2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.3 第1课时等差数列的前n项和公式

合集下载

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.3 第2课时等差数列的前n项和公式的性质及应用 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．(·高考全国Ⅱ卷)设是等差数列{}的前项和，若＋＋＝，则＝( )．．．．解析：＋＋＝＝⇒＝，＝＝＝.答案：．数列{}为等差数列，若＝，＝，＋－＝，则＝( )．．．．解析：∵＋－＝＋＋＋＝＋＋＋(＋)＝＋(＋)＝×＋(＋)×＝＋＝，∴＝.答案：．记等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则＝( )．．．．解析：设数列{}的公差为，则＝＋，∴＝＋＝，∴＝，∴＝＋＝.答案：．设{}是等差数列，若＝，＝，则数列{}的前项和为( )．．．．解析：设数列{}的前项和为，则＝＝＝＝.答案：．数列{}是等差数列，＋＋＝－，＋＋＝，则此数列的前项和等于( )．．．．解析：∵{}是等差数列，∴＋＝＋＝＋.又＋＋＝－，＋＋＝，∴＋＋＋＋＋＝.∴(＋)＝.∴＋＝.∴＝＝.答案：．有两个等差数列{}，{}，它们的前项和分别为和.若＝，则等于．解析：由{}，{}是等差数列，＝，不妨设＝(＋)，＝(＋)(≠)，则＝＋(－)＝－，＝＋(－)＝＋.所以＝＝.答案：．已知{}为等差数列，＋＋＝，＋＋＝，以表示{}的前项和，则使得达到最大值的是．解析：由已知得＝＝，∴＝，＝，∴＝－，＝＋(－)(－)＝－，由(\\(≥＋<))，得＝.答案：．已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为．解析：奇＝＋＋＋＋＝，偶＝＋＋＋＋＝，∴偶－奇＝＝，∴＝.答案：．设正项数列{}的前项和为，并且对于任意∈*，与的等差中项等于，求数列{}的通项公式．解析：由题意知，＝，得：＝，∴＝＝，又∵＋＝＋－＝[(＋＋)－(＋)]，∴(＋－)－(＋)＝.即(＋＋)(＋－－)＝，∵＞，∴＋－＝，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．∴＝－.．已知等差数列{}中，＝，＝－.()求数列{}的通项公式；()若数列{}的前项和＝－，求的值．解析：()设等差数列的公差为，则＝＋(－).由＝，＝－可得＋＝－，解得＝－.从而＝＋(－)×(－)＝－.()由()可知＝－.所以＝＝－.进而由＝－可得－＝－，即－－＝.解得＝或＝－.又∈*，故＝为所求结果．[组能力提升]。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第1课时等比数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2，且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.2 第1课时等差数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．等差数列－，，＋，…的通项公式是( )．＝＋(－)．＝＋(－)．＝＋．＝＋(－)解析：数列的首项为－，公差为，∴＝(－)＋(－)·＝＋(－).答案：．已知数列，…，(－)，…，那么是它的第几项( )．．．．解析：由已知数列可知，此数列是以为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(－)×＝(－)＝－，由－＝，得＝.答案：．在等差数列{}中，＝－，＝＋，则等于( )．－．－．－．－解析：法一：由题意，得(\\(＋＝－，＋＝＋＋，))解得＝－.法二：由＝＋(－)(，∈*)，得＝，∴＝＝＝.∴＝－＝－.答案：．在数列{}中，＝，＋＝＋，则等于( )．．．．解析：由于＋－＝，则数列{}是等差数列，且公差＝，则＝＋(－)＝，故＝ .答案：．若等差数列{}中，已知＝，＋＝，＝，则＝( )．．．．解析：依题意，＋＝＋＋＋＝，将＝代入，得＝.所以＝＋(－)＝＋(－)×＝－，令＝，解得＝.答案：．(－)与(＋)的等差中项是．解析：等差中项＝＝)＝.答案：．等差数列的第项是，第项是－，则它的第项是．解析：设首项为，公差为，由＝，＝－得，＋＝，＋＝－，所以＝，＝－，则＝.答案：．已知，，，，－是等差数列的连续项，则，，的值依次是．解析：∵＝＋(－)，∴＝，又＝＋＝＋，∴＝，同理可得＝.答案：．在等差数列{}中，已知＝，＝，这个数列在到之间共有多少项？解析：由题意，得＝－＝－＝，所以＝＋(－)＝＋(－)＝＋.令≤≤，解得≤≤.又因为为正整数，所以共有项．．一个各项都是正数的无穷等差数列{}，和是方程－＋＝的两个根，求它的通项公式．解析：由题意，知＋＝，＝，又{}为正项等差数列，∴＝，＝，设公差为，∵＝＋，∴＝＋，故＝，＝－.[组能力提升]．在数列{}中，＝＋＝＋，则的值是( )．．．．解析：∵＋＝＋，∴(＋－)＝.即＋－＝.∴{}是以为公差的等差数列．＝＋(－)×＝＋＝.答案：．在等差数列中，＝，＝(≠)，则＋为( )．．－。

