7:3【解析】试题分析：角平分线上的点到角两边距离相等，过点D作AB、AC的垂线，高相等AB : AC = 4 : 3，等高，则面积之比等于底之比，则S△ABD : S△ACD = 4 : 3,进而可以得到BD : CD =4 : 3，所以BC : CD =7:3.48．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC，∠DAC，∠ECA的平分线的交点，上述结论中，正确的有________．(填序号)【答案】①②③④【解析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故答案是：①②③④.【点睛】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．49．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，△A的平分线AD分BC为两部分，且CD︰BD＝3︰5，则点D到AB的距离是__________cm.【答案】3【解析】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD．∵CD：BD=3：5，且BC=8cm，=3（cm）．∴CD=8×38故答案是：3．50．直角三角形两锐角的平分线相交，所得的钝角是________°.【答案】135【解析】【分析】根据直角三角形两锐角之和等于90o, 再结合角平分线的性质和三角形的内角和定理, 很容易求出所求角的度数.【详解】解:如图:AE、BD是直角三角形中两锐角平分线,∴∠OAB+∠OBA=90o÷2=45o,根据三角形内角和为180o,∴∠AOE+∠OAB+∠OBA=180o,∴∠AOE =180o-45o=135o.故答案为:135.【点睛】本题考查学生利用直角三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理解决实际问题的能力, 注意本题解答的关键是弄清题意画出图形进行解答.。

角平分线专项练习30题(有答案)ok

角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。

八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线(含答案解析)

八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线（含答案解析）1.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°2.如图所示，已知AB=AB1，A1B1=B1B2，A2B2=B2B3，A3B3=B3B4…，以此规律操作下去，若∠B=50°，则∠A n-1B n B n-1（n≥2）的度数为（）A．B．C．D．3.如图，∠BAC=120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC，若∠PAD=45°，则∠ABC=.5.如图，已知BD平分∠ABC，AD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC=12cm,AB=6cm,那么AE的长度为cm.6.△ABC的外角∠DAC的平分线交BC的垂直平分线线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．⑴求证：BD=CE；⑵若AB=5cm，AC=10cm，求AD长.答案解析1.解：∵∠ABC=80°，∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，∴MA=MP，NC=NP，∴∠MPA=∠MAP，∠NPC=∠NCP，∴∠MPA+∠NPC=12（∠BMN+∠BNM）=50°，∴∠APC=180°-50°=130°，故选：C．2.解：在△ABB1中，AB=AB1，∠B=50°，∴∠AB1B=50°，∵A1B1=B1B2，∠AB1B是△A1B1B2的外角，3.解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠PAB+∠QAC=60°，∴∠PAQ=60°，故选：D．4.解：∵AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，∴PA=PB=PC，∴∠PCA=∠PAD=45°，∠PAB=∠PBA，∠PCB=∠PBC，∵∠PCA+∠PAD+∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=90°，∴∠PBC+∠PBA=45°，∴∠ABC=45°，故答案为：45．5.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，又∵AD=CD，∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL），∴AE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE=BF，∵BE=AB+AE=6+AE，∴BF=6+AE．∴BC=6+AE+CF=12，即12=6+2AE，解得：AE=3（cm），故答案为：3cm.6.⑴证明：如图，连接BP、PC．∵PQ垂直平分线段BC，∴PB=PC，∵∠PAD=∠PAE，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°，在Rt△PBD和Rt△PCE中，∴Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），∴BD=CE．⑵解：在Rt△APD和Rt△APE中，∴Rt△APD≌Rt△APE，∴AD=AE，设AD=AE=x,∵△PBD≌△PCE，∴BD=EC，∴AB+AD=AC-AE，∴5+x=10-x,∴x=2.5，∴AD=2.5．。