北师大七年级下《5.3.3角平分线的性质》同步练习含答案
北师大版七年级下册数学 4.4 用尺规作三角形 同步练习(含答案)
4.4 用尺规作三角形同步练习一.选择题1．尺规作图是指（）A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（）A．SAS B．HL C．AAS D．ASA7．小明将一块三角形的玻璃棒摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），若只带一块配成原来一样大小的三角形，则应该带第块．8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是．9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是.10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．作法：（1）作一条线段AB= ；（2）分别以、为圆心，以为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接、，则△ABC就是所求作的三角形．11．作图题的书写步骤是、、，而且要画出和结论，保留．12．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．13．如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的角平分线BD．（保留作图的痕迹，不写作法）14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．15．数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．一.选择题1．【答案】C；【解析】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C．2．【答案】B；【解析】∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，∴OA′=OB，OB′=OA，∵∠AOB=A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′．所以AB的长等于内槽宽A'B'，用的是SAS的判定定理．3．【答案】D；【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．故选D．4．【答案】C；【解析】根据已知所给条件，结合图形中隐含的公共边条件，可以得到A、B、D中的三角形是可以全等，唯有C答案中的两个三角形不能全等，所以答案为C.5．【答案】D；【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角角边”定理作出完全一样的三角形．故选D．6．【答案】C ；【解析】作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可．二.填空题7．【答案】2；【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．8．【答案】2a+2b；【解析】△DEH和△DFH中ED=FD，∠EDH=∠FDH，DH=DH∴△DEH≌△DFH∴EH=FH=b又∵ED=FD=a，EH=b∴该风筝的周长=2a+2b.9．【答案】SAS；【解析】用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．10．【答案】a；A；B；2a；AC，BC；【解析】作法：（1）作一条线段AB=a；（2）分别以A、B为圆心，以 2a为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．11．【答案】已知、求作、作法，图形，作图痕迹；【解析】作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形和结论，保留作图痕迹．12. 【答案】75°．【解析】如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°.三.解答题13. 【解析】解：如图：14.【解析】解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长．15. 【解析】证明：在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠AOE=∠COE，同理∠COE=∠FOD，∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．。
最新BS北师大版七级数学 下册 课堂补习辅导练习题作业 第五章 生活中的轴对称 5.3 第3课时 角平分线的性质1
5.3简单的轴对称图形（3）（角）（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．32．如图，40AOB ∠=︒，OM 平分AOB ∠，MA OA ⊥于点A ，MB OB ⊥于点B ，则MAB ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．40︒C ．30︒D ．20︒3．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C 、D ，则下列结论错误的是( )A ．PC=PDB ．∠CPD=∠DOPC ．∠CPO=∠DPOD ．OC=OD4．如图，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若5cm BC =，3cm BD =，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．5cmB ．3cmC ．2cmD ．不能确定第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为点A 、B ；下列结论中不一定成立的是( ) A ．PA=PB B ．PO 平分∠APB C ．OA=OB D ．AB 垂直平分OP6．如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若2CD =，6AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．12B ．6C ．24D ．47．如图所示，点P 在AOB ∠的角平分线上，C ，F 在OA 上，D ，E 在OB 上，且CD 过点P 且与OA 垂直，EF 过点P 与OB 垂直，则下列说法正确的是（ ）A ．PC PD =B ．PC PE = C ．PC PF =D ．PE PF =8．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直.若AD=8， 则点P 到BC 的距离是( )A.8B.6C.4D.2第5题图 第6题图 第7题图 第8题图M BAO9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．BD DE BC +=B ．DE 平分ADB ∠C ．DA 平分EDC ∠D ．DE AC AD +> 10．如图所示，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处第9题图 第10题图二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．如图，点P 在∠AOB 的平分线上，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，若PE=3，则PF=______；12．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC=______；13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 两点的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ；其中正确的有______个；第11题图 第12题图 第13题图14．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=50，DE=14，则△BCE 的面积等于 ； 15．如图，BD 是△ABC 的角平分线，△ABC 的面积为60，AB=15，BC=9，则△ABD 的面积是______；第14题图 第15题ECBADl 2l 1l 3F EB AP OFE CBA F E CBA DADB A EDC B三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤） 16．如图所示，M 、N 是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内建一个仓库P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =．请画出点P 的位置，并说明理由；17．如图，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于点M ，PN ⊥CD 于点N ； 试说明：PM=PN ；18．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，点E 恰为AB 的中点，若1DE =，2BD =，求AC 的长；EC BADBCM ．N ．19．如图，AC BC ⊥，BM 平分ABC ∠且交AC 于点M ，N 是AB 的中点，且BN BC =； 试说明：（1）MN 平分AMB ∠；（2）A CBM ∠=∠；20．如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD ；试说明：∠BAP+∠BCP=180°；NCBA5.3简单的轴对称图形（3）参考答案：1~10 ADBCD BBCBD 11．3；12．3；13．4；14．350；15．752； 16．作BAC ∠的平分线和MN 的垂直平分线，其交点即为所求点P ．图略． 17．∵ BD 为∠ABC 的平分线 ∴ ∠ABD=∠CBD又∵ BA=BC ，BD=BD ∴△ABD ≌△CBD(SAS) ∴∠ADB=∠CDB ∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ∴PM=PN ；18．∵BD 平分ABC ∠，DC BC ⊥，DE AB ⊥，∴1DC DE == ∵DE AB ⊥，点E 为AB 的中点， ∴2AD DB ==． ∴123AC AD DC =+=+=．19．（1）∵NB CB =，NBM CBM ∠=∠，MB MB =，∴NBM △≌CBM △，∴90MNB C ∠=∠=︒．又∵N 是AB 中点，∴MN 垂直平分AB ，∴AM M B =，∴MN 平分AM B ∠． （2）由（1）知AM M B =， ∴A ABM CBM ∠=∠=∠；20．(方法一) 过点P 作PE ⊥BA 于点E ，如解答图①，∵PD ⊥BC ，∠1=∠2 ∴PE=PD ∵∠BEP=∠BDP=90°，BP=BP ，∠1=∠2 ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD （AAS ） ∴ BE=BD∵AB+BC=2BD ，BC=CD+BD ，AB=BE -AE ∴AE=CD ∴PEA ≌△PDC(SAS) ∴∠PAE=∠PCD. ∵∠BAP+∠EAP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°.(方法二) 在BC 上截取BF ，使BF=BA ，连接PF ，如解答图 ②，∵AB+BC=2BD ∴BC -BD=BD -BF ∴CD=FD. 又∵∠PDC=∠PDF=90°，PD=PD ∴△PDC ≌△PDF(SAS) ∴∠PCD=∠PFD.在△BAP 和△BFP 中，∵∴△BAP ≌△BFP(SAS)∴∠BAP=∠BFP ∵∠BFP+∠PFC=180° ∴∠BAP+∠PCB=180°解答图 ① 解答图 ② 解答图 ③ (方法三) 在BC 上取点E ，使DE=BD ，连接PE ，如解答图③ ，∵PD ⊥BD ∴∠BDP=∠EDP=90° 又∵PD=PD ∴△BDP ≌△EDP(SAS). ∴BP=EP ，∠2=∠PED又∵∠1=∠2 ∴∠PEC=∠1.∵AB+BC=2BD ，DE=BD ∴AB=CE.又∵BP=EP ∴△ABP ≌△CEP(SAS) ∴∠BAP=∠ECP. 又∵∠BCP+∠ECP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°。
角的平分线的性质同步练习含答案解析
角的平分线的性质同步练习含答案解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，依照角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则______=______．（2）若∠3=∠4，则______=______．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD=______．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD ：S△ACD=______．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=90，AB=18，BC=12，求DE的长．△ABC13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，依照角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则BC = DC ．（2）若∠3=∠4，则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）依照角平分线性质推出即可；（2）依照角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°，∴AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠1=∠2，∴BC=CD，故答案为：BC，DC．（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠3=∠4，∴AB=AD，故答案为：AB，AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】第一依照△ABD的面积运算出DE的长，再依照角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，然后运算出DF的长，再利用三角形的面积公式运算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36，∴•AB•ED=36，×12×ED=36，解得：DE=6，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴DE=DF，∴DF=6，∵BC=15，∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45，故答案为：45．【点评】此题要紧考查了角平分线的性质，关键是把握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵O 是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF ，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题要紧考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线专门关键．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB=2AC ．则S △ABD ：S △ACD = 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，依照角平分线性质得出DM=DN ，依照三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM=DN ，∴S △ABD ：S △ACD =（AB ×DN ）：（AC ×DM ）=AB ：AC=2AC ：AC=2，故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直截了当依照角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】依照角平分线的性质得出CD长，代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC=1.5cm，∵BD=3cm，∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再依照BC=BD+DE代入数据进行运算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】依照三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后依照角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，依照三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判定出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再依照全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】依照“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】依照角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后依照全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边），∴△PMD≌△PND（AAS），∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=90，AB=18，BC=12，求DE的长．△ABC【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后依照三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，=AB•DE+BC•DF=90，∴S△ABC即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）依照角平分线性质得出OR=OQ=OP，依照勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
七年级数学下册 5.3.3 角平分线练习 北师大版(2021学年)
七年级数学下册５.3．3 角平分线练习(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学下册５.3．3 角平分线练习(新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为七年级数学下册5.3.3 角平分线练习(新版)北师大版的全部内容。
《角平分线》一、选择——基础知识运用1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形( ）A．三条角平分线的交点B.三条高的交点C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点2.如图，在Rｔ△ＡBC中，∠C=90°,ＢD是角平分线，若CD=m,AB=2n,则△AＢD的面积是（）A．mn ﻩＢ.５ｍnﻩC．7mn D．6ｍｎ3.在Rt△ABC中，如图所示,∠C＝90°，∠CAB=６0°,AD平分∠CAＢ,点Ｄ到ＡＢ的距离ＤE=3。
８cm,则BC等于（）A.３.8cmB.７。
6cm Ｃ．11。
４cｍD．11。
２cm4.已知：△AＢＣ是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，下列选项中不正确的是（)Ａ.点Ｏ到△ABC的三顶点的距离一定相等B.∠C的平分线一定经过点ＯC．点Ｏ到△ABC的三边距离一定相等Ｄ.点O一定在△AＢC的内部5．如图,在△ABC中,∠C＝90°，AC＝BＣ，AＤ平分∠CAB交ＢC于点Ｄ，ＤE⊥AB于点E，若BC＝7，则AE的长为（)A.4 Ｂ.5 C.6ﻩD．7二、解答——知识提高运用6.△ABC中,∠C=90°，AD为角平分线,BC＝64，ＢD:DC=9:7，求D到AＢ的距离。
北师大版七年级数学下册《5.3 第3课时 角平分线的性质》教案
北师大版七年级数学下册《5.3 第3课时角平分线的性质》教案一. 教材分析《5.3 第3课时角平分线的性质》这一节内容，主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而加深学生对角平分线的理解。
教材内容安排合理，由浅入深，既注重了知识的传授，又注重了学生的实践操作。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的几何知识基础，对角的概念和性质有了初步的了解。
但学生对角平分线的性质的理解还比较模糊，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的性质，能运用角平分线的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。
2.难点：角平分线的性质的证明和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等教学方法，引导学生观察、操作、探究，从而掌握角平分线的性质。
六. 教学准备1.教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、角平分线模型等。
2.学具：学生每人一份角平分线模型，一份练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入角平分线的概念，例如：在平面上有两个点A和B，现在需要找到一点C，使得AC=BC，问如何找到这样的点C？引导学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示角平分线的性质，引导学生观察和思考。
性质1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；性质2：角的平分线与角的两边构成的三角形是等腰三角形。
3.操练（10分钟）学生分组进行操作，每组用一份角平分线模型，尝试证明性质1和性质2。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用角平分线的性质进行解答。
学生独立完成，教师选取部分题目进行讲解和分析。