人教A版高中数学必修5第二章 2.2 第1课时等差数列练习

2.2等差数列第1课时等差数列课时过关·能力提升基础巩固1在等差数列{a n}中,a1a3=8,a2=3,则公差d等于 ().A.1B.-1C.±1D.±2解析:由题意解得d=±1.答案:C2在等差数列{a n}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于 ().A.-9B.-8C.-7D.-4解析:设公差为d,由等差数列的通项公式,得a2=a1+d=-5,①a6=a1+5d,a4=a1+3d.∵a6=a4+6,∴a1+5d=a1+3d+6.②联立①②解得a1=-8.答案:B3已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为 ().A.2B.3C.-2D.-3解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,故公差d=a2-a1=-1-1=-2.答案:C4等差数列0,的第项是A.C.解析:依题意,得数列的公差d=所以数列的通项公式为a n=0故a n+1=答案:A5若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差为.(用a,b表示)-解析:该等差数列的首项为a,第4项为b.设公差为d,则b=a+(4-1)d,d答案:-6在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为.解析:∵2a n+1-2a n=1,∴a n+1-a n∴数列{a n}是以2为首项,以为公差的等差数列.∴a n=2∴a101答案:527等差数列1,-3,-7,…的通项公式为,a20=.解析:∵d=-3-1=-4,a1=1,∴a n=1-4(n-1)=-4n+5.∴a20=-80+5=-75.答案:a n=-4n+5-75≥2),则a n=.8已知在数列{a n}中,a1=1,a2且-解析:-∴数列是等差数列,公差d∴a n答案:9在等差数列{a n}中,(1)若a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d;(2)若a1+a6=12,a4=7,求a9.-解(1)由题意知-解得(2)∴a n=1+2(n-1)=2n-1.∴a9=2×9-1=17.10已知数列{a n}的通项公式是a n=7n+2,求证:数列{lg a n}是等差数列.分析转化为证明lg a n+1-lg a n是一个与n无关的常数.证明设b n=lg a n=lg 7n+2=(n+2)lg 7,则b n+1=[(n+1)+2]lg 7=(n+3)lg 7,则b n+1-b n=(n+3)lg 7-(n+2)lg 7=lg 7为常数.所以数列{b n}是等差数列,即数列{lg a n}是等差数列.能力提升1若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为().A.7或-3B.log37C.log27D.4解析:∵log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,-即22x-4·2x-21=0,-解得2x=7或2x=-3(舍去),∴x=log27.答案:C2已知数列{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于().A.-2B.C--解析:由题意,得解得d=答案:B3在等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则b15等于 (). A.30 B.45C.90D.186解析:设数列{a n}的公差为d,则解得∴a n=3+3(n-1)=3n,b n=a2n=6n,∴b15=6×15=90.答案:C4在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().A.24B.22C.20D.-8解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.答案:A5已知数列{a n}是等差数列,且a n=an2+n,则实数a=.解析:∵{a n}是等差数列,∴a n+1-a n=常数.∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.∴2a=0,∴a=0.答案:0★6已知数列{a n}满足且则解析:由得∴数列是公差为4的等差数列.∵a n>0,∴a n-答案:-7夏季高山上的温度从山脚起,每升高100 m,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米?解因为每升高100 m温度降低0.7 ℃,所以该处温度的变化是一个等差数列问题.山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项a n=14.8,所以26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17.故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(m).★8已知数列{a n}满足a且当n>1,n∈N*时,有---设b n n∈N*.(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)试问a1a2是不是数列{a n}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n∈N*时------=--b n-b n-1=4,且.故{b n}是等差数列,且公差为4,首项为5. (2)解由(1)知b n=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n n∈N*.∴a a1令a n解得n=11.即a1a2=a11,∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第1课时等比数列的前n项和公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ，又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n}仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)．答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

