相似三角形的几种基本图形复习

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相似三角形的几种基本图形

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2)

(3)

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、

“反A 共角共边型”、“蝶型”）

1D C

2B 4

C E

（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

E B

C (D

)

(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

相似三角形基本图形精讲复习课件

D
B
P
H
C
（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关过D作DH⊥BC于H，于自变量x的函数关系式，并求出自由题意，得CH=3, 变量x的取值范围. 1 又CP=3 2 3 x 18 y 10 x 2 5 ∴P与H重合, 3 x 12 从而E与B重合友情提醒：要善于构造基本图形，对你的解题会起到事半功倍的效果！
第一轮复习
相似三角形（1-2）
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
基本图形2
“A”字型当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
基本图形2
F
A
B
C
添加一个条件使得⊿ACF∽ ⊿ABC. ⊿BCF∽ ⊿BAC.
基本图形2
A A A
当∠BCF＝ ∠A 时， ⊿BCF∽ ⊿BAC.
B B
F F F
.O
C C
(1) 则⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗? (2) BC是圆O的切线，切点为C. (3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能得到哪些结论?

相似三角形专题复习

相似三角形-知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n

b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d

c b a ,,,中，如果b a 和的比等于

d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那

么应得比例式为：a d c b =．②()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例

内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中

AB AC 215-=

≈0.618AB

．即AC BC AB AC ==

简记为：长短＝全长

注：黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

(完整版)相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是

b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a

d c b

．②()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫比例外项，

b 、

c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、

d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2

b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2

5-=

≈0.618AB

．即

AC BC AB AC ==

简记为：1

长短＝＝全长

注：黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

相似三角形的复习课件

C
E是正方形ABCD的边BC上的点，EF⊥AE交CD于点F ．
延长EF、AD交于点M ． M
请在图中找出与△DFM相似的三角形，说说你是怎么找的？
例2 如图, D是等边△ ABC边 AB上的一点, AD∶ DB
=1∶2,现将△ ABC折叠,使点 C与 D重合,折痕为 EF,
点 E, F分别在 AC和 BC上,则 CE∶ CF=
为
．
D
E
如图，已知点 A0, 2 、B 1,0 , M是 x 轴上一点，
且满足 AMO ABO 90，求点M的坐标． y
A
M′
M
来自百度文库OB
x
如图，已知点 A0, 4，B 2,0 ，C 4,0 ，M是y轴上一
点，且满足OMB OAB ACB ，求AM的长． yM
BO C x
N
A
M′
通过今天的学习，你回顾了…… 体会了…… 还会注意……
1．如图，已知△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，
当满足
时，△ADE与△ABC相似．
（请画出大致图形，添加条件，并说说判定三角形相似的依据）
A D
B
C
2．已知△ ABC中，AB=4，AC=6，D、E分别为CA、BA
延长线上的点，且AD=2 ．
（1）若△AED∽ △ABC，∠B=60°，∠C=40°，则∠E= °;

《相似三角形》复习_基本图形

A D E
B
C
பைடு நூலகம்
第二种作法：
理由：（1） ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B （2）AE：AB=AD：AC
A D E B C
第三种作法：
理由：（1）DE∥BC （2）∠ADE=∠B 或∠AED=∠C （3）AD：AB=AE：AC M
E
A
D
N
B
M E
C
第四种作法：
理由：（1） ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B （2）AE：AB=AD：AC
A D A D
F B B E
F
E
C
C
A
B
（1）点E为BC上任意一点，（2）点E为BC上任意一点 △ABE∽ △ECF ∠C= α, ∠AEF= 若 ∠B= ∠ C=60°, F ∠AEF= ∠ C,则△ABE与 ∠ C,则△ABE 与△ ECF △ ECF的关系还成立吗？的关系还成立吗？说明理由 C
人教版初中《数学》九年级下册第二十七章复习专题义务教育课程标准实验教科书数学· 八年级· 下册（泰山版）
《相似三角形》复习
——从基本图形到中考题的演变(1)
华泰中学
鄢自红
学习目标
1、掌握相似三角形的基本图形。通过图形的变化，感受到图形之间的联系。 2、能从复杂图形中进行识别基本图形并能利用图形解决问题。

相似三角形几种基本模型

经典模型

“平行旋转型”

图形梳理：

AEF 旋转到AE‘F’

F'C

AEF 旋转到

AE‘F’

AEF 旋转到AE‘F’

特殊情况：B 、'E 、'F 共线

AEF 旋转到AE‘F’C

B C

F'AEF 旋转到AE‘F’

C ，'E ，'F 共线

AEF 旋转到AE‘F’

相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型

常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABC

② 相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC

如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△ABC

③ 旋转型

已知∠BAD=∠CAE ，∠B=∠D ，则△

ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．

④ 母子型

已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．

相似三角形常见的图形

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、

“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

D E

12A

B B

C D

124

(3)

(2)

（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

中考复习《相似三角形》专题

基础知识

1.相似三角形的定义:③对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比为④ 1 .

