湖南怀化2015年高三第一次模拟考试数学文试题 Word版含答案

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三第一次模考 文科数学命题人：湖天中学 周寒辉 审题人：丁立红、龚开玖、包小青、张理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 设集合}8,4,2,1{=M ，x x N |{=是2的倍数}，则N M 为 A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D.{1,2,8}2．下列命题中的假命题是A.0lg ,=∈∃x R xB. 2tan ,=∈∃x R xC.0,2≥∈∀x R x D. 02,22>∈∀+xx R x3. 在复平面内，复数201532i iZ +-=对应的点位于 A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限4. 已知回归直线a x b yˆˆˆ+=的a ˆ估计值为2.0，样本点的中心 为（4，5），则回归直线方程为 A. 2.02.1-=x y B. 2.02.1+=x y C. 2.12.0+=x yD. 2.02.0-=x y5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．已知在各项均为正数的等比数列{}n a 中，5321=a a a ,10987=a a a ，则654a a a 的值为A. 25B. 7C. 6D. 247．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若目标函数y ax z +-=取得最大值的最优解有无数多个，则实数a 的值为 A ．1-B ．2C ．1-或2D ．218．如图所示，在ABC ∆中， D 为AB 的中点，F 在线段CD 上， 设a AB =，b AC =， b y a x AF +=，则yx 21+的最小值为 A. 228+ B. 8 C. 6 D. 226+9．点P 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 与圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中1F 、2F 分别为1C 的左右焦点，则1C 的离心率为A.13+B.213+ C.215+ D.15- 10．函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足)1()1(-=+x f x f ，当]1,0[∈x 时，x x f 2)(=，若方程)0(0)(>=-+a x f a ax 恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.（12，1） B.[0，2] C .（1，2） D.[1，＋8）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 11.在极坐标系下，直线1cos =θρ与圆θρcos 2=相交的弦长为 . 12．已知 21tan =α，则)cos sin 3(log )cos 2(sin log 55αααα--+=_______． 13.在面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是__________． 14.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________． 15.己知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线03=-y x 平行，若数列})(1{n f 的前n 项和为n S ， 则2015S 的值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，sin cos c C c A =- （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，ABC ∆，求,b c .17．(本小题满分12分)某校高三年级文科学生500名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表： （Ⅰ）写出a 、b 的值；（Ⅱ）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数； （Ⅲ）该班为提高数学整体成绩，决定成立“二帮一”小组， 即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60） 中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为 145分，求甲乙在同一小组的概率．18．(本小题满分12分)如图１,直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠B A ，2==AB AD ，3=BC ，F E ,分别是BC AD ,上的两点，且1==BF AE ，G 为AB 中点,将四边形ABCD 沿EF 折起到（图2）所示的位置，使得GC EG⊥，连接AC BC AD 、、得（图2）所示六面体．（Ⅰ）求证：⊥EG 平面CFG ； （Ⅱ）求直线CD 与平面CFG 所 成的角的正弦值．19．(本小题满分13分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,0>n a 12,2242+==s s a ，数列{}n b 的前n项和为n T ，11=b ，点()n n T T ,1+在直线112x y n n -=+上.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项； （Ⅱ）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和为n B ，不等式221--≥n n m B 对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．20．(本小题满分13分)已知平面内一动点()y x P ，与两定点()()020221，，，F F -的距离之和等于32.（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与曲线C 相交于A 、B 两点，试判断是否存在k 值，使以AB 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值，若不存在说明理由.21. (本小题满分13分)已知函数1)1(ln )(-+-=x a x x f （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）当1<a 时，证明：对任意的),0(+∞∈x ，有)1(ln )(+--<x a xxx f .怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三一模 文科数学参考答案一、选择题：二、填空题：11、2； 12、1； 13、41； 14、340 ； 15、20162015.16解：（Ⅰ）由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin 0A C A C C --=………………… 2分由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=…………………… 4分 又0A π<<，故3A π=……………………………… 6分（Ⅱ）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==，故4bc = …………………8分而2222cos a b c bc A =+-，故228b c += ………………10分解得2b c == ……………………………… 12分17解：（Ⅰ）6， 0.04 …………………………… 2分（Ⅱ）成绩在120