2021年数学人教版必修5优化练习：第2章2.3第1课时等差数列的前项和公式版含解析

[课时作业]页[A 组根底稳固]1．等差数列{a n }中 ,d ＝2 ,a n ＝11 ,S n ＝35 ,那么a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意 ,得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝11 S n ＝35 即⎩⎨⎧ a 1＋2(n －1)＝11 na 1＋n (n －1)2×2＝35. 解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5 a 1＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝7a 1＝－1. 答案：D2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,假设S 2＝4 ,S 4＝20 ,那么该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2 解析：由S 2＝4 ,S 4＝20 ,得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20 ,解得d ＝3.答案：C3．等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4 ,a 3＋a 5＝10 ,那么它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4 ,a 3＋a 5＝10 ,可知d ＝3 ,a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 答案：C4．假设等差数列{a n }的前5项和S 5＝25 ,且a 2＝3 ,那么a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25 ,∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.答案：B5．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ,第k 项满足5＜a k ＜8 ,那么k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：当n ＝1时 ,a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10. 综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8 ,解得k ＝8.答案：B6．数列{a n }中 ,a 1＝1 ,a n ＝a n －1＋12(n ≥2) ,那么数列{a n }的前9项和等于________．解析：∵n ≥2时 ,a n ＝a n －1＋12 ,且a 1＝1 ,所以数列{a n }是以1为首||项 ,以12为公差的等差数列 ,所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 答案：277．等差数列{a n }中 ,假设a 10＝10 ,a 19＝100 ,前n 项和S n ＝0 ,那么n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100,∴d ＝10 ,a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0 , ∴－80n ＋5n (n －1)＝0 ,n ＝17.答案：178．等差数列{a n }中 ,a 2＋a 7＋a 12＝24 ,那么S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7 ,又a 2＋a 7＋a 12＝24 ,所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. 答案：1049．在等差数列{a n }中：(1)a 5＋a 10＝58 ,a 4＋a 9＝50 ,求S 10；(2)S 7＝42 ,S n ＝510 ,a n －3＝45 ,求n .解析：(1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3 d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42 , ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中 ,a 10＝18 ,前5项的和S 5＝－15 ,(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最||小值 ,并指出何时取得最||小值．解析：(1)设{a n }的首||项 ,公差分别为a 1 ,d .那么⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝185a 1＋52×4×d ＝－15解得a 1＝－9 ,d ＝3 ,∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478, ∴当n ＝3或4时 ,前n 项的和取得最||小值为－18.[B 组能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和 ,a 3＋a 6＋a 12为一个常数 ,那么以下也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数 ,∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数 ,∴a 7为常数．又S 13＝13a 7 ,∴S 13为常数．答案：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m －1＝－2 ,S m ＝0 ,S m ＋1＝3 ,那么m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2 ,a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3 ,∴d ＝a m ＋1－a m ＝1 ,由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0 , 知a 1＝－a m ＝－2 ,a m ＝－2＋(m －1)＝2 ,解得m ＝5.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 ,假设a 5a 3＝59 ,那么S 9S 5等于________．解析：由等差数列的性质 ,a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59, ∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 答案：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,前6项和为36 ,最||后6项和为180 ,S n ＝324(n >6) ,那么数列的项数n ＝________ ,a 9＋a 10＝________.解析：由题意 ,可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ① ,a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ② ,由①＋② ,得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216 ,∴a 1＋a n S n ＝n (a 1＋a n )2＝324 ,∴18n ＝324 ,∴n ＝18 ,∴a 1＋a 18＝36 ,∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.答案：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101 ,当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104 ,a 1＝S 1＝101也适合上式 ,所以a n ＝－3n ＋104 ,令a n ＝0 ,n ＝3423,故n ≥35时 ,a n <0 ,n ≤34时 ,a n >0 ,所以对数列{|a n |} ,n ≤34时 ,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ,当n ≥35时 ,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502 , 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34) 32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列 ,S n 为数列{a n }的前n 项和 ,S 7＝7 ,S 15＝75 ,T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和 ,求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ,那么S n ＝na 1＋12n (n －1)d , ∵S 7＝7 ,S 15＝75 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1 a 1＋7d ＝5 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2d ＝1 ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1) , ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列 ,其首||项为－2 ,公差为12 , ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第3课时数列的通项公式 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝3n ＋1 C ．a n ＝3n －1 D ．a n ＝3n －1答案：C2．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( ) A ．2n ＋1－3 B ．2n －3 C ．2n ＋3D ．2n －1－3 解析：a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴此数列是以a 1＋3为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝(1＋3)×2n －1，即a n ＝2n ＋1－3. 答案：A3．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n ∈N *)，则通项公式是( )A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1解析：设|2n －1·a n |的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n ∈N *)，∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12，∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .故选C.答案：C4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n 解析：a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)⇔an ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝an －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1，即b n ＝an ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则数列{b n }为首项b 1＝a113＝3a 1＝3，公差为1的等差数列，所以b n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .答案：B5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，anan －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －16．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1＝错误!＋1＝n 2－2n ＋2. 答案：n 2－2n ＋27．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.解析：由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，即a n ＝3n －1. 答案： 3n －18．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a3a1＝________，数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1得an an －1＝n －1n ＋1，故a3a1＝a2a1·a3a2＝13×24＝16. a n ＝a2a1·a3a2·a4a3·…·an －1an －2·an an －1·a 1＝13×24×35×…×n －2n ×n －1n ＋1×2＝错误!×2＝错误!.又a 1＝2满足上式，故a n ＝错误!(n ∈N *)精品教育资料答案：16a n ＝错误!(n ∈N *)9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式．解析：∵S n ＝1－a n ，① ∴S n ＋1＝1－a n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ， ∴a n ＋1＝12a n ，(n ∈N *)又n ＝1时，a 1＝1－a 1， ∴a 1＝12.∴a n ＝12·(12)n －1＝(12)n(n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .解析：由题意知a n ≠0，因为a n ＋1＝nn ＋1·a n ，所以an ＋1an ＝n n ＋1，故a n ＝an an －1·an －1an －2·…·a2a1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n.[B 组能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( )A ．a n ＝错误!B ．a n ＝错误!C ．a n ＝nn ＋1D ．a n ＝n －1n ＋1解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，①∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ (n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 即an an －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． ∴a2a1·a3a2·a4a3·…·an an －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1.。

