2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题(三)

合集下载

四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

雅安市2023-2024学年下期期末教学质量检测高中一年级数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数所表示的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位数为（）A ．B ．9C ．D ．103．复数满足，则（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在梯形ABCD 中，，E 在BC 上，且，设，，则（）A ．B ．C ．D ．5．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，则（）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则()3i 1i -172192z 1i 22i z z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+2AB DC =12CE EB =AB a = AD b = DE = 1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b - αm α⊥n α∥m n⊥m α∥n α∥m n ∥m α⊥m n ⊥n α∥m α∥m n ⊥n α⊥6．一艘船向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东方向上，航行后到B 处，看到灯塔S 在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔S 的距离（即BS 的长）为（）AB ．C ．D ．7．在复平面内，满足的复数对应的点为Z ，复数对应的点为，则的值不可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知下面给出的四个图都是正方体，A ，B 为顶点，E ，F 分别是所在棱的中点，① ②③ ④则满足直线的图形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座．为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（）30︒10nmile 75︒5i 11iz --=-z 1i --0Z 0Z Z AB EF ⊥A ．讲座前问卷答题得分的中位数小于70B ．讲座后问卷答题得分的众数为90C ．讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D ．讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10．若平面向量，满足，则（）A ．B ．向量与的夹角为C ．D ．在上的投影向量为11．如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则（）A ．P 在侧面B ．异面直线AB 与MP 所成角的最大值为C ．三棱锥的体积为定值D ．直线MP 与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．a b 2a b a b ==+= 2a b ⋅=- a a b - π3a b -= a b - a 32a 1111ABCD A B C D -11A B 11CDD C MP ∥1AB C 11CDD C π21A PB C -12411ABB A ⎡⎣12．某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为________．13．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，BC 边上，则________．14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括A ，B ，C 在内的各个顶点都在球O 的球面上．若P 为球O 上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球O 的体积为V ，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数，（其中）．（1）若为实数，求m 的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数p ，q 的值．16．（15分）已知向量，．（1）若与垂直，求实数k 的值；（2）已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且，，．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．17．（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间ABC △()πsin π2A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭6b =c =P ABC -1V 1V V=12i z m =-2i z m =-m ∈R 12z z 1m =12z z ⋅220x px q ++=()1,2a =- ()3,2b =2ka b - 2a b + 2OA a b =+ 3OB a b =+ ()3,2OC m m =-，，…，分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？18．（17分）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知________．（1）求角C 的大小；（2）若点D 在AB 上，CD 平分，，，求CD 的长；（3a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．19．（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD 是正方形，底面ABCD ，，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点[)50,60[)60,70[]90,10085%()in cos s a C C a B +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()s sin s in in C A B A -=-ABC △ACB ∠2a =c =PA ⊥PA AB =（1）平面AEF 与平面PBC 是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面AEF ，求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值．B PCD --PC ∥数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．11题选对1个得2分，选对2个得4分，全部选对的得6分，有选错的得0分；10题选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分．9．ACD10．AD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3013．314四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【解析】（1），因为为实数，所以，解得．故为实数时，m 的值为．（2）当时，，，则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得()()()2122232i 2i i 2i i 11m m m m z m m m m z +--+-===-++12z z 220m -=m =12z z 1m =12i z =-21i z =-()()1221i =1-3i z i z =--⋅13i -220x px q ++=()()2213i 13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p ⎩+-=-+⎧⎨=4,20.p q ⎧⎨⎩=-=16．（15分）【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得．（2），，，，因为A ，B ，C 三点共线，所以．所以，解得．17．（15分）【解析】（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0．2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为．（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- AB AC∥()()22637m m ---=-⨯-2m =[)50,60[)60,70[]90,10010a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)50,60[)60,70[]90,100()506060707080809090100005005020403835kg 22..222....+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%90kg 10031007..-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =95kg方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．18．（17分）【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以．又，则，所以．若选条件②．由正弦定理得，所以，，，即．因为，所以，所以．若选条件③在中，因为，，所以，90kg 10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()g .0.8507901095k 10.7-+⨯=-95kg cos sin a A C a +=sin sin cos si n A A C C A +=π02A <<sin 0A >i 1cos n C C +=1c os C C -=1122cos C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ=66C -π3C =2sin sin s n πsin i 6A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin 2s sin 1in c 2os 2B A B C B B B C ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos 2sin sin B C B C B ++=i sin sin cos s n cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++i sin s n cos sin C B B C B =+1c os C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ=66C -π3C =ABC △()s sin s in in C A B A -=-πA B C ++=()()n s s s n i i in C A C A A +-=-即，化简得．又，则，故．因为，所以．（2）依题意，，即，则，在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以．（3）依题意，的面积，所以．又为锐角三角形，且，则，所以．又，则，所以．由正弦定理，得，所以，所以所以a 的取值范围为．19．（17分）【解析】（1）平面平面PBC．理由如下：因为平面ABCD ，平面ABCD ，sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin co 2s sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠cos 12C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623D a b a CD b C ⋅+⋅=⋅⋅⋅()b CD a b ⋅+=CD =ABC △22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC △sin 1122ABC S C ab ab ===△4ab =ABC △π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin B a b A =sin sin A Bb a =221s sin sin s 2in π4sin 223B a B ab B BB ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭===228a <<a <<AEF ⊥PA ⊥BC ⊂所以，因为，又．所以平面PAB ，故．在中，，E 为PB 的中点，所以．因为平面PBC ，平面PBC ，，所以平面PBC ．又平面AEF ，所以平面平面PBC ．（2）不妨设，计算可得，，又，，，所以，则，作于G ，连结DG ，又，，可知，所以，所以是二面角的平面角．在中，由，，则，，连结BD ，知中，根据余弦定理，得，所以．（3）因为直线平面AEF ，平面PBC ，平面平面，所以直线直线EF ．又E 为线段PB 的中点，所以F 为线段BC 上的中点．由（2）知，所以．设BG 与EF 交点为H ，连结AH ，由（1）知，平面平面PBC ，平面平面，PA BC ⊥BC AB ⊥PA A AB = BC ⊥BC AE ⊥PAB △PA AB =AE PB ⊥PB ⊂BC ⊂PB BC B = AE ⊥AE ⊂AEF ⊥1AB =PB PD ==PC ==PB PD =BC DC =PC PC =PBC PDC △≌△PCB PCD =∠∠BG PC ⊥BC DC =CG CG =GBC GDC △≌△90DGC BGC ∠=∠=︒BGD ∠B PC D --Rt PBC △C P P BG C B B =⋅⋅1=BG =DG =BD =GBD △2221cos 22BG D D BGD DG G B BG +-=∠⋅==-120BGD ∠=︒PC ∥PC ⊂PBC AEF EF =PC ∥BG PC ⊥BG EF ⊥AEF ⊥AEF PBC EF =所以平面AEF ．所以直线AB 与平面AEF 所成角为．又由EF ，F 为BC 上的中点，可得H 为BG 的中点，可知，，又，所以．直线AB 与平面AEFBH ⊥BAH ∠PC ∥12BH BG ===1AB =sin A BA BH H B =∠=。

广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．在ABC V 中，3BE EC =u u u r u u u r ，则AE =u u u r（）A ．1233AB AC +u u ur u u u rB ．2133AB AC +u u ur u u u rC ．1344AB AC +u u ur u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r2．下列的表述中，正确的是（）A ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C ．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D ．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3．若两个非零向量,a b rr 的夹角为θ，且满足||2||,(3)a b a b a =+⊥r r r r r ，则cos θ=（） A ．23-B ．13-C ．13D ．234．有一组从小到大排列的样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中i i y ax b =+(1,2,,)i n =⋯，0,0a b >≠，则（）A ．数据231,,,n y y y -⋯的标准差不小于数据12,,,n y y y ⋯的标准差B ．数据231,,,n y y y -⋯的中位数与数据12,,,n y y y ⋯的中位数相等C ．若数据12,,,n x x x ⋯的方差为m ，则数据12,,,n y y y ⋯的方差为amD ．若数据12,,,n x x x ⋯的极差为d ，则数据12,,,n y y y ⋯的极差为ad b + 5．为了得到2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把sin y x =图象上所有的点（）A ．先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变B ．先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C ．先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变D ．先向左平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2,|||AO AB AC AB AO =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BA u u u r 在BC u u ur 上的投影向量为（）A BC u urB ．34BC uu u r C ．58BC u u u rD u ur 7．设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（）A ．π22αβ+=B ．π22αβ-=C ．π22βα-=D ．π22βα+=8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm 10mm =）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨二、多选题9．已知向量(2,),(1,3)a m b ==-r r，则下列说法中正确的是（）A ．若||a b +rr 4m = B ．若||||a b a b +=-r rr r ，则23m =C ．若//a b rr ，则6m =-D ．若向量,a b rr 的夹角为钝角，则m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．已知复数1z ，2z ，则下列说法中正确的是（）．A ．1212z z z z +≤+B ．若2121z z z =，则12z z =C ．若1212z z z z -=+，则120z z =D ．1122z z z z = 11．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知动点P 满足1BP BC BB λμ=+u u u r u u u r u u u r，[0,1],[0,1]λμ∈∈，且1AB AA =，则下列说法中正确的是（）A ．若1λ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值 B ．若1μ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值C ．若12λμ==，则三棱锥1B AB P -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的16D ．若1λμ+=，则直线AP 与平面11BB C C三、填空题12．已知复数z 满足(1i)2i z +=+，则||z =．13．某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为小时，方差为．14．已知点,G O 在ABC V 所在平面内，满足0,||||||GA GB GC OA OB OC ++===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rr ，且3AG AO ⋅=u u u r u u u r，||AG =u u u r BC 的长为．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，P 分别为CD ，11A B 的中点．AB E；(1)求证：直线//DP平面1BB E的距离．(2)求点A到平面116．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17．已知甲船在A海岛正北方向B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60︒的方向航行．(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；(2)在A海岛西偏南60︒方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．-中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为18．在四棱锥P ABCD矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值；(3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值．19．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．(1)若2AD =，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值； (2)在ABC V 中，记BAC ABC ACB ∠∠∠，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足2()c b b a += ①求证：2BAC ABC ∠=∠； ②求4cos c bb ABC+∠的最小值．。