北师大数学七年级下《5.3简单的轴对称图形》课时练习含答案解析初中数学教学反思设
北师大版数学七年级下册第五单元5.3简单的轴对称图形课时练习一、选择题（共15小题）1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.过顶点的直线B.底边上的高C.顶角平分线所在的直线D.腰上的高所在的直线答案：C解析：解答：对称轴是直线，故B错；须过底边中点，故A错，D错，综上，选C.分析：解决本题关键是首先确定对称轴是直线，其次确定过什么特殊点.2.下面四个图形中，不是轴对称图形的是（）A.有一个内角为45度的直角三角形B.有一个内角为60度的等腰三角形C.有一个内角为30度的直角三角形D.两个内角分别为36度和72度的三角形答案：C解析：解答：对于选项A，有一个内角为45度的直角三角形，三个内角分别是45°、90°、45°，是等腰三角形，是轴对称图形；选项B，有一个内角为60°的等腰三角形，三个角度数分别为60°、60°、60°，是等边三角形，是轴对称图形；对于C，有一个内角为30度的直角三角形，三个角度数分别为30°、90°、60°，不是等腰三角形，不是轴对称图形；对于D，两个内角分别为36度和72度的三角形，三个角度数分别为36°、72°、72°，是等腰三角形，是轴对称图形；综上，选C.分析：解决本题关键是判断是不是等腰三角形，是的就是轴对称图形，否则就不是.3.下列4个图形中，不是轴对称图形的是（）A.有2个内角相等的三角形B.有1个内角为30°的直角三角形C.有2个内角分别为30°和120°的三角形D.线段答案：B解析：解答：对于选项A，有2个内角相等的三角形，是等腰三角形，是轴对称图形；选项B，有1个内角为30°的直角三角形，三个角度数分别为30°、90°、60°，不是等腰三角形，故不是轴对称图形，故选B；对于C，有2个内角分别为30°和120°的三角形，三个角度数分别为30°、120°、30°，是等腰三角形，是轴对称图形；对于D，线段是以其垂直平分线为对称轴，另一条对称轴是其所在的直线.分析：解决本题关键是找出各图形的对称轴，找不出来的就是答案.4.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.三角形B.射线C.角D.相交的两条直线答案：A解析：解答：题中给出的四个选项中，射线以其所在直线为对称轴，角以其角平分线所在直线为对称轴，相交的两条直线以其夹角的平分线所在直线为对称轴；故选A分析：解决本题关键是找出各图形的对称轴，找不出来的就是答案.5.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案：C解析：解答：题中给出的四个选项中，有三项是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，剩下的C就是答案，故选C.分析：判断三角形是否是轴对称图形，关键就是看这个三角形是不是等腰三角形.6.角、线段、三角形、圆、长方形和正方形中，一定是轴对称图形的有（）A.4个B.5个C.6个D.3个答案：B解析：解答：通过分析可知，角、线段、圆、长方形和正方形都是轴对称图形，故选B.分析：本题关键是对于每一种图形，找到一条对称轴，找不到的就不是轴对称图形.7.等腰三角形、直角三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）A.3个B.4个C.5个D.2个答案：A解析：解答：通过分析可以得到等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形都是轴对称图形，故选A.分析：本题关键看是不是等腰三角形，在所有三角形中，只要是等腰三角形，就一定是轴对称图形.8.下列字母中：H、F、A、O、M、W、Y、E，轴对称图形的个数是（）A.5B.4C.6D.7答案：D解析：解答：从第一个字母研究，只要能够找到一条对称轴，令这个字母沿这条对称轴折叠后，两边的部分能够互相重合，就是轴对称图形，可以得出：字母H、A、O、M、W、Y、E这七个字母，属于轴对称图形，故选D.分析：本题关键是找到一条对称轴，解决方法是针对每一字母逐一研究，涉及到的知识点较为单一.9.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有两个内角相等的三角形B.有一个内角为45度的直角三角形C.有两个内角分别为50度和80度的三角形D.有两个内角分别为55度和65度的三角形答案：D解析：解答：从A 选项开始研究，有两个内角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形；B 有一个内角为45度的直角三角形是等腰直角三角形，也是等腰三角形，是轴对称图形；C 有两个内角分别为50度和80度的三角形，第三个角是50度，故是等腰三角形，是轴对称图形；故选D .分析：本题关键是判断三角形是不是等腰三角形，解决方法逐一研究，涉及到的知识点较为单一.10.有两条或两条以上对称轴的轴对称图形是（ ）A .等腰三角形B .角C .等边三角形D .锐角三角形答案：C解析：解答：从A 选项开始研究，等腰三角形只有一条对称轴；角也只有一条对称轴，是角平分线所在的直线；等边三角形有三条对称轴；D 锐角三角形的对称轴数量不确定. ∴选C分析：本题关键是看能否找到该图形的对称轴，解决方法逐一研究，涉及到的知识点较为单一11.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若AD =5cm ，CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A . 5cmB . 4cmC . 3cmD . 2cm答案：C解析：解答：∵点D 到AB 的距离是DE∴DE ⊥AB∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后，点C 在线段AB 上的点E 处∴DE =CD∵CD =3cm∴DE =3cm选C .分析：本题关键是运用翻折，实现DE 与DC 重合，从而判断DE =DC =3cm .12. △ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于（ ）DBA .30°B .45°C .36°D .72°答案：C解析：解答：∵有很多等腰三角形，∴得到很多对称的图形∴根据题意将上图构造出来后如下图所示∴∠A =36°故选C分析：本题关键根据题干把图构造出来，然后进行计算就可以了.13.一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a 的范围是（ ）A .0°<a <9B .30°<a <90°C .0°<a <45°D .45°<a <90°答案：C解析：解答：∵等腰三角形顶角为钝角∴顶角大于90°小于180°∴两个底角之和大于0°小于90°∴每个底角大于0°小于45°故选C分析：本题关键先将两个底角的和的范围算出来，然后再将每个底角范围出来，注意是大于小于，不包含等于号.14.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE 、CD 交于点F ，则图中共有等腰三角形( ）A .7个B .8个C .9个D .10个答案：B解析：解答：∵等腰三角形有两个角相等 D A B C AB C E DF∴只要能判断出有两个角相等就行了将原图各角标上后显示如左下：因此，所有三角形都是等腰三角形只要判断出有哪几个三角形就可以了.如右上图，三角形有如下几个：①，②，③；①+②，③+②，①+④，③+④；①+②+③+④；共计8个.故选B分析：本题关键先将每一个三角形的内角算出来，然后再将三角形的个数数出来，注意不重不漏.15.等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A .25°B .40°C .25°或40°D .50°答案：C解析：解答：∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下：①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB =40°； ②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB =25°故选C① ②分析：本题关键根据题意确定有两种不同的情况.A B B二、填空题（共5小题）16.等腰三角形的对称轴是.答案：底边的垂直平分线解析：解答：∵对称轴是直线∴等腰三角形的对称轴也是直线∵等腰三角形有两条边相等∴这两条边是轴对称后能够重合的两条线段∴这两边的非公共点是轴对称点∴等腰三角形的对称轴是其底边的垂直平分线分析：本题关键是把求等腰三角形的对称轴转化成求线段的对称轴.17.等边三角形有条对称轴，矩形有条对称轴.答案：3｜2解析：解答：∵等腰三角形有一条对称轴∴等边三角形可以看成以各个点为顶点的等腰三角形而每一种情况下都分别有一条对称轴∴等边三角形有三条对称轴分析：本题关键是把等边三角形向等腰三角形转化，由此得到有三条对称轴18.不重合的两点的对称轴是.答案：连结这两点所成线段的垂直平分线解析：解答：∵两点之间线段最短∴连结已知不重合两点，得一线段∴原题变成求一条线段的对称轴而线段的对称轴是它的垂直平分线∴不重合的两点的对称轴是连结这两点所成线段的垂直平分线.分析：本题关键是由点想到线段，把原题转化成求线段的对称轴.19.在△ABC中，AB =AC，∠A=80°，则∠B=.答案：50°解析：解答：∵AB=AC∴根据轴对称的性质，将线段BC对折重合后，点A在折痕上∴线段AB、AC关于折痕轴对称设折痕与BC交点为D则△ABD、△ACD关于直线AD轴对称∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°分析：本题关键是利用轴对称性质，得到∠B =∠C，再利用三角形内角各可以求得.20.已知M 、N 是线段AB 的垂直平分线上任意两点，则∠MAN 和∠MBN 之间关系是 . 答案：∠MAN=∠MBN解析：解答：∵原题当中没有说明点M 、N 在线段AB 的位置，∴可能有以下四种情况：①如图①，点M 、N 在线段AB 两侧时∵M 、N 是线段AB 的垂直平分线上任意两点∴点A 、B 两点关于直线MN 轴对称∴线段MA 、MB 两点关于直线MN 轴对称同理线段NA 、NB 两点关于直线MN 轴对称∴△MAN 与△MBN 关于直线MN 轴对称∴∠MAN =∠MBN②如图①，当点M 、N 在线段AB 同侧时，按照①中逻辑推理，同样可以得到∠MAN =∠MBN ；③如图③，当点N 在线段AB 上时，同理可得∠MAN =∠MBN ；④如图④，当点M 在线段AB 上时，同理可得∠MAN =∠MBN .综上，一定有∠MAN =∠MBN分析：本题关键是考虑到不论点M 、N 与线段AB 的位置如何，求得∠MAN =∠MBN 原理相同，这是关键点.三、解答题（共5小题）21.如图1，在一条河同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M ，使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；答案：所求点如下图所示 ①AB ②A ③A ④A B lAB解答：∵两点之间线段最短∴需要能将AM 、BM 两边转化到一条直线上∴用轴对称可以办到求点M 的位置的具体步骤如下：①作点A 关于直线BC 的轴对称点A ’②连结A ’B 交BC 于点M③连结AM则点M 就是所求作的点，能够使M 到A 和B 的距离之和最短.解析：分析：本题关键是要分析出如何求点M 的方法，这是关键点.22.如图所示，P 和Q 为△ABC 边AB 与AC 上两点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最小.答案：所求点如下图所示解答：∵△PQM 的三条边中PQ 已经确定∴只需要另外两边之和最短∵两点之间线段最短BB∴需要能将其它两边转化到一条直线上∴用轴对称可以办到求点M的位置的具体步骤如下：①作点P关于直线BC的轴对称点P’②连结P’Q交BC于点M③连结PM则点M就是所求作的点，能够使PQM的周长最小.解析：分析：本题关键是要分析出如何求点M的方法，这是关键点.23.圆、长方形、正方形都是轴对称图形，说出他们分别有几条对称轴.答案：无数条｜2条｜4条解答：∵对于圆来说，过圆心的任意一条直线，都能够将这个圆分成能够互相重合的两部分∴过圆心的直线，都是圆的对称轴∴圆有无数条对称轴∵对于长方形来说，过其中心平行于边的直线，都能够把它分成能够互相重合的两部分∴长方形有2条对称轴∵对于正方形来说，属于长方形的对称轴，对其也成立；∴正方形首先有2条对称轴又∵正方形的每一条对角线所在的直线，也能够把这个正方形分成能够互相重合的两部分∴正方形另外还有2条对称轴综上，正方形有4条对称轴解析：分析：本题关键是要分析出每一种图形对称轴的由来，这是关键点.24.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.答案：22解答：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9；当三边长为4，4，9时，4+4＜9不能构成三角形，舍去；当三边长为4，9，9时，能够构成三角形，此时，周长为4+9+9 =22答：它的周长是22.解析：分析：本题关键是要考虑到是否能够构成三角形，这是易错点.25.如图，长方形ABCD中，AB=2，点E在BC上并且AE=EC，若将矩形纸片沿AE折叠，使点B恰好落在AC上，则AC的长为多少？答案：4解答：如图，设点B 落在AC 上后，为点F .则有△AFE ≌△ABE∴∠AFE =∠B =90° AF =AB =2∴FE ⊥AC∵AE =EC∴CF =AF =2∴AC =CF +AF =4答：AC 的长为4.解析：分析：本题考察轴对称的性质，关键是把握住对称一定全等，全等三角形的对应线段相等.AB。
北师大版数学七年级下册5.3《简单的轴对称图形》精选练习(含答案)
北师大版数学七年级下册5.3《简单的轴对称图形》精选练习一、选择题1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.过顶点的直线B.底边上的高C.顶角平分线所在的直线D.腰上的高所在的直线2.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.有两条或两条以上对称轴的轴对称图形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形4.等腰三角形的周长为80cm，若以它的底边为边的等边三角形周长为30cm，则该等腰三角形的腰长为（）A.35cmB.25cmC.30cmD.40cm5.等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A.25°B.40°C.25°或40°D.50°6.△ABC中，AB =AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A.30°B.45°C.36°D.72°7.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有两个内角相等的三角形B.有一个内角为45度的直角三角形C.有两个内角分别为50度和80度的三角形D.有两个内角分别为55度和65度的三角形8.等腰三角形、直角三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）A.3个B.4个C.5个D.2个9.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10.下列4个图形中，不是轴对称图形的是（）A.有2个内角相等的三角形B.有1个内角为30°的直角三角形C.有2个内角分别为30°和120°的三角形D.线段11.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.过顶点的直线B.底边上的高C.顶角平分线所在的直线D.腰上的高所在的直线12.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°二、填空题13.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高________（也称“_____________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_______________；14.等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是______________；15.在△ABC中，AB =AC，∠A=80°，则∠B= .16.等边三角形有条对称轴，矩形有条对称轴.17.如图，∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB＋AC=BE，则∠B= .18.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）.三、解答题19.已知等腰三角形的一边长等于5cm，另一边长等于9cm，求它的周长；20.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE=DF；21.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.22.如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系。
北师大版七年级数学下册《平行线的性质》同步练习(含答案)
平行线的特征一、填空题:（每题4分，共28分）1.如图1，AB ∥CD ，AF 分别交AB 、CD 于A 、C ，CE 平分∠D CF ，∠1＝100 °,则∠2＝_____.21FE DCB AG 1F ECBAG21EDCB A(1) (2) (3) 2.如图2，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1＝∠F ＝45°，那么与∠F CD 相等的角有_________个，它们分别是___________________________。
3.如图3，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1＝72°，则∠2＝_________。
4.如图4，DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，图中与∠1相等的角有________________________。
K HG 1FED CA DCBA ED C B A(4) (5) (6) 5.如图5，AD ∥BC ，∠A 是∠ABC 的2倍。
（1）∠A ＝_______度。
（2）若BD 平分∠ABC ，则∠ADB ＝___________。
6.如图6，BA ∥DE ，∠B ＝150°，∠D ＝130°，则∠C 的度数是__________。
7.如图7，∠ACD ＝∠BCD ，DE ∥BC 交AC 于E ，若∠ACB ＝6 0°，∠B ＝74°，则∠EDC ＝___°，∠CDB ＝____°。
E D C B A FEDCBA30︒北西南东B AγβαDCBA(7) (8) (9)(10)二、选择题:（每题4分，共28分）8.如图8，由AC ∥ED ，可知相等的角有（ ） A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 9.如图9，由A 到B 的方向是（ ）A.南偏东30°B.南偏东60°C.北偏西30°D.北偏西60°10.如图10，如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ） A. α+β+γ＝360° B. α-β+γ＝180° C. α+β-γ＝180° D. α+β+γ＝180°11.如图11，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，则∠BCE ＝（ ）A.60°B.50°C.30°D.20°F EDCB A FEDCBA(11) (12) 12.下列说法中，为平行线特征的是（ ）①两条直线平行, 同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. A.① B.②③ C.④ D.②和④13.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.相等且互补14.如图12，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ）A.是同位角且相等;B.不是同位角但相等;C.是同位角但不等;D.不是同位角也不等三、解答题:（共44分）15.已知，如图，MN ⊥AB ，垂足为G ，MN ⊥CD ，垂足为H ，直线EF 分别交AB 、CD 于G 、Q ，∠GQC ＝120°，求∠EGB 和∠HGQ 的度数。
北师大版七年级数学下册《5.3 第3课时 角平分线的性质》教学设计
北师大版七年级数学下册《5.3 第3课时角平分线的性质》教学设计一. 教材分析《5.3 第3课时角平分线的性质》这一节内容，主要让学生掌握角平分线的性质，即从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角平分成两个相等的角。
教材通过角的度量、角平分线的作图等环节，引导学生探究角平分线的性质，并运用这一性质解决实际问题。
本节课的内容是基础性知识，对于学生理解角的性质和运用角平分线解决几何问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经掌握了角的度量、角的概念以及基本的几何作图方法。
但由于年龄和认知水平的限制，部分学生在理解角平分线的性质时可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 教学目标1.让学生了解角平分线的性质，并能够运用角平分线解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
3.提高学生对几何学科的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导和理解。
2.如何运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生探究角平分线的性质。
2.利用几何作图，让学生直观地感受角平分线的性质。
3.通过例题和练习，巩固学生对角平分线性质的理解。
4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和道具，用于讲解和展示角平分线的性质。
2.准备PPT，用于呈现角平分线的性质的推导过程和实例。
3.准备练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：如何作一个角的平分线。
让学生思考并尝试解答这个问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现角平分线的性质的推导过程，引导学生观察和思考。
通过几何作图，让学生直观地感受角平分线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行几何作图，尝试找出角平分线，并验证其性质。
5.3 简单的轴对称图形(1)
20°
.
