计算方法一二章答案
(完整版)计算方法习题第一、二章答案
第一章误差
1问3.142, 3.141, 22分别作为n 的近似值各具有几位有效数字?
7
分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 n =3.141 592 65 …
=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26 …知 2 10 3 | 22| 1 10 2
因而X 3具有3位有效数字。
2 已知近似数X*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。 解 利用有效数字与相对误差的关系。这里
n=2,a 1是1到9之间的数字。
分析本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a 1是1到9间的数字。
*
(X)0.3
% 1000 2 102 2 (9 1) © 2(a? 1) 10'
设x*具有n 位有效数字，令-n+仁-1，则n=2,从而x*至少具有2位有效数字。 4计算sin 1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于 0.01%。
分析本题应利用有效数字与相对误差的关系。 解 设取n 位有效数字，由sin 1.2=0.93…，故a 1=9。
*(x) | 悩盍 10n1 o.。1% 104
解不等式丄 10 n 1
10 4知取n=4即可满足要求。
2ai
5
计算盂盘，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
因而
因而
记 X 1=3.142, X 2=3.141 , X 3= ^2 .
由 n - X 1=3.141 59 …-3.142=-0.000 40 …知
1
103 |
2
X 1具有4位有效数字。 由 n - X 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59 …知
计算方法引论课后答案.
第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2
4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:
12
222...q q π=⋅
⋅⋅ 其中
11
2,3,...
n q q n +⎧=⎪⎨
==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得
3.141587725...π≈
这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?
解: 已知4311
d 10,d 1022
a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,
()4332111
10100.551010222
d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,
计算方法作业集答案及试题
计算方法作业集答案及试题
参考答案第一章
1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.73
2 。
2．
3．（1） e r （2）≤)(*
3*2*1x x x e r 0.50517；（3）≤)/(*
4*2x x e r 0.50002。
4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。令3)1()1(1*
102
1102211021)(-----?≤??=?=
n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*
x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*
x 的相对误差的n 倍。
6．根据******
**************sin 21)
(cos 2
1sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =*
*****)
()()(tgc
c e b b e a a e ++ 注意当20*
π
<
>c tgc ，即1
*
1
*
)()(--<="">
则有)()()()(*
***c e b e a e S e r r r r ++<
7．设20=
y ，41.1*
=y ，δ=?≤--2*00102
1y y 由δ1
*001*111010--≤-=-y y y y ，
δ2
*111*221010--≤-=-y y y y
计算方法习题答案
《计算方法》习题答案
第一章 数值计算中的误差
1．什么是计算方法？（狭义解释）
答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？
答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219
1
-3
8
-24
73
-223
所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：
（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
计算方法 课后习题答案
),n 的Lagrange
),n 的Lagrange 插值基函数。关于节点(),i x i n =的插值多项式为11
)()n n i j j j i x x l x x ++==∑
()
()i i x x -=∏
)7,2和)8,2。
,)n互异，求)
x。
,
p （见王能超《教程》P149－题
,)n，则
可知，
),2,,n ，证明,2
1n - ),n 与点)0
1
,,0,1,,k
k i i
x k n a x ===-∏
Newton 插值多项式。
依差商的定义 0
1
a x =
-，
{}1
()()i i x x ϕρϕ∞
∴⎰0()x ϕ由于
12234x x ⎢⎡⎤⎢=⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣121111112322211213314x x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎡⎤⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎦
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1271x x -⎡⎤⎤⎡⎤
