复数的运算(第2课时)

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高中数学(苏教版选修2-2)教师用书第3章 3.2 第2课时复数的乘方与除法 Word版含答案

第课时复数的乘方与除法
.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)
.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点) .了解幂的周期性.(易错点)
[基础·初探]
教材整理复数的乘方与除法
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题.
.复数的乘方与(∈*)的周期性
()复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何∈及，∈*，则＝＋，()＝，()＝.
()虚数单位(∈*)的周期性 .
－＝＋，－＝＋＝，＋＝，
.复数的除法
把满足(＋)(＋)＝＋(＋≠)的复数＋(，
∈)叫做复数＋除以复数＋的商，且＋＝＝＋(＋≠).
.判断正误：
()两复数的商一定是虚数.( )
() ＝.( )
()复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( )
()若∈，则＝.( )
【答案】()× ()√ ()√ ()×
.复数＋＝.
【解析】＝＝＝，＝·＝－.
∴原式＝－＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
计算下列各式的值.
()＋＋＋…＋＋；
()＋(－)；
()＋(＋)－.
【自主解答】()＋＋＋…＋＋＝＋＋＋＝.
()∵－＝＋＝＋，且(±)＝±.
∴＋(－)
＝(＋)＋[(－)]
＝()＋(－)＝.
()＋(＋)－
＝×＋＋[(＋)]－
＝＋()－。

9.4三角形式下复数的乘除、乘方、开方运算(第2课时)高一数学(沪教版2020必修第二册)

3 cos + sin
⋅ 2 cos + sin
12
12
4
4
1

+ sin
⋅ 2 cos + sin
12
12
4
4

= 3 × 2 cos
+
+ sin
+
12 4
12 4

= 6 cos + sin
3
3
1
3
= 6
+

2
2
解 1
3 cos
6 3 2
=
+

2
2
4
4
4 cos 3 + sin 3
2
+
3
2
3
+
= 2 × 3
=
5
6(
6
2
3
+
= −3 3 + 3
+
3
2
3

6
5
)
6

6

+
6

6

6
3 +
+
2
3
+

6
两个复数三角形式相乘，把
模相乘作为积的模，把辐角相加
作为积的辐角，若遇到复数的代
= 2(150° + 150°)
=− 3+
除，则商还是一个复数，它
的模等于被除数的模除以除
120° + 120°

第12章 §12.2 第2课时复数的乘方与除法运算-2024-2025学年高中数学苏教版必修

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
tan θ－
13.已知复数 z＝
i
3i－1 是纯虚数，θ∈R，则
θ＝_k_π_＋__π3_(_k_∈__Z_)_.
解析
tan θ－ i
3i－1＝(tan θ－
3)＋i，
因为
B.2i
C.－2i
D.4i
解析 1i ＝－i，i13＝i，i15＝－i，i17＝i， ∴1i ＋i13＋i15＋i17＝0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3i＋1 2.计算 2－i 的值是
√A.7i－5 1
7i＋1 B. 5
7i－1 C. 3
7i＋1 D. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
综合运用
11.定义运算ac
√A.3－i
db＝ad－bc，则符合条件1z
B.1＋3i
C.3＋i
－1＝4＋2i 的复数 z 为 zi
D.1－3i
解析
由定义得1 z
－zi 1＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
所以 z＝41＋＋2ii＝3－i.
跟踪训练 3 计算：32＋－23ii＋－ 23－2i 6. 解原式＝i22－－33ii＋i6－12＋ 23i6 ＝i＋i2＝i－1.
四、在复数范围内解方程
例4 在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解方法一因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，所以(x＋3)2＝－1，又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i. 方法二因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，所以方程的根为 x＝－62± 4i＝－3±i.