河北邯郸2024年高一下学期期末质检数学试题+答案

邯郸市2023—2024学年第二学期期末质量检测高一数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有三组数据（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.设它们的方差依次为222123,,s s s ，则（） A.222123s s s >> B.222132s s s >> C.222132s s s << D.222123s s s <<2.在复平面内，非零复数z 满足i z z =（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（） A.一､三象限 B.二､四象限C.实轴上（除原点外）D.坐标轴上（除原点外）3.已知向量(),1ab =，且()23a b b +⋅= ，则向量a与向量b 的夹角为（）A.π6 B.π4C.π3D.π24.已知ABC 的顶点坐标分别是())(,,0,A BC −，则sin C =（）D.5.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为假命题的是（） A.若α∥,,m l βαβ⊥⊥，则m ∥lB.若,,m l m l αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m m βα⊂∥l ，则l ∥βD.若m ∥,,l m l α⊥∥β，则αβ⊥6.在ABC 中，60,2A AB AC ∠==，平面内一点O 满足OA OB OC == ，则向量OC 在向量AB 上的投影向量为（）A.14AB AB C.14AB − D.AB7.在三棱锥S ABC −中，SA ⊥平面,4,6ABC ABAC BC ===，若该三棱锥的体积为球的表面积为（） A.256π7 B.368π7C.48πD.32π 8.甲､乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件M =“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N =“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S =“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（）A.M N ⊆B.()()()P M N P M P N ∪=+C.()()P S P N <D.()()P S P M =二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知非零向量,,a b c，下列说法错误的是（） A.若a a b b ⋅=⋅，则a b =±B.若a b a b +=+，则a b a b ⋅=C.若()2,1,1a b==，且a∥b ，则a =D.若()3,4a =，则与a垂直的单位向量的坐标为43,55 −10.已知复数,z w 均不为0，则下列式子正确的是（） A.20z B.zw w z=C.2z z z +=D.11.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6,A B C D =为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（） A.ABC 为钝角三角形B.ABC 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D.若ABD CBD ∠∠=，则::5BD AC =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校高一年级有1250人，全年级学生的近视率为60%，男生中有390人近视.学校医务室计划通过抽样的方法估计高一年级所有近视学生的平均度数.现从近视的学生中通过按比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本，样本中男生的平均度数为300度，女生的平均度数为350度，则估计高一年级近视学生的平均度数为__________度.13.在如图所示的圆锥中，AB 为底面圆O 的直径，C 为 AB 的中点，24AB OP ==，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为__________.14.已知,OA OB 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP，有且只有一对实数,x y 使OP xOA yOB =+ ，且当,,P A B 共线时，有1x y +=.同样，在空间中若三个向量,,OA OB OC不共面，那么对任意一个空间向量OP，存在唯一的在度实数组(),,x y z ，使得OP xOA yOB zOC =++ ，目当,,,P A B C 共面时，有1x y z ++=.如图，在四棱锥P ABCD −中，BC ∥,2AD AD BC =，点E 是棱PD 的中点､PC 与平面ABE 交于F 点，设PF xPA yPB zPE =++，则PFPC=__________；2y z x +−=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为响应“强化学校体育工作，推动学生文化学习和体育锻炼协调发展”的号召，现从某学校随机抽取了100名学生，获得了他们一周体育运动的时间（单位：h ），将数据绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的a ，并估计该校学生一周体育运动时间的平均数；（2）为鼓励同学们积极参加体育运动，学校计划对一周运动时间较长的前30%同学给予奖励，若小华一周体育运动时间为9.4小时，他能否获得奖励？请说明理由. 16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱111A B C ABC −中，2,ABAC D ==为BC 的中点.（1）证明：1A B ∥平面1AC D ；（2）若三棱柱111A B C ABC −的体积为AB BC =，求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值. l 7.（本小题满分15分）如图，在平面四边形ABCD 中，设,,,sin cos BC a AB c AC b a CBA BAC ∠∠====.（1）求sin BAC ∠，（2）若,22AB AC CD AD ===，求ADC ∠为何值时，平面四边形ABCD 的面积最大？ 18.1（本小题满分17分）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K 共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）､方块（红色）､黑桃（黑色）､梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K 即为成功.现有三种抽取方式，如下表：方式① 方式② 方式③抽取规则有放回依次抽取不放回依次抽取按数字等比例分层抽取成功概率1p 2p 3p（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；（2）若三种抽取方式小明各进行一次，（i ）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii ）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p ，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p 最大？如果无关，请给出简要说明. 19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,ABCD PD DC =，点H 在棱PC 上.（1）证明：平面HAB ⊥平面PAD ；（2）当13CH CP =时，求二面角H DB C −−的正切值；（3）过H 且与,PB CD 都平行的平面α分别交,,BC PD BD 于,,Q M N ，若3PD =，当H 在线段PC 的两个三等分点之间运动时（含三等分点），求四边形MHQN 面积的取值范围.邯郸市2023—2024学年第二学期期未质量检测高一数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案DACACCBDACDBDBCD1.D 解析：由对称性可知三组数据的平均数相等，再结合数据的集中与离散程度可知选D. [命题意图]考查方差的意义.2.A 解析：设i z a b =+，由已知得i z z =，即()i i i i,a b a b b a a b +=−=+∴=，故选A. [命题意图]考查复数的运算及几何意义.3.C 解析：(()2,2,22cos ,||4cos ,13a a a b b a b a b b a b =∴=∴+⋅=+=+=，1cos ,2a b ∴= ，又[]π,0,π,,3a b a b ∈∴=，故选C.[命题意图]考查向量的数量积.4.A 解析：方法一：由())(2,0,,0,A BC −，知4,AB AC BC ==定理知222cos 2AC BC AB ACB AC BC∠+−==⋅，所以sin ACB ∠=A.方法二：如图，由())(,,0,A BC −，知π,sin 4ACOBCO BCO∠∠∠==，()sin sin sin cos cos sin ACB ACO BCO ACO BCO ACO BCO∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=，故选A.[命题意图]考查余弦定理及同角三角函数关系. 5.C 解析：C 中由α∥,m βα⊂可得m ∥β，当m ∥l 且满足l β⊂时，不满足l ∥β，故C 错误.[命题意图]考查空间直线､平面间的位置关系. 6.C 解析：在ABC 中，由余弦定理知222,,BC AC BC AB ABC =∴+= 为直角三角形，又OA OB OC == ，故外心O 是斜边AB 的中点，AOC ∴ 为正三角形，由投影向量的几何意义，向量OC 在向量AB 上的投影向量为14AB −，故选C.[命题意图]考查投影向量的定义.7.B 解析：如图，将三棱锥S ABC −补成三棱柱SDE ABC −，则三棱锥S ABC −和三棱柱SDE ABC −的外接球相同，设12,O O 分别为ABC 和SDE 的外心，则三棱柱SDE ABC −的外接球球心O 为12O O 的中点，连接1AO 并延长交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，连接AO ，因为AB AC =，所以,sin AFAF BC ABC AB ∠⊥=12sin ACAO ABC ∠==，所以1AO =1132S ABCV BC AF SA −=×⋅⋅=可得4SA =，则222111922,7OO AO AO OO ==+=，则外接球的表面积2368π4π7S AO =⋅=，故选B.[命题意图]考查几何体的体积，外接球等综合问题.8.D 解析：用()1,2i x i =表示甲第i 次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用()12,x x 表示.用1表示正面向上，0表示反面向上，则样本空间()()()(){}()(){}Ω0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,{(0M N ===，()0),1,1}，故A ，B 错误；对于事件S ，方法一：借助表格列举如下，()0,0,0()0,0,1()0,1,0()1,0,0()1,1,0()1,0,1()0,1,1()1,1,1()0,0√√√√√√√()0,1 √ √ √ √()1,0 √ √ √ √()1,1√()74411322P S +++∴==，又()()12P M P N ==，所以C 错误，D 正确，故选D.方法二：设事件T =“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则()()P S P T =，下证事件S 与事件T 对立.若事件S 与事件T 同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件S 与事件T 都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件S 与事件T 对立，()()12P S P T ∴==，故选D. [命题意图]考查事件的互斥与相互独立的定义，考查古典概型概率的计算.9.ACD 解析：若a a b b ⋅=⋅ ，即22||a b = ，则a b = ，故A 错误；由a b a b +=+ 知,a b 同向共线，则a b a b ⋅=，故B 正确；由a∥b ，设(),a b λλλ== ，又222,4,a a λλλ=∴+=∴=∴=或(a ，故C 错误；设与a垂直的单位向量的坐标为(),x y ，则221,340,x y x y +=+=解得4,535x y = =− 或4,53,5x y=− =故D 错误，故选ACD.[命题意图]考查向量数量积与模的运算､向量的共线与垂直的坐标运算.10.BD 解析：设i z =，则22i 10z ==−<，故A 错误；由复数的模的性质zw z ww zz==，故B 正确；设1i z =+，则1i,||2z z z =−+=，而2z =，故C 错误；222||||||||z z z z z z z ===，又2222||||||||||||z z z z z z z z z ====，故D 正确，故选BD. [命题意图]考查复数及模的运算性质.11.BCD 解析：由题知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可知::4:5:6a b c =，不妨设4a m =，则5,6b m c m =，对于A ，由上知c 为最大边，故C 为最大角，由余弦定理知1cos 08C =>，故C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，由上知A 为最小角，且3cos 4A =，又1cos 8C =，知3cos 24C =，且,A C 均为锐角，则2C A =，故B 正确；对于C,2BD BA BC =+，平方得()22222222222242cos 2279,2a c b BD c a ac ABC c a ac a c b m BD ac ∠+−=++=++⋅=+−=∴=，又5AC m =，故::10BD AC =，故C 正确；对于D ，由9cos 16B =得sin B =，又29cos 12sin 216B B =−=，所以sin 2B =，由ABCBCD BAD S S S =+ ，即()1146sin 46sin 222Bm m B m m BD ×××=×+××，故BD =，故D 正确，故选BCD. [命题意图]考查三角函数､正余弦定理､解三角形､三角形中线､角平分线的应用.12.324 解析：高一年级女生近视人数为125060%390360×−=，则高一年级近视学生的平均度数为390360300350324750750×+×=. [命题意图]考查分层随机抽样的平均数. 13.12解析：方法一：如图，连接AC ，分别取,PB AC 的中点,D E ，连接,,OD OE DE ，则OD ∥,PA OE ∥BC ，则DOE ∠或其补角为异面直线AP 与BC 所成角，作DF AB ⊥于点F ，连接EF ，由C 为 AB 的中点可得AC BC =，且AC BC ⊥，而4AB =，则3,45AC BC AE AFBAE ∠===== ，由余弦定理可得11,2EF DF OP DE OE OD ===2221cos 22OD OE DE DOE OD OE ∠+−==−⋅，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.方法二：如图，连接,AC PC ，分别取,AC PC 的中点,D E ，连接,,OD DE OE ，则DE ∥,PA OD ∥BC ，则ODE ∠或其补角为PA 与BC 所成角，1122DE PA OD BC ===，Rt POC 中，12OE PC ==，则ODE 为等边三角形，则60ODE ∠= ，即异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.[命题意图]考查异面直线所成的角. 14.23；2 解析：方法一：1,22z PF xPA yPB zPE xPA yPB PD PC AC AP AB BC AP AB AD AP =++=++=−=+−=+− ，()()111222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++又,,P F C 三点共线，即存在实数λ，使得PF PC λ= ，故11,,222z x y λλλ=−==，又1x y z ++=，所以23λ=，故1222,,,,223333PF x y z y z x PC λ=−==∴==+−=. 方法二：过P 作l ∥AD ，延长AE 交l 于点.G AD ∥,BC AD ∥,l BC ∴∥l ，连接BG ，与PC 的交点即为21,2,,32PF PG PG AD PE AD PF F PC AC AP AB BC AP AB AD AP FC BC AD BC ED BC PC ∴==⋅=⋅=∴==−=+−=+− ()()111,222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++ 22113322PF PC PA PB PD ∴==−++ 122221,222333333PA PB PE y z x =−++∴+−=+−×−= . 注：确定F 位置的方法不唯一.[命题意图]考查立体几何与向量的综合运用.15.解：（1）（0.010.020.070.170.070.040.01)21,0.11a a +++++++×=∴= 该校学生一周体育运动时间的平均数的估计值为10.0230.0450.1470.3490.22110.14130.08150.028.08×+×+×+×+×+×+×+×=.（2）不能. ()0.220.30.020.080.14168289.459.40.2211−−+++×=+≈>. 故小华不能获得奖励.[命题意图]考查频率分布直方图及平均数､百分位数的计算.16.解：（1）证明：如图，连接1AC 交1AC 于点O ，连接OD ，则OD 为1ABC 的中位线，OD ∴∥1A B ，又OD ⊂平面11,AC D A B ⊄平面11,AC D A B ∴∥平面1AC D .（2）2AB AC BC === ，111114ABC A B C ABC S V AA −∴===∴= ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，又1BB ⊥平面1,ABC BB AD ∴⊥，又1,BB BC B AD ∩=∴⊥平面11BCC B ， 1AC D ∠∴为直线1AC 与平面11BCC B 所成角，1AC =，又AD =11sin AD AC D AC ∠∴=.[命题意图]考查线面平行的判定和线面角.17.解：（1）由已知及正弦定理知sin sin cos BAC CBA CBA BAC ∠∠∠∠⋅=⋅，因为sin 0CBA ∠≠，故tan BAC ∠=，又0πBAC ∠<<，所以π3BAC ∠=，所以sin BAC ∠=. （2）由（1）知π3BAC ∠=，又AB AC =，故ABC 为等边三角形，设(),0,πADC∠θθ=∈. 11sin sin 22ADC ABC ABCD S S S CD AD AB AC BAC θ∠=+=⋅⋅+⋅⋅ 平面四边形221121sin sin 22AC AC θθ=×××+×=+，在ADC 中，由余弦定理知2222cos 54cos AC CD AD CD AD θθ=+−⋅⋅=−，所以πsin 2sin 3ABCD S θθθ ==+−平面四边形，又ππ2π,333θ −∈− ，所以当ππ32θ−=，即5π6θ=时，平面四边形ABCD 的面积最大，2+. [命题意图]考查正余弦定理解三角形､三角形面积公式､三角函数求最值.18.解：（1）设方式①的样本空间为1Ω，方式②的样本空间为2Ω，方式③的样本空间为3Ω，则()()()123Ω8864,Ω8756,Ω444432n n n =×==×==×+×=，设事件A =“抽到一张红10和一张红K ”，{A =（红桃10，红桃K ），（红桃10，方块K ），（方块10，红桃K ），（方块10，方块K ），（红桃K ，红桃10），（方块K ，红桃10），（红桃K ，方块10），（方块K ，方块10），故()()()()()()123123818181,,Ω648Ω567Ω324n A n A n A p p p n n n =========. （每个2分）（2）（i ）记三次抽取至少有一次成功为事件B ，则()()()()12376371111187416p B p p p =−−−−=−××=. （ii ）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法一：设三次抽取成功的概率分别为,,a b c （即,,a b c 为123,,p p p 不同顺序的一个排列），则()()()112p ab c a bc b a c abc =−+−=+−，又()()()321312213123,p p p p p p p p p p p p >>∴+>+>+，故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 方法二：若按①②③的顺序，13711574874112p =×+××=，同理①③②②①③､②③①､③①②③②①顺序下的概率分别为1391395,,,,224224224224112，（每个顺序的概率值1分）故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.[命题意图]考查古典概型，相互独立事件及其概率运算.19.解：①证明：PD ⊥ 平面,ABCD PD AB ∴⊥，在正方形ABCD 中，,,AB AD PD AD D AB ⊥∩=∴⊥平面PAD ， AB ⊂ 平面HAB ，∴平面HAB ⊥平面PAD .（2）如图，在平面PCD 内过点H 作HG CD ⊥于点G ，则HG ∥PD ，又PD ⊥平面,ABCD HG ∴⊥平面ABCD ，过G 作GE BD ⊥于点E ，连接HE ，HE BD ∴⊥，则GEH ∠为二面角H BD C −−的平面角，连接AC 交BD 于点O ，则有23GEDG PH OC CD CP ===，设PD a =，易得OC =，则GE =，tan GH GEH GE ∠∴=（3）PB ∥平面MHQN ，平面MHQN ∩平面PBC HQ =， PB ∴∥HQ ，同理PB ∥,MN HQ ∴∥MN ，又CD ∥平面MHQN ，同理可得MH ∥NQ ，即四边形MHQN 为平行四边形.方法一：sin MHQN S MH MN HMN ∠∴=⋅ ， PB ∥,MN MH ∥,sin sin AB HMN PBA ∠∠∴=， sin MHQN S MH MN PBA ∠∴=⋅，而sin PA PBA PB∠== 设1233PH PC λλ = ，则MH λ=，)1,1HQ CH MN HQ PB PCλλ==−∴==− ，)2212MHQN S λλλ ∴−−−+ .又12,33MHQN S λ ∴∈ . 方法二：如图，延长QN 交AD 于点F ，连接MF ，由（1）得AB ⊥平面,PAD QF ∥AB ， QF ∴⊥平面,,MHQN PAD QF MF S MH MF ∴⊥∴=⋅ ，设1233PH PC λλ =，又3,3PD PM MH λ=∴==，则33,33MD DF CQ λλ=−==−，)1MF λ−，))221312MHQN S λλλλλ ∴=⋅−−−−+又12,33MHQN S λ ∴∈ . [命题意图]考查面面垂直的判定､二面角以及线面平行的性质.。