2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.3 第2课时等差数列的前N项和公式的性质及应用

[课时作业] [A 组基础巩固]1．(2015·高考全国Ⅱ卷)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.答案：A2．数列{a n }为等差数列，若a 1＝1，d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．5解析：∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5. 答案：D3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ． 48解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝n 2＋n (n －1)2d ，∴S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，∴S 6＝3＋15d ＝48.答案：D4．设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }的前8项和为( ) A ．128 B ．80 C ．64D ．56解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 2＋a 7)2＝8×(3＋13)2＝64.答案：C5．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200D ．220解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18. 又a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78， ∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝54. ∴3(a 1＋a 20)＝54.∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180.答案：B6．有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n ＝2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n ＝2n ＋1n ＋2，不妨设S n ＝kn (2n ＋1)，T n ＝kn (n ＋2)(k ≠0)，则a n ＝3k ＋4k (n －1)＝4kn －k ，b n ＝3k ＋2k (n －1)＝2kn ＋k .所以a 8b 7＝32k －k 14k ＋k ＝3115.答案：31157．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．解析：由已知得3a 3＝105,3a 4＝99， ∴a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)(－2)＝41－2n ，由⎩⎨⎧a n ≥0a n ＋1<0，得n ＝20. 答案：208．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．解析：S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3. 答案：39．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．解析：由题意知，S n ＝a n ＋12，得：S n ＝(a n ＋1)24，∴a 1＝S 1＝1，又∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]，∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0.即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， ∵a n ＞0，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝2n －1.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0.解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．[B 组能力提升]1．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A ．13项 B ．12项 C ．11项D ．10项解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＝146，② 又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴①＋②得3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.③ S n ＝(a 1＋a n )·n 2＝390.④将③代入④中得n ＝13. 答案：A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10D ．9解析：由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ， ∴2a m ＝a 2m .由题意得a m ≠0，∴a m ＝2. 又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2a m (2m －1)2＝2(2m －1)＝38， ∴m ＝10. 答案：C3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32.答案：324．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于________．解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 016＝504×2＝1 008. 答案：1 0085．某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解析：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300， S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎨⎧a 1＋(n －1)×300＝3 100， ①na 1＋n (n －1)2×300＝17 500. ②由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m)．所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m. 6．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18(a n ＋2)2.(1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解析：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝18(a 1＋2)2，解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2，整理得，(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.∵a n ∈N *，∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n ≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n ＝12a n －30，且由(1)知a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，∴b n ＝12(4n －2)－30＝2n －31，故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n －31＝0，得n ＝1512，∵n ∈N *，∴当n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<…，当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12×15＝－225.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

高中数学人教A版必修五优化练习第二章第课时数列的通项公式与递推公式含解析

10
________.
解析：分别用 3,10 和 2n－1 去代换通项公式中的 n，得
a3＝(－1)3·2
1
1
× 3＋1＝－7，
a10＝(－1)10·2
1
1
× 10＋1＝21，
a2n－1＝(－1)2n－1·2
1 2n－1
＋1＝－4n1－1.
答案：－1 1 － 1 7 21 4n－1
9．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解析：由 an＋1＝3an 得ana＋n 1＝3.
＝n
2 n＋1
.
2 答案：n n＋1
6．已知数列{an}满足 lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解析：∵Sn＝a1＋a2＋…＋an，
又 lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n，∴lg(1＋Sn)＝n.
4
∴Sn＝10n－1. 当 n＝1 时，a1＝S1＝9；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1) ＝9×10n－1. ∵当 n＝1 时也满足上式， ∴an＝9×10n－1.
所以 Sn－1＝(n－1)2an－1 (n≥2)．②
①－②得 an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
可得(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
即(n＋1)an＝(n－1)an－1，故aan－n 1＝nn＋－11.
所以 an＝a1·aa21·aa32·……·nn－＋11

＝1×13×24×…nn－＋11
5
4 1 a4＝3aa3＋3 1＝3＋7 1＝110，故选 C. 7 答案：C
1
5．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则 a1 000＝( )