10.3复数的三角形式及其运算第2课时课件-高一下学期数学人教B版

学习活动
学习总结
问题2：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：
.
2
证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，确定复平面.
由平行线内错角相等知α，β，γ分别等于3+i，2+i，1+i的辐角主值，因此α+β+γ应该(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角，
问题1：设z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)，在复平面内作出z1、 z2，试求出z1z2，并用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式. z1z2＝r1(cos θ1+isin θ1)×r2(cos θ2+isin θ2) ＝r1r2［(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)］＝r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］
3 i 2(cos( ) sin( )i), 1 3i 2(cos sin i).
6
6
33
(1 i)3( 3 i) ( 2)3 2
[cos( 3 ) sin( 3 )i]
1 3i
2
4 63
4 63
2 2(cos sin i) 2 2i.
44
学习目标
学习活动
学习总结
问题2：由复数乘法运算的三角表示，结合上述图像，思考讨论在复数平面内，复数乘法运算的三角表示有什么几何意义？
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复数乘法的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1,OZ2 ，将OZ1绕点O按逆时针方向旋转角

§2 复数的四则运算(2)

（2）设 1 3 i, 则 1 3 i. 且有下列性质：
22
22
① 3k 1, 3k1 , 3k2 2; ② 2 1 0 ; ③ 1 .
1i 1i
4 3i
（2） 1 (
2
2i)5 (
1
)4
1 (
i
)7
;
i
1i 1i
（3）(
3 1 i)12 ( 2 2i )8 .
22
1 3i
答案（1） 16i；（2）(16 2 1) (16 2 1)i; 4 （3）7 8 3i.
例3.已知 x, y R, 若 x2 2x (2 y x)i 和3x ( y 1)i 是共轭复数, 求复数 z x yi 和z . 答案: z i, z i或z 1, z 1.
z 1
z 2
z 1
z 2
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac bd ) (bc ad )i c2 d2
ac bd bc ad c2 d2 c2 d2 i
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
复习回顾
1. (a bi) (c di) (a c) (b d )i
2. (a bi) (c di) (ac bd ) (ad bc)i
复数的加、减、乘法类似于多项式的加、减、乘法运算，不同的是在运算过程中，需要用i2=-1进行化简，然后把实部与虚部分别合并，结果应写成复数的标准形式.
3.共轭复数概念复数z的共轭复数用 z来表示，即当z=a+bi时，z a bi. z z a2 b2 z 2 z 2 z z z z z R

复数的运算(2)精选教学PPT课件

5. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的必要但不充分条件.
6. 已知z=a2-a+(a3-2a2-a+2)i(aR)，则当a= 1或-1或2 时， z为实数、当a= 0 时，z为纯虚数.
基础知识
1. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则 z1=z2 b d，
2. 对虚数单位i 的规定 ① i2=-1；
② i可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘法运算律不变.
3. 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ；-5= -5+0i ； 0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i . 4. 我们把形如a+bi（其中 a、bR ）的数称为复数 z=a+bi ，其中a叫做复数 z 的实部、记作： b叫做复数 z 的虚部 . 全体复数集记为 C .
复数的概念
第一课 1. 数的发展
基础知识
表示相反意义的量计数的需要自然数 (正整数和零) ———————负数解方程x+3=1
测量、分配中的等分 ————————分数（分数集有理数集循环小数集）解方程3 x=5 循环小数 _ __________ 度量 ————— 无理数（实数集小数集不循环小数 2 _ 解方程x =2 __________ 2=-1 解方程 x 数轴上的点) ———————— 虚数表示坐标平面上的点
复数z=a+bi与有序实数对(a，b)形成一一对应；有序实数对(a，b)与直角坐标平面上的点形成一一对应. 因此，复数z=a+bi可以用坐标平面上的点表示. 记作：Z:a+bi (不可以写成Z=a+bi ) 4. 复平面(高斯平面)

复数的概念(课时2)高一数学练(人教A版2019必修第二册)

随堂检测·精评价
2.（多选题）已知复数的模等于2，则实数的值为( ).
A. B. C. D.
AC
[解析] 依题意可得，解得或 .
3.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 在复平面内对应的点在第二象限，∴ 解得，则实数的取值范围是 .
情境设置
合作探究·提素养
问题1：高斯认为复数与有序实数对之间有什么对应关系？
[答案] 一一对应关系.
问题2：有序实数对与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？
[答案] 一一对应关系.
问题3：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[答案] 不对.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数.
复数模的计算
（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是( ).
4.已知，则，，的大小关系为__________________________.
[解析] 由，得， .而，，，， .
方法总结
已知复数（，为虚数单位），若是纯虚数，求 .
[解析] 因为是纯虚数，所以解得，所以，故 .
巩固训练
1.已知复数，复平面内对应点的坐标为( ).
A. B. C. D.
A
[解析] 复数的实部为0，虚部为，故复平面内对应点的坐标为 .