=⎢⎥⎥⎢⎥-⎦⎣⎦
⎣⎦ 222971x x x ⎧
=-
=-⇒=-
12201424011
(31)(31)24
1(35303)(35308x x dx x x dx x x xdx x x -+-=
-++-⎰⎰22155,(,())228a f p x ==，49(,2a f =2244)()()a p x a p x ++=0.8203125=-
()k p x =∑()()
,,k k k f P P P =(1
2dx e =-
()()10.5
2
T
f x I E f =-≈
∴=2）Simpson 1
3
12
2
''()
48
f b a
事实上，()()1
0.5
10.50.56S
计算方法的课后答案解析
《计算方法》习题答案
第一章 数值计算中的误差
1．什么是计算方法？（狭义解释）
答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？
答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果
4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2
3
4
5
-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而
所以，多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：
（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、
实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。
计算方法智慧树知到答案章节测试2023年浙江大学
绪论单元测试
1.工科人认知世界的时候，需要认可误差的存在。
A:对
B:错
答案:A
2.不需要掌握很多很好的计算方法，单单凭借计算机强大的能力就可以解决大
部分实际问题。
A:错
B:对
答案:A
3.计算方法是一门理论数学课，可以获得寻求数学问题的精确解析解的知识
A:错
B:对
答案:A
4.解决某些实际问题时，选择不合适的计算方法有可能无法得到满意的结果。
A:对
B:错
答案:A
5.求解高阶线性方程组（比如，大于150阶），用克莱姆法则来直接求解也
是可以接受的。
A:对
B:错
答案:B
第一章测试
1.计算机进行乘除运算时按照先舍入后运算的原则。（）
A:错
B:对
答案:A
2.相对误差是个无名数，没有量纲。（）
A:错
B:对
答案:B
3.两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。
（）
A:错
B:对
答案:B
4.用 1+x近似表示所产生的误差是( )
A:模型误差
B:截断误差
C:舍入误差
D:观测误差
答案:B
5.设某数x，那么x的有四位有效数字且绝对误差限是的近似值是（）
A:0.006930
B:0.6930
C:0.06930
D:0.693
答案:B
第二章测试
1.若f(a)f(b)＜0 ，则f(x)在(a,b)内一定有根。（）
A:对
B:错
答案:B
2.如果迭代格式在根的附近导数值的模大于1，则迭代发散。（）
A:对
B:错
答案:A
3.若x*是f(x)=0的重根，则牛顿不收敛。（）
A:对
B:错
答案:B
4.非线性方程的求根方法中，正割法收敛速度比Newton迭代法快。（）
A:对
B:错
答案:B
5.用牛顿迭代法求方程f(x)=在附近的根，第一次迭代值（）
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释）
答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？
答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：
实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果
4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2
3
4
5
-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219 1 -3 8 -24 73 -223
所以，多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字
计算方法教程习题答案
《计算方法教程（第二版）》习题答案
第一章习题答案
1、浮点数系F（0丄L、U）共有2（0-l）0i（U-厶+1） + 1个数。
3、a.4097
b.0.11101000 x 22 , 0.11101110 x 25 6
c.0.11111101x26
4、设实数xeR,则按0进制可表达为：
1"1 V0
0 <> d j < p , J = 2,3,…+ 1,…
按四舍五入得原则，当它进入浮点数系F（PJ,LM）时，若心V丄0,则
2
/心）"（第+2+…2“
P pZ P1
cK （1 +1
/（□"（卡+样+…丄厂）〃
P P L P l
对第一种情况妝一."（x）| = （滸 + …）X0**G）X0‘ =^0 一对第二种情况:卜_/心卜爭巴一…"V *（£）x0詁旷
就就是说总有：心）&丄0一
2
另一方面，浮点数要求1M/V0,故有|A-|^1/7\将此两者相除，便得
r
5 a. 1.5960 b. 1.5962
后一种准确
6最后一个计算式:0.00025509
原因:避免相近数相减，避免大数相乘,减少运算次数
2
\I~X (Jx ，+1 + J 牙
2 _])
(2x)2 (2x)4 (2x)6
(2x)2
"^! 41- ~6!
2!_
3 -0.20757 5 0.8 7
107
计算宜采用:去)+G -親)x+G - 土用+…]
第二章习题答案
1. a.x = (3,1, 2)7
b.x = (2, — 1, 2, — 1 )z
c.无法解
2、 a.与b.同上，
c.x = —(-17, 39, -10,-39)7 « (-0.5312,1.218&一0.3125,-1.2188)7
计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差
1 问3.142，3.141，7
22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？
分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65…
记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7
22.