2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.3.2

第2课时　等差数列的综合应用课时过关·能力提升基础巩固1一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是( ).A .12,12B .12,1C .12,2D .1,12答案:A2设数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则由a n +b n 所组成的数列的第37项的值为( ).A.0B.37C.100D.-37解析:设c n =a n +b n ,则c 1=a 1+b 1=25+75=100,c 2=a 2+b 2=100.故d=c 2-c 1=0.故c n =100(n ∈N *).从而c 37=100.答案:C3等差数列{a n }共有3m 项,若前2m 项的和为200,前3m 项的和为225,则中间m 项的和为( ).A.25B.75C.100D.125解析:∵S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列,∴S m +S 3m -S 2m =2(S 2m -S m ).∴3S m =3S 2m -S 3m =600-225,∴S m =125.∴中间m 项的和为S 2m -S m =200-125=75.答案:B4现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,如果使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ).A.9B.10C.19D.20解析:设堆放成n 层正三角形钢管垛时可使剩余钢管最少,由题意可知n (n +1)2<200,∵满19,足n (n +1)2<200,n 所取的最大值为又当n=19B .时,n (n +1)2=190,∴200‒190=10.故选答案:B5在等差数列{a n }中,a 3+a 9+a 15=21,则S 17= . 解析:∵a 3+a 9+a 15=3a 9=21,∴a 9=7.∴S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9=17×7=119.答案:1196等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ,T n,且a 5b 5=23,则S 9T 9= . 解析:S 9T 9=9(a 1+a 9)29(b1+b 9)2=a 5b 5=23.答案:237在等差数列{a n }中,a 1+a 2=2,a 3+a 4=4,则a 5+a 6= . 解析:由题意得,2,4,a 5+a 6成等差数列,∴2+a 5+a 6=2×4.∴a 5+a 6=6.答案:68某渔业公司今年年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费的总和是万元.解析:设第n 年的维修费是a n (万元),则a n+1-a n =4(万元),则每年的维修费构成以a 1=12,d=4的等差数列{a n },所以前10年的维修费的总和是S 10=10a 1).+10×92d =10×12+10×92×4=300(万元答案:3009已知在数列{a n }中,a n =2n-19,求数列{|a n |}的前n 项和S n .解∵a n =2n-19,∴由a n ≥0,得n ≥192.∴当n ≤9时,a n <0;当n ≥10时,a n >0.当n ≤9时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=-(a 1+a 2+…+a n )=‒n (a 1+a n )2=‒n (-17+2n -19)2=n (18‒n );当n ≥10时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a 9|+|a 10|+…+|a n |=-(a 1+a 2+…+a 9)+a 10+a 11+…+a n =-2(a 1+a 2+…+a 9)+a 1+a 2+…+a n =-2×9(a 1+a 9)2+n (a 1+a n )2=-9(-17-1)+n (-17+2n -19)2=n 2‒18n +162.∴S n={n (18-n ),n ≤9,n 2-18n +162,n ≥10.10已知等差数列{a n }的前3项分别为a-1,4,2a ,记前n 项和为S n .(1)设S k =2 550,求a 和k 的值;(2)设b n=S nn,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n ‒1的值.解(1)由已知得a 1=a-1,a 2=4,a 3=2a.∵a 1+a 3=2a 2,∴(a-1)+2a=8,即a=3,∴a 1=2,公差d=a 2-a 1=2.由S k =ka 12k 550,+k (k -1)2d ,得+k (k -1)2×2=2即k 2+k-2550=0,解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.(2)由S n =na 1+n (n -1)2d ,得S n =2n+n (n -1)2×2=n 2+n ,∴bn =S n n =n +1,∴{b n }是等差数列.∴b 3+b 7+b 11+…+b 4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)=(4+4n )n2=2n 2+2n .∴b 3+b 7+b 11+…+b 4n-1=2n 2+2n.能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 3∶a 5=3∶4,则S 9S 5的值是( ).A .2720B .94C .34D .125解析:S 9S 5=9a 55a 3=95×43=125.答案:D2设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12等于( ).A .310B .13C .18D .19解析:∵S 3S 6=13,∴S 6=3S 3.∴S 6-S 3=2S 3,S 9-S 6=S 9-3S 3.∵S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等差数列,∴S 9-S 6=3S 3,S 9=6S 3,S 12-S 9=4S 3,∴S 12=10S 3,∴S 6S 12=3S 310S 3=310.答案:A3已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n项和之比∈N *),为7n +14n +27(n 则a 11b 11等于( ).A .74B .32C .43D .7871解析:设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则a 11b11=2a 112b 11=(a 1+a 21)×21(b 1+b 21)×21=(a 1+a 21)×212(b1+b 21)×212=S 21T 21=7×21+14×21+27=43.答案:C4设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ).A.3B.4C.5D.6解析:∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,∴a m =S m -S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m =3-0=3.∴d=a m+1-a m =3-2=1.∵S m =ma 1+m (m -1)2×1=0,∴a 1=‒m -12.又∵a m+1=a 1+m×1=3,∴‒m -12+m =3.∴m=5.故选C .答案:C5一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为 . 解析:由条件知a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=30.∵a 1+a 11=a 3+a 9=a 5+a 7,∴a 5+a 7=2a 6=10.∴a 6=5,即中间项a 6=5.答案:56在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图),最高层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,请问:(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?分析由于“每一圈比前一圈多9块”,因此每一圈的石板块数便组成了等差数列,而前9圈石块总数,便是该数列的前9项的和.解(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈有石板a 9=a 1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).(2)由等差数列前n 项和公式,得前9圈一共有石板S 9=9a 1).+9×(9-1)2d =9×9+9×82×9=405(块故第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.★7是否存在一个等差数列{a n },使S nS 2n是一个与n 无关的常数?若存在,求出此常数;若不存在,请说明理由.解假设存在一个等差数列{a n },a 1,公差为d.使S nS 2n=k ,且首项为由S n S 2n =k ,得na 1+n (n -1)2d2na 1+2n (2n -1)2d=k ,整理得d (1-4k )n-(2a 1-d )(2k-1)=0.∵上式是关于n 的一元一次方程,且对n ∈N *都成立,∴{d (1-4k )=0,(2a 1-d )(2k -1)=0,即{d =0,k =12或{d =2a 1,k =14.当d=0≠0);时,S nS 2n=12(a 1当d=2a 1≠0).时,S nS 2n=14(a 1。

高中数学人教A版必修五优化练习第二章第课时等差数列的性质含解析

A．－1
B．1
C．0
D．－12
解析：∵2a4＝a2＋a6＝1－1＝0，∴a4＝0.
答案：C 4．等差数列{an}的公差 d<0，且 a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( ) A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*) C．an＝－2n＋12(n∈N*) D．an＝－2n＋10(n∈N*) 解析：由Error!⇒Error!⇒Error!
∴an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)·(－2)＝－2n＋10.
答案：D
5．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a1＋a8<a4＋a5 C．a1＋a8>a4＋a5
B．a ＋a ＝a ＋a
1845
D．a a ＝a a
18 45
1
解析：由等差数列的性质有 a1＋a8＝a4＋a5，故选 B. 答案：B 6．等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则 a35＝________. 解析：由 a25 是 a15 与 a35 的等差中项知 2a25＝a15＋a35， ∴a35＝2a25－a15＝2×66－33＝99. 答案：99 7．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则 a2＋a4＋a6＋a8＝________. 解析：由等差数列的性质可知， a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7， ∴a2＋a4＋a6＋a8＝37×2＝74. 答案：74 8．在等差数列{an}中，若 a5＝a，a10＝b，则 a15＝________. 解析：设数列{an}的公差为 d. 法一：由题意知Error!
解得Error! ∴a15＝a1＋14d＝9a－5 4b＋14×b－5 a＝2b－a. 法二：d＝a1100－－a55＝b－5a ， ∴a15＝a10＋5d＝b＋5×b－5 a＝2b－a. 法三：∵a5，a10，a15 成等差数列，∴a5＋a15＝2a10. ∴a15＝2a10－a5＝2b－a. 答案：2b－a 9．梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为 a1 ，梯子的宽度依次成等差数列，设为{an }，依题意 a12 ＝ 33，由 a12＝a1＋(12－1)d⇒33＝110＋11d， ∴d＝－7，∴an＝110＋(n－1)×(－7)，