【数学】3.2.2《复数的运算》课件(新人教B版选修2-2)

3.2 复数的运算 3.2.1复数的加法和减法 3.2.1复数的加法和减法
1
复数的几何意义？复习复数的几何意义？
一一对应
复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点
一一对应
uuu r 平面向量 OZ = ( a, b )
y
z=a+bi Z(a,b)Fra biblioteka bo
x
2
z = a + bi
z1·z2= z2·z1 , z1·z2 ·z3= z1·(z2 ·z3) , z1·(z2 +z3)= z1·z2 +z1·z3
.
13
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
y
Z(a+c,b+d) Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行结论：复数的和对应向量的和。复数的和对应向量的和。
x
7
问题探索
z = z1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
uuuur uuur uuuu r Z1Z 2 = OZ1 - OZ 2 = ( a , b ) - (c, d ) = ( a - c, b - d )
2.复数减法运算的几何意义? 2.复数减法运算的几何意义? 复数减法运算的几何意义 z2 = c + di 复数 z1 = a + bi uuuu r uuur OZ 2 = (c, d ) OZ1 = (a, b)

(教案)复数的四则运算

复数的四则运算【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2．解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ．（2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数；（2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ．（2）因为CA→＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ．互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B 所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M对应的复数为12＋3i ．复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．三、课堂总结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、课堂检测1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ． 2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ．（1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？二、新知探究探究点1：复数的乘法运算（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（） A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ．（2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ．（3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ．复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i ．探究点2：复数的除法运算计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．探究点3： i 的运算性质（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________．解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i（1）i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）．（2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i ．②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ． ③1i ＝－i ．探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程．（1）x 2＋5＝0；（2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5，所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ．（2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0），则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2．所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求解方法（1）求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a ．②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i2a．（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋n i（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．三、课堂总结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．四、课堂检测1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A． 5 B． 3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。

数学：《3.2复数的四则运算(2) 》(选修2-2)

(ac bd ) (bc ad )i 2 2 c d
【探究】怎样判断一个复数是实数？ ① z的虚部为0 ② z = z
【例1】已知复数 z=1+i 使 ,求实数a,b
2
a z 2b z (a 2 z)
a=－2,b=－1; a=－4,b=2;
2. 复数 z 满足 (1 2i ) z 4 3i 求z
3.2 复数的四则运算
复习: z1 a bi , z2 c di
z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 ac adi bci bdi
2
(ac bd) (ad bc)i
运算满足交换律、结合律、分配律
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (c di)(c di)
拓
设关于 x 的方程
2
展
x (tan i ) x (2 i ) 0 ( R) 若方程有实数根，求锐角的值, 并求出方程的所有根。
解： 2 x tan 2) ( x 1)i 0 (x x x tan 2 0, x 1 0 x 1, tan 1
2
45
o
i __ , i __ , i __ , i __
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
i
4n 2
1
, i
4n 3
i
【例2】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006

高中二年级数学课教案：掌握复数的运算法则 (2)

高中二年级数学课教案：掌握复数的运算法则一、引言复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示实数范围之外的数。

高中二年级学生在学习复数时需要掌握其运算法则，以便更好地解决与复数相关的问题。

本文将就此为主题，介绍高中二年级数学课教案：掌握复数的运算法则。

二、背景知识在开始具体讲解复数的运算法则前，先来回顾一下关于复数的基本知识。

复数由实部和虚部组成，通常表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i为虚单位（满足i^2=-1）。

在进行复数的运算时，我们需要掌握以下几个基本法则。

三、复数的加法和减法1. 加法法则：对于两个复数a+bi和c+di的相加运算，我们只需将它们的实部和虚部分别相加即可。

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i例如：(3+2i) + (4-5i) = 7-3i2. 减法法则：对于两个复数a+bi和c+di的相减运算，我们只需将它们的实部和虚部分别相减即可。