由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知
34111
10||1022
x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知
223102
1||1021--⨯≤-<⨯x π
因而x 2具有3位有效数字。
由π-7
22=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知
23102
1|722|1021--⨯≤-<⨯π
因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101101|
*||)(|1211*=⨯≤⨯≤-=+-+-n r
x x x ε
3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？
分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a 1是1到9间的数字。
1112*10110113%3.0)(--⨯≤⨯=<
=x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
计算方法及答案
《计算方法》练习题一
一、填空题
1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。 4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。 7．用辛卜生公式计算积分⎰≈+1
01x dx
（ ）
。 8．设)()1()
1(--=k ij k a A
第k 列主元为)
1(-k pk
a ，则=-)1(k pk a （ ）。 9．已知⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=2415A ，则=1A （ ）。 10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ ）。 二、单选题
1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+
2．设x x x f +=2
)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．
2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6
π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．
Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.
计算方法教程（第2版）习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案
第一章 习题答案
1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。 3、a ．4097
b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯
c ．6211111101.0⨯
4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：
,1,,,3,2,01
1)1
1221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j j
d d l
t t d t t d d
d x ββ
βββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β2
1
1<
+t d ，则 l t
t d d
d x fl ββββ⨯++±=)221()(
若 β211
≥+t d ，则 l t
t d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(
对第一种情况：t l l
t l t t d x fl x -++=⨯≤
⨯+=-βββββ21)2
1(1)(
)(1
1
对第二种情况：t l l
t
l t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-βββ
βββ21)21(1)(11 就是说总有： t
l x fl x -≤
-β2
1)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ
1
≥
，将此两者相除，便得
t x x fl x -≤-12
1
)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确
6、最后一个计算式：00025509.0
原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数
7、a ．]!
3)2(!2)2(2[2132 +++
计算方法引论课后答案.
计算⽅法引论课后答案.
第⼀章误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是⽅法误差.
解: 例如,把地球近似看为⼀个标准球体,利⽤公式2
4A r π=计算其表⾯积,这个近似看为球体的过程产⽣
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要⽤到π,我们利⽤⽆穷乘积公式计算π的值:
12
222...q q π=?
其中
11
2,3,...
n q q n +?=??
==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得
3.141587725...π≈
这个去掉π的⽆穷乘积公式中第9项后的部分产⽣的误差就是⽅法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五⼊的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五⼊原则得到的近似数,它们各有⼏位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位三位六位四位
4. 若1/4⽤0.25表⽰,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍⼊后得到的近似值,问:,a b a b +?各有⼏位有效数字?
解: 已知4311
d 10,d 1022
a b --
()4332111
10100.551010222
d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?
所以a b +有三位有效数字;
计算方法习题及答案
第一章 绪论
一.
填空题
1.*
x 为精确值x 的近似值；()
**x f y
=为一元函数
()x f y =1的近似值；
()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：
**e x x =-：***r
x x e x -=
()
()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()
()'
***1*
*r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()*
*,**,*2**f x y f x y y x y x y
εεε∂∂≈⋅+⋅∂∂
()()()()()
*
*
**,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂
2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e
的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又
取
1.73≈（三位有效数字），则
-21
1.73 10 2
≤⨯。
4、
设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、
设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、
已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .
7、
递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0
n n-1y =y =10y -1,n =1,2,
如果取0 1.41y ≈作计算,则计算
到10y 时,误差为81
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ln( 2)
9.965
2
2
2
∴需二分10次
方程求根——二分法
2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区间[0,1]内 的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根
f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0
a. c.
' ( x) r 1
b. d.
