5. 有限元方法10学时精品PPT课件

(
K
et ps
)
m
1 2t
( p p )(s s )dxdy et i j i j
可以事先制定成表格，程序中调用
波导尺寸为10mm*23mm。分格数为4*3，应用2 阶FEM分析得到特征值如下，三角单元总数为24， 场节点总数为63
波型
kk2p
H10
H20
H30
H40
1.87 103 75.1103 98.9 103 118.0103
kp (m) 0.046 0.023 0.020 0.01829
解析解 0.046 kp (m)
0.023 0.020 0.01834
误差 0.02% 0.35% 0.08% 0.26%
谐振腔尺寸为12mm*28mm时，应用FEM进行 分析，划分网格数为5*4，三角单元总数为40， 场节点总数为99。
M
u(i , j ,m ) s (i , j ,m )us n1
tuv (i , j ,m ) Pt (i )Pu ( j )Pv (m )
K Nz w 1
Pk (z) (
w1
w
)
Pk (z) 1
K 1
K 0
为了以后的分析方便，除了对各节点以1、2、……、M标号外，再引入三位阿拉伯字母
的标号，
下面就来说明这种三位数标号的定义和规定。根据以前所述，采取自然坐标时，三角形
上各节点的选择总使得节点的坐标（ i
，
j
，m
）具有（
t N
,
u N
,
v N
）的形式。其中
t、u和v
均为整数。由于i j m 1，就应有
tuv N 节点的三位数标号就是以该节点的自然坐标t、u、v三个数连起来形成，或者说将该点自然坐 标三个值乘以N而得。
35
2ndTDFEM
Analytical
30
1stFDFEM
2ndFDFEM
25
f (GHz)
1、 基于节点的有限元法（标量有限元法） U代表位函
数或者某个
场分量
以波导传播问题为例，纵向场满足
1
2u x 2
2u y 2
kc2u
0
一般计算区域 比较复杂，积
分不容易实现，
1st or 2nd B.C .
采用整体基函 数很难满足齐 次边界条件，
其等价泛函为
采用了广义变
分原理
2
F (u)
s
u x
[Ae ]
Ve
1 r
{
Ni x
} • { Ni x
}T
d
[Be ]
Ve
e r
{N
e } • {N
e }T
dV
7
方程组矩阵填充
（3）
单元一、 节点2.4.1
（1）
（2）
单元二、 节点2.4.5
单元三、 节点3.5.2
单元四、 节点4.5.6
单元节点与相邻单元节点必须吻合，过程中使用到各个 单元中节点局部编号与整体编号的关系，列向量等可以 如上进行填充
一阶基函数 二阶基函数
三阶基函数
J (u)
s
[(
u x
)2
(
u y
)2
kkp 2u
2
]dxdy
l
t1 u p
et
[( u x
)2
( u y
)2
]dxdy
kkp 2
l t 1
(u)2dxdy et u p
K p1u1 K p2u2 ...K pnun kkp2 (Bp1u1 Bp2u2 ... Bpnun )
1、有限元发展历史
2、有限元的优点
• 非结构网格-可以模拟任意形状的边界 • 泛函的思想-利于复杂介质特性模拟
有限元处理过程
边值问题
等价泛函
目标建模，网格剖分
参数提取
局部矩阵计算
矩阵填充
FEM方程组求解
后处理技术
差值基函数只需 要在单元内满足
精度要求
3一、、二维节二维点标有量限有元限（元有法简限介元处理过程）
2
dxdy
积分区域变为三角形单元内
3
5
uet Niui
i 1
思想、 理解
Ni (ai bi x ci y) / 2
物理含义
2
N1 N3 N2
3 1
顶点编号为i，j，m，面积为 ，在它的内部取一个点P，它与三角形的三个顶点连线将三 角形划分成三个小三角形部分，设这三个部分的面积分别为 i ， j 和 m ，我们定义三个自然
波型
kk2p
H10
H20
H30
H40
2.06*103 83.2 *103 106.9*103 130.3*103
kp (m) 0.056 0.028 0.024 0.02204
解析解 kp (m) 0.056
0.028
0.024 0.02207
误 差 0.11% 0.15% 0.25% 0.15%
1stTDFEM
电磁场中的有限元法
Outline
有限元发展历史 有限元的优点 二维节点有限元（有限元处理过程） 二维高阶节点有限元 三维节点有限元方法 三维高阶节点有限元方法 节点有限元的缺点 矢量有限元方法 二维、三维一阶矢量基函数 高阶矢量基函数 有限元中的现代技术 时域有限元方法 有限元方程组求解-CG
最后形成的系数矩阵是一个对称的稀疏矩阵
8
M
M
F (u) F et
t 1
t 1
et
u x
2
u y
2
kc2u 2
dxdy
F 0, p 1, 2,, N u p
可导出线性代数方程组
9
AU
k
2 c
B
U
由此方程解出本征值和对应的本征矢。
4、 二维高阶节点有限元
当插值函数为高次多项式时， 用自然坐标表示的单元
经过化简
K et ps
(
K
et ps
)i
ctgi
(
K
et ps
)
j
ctg
j
(
K
et ps
)
m
ctg
m
Bet ps
et psdxdy
其中
(
K
et ps
)i
1 2t
( p p )(s s )dxdy et j m j m
(
K
et ps
)
j
1 2t
( p p )( s s )dxdy et m i m i
2
u y
2
kc2u2 dxdy
3
uk
y
uj ui
Patran Ansys
o x
所需参数-坐标，单元编号，节点或棱边编号
4
能量的概念
将波导横截面用M个三角形面元离散， 则各
面元中的u 用线性插值函数表示为
M
M
F (u) F et
t 1
t 1
et
u x
2
u y
2
kc2u
坐标 i ， j 和 m 为
i
i
，
j
j
，
m
m
Ni (ai bi x ci y) / 2
参数提取
优点
M
M
F (u) F et
t 1
t 1etຫໍສະໝຸດ u x2 u y
2
kc2u
2
dxdy
利用横等式
可以获得局部矩阵的解析解
6
Fe
1 2
({Ee}T [ Ae ]{Ee}
k02{E e}T [Be ]{Ee})