(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i例如：(3+2i) - (4-5i) = -1+7i四、复数的乘法和除法1. 乘法法则：对于两个复数a+bi和c+di的相乘运算，我们可以使用分配律进行计算。

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2= (ac-bd) + (ad+bc)i例如：(3+2i)(4-5i) = 22-7i2. 除法法则：对于两个复数a+bi和c+di的相除运算，我们需要借助共轭复数来完成。

共轭复数：将一个复数的虚部取负得到的新复数叫做原复数的共轭复数。

例如，对于一个复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

在计算时，我们可以将除以一个复数转化为乘以其倒数，并借助共轭复数来求得分母的倒数。

((a+bi)/(c+di)) = ((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))= ((ac-bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)例如：(3+2i)/(4-5i)= ((3+2i)(4+5i))/((4-5i)(4+5i))= (22+17i)/41五、复数的运算性质1. 交换律：加法和乘法满足交换律。

3.2 复数的四则运算(2)

教学内容3.2 复数的四则运算（2）教学目标要求 1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义．2．理解并掌握复数进行四则运算的规律教学重点复数乘方运算教学难点复数运算法则在计算中的熟练应用教学方法和教具类比探究法教师主导活动学生主体活动一、复习回顾1．复数的加法，减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．二、建构数学乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．（1）m n m n z z z ＋＝（2） ()m n mn z z ＝（3） 1212()n n n z z z z ＝．除法运算：z 2＝c ＋d i ≠0，2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋．三、数学应用例1 计算2i 34i－－．解解法一设2i 34i －－＝x ＋y i ，即(3－4i)( x ＋y i)＝2－i ；所以342341x y y x ⎧⎨⎩＋＝－＝－所以2515x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝所以2i 34i －－＝25＋15i 解法二 2i 34i －－＝(2i)(34i)(34i)(34i)－＋－＋＝105i 25＋＝25＋15i例2 计算．2(1i)_______＋＝；2(1i)_______－＝；1i _______1i＋＝－；1i _______1i －＝＋； 20111i _______1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝＋．例3 求值i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2010．例4 设13i 22ω＝－＋，求证：（1）210ωω＋＋＝（2）31ω＝．证明（1）221313(i)i 2222ω＝－＋＝－－所以2131311i i 02222ωω＋＋＝－＋－－＝（2）221313(i)i 2222ω＝－＋＝－－所以321313(i)(i)12222ωωω＝＝－＋－－＝思考写出13=x 在复数范围内的三个根？结论4 23213i 22101ωωωωωω＝－＋＋＋＝＝＝， 23213i 22101ωωωωωω＝－－＋＋＝＝＝四、巩固练习课本P117练习第2，3题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法则和运算律．2．复数的除法法则和运算律．3．几个常用的结论．板书设计教后札记。

复数的运算(二)

青州三中高二数学导学案编号：教学课题课型主备教师把关教师使用教师使用时间、班级复数的乘法与除法新授课臧真明裴景梅高二数学组学习目标1、掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则及其运算律，并能应用它们熟练地进行复数的四则运算；2、理解共轭复数积的性质：22z z z z ==⋅，并能利用它求解相关问题学习重点、难点复数的乘、除法的运算法则和共轭复数积的性质及其应用教学过程一、填一填1、复数的乘法：设R d c b a di c z bi a z ∈+=+=,,,,,21，则_______________________________21=z z___________1121=⋅=z z z2、复数的除法：设R d c b a di c z bi a z ∈+=+=,,,,,21，计算dic bi a zz ++=21时，分子、分母同乘以分母的共轭复数di c -，把分母变为实数，即____________________________21==++=dic bi a zz3、复数运算律：乘法交换律：________21=⋅z z乘法结合律：_____________)(321=⋅⋅z z z加乘分配律：_______________)(321=+⋅z z z乘方的运算律：________=⋅nmz z________)(=nmz________)(21=⋅nz z教学设计教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！特别地：（1）i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；（2）共轭复数的性质： ①22b a z z +== ②2z z z =⋅③bi z z a z z 2,2=-=+ ④21212121,z z z z z z z z -=-+=+⑤21212121)(,zz zz z z z z =⋅=⋅ ⑥R z z z ∈⇔=（3）)(,1ai b i bi a i i-=+-= ；。