2017-2018年度高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和讲义新人教A版必修5

＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得 d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4问题
[例 4] 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取得最大值．【思路点拨】
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
解析：(1)因为 Sn＝－2n2＋n＋2，所以当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
所以 an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
A．138
B．135
C．95
D．23
解析：由 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可得 d＝3，a1＝－4. 所以 S10＝－40＋10× 2 9×3＝95. 答案：C
3．(教材同类改编)等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则 a1 等于( )
A．5 或 7 B．3 或 5 C．7 或－1 D．3 或－1
令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N＋，∴n≤5 时，an>0，n≥6 时，an<0. ∴S5 最大．
方法归纳,
求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法： (1)通项法 ①当 a1>0，d<0 时，{an}只有前面的有限项为非负数，从某项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0， am＋1≤0 可得 Sn 的最大值为 Sm；②当 a1<0，d>0 时，{an}只有前面的有限项为负数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由
＝－4n＋3.
又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3，所以数列{an}的通项公式是

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.3 第1课时等差数列的前n项和公式 Word版含解析

[课时作业]页[组基础巩固]．等差数列{}中，＝，＝，＝，则等于( )．或．或．或－．或－解析：由题意，得(\\(＝，＝，))即(\\(＋(－(＝，＋((－()×＝.))解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝－.))答案：．已知等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则该数列的公差为( )．．．．解析：由＝，＝，得＋＝＋＝，解得＝.答案：．已知等差数列{}满足＋＝，＋＝，则它的前项的和等于( )．．．．解析：由＋＝，＋＝，可知＝，＝－.∴＝－＋×＝.答案：．若等差数列{}的前项和＝，且＝，则等于( )．．．．解析：由＝＝，∴＝.∴＝－＝－＝.∴＝＋＝＋＝.答案：．已知数列{}的前项和＝－，第项满足＜＜，则等于( )．．．．解析：当＝时，＝＝－；当≥时，＝－－＝(－)－[(－)－(－)]＝－.综上可得数列{}的通项公式＝－.所以＝－.令＜－＜，解得＝.答案：．已知数列{}中，＝，＝－＋(≥)，则数列{}的前项和等于．解析：∵≥时，＝－＋，且＝，所以数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，所以＝×＋×＝＋＝.答案：．等差数列{}中，若＝，＝，前项和＝，则＝.解析：(\\(＋＝＋＝))，∴＝，＝－.∴＝－＋×＝，∴－＋(－)＝，＝.答案：．等差数列{}中，＋＋＝，则＝.解析：因为＋＝＋＝，又＋＋＝，所以＝.所以＝＝×＝.答案：．在等差数列{}中：()已知＋＝，＋＝，求；()已知＝，＝，－＝，求.解析：()由已知条件得(\\(＋＝＋＝，＋＝＋＝，))解得(\\(＝，＝.))∴＝＋＝×＋×＝.()＝＝＝，∴＝.∴＝＝＝＝.∴＝.．在等差数列{}中，＝，前项的和＝－，()求数列{}的通项公式；()求数列{}的前项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：()设{}的首项，公差分别为，.则(\\(＋＝，＋()××＝－，))解得＝－，＝，∴＝－.()＝＝(－)＝－，∴当＝或时，前项的和取得最小值为－.[组能力提升]。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.3.1 Word版含答案

2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课时过关·能力提升基础巩固1等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于().A.8B.10C.12D.14答案:C2数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2n2-18n,则当S n取得最小值时,n的值为().A.4或5B.5或6C.4D.5答案:A3设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为().A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=64-49=15.答案:A4已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=18-a5,则S8等于().A.18B.36C.54D.72解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.∴S 8=8(a 1+a 8)2=4(a4+a5)=4×18=72.答案:D 5在等差数列{a n }中,首项a 1=0,公差d ≠0,若a k =a 1+a 2+a 3+…+a 7,则k 等于( ).A.21B.22C.23D.24 解析:由题意得a k =a 1+(k-1)d=(k-1)d ,a 1+a 2+a 3+…+a 7=21d ,所以(k-1)d=21d.又d ≠0,所以k-1=21,所以k=22.答案:B6已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= . 解析:由S 5=5(a 1+a 5)2=5(a 3+a 3)2=5a3=10,得a 3=2,故a 4=3,S 7=7(a 1+a 7)2=7a4=21.答案:217已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为 . 解析:当n=1时,a 1=S 1=21-3=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n -3-2n-1+3=2n-1.又a 1=-1不满足上式,故a n ={-1,n =1,2n -1,n ≥2.答案:a n ={-1,n =1,2n -1,n ≥2。