数学
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名师点拨:
(1)若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况
进行讨论计算;
(2)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是
锐角.
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知识点三 等边三角形的定义和性质
1.定义:三边都相等的三角形是 等边三角形 ,也叫正三角形.
2.性质:等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有等腰三角
等腰三角形的 顶角 ,腰与底边的夹角叫做等腰三角形的
底角
.
2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角平分
线所在的直线;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、
底边上的中线重合(简称“ 三线合一 ”).
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▶▶ 典型例题
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点
腰三角形的个数是
3
.
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三、解答题
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且
∠2=36°,BD=2,求∠BAC,∠B的度数及BC的长.
解:因为AD为∠BAC的平分线,∠2=36°,
所以∠1=∠2=36°,∠BAC=2∠2=72°.
又因为AB=AC,所以AD⊥BC,BD=CD,
解:因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
所以BD=CD.
因为△ABC的周长为16,
1
所以AB+BD= ×16=8.
2
因为△ABD的周长为12,所以AD=12-8=4.
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6.如图,A,B是直线l同侧的两点.请在直线l上找一点C,使得
AC+CB最小,并说明理由.
【数学】新北师大版七年级数学下册课课练53简单的轴对称图形习题
【关键字】数学新北师大版七年级数学下册课课练《5.3 简单的轴对称图形》习题部分预览《5.3 简单的轴对称图形》习题1、价平分线是角的一条对称轴，它的性质是.2、线段笔直平分线上的点到线段两个端点的距离.3、在△ABC中，AB=AC，△A=80°，则△B= .4、在△ABC中，AB=AC，若△B=45°，则此三角形是.5、等边三角形有条对称轴，矩形有条对称轴.6、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC交BC于D.（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.7、若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.7、已知M，N是线段AB的笔直平分线上任意两点，则△MAN和△MBN之间关系是.8、下列说法错误的是（）A.等边三角形有3条对称轴B.正方形有4条对称轴C.角的对称轴有2条D.圆有无数条对称轴9、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有一个内角为45°的直角三角形B.有两个内角相等的三角形C.非等腰三角形D.直角三角形10、如图，在△ABC中，△A=36°，BD平分△ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）个A.4B.3C.2D.1第10题图第11题图11、如图，△ABC中，BC=10，BD=8，DE BC于E，且E为BC 的中点，则△BCD的周长为（）A.20B.18C.26D.2812、已知在Rt△ABC中，△C=90°C，AD平分△BAC交BC 于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.1213、如图，是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，怎样移动，才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？14、用折纸的方法一个锐角三角形纸片是三边笔直平分线，你发现了什么？根据线段笔直平分线的性质，你能得到什么结论？15、（1）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长；（2）已知等腰三角形一边长等于5，一边长等于6，求它的周长.部分预览《5.3 简单的轴对称图形》习题1、价平分线是角的一条对称轴，它的性质是.2、线段笔直平分线上的点到线段两个端点的距离.3、在△ABC中，AB=AC，△A=80°，则△B= .4、在△ABC中，AB=AC，若△B=45°，则此三角形是.5、等边三角形有条对称轴，矩形有条对称轴.6、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC交BC于D.（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.7、若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.7、已知M，N是线段AB的笔直平分线上任意两点，则△MAN和△MBN之间关系是.8、下列说法错误的是（）A.等边三角形有3条对称轴B.正方形有4条对称轴C.角的对称轴有2条D.圆有无数条对称轴9、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有一个内角为45°的直角三角形B.有两个内角相等的三角形C.非等腰三角形D.直角三角形10、如图，在△ABC中，△A=36°，BD平分△ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）个A.4B.3C.2D.1第10题图第11题图11、如图，△ABC中，BC=10，BD=8，DE BC于E，且E为BC 的中点，则△BCD的周长为（）A.20B.18C.26D.2812、已知在Rt△ABC中，△C=90°C，AD平分△BAC交BC 于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.1213、如图，是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，怎样移动，才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？14、用折纸的方法一个锐角三角形纸片是三边笔直平分线，你发现了什么？根据线段笔直平分线的性质，你能得到什么结论？15、（1）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长；（2）已知等腰三角形一边长等于5，一边长等于6，求它的周长.部分预览《5.3 简单的轴对称图形》习题1、价平分线是角的一条对称轴，它的性质是.2、线段笔直平分线上的点到线段两个端点的距离.3、在△ABC中，AB=AC，△A=80°，则△B= .4、在△ABC中，AB=AC，若△B=45°，则此三角形是.5、等边三角形有条对称轴，矩形有条对称轴.6、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC交BC于D.（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.7、若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.7、已知M，N是线段AB的笔直平分线上任意两点，则△MAN和△MBN之间关系是.8、下列说法错误的是（）A.等边三角形有3条对称轴B.正方形有4条对称轴C.角的对称轴有2条D.圆有无数条对称轴9、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.有一个内角为45°的直角三角形B.有两个内角相等的三角形C.非等腰三角形D.直角三角形10、如图，在△ABC中，△A=36°，BD平分△ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）个A.4B.3C.2D.1第10题图第11题图11、如图，△ABC中，BC=10，BD=8，DE BC于E，且E为BC 的中点，则△BCD的周长为（）A.20B.18C.26D.2812、已知在Rt△ABC中，△C=90°C，AD平分△BAC交BC 于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.1213、如图，是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，怎样移动，才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？14、用折纸的方法一个锐角三角形纸片是三边笔直平分线，你发现了什么？根据线段笔直平分线的性质，你能得到什么结论？15、（1）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长；（2）已知等腰三角形一边长等于5，一边长等于6，求它的周长.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
北师大版2019-2020年七年级数学下册同步分层练 3 第3课时角平分线的性质(含答案)
第3课时角平分线的性质1．如图，OP平分∠MON，P A⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B.若P A＝6，则PB为(C)A．2 B．4 C．6 D．82．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的图形是(D)3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B ＝(B)A．40° B．30° C．25° D．22.5°4．(2019·重庆九龙坡区月考)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是(C)A ．8B ．7C ．6D ．55．小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在△ABC 中，AD ＝BD ＝3，AE 平分∠CAD ，DE 垂直AB ”，他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确的是( D )A ．他发现CE ＝DE ，理由是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B ．他发现CE ＝DE ，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C ．他发现AE ＝BE ，理由是角平分线上的点到这个角两边的距离相等D ．他发现AE ＝BE ，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等6．(2019·广东深圳罗湖区期中)证明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出推理过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．(1)已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上， PD ⊥OA ， PE ⊥OB .试说明： PD ＝PE .(请你补全) (2)写出推理过程．解：(2)在△OPD 和△OPE 中，⎩⎨⎧∠POD ＝∠POE ，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，OP ＝OP ，所以△OPD ≌△OPE (AAS)，所以PD ＝PE .7．已知△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝70°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E . (1)求∠EDA 的度数；(2)AB ＝10，AC ＝8，DE ＝3，求S △ABC .解：(1)因为∠B ＝50°，∠C ＝70°，所以∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－50°－70°＝60°.因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠BAD ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°.因为DE ⊥AB ，所以∠DEA ＝90°，所以∠EDA ＝180°－∠BAD －∠DEA ＝180°－30°－90°＝60°.(2)如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F .因为AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，所以DF ＝DE ＝3.又因为AB ＝10，AC ＝8，所以S △ABC ＝12·AB ·DE ＋12·AC ·DF ＝12×10×3＋12×8×3＝27.8．角是轴对称图形，它的对称轴为 角平分线所在的直线 ． 9．用尺规作角平分线． 已知：如图，∠AOB .求作：射线OC ，使∠AOC ＝∠BOC ，并运用学过的知识给予说明．解：如图所示：作法：(1)以O 为圆心，任意长为半径画弧，交AO ，BO 于N ，M ； (2)分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点C ； (3)过点C 作射线OC ，则∠AOC ＝∠BOC .射线OC 即为所求．理由：如图，连接MC ，NC .由作图可知OM ＝ON ，MC ＝NC .在△MOC 和△NOC 中，⎩⎨⎧OM ＝ON ，MC ＝NC ，OC ＝OC ，所以△MOC ≌△NOC (SSS)，所以∠AOC ＝∠BOC ，即射线OC 平分∠AOB . 10．尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P ，要求油库P 到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P 的位置？(请作出符合条件的一个即可)解：如图所示，点P即为所求．(答案不唯一)11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G.若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是(C)A．3 B．10 C．15 D．3012．(2019·江西宜春二模)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为(B)A．12 B．15 C．16 D．1813．(2019·辽宁阜阳模拟)如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是(C)A．1 B．1.5 C．2 D．314．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC .其中正确的有(B)＝8S△BDEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．(2019·山东枣庄峄城区期末)如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝21，则DE＝ 3 .16．(2019·山东泰安岱岳区期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于点M，若OM＝4，S＝180，则△ABC的周长是 90 .△ABC17．(2019·广西贵港港南区期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB 交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，求△DBE的周长．解：因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，所以DE＝CD.又因为AC＝BC，AC＝AE，所以AC＝BC＝AE，所以△DBE的周长为DE＋BD＋EB＝CD＋BD＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB.因为AB＝6 cm，所以△DBE的周长为6 cm.18．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.试说明：(1)AM⊥DM；(2)M为BC的中点．解：(1)因为AB∥CD，所以∠BAD＋∠ADC＝180°.因为AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，所以2∠MAD＋2∠ADM＝180°，所以∠MAD＋∠ADM＝90°，所以∠AMD＝90°，即AM⊥DM.(2)如图，作NM⊥AD于点N.因为∠B＝90°，AB∥CD，所以BM⊥AB，CM⊥CD.因为AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，所以BM＝MN，MN＝CM，所以BM＝CM，即M为BC的中点．。
最新北师大版七年级下数学同步练习 5.3 第3课时 角平分线的性质1