2.相似三角形的性质

(1)相似三角形的对应角⑤相等,对应边⑥成比

例.

(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比

都等于⑦相似比.

(3)相似三角形的面积之比等于⑧相似比的平方.

3.相似三角形的判定

(1)⑨平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

(2)三边对应成比例的两个三角形相似.

(3)⑩两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

(4) 两组角分别相等的两个三角形相似.

(5)相似三角形有以下几种基本类型

①平行线型:常见的有如下两种,DE∥BC,则△ADE∽△ABC

②相交线型:常见的有如下四种情形,如图,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADE∽△ABC

如下左图,已知∠1=∠B,则由公共角∠A得,△ADC∽△ACB;如下右图,已知∠B=∠D,则由对顶角∠1=∠2得,△ADE∽△ABC

③旋转型:已知∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,下图为常见的基本图形

④母子型:已知∠ACB=90°,CD⊥AB,则Rt△CBD∽Rt△ABC∽Rt△ACD,CD2=AD·BD,

AC2=AD·AB,BC2=BD·AB

4、相似多边形

1）.相似多边形的概念:如果两个多边形的角对应相等,边对应成比例,那么

这两个多边形叫做相似多边形.

2）.相似多边形的性质

(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形

一、知识概述

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义

对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．

4.相似三角形的基本性质

①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．

②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比

④面积比等于相似比的平方

温馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC

的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

5. 相似三角形的判定定理

①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；

②三边对应成比例的两个三角形相似；

③两角对应相等的两个三角形相似；

④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：

（1）判定三角形相似的几条思路：

①条件中若有平行，可采用判定定理1；

②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；

③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必

相似三角形的基本图形总结

相似三角形的基本图形总结+一模相似汇总

用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，下面举例说明。

相似三角形主要基本类型：

一、平行线型

如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。

例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。求证：FB AF 2ED AE =。证明：

例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。

求证：2GF GC GE GB ==。

例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。

求证：AY CY CZ BZ BX AX ⋅⋅=1。

二、相交线型如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。

例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，

且AE AD AB 2⋅=。

求证：BC 平分∠DCE 。

例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。

求证：FB FC FG 2⋅=。

三、旋转翻折型

如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。

如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=︒90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD

∽△ABC 。

例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。

相似三角形的六种基本图形

（5）直角三角形中，直角边和斜边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形的性质
1.对应角相等、对应边成比例。
2.对应线段(高、角平分线、中线)的比都等于相似比。 3.周长的比等于相似比。 4.面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的六种基本图形
(1)
A
D
E
B
C
DE∥BC
“A”字型
(2) E D
A
B
C
DE∥BC
“X”字型
(3) A
D E
(4) A
D
B
C
∠ADE＝ ∠C
B
C
∠ACD=∠B
“斜交型”
(5) E
D
A
C
B
∠D=∠C “8” 字型
(6)
C
△ACD∽△CDB∽△ABC
A
D
B
∠ACB=90°且 CD⊥AB
“母子型”
AC2=AD·AB BC2=BD·AB
基础巩固
1、如图，四边形CDEF为平行四边形，A为DC上一点，延长EA交FC 的延长线于点B 。
善于在复杂图形中寻找基本型
2.如Fra Baidu bibliotek，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE=45°． (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出：当BD为何值时，AE取得最小值？

(完整版)相似三角形的几种基本图形

B E

相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形.

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形.

D E

C D

D E

124

（∠B=∠D ）（双垂直）

（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形.