第二章 2.3 第1课时等差数列的前n项和公式 -【教师版】

A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 500
答案 D
解析由 am＝a1＋(m－1)d，得 99＝1＋(m－1)×2，解得 m＝50，所以 S50＝50×1＋50×49×2＝2 500.
2 2．记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列的公差 d 等于( )
n＝1
时，a1＝S1＝12＋12＋1＝52不符合①式．∴an＝
2 2n－1，n≥2，n∈N*.
2
反思感悟已知前 n 项和 Sn 求通项 an，先由 n＝1 时，a1＝S1 求得 a1，再由 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 求得 an，
最后验证 a1 是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．
例 1 在等差数列{an}中：
(1)已知 a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求 S10；
(2)已知 S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求 n.
解 (1)方法一由已知条件得
a5＋a10＝2a1＋13d＝58，
a1＝3，
解得
a4＋a9＝2a1＋11d＝50，
d＝4.
∴S10＝10a1＋10×10－1d＝10×3＋10×9×4＝210.
2
2
a5＋a10＝a1＋a10＋4d＝58，方法二由已知条件得
a4＋a9＝a1＋a10＋2d＝50，
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝10a1＋a10＝5×42＝210. 2
(2)S7＝7a1＋a7＝7a4＝42，∴a4＝6. 2
∴Sn＝na1＋an＝na4＋an－3＝n6＋45＝510.∴n＝20.
解由 Sn＝na1＋nn－1d， 2
得 na1＋nn－1×2＝35， 2

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章章末优化总结

章末检测(二) 数列时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，a 3＝－6，a 7＝a 5＋4，则a 1等于( ) A ．－10 B ．－2 C ．2D ．10解析：设公差为d ，∴a 7－a 5＝2d ＝4，∴d ＝2，又a 3＝a 1＋2d ，∴－6＝a 1＋4，∴a 1＝－10. 答案：A2．在等比数列{a n }中，a 4，a 12是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根，则a 8等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不能确定解析：由题意得，a 4＋a 12＝－3<0，a 4·a 12＝1>0， ∴a 4<0，a 12<0，∴a 8<0，又∵a 28＝a 4·a 12＝1，∴a 8＝－1. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( ) A ．n B ．2n C ．2n ＋1D ．n ＋1解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . 答案：B4．若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是( )①{a 2n }是等比数列；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列；③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列． A ．①③ B ．③④ C ．②③④D ．①②③④解析：因为a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，所以{a n }是等比数列，因此{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列．答案：D5．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( ) A ．16 B ．11 C ．－11D ．±11解析：根据等差中项和等比中项知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B. 答案：B6．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．6解析：由题意可得S 6＝－3，S 10＝－5，S 15＝－7＋15＝8，所以S 6＋S 10＋S 15＝0. 答案：C7．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D.22解析：设{a n }的公比为q ，则有a 1q 2·a 1q 6＝4a 21q 6，解得q ＝2(舍去q ＝－2)，所以由a 2＝a 1q＝2，得a 1＝1.故选A. 答案：A8．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：∵a 2k ＝a 1a 2k ，∴(8＋k )2d 2＝9d (8＋2k )d ，∴k ＝4(舍去k ＝－2)．答案：B9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( ) A ．900元 B ．1 800元 C ．2 400元D ．3 600元解析：把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a 1，公比为1－13＝23，则a 4＝8 100×⎝⎛⎭⎫232＝2 400.答案：C10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( ) A ．12 B ．16 C ．9D ．16或9解析：由题意得，120°n ＋12n (n －1)×5°＝180°(n －2)，化简整理，得n 2－25n ＋144＝0，解得n ＝9或n ＝16.当n ＝16时，最大角为120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，不合题意．∴n ≠16.故选C.答案：C11．设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为( ) A ．－78 B ．－82 C ．－148D ．－182解析：∵a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，d ＝－2，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋33×2d ＝50＋33×(－4)＝－82. 答案：B12．定义：称np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －1B ．4n －1C ．4n －3D ．4n －5解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝n S n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式，∴a n ＝4n －3. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________．解析：∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218. 答案：21814．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22×d ＝3a 1＋3d ＝3，a 1＋d ＝1，①又S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.②联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 答案：1515．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1>0，S 16>0，S 17<0，则当n ＝________时，S n 最大．解析：∵⎩⎨⎧S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0S17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0，∴a 8>0，而a 1>0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．答案：816．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 016＝________.解析：由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016) ＝ 2 017－1. 答案： 2 017－1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，且为等差数列，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n2.18．(12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解析：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5. ∴a n ＝5n －25(n ∈N *)． (2)∵a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， ∴b n ＝10n －30(n ∈N *)．19．(12分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ∈N *)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝3n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).21．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．22．(13分)求和：x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n (x ≠0)．解析：设S n ＝x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n ， ∴xS n ＝x 2＋3x 3＋5x 4＋…＋(2n －3)x n ＋(2n －1)x n ＋1.∴(1－x )S n ＝x ＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －(2n －1)x n ＋1＝2(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )－x －(2n －1)x n ＋1＝2x (1－x n )1－x －x －(2n －1)x n ＋1(x ≠1)，当x ≠1时，1－x ≠0， S n ＝2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x.当x ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x ，x ≠1，n 2，x ＝1.。