5.3简单的轴对称图形（3）（角）（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．32．如图，40AOB ∠=︒，OM 平分AOB ∠，MA OA ⊥于点A ，MB OB ⊥于点B ，则MAB ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．40︒C ．30︒D ．20︒3．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C 、D ，则下列结论错误的是( )A ．PC=PDB ．∠CPD=∠DOPC ．∠CPO=∠DPOD ．OC=OD4．如图，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若5cm BC =，3cm BD =，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．5cmB ．3cmC ．2cmD ．不能确定第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 5．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为点A 、B ；下列结论中不一定成立的是( ) A ．PA=PB B ．PO 平分∠APB C ．OA=OB D ．AB 垂直平分OP6．如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若2CD =，6AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．12B ．6C ．24D ．47．如图所示，点P 在AOB ∠的角平分线上，C ，F 在OA 上，D ，E 在OB 上，且CD 过点P 且与OA 垂直，EF 过点P 与OB 垂直，则下列说法正确的是（ ）A ．PC PD =B ．PC PE = C ．PC PF =D ．PE PF =8．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直.若AD=8， 则点P 到BC 的距离是( )A.8B.6C.4D.2M BAO第5题图 第6题图 第7题图 第8题图9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．BD DE BC +=B ．DE 平分ADB ∠C ．DA 平分EDC ∠D ．DE AC AD +> 10．如图所示，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处第9题图 第10题图二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．如图，点P 在∠AOB 的平分线上，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，若PE=3，则PF=______；12．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC=______；13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 两点的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ；其中正确的有______个；第11题图 第12题图 第13题图14．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=50，DE=14，则△BCE 的面积等于 ； 15．如图，BD 是△ABC 的角平分线，△ABC 的面积为60，AB=15，BC=9，则△ABD 的面积是______；ECBAl 2l 1l 3F EB AP OFE CBA DF E CBA ADB A EDCB第14题图 第15题三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤） 16．如图所示，M 、N 是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内建一个仓库P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =．请画出点P 的位置，并说明理由；17．如图，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于点M ，PN ⊥CD 于点N ； 试说明：PM=PN ；18．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，点E 恰为AB 的中点，若1DE =，2BD =，求AC 的长；C BADABCM ．N ．19．如图，AC BC ⊥，BM 平分ABC ∠且交AC 于点M ，N 是AB 的中点，且BN BC =； 试说明：（1）MN 平分AMB ∠；（2）A CBM ∠=∠；20．如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD ；试说明：∠BAP+∠BCP=180°；MNCBA5.3简单的轴对称图形（3）参考答案：1~10 ADBCD BBCBD 11．3；12．3；13．4；14．350；15．752； 16．作BAC ∠的平分线和MN 的垂直平分线，其交点即为所求点P ．图略． 17．∵ BD 为∠ABC 的平分线 ∴ ∠ABD=∠CBD又∵ BA=BC ，BD=BD ∴△ABD ≌△CBD(SAS) ∴∠ADB=∠CDB ∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ∴PM=PN ；18．∵BD 平分ABC ∠，DC BC ⊥，DE AB ⊥，∴1DC DE == ∵DE AB ⊥，点E 为AB 的中点， ∴2AD DB ==． ∴123AC AD DC =+=+=．19．（1）∵NB CB =，NBM CBM ∠=∠，MB MB =，∴NBM △≌CBM △，∴90MNB C ∠=∠=︒．又∵N 是AB 中点，∴MN 垂直平分AB ，∴AM MB =，∴MN 平分AMB ∠． （2）由（1）知AM MB =， ∴A ABM CBM ∠=∠=∠；20．(方法一) 过点P 作PE ⊥BA 于点E ，如解答图①，∵PD ⊥BC ，∠1=∠2 ∴PE=PD ∵∠BEP=∠BDP=90°，BP=BP ，∠1=∠2 ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD （AAS ） ∴ BE=BD∵AB+BC=2BD ，BC=CD+BD ，AB=BE -AE ∴AE=CD ∴PEA ≌△PDC(SAS) ∴∠PAE=∠PCD. ∵∠BAP+∠EAP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°.(方法二) 在BC 上截取BF ，使BF=BA ，连接PF ，如解答图 ②，∵AB+BC=2BD ∴BC -BD=BD -BF ∴CD=FD. 又∵∠PDC=∠PDF=90°，PD=PD ∴△PDC ≌△PDF(SAS) ∴∠PCD=∠PFD.在△BAP 和△BFP 中，∵{BA =BF∠1=∠2BP =BP ∴△BAP ≌△BFP(SAS)∴∠BAP=∠BFP∵∠BFP+∠PFC=180° ∴∠BAP+∠PCB=180°解答图 ① 解答图 ② 解答图 ③ (方法三) 在BC 上取点E ，使DE=BD ，连接PE ，如解答图③ ，∵PD ⊥BD ∴∠BDP=∠EDP=90° 又∵PD=PD ∴△BDP ≌△EDP(SAS). ∴BP=EP ，∠2=∠PED又∵∠1=∠2 ∴∠PEC=∠1.∵AB+BC=2BD ，DE=BD ∴AB=CE.又∵BP=EP ∴△ABP ≌△CEP(SAS) ∴∠BAP=∠ECP. 又∵∠BCP+∠ECP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°。
北师大版七年级下册《5.3 简单的轴对称图形》同步练习( 无答案)
北师大七下《5.3 简单的轴对称图形》同步练习一．选择题（共6 小题）1．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC 长是（）A．8 B．7 C．6 D．52．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D，BC＝7，BD＝4，则点D 到AB 的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，BD 平分∠ABC，BC⊥DE 于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（）A．28 B．21 C．14 D．74．点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PQ≤5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ＞55．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC、AC 于D、E 两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC 的度数为（）A．130°B．95°C．90°D．85°6．如图，在等边三角形ABC 中，在AC 边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n 为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n 的值而定二．填空题（共7 小题）7．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有个．8．如图，△ABC 中，AB＝6，∠BAC 的平分线交BC 于点D，DE⊥AC 于点E，DE＝4，则△ABD 面积是．9．如图，在四边形ABCD 中，E为AB 的中点，DE⊥AB 于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，则∠C 的大小为．10．如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB 的垂直平分线交BC 于点D，AC 的垂直平分线交BC 于点E，则∠DAE＝．11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D、E 是△ABC 内的两点，AE 平分∠BAC，∠D＝∠DBC ＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC 的长是cm．12．如图所示，P 是等边三角形ABC 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝．13．如图，在△ABC 中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是cm，∠DPE＝°．三．解答题（共23 小题）14．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是AB 上一点，BD＝BC，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E，求证：BE 垂直平分CD．15．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点 D ，AC 的垂直平分线 BE 与 CD 交于点 F ，与 AC 交于点 E ．（1）判断△DBC 的形状并证明你的结论．（2）求证：BF ＝AC ．（3）试说明 CE = 1BF ． 2 16．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝22.5°，斜边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ，点 F 在 AC 上，点 E 在 BC 的延长线上，CE ＝CF ，连接 BF ，DE ．线段 DE 和 BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．17．如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点 D ，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线段 AD 上一点，OP ＝OC ．（1）求∠APO +∠DCO 的度数；（2）求证：点 P 在 OC 的垂直平分线上．18．如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，在 BC 的延长线上取一点 E ， 使 CE ＝CD ，连接 DE ，求证：BD ＝DE ．19．如图，在ABC 中，AB＝AC，点E 在CA 的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP 交AB 于点F，FD∥AC 交BC 于点D．求证：△AEF 是等腰三角形．20．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，过点D 作EF∥BC，与AB、AC 分别相交于E、F，若已知AB＝9，AC＝7，求△AEF 的周长．21．如图，△ABC 中，D 是AB 边上一点，在AC 的延长线上取CE＝BD，连接DE 交BC 于F，若DF＝EF．求证：△ABC 为等腰三角形．22．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC，AM⊥BC 于点M，AD 平分∠MAC，交BC 于点D，AM 交BE 于点G．（1）求证：∠BAM＝∠C；（2）判断直线BE 与线段AD 之间的关系，并说明理由．23．如图，在等边△ABC 中，点D，E 分别在边BC，AC 上，且DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F，（1）求∠F 的度数；（2）若CD＝3，求DF 的长．24．如图，过等边△ABC 的边AB 上一点P，作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ 交AC 边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC 的边长为1，求DE 的长．25．如图所示，已知等边△ABC 的边长为a，P 是△ABC 内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF ∥AC，点D、E、F 分别在BC、AC、AB 上，猜想：PD+PE+PF＝，并证明你的猜想．26．如图，在等边△ABC 的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF．（1）试说明△DEF 是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR 为何种三角形？试说明理由．27．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF．28．如图，四边形ABDC 中，∠D＝∠ABD＝90°，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC．（1）求证：OC 平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．29．在△ABC 中，DE 垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，MN 垂直平分AC，分别交AC、BC 于点M、N，连接AE，AN．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN 的度数；（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN 的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN 的度数．（用含α的代数式表示）30．在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E 是BC 上一点，BE＝CD，EF∥AD 交AB 于F 点，交CA 的延长线于P，CH∥AB 交AD 的延长线于点H，①求证：△APF 是等腰三角形；②猜想AB 与PC 的大小有什么关系？证明你的猜想．31．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，以AC 为边在△ABC 外作等边三角形ACD，过点D 作AC 的垂线，垂足为F，与AB 相交于点E，连接CE．（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若AB＝15cm，P 是直线DE 上的一点．则当P 在何处时，PB+PC 最小，并求出此时PB+PC 的值．32．如图，△ABC 是等边三角形，分别延长AB 至F，BC 至D，CA 至E，使AF＝3AB，BD ＝3BC，CE＝3CA，求证，△DEF 是等边三角形．33．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC 为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（2）探究：当α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？34．如图，△ABC 中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N 分别从点A、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s，点N 的速度为2cm/s．当点N 第一次到达B 点时，M、N 同时停止运动．（1）点M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？（2）点M、N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N 运动的时间．35．已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从A、B 两点出发，分别沿AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P 到达点B 时，P、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t（s），解答问题：当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？36．如图，△ABC 中，∠C＝Rt∠，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P 从点C 开始，按C→A →B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t 秒．（1）出发2 秒后，求△ABP 的周长．（2）问t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q 两点同时出发，当P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？第10 页（共10 页）。
七年级数学下《5.3.2线段垂直平分线》练习北师大附答案
合用优选文件资料分享七年级数学下《线段垂直均分线》练习（北师大附答案）《简单的轴对称图形》练习一、选择――基础知识运用 1 ．到三角形三个极点的距离都相等的点是这个三角形的（） A ．三条高的交点 B ．三条角均分线的交点C．三条中线的交点 D．三条边的垂直均分线的交点 2 ．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是 AB，AC的垂直均分线，则∠ DAE等于（）A．50° B．45° C．30°D．20° 3．如图，在△ ABC中， DE是边 AB的垂直均分线， BC=8cm，AC=5cm，则△ ADC的周长为（）A．14cmB．13cmC．11cmD．9cm 4．已知△ ABC中，AB=AC，AB的垂直均分线交AC于 D，△ABC和△ DBC 的周长分别是 70cm和 48cm，则△ ABC的腰和底边长分别为（）A．24cm和 22cmB．26cm和 18cmC．22cm和 26cmD．23cm和24cm5．如图，已知线段AB的垂直均分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段 AB上求作两点 D，E，使其知足 AD=DC=CE=EB，关于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的均分线，分别交AB于D、E，则 D、E 即为所求；乙：分别作 AC、BC的垂直均分线，分别交 AB于D、E，则 D、E 两点即为所求．以下说法正确的选项是（）A．甲、乙都正确 B ．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确二、解答――知识提高运用 6 ．利用尺规作三角形的三条边的垂直均分线，察看这三条垂直均分线的地址关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试。
7 ．如图，在△ ABC中，∠ C=40°，∠ B=68°， AB、AC的垂直均分线分别交 BC于 D、E．求∠ EAD的度数。
8 ．在△ ABC 中， AB=AC，BC=12，∠ B=30°， AB的垂直均分线 DE交 BC边于点 E，AC的垂直均分线 MN交 BC于点 N。
北师大版数学七年级下册第五章同步水平检测带答案不全