' ( x) r 1
' ( x) r 1
' ( x) r 1
方程求根——练习1
用二分法求方程在区间[1, 1.5]内的近似 根，要求精确到小数点后第2位，则至少 ba 6 需要二分 次。 ln
k
ln 2
绪论
5：设 f ( x) 8x5 0.4x4 4x3 9x 1 用秦九韶法 求f(3)。 解：
8
0.4
24
4
0
9
1
x3
8
70.8
74.8
224.4
224.4
673.2 664.2
1992.6
1993.6
23.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 10 2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
f ( xk )(xk xk 1 ) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 )
6：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要求精确到4位 有效数字，取x0=2, x1=2.2。
解： x0=2.0 x1=2.2
1.248* (2.2 2) x2 2.2 2.089 1.248 (1) 0.0621 * (2.089 2.2) x3 2.089 2.094 0.0621 1.248 0.0036 * (2.094 2.089 ) x4 2.094 2.095 0.0036 0.0621 0.00001 * (2.095 2.094 ) x5 2.095 2.095 0.00001 0.00361
(1 x )
2 2 3
2 2 | x ( 1 x ) 2x | = 3
2 3
| x 0 1.5
=0.4557 <1(收敛) ∴2比1收敛快
∵ | 2’(x)|<|1’(x)|
方程求根
解： 3) x x3 1
1 3 3 2 2 3 ' ( x) ( x 1) 2 3x x ( x 1) 2 x0 1.5 2.89 2 2 1 1
方程求根
3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验 证收敛性，精确到4位有效数字。
解：2.在区间[0,1]上构造收敛的公式并计算
x=ln(4x)= φ2(x) (1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)； xk (2) x=ex/4=φ1(x)： e |φ1’(x)|=ex/4<1 (收敛)， 迭代公式为： xk 1
解：计算根 1）迭代公式： xk 1
1 x
3
2 k
2）迭代计算： x0=1.5 x4=1.467
x1=1.481
x2=1.473 x6=1.466
x3=1.469
x5=1.466
∴ x ≈ 1.466
方程求根
5：用牛顿迭代法求方程x5-235.4=0的根，要求精确 到4位有效数字，取初值为3。
解：f(x)=x5-235.4, f’(x)=5x4 1）写出迭代公式： xk 1 xk
5 5 xk 235.4 4 xk 235.4 4 4 5xk 5xk
2）迭代计算： x0=3.0
x4=2.981
x1=2.977
x2=2.982
x3=2.981
∴ x≈2.981
方程求根
解：β=10，t=4，L=-2，U=3
机器数个数：2*(β-1)*βt-1*(U-L+1)+1=2*9*103*6+1=108001 距原点最近的非零数：±0.1000*10-2 最大的数：0.9999*103 最小的数：-0.9999*103 相对误差限：0.5*10-3(舍入机)， 10-3(截断机)
0.5000 0.7500 0.8750 0.9375 0.9063
序号
1 2 3 4 5
序号
6 7 8 9 10
根的近似值
0.9219 0.9141 0.9180 0.9200 0.9209
方程求根
3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验 证收敛性，精确到4位有效数字。 解：1.找出方程的有根区间
方程求根
3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验 证收敛性，精确到4位有效数字。
解：2.在区间[2,3]上构造收敛的公式并计算
x=ln(4x)= φ2(x) (1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)； (2) x=ex/4=φ1(x)： |φ1’(x)|=ex/4>1 (发散)
(3) x=ln(4x)= φ2(x): |φ2’(x)|=1/x<1 (收敛),
e( x1 ) e( x2 ) e( x3 ) 0.5 *10 4 0.5 *105 0.5 *105 0.6 *10 4
绪论
4：一台10进制的计算机，4位字长，阶码 p∈[-2,3]，可以表示的机器数有多少个？给 出它的最大数、最小数及距原点最近的非零 数，并求fl(x)的相对误差限。
迭代公式为：
xk 1 ln(4xk )
x3=2.137 x8=2.153
(4) 计算：x0=2 x4=2.146 x5=2.150
x1=2.079 x2=2.118 x6=2.152 x7=2.153 ∴ x ≈ 2.153
方程求根