中职数学 2018-2019学年新疆和田地区皮山县职业高中高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年新疆和田地区皮山县职业高中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本题共16小题，每小题2分，共32分）A ．6B ．7C ．8D ．91．（2分）数列{a n }中，a 1=-15，且a n +1=a n +2，则当前n 项和S n 最小时，n 的值为（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2分）|x |=|y |是x =y 的（）A ．（x +1）2+（y -1）2=5B ．（x -1）2+（y +1）2=5C ．（x -1）2+（y +1）2=5D ．（x +1）2+（y -1）2=53．（2分）圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（）√√A ．25钱B ．45钱C ．65钱D ．75钱4．（2分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？其意思是“已知A ，B ，C ，D ，E ”五个人分重量为6钱（“钱”是古代的一种重量单位）的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．（2分）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°6．（2分）直线3x -y +1=0的倾斜角为（）√7．（2分）如图，为了测量某湿地A ，B 两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC =67.5°，从C 点测得∠ACD =45°，∠BCE =75°，从E 点测得∠BEC =60°．若测得DC =23，CE =2（单位：百米），则A ，B 两点之间的距离为（）√√A ．6B ．3C ．22D ．23√√√A ．52B ．62C ．85D ．978．（2分）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4，AD =3，AA 1=5，且∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60o ，求AC 1的长（）√√√√A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．5π69．（2分）直线3x +y +1=0的倾斜角是（）√A ．34B ．−34C ．43D ．−4310．（2分）若sin （π-α）=-45，cosα>0，则tanα=（）A ．53B ．35C ．54D ．4511．（2分）过双曲线x 2a2−y 2b2=1（a >0，b >0）的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线及其渐近线交于点M ，N （均在第一象限内），若|FM |=4|MN |，则双曲线的离心率为（）A ．（7，-2）B ．（7，2）C ．(5，−112)D ．(−5，−112)12．（2分）已知向量a =(1，−3)，b =(3，12)，则a +2b =（）→→→→A ．3B ．4C ．5D ．713．（2分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=22，a 6=16，则a 3=（）A ．12B ．14C ．16D ．1814．（2分）在等差数列{a n }中，a 2=2，a 3=4，则a 10=（）15．（2分）在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=48，则等差数列{a n }的前13项的和为（）二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共32分）A ．104B ．52C ．39D ．24A ．52B ．7C ．6D ．4216．（2分）已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（）√√17．（4分）与a =（2，-1，2）共线且满足a •b =-9的向量b =。

2018-2019学年湖北省黄冈市株林镇中学高一化学期末试题含解析

2018-2019学年湖北省黄冈市株林镇中学高一化学期末试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 对3NO2＋H2O===2HNO3＋NO反应的下列说法正确的是()A．氧化剂与还原剂的质量比为1﹕2B．氧化产物与还原产物的物质的量之比为1﹕2C．NO2是氧化剂，H2O是还原剂D．在反应中若有6 mol NO2参与反应时，有3 mol电子发生转移参考答案：A2. 下列说法正确的是：A．实验室配制240mL2.0mol/L的NaOH溶液，应称NaOH晶体19.2gB．为防止药品污染，用剩的金属钠放入垃圾桶中C．用25 mL量筒量取22.6 mL盐酸D．用托盘天平称取8.75 g食盐参考答案：C略3. 有X、Y、Z三种金属，把它们放在稀硫酸中，只有Y溶解放出气体。

将Z放入X的盐溶液中，有X金属析出。

已知X、Y、Z在化合物中均显＋2价，则下列结论正确的是()A．金属性：Z＞Y＞XB．还原性：X＞Y＞ZC．氧化性：X2＋＞Z2＋＞Y2＋D．氧化性：X2＋＞Y2＋＞Z2＋参考答案：C解析Y能与稀硫酸反应，而X、Z不能与稀硫酸反应，则Y比X、Z的金属性强，Z能置换出X，则Z比X的金属性强，金属性或还原性：Y＞Z＞X，其阳离子的氧化性：X2＋＞Z2＋＞Y2＋，故C项正确。

4. 关于原电池说法不正确的是：( )A. 右图所示原电池中，Cu为正极B. 右图所示原电池中，开关闭合时，化学能主要转变为电能；断开时，化学能主要转变为热能C. 在原电池中，负极上发生氧化反应，正极上发生还原反应D. 在原电池中，电子从负极经过电解质溶液流向正极参考答案：D略5. 对于反应中的能量变化，下列表述中正确的是()A. 放热反应中，反应物的总能量大于生成物的总能量B. 断开化学键的过程会放出能量C. 加热才能发生的反应一定是吸热反应D. 氧化还原反应均为吸热反应参考答案：A当反应物的总能量大于生成物的总能量时，该反应是放热反应，A正确；断开化学键的过程会吸收能量，B错误；吸热反应不一定需要加热才发生，如氯化铵和八水合氢氧化钡的反应就是吸热反应；加热才能发生的反应不一定是吸热反应，如铝热反应，C错误；食物的腐败变质是氧化反应,该过程是放热的，D错误；正确选项A。

四川省德阳市2018-2019学年高一下学期期末数学(理)试题(解析版)word

A. B. C. D.
7.已知，则的值等于( )
A.2B. C. D.
8.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）
A B.
C D.
9.数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1 ，则a2019的值为（）
A.﹣2B. C. D.
10.已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为
阳市高中2018级第一学年统考数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知直线y x+2，则其倾斜角为（）
A.60°B.120°C.60°或120°D.150°
2.角的终边过点，则等于（）
∴ 2 ，∴t＝2，即（2，4）．
（2）∵2| |＝| | ，即| | ．
∵ 2 与2 垂直，∴（ 2 ）•（2 ）＝2 3 2 0，
即8 3 • 2 0，即3 6 6 ，即 • ，
∴ 在方向上的投影为．
【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
20.
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
12.对任意实数x，表示不超过x的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：① 是周期函数；② 是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为( )
A.①③B.②④C.①②③D.①②④
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）
13.已知等差数列的前项和为，若，则 _____

陕西省榆林二中2017-2018学年高一下学期中考试数学试题(无答案)

榆林市二中2019--2019学年第二学期期中考试高一年级数学试题考试时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°2．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A.()－1，15B.()－∞，12∪()1，＋∞C ．(－∞，1)∪()15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪()12，＋∞3．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝04．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4 B.21313 C.52613 D.72010 5．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝46．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．函数f (x )＝3sin()x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π8．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法：①OP 的中点坐标为()12，1，32；②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 9．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 10．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角11．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( ) A.3π2 B.3π4 C.3π8 D.3π1612．已知cos α＝－513，且α为第三象限角，求tan α( )A.1213 B ．－1213 C.125 D ．－125二、填空题：把答案填写在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 14．已知sin()5π2＋α＝15，那么cos α＝________．15．tan 300°＋sin 450°的值为 = . 16．直线y ＝2x ＋1被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为________.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程和重要的演算步骤（本题共6小题，共70分）17. (10分) 已知角α的终边上有一点的坐标是P (3a ，4a )，其中a ≠0，求sin α，cosα.18.（12分）化简：(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋ tan(－1 089°)tan(－540°)(2)tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－α－π）sin （－π－α）19.（12分）求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程． 20.（12分）已知函数f (x )＝a sin()2ωx ＋π6＋a2＋b ()x ∈R ，a >0，ω>0的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω，a ，b 的值； (2)求出f (x )的单调递增区间．21.（12分）已知sin θ＝45，π2＜θ＜π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．22.（12分）) 过原点O 的圆C ，与x 轴相交于点A (4,0)，与y 轴相交于点B (0,2)．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线L 过B 点与圆C 相切，求直线L 的方程，并化为一般式．。