5.1轴对称图形一、选择题1．下图中的轴对称图形有（）A．B．C．D．2．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A．1条B．3条C．5条D．无数条3．下列图形有4条对称轴的是（）A．矩形B．菱形C．正三角形D．正方形4．誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1B．l2C．l3D．l46．已知正六边形ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题7．正方形、圆、正三角形3种图形的对称轴的个数从多到少排列顺序为．8．如图，直线AB左边是计算器上的数字是5，若以AB为对称轴，那么它的对称图形是数字．9．请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是．10．我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有条对称轴．11．图中的图形都可以看成轴对称图形，其中只有1条对称轴的是，有3条对称轴的是，有2条对称轴的是．（只要求写图形序号）12．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1等于．13．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有对．三、解答题14．如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形．15．小强和小勇想利用课本上学过的知识来进行台球比赛：小强把白球放在如图所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看，小强这样打，黑球能进F洞吗？请用画图的方法验证你的判断，并说出理由．16．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．5.2轴对称的性质一、选择题1．下列语句：①全等三角形的周长相等．②面积相等的三角形是全等三角形．③若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（）A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．这两个三角形的面积相等D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上3．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．124．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）A．AD＝BD B．AE＝AC C．ED+EB＝DB D．AE+CB＝AB 5．如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．156．如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A．AE＝EF B．AB＝2DEC．△ADF和△ADE的面积相等D．△ADE和△FDE的面积相等二、填空题7．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．9．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为．三、解答题10．用三角板和直尺作图．试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．11．近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点A向B，C两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短．12．如图：AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，用轴对称图形说明：CD＝AB+BD．13．如图，∠A＝90°，E为BC上的一点，A点和E点关于BD的对称，B点、C点关于DE 对称，求∠ABC和∠C的度数．14．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB﹣AC＞PB ﹣PC．15．如图所示，P是∠A0B内任一点，以OA、OB为对称轴分别画出点P经轴对称变换后的点P1、P2，连结P1P2，分别与OA、OB相交于点C、D，若P1P2＝8cm，求△PCD 的周长．16．如图所示，四边形ABDC中，AD同时平分∠BAC和∠BDC，问：B，C两点是否关于直线AD对称？请证明．17．如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是点P关于直线AO、BO的对称点，若△PEF 的周长为15，求MN的长．18．如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN＝5cm．（1）求△OEF的周长；（2）连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）若∠APB＝α，求∠MPN（用含a的代数式表示）．5.3 简单的轴对称图形一、选择题1．△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有( )A.O在△ABC内部B.O在△ABC的外部C.O在BC边上D.OA=OB=OC2．如图在△ABC中，AB＜AC，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，AB=6cm，AC=8cm，则△ABE的周长为( )A.20cmB.12cmC.8cmD.14cm3．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于( )A.28°B.25°C.22.5°D.20°4．若△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A，与BC相交于点D，且AB=2AD，则△ABC中必有一个内角的度数为( )A.45°B.60°C.90°D.120°5．下列说法错误的是( )A.D，E是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB.若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上C.若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线D.若PA=PB，则过P点的直线是线段AB的垂直平分线6．三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定( )A.是边AB的中点B.在边AB的中线上C.在边AB的高上D.在边AB的垂直平分线上7．如图，△ABC中，AB=AC=4cm，BC=3cm，AC的垂直平分线交AB于D，连接CD，则△BCD 的周长为( )A.4cmB.7cmC.10cmD.11cm二、填空题8．如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是_____cm．9．如右图，在△ABC中，DC是AB的垂直平分线，交AB于D，若∠B=41°，则外角∠ACE=_____．10．在R t△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，则∠EAC=_____．11．如图，D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在_____的垂直平分线上．三、解答题12．如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．13．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C．AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E．线段AB 与CD相等吗？试说明理由．14．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E求证：(1)∠EAD=∠EDA；(2)DF∥AC；15．如图，已知△ABC．试找出一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且到AC、BC两边的距离相等(要求用尺规作图，并保留作图痕迹)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】∵△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，∴OA=OB，OA=OC，∴OA=OB=OC．故选D．【分析】从已知开始，分别根据线段垂直平分线上的点到线段两边的距离相等解答即可得到答案．2．答案：D解析：【解答】∵DE垂直平分BC∴BE=CE∵AB=6cm，AC=8cm∴△ABE的周长为AB+AE+BE=AB+AC=14cm．故选D【分析】要求△ABE的周长，现有AB=6cm，只要求出AE+BE即可，结合线段的垂直平分线的性质可知BE=EC，也就是只要求出AC即可，而已知中早已给出AC的大小．3．答案：A解析：【解答】设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°-∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．【分析】设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．4．答案：D解析：【解答】如图，∵边BC的垂直平分线经过顶点A，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=2AD，∴∠B=30°，∴∠C=30°，∠BAC=180°-30°×2=120°，观察各选项，只有D符合．故选D．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=AC，根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠B=30°，然后求出另外的两个内角的度数，即可得解．5．答案：D解析：【解答】A、∵D，E是线段AB的垂直平分线上的两点，∴AD=BD，AE=BE，故本选项正确；B、∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故本选项正确；C、∵AD=BD，AE=BE，∴直线DE是线段AB的垂直平分线，故本选项正确；D、∵PA=PB，∴P点在线段AB的垂直平分线上，故本选项错误．故选D．【分析】根据线段垂直平分线的性质对各选项进行逐一判断．6．答案：D解析：【解答】∵PA=3cm，PB=3cm∴点p一定在边AB的垂直平分线上．（垂直平分线的性质）故选D．【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点p一定在边AB的垂直平分线上．7．答案：B解析：【解答】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵△ABC中，AB=AC=4cm，BC=3cm，∴△BCD的周长为：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=4+3=7（cm）．故选B．【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可得AD=CD，又由AB=AC=4cm，BC=3cm，即可求得△BCD的周长．二、填空题8．答案：19解析：【解答】：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13---①则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6----②把②代入①得L△ABC=13+6=19cm．△ABC的周长为19cm．故填19．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后可得到答案．9．答案：82°解析：【解答】∵DC是AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠A=∠B=41°，∴∠ACE=41°+41°=82°，故答案为：82°．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC=BC，进而得到∠A=∠B，再根据三角形的外角性质可得答案．10．答案：60°解析：【解答】如图，∵AB的垂直平分线为DE，∴EA=EB，∴∠EAD=∠B=15°，∵∠AEC=∠EAD+∠B=30°，∴∠EAC=90°-30°=60°．故答案为60°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，则利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠B=15°，根据三角形外角性质有∠AEC=∠EAD+∠B=30°，然后根据三角形内角和定理可计算∠EAC．11．答案：AC解析：【解答】∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，∴AD=DC，∴D在AC的垂直平分线上，故答案为：AC．【分析】根据已知得出AD=DC，根据线段垂直平分线定理得出．三、解答题12．答案：AC=7cm．解析：【解答】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．13．答案：AB=CD．解析：【解答】AB=CD．连接AD∵DE垂直平分AC∴AD=CD∴∠DAC=∠C∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C又∵∠B=2∠C∴∠ADB=∠B∴AB=AD∴AB=CD．【分析】作辅助线．求出∠DAC=∠C，然后依题意可解出AB=CD．14．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：（1）∵EF是AD的中垂线，∴DE=AE．∴∠EAD=∠EDA．（2）∵EF为中垂线，∴FD=FA．∴∠FDA=∠FAD．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAC，所以∠FDA=∠DAC．∴DF∥AC．【分析】（1）由中垂线的性质知，DE=AE，由等边对等角知，∠EAD=∠EDA2）由中垂线的性质知，FD=FA⇒∠FDA=∠FAD，由AD平分∠BAC⇒∠FAD=∠DAC，∠FDA=∠DAC⇒DF∥AC15．答案：见解答过程．解析：【解答】画BC的中垂线MN，画∠C的平分线CE，两线相交于点P，则P为所求【分析】把两矩形简化为两线段，根据轴对称的性质，可把两尺子重合．5.4利用轴对称进行设计一、选择题1.要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中的设计符合要求的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.两位同学玩五子棋游戏，如图所示，A棋子的位置可用有序数对记作，现轮到白棋下子，白棋下子后黑棋紧接着下了一子，若白棋子黑棋子分别组成了轴对称图形，则下列下子方法正确是的A. 白；黑B. 白；黑C. 白；黑D. 白；黑3.如图，在正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中标序号的小正方形中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是A. B. C. D.4.下面是四位同学作的关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是A. B.C. D.5.以如图以O为圆心，半径为1的半圆作为“基本图形”，分别经历如下变换，不能得到图的是A. 绕着OB的中点旋转即可B. 只要向右平移1个单位C. 先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位D. 先绕着点O旋转，再向右平移1个单位6.下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为A. B.C. D.7.如图，中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，的度数为A. B. C. D.8.如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形图拼出来的图形的总长度是A.B. C. D.二、填空题11.如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有________种．12.如图，由6个小正方形组成的的网格中，任意选取5个小正方形所组成的图形是轴对称图形的可能性是______．13.将如图所示的一张左右对折后的长方形纸片按图中虚线剪下来，剪下来的部分铺开后的图案是汉字_________．14.从汽车后视镜中看见某车牌的后五位号码是，则该车的后五位号码是．15.如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形．这样的点D最多能找到______个．16.如图，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后拼接不折叠，得到标号为P，Q，M，N的4个图形，则A与_________对应，B与_________对应，C与_________对应，D与_________对应．17.如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字______的格子内．18.请找出图中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有______个．19.如图，请你画出这个图形的一条对称轴．答：______ 是它的一条对称轴用图中已有的字母回答20.如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有________个．三、计算题21.在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形ABCD在网格中的位置如图所示，四边形的四个顶点都在网格的格点上．请在所给的网格中画出四边形，使得四边形与四边形ABCD 关于直线l对称点A、B、C、D的对应点分别为、、、；在的情况下，连接、，所在直线与所在直线有什么位置关系？22.现有一张矩形纸片如图，其中，，点E是BC的中点．实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点．请用尺规，在图中作出保留作图痕迹；试求、C两点之间的距离．【答案】1. D2. D3. A4. B5. B6. A7. D8. D 9. B 10. A11. 312.13. 王14. BA62915. 216. M；P；Q；N17. 318. 519. 直线AE20. 521. 解：如图所示，四边形即为所求，；所在直线与所在直线平行．22.解：可以从B，关于AE对称来作，也可以从≌来作．，关于AE对称，，设垂足为F，，，E是BC的中点，，，，，∽，，．．，，．两点之间的距离为．。
5.3 简单的轴对称图形(2)
其中,正确的说法有(
A.1个
B.2个
B
)
C.3个
D.0个
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2.如图,在△ABC中,BC=8,AB,AC的垂直平分线与BC分别交于
E,F两点,则△AEF的周长为(
A.2
B.4
C.8
D.不能确定
C
)
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3.如图,等腰△ABC的周长为13,底边BC=3,AB的垂直平分线DE
交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为(
= .
所以A,B,D项都成立.故选C.
答案:C
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▶▶ 对应练习
1.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于点D,AC的中垂
线交BC于点E,求△ADE的周长.
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解:因为点D在线段AB的垂直平分线上,
所以DA=DB,
因为点E在线段AC的垂直平分线上,
所以EA=EC,
D
)
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解析:因为BC=BD+CD,AD+CD=BC,所以AD=BD.
由作图痕迹可知,
在选项A中,AB=BD,不符合题意;
在选项B中,AD=CD,不符合题意.
在选项C中,AC=CD,不符合题意;
在选项D中,AD=BD,符合题意.
故选D.
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二、填空题
1.如图,AB是△ABC的一条边,DE是AB的垂直平分线,垂足为
∠ = ∠,
在△FEC与△AED中,ቐ = ,
∠ = ∠,
所以△FEC≌△AED(ASA).所以CF=AD.