复数的运算(2)最新版

数轴上的点) 表—解示—方坐—程标x—2平=—-面1 —上—的点— 虚数
2. 对虚数单位i 的规定 ① i2=-1； ② i可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘法运算律不变.
3. 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ；-5= -5+0i ； 0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i .
z=a+bi
•Z
用来表示复数的直角坐标平面
其中， x轴叫实轴，
(a，b)
y轴除去原点叫虚轴
O
x
注意：虚轴不包含原点
复数的几何意义复数集C与复平面上的点集是一一对应的.
5. 口答P1795、6、7 6. 共轭复数实部相同，虚部相反的两个复数
复数z=a+bi的共轭复数记为 zabi 口答P1798、9
复数的概念
第一课
基础知识
1. 数的发展计数的需要自然数 (正整数和零) —表示—解相方—反程—意x—+义3—=的1—量负数
—测量—解、—方分—程配—3中x—的=5—等分—分数（分数集有理数集循环小数集）
—解度—方量—程—x2=—2 无理数（实数集小数集
_循__环_小__数____ 不__循__环__小__数__
4 3
、y=

3 2
3. 全体实数集与数轴上的点集形成一一对应；复数z=a+bi与有序实数对(a，b)形成一一对应；
有序实数对(a，b)与直角坐标平面上的点形成一一对应.
因此，复数z=a+bi可以用坐标平面上的点表示.

第2讲复数的概念与运算(教师版)

第二讲复数的概念与运算真题展示2022新高考一卷第一题若i(1)1z -=，则z z +=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2知识要点整理1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i ，规定：①=-1，即i 是方程+1=0的根；②实数可以和数i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.在此规定下，实数a 与i 相加，结果记作a +i ；实数b 与i 相乘，结果记作b i ；实数a 与b i 相加，结果记作a +b i.注意到所有实数以及i 都可以写成a +b i(a ,b ∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.(2)复数的概念我们把形如a +b i(a ,b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a +b i|a ,b ∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C 中就有解x =i 了.(3)复数的表示复数通常用字母z 表示，即z =a +b i(a ,b ∈R).以后不作特殊说明时，复数z =a +b i 都有a ,b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.(4)复数的分类对于复数a +b i ，当且仅当b =0时，它是实数；当且仅当a =b =0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C.复数z=a+b i可以分类如下：复数，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.2．复数相等在复数集C={a+b i|a,b∈R}中任取两个数a+b i，c+d i(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+b i与c+d i 相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.3．复数的几何意义(1)复平面根据复数相等的定义，可得复数z=a+b i有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+b i可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.(2)复数的几何意义——与点对应由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+b复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.(3) 复数的几何意义——与向量对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+b i，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+b i平面向量，这是复数的另一种几何意义.4．复数的模向量的模r叫做复数z=a+b i的模或绝对值，记作|z|或|a+b i|.如果b=0，那么z=a+b i 是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+b i|=r=(r∈R).5．共轭复数(1)定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+b i，则=a-b i.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.(2)几何意义互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.(3)性质 =z .②实数的共轭复数是它本身，即z =z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数.6．复数的模的几何意义(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R)的模|z|就是复数z =a +b i 在复平面内对应的点Z (a ,b )到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义.(2)复数z 在复平面内对应的点为Z ，r 表示一个大于0的常数，则满足条件|z |=r 的点Z 组成的集合是以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |<r 表示圆的内部，|z |>r 表示圆的外部.三年真题一、单选题1．已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==- B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．3．设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.4．若1z =-+，则1zzz =-（）A．1- B ．1-C ．13-D ．13-5．(22i)(12i)+-=（） A ．24i -+ B ．24i --C ．62i +D ．62i -【答案】D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.6．若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．B ．C ．D ．7．已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-8．复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.10．设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i - B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +11．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （） A ．1- B ．1 C ．3- D ．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-. 故选：C.12．设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -13．已知2(1)32i z i -=+，则z =（） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --14．已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +二、填空题15．已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______．【答案】15i -##5i 1-+16．i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．三年模拟一、单选题1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数z 满足2z z +=，且4i z z -=-，则z =（）AB C ．2 D2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i 是虚数单位，复数2i 12iz =+，则复数z 的虚部为（） A ．2i 5B ．25C ．1i 5-D ．15-3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若341i 2i i 1iz -++=+，则z 的虚部为（）A ．52B ．52- C ．52i D ．5i 2-故选：B.4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数z 的共轭复数为z ，若()2i 23i z -=-，则z =（） A ．47i 55+B ．47i 55-C ．74i 55+D ．74i 55-5．（2022·四川南充·一模（理））若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（） A ．1 B ．5 C ．7 D ．256．（2022·全国·模拟预测）复数()21i 2i+-在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12z z +=（）A ．1B 5C ．3D ．5 【答案】B【分析】根据向量的坐标写出复数，再求加法及模.【详解】由题意可得：122i,1i z z =+=-+，则1212i z z +=+，故2212125z z +=+=.故选：B.8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数3i 1i z +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．-3B ．-1C ．3D ．5 【答案】D【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.【详解】解：∵()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===++-+， ∴12i z =-，()()2212i 12i 125z z ⋅=+-=+=．故选：D ．9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则||z =（）A ．2B 5C ．23D ．32【答案】B【分析】利用复数运算法则计算得到2i z =-+，从而求出模长.【详解】由2i 1(1i)2i z +=-=-，得i 12i z =--，10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则|1|z -=（）A ．2B C ．D ．11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z 满足(2i)4z z +=-，则z =（）A ．3i +B ．3i -+C ．1i -+D ．1i --二、填空题12．（2022·上海宝山·一模）设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.13．（2022·上海普陀·一模）若()i 1i z =⋅-（其中i 表示虚数单位），则Im z =______．【答案】1【分析】计算1i z =+，即可得到虚部.【详解】因为()i 1i 1i z =⋅-=+，根据复数的概念可知，虚部为1.故答案为：1.14．（2022·上海长宁·一模）复数z 满足11iz =+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点Z 到原点O 的距离为___________15．（2022·上海虹口·一模）设m ，n ∈R ，i 为虚数单位，若1是关于x 的二次方程20x mx n ++=的一个虚根，则m n +=______．16．（2022·上海杨浦·一模）设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．【答案】2【分析】根据复数的乘法运算即可得复数z ，即可得z 的虚部.【详解】解：复数()22i 1i 2i 2i 22i z =-=-=+，所以复数z 的虚部为2.故答案为：2.。