2018-2019学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．（5分）若集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅2．（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x2B．y＝|x|C．y＝sin x D．y4．（5分）如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A．B．2πC．3πD．4π5．（5分）已知函数f（x）＝cos x，下列结论不正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2πB．函数y＝f（x）在区间（0，π）内单调递减C．函数y＝f（x）的图象关于y轴对称D．把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度可得到y＝sin x的图象6．（5分）已知直线l是平面α的斜线，则α内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线7．（5分）若a＞0，且a≠1，则“a”是“函数f（x）＝log a x﹣x有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则（）A．B．C．D．9．（5分）英国数学家布鲁克•泰勒（TaylorBrook，1685～1731）建立了如下正、余弦公式：sin x＝x（﹣1）n﹣1，cos x﹣1（﹣1）n其中x∈R，n∈N*，n！＝1×2×3×4×…×n，例如：1!＝1，2！＝2，3！＝6．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01）（）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.9610．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x+m2﹣2，若存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]B．[﹣2，0）∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分.11．（5分）设i为虚数单位，复数z＝i（4+3i）的模为．12．（5分）已知（2，4），（1，3），则•．13．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为．14．（5分）某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有人．15．（6分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则ω＝；tanφ＝．16．（6分）棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm（如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A﹣A1BC（如图2），则a＝；h＝．三、解答题：本大题共5小题，第17题12分，其余每小题12分，共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＞c，且2c sin A a．（1）求角C的大小；（2）若c＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且∠AOP，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q（a，b）．（1）当θ 时，求ab的值：（2）设θ∈[，]，求b﹣a的取值范围．19．（14分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：（2）根据以上图表数据，计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点：（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．（1）求证：平面EFC⊥平面BB1D；（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法，并计算的值（不必写出计算过程）．注：请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑．21．（14分）己知函数f（x），，，＞，其中a∈R．（1）当a＝l时，求f（x）的最小值；（2）设函数f（x）恰有两个零点x1，x2，且x2﹣x1＞2，求a的取值范围．2018-2019学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．（5分）若集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅【解答】解：∵集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2}．故选：B．2．（5分）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率：P．故选：C．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x2B．y＝|x|C．y＝sin x D．y【解答】解：对于A．y＝x2，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B．y＝|x|，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于C．y＝sin x，奇函数，不满足题意，对于D．y，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．4．（5分）如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A．B．2πC．3πD．4π【解答】解：如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，∴该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积：S3π．故选：C．5．（5分）已知函数f（x）＝cos x，下列结论不正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2πB．函数y＝f（x）在区间（0，π）内单调递减C．函数y＝f（x）的图象关于y轴对称D．把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度可得到y＝sin x的图象【解答】解：由余弦函数f（x）＝cos x的性质可知，函数的周期是2π．A正确．余弦函数f（x）＝cos x在区间（0，π）内单调递减，所以B正确；余弦函数是偶函数，所以C正确；函数的图象把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度可得到y＝﹣sin x的图象，所以D不正确．故选：D．6．（5分）已知直线l是平面α的斜线，则α内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线【解答】解：直线l是平面α的斜线，则α内不存在与l平行的直线，故选：B．7．（5分）若a＞0，且a≠1，则“a”是“函数f（x）＝log a x﹣x有零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a时，函数f（x）＝log a x﹣x在（0，+∞）是单调递减函数，∵f（）＞0，f（1）＝﹣1＜0，∴f（）•f（1）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上存在零点，即充分性满足；又当a时，同理可推出函数f（x）存在零点，即必要性不满足；故“a”是“函数f（x）＝log a x﹣x有零点”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则（）A．B．C．D．【解答】解：据题意得，G为△ABC的重心；∴．故选：C．9．（5分）英国数学家布鲁克•泰勒（TaylorBrook，1685～1731）建立了如下正、余弦公式：sin x＝x（﹣1）n﹣1，cos x﹣1（﹣1）n其中x∈R，n∈N*，n！＝1×2×3×4×…×n，例如：1!＝1，2！＝2，3！＝6．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01）（）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.96【解答】解：由题意，只需要精确到0.01即可，∴cos0.2＝1．1﹣0.02＝0.98．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x+m2﹣2，若存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]B．[﹣2，0）∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【解答】解：由题意，m•2x+x+m2﹣2+m•2﹣x﹣x+m2﹣2＝0有解，即，又，当且仅当“2x＝1”时取等号，∴，解得m≤﹣2或0＜m≤1．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分.11．（5分）设i为虚数单位，复数z＝i（4+3i）的模为5．【解答】解：由z＝i（4+3i）＝﹣3+4i，得|z|．故答案为：5．12．（5分）已知（2，4），（1，3），则•﹣6．【解答】解：（2，4），（1，3），可得（1，3）﹣（2，4）＝（﹣1，﹣1）．则•2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6．13．（5分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为0.56．【解答】解：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7．现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为p＝0.8×0.7＝0.56．故答案为：0.56．14．（5分）某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有16人．【解答】解：某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，则抽到的家长有：6416．故答案为：16．15．（6分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则ω＝2；tanφ＝．【解答】解：∵A＞0，ω＞0，由函数图象可得：A＝2，T，可得：T＝π ，∴ω＝2；∴f（x）＝2sin（2x+φ），又f（）＝2sin（2 φ），可得：sinφ ，∵0＜φ＜，∴cosφ ，可得：tanφ ．故答案为：2，．16．（6分）棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm（如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A﹣A1BC（如图2），则a＝；h＝．【解答】解：在图2中，水的体积为V S△ABC•AA1•1，即a．∴在图1中，水的体积为V S ABED•AA1，∴S ABED，∴，故，又△ABC的高为，△CDE的高为h，∴（）2，解得h．故答案为：，．三、解答题：本大题共5小题，第17题12分，其余每小题12分，共68分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＞c，且2c sin A a．（1）求角C的大小；（2）若c＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵2c sin A a．∴由正弦定理可得：2sin C sin A sin A，∵sin A≠0，∴解得sin C，∵a＞c，C为锐角，∴可得C．（2）∵C，c＝4，△ABC的面积为，∴ab sin C，解得：ab＝4，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，可得：（a+b）2＝42+3×4＝28，∴解得a+b＝2，∴△ABC的周长a+b+c＝24．18．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P 为单位圆上的一点，且∠AOP，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q（a，b）．（1）当θ 时，求ab的值：（2）设θ∈[，]，求b﹣a的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得P（cos，sin）即为（，），a＝cos（）＝cos，b＝sin，可得ab＝sin cos sin；（2）由题意可得a＝cos（ θ），b＝sin（ θ），即有b﹣a＝sin（ θ）﹣cos（ θ）sinθ，由θ∈[，]，可得sinθ∈[，1]，则b﹣a的范围是[1，]．19．（14分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：（2）根据以上图表数据，计算得样本的平均数为28.5km，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点：（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【解答】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）中位数的估计值为：5×0.02+5×0.024+5×0.026＝0.35＜0.5．0.35+5×0.036＝0.53＞0.5．∴中位数位于区间[25，30）中，设中位数为x，则0.35+（x﹣25）×0.036＝0.5，解得x≈29.2．∵28.5＜29.2．∴估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有（5×0.02+5×0.024）×1000＝220人，核心跑者：（5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030）×1000＝680人，精英跑者1000﹣220﹣680＝100人，∴该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要：3720元．20．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．（1）求证：平面EFC⊥平面BB1D；（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法，并计算的值（不必写出计算过程）．注：请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑．【解答】解：（1）证明：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点．∴BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥EC，在Rt△DCB中，tan∠，在Rt△EBC中，tan∠BEC，∴∠DBC＝∠BEC，∵在Rt△EBC中，∠BEC+∠ECB＝90°，∴∠DBC+∠ECB＝90°，∴CE⊥BD，∵BB1∩BD＝B，∴EC⊥平面BB1D，∵EC⊂平面BB1D，∴平面EFC⊥平面BB1D．（2）设BD∩CE＝M，在平面BB1D内过点M作BB1的平行线，交BD1于点O，则O即为直线DB1与平面EFC的交点O，2．21．（14分）己知函数f（x），，，＞，其中a∈R．（1）当a＝l时，求f（x）的最小值；（2）设函数f（x）恰有两个零点x1，x2，且x2﹣x1＞2，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，，，＞，则当x≤1时，f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，f（x）＞﹣1且无最小值，当x＞1时，由二次函数g（x）＝x2﹣8x+2＝（x﹣4）2﹣14知，f（x）在（1，4]单调递减，在（4，+∞）单调递增，故f（x）min＝f（4）＝﹣14．（2）当x≤1，y＝2x﹣a不能取零点时，即2x﹣a＞0恒成立，则a≤0，当a＜0时，由二次函数g（x）＝ax2﹣8x+2a的对称轴知＜0，则二次函数g（x）不能满足在x＞1有两个零点，故不符合题意；当a＝0时，亦不符合题意．当x≤1，y＝2x﹣a能取零点时，则0＜a≤2，由二次函数g（x）＝ax2﹣8x+2a知，对称轴，由，且g（1）＝3a﹣8＜0，根据对称性g（x）在（1，+∞）上，满足△＝64﹣8a2≥0，即，其必有一零点大于3，故0＜a≤2符合题意．当2＜时，在x≤1上，y＝2x﹣a亦无零点，根据题意，在x＞1时，g（x）有两零点，且满足g（1）＞0，即3a﹣8＞0，有a＜，又因x2﹣x1＞2知＞得＜，故＜＜，综上所述，a的取值范围为0＜a＜．。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．（1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

2018-2019学年广西南宁市高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广西南宁市第二中学高一下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（） A ．3|2A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．3|2A B x x ⎧⎫⋃=<⎨⎬⎩⎭D ．A B R =【答案】A【解析】先化简集合B ，根据交集与并集的概念，即可得出结果。

【详解】因为3{|320}{|}2=->=<B x x x x ，{|2}A x x =<，所以3|2A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{|2}A B x x ⋃=<. 故选A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．设12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（） A ．0，2 B ．0，-2 C ．12D ．2【答案】D【解析】根据幂函数的性质，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】若函数y x α=的定义域是R ，则0α>；又函数y x α=为偶函数，所以α只能使偶数；因为12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，所以α能取的值为2.故选D 【点睛】本题主要考查幂函数性质的应用，熟记幂函数的性质即可，属于常考题型. 3．下列函数的最小值为2的是（）A ．1lg lg y x x=+B ．224y x =+C ．22x x y -=+D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭【答案】C【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意“一正二定三相等”的使用法则．详解：A.lg 0x <时显然不满足条件； B .2222142,244y x x x ==++≥+++其最小值大于2．D .(0)012x sinnx ，，（，），π∈∴∈ 令110122sinx t y t t t t =∈∴=+⋅=（，），＞，因此不正确．故选C.点睛：本题考查基本不等式，考查通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．4．某空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】先由三视图还原几何体，再由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可得出结果. 【详解】由三视图可得，该几何体为底面是直角梯形，侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示：由题意可得其体积为：111(12)222332梯形=⋅=⋅⋅+⋅⋅=ABCD V S PA故选B 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积，熟记棱锥的结构特征以及体积公式即可，属于常考题型. 5．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（）A ．45-B ．35C ．35D ．45【答案】A 【解析】∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选：A6．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4 B ．4-C ．5D ．5-【答案】C【解析】试题分析：()()1101047410560,52a a S a a a ⋅+==+==.【考点】等差数列的基本概念.7．已知函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A ．sin(22)y x π=+ B ．sin(2)4y x π=+ C ．sin(4)2y x π=+D ．sin(4)4y x π=+【答案】B【解析】【详解】由图象可知732()88T πππ=-=,所以22T πω==,又因为32,84ππϕπϕ⨯+=∴=, 所以所求函数的解析式为sin(2)4y x π=+.8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥【答案】D【解析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错；B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错；C 选项，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n 与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D 【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.9．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A【解析】根据函数为偶函数化简,,a b c ，然后根据单调性求得,,a b c 的大小. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，且在()0,∞+上递减.()122log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，注意到 1.22 1.211log 312022->>>=>，所以根据单调性有b c a >>，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10．函数cos tan y x x =⋅ ()22x ππ-<<的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状．【详解】由题意得sin ,02sin ,02x x y cosx tanx x x ππ⎧≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪--<<⎪⎩，所以其图象的大体形状如选项C 所示．故选C ．【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题． 11．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A.()f x 在（0，2）单调递增 B.()f x 在（0，2）单调递减C.()y =f x 的图像关于直线x=1对称D.()y =f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 12．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A．B．C．D．【答案】B 【解析】【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得。

2018-2019学年安徽省安庆市高一下学期期末教学质量监测数学试题(解析版)