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(2)当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.理由:
北师大版数学七年级下册：第四章 三角形 同步练习(含答案)
第四章三角形1 认识三角形第1课时三角形的定义和内角和1.一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是(D)2.图中三角形的个数是(C)A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(B)A.100°B.80°C.60°D.40°4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是(D)A.50°B.60°C.70°D.80°5.在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为40°.7.观察如图所示的四个三角形.其中锐角三角形是③，直角三角形是①④，钝角三角形是②.8.若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是(B)A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.如果一个三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是(A)A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10.如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝25°.11.如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个12.已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置.如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A.35°B.55°C.56°D.65°13.如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是(B)A.5°B.10°C.30°D.70°14.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(D)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能15.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为(B)A.85°B.75°C.65°D.60°16.如图，在△ABC 中，∠ACB 是钝角.若点C 在射线BD 上向右移动，则(D)A.△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B.△ABC 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C.△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形D.△ABC 将先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形17.在△ABC 中，若∠A＝12∠B＝13∠C，则此三角形是直角三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)18.如图，在四边形ABCD 中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝240°.19.如图，已知D 是△ABC 的BC 边上的延长线上一点，DF ⊥AB ，交AB 于点F ，交AC 于点E ，∠A ＝55°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数.解：因为DF⊥AB， 所以∠DFB＝90°.所以∠B＝90°－∠D＝90°－30°＝60°. 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B ＝180°－55°－60° ＝65°.20.在△ABC 中，∠B 比∠A 大36°，∠C 比∠A 小36°，求△ABC 的各内角的度数，并判断△ABC 的形状. 解：设∠A＝x ，则∠B＝x ＋36°，∠C ＝x －36°， 根据题意，得x ＋x ＋36°＋x －36°＝180°， 解得x ＝60°.所以x＋36°＝96°，x－36°＝24°.所以∠A＝60°，∠B＝96°，∠C＝24°.所以△ABC是钝角三角形.21.如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，点P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，试求∠P的度数.解：因为∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，所以∠ACB＝∠ABC＝70°.所以∠2＋∠BCP＝70°.又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BCP＝70°.所以∠P＝180°－(∠1＋∠BCP)＝110°.第2课时三角形的三边关系1.下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是(D)2.通过画图来判定下列说法正确的是(D)A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个钝角三角形一定不是等腰三角形C.一个等腰三角形一定不是锐角三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(D)A.2，2，4B.5，6，12C.5，7，2D.6，8，104.若一个三角形的两边长分别为3 cm，6 cm，则它的第三边的长可能是(C)A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.9 cm5.下列长度的线段能否组成三角形？为什么？(1)3 cm，4 cm，9 cm; (2)4 cm，4 cm，8 cm；(3)4 cm，3 cm，8 cm; (4)5 cm，5 cm，5 cm.解：(1)3＋4＝7＜9，不能组成三角形.(2)4＋4＝8，不能组成三角形.(3)4＋3＝7＜8，不能组成三角形.(4)5＋5＝10＞5，5－5＝0<5，能组成三角形.6.已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则该等腰三角形的周长为(D)A.7B.8C.6或8D.7或87.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为(D)A.7B.9C.9或12D.128.长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有(C)A.1种B.2种C.3种D.4种9.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为(C)A.7B.8C.9D.1010.△ABC的三边a，b，c满足(3－a)2＋|7－b|＝0，且c为奇数，则c＝5，7或9.11.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝a＋b＋c.12.用一条长为24 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？(2)能围成有一边的长是6 cm的等腰三角形吗？说明理由.解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2.5x cm，根据题意，得x＋2.5x＋2.5x＝24.解得x＝4，则2.5x＝10，所以各边长分别为4 cm，10 cm，10 cm.(2)能围成，理由如下：若6 cm为底边长时，腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，三角形的三边分别为6 cm，9 cm，9 cm，满足三边关系，故能围成等腰三角形；若6 cm为腰长时，底边为24－6×2＝12(cm)，三角形的三边分别为6 cm，6 cm，12 cm，因为6＋6＝12，所以不能围成三角形.综上所述，能围成一个底边长是6 cm，腰长是9 cm的等腰三角形.13.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(B)A.4B.5C.6D.7第3课时三角形的中线、角平分线1.如图，若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是(A)A.AD平分∠BACB.BD＝DCC.AD平分BCD.BC＝2DC2.如图，BD＝DE＝EF＝FC，则△AEC中EC边上的中线是(C)A.ADB.AEC.AFD.无法确定3.三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心.4.如图，AD是△ABC的一条中线.若△ABD的面积为3，则△ACD的面积为3.5.如图，若∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ABN的角平分线，AN为△AMC的角平分线.6.三角形的角平分线是(B)A.射线B.线段C.直线D.以上都有可能7.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(C)A.80°B.90°C.100°D.110°8.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，则图中与△ABE的面积相等的三角形有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2.10.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为64°.11.如图，在△ABC中，BD是角平分线，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，连接DE，GF，且满足GF∥BD，∠1＝∠2.若∠AED＝70°，求∠2的度数.解：因为FG∥BD，所以∠2＝∠DBC.因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DBC.所以DE∥BC.所以∠AED＝∠ABC＝70°.因为BD平分∠ABC，所以∠2＝∠DBC＝12∠ABC＝35°.12.如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点.设△ABC，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝2.第4课时 三角形的高线1.在△ABC 中，画出边AC 上的高，下面四幅图中画法正确的是(C)A B C D2.三角形的高所在直线的交点一定在外部的是(B)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.有一个角是60°的三角形 3.下列说法正确的是(C)A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.三角形的高至少有一条在三角形内D.三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 4.画出下列三角形中BC 边上的高.解：如图，AM 为三角形中BC 边上的高.5.如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，AE 是∠BAC 的平分线. (1)求∠DAE 的度数；(2)指出AD 是哪几个三角形的高.解：(1)因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 因为∠B＝40°，∠C ＝60°， 所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝80°，∠DAC ＝90°－∠C＝30°. 因为AE 是∠BAC 的平分线， 所以∠CAE＝40°.所以∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝10°.(2)AD 是△ABE ，△ABD ，△ABC ，△AED ，△AEC ，△ADC 的高.6. 如图，AD 是△ABC 的高，∠B ＝40°，∠CAD ＝20°，则∠BAC 的度数为(B)A.20°B.30°C.50°D.60°7.如图，在△ABC 中，AD 为中线，DE 和DF 分别为△ADB 和△ADC 的一条高.若AB ＝3，AC ＝4，DF ＝1.5，则DE ＝2.8.如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，AD 是BC 边上的高，AD ＝5，BE 是AC 边上的高，求BE 的长.解：因为S △ABC ＝12AC·BE＝12BC·AD，所以AC·BE＝BC·AD. 所以BE ＝BC·AD AC ＝203.9.如图，在锐角△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，CD ，BE 交于点P ，∠A ＝50°，求∠BPC 的度数.解：因为CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高， 所以∠ADC＝∠AEB＝90°. 因为∠A＝50°，所以∠ABE＝90°－∠A＝40°. 所以∠BPD＝90°－∠ABE＝50°. 所以∠BPC＝180°－∠BPD＝130°.小专题5 与角平分线有关的常考模型1.如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝110°，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC，则∠DAE 的度数为40°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)∠BAE 的度数为40°； (2)∠DAE 的度数为20°；(3)探究：如果条件∠B＝70°，∠C ＝30°改成∠B－∠C＝40°，能得出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.解：能.理由：因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C. 因为AE 平分∠BAC，所以∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C).因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝90°.所以∠BAD＝90°－∠B.所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B－∠C).因为∠B－∠C＝40°， 所以∠DAE＝12×40°＝20°.3.如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数.解：因为∠CAB＝50°，∠C ＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为AD 是高， 所以∠ADC＝90°.所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为AE ，BF 是角平分线，所以∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF ＝∠EAB＝25°. 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°， ∠BOA ＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.4.在△ABC 中.(1)如图1，∠A ＝50°，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，则∠BOC＝115°；(2)如图2，∠A ＝60°，BO ，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线(即∠OBC＝13∠ABC，∠OCB ＝13∠ACB)，求∠BOC 的度数.解：因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－60°＝120°. 因为BO ，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线，所以∠OBC＋∠OCB＝13∠ABC＋13∠ACB＝13(∠ABC＋∠ACB)＝40°.所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝140°.小专题6 三角形中角度的计算1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝x ，∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，则∠BAD＝(B)A.145°B.150°C.155°D.160°2.如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝50°，则∠BDC 的度数为(C)A.75°B.85°C.95°D.105° 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线.若∠B＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C＝40度.4.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于点E.若∠C＝70°，∠BED ＝68°，求∠BAC 的度数.解：因为AD 是△ABC 的高， 所以∠BDE＝90°. 又因为∠BED＝68°， 所以∠EBD＝22°. 因为BE 平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠EBD＝44°.所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－44°－70°＝66°.5如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1＝50°，则∠2的度数为(C)A.130°B.50°C.40°D.25°6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，DE∥AB交边AC于点E.若∠B＝46°，∠C＝54°，则∠ADE的大小为(A)A.40°B.45°C.50°D.54°7.如图，l1∥l2，△ABC的顶点B，C在直线l2上，已知∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为100°.8.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于点F.已知EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数.解：(1)因为EH⊥BE，所以∠BEH＝90°.因为∠HEG＝55°，所以∠BEG＝35°.又因为EG∥AD，所以∠BFD＝∠BEG＝35°.(2)因为∠ABE＋∠BAD＋∠AFB＝180°，∠BFD＋∠AFB＝180°，所以∠BFD＝∠BAD＋∠ABE.因为∠BAD＝∠EBC，∠BFD＝35°，所以∠EBC＋∠ABE＝35°，即∠ABC＝35°.因为∠C＝44°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－35°－44°＝101°.9.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1＝30°，那么∠2的度数为(D)A.30°B.40°C.50°D.60°10.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(D)A.75°B.105°C.135°D.165°11.在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝120°.e12.如图，将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.(1)∠DBC＋∠DCB＝90°；(2)过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小.解：在△ABC中，因为∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，即∠ABD＋∠DBC＋∠DCB＋∠ACD＋∠BAC＝180°，而∠DBC＋∠DCB＝90°，所以∠ABD＋∠BAC＝90°－∠ACD＝70°.又因为MN∥DE，所以∠ABD＝∠BAN.而∠BAN＋∠BAC＋∠CAM＝180°，所以∠CAM＝180°－(∠ABD＋∠BAC)＝110°.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A＝25°，则∠CDE的度数是(C)A.45°B.65°C.70°D.80°14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在点B′处.若B′D∥AC，则∠BDC＝115°.15.如图，∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外.若∠AEC′＝22°，求∠BDC′的度数.解：设AE交DC′于点F.