4：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方程写成如 下不同的等价形式，判断是否满足迭代收敛的条件， 并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5为初值求方 程的根，要求精确到4位有效数字。
a. 0.41003×106 c. 4.10037×105 b. 0.41004×106 d. 上溢 a．0.00235 c．0.0023 b．0.0023471 d．0.00234711
第一章 绪论 练习
6. 自然数e*=2.718281828459045…，取 e≈2.71828，那么e的有效数字是: ( b )
3.2589
3.2590 4.3820 0.00078925
绪论
3：已知下列近似值x1=4.8675, x2=4.08675, x3=0.08675，求x1+x2+x3的误差限。 解：
e( x1 ) 0.5 *104 , e( x2 ) 0.5 *105 , e( x3 ) 0.5*105 e( x1 x2 x3 ) e( x1 ) e( x2 ) e( x3 ) e( x1 x2 x3 ) e( x1 ) e( x2 ) e( x3 )
计算方法(数值分析)
习题答案——第一、二章
教师：马英杰 成都理工大学 核自学院
绪论
1：指出下列各数有几位有效数字
4.8675 4.08675 0.08675 96.4730 96*105 5 6 4 6 2
0.00096
2
绪论
2：对下列各数写出具有5位有效数字的近似 值
3.25894 3.25896 4.382000 0.000789247
(1)单调区间：
令f’(x)=ex-4=0, x=ln4≈1.4，所以有两个单调区间： [- ∞，1.4](递减)和[1.4， ∞](递增)
(2)有根区间：∴ 存在两个有根区间为：[0，1] 和[2，3]
[- ∞，1.4]区间：f(0)=1>0，f(1)=e-4<0，所以有根区间为：[0，1] [1.4，+ ∞]区间：f(2)=e2-8<0，f(3)=e3-12>0，所以有根区间为：[2，3]
(3) x=ln(4x)= φ2(x): |φ2’(x)|=1/x>1 (发散) (4) 计算：x0=0 x1=0.2500 x4=0.3529 x5=0.3558 x9=0.3574 x8=0.3573 x2=0.3210 x6=0.3568 x10=0.3574
4
x3=0.3466 x7=0.3572 ∴ x ≈ 0.3574
1) 2) 4) 3)
x=1+1/x2 x3=1+x2 x2=x3-1 x2=1/(x-1)
方程求根
解：1) x 1 1 x2
|1’(x)|= | -2 1 x3 |= 2
(x)
1 1.53 | x0=wk.baidu.com.5 =0.59 <1(收敛)
2) x 3 1 x 2
| 2’(x)|= | 1 3
第一章 绪论 练习
3．设数据x1，x2的绝对误差限分别为0.05和 0.005，那么两数的乘积x1x2的绝对误差限 (x1x2)= 0.05 x2 0.005x1 。 4. 0.00234711 具有 5 位有效数字的近似值 是: ( b ) 5. 在β=10，t=5，－L=U=5的截断机上， 与数410037对应的规格化浮点数是: ( d )
1
用迭代法求方程根的关键问题是：
a．精确地选定初值 c．正确构造一个迭代公式
b．选定一个粗糙的初值 d．编好计算程序
2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
方程求根
2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区间[0,1]内 的1个实根，要求3位有效数字。
解：3）迭代计算
∴x ≈0.921
根的近似值
4) x
1 x 1
>1(不收敛)
|’(x)|= | 1 2
( x 1)
3 2
|x0 1.5
=1.4142
>1(不收敛)
∵ | 2’(x)|<|1’(x)|
∴2比1收敛快
xk 1 3 1 xk2
方程求根
4：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方程写成如 下不同的等价形式，判断是否满足迭代收敛的条件， 并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5为初值求方 程的根，要求精确到4位有效数字。
a．5位
b．6位
c．7位
d．8位
7. 数13.013627……的有四位有效数字的近似值是: ( )
a．13.00 c．13.014 d．13.02 b d．13.013
方程求根
1：证明方程1-x-sinx=0在[0,1]中有且只有1个 根，用二分法求误差不大于1/2*10-3的根需要 迭代多少次？
f(x0)=-1 f(x1)=1.248
f(x2)=-0.0621
f(x3)=-0.0036
f(x4)=0.00001
∴ x ≈ 2.095
方程求根——练习1
求解方程f(x)＝0，若可以表成x＝(x)， 则用简单迭代法求根，那么要使近似根 序列x1 , x2 ,, xn ,一定收敛，(x)应满足：
解：1）求单调区间 f’(x)=-1-cosx，可知在(3.14, 0)区间f’(x)<0，单调递减 2）在(3.14, 0)区间逐步搜索 f(0)=1-0-sin0=1>0，f(1)=1-1-sin1=-sin1<0 ∴方程1-x-sinx=0在[0,1]中有且只有1个根。 ba 1 1 3）求二分次数 k 1 k 1 *10 3