2018-2019学年安徽省安庆市高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】联立方程组，求得交点的坐标，即可得到答案.【详解】由题意，联立方程组：21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即两直线的交点坐标为()1,1-，在第二象限，选B.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则72是这个数列的（） A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项【答案】B 【解析】根据数列的通项公式，令72n a =，求得n 的值，即可得到答案.【详解】由题意，数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，令272n n +=，即2720n n +-=，解得8n =或9n =-（不合题意），所以72是数列的第8项，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y >；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案.【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >，①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的；②中，由x y >，可得22x y >是正确的；③中，根据实数的性质，可得1x y>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．在ABC ∆中，AB =AC =，sin C =，则cos B =（）A ．13B ．23CD ．± 【答案】C【解析】由正弦定理求得2sin 3B =，再利用三角函数的基本关系式，即可求解，得到答案.【详解】在ABC ∆中，由c AB ==b AC ==，sin 3C =，由正弦定理得sin sin c b C B =，即sin 2sin 3b C Bc ==，因为b c <，所以角B 不可能是钝角，又由三角函数的基本关系式，可得cos 3B ==，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角函数的基本关系式的应用，其中解答中熟练应用正弦定理和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．下列关于四棱柱的说法：①四条侧棱互相平行且相等；②两对相对的侧面互相平行；③侧棱必与底面垂直；④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据棱柱的概念和四棱锥的基本特征，逐项进行判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，由四棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等，①正确； ②两对相对的侧面互相平行，不正确，如下图：左右侧面不平行.本题题目说的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正确，故选A.【点睛】本题主要考查了四棱柱的概念及其应用，其中解答中熟记棱柱的概念以及四棱锥的基本特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，13n n S S +=对任意的正整数n 均成立，则5a =（）A ．162B ．54C ．32D ．16【答案】B 【解析】由13n n S S +=，得到数列{}n S 表示公比为3的等比数列，求得n S ，进而利用554a S S =-，即可求解.【详解】由13n n S S +=，可得13+=n nS S ，所以数列{}n S 表示公比为3的等比数列，又由22a =，13n n S S +=，得1123S S +=，解得11S =，所以13n n S -=，所以435543354a S S =-=-=故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及数列中n a 与n S 之间的关系，其中解答中熟记等比数列的定义和n a 与n S 之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．若直线l 与平面α相交，则（）A ．平面α内存在无数条直线与直线l 异面B ．平面α内存在唯一的一条直线与直线l 平行C ．平面α内存在唯一的一条直线与直线l 垂直D ．平面α内的直线与直线l 都相交【答案】A【解析】根据空间中直线与平面的位置关系，逐项进行判定，即可求解.【详解】由题意，直线l 与平面α相交，对于A 中，平面内与l 无交点的直线都与直线l 异面，所以有无数条，正确；对于B 中，平面内的直线与l 要么相交，要么异面，不可能平行，所以，错误；对于C 中，平面α内有无数条平行直线与直线l 垂直，所以，错误；对于D 中，由A 知，D 错误.故选A.【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与平面的位置关系，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．在等差数列{}n a 中，若2910a a +=，则4103a a +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25 【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，得到2912910a a a d +=+=，又由()41013229a a a d +=+，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则2912910a a a d +=+=，又由()410113418229a a a d a d +=+=+20=，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题，.9．某快递公司在我市的三个门店A ，B ，C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ，B 与门店C 都相距a km ，而门店A 位于门店C 的北偏东50方向上，门店B 位于门店C 的北偏西70方向上，则门店A ，B 间的距离为（）A ．a kmB kmC kmD ．2a km 【答案】C【解析】根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，依题意知CA CB a ==，5070120ACB ∠=+=o o o ，30A B ∠=∠=，由正弦定理得：sin120sin 30AB a =︒︒，则sin120sin 30a AB km ⋅︒==︒. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为（） A ．4π B ．3π C ．2π D ．56π 【答案】D【解析】根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得当0a =时，直线方程为10x +=，此时倾斜角为2π；当0a ≠时，直线方程化为21122a y x a a +=+，则斜率为：212a k a+=，即2210a ka -+=，又由2440k ∆=-≥，解得1k ≤-或1k ³，又由tan k α=且[0,)απ∈，所以倾斜角的范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭或3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，显然A ，B 都符合，只有D 不符合，故选D.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.11．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（）A ．5πB ．10πC ．125π+D ．2412π+【答案】D 【解析】由三视图可知，得到该几何体是由两个14圆锥组成的组合体，根据几何体的表面积公式，即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个14圆锥组成的组合体，其中圆锥的底面半径为3，高为4，所以几何体的表面为2111143432652224S ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2412π=+. 选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 12．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，其中PA ⊥平面ABC ，3PA AB BC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则该球的体积是（）A ．BC ．272πD ．274π 【答案】A【解析】根据三棱锥的结构特征和线面位置关系，得到PC 中点为三棱锥P ABC -的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【详解】由题意，如图所示，因为3AB BC ==，且ABC ∆为直角三角形，所以AB BC ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，则BC ⊥平面PAB ，得BC PB ⊥. 又由PA AC ⊥，所以PC 中点为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则外接球的半径12R PC ===.所以该球的体积是343π⨯=⎝⎭. 故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.二、填空题13．在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 与棱CD 所在直线的位置关系是______.【答案】异面直线【解析】根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，1AC 与CD 不在同一平面内，也不相交，所以体对角线1AC 与棱CD 是异面直线.【点睛】本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14．在正四面体ABCD 中，棱AB 与CD 所成角大小为________.【答案】90【解析】根据正四面体的结构特征，取CD 中点E ，连AE ，BE ，利用线面垂直的判定证得CD ⊥平面ABE ，进而得到CD AB ⊥，即可得到答案.【详解】如图所示，取CD 中点E ，连AE ，BE ，正四面体是四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等，所以AE CD ⊥，BE CD ⊥，且AE BE E =I ，所以CD ⊥平面ABE ，又由AB Ì平面ABE ，所以CD AB ⊥，所以棱AB 与CD 所成角为90.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及直线与平面垂直的判定及应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x +-≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则1y x +的最大值为_______. 【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由()011y y x x -=+--，即1y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率，显然直线AD 的斜率最大，又由2202x y y +-=⎧⎨=⎩，解得()0,2A ，则02210AD k -==--，所以1y x +的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．16．如图是一个三角形数表，记,1n a ，,2n a ，…，,n n a 分别表示第n 行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第n 个数，则当2n ≥，*n N ∈时，,2n a =______.【答案】223n n -+【解析】由图表，利用归纳法，得出()(),21,221123n n a a n n --=--=-，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式. 【详解】由图表，可得2,23a =，3,26a =，4,211a =，5,218a =，6,227a =，可归纳为()(),21,221123n n a a n n --=--=-，利用叠加法可得：()()(),2,21,23,22,22,21,22,2()()()335723n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+=++++⋅⋅⋅+-L ()()232323232n n n n +--=+=-+，故答案为223n n -+. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式()(),21,221123n n a a n n --=--=-是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题17．（Ⅰ）已知直线l 过点()2,3且与直线320x y ++=垂直，求直线l 的方程；（Ⅱ）求与直线21y x =+.【答案】（Ⅰ）330x y --=；（Ⅱ）260x y -+=或240x y --=。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)3

【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于（）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3

人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)2

B．若 , ，则
C．若 // , m ，则 m / /
D．若 m , ,n / / ，则 m n
【来源】广西梧州市 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题【答案】C
16．已知圆 x a2 y2 1 与圆 x2 y b2 1外切，则（）．
A． a2 b2 4
32．已知点 A(2, a) ，圆 C : (x 1)2 y2 5
（1）若过点 A 只能作一条圆 C 的切线，求实数 a 的值及切线方程；（2）设直线 l 过点 A 但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线 l 被圆 C 截得
的弦长为 2 3 ，求实数 a 的值.
【来源】江西省宜春市上高县上高二中 2019-2020 学年高二上学期第三次月考数学（理) 试题
【答案】B
7．如图，四边形 ABCD 和 ADEF 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 AE 上，设直线 CM 与 BF 所成的角为，则的取值范围为（）
A．
0,
3
B．
0,
π 3
C．
0,
2
D．
0,
2
【来源】四川省乐山市 2019-2020 学年高二上学期期末数学（文)试题
6
a
1 3
，则
cos
2 3
2a
（）
A． 7 9
B． 1 3
1
C．
3
7
D．
9
【来源】河北省石家庄市第二中学 2018-2019 学年高二第二学期期末考试数学（理)试
题
【答案】A
13．已知圆 C 被两直线 x y 1 0 ， x y 3 0 分成面积相等的四部分，且截 x 轴

山东省济南市2023-2024学年高一下学期7月期末学习质量检测数学试题

山东省济南市2023-2024学年高一下学期7月期末学习质量检测数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数11iz =-的虚部是（） A ．i 2-B ．i 2C ．12-D ．122．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（） A ．“至少一个白球”与“至少一个黄球”B ．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”C ．“至多一个白球”与“至多一个黄球”D ．“至少一个黄球”与“都是黄球”3．在ABC V 中，记AB m =u u u r u r ，AC n =u u u r r ，若3BC DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（）A ．1233m n +ur rB ．2133m n +ur rC ．1233m n -r rD ．2133m n -r r4．下底面边长为则该棱台的体积为（） A ．53B ．2C ．73D ．835．如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A ．众数=平均数=中位数B ．众数<中位数<平均数C ．众数<平均数<中位数D ．中位数<平均数<众数6．已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（） A ．若//m α，n ⊂α，则//m nB ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面7．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（） A ．0.035B ．0.07C ．0.105D ．0.148．如图，设Ox ，Oy 是平面内夹角为π2θθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的两条数轴，1e u r ，2e u u r 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OA x y =+u u u r u r u u re e ，则有序数对(),x y 叫做点A 在坐标系Oxy 中的坐标.在该坐标系下，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为不共线的三点，下列结论错误．．的是（）A ．线段AB 中点的坐标为121222x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．ABC V 重心的坐标为12312333x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭，C ．A ，B ．若1221x y x y =，则O ，A ，B 三点共线二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数12i z =，21i z =+，则下列结论正确的是（）A ．21z z +所对应的点在第一象限B ．12z z 所对应的点在第二象限C ．4411z z =D ．4422z z =10．已知有限集Ω为随机试验E 的样本空间，事件,A B 为Ω的子集，则事件,A B 相互独立的充分条件可以是（）A ．AB ⊆B ．A =∅C ．()()()P AB P A P B =D ．()()()()P AB P A P B P B +=11．如图所示，三棱锥A BCD -中，2AC =E 为棱AC 的中点，将三棱锥C BED -绕DB 旋转，使得点C ，E 分别到达点C '，E '，且//C E AE ''.下列结论正确的是（）A ．//AC '平面BEDB ．EECD ''⊥C ．直线C B '与EE '所成的角为π3D ．点，E ，B ，D ，C '，E '三、填空题12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为．13．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，且2a =，π6A =，则使得ABC V 有两组解的b 的值可以是（写出满足条件的一个值即可）.14．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3BAD ∠=，13AA =，且平面11ADD A ，11ABB A 均与底面ABCD 垂直.点P 在侧面11BCC B 上运动，若1D P 点P 的轨迹长为.四、解答题15．某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间[]50,100内，将成绩数据分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,1005组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值并估计参赛学生成绩的70%分位数；(2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.16．已知ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos b C c B a A +=. (1)求A ；(2)若a =sin 2sin C B =，求ABC V 的周长.17．如图1，在菱形ABCD 中，ABD △是边长为2的等边三角形，将ABD △沿对角线BD 翻折至PBD △的位置，得到图2所示的三棱锥P BCD -.(1)证明：BD PC ⊥；(2)若二面角P BD C --的平面角为60o ，求直线PB 与平面BCD 所成角的正弦值. 18．如图，ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为边BC 上一点，且AD AC ⊥，ACB BAD ∠=∠.(1)已知sin ACB ∠=. （ⅰ）求CDBD的值；（ⅱ）若BD =ABC V 的面积； (2)求222b c a +的最小值.19．给定三棱锥Ω，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M ，若M 中元素的个数为k ，则称α为Ω的k 阶等距平面，称M 为Ω的k 阶等距集.(1)若Ω为三棱锥A BCD -，满足4AB CD AD BC ====，2==AC BD ，求出Ω的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）；(2)如图所示，ΩABCD .（ⅰ）若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{}a ，求a 的所有可能取值以及相对应的α的个数；（ⅱ）已知β是Ω的4阶等距平面，点A 与点B ，C ，D 分别位于β两侧.是否存在β，使Ω的4阶等距集为{},2,3,4b b b b ，其中点A 到β的距离为b ？若存在，求出β截Ω所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由.。