在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－64°－76°＝40°.由折叠可知∠C′＝40°，所以∠C′FE＝180°－∠AEC′－∠C′＝118°.所以∠DFE＝180°－∠C′FE＝62°.所以∠CDF＝180°－∠C－∠DFE＝78°.所以∠BDC′＝180°－∠CDF＝102°.16.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合.若∠A＝75°，求∠1＋∠2的度数.解：因为△A′DE是△ABC沿DE翻折变换而成，所以∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°.所以∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°.所以∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.2图形的全等1.下列图形中与已知图形全等的是(B)A B C D2.下列叙述中错误的是(C)A.能够重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形3.(教材P95习题T1变式)下列图形中，是全等图形的是(1)和(9)；(2)和(3)；(4)和(8)；(5)和(7)；(11)和(12).4.下列说法中正确的是(D)A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形C.两个等边三角形是全等三角形D.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形5.如图，已知△ACD≌△CBE，则∠A的对应角是(A)A.∠BCEB.∠EC.∠ACDD.∠B6.如图，将△ABC沿AC翻折后，点B与点E重合，则图中全等三角形有(C)A.1对B.2对C.3对D.4对7.如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是(C)A.AC＝CEB.∠BAC＝∠DCEC.∠ACB＝∠ECDD.∠B＝∠D8.如图，△ABC≌△BAD，A，C的对应点分别是B，D.若AB＝9，BC＝8，AC＝6，则BD＝(A)A.6B.9C.8D.无法确定9.已知△MNP≌△ABC，∠P＝35°，∠A＝40°，则∠M＝40°，∠B＝105°.10.已知△DEF≌△MNP，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12，求∠P的度数和DE的长.解：因为△DEF≌△MNP，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12.所以∠P＝∠F＝180°－∠D－∠E＝80°，DE＝MN＝12.11.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是(D)A.72°B.60°C.58°D.50°12.如图，△ABC≌△DEF，则图中相等线段的对数是(B)A.3对B.4对C.5对D.6对13.如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB的长度等于(D)A.6B.4C.2D.314.如图，△ABE≌△CDF，那么下列结论错误的是(D)A.AB＝CDB.AB∥CDC.BE∥DFD.BE＝DC15.如图，△ABC≌△DBE，∠DBC＝150°，∠ABD＝40°，则∠ABE的度数是70°.16.如图是由全等的图形组成的，其中AB＝3 cm，CD＝2AB，则AF＝27cm.17.沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形.解：如图所示.(答案不唯一)或18.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：BD＝DE＋CE.解：因为△BAD≌△ACE，所以AD＝CE，BD＝AE.因为AE＝AD＋DE＝CE＋DE，所以BD＝DE＋CE.19.如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点共线，则∠ACE＝90°吗？为什么？解：∠ACE＝90°.理由：因为Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠BAC＝∠DCE.因为∠B＝90°，所以∠BAC＋∠BCA＝90°.所以∠DCE＋∠BCA＝90°.所以∠ACE＝180°－(∠DCE＋∠BCA)＝90°.20.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数.解：因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC＝∠DAE.因为∠EAB＝120°，所以∠DAE＋∠CAD＋∠BAC＝120°. 因为∠CAD＝10°，所以∠BAC＝12×(120°－10°)＝55°.所以∠BAF＝∠BAC＋∠CAD＝65°.所以∠BFA＝180°－∠BAF－∠B＝180°－65°－25°＝90°. 所以∠DFB＝∠DFG＝90°.所以∠DGB＝90°－∠D ＝90°－25°＝65°.3 探索三角形全等的条件 第1课时 边边边(SSS)1.如图，如果AB ＝A′B′，BC ＝B′C′，AC ＝A′C′，那么下列结论正确的是(A)A.△ABC ≌△A ′B ′C ′B.△ABC ≌△C ′A ′B ′C.△ABC ≌△B ′C ′A ′D.这两个三角形不全等2.如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是(C)3.如图，已知AC ＝DB ，要用“SSS ”判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是AB ＝DC.4.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的示意图.请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是SSS.5.如图，点A ，C ，B ，D 在同一直线上，AC ＝BD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，试说明：AM∥CN.解：因为AC ＝BD ， 所以AB ＝CD. 在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，所以△ABM≌△CDN(SSS). 所以∠A ＝∠NCD.所以AM∥CN(同位角相等，两直线平行).6.如图，已知AD ＝BC ，BD ＝AC.试说明：∠ADB＝∠BCA.解：在△ADB 和△BC A 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，BD ＝AC ，AB ＝BA ，所以△ADB≌△BCA(SSS). 所以∠ADB＝∠BCA.7.下列图形中具有稳定性的是(C)A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形8.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是(D)A.两点之间线段最短B.直角三角形的两个锐角互余C.三角形三个内角的和等于180°D.三角形的稳定性9.如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的稳定性.10.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架(如图).要使这个木架不变形，他至少要再钉木条的数量为(B)A.0根B.1根C.2根D.3根11.如图，AB＝CD，AD＝CB，那么下列结论中错误的是(B)A.∠A＝∠CB.AB＝ADC.AD∥BCD.AB∥CD12.如图，∠AOB是任意一个角，在OA，OB边上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是SSS.(用字母表示即可)13.如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠C＝20°，∠A＝80°，则∠BDC＝120°.14.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)试问：△ABC与△ADC全等吗？请说明理由；(2)若AB＝5，求AD的长度.解：(1)△ABC≌△ADC.理由：根据作图可知：AB ＝AD ，BC ＝DC. 在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(SSS). (2)由(1)知AB ＝AD ， 又因为AB ＝5， 所以AD ＝5.15.如图，已知AD ＝BC ，OD ＝OC ，O 为AB 的中点，说出∠C＝∠D 的理由.解：因为O 为AB 中点， 所以OA ＝OB. 在△BOC 和△AOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，OC ＝OD ，OB ＝OA ，所以△BOC≌△AOD(SSS). 所以∠C＝∠D.16.如图所示，AB ＝CD ，BF ＝DE ，E ，F 是AC 上两点，且AE ＝CF.请你判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由.解：BF∥DE.理由： 因为AE ＝CF ， 所以AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即AF ＝CE.在△ABF 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，AF ＝CE ，所以△ABF≌△CDE(SSS). 所以∠AFB＝∠CED. 所以BF∥DE.17.如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，B ，D ，E 三点共线，说明∠3＝∠1＋∠2的理由.解：在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，所以△ABD≌△ACE(SSS). 所以∠BAD＝∠1，∠ABD ＝∠2.因为∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∠ADB ＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠BAD＋∠ABD＝∠1＋∠2.第2课时 角边角(ASA)与角角边(AAS)1.如图，AD 和BC 相交于O 点，已知OA ＝OC ，以“ASA ”为依据说明△AOB≌△COD 还需添加(B)A.AB ＝CDB.∠A ＝∠CC.OB ＝ODD.∠AOB ＝∠COD 2.如图，已知∠1＝∠2，DA 平分∠BDC，下列结论错误的是(C)A.AB ＝ACB.DB ＝DCC.AB ＝BDD.∠B ＝∠C3.小明给小红出了这样一道题：“如图，由AB ＝AC ，∠B ＝∠C，便可知道AD ＝AE”，这是根据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案，你认为小红的理由是ASA(或角边角).4.如图，∠ACB ＝90°，CD ＝BE ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，△ACD 与△CBE 全等吗？请说明理由.解：△ACD≌△CBE.理由如下： 因为∠ACB＝90°， 所以∠BCE＋∠ACD＝90°. 因为BE⊥CE ， 所以∠E＝90°. 所以∠B＋∠BCE＝90°. 所以∠B＝∠ACD.因为AD⊥CE，所以∠ADC＝90°. 所以∠E＝∠ADC. 在△ACD 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠E，CD ＝BE ，∠ACD ＝∠B，所以△ACD≌△CBE(ASA).5.如图，已知△ABC 三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC 全等的图形是(C)A.甲B.乙C.甲和乙D.都不是6.如图，点B ，E ，F ，C 在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B ＝∠C，要直接利用“AAS ”说明△ABF≌△DCE，可补充的条件是(D)A.∠AFB ＝∠DECB.AB ＝DEC.AB ＝DCD.AF ＝DE7.如图，已知∠B＝∠D，∠C ＝∠E，AC ＝AE ，则AB 与AD 相等吗？小强同学的思考过程如下，试在括号里填写相应理由.解：在△ABC 和△ADE 中，∠B ＝∠D，∠C ＝∠E，AC ＝AE(已知)， 所以△ABC≌△ADE(AAS).所以AB ＝AD(全等三角形的对应边相等).8.(2020·昆明)如图，AC 是∠BAE 的平分线，点D 是线段AC 上的一点，∠C ＝∠E，AB ＝AD.试说明：BC ＝DE.解：因为AC 是∠BAE 的平分线， 所以∠BAC＝∠DAE. 在△BAC 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC＝∠DAE，∠C ＝∠E，AB ＝AD ，所以△BAC≌△DAE(AAS). 所以BC ＝DE.9.如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB.若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是(B)A.0.5B.1C.1.5D.210.如图，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(C)A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去11.如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF 的是(A)A.∠A ＝∠DB.AC ＝DFC.AB ＝EDD.BF ＝EC12.如图，要量河两岸相对两点A ，B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的最佳依据是ASA.13.如图，已知△ABC≌△A 1B 1C 1，AD ，A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的高，则图中全等三角形共有3对.14.如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD＝∠ACE.试说明：BD ＝CE.解：因为AB⊥AC，AD ⊥AE ，所以∠BAE＋∠CAE＝90°，∠BAE ＋∠BAD＝90°. 所以∠CAE＝∠BAD . 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD＝∠CAE，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE， 所以△ABD≌△ACE(ASA). 所以BD ＝CE.15.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 点任作一直线PQ ，过点A 作AM⊥PQ 于点M ，过点B 作BN⊥PQ 于点N ，(1)如图1，当直线MN 在△ABC 的外部时，MN ，AM ，BN 有什么关系呢？为什么？(2)如图2，当直线MN 在△ABC 的内部时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN 与AM ，BN 之间的数量关系并说明理由.图1 图2解：(1)MN ＝AM ＋BN ，理由如下： 因为AM⊥PQ，BN ⊥PQ ， 所以∠AMC＝∠CNB＝90°. 所以∠MAC＋∠ACM＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠ACM＋∠NCB＝90°. 所以∠MAC＝∠NCB. 在△ACM 和△CBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AMC＝∠CNB，∠MAC ＝∠NCB，AC ＝CB ，所以△ACM≌△CBN(AAS). 所以AM ＝CN ，CM ＝BN. 所以MN ＝MC ＋CN ＝AM ＋BN.(2)(1)中的结论不成立，MN 与AM ，BN 之间的数量关系为MN ＝AM －BN.理由如下： 因为AM⊥PQ，BN ⊥PQ ， 所以∠AMC＝∠CNB＝90°. 所以∠MAC＋∠ACM＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠ACM＋∠NCB＝90°. 所以∠MAC＝∠NCB. 在△ACM 和△CBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AMC＝∠CNB，∠MAC ＝∠NCB，AC ＝CB ，所以△ACM≌△CBN(AAS).所以AM ＝CN ，CM ＝BN. 所以MN ＝CN － CM ＝AM －BN.第3课时 边角边(SAS)1.下列三角形中全等的两个是(A)A.①②B.②③C.③④D.①④2.在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1，AB ＝A 1B 1，再补充下列哪个条件可以根据“SAS ”判断△ABC 和△A 1B 1C 1全等(C) A.AB ＝A 1C 1 B.BC ＝B 1C 1 C.AC ＝A 1C 1 D.AC ＝B 1C 13.如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲说明△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A.∠B ＝∠CB.∠D ＝∠EC.∠1＝∠2D.∠CAD ＝∠2 4.如图，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC＝25°，∠D ＝80°，求∠BCA 的度数.解：在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(SAS). 所以∠D＝∠B＝80°.所以∠BCA＝180°－∠BAC－∠B＝75°.5.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是(C)A.∠A ＝∠DB.∠ACB ＝∠DBCC.AC ＝DBD.AB ＝DC6.如图，给出下列四个条件：AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF 的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组 7.如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF，AF ＝CE. (1)△ABE 与△CDF 全等吗？请说明理由； (2)写出图中其余两对全等的三角形.解：(1)△ABE≌△CDF. 理由：因为AB∥CD， 所以∠BAE＝∠DCF. 因为AF ＝CE ，所以AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF. 在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠DCF，∠ABE ＝∠CDF，AE ＝CF ，所以△ABE≌△CDF(AAS). (2)△ABC≌△CDA，△ADF ≌△CBE.8.如图，AD 平分∠BAC，BD ＝CD ，则∠B 与∠C 相等吗？为什么？解：相等.理由： 因为AD 平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD. 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，AD ＝AD ，∠BAD ＝∠C AD ， 所以△ABD≌△ACD. 所以∠B＝∠C.以上解答是否正确？若不正确，请说明理由.解：不正确.理由是：错用“SSA ”来证明两个三角形全等，∠BAD 不是BD 与AD 的夹角，∠CAD 也不是CD 与AD 的夹角.9.如图，已知AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是AB ＝AC 或∠ADC＝∠AEB 或∠B＝∠C .(不添加任何字母和辅助线)10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长是1.11.已知等边三角形的三条边，三个内角都相等.如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E ，F 分别在边BC ，CA ，AB 上，且AE ＝CD ＝BF ，则△DEF 的形状按边分类为等边三角形.12.如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使DE ＝AD ，连接CE. (1)试说明：△ABD≌△ECD；(2)若△ABD 的面积为5，求△ACE 的面积.解：(1)因为点D 是BC 的中点， 所以BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠ADB ＝∠EDC，AD ＝ED ，所以△ABD≌△ECD(SAS).(2)在△ABC 中，点D 是边BC 的中点， 所以S △ABD ＝S △ADC . 因为△ABD≌△ECD， 所以S △ABD ＝S △ECD . 又因为S △ABD ＝5，所以S △ACE ＝S △ACD ＋S △ECD ＝5＋5＝10. 所以△ACE 的面积为10.13.在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 上一点(不与B ，C 重合)，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE，使AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC，连接CE.