《复数的乘法与除法》第2课时示范公开课教学课件【高中数学】

3．实系数一元二次方程的解的性质？
问题5 1．共轭复数的性质有哪些？
3．实系数一元二次方程的解
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根．
1
目标检测
解析：因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，……
故选：C．
C
若复数z满足（1＋i）z＝2i2019（i是虚数单位），则z的共轭复数＝（）
初步应用
例1 （1）复数z满足：（z－2）·i＝z（i为虚数单位），为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（）
（1）由（z﹣2）·i＝z，得zi﹣2i＝z，
A．z2＝2i B．z· ＝2 C．|z|＝2 D．z＋＝0
（2）已知复数z满足z－＝0，且z· ＝9，则z＝（）
复数的乘法与除法
第2课时
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（1）复数的乘法法则：
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i
（2）复数的除法法则：
问题导入
问题1 复数的乘法法则、除法法则、乘法的运算律是什么？
（3）复数乘法的运算律：
交换律：z1·z2＝z2·z1
新知探究
问题2 设实数a，b满足（a＋bi）（1＋2i）＝1，利用方程组求a，b的值，并思考是否有其他方法可以求出？
新知探究
追问：共轭复数的性质有哪些？
新知探究
问题3 复数的正整数指数幂如何运算？实数的正整数指数幂有以下运算性质，它们是否在复数集中仍然成立？
（1）am·an＝am＋n （2）（am）n＝amn （3）（a1·a2）n＝a1n·a2n（其中m、n为正整数）
n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，