2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）如图是一个正四棱锥，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．2．（4分）已知点(1，)(0)a a >到直线:20l x y +-=的距离为1，则a 的值为( ) A ．2B ．22-C ．21-D ．21+3．（4分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．（4分）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为( )A ．52πB ．1163π C ．1003πD (28410)+ 5．（4分）已知直线倾斜角的范围是2[,)(,]3223ππππα∈⋃，则此直线的斜率的取值范围是()A ．[3,3]-B ．(,3][3,)-∞-+∞C ．33[,]33-D ．33(,][,)33-∞-+∞ 6．（4分）正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，△A B C '''为其水平放置的直观图，则△A B C '''的周长为( )A ．8cmB ．6cmC ．(26)cm +D ．(223)cm +7．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )A ．24πB ．6πC ．86πD 6π8．（4分）已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥；③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确命题的序号为( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．（4分）若实数x ，y 满足不等式组031y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩，则2||z x y =-的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．210．（4分）已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为(3,4)，两圆的半径之积为9，x轴与直线(0)y mx m =>都与两圆相切，则实数(m = ) A ．158B ．74C ．235 D ．35二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为，体积为．12．（6分）若直线12y kx k =+-与曲线21y x =-有交点，则实数k 的最大值为，最小值为．13．（6分）若过点(1,1)的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是，此时的弦长为．14．（6分）已知点(2,1)和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = ；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为． 15．（4分）异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为．16．（4分）在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，E 、F 分别AB 、BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为．17．（4分）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，22PC AB BC ===，作BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值．19．（15分）已知圆22:(2)(3)2C x y -+-=．（1）过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若||||PA OP =，求使||PA 最短时的点P 坐标．20．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC ⊥；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．21．（15分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =．（1）求证：1AC ⊥平面1A BD ；（2）在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值．22．（15分）已知点(1,0)A ，(4,0)B ，曲线C 上任意一点P 满足||2||PB PA =．（1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）如图是一个正四棱锥，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：该几何体直观图为一个正四棱锥，所以其俯视图轮廓为正方形，并且能够看到其四个侧棱，构成正方形的对角线，故选：D ．2．（4分）已知点(1，)(0)a a >到直线:20l x y +-=的距离为1，则a 的值为( ) A ．2B ．22-C ．21-D ．21+【解答】解：点(1，)(0)a a >到直线:20l x y +-=的距离为1，∴|12|12a +-=，解得12a =+故选：D ．3．（4分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：11//AB DC ，1DC B ∴∠是直线1AB 与1BC 所成角， 1BDC ∆是等边三角形，∴直线1AB 与1BC 所成角60︒．故选：C ．4．（4分）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为( ) A ．52πB ．1163π C ．1003π D ．(28410)3π+ 【解答】解：梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体是圆台，圆台的高4h BC ==，上底面圆半径2r CD ==，下底面圆半径5R AB ==，∴梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积：221()3V h R Rr r π=++14(25104)3π=⨯⨯++ 52π=．故选：A ．5．（4分）已知直线倾斜角的范围是2[,)(,]3223ππππα∈⋃，则此直线的斜率的取值范围是()A ．[3,3]-B ．(,3][3,)-∞-+∞C ．33[,]33-D ．33(,][,)33-∞-+∞ 【解答】解：根据题意，直线倾斜角的范围是2[,)(,]3223ππππα∈⋃，其斜率tan k α=，则3k -或3k，即k 的取值范围为(-∞，3)(3-⋃，)+∞；故选：B ．6．（4分）正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，△A B C '''为其水平放置的直观图，则△A B C '''的周长为( )A ．8cmB ．6cmC ．(26)cmD ．(223)cm +【解答】解：正ABC ∆的边长为2cm ，则它的直观图△A B C '''中，2A B ''=，132sin 602O C ''=︒=； 2222332726612cos45121()42B C O B O C O B O C --∴''=''+''-''''︒=+-⨯==， 612B C ∴''=；又2222332726612cos135121(()4A C O A O C O A O C ++''=''+''-''''︒=+-⨯=， 61A C +∴''=； ∴△A B C '''的周长为61612(26)()cm -+=+．故选：C ．7．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )A ．24πB ．6πC ．86πD ．6π【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以1为高的三棱锥的四个顶点，如图是长方体的一部分，故其外接球，相当于一个长2，宽1，高1的长方体的外接球，故外接球的半径2221612122R ⨯++=，故球的体积346()632V ππ=⨯=，故选：D ．8．（4分）已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥；③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确命题的序号为( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解答】解：①m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥不一定成立，进而αβ⊥不一定成立，故错误；②令α，β，γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面，且αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则//m n ，即m n ⊥不一定成立，故错误； ③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥，故正确；④若m α⊥，m n ⊥，则//n α，或n α⊂，又由n β⊥，则αβ⊥，故正确；故选：C ．9．（4分）若实数x ，y 满足不等式组031y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩，则2||z x y =-的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：画出实数x ，y 满足不等式组031y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩的可行域如图所示，可得(1B ，2)(1A -，0)，(3,0)C ，(0,1)D当目标函数2||z x y =-经过点(0,1)D 时，z 的值为1-，故选：A ．10．（4分）已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为(3,4)，两圆的半径之积为9，x 轴与直线(0)y mx m =>都与两圆相切，则实数(m = ) A ．158B ．74C 23D ．35【解答】解：两切线均过原点，∴连心线所在直线经过原点，该直线设为y tx =，设两圆与x 轴的切点分别为1x ，2x ，则两圆方程分别为：222111222222()()()()()()x x y tx tx x x y tx tx ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，圆1Γ与2Γ交点的坐标为(3,4)P ， (3,4)P ∴在两圆上．∴222111(3)(4)()x tx tx -+-=①，222222(3)(4)()x tx tx -+-=②，又两圆半径之积为9，∴21212||||||9tx tx x x t ==③，联立①②③，可得1x ，2x 是方程222(3)(4)()x tx tx -+-=的两根，化简得2(68)250x t x -++=，即1225x x =．代入③，得2925t =，即35t =．由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍，即221tm t =-． 158m ∴=．故选：A ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为 6π ，体积为．【解答】解：设圆柱的底面直径为2R ，则高为2R ，圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，244R ∴=，解得1R =，∴该圆柱的表面积2122126S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=，体积2122V ππ=⨯⨯=．故答案为：6π，2π．12．（6分）若直线12y kx k =+-与曲线21y x =-有交点，则实数k 的最大值为 1 ，最小值为．【解答】解：直线12y kx k =+-，即(2)1y k x =-+经过定点(2,1)P ．曲线21y x =-表示圆221x y +=的上半部分，(1,0)A ，(0,1)B ．直线12y kx k =+-与曲线21y x =-有交点，则实数k 的最大值为10121PA k -==-，最小值为0PB k =．故答案为：1，0．13．（6分）若过点(1,1)的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是 2x y += ，此时的弦长为．【解答】解：直线I 的方程为1(1)y k x -=-，与圆联立可得出两点M ，N ，即22(1)4x kx k +-+=，韦达定理求解得2122221k k x x k -+=+，2122231k k x x k --=+，2222121222323(1)1()442211k k k MN k x x x x k k +++=++-=+++，当1k =-时，MN 最短，直线I 为2x y +=，弦长为22 故填：2x y +=；2214．（6分）已知点(2,1)和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = 52- ；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为．【解答】解：①P 在圆C 上，将P 点代入圆的方程，即22212220a ++-+=，解得52a =-，代入圆检验成立，②P 在圆C 外，将P 点代入圆的方程，即22212220a ++-+，解得5a -，圆的方程为222()(1)124a a x y ++-=-，2104a ->，解得2a >或2a <-，25a ∴->-或2a >，故填52-；25a ->-或2a >．15．（4分）异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为 (6π，)3π．【解答】解：由最小角定理可得：异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为：63ππθ<<，故答案为：(6π，)3π．16．（4分）在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，E 、F 分别AB 、BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为 23 ．【解答】解：棱长均为2的三棱锥A BCD -中，E 、F 分别AB 、BC 上的中点，首先把三棱锥转换为平面图形，即转换为平面图形在平面展开图，棱长均为2的三棱锥A BCD -中，EF 分别为AB ，BC 的中点（中位线定理）得1EF =，因为所求周长最小为PE PF EF ++的值，所以要求PE PF +的值最小故2222cos120EF BE BF BE BF =+-︒，由于1BE BF ==，解得EF由于E 、F 分别为AB ，BC 的中点（中位线定理）得1EF =，所以PEF ∆周长的最小值1EG FG EF ++=．故答案为：1+17．（4分）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，PC AB BC ===，作BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是．【解答】解：如图，取AB 中点E ，AC 中点F ，连接EF ，PE ，AF ，2,AP PB AB ===PE ∴ AB BC ⊥，AB BC ==4AC ∴=，在APC ∆中，余弦定理可得2223cos 24PC AP AC PAC AP AC -++∠==．在APF∆中，余弦定理可得cos PF AP AF PAC =∠ 在PEF ∆中，PE PF EF ===AB ⊥面PEF ，过F 作FO EP ⊥，易得FO ⊥面ABP ，且FO=，∴点C 到面ABP122PBCS∆=⨯=． ∴12PC BD ⨯⨯，∴BD =，PD =， :1:4PD PC ∴=，∴点D 到面ABP故BD 与平面PAB=，故答案为：2114．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）连接AC ，设AC ，BD 的交点为O ，连接OE ，因为//OE PA ，PA ⊂/面EBD ，又OE ⊂面EBD ，故//AP 面BDE ，（2）由（1）可得：DEO ∠为异面直线PA 与DE 所成的角，设2AB =，则1EO =，2OD ，3DE ，由勾股定理可得：ODE ∆为直角三角形，则13cos 33OE DEO DE ∠===，故异面直线PA 与DE 所成角的余弦值为33．19．（15分）已知圆22:(2)(3)2C x y -+-=．（1）过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若||||PA OP =，求使||PA 最短时的点P 坐标．【解答】（1）原点O 在圆22:(2)(3)2C x y -+-=外，可得直线l 的斜率存在，设直线方程为y kx =，即0kx y -=．由直线l 被圆C 所截得的弦长为2，得圆心(2,3)到直线的距离为1． 211k =+，解得623k ±=． ∴直线l 的方程为623y -=或623y +；（2）由圆的切线长公式可得22222||||(2)(3)2PA PC R x y =-=-+--，由||||PA PO =得，2222(2)(3)2x y x y -+--=+，即46110x y +-=，即11342x y =-，此时22222113133121||||()13()4222613PA PO x y y y y ==+-+=-+∴当3326y =，即11(13P ，33)26时，||PA 最短．20．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC ⊥；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB ，且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA ⊥底面ABCD ，故PA CD ⊥，而CD DA ⊥，从而CD ⊥平面PAD ，因为AM ⊂平面PAD ，于是CD AM ⊥，又//BE AM ，所以BE CD ⊥．⋯（6分）（Ⅱ）解：连接BM ，由（Ⅰ）有CD ⊥平面PAD ，得CD PD ⊥，而//EM CD ，故PD EM ⊥．又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ⊥，可得PD BE ⊥，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ．所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ⊥，可得EBM ∠为锐角，故EBM ∠为直线BE 与平面PBD 所成的角．⋯（9分）依题意，有22PD =，而M 为PD 中点，可得2AM =，进而2BE =．故在直角三角形BEM 中，12tan 22EM AB EBM BE BE ∠====，所以直线BE 与平面PBD 所成的角的正切值为22．⋯（12分）21．（15分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =．（1）求证：1AC ⊥平面1A BD ；（2）在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值．【解答】证明：（1）以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设6AB =，则(6A ，0，0)，1(0C ，6，6)，1(6A ，0，6)，(6B ，6，0)，(0D ，0，0)， 1(6AC =-，6，6)，1(6DA =，0，6)，(6DB =，6，0)，110AC DA =，10AC DB =， 11AC DA ∴⊥，1AC DB ⊥， 1DA DB D =，1AC ∴⊥平面1A BD ．解：（2）在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，设(06)DP t t =，则(0P ，0，)t ，1(6B ，6，6)，(6M ，3，0)，(0E ，6，4)， 1(6PB =，6，6)t -，(6DM =，3，0)，(0DE =，6，4)，设平面DME 的法向量(n x =，y ，)z ，则630640n DM x y n DE y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，2-，3)， 1//PB 平面DME ，∴16121830PB n t =-+-=，解得4t =，2λ∴=．22．（15分）已知点(1,0)A ，(4,0)B ，曲线C 上任意一点P 满足||2||PB PA =．（1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设(,)P x y ，||2||PB PA =．∴2222(4)2(1)x y x y -+-+224x y +=．（2）设存在定点Q 满足条件，设直线l 的方程为y kx b =+．设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ．联立224y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，化为：22()4x kx b ++=， 222(1)240k x kbx b ∴+++-=，△0>．12221kbx x k ∴+=-+，212241b x x k -=+，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，则0DE DF k k +=，∴1212033y yx x +=--． 1221()(3)()(3)0kx b x kx b x ∴+-++-=， 12122(3)()60kx x b k x x b ∴+-+-=，222422(3)6011b kb k b k b k k -∴---=++，化为：430k b +=．34k b ∴=-．3(1)4y b x ∴=-+，可得直线经过定点4(3，0)．∴存在过定点4(3Q ，0)的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x轴都平分EDF ∠．。

福建省福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(含部分答案)