（4）一线三等角型

二、例题分析

1、下列说法不正确的是（）

A 、两对应角相等的三角形是相似三角形；

B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形；

C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形；

D 、以上有两个说法是正确。

2、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（）

A 、2对

B 、3对

C 、4对

D 、5对 3、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（）

A 、∠ACP=∠

B B 、∠APC=∠ACB

C 、AC

AP AB

AC = D 、AB

AC BC

PC =

4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③

AD AB AE AC =；其中正确的有（）

A 、3个

B 、2个

C 、1个

D 、0个

D C

B E

D 1

A B

C D E A B C

D A B C D

E A A

B B

C C

D D

E E

A B

E A

C P

A B

5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三

角形的对数是。

相似三角形的12种基本模型

相似三角形Ⲵ基本模型

【模型概述ᙍ㔤ሬമ】

аǃ八字型

Ҽǃ母子型

1、共角型（A 字型）

（平行）

（不平行）

2、共角共边型

（双垂直）射影定理

B C

【典ර㓳Ґ仈】——母子型（A 型）

1．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边

AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A

、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

【典例㓳Ґ仈】——双垂直型直角三角形˖：

Rt △ABC 中，∠C =90º，CD ⊥AB 于D ，则

∽ ∽ 射影定理：

CD 2

= ·

AC 2

= ·

BC 2

= ·

D E

йǃ一线三等角相似模型

一线三等角

直角形一线三等角

（K 字型）

钝角形一线三等角

锐角形一线三等角

ഋǃ手拉手相似模型

1、定义：

两个相似且共顶点的三角形形成的图形。

2、固定结论：

将三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，会得到一对新的相似三角形

ӄǃ十字架相似模型

．

相似三角形基本知识点经典例题完美打印版

相似三角形知识点

知识点1 有关相似形的概念

1形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.

2如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数．

知识点2 比例线段的相关概念

1如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是

b a =,或写成n m b a ::=．注：在求线段比时,线段单位要统一;

2在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称

比例线段．注：①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为：a

c b =．②

()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫比例外项,

b 、

c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、

d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c,即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2

b ad =;

3黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即

2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 2

5-=

≈AB

．即

AC BC AB AC ==

简记为：1

长短＝＝全长

注：黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形;黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

九年级数学《相似三角形基本图形精讲》

判定方法
根据角平分线的性质和三角形的相似性质，可以判定两个三角形是否相似。
综合型相似图形
定义
当一个图形同时具有平行线和角平分线的特征时，所形成的两个
三角形为相似三角形。
性质
两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
判定方法
根据图形的特征和三角形的相似性质，可以判定两个三角形是否相似。
03 相似三角形的应用
利用相似三角形解决实际问题
测量问题
利用相似三角形测量建筑物的高度、河的宽度等实际物体的高度
和长度。
建筑学应用
在建筑设计时，利用相似三角形计算角度、长度等参数，以确保
建筑物的稳定性和美观性。
物理学应用
在物理实验中，利用相似三角形模拟真实场景，研究物理规律和
现象。
利用相似三角形证明定理
勾股定理
角形相似。
相似三角形的性质
01
02
03
对应角相等
相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的基本性质。
对应边成比例
相似三角形的对应边长成比例，即它们的边长比是一个常数。
外接圆半径相等
如果两个三角形相似，则它们的外接圆半径相等。
பைடு நூலகம்
相似三角形的判定方法
角角判定
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。

常见相似三角形的基本图形

一、平行线型

（一）基本图形

1.平行相似分为“A ”型和“X ”型两种，如图所示，由DE//BC 可得△ADE ∽△ABC 。

2.解题思路：见平行，想相似.

（二）基础题

1.如右图，DE//BC ，下列结论正确的是（

）A.DB AD =BC DE B.AB AD =BC DE C.AB AD =EC

AE D.AD BD =AC EC

2.如图，在□ABCD 中，EF//AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD=.

（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）

3.如图，在△ABC 中，DE//BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E 两点；若AD ：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为.

4.如图所示，已知AB//CD ，AD 与BC 相较于点O ，若CO BO =32，AD=10，则OA=.

5.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若△ADE 与四边形BDEC 的面积比是9：16，则△ADE 与△ABC 的周长比是．

（三）提升题

6.如图，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH=

1DH ，AC 和BH 交于点K ，则AK:KC 等于（） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3

（第6题）（第7题）（第8题）

7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使DE ：AD=1：3，连结EF 交DC 于点G ，则S △DEG ：S △CFG 等于.

8.如图，AB ∥DC ，AD 与BC 的交点为M ，过点M 作MH ∥AB 交BD 于H ．已知AB ＝3，MH ＝2，则△ABM 与△MCD 的面积之比为（）