高中数学同步备课复数的四则运算

第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R),则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i,z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,(a,b,c,d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成－1,并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i,z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di 是任意两个复数,那么它们的积(a ＋bi)(c ＋di)＝ac ＋bci ＋adi ＋bdi 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i(a,b,c,d ∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z 1、z 2、z 3∈C,有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3问题：复数3＋4i 与3－4i,a ＋bi 与a －bi(a,b ∈R)有什么特点？提示：两复数的实部相等,虚部互为相反数．1．把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋bi 的共轭复数记作z －,即z －＝a －bi.3．当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时,z ＝z －,也就是说,实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1,再把实部,虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数．[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________．解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2,则x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2,即x－4＝2,y＋1＝0.∴x＝6,y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘,可按从左向右的顺序运算,或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式,完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1,(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位,则(－1＋i)(2－i)＝________．解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋bi,其中a,b ∈R,i 为虚数单位,则a ＋b ＝________．解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋bi,∴a ＝1,b ＝3, 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.[例3] 已知z∈C ,z 为z 的共轭复数,若z·z －3iz ＝1＋3i,求z. [思路点拨]设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）―→z ＝a －bi(a,b ∈R)―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋bi(a,b ∈R), 则z ＝a －bi(a,b ∈R),由题意得(a ＋bi)(a －bi)－3i(a －bi)＝1＋3i, 即a 2＋b 2－3b －3ai ＝1＋3i,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R ⇔z ＝z,利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0,则z 为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i,z 为z 的共轭复数,则z ·z －z －1＝ ________．解析：∵z＝1＋i,∴z ＝1－i,∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2, ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i,则z ＝________．解析：设z ＝a ＋bi,则z ＝a －bi.∴(1＋2i)(a －bi)＝4＋3i,∴a －bi ＋2ai ＋2b ＝4＋3i, 即(a ＋2b)＋(2a －b)i ＝4＋3i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2,b ＝1.∴z＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i,求实数 a,b 使 az ＋2bz ＝(a ＋2z)2成立．解：∵z＝1＋i,∴az ＋2bz ＝(a ＋2b)＋(a －2b)i,(a ＋2z)2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a,b 都是实数,∴由 az ＋2bz ＝(a ＋2z)2,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）.两式相加,整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2,a 2＝－4,对应得 b 1＝－1,b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2,b ＝－1 或 a ＝－4,b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋bi 看作关于“i ”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项式的加法、减法,只需要“合并同类项”就行,不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i 2化为－1,进行最后结果的化简．一、填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i ＋3)－(－2＋5i)＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5. 答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i,则z·z ＋z 的实部是________．解析：∵z＝1－2i, ∴z ＝1＋2i,∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5, ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i),则z ＝________．解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x∈R),则x ＝________．解析：(x ＋i)i ＝－1＋xi ＝－1＋2i,由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i,z 2＝t ＋i,且z 1·z 2是实数,则实数t ＝________．解析：∵z 2＝t ＋i,∴z 2＝t －i, ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4ti －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i, 又∵z 1·z 2是实数, ∴4t －3＝0,即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2,(z －z)i ＝2(i 为虚数单位),求z. 解：法一：设z ＝a ＋bi(a,b ∈R),则z ＝a －bi, ∵z ＋z ＝2a ＝2,∴a ＝1. 又(z －z)i ＝2bi 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z－z)i ＝2,∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z)＝－2i ＋2,∴2z ＝－2i ＋2, ∴z ＝1－i.第2课时复数的乘方与除法运算问题1：在实数中,若a·b＝c(a≠0),则b ＝c a .反之,若b ＝ca ,则a·b＝c.那么在复数集中,若z 1·z 2＝z 3,有z 1＝z 3z 2(z 2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R,c ＋di ≠0),则z 1z 2如何运算？提示：通常先把(a ＋bi )÷(c＋di)写成a ＋bic ＋di 的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －di,化简后可得结果,即a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(c ＋di ≠0)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z,z 1,z 2和m,n ∈N *,有 (z)m·(z)n＝(z)m ＋n；(z m )n＝z mn； (z 1·z 2)n＝z n1·z n2．