福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I 卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（为虚数单位），则（）A. B. 2 C.D. 12. 下列命题一定正确的是（）A. 一条直线和一个点确定一个平面B. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点3. 数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（）A. 6B. 7C. 12D. 364. 某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（）A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）2i z=+i z =l αl α1x 2x 3x n x 2x =24s =131x +231x +331x +31n x +108,9,7,7,8,9,10,9,10,68088.599.5ABC V A B C a b c 2c =π6C =cos B =b =A. B. C. 2 D. 16.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（）A. 5 B. C. D. 7. 如图所示，圆锥底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（）A. 圆锥的轴截面为直角三角形B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为πD. 圆锥的体积与球的体积之比为8. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A 到平面的距离为（）A. 1B.C.D. 2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（）A. “至少有一个黑球”与''都是黑球”B 至少有一个黑球''与“至少有一个红球”C. 恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”10. 已知，，均为非零向量，则下列结论中正确有（）的.的1372729191:41111ABCD A B C D ABCD 1A BC V 1A BC a b cA. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若非零向量，满足，则与的夹角是11. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（）A. 直线与是异面直线B. 直线与所成的角是C. 直线平面D. 平面截正方体所得的截面面积为.第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12. 已知平面平面，直线，下列说法正确的是________（填序号）①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行；③与内任一直线不垂直；④与无公共点．13. 已知，，，则________.14. 瑞云塔是福清市古街打卡景点．某同学为了测量瑞云塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为，再沿AC 方向前进15米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为，塔底点E 的仰角为，那么瑞云塔高为________米．（答案保留根号形式）的0a b a c ⋅-⋅=r r r r b c= ||||a b > ()()0a b a b +⋅-> ||||a c b c -=- a b= a b ||||||a b a b ==- a a b + 30︒1111ABCD A B C D -M N ，111,C D C C BN 1MB MN AC 3πMN ⊥ADNBMN 98//αβm α⊂m βm βm βm β60ABC ∠=︒2AB =BC =AB BC ⋅= 45︒60︒30︒四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知O 为坐标原点，向量，，，若A 、B 、C 三点共线，且，求实数的值．16. 正方体中，，分别是，中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求证：平面17. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在名读书者中年龄分布在的人数；（2）求名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率．18. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．的(,2)OA m =- (1,)OB n = (1,5)OC =- 2m n =,m n 1111ABCD A B C D -M N 1BC 1CD 1CD 1BC //MN ABCD406[)[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,8040[)30,6040[)20,40[)20,30ABC V sin 0A A =a =1b =（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且，求的面积．19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面的夹角为（i ）证明；（ii ）求二面角的正弦值．AD AC ⊥ACD V P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4π4PAC ∠=P BC A --福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷答案第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．【12题答案】【答案】②④【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】或．【16题答案】【答案】（1）（2）证明略【17题答案】【答案】（1）24（2）平均数54，中位数为55．（3）．【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1）证明略（2）（i ）证明略；（ii 15+63m n =⎧⎨=⎩332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩60︒8152c =。

2018-2019学年四川省攀枝花市高一(下)期末数学试卷

2018-2019 学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ 5分）平面向量与共线且方向相同，则n 的值为（）A ．0B ．± 2C． 2D．﹣ 22．（ 5分）直线 x+y+k＝ 0 的倾斜角是（）A ．πB ．C．D．3．（ 5分）已知关于x 的不等式 x 2﹣ ax﹣ b＜ 0 的解集是（﹣2， 3），则 a+b 的值是（）A ．﹣ 11B ．11C．﹣ 7D． 74．（ 5分）如果 x+y＜ 0，且 y＞0，那么下列不等式成立的是（）22222222A ．y＞ x ＞ xyB ．x ＞ y ＞﹣ xy C． x ＜﹣ xy＜ y D． x＞﹣ xy＞ y5．（ 5 分）等比数列{ a n} 的各项均为正数，且 a4a5＝ 4，则 log 2a1+log 2a2+ +log 2a8＝（）A ．7B ．8C． 9D． 106．（ 5 分）已知x， y 满足约束条件，则z＝﹣2x+y的最大值是（）A ．﹣ 1B ．﹣ 2C．﹣ 5D． 17．（ 5 分）若，是夹角为 60°的两个单位向量，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C． 90°D． 120°8．（ 5 分）已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 2b?cosC＝ 2a+c，若 b＝ 3，则△ ABC 的外接圆面积为（）A ．B ．C． 12πD． 3π9．（ 5 分）如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为h＝ 40 的楼 AB 的底部 A 处和楼顶 B 处分别测得仰角为β＝60°，α＝30°，若山坡高为a＝35，则灯塔高度是（）A ．15B ．25C． 40D． 6010．（ 5 分）一条光线从点（﹣2， 3）射出，经x 轴反射后与圆（ x﹣ 3）2+（ y﹣ 2）2＝ 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．或B ．或C．或D．或11．（5 分）已知正数x，y 满足 x+y＝1，则的最小值为（）A ．5B ．C．D． 212．（5 分）已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，BC 边上的高为 h，且，则的最大值是（）A ．B ．C． 4D． 6二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．13．（ 5 分）直线 x+y+2＝ 0 与直线 ax﹣ 2y＝0 垂直，则实数 a 的值为．14．（ 5 分）已知点 P（ 1，﹣ 2）及其关于原点的对称点均在不等式2x+by﹣ 1＜ 0 表示的平面区域内，则实数 b 的取值范围是．15．（ 5 分）已知数列 { a n} 的通项公式，则 |a1﹣ a2|+|a2﹣ a3|+|a3﹣ a4|+ +|a9﹣a10|＝．22＝4，六边形 ABCDEF 为圆 M 的内接正16．（ 5 分）如图，已知圆 M ：（x﹣ 3） +（y﹣ 4）六边形，点P 为边 AB 的中点，当六边形ABCDEF 绕圆心 M 转动时，的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（ 10 分）已知公差不为零的等差数列{ a n} 中， a2＝ 3，且 a1， a3， a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{ a n} 的通项公式；（Ⅱ）令，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n．18．（ 12 分）已知向量，，，．（Ⅰ）若四边形 ABCD 是平行四边形，求x， y 的值；（Ⅱ）若△ ABC 为等腰直角三角形，且∠ B 为直角，求 x， y 的值．19．（ 12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且．（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若 a＝ b，且 BC 边上的中线 AM 的长为，求边 a 的值．2220．（ 12 分）已知圆 C： x +y +Dx+Ey﹣ 2＝ 0关于直线 x﹣ y＝ 0 对称，半径为2，且圆心 C 在第一象限．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线 l ：3x﹣ 4y+m＝ 0（ m＞ 0）与圆 C 相交于不同两点M、N，且，求实数 m 的值．21．（ 12 分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面为 24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 300 元，屋顶和地面以及其他报价共计14400 元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米（ 3≤ x≤ 6）．（Ⅰ）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．（Ⅱ）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（ a＞ 0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a 的取值范围．22．（ 12 分）已知数列 { a n} 的各项均不为零．设数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，数列的前n 项和为 T n，且，n∈N*．（Ⅰ）求a1， a2的值；（Ⅱ）证明数列{ a n} 是等比数列，并求{ a n} 的通项公式；（Ⅲ）证明：．2018-2019 学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ 5 分）平面向量与共线且方向相同，则n 的值为（）A ．0B ．± 2C ． 2D ．﹣ 2【分析】利用向量共线的坐标运算求解n ，验证得答案．【解答】解：∵向量与共线，∴ n 2﹣ 4＝ 0，解得 n ＝± 2．当 n ＝2 时，＝（ 2，1），＝（ 4，2）＝ 2 ， ∴ 与共线且方向相同．当 n ＝﹣ 2 时，＝（﹣ 2， 1），＝（ 4，﹣ 2）＝﹣ 2 ，∴ 与共线且方向相反，舍去．故选： C ．【点评】本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．2．（ 5 分）直线 x+y+k ＝ 0 的倾斜角是（）A ． πB ．C ．D ．【分析】化方程为斜截式可得斜率，进而由斜率和倾斜角的关系可得．【解答】解：化直线 x+y+k ＝ 0 为斜截式可得 y ＝﹣ x ﹣ k ，∴直线的斜率为﹣，∴倾斜角为 150°，故选： A ．【点评】本题考查直线的一般式方程和斜截式方程，涉及直线的倾斜角，属基础题．3．（ 5 分）已知关于 x 的不等式 x 2﹣ ax ﹣ b ＜ 0 的解集是（﹣ 2， 3），则 a+b 的值是（）A ．﹣ 11B ．11C ．﹣ 7D ． 7【分析】利用不等式x 2﹣ax ﹣ b ＜ 0 与对应方程的关系，和根与系数的关系，求出a 、 b的值，再计算 a+b ．【解答】解：关于 x 的不等式 x 2﹣ ax ﹣b ＜ 0 的解集是（﹣ 2， 3），所以方程 x 2﹣ ax ﹣b ＝ 0 的解﹣ 2 和 3，由根与系数的关系知，a ＝﹣ 2+3 ＝ 1，﹣b ＝﹣ 2× 3，解得 b ＝ 6，所以 a+b ＝ 7．故选： D ．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，是基础题．4．（ 5 分）如果 x+y ＜ 0，且 y ＞0，那么下列不等式成立的是（）22222222A ．y ＞ x ＞ xyB ．x ＞ y ＞﹣ xyC ． x ＜﹣ xy ＜ yD ． x ＞﹣ xy ＞ y【分析】由 x+y ＜ 0，且 y ＞ 0，可得 x ＜﹣ y ＜ 0．再利用不等式的基本性质即可得出x 2＞﹣ xy ， xy ＜﹣ y 2．【解答】解：∵ x+y ＜ 0，且 y ＞ 0，∴ x ＜﹣ y ＜ 0．∴ x 2＞﹣ xy ， xy ＜﹣ y 2，因此 x 2＞﹣ xy ＞ y 2．故选： D ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．（ 5 分）等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 4a 5＝ 4，则 log 2a 1+log 2a 2+ +log 2a 8＝（）A ．7B ．8C ． 9D ． 10【分析】根据题意，由对数的运算性质可得a 1 8＝ a 2 7＝a 3 6＝ a 4 5＝ 4，又由对数的运a aaa算性质可得 log 2a 1+log 2a 2+ +log 2 a 8＝ log 2（ a 1a 2a 3a 4a 5 a 6a 7a 8），计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{ a n } 的各项均为正数，且a 4a 5＝ 4，则有 a 1a 8＝ a 2a 7＝ a 3 a 6＝ a 4a 5＝ 4，4则 log 2a 1+log 2a 2+ +log 2a 8＝ log 2（ a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8）＝ log 24 ＝8；故选： B ．【点评】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．6．（ 5 分）已知 x ， y 满足约束条件，则 z ＝﹣ 2x+y 的最大值是（）A ．﹣ 1B ．﹣ 2C ．﹣ 5D ． 1【分析】首先画出平面区域，z＝﹣ 2x+y 的最大值就是y＝ 2x+z 在 y 轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线 y＝ 2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由得到A（1，1），所以 z 的最大值为﹣ 2× 1+1＝﹣ 1；故选： A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．7．（ 5 分）若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C． 90°D． 120°【分析】根据条件可求出，，从而可求出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：；∴＝，＝，＝；∴；又；∴的夹角为 30°．故选： A ．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．8．（ 5 分）已知△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 2b?cosC ＝ 2a+c ，若 b ＝ 3，则△ ABC 的外接圆面积为（）A ．B ．C ． 12πD ． 3π【分析】由已知利用余弦定理可求 cosB 的值，结合 B 的范围可求 B 的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解△ ABC 的外接圆面积．【解答】解：∵ 2b?cosC ＝2a+c ，若，∴ cosC ＝＝2 22，可得： a +c ﹣ b ＝﹣ ac ，∴ cosB ＝＝﹣，∴由 B ∈（ 0，π），可得： B ＝，设△ ABC 的外接圆半径为 R ，由正弦定理可得： 2R ＝＝，解得 R ＝，可得△ ABC 的外接圆面积为 S ＝ πR 2＝ 3π．故选： D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（ 5 分）如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为 h ＝ 40 的楼 AB 的底部 A 处和楼顶 B 处分别测得仰角为β＝ 60°，α＝ 30°，若山坡高为 a ＝35，则灯塔高度是（）A ．15B ．25C ． 40D ． 60【分析】过点 B 作 BE ⊥DC 于点 E，过点 A 作 AF ⊥ DC 于点 F ，在△ ABD 中由正弦定理求得 AD ，在 Rt △ ADF 中求得 DF ，从而求得灯塔CD 的高度．【解答】解：过点 B 作 BE⊥DC 于点 E，过点 A 作 AF⊥ DC 于点 F，如图所示，在△ABD 中，由正弦定理得，，即，∴ AD＝，在Rt△ADF中，DF＝ADsinβ＝，又山高为a，则灯塔CD 的高度是CD＝ DF ﹣ CF ＝﹣a＝＝60﹣35＝25．故选： B．【点评】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．10．（ 5分）一条光线从点（﹣ 2， 3）射出，经x 轴反射后与圆（ x﹣ 3）2+（ y﹣ 2）2＝ 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．或B ．或C．或D．或【分析】由题意可知：点（﹣2，﹣ 3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3 ＝ k（ x+2），利用直线与圆的相切的性质即可得出．【解答】解：由题意可知：点（﹣2，﹣ 3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3 ＝k（ x+2），即 kx﹣ y+2k﹣3＝ 0．由相切的性质可得：＝1，化为： 12k 2﹣ 25k+12 ＝ 0，解得 k＝或．故选： D ．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5 分）已知正数x，y 满足 x+y＝1，则的最小值为（）A ．5B ．C．D． 2【分析】由 x+y＝ 1 得 x+（ 1+y）＝ 2，再将代数式x+（ 1+ y）与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【解答】解：∵ x+y＝ 1，所以， x+（ 1+y）＝ 2，则 2＝＝，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选： C．【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．12．（5 分）已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，BC 边上的高为 h，且，则的最大值是（）A ．B ．C． 4D． 62【分析】由余弦定理化简可得＝+2cosA，利用三角形面积公式可得a＝bcsinA，解得＝ 2sinA+2cosA＝ 4sin（ A+），利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．222【解答】解：由余弦定理可得： b+c＝ a +2bccosA，故：＝＝＝+2cosA，而 S△ABC＝bcsinA＝ah＝，故a 2＝ bcsinA，所以：＝+2cosA＝ 2sinA+2cosA＝4sin（A+）≤ 4．故选： C．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．（ 5 分）直线 x+y+2＝ 0 与直线 ax﹣ 2y＝0 垂直，则实数 a 的值为2．【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得 a 的值．【解答】解：∵直线x+y+2＝ 0 的斜率为﹣ 1，它与直线ax﹣ 2y＝ 0 垂直，故直线 ax﹣ 2y＝ 0 的斜率等于1，即a＝2，故答案为： 2．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．14．（ 5 分）已知点P（ 1，﹣ 2）及其关于原点的对称点均在不等式2x+by﹣ 1＜ 0 表示的平面区域内，则实数 b 的取值范围是（，）．【分析】根据题意，设Q 与 P（ 1，﹣ 2）关于原点的对称，分析可得Q 的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得，解可得 b 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设 Q 与 P（ 1，﹣ 2）关于原点的对称，则Q的坐标为（﹣1，2），若 P、 Q 均在不等式2x+by﹣ 1＜ 0 表示的平面区域内，则有，解可得：＜ b＜，即b的取值范围为（，）；故答案为：（，）．【点评】本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．15．（ 5 分）已知数列{ a n} 的通项公式，则|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|++|a9﹣【分析】本题考查的是数列求和，关键是构造新数列b n＝ |a n﹣ a n+1|＝ |4n﹣ 11|，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7 项按照等差数列求和即可．【解答】解：令 b n＝ |a n﹣ a n+1|＝ |4n﹣ 11|，则所求式子为{ b n} 的前 9 项和 s9．其中 b1＝ 7， b2＝3，从第三项起，是一个以 1 为首项， 4 为公差的等差数列，∴，故答案为： 101．【点评】本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前n 项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．16．（ 5 分）如图，已知圆22＝4，六边形 ABCDEF为圆 M 的内接正M ：（x﹣ 3） +（y﹣ 4）六边形，点 P 为边 AB 的中点，当六边形ABCDEF 绕圆心 M 转动时，的取值范围是．【分析】运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义及几何意义，＝0，再由向量的数量积定义及余弦函数的值域即可得到最大值．【解答】解：∵ MP⊥ MF ，OM ＝ 5，MP ＝，，由题意可得＝﹣＝﹣＝﹣5cos， 5] ．故答案为： [﹣ 5，5] ．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（ 10 分）已知公差不为零的等差数列{ a n} 中， a2＝ 3，且 a1， a3， a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{ a n} 的通项公式；（Ⅱ）令，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n．【分析】（Ⅰ）由题意：，求出首项与公差，然后求解数列{ a n} 的通项公式为 a n＝n+1．（Ⅱ）通过裂项消项法求解数列{ b n} 的前 n 项和．【解答】解：（Ⅰ）由题意：化简得 d 2﹣ d＝ 0，因为数列 { a n} 的公差不为零，∴ d＝ 1， a1＝ 2，故数列 { a n} 的通项公式为a n＝ n+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故数列 { b n} 的前 n 项和．【点评】本题考查数列的递推关系式数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18．（ 12 分）已知向量，，，．（Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x， y 的值；（Ⅱ）若△ ABC 为等腰直角三角形，且∠ B 为直角，求 x， y 的值．【分析】（Ⅰ）根据条件即可求出，根据四边形ABCD 是平行四边形，即可得出，从而求出 x， y；（Ⅱ）可求出，根据∠ B 为直角即可得出，从而得出﹣ 3（ x+1 ）﹣ y＝0①，而据题意可知22＝10②，，从而得出（x+1）+y联立①②即可解出 x， y．【解答】解：（Ⅰ）∵，，；∴，；∵四边形 ABCD 是平行四边形；∴；∴ x＝﹣ 2， y＝﹣ 5；（Ⅱ）∵，；∵∠ B 为直角，则；∴＝﹣ 3（ x+1）﹣ y＝ 0；又；22∴（ x+1） +y ＝ 10，再由 y＝﹣ 3（ x+1），解得：或．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，以及根据向量坐标求向量长度的方法，相等向量的定义．19．（ 12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且．（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若 a＝ b，且 BC 边上的中线 AM 的长为，求边 a 的值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由范围 A∈（ 0，π），可求 A 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ），又 a＝ b，可求，设 AC＝ x，则，，在△ AMC 中，由余弦定理即可解得 a 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，∴，∴，则，∵sinB≠ 0，∴， A∈（ 0，π），∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵ a＝ b，设 AC＝ x，则，，在△ AMC 中，由余弦定理得：222 AC +MC﹣ 2AC?MC?cosC＝ AM ，即，解得 x＝ 4，即 a＝ 4．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．（ 12 分）已知圆22关于直线 x﹣ y＝ 0 对称，半径为2，且圆心 C C： x +y +Dx+Ey﹣ 2＝ 0在第一象限．（Ⅰ）求圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线 l ：3x﹣ 4y+m＝ 0（ m＞ 0）与圆 C 相交于不同两点M、N，且，求实数 m 的值．【分析】（Ⅰ）由已知求得圆心坐标与半径，可得关于D， E 的方程组，求得 D ，E 的值得答案；（Ⅱ）画出图形，由题意圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解．【解答】解：（Ⅰ）由22，C： x+y +Dx+Ey﹣2＝ 0，得圆 C 的圆心为∵圆 C 关于直线x﹣ y＝ 0 对称，∴ D ＝E① ．∵圆 C 的半径为2，∴② ．又∵圆心 C 在第一象限，∴D＜ 0， E＜ 0，由①②解得， D ＝ E＝﹣ 2，2 2故圆 C 的方程为x +y ﹣ 2x﹣ 2y﹣ 2＝ 0，即（ x﹣1）2+（ y﹣1）2＝ 4；（Ⅱ）取MN 的中点 P，则，∴???．∴?，即，又 m＞ 0，解得．【点评】本题考查圆的一般方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．21．（ 12 分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面为 24 平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 300 元，屋顶和地面以及其他报价共计14400 元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米（ 3≤ x≤ 6）．（Ⅰ）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．（Ⅱ）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（ a＞ 0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）设甲工程队的总造价为y 元，推出利用基本不等式求解最值即可．（Ⅱ）由题意对任意的x∈[3 ， 6] 恒成立．即恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）设甲工程队的总造价为y 元，则，．当且仅当，即 x＝ 4 时等号成立．（Ⅱ）由题意可得，对任意的 x ∈[3， 6]恒成立．即，从而恒成立，令 x+1＝t ，， t ∈[4， 7]又在 t ∈[4， 7]为单调增函数，故 y min ＝ 12.25．所以 0＜ a ＜ 12.25．【点评】本题考查实际问题的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查转化思想以及计算能力．22．（ 12 分）已知数列 { a n } 的各项均不为零．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，数列的前n 项和为 T n ，且， n ∈N *．（Ⅰ）求 a 1， a 2 的值；（Ⅱ）证明数列 { a n } 是等比数列，并求 { a n } 的通项公式；（Ⅲ）证明：．【分析】（Ⅰ）通过，令 n ＝ 1，令 n ＝ 2，求解 a 2＝ 4，（Ⅱ）， ① ∴ ， ② ， ② ﹣ ① 得，说明数列 { a n } 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，求出通项公式．（Ⅲ）利用放缩法．转化求解数列的和，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，令 n ＝ 1，得，∵ a 1≠ 0，∴ a 1＝ 2；令 n ＝ 2，得，即，∵ a 2≠ 0，∴ a 2＝ 4，证明：（Ⅱ）∵， ① ∴， ②② ﹣ ① 得：，∵ a n+1≠ 0，∴（S n+1+S n ）+4﹣ 3a n+1＝ 0，③从而当 n ≥ 2 时，（ S n +S n ﹣1） +4﹣ 3a n ＝ 0，④③ ﹣④得：（ a n+1+a n）﹣ 3a n+1+3a n＝ 0，即 a n+1＝ 2a n，∵ a n≠ 0，∴，又由（Ⅰ）知，a1＝ 2， a2＝ 4，∴．∴数列 { a n} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，因为当 n≥ 1 时， 2n﹣ 1≥ 2n﹣1，所以．于是．【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．。