(1)如图1，若∠BAC＝90°， ①试说明：△ABD≌△ACE； ②求∠BCE 的度数；(2)设∠BAC＝α，∠BCE ＝β.如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.图1 图2解：(1)①因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE －∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，所以△ABD≌△ACE(SAS). ②由①可得△ABD≌△ACE， 所以∠B＝∠ACE.所以∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB.所以∠BCE＝∠B＋∠ACB.因为∠B＋∠ACB＝180°－∠BAC＝90°， 所以∠BCE＝90°. (2)α＋β＝180°，理由： 因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠D AC ， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，所以△ABD≌△ACE(SAS). 所以∠B＝∠ACE.所以∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB. 所以∠B＋∠ACB＝β.因为α＋∠B＋∠ACB＝180°， 所以α＋β＝180°.小专题7 判定三角形全等的基本思路1.如图，已知AB ＝ED ，AD ＝EC ，点D 是BC 的中点，试说明：△ABD≌△EDC.解：因为点D 是BC 的中点， 所以BD ＝DC. 在△ABD 和△EDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，AD ＝EC ，BD ＝DC ，所以△ABD≌△EDC(SSS).2.如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝FD ，BC ＝DE ，AE ＝FC ，∠DEF 与∠BCA 相等吗？说明理由.解：∠DEF 与∠BCA 相等.理由：因为A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AE ＝FC ， 所以AE ＋EC ＝EC ＋FC ， 即AC ＝EF.在△ABC 和△FDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FD ，BC ＝DE ，AC ＝FE ，所以△ABC≌△FDE(SSS). 所以∠DEF＝∠BCA.3.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，试说明：△ACD≌△EBD.解：因为AD 是△ABC 的中线， 所以BD ＝CD. 在△ACD 和△EBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ，∠ADC ＝∠EDB，DA ＝DE ，所以△ACD≌△EBD(SAS).4.已知在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC.试说明：∠E＝∠C.解：因为∠BAE＝∠DAC，所以∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE， 即∠CAB＝∠EAD. 在△ADE 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠EAD ＝∠CAB，AE ＝AC ，所以△ADE≌△ABC(SAS). 所以∠E＝∠C.5.如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC 且OD ＝BC. (1)试说明：△AOD≌△OBC； (2)若∠ADO ＝35°，求∠DOC 的度数.解：(1)因为点O 是线段AB 的中点， 所以AO ＝BO. 因为OD∥BC， 所以∠AOD＝∠OBC. 在△AOD 和△OBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝OB ，∠AOD ＝∠OBC，OD ＝BC ，所以△AOD≌△OBC(SAS). (2)因为△AOD≌△OBC， 所以∠ADO＝∠OCB＝35°. 因为OD∥BC，所以∠DOC ＝∠OCB＝35°.6.如图，∠ABD ＝∠CDB，∠ADB ＝∠CBD，试说明：△ABD≌△CDB.解：在△ABD 和△CDB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD＝∠CDB，BD ＝DB ，∠ADB ＝∠CBD， 所以△ABD≌△CDB(ASA).7.如图，已知AB ，CD 交于点O ，E ，F 为AB 上的两点，OA ＝OB ，OE ＝OF ，∠A ＝∠B，∠ACE ＝∠BDF，试说明：△ACE≌△BDF.解：因为OA ＝OB ，OE ＝OF ， 所以AE ＝BF. 在△ACE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠ACE ＝∠BDF，AE ＝BF ，所以△ACE≌△BDF(AAS).8.如图，点C ，F 在线段BE 上，BF ＝EC ，∠1＝∠2，AC ＝DF ，试说明：△ABC≌△DEF.解：因为BF ＝EC ，所以BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，∠1＝∠2，BC ＝EF ，所以△ABC≌△DEF(SAS).9.如图，已知∠1＝∠2，∠B ＝∠D，试说明：CB ＝CD.解：因为∠1＝∠2， 所以∠ACB＝∠ACD. 在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠D，∠ACB ＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(AAS).所以CB ＝CD.10.如图，D 是AC 上一点，AB ＝DA ，DE ∥AB ，∠B ＝∠DAE，试说明：△ABC≌△DAE.解：因为DE∥AB， 所以∠CAB＝∠EDA. 在△ABC 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB＝∠EDA，AB ＝DA ，∠B ＝∠DAE，所以△ABC≌△DAE(ASA).11.如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠DAB ＝70°，∠E ＝40°. (1)求∠DAE 的度数；(2)若∠B＝30°，试说明：AD ＝BC.解：(1)因为AB∥DE，∠E ＝40°， 所以∠EAB＝∠E＝40°. 因为∠DAB＝70°，所以∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝30°. (2)在△ADE 和△BCA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE＝∠B，EA ＝AB ，∠E ＝∠BAC，所以△ADE≌△BCA(ASA). 所以AD ＝BC.12.如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE ，CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC，试说明：(1)△ADO≌△AEO； (2)△BDO≌△CEO.解：(1)因为AO 平分∠BAC， 所以∠DAO＝∠EAO. 因为∠BDC＝∠CEB＝90°， 所以∠ADO＝∠AEO＝90°. 在△ADO 和△AEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO＝∠AEO，∠DAO ＝∠EAO，AO ＝AO ，所以△ADO≌△AEO(AAS). (2)因为△ADO≌△AEO， 所以DO ＝EO. 在△BDO 和△CEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BDO＝∠CEO，DO ＝EO ，∠DOB ＝∠EOC， 所以△BDO≌△CEO(ASA).小专题8 全等三角形的基本模型1.如图，AB ∥DC ，AC ∥DE ，点C 为BE 的中点，试说明：AB ＝DC.解：因为AB∥DC，AC ∥DE ， 所以∠B＝∠DCE，∠ACB ＝∠E. 因为点C 为BE 的中点， 所以BC ＝CE. 在△ABC 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠DCE，BC ＝CE ，∠ACB ＝∠E，所以△ABC≌△DCE(ASA). 所以AB ＝DC.2.已知：如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD. (1)试说明：∠E＝∠F；(2)若∠A＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数.解：(1)因为EA∥FB， 所以∠A＝∠FBD. 因为AB ＝CD ， 所以AB ＋BC ＝CD ＋BC ， 即AC ＝BD.在△EAC 和△FBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝FB ，∠A ＝∠FBD，AC ＝BD ，所以△EAC≌△FBD(SAS). 所以∠E＝∠F. (2)因为△EAC≌△FBD， 所以∠ECA＝∠D＝80°. 因为∠A＝40°，所以∠E ＝180°－∠A－∠ECA＝60°.3.如图，点E ，C 在BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DF ，∠B ＝∠F，试说明：∠A＝∠D.解：因为BE ＝CF ，所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝FE. 在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠B ＝∠F，BC ＝FE ，所以△ABC≌△DFE(SAS). 所以∠A＝∠D.4.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE.试说明：BE ＝CD.解：在△AEB 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠A ＝∠A，AB ＝AC ，所以△AEB≌△ADC(SAS). 所以BE ＝CD.5.如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，AB ∥CD ，O 是BD 的中点. (1)说明：△ABO≌△CDO；(2)若BC ＝AC ＝4，BD ＝6，求△BOC 的周长.解：(1)因为AB∥CD，所以∠BAO＝∠DCO，∠ABO ＝∠CDO. 又因为O 是DB 的中点， 所以BO ＝DO. 在△ABO 和△CDO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAO＝∠DCO，∠ABO ＝∠CDO，BO ＝DO ，所以△ABO≌△CDO (AAS). (2)因为△ABO≌△CDO， 所以AO ＝CO ＝12AC ＝2.因为BO ＝12BD ＝3，所以△BOC 的周长为BC ＋BO ＋OC ＝4＋3＋2＝9.6.如图，AD ⊥AB 于点A ，BE ⊥AB 于点B ，点C 在AB 上，且CD⊥CE，CD ＝CE.试说明：AD ＝CB.解：因为AD⊥AB，BE ⊥AB ， 所以∠A＝∠B＝90°. 所以∠D＋∠ACD＝90°. 因为CD⊥CE，所以∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°. 所以∠D＝∠BCE. 在△ACD 和△BEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠D ＝∠BCE，CD ＝EC ，所以△ACD≌△BEC(AAS). 所以AD ＝CB.7.如图，已知点C 是线段AB 上一点，∠DCE ＝∠A＝∠B，CD ＝CE.试说明：AD ＝BC.解：因为∠A＝∠DCE，所以∠D＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCE. 所以∠D＝∠BCE. 在△ACD 和△BEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠D ＝∠BCE，CD ＝EC ，所以△ACD≌△BEC(AAS). 所以AD ＝BC.8.如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝DE ，∠A ＝∠D. (1)试说明：AC∥DE；(2)若BF ＝13，EC ＝5，求BC 的长.解：(1)在△ABC 和△DFE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠A ＝∠D，AC ＝DE ，所以△ABC≌△DFE (SAS). 所以∠ACB＝∠DEF. 所以AC∥DE.(2)因为△ABC≌△DFE， 所以BC ＝EF.所以BE ＝CF ＝12(BF －EC)＝4.所以BC ＝BE ＋EC ＝9.4 用尺规作三角形1.如图，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图在下面空格填上适当的文字或字母.(1)如图①，作∠MBN＝∠α；(2)如图②，在射线BM 上截取BC ＝a ，在射线BN 上截取BA ＝c ； (3)连接AC ，如图③，△ABC 就是所求作的三角形. 2.已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是(C) A.平分已知角 B.作已知直线的垂线C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段D.作已知直线的平行线3.已知三角形的两个角分别是∠α和∠β，这两角所夹的边等于a ，如图所示，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝a.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：所以△A BC 即为所求.4.已知三边作三角形，用到的基本作图方法是(C) A.作一个角等于已知角 B.平分一个已知角C.在射线上截取一条线段等于已知线段D.作一条直线的垂线5.已知线段a ，b ，c ，如图，求作△ABC，使AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：所以△ABC 即为所求.6.已知线段a ，b 和m ，求作△ABC，使BC ＝a ，AC ＝b ，BC 边上的中线AD ＝m ，作法：①延长CD 到B ，使BD ＝CD ；②连接AB ；③作△ADC，使DC ＝12a ，AC ＝b ，AD ＝m.合理的顺序依次为(A)A.③①②B.①②③C.②③①D.③②①7.如图，已知线段a ，b ，用尺规作△ABC，使AC ＝a ，AB ＝b ，BC ＝2b －a.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：所以△ABC 即为所求.。
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5.3.3 角平分线的性质
基础训练
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
2.作∠AOB的平分线时,以O为圆心,某一长度为半径作弧,与OA,OB分别相交于点C,D,然后分别以点C,D为圆心,适当的长度为半径作弧,使两弧相交于一点,则这个适当的长度为( )
A.大于CD
B.等于CD
C.小于CD
D.以上答案都不对
3.根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论: ,并说明理由.
4.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
5.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是点C,D,则下列结论错误的是( )
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
6.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为点A,B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.AB垂直平分OP
7.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB 垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8
B.6
C.4
D.2
8.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=50,DE=14,则△BCE的面积等于.
9.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则AD与DE的关系为( )
A.AD>DE
B.AD=DE
C.AD<DE
D.不确定
提升训练
10.如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H,再分别以点G,H为圆心,大于GH 的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.
(1)试说明:AB=AE;
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
11.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.
试说明:PM=PN.
12.如图,在四边形ABCD中,AC为∠B AD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
13.如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.试说明:∠BAP+∠BCP=180°.
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】A
3.解:OM平分∠BOA.
理由:如图,连接CM,DM,由作图的痕迹可知,OC=OD,CM=DM.
又因为OM=OM,
所以△COM≌△DOM.
所以∠COM=∠DOM.
所以OM平分∠BOA.
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
解:如图,过点P作PE⊥BC于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD.又因为AD=8,进而求出PE=4.
8.【答案】350
9.【答案】D
解:本题易出现错误的主要原因是误认为角平分线上的点与角两边上的任意一点连接的线段都相等,而忽略了“到角两边的距离”这一要求,即忽略DE与BC,AB与AD是否垂直.
10.解:(1)因为AD∥BC,
所以∠AEB=∠EBC.
根据题意可知BE是∠ABC的平分线,
所以∠EBC=∠ABE.
所以∠AEB=∠ABE.
所以AB=AE.
(2)由∠A=100°,∠ABE=∠AEB,得∠ABE=∠AEB=40°.由AD∥BC,得∠EBC=∠AEB=40°.
11.解:因为BD为∠ABC的平分线,
所以∠ABD=∠CBD.
又因为BA=BC,BD=BD,
所以△ABD≌△CBD(SAS).
所以∠ADB=∠CDB.
因为点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,所以PM=PN. 12.解:如图,作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,
因为AC为∠BAD的平分线,
所以CG=CH.
因为AB=AD,所以S△ABC=S△ACD.
又因为AE=DF,所以S△AEC=S△CDF.
因为S△BCE=S△ABC-S△AEC,S△ACF=S△ACD-S△CDF,
所以S△BCE=S△ACF.因为S四边形AECF=S△AEC+S△ACF,
所以S四边形AECF=S△AEC+S△BCE.
所以S四边形AECF=S△ABC.
所以四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
13.(方法一)过点P作PE⊥BA于点E,
如图①,
(第13题①)
因为PD⊥BC,∠1=∠2,所以PE=PD.
因为∠BEP=∠BDP=90°,BP=BP,∠1=∠2, 所以Rt△BPE≌Rt△BPD.
所以BE=BD.
因为AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,
所以AE=CD.
所以△PEA≌△PDC(SAS).
所以∠PAE=∠PCD.
因为∠BAP+∠EAP=180°,
所以∠BAP+∠BCP=180°.
(方法二)在BC上截取BF,使BF=BA,连接PF,如图②, 因为AB+BC=2BD,
所以BC-BD=BD-BF.
所以CD=FD.
又因为∠PDC=∠PDF=90°,PD=PD,
所以△PDC≌△PDF(SAS).
所以∠PCD=∠PFD.
在△BAP和△BFP中,
所以△BAP≌△BFP(SAS).
所以∠BAP=∠BFP.
因为∠BFP+∠PFC=180°,
所以∠BAP+∠PCB=180°.
(第13题②)
(第13题③)
(方法三)在BC上取点E,使DE=BD,连接PE,如图③. 因为PD⊥BD,所以∠BDP=∠EDP=90°.
又因为PD=PD,
所以△BDP≌△EDP(SAS).
所以BP=EP,∠2=∠PED.
又因为∠1=∠2,所以∠PEC=∠1.
因为AB+BC=2BD,DE=BD,
所以AB=CE.
又因为BP=EP,所以△ABP≌△CEP(SAS). 所以∠BAP=∠ECP.
又因为∠BCP+∠ECP=180°,
所以∠BAP+∠BCP=180°.。