2．虚数单位i n(n∈N *)的周期性 i 4n＝1,i4n ＋1＝i,i4n ＋2＝－1,i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法运算及法则把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi(x,y ∈R)叫做复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商．且x ＋yi ＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i ．由a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i,可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．[例1] 求1＋i ＋i 2＋…＋i2 016的值．[思路点拨] 利用i n的性质计算,i 4n＝1,i 4n ＋1＝i,i4n ＋2＝－1,i4n ＋3＝－i,还可以利用等比数列求和来解．[精解详析] 法一：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i 2 016·i 1－i ＝1－i 1－i＝1.法二：∵i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n∈N *),∴1＋i ＋i 2＋…＋i2 016＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝1.[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用,i 的周期性要记熟,即i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in＋3＝0(n∈N *)．1．若z ＝－1－i 2,则z 2 014＋z 102＝________．解析：∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i,∴z2 014＋z 102＝(－i)1 007＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i ＋i ＝2i. 答案：2i2．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12,z 2＝i 4·i 5·i 6·… ·i 12,则z 1与z 2的关系为z 1________z 2(用“＝”或“≠”填)．解析：∵z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i ＝1,z 2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i （4＋12）×92＝i 72＝(i 4)18＝1,∴z 1＝z 2. 答案：＝[例2] 计算：(1)i －231＋23i＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22；(2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）.[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时,一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律,另一方面要注意观察式子中数据的特点,利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析] (1)原式＝（1＋23i ）i 1＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝i ＋5－1－i ＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22（1＋i ）3（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ）＝22（1＋i ）4i （1－i ）（1＋i ）＝22[（1＋i ）2]2i 2＝2·(2i)2i ＝－42i.[一点通] 复数的除法就是分子,分母同乘以分母的共轭复数,从而使分母实数化,熟悉以下结论对简化运算很有帮助．b －ai ＝(a ＋bi)(－i),－b ＋ai ＝(a ＋bi)i.3．设复数z ＝2i －1＋i ,则复数z 2的实部与虚部的和为________．解析：∵z＝2i －1＋i ＝2i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝2i （－1－i ）2＝－i ＋1, ∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.实部为0,虚部为－2.因此,实部与虚部的和为－2.答案：－24．若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位),则z ＝________．解析：∵z(2－i)＝11＋7i,∴z ＝11＋7i 2－i ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15＋25i 5＝3＋5i. 答案：3＋5i5．化简：()－1＋3i 3（1＋i ）6＋－2＋i 1＋2i ＝________．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋（－2＋i ）（1－2i ）5＝i ＋i ＝2i. 答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中,每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n ＝1,i 4n ＋1＝i,i 4n ＋2＝－1,i 4n ＋3＝－i (n∈N *)； (2)(1±i)2＝±2i,1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i＝－i ； (3)设ω＝－12＋32i,则ω3＝1,ω2＋ω＋1＝0,ω2＝ω,ω3＝1.一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 满足(1－i)z ＝2i,则z ＝________．解析：z ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝－1＋i. 答案：－1＋i2．设i 是虚数单位,复数103－i的虚部为________．解析：103－i ＝10（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝3＋i. 答案：13．如果z 1＝－2－3i,z 2＝3－2i （2＋i ）2,则z 1z 2＝________．解析：∵z 1＝－2－3i,z 2＝3－i （2＋i ）2, ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.答案：4－3i4．(浙江高考)已知 i 是虚数单位,计算1－i （1＋i ）2 ＝________．解析：1－i （1＋i ）2 ＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i 2＝－12－12i. 答案：－12－12i 5．i 是虚数单位,i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________．解析：设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8①则iS ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9＝i （1－i 8）1－i－8i ＝－8i.∴S ＝－8i 1－i ＝－8i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－8i （1＋i ）2＝4－4i.答案：4－4i二、解答题6．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220 ＝[]（1＋2i ）·1＋（－i ）52－i 10 ＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.7．复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ,若z 2＋a z＜0,求纯虚数a. 解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数,∴设a ＝mi (m≠0),则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4.∴a＝4i.8．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根．(1)求a 、b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根,∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b ＝0,即(a ＋b)＋(a ＋2)i ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. ∴a 、b 的值为a ＝－2,b ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0,把1－i代入方程,左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根.。