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.2 第1课时等差数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( )A ．a n ＝a ＋(n －1)dB ．a n ＝a ＋(n －3)dC ．a n ＝a ＋2(n －2)dD ．a n ＝a ＋2nd解析：数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d . 答案：C2．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列，∴a n ＝3＋(n －1)×6＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14.答案：C3．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( )A ．－9B ．－8C ．－7D ．－4解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 法二：由a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)，得d ＝a n －a m n －m， ∴d ＝a 6－a 46－4＝66－4＝3. ∴a 1＝a 2－d ＝－8.答案：B4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 017等于( )A ．2 009B ．2 010C ．2 018D ．2 017 解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，故a 2 017＝2 017.答案：D5．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( ) A ．50B ．51C ．52D ．53解析：依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，将a 1＝13代入，得d ＝23. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.答案：D6．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项是________．解析：等差中项A ＝lg (3－2)＋lg (3＋2)2＝lg 12＝0. 答案：07．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．解析：设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.答案：38．已知48，a ，b ，c ，－12是等差数列的连续5项，则a ，b ，c 的值依次是________．解析：∵2b ＝48＋(－12)，∴b ＝18，又2a ＝48＋b ＝48＋18，∴a ＝33，同理可得c ＝3.答案：33,18,39．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？解析：由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108.令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123.又因为n 为正整数，所以共有38项．10．一个各项都是正数的无穷等差数列{a n }，a 1和a 3是方程x 2－8x ＋7＝0的两个根，求它的通项公式．解析：由题意，知a 1＋a 3＝8，a 1a 3＝7，又{a n }为正项等差数列，∴a 1＝1，a 3＝7，设公差为d ，∵a 3＝a 1＋2d ，∴7＝1＋2d ，故d ＝3，a n ＝3n －2.[B 组能力提升]1．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( )A ．52B ．51C ．50D ．49解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴2(a n ＋1－a n )＝1.即a n ＋1－a n ＝12. ∴{a n }是以12为公差的等差数列． a 101＝a 1＋(101－1)×d ＝2＋50＝52.答案：A2．在等差数列中，a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，则a m ＋n 为( )A ．m －nB ．0C ．m 2D ．n 2 解析：法一：设首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝m ＋n －1，d ＝－1.∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0.故选B.法二：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2,1,0，便可知结论，故选B. 答案：B3．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________．解析：由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y ，①y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10②由①，②可解得x ＝4，y ＝7.答案：4,74．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1， ∴⎩⎨⎧ 125＋9d >1，125＋8d ≤1，∴875<d ≤325. 答案：875<d ≤3255．已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解析：法一：设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 2，a 3.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5，∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16，即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.∴－34是数列{a n }的项，且为第10项．法二：设等差数列{a n }的前三项依次为：a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，(a －d )·a ·(a ＋d )＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝±5. 又∵{a n }是递减等差数列，即d <0，∴取a ＝6，d ＝－5.∴{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5.∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)，即a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，解得n ＝10.即－34是数列{a n }的项，且为第10项．6．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求{b n }的通项公式；(3){b n }中的第110项是{a n }的第几项？解析：(1)∵a 1＝3，d ＝－5，∴a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n (n ∈N *)．数列{a n }中项数被4除余3的项是{a n }的第3项，第7项，第11项，…，所以其首项b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }的第n 项，即b n ＝a m ，则m ＝3＋4(n －1)＝4n －1，∴b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5(4n －1)＝13－20n .∵b n －b n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，∴{b n }是等差数列，其通项公式为b n ＝13－20n ，n ∈N *.(3)设它是{a n }中的第m 项，由(2)知m ＝4n －1，又n＝110，则m＝439.故{b n}中的第110项是{a n}的第439项．。

2017-2018学年人教A版高中数学必修五习题：第二章2-2

第二章数列 2.2 等差数列第2课时等差数列的性质A 级基础巩固一、选择题1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么由a n ＋b n所组成的数列的第37项值为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析：设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，故d ＝c 2－c 1＝0，故c n ＝100(n ∈N *)，从而c 37＝100.答案：C2．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( ) A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5. 答案：B3．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．答案：C4．在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，那么a 11等于( ) A.13 B.12 C.23 D ．1 解析：依题意得1a 3＋1＋1a 11＋1＝2·1a 7＋1，所以1a 11＋1＝21＋1－12＋1＝23，所以a 11＝12.答案：B5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0. 又因为a 1＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧d >－235，d <－236，即－235<d <－236，又因为d 是整数，所以d ＝－4. 答案：C 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．解析：由已知得a 3＋a 10＝3. 又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：37．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________．解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23，a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列，所以2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m33，所以m ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________________．解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 2三、解答题9．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝ 10＋10，所以a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130. 法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2×80，所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝130.10．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？解：(1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)(－5)＝8－5n ，设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m ＝4n －1，n ∈N *，所以b 1＝a 3＝8－5×3＝－7，b 2＝a 7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知b n ＋1－b n ＝a 4(n ＋1)－1－a 4n －1＝4d ＝－20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1＝－7，公差为d ′＝－20，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ′＝－7＋(n －1)×(－20)＝13－20n .(3)因为m ＝4n －1，n ∈N *，所以当n ＝110时，m ＝4×110－1＝439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．B 级能力提升1．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2，因为a 1＝14，所以d ＝12，所以a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54， a 4＝14＋32＝74，所以|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.答案：C2．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝______________．解析：法一：因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q ×(－1)＝0. 法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )在一条直线上．不妨设p ＜q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB 的斜率k ＝p －qq －p＝－1，如图所示，由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q ＝0.答案：03．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1a n －1a n －1＝3 (n ≥2)．又因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2. 又当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝13n －2.。

2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.3 第2课时 等差数列的前n项和公式的性质及应用 Word版含解析

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第1课时 等比数列的概念和通项公式 Word版含解析

数学人教A版必修五优化练习第二章 2.2 第1课时 等差数列的概念和通项公式 Word版含解析

人教A版高中数学必修5第二章 2.2 第1课时 等差数列练习

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第1课时等比数列的前n项和公式含解析

2021年数学人教版必修5优化练习：第2章2.3第1课时等差数列的前项和公式版含解析

2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第3课时 数列的通项公式 Word版含解析

2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.3 第2课时 等差数列的前N项和公式的性质及应用

高中数学人教A版必修五优化练习第二章第课时 数列的通项公式与递推公式含解析