山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题 1．若21ii z=-，则z =（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+2．已知向量()1,a m =r ，()4,6b =r ，()1,1c =r，若()//2a b c -r r r ，则m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-3．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数N 为（） A ．744B ．620C ．372D ．1624．如图是函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则()f x =（）A π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C π46x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．在ABC V 中，13BD DC =u u u r u u u r ，记AB m =u u u r r ，AD n =u u u r r，则AC =u u u r （）A ．32m n -r rB ．32n m -r rC ．43m n -r rD ．43n m -r r6．对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm ）进行如下定义：小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .设BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB 为（）A ．()sin tan sin s a βθβ⋅⋅+B ．()sin sin tan s a ββθ⋅+⋅C ．()sin tan sin s a βθβ⋅+⋅D ．()sin sin tan s a ββθ⋅+⋅8．设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A 、ω、ϕ都是常数，0A >，0ω>），若()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且()ππ032f f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为（）A ．3π2 B ．π C ．π2 D ．π4二、多选题9．把函数()πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A ．2πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5πcos 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭10．体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙.则下列结论正确的是（）A ．x x >甲乙B ．x x =乙甲C ．22s s <甲乙D ．22s s >甲乙11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为下底面的中心，P 为1DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1POBC ⊥B ．直线PA 与BDC ．PO 与平面11ABB A 所成角为π4D ．三棱锥1B PAC -的外接球的表面积为33π12三、填空题12．已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据的第75百分位数是.13．某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面ABC 是边长为12（单位：厘米）的正三角形，DAC △，EBC V ，FAB V 均为正三角形，且他们所在的平面都与底面ABC 垂直，则该几何模型的体积为立方厘米.14．已知ABC V 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，满足2AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，且()()()PA PB AB PA PC AC PB PC BC +⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则sin BAC ∠=.四、解答题15．人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.(1)估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数； (2)估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.16．设向量()2sin ,cos a x x =r ，()2cos ,sin b x x =-r ，()cos ,2sin c y y =-r. (1)若()3a b c -⊥r r r，求()tan x y -的值；(2)若()f x a b =-，5π0,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.17．如图所示，AB 为圆锥PO 底面的直径，C 为圆O 上异于A 、B 的一点，D 、F 分别为AC 、PA 的中点，连接DO 并延长交圆O 于点E .(1)证明：AC ⊥平面PDE ； (2)证明：//EF 平面PBC .18．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()2cos cos 0a c C c A -+=，且a c >.(1)证明：2B C =；(2)若12BD DC =u u u r u u u r ，AD =1cos 3B =，求b ，c ；(3)若()cos sin A C B λ-+存在最小值，求实数λ的取值范围.19．已知两个非零向量a r ，b r，在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则AOB ∠叫做向量a r ，b r 的夹角，记作,a b r r .定义a r 与b r 的“向量积”为：a b ⨯rr 是一个向量，它与向量a r ，b r 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅r r rr r r .如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=u u u r u u u r(1)求AB 的长；(2)若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值； (3)若M 为PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=u u u r u u u r u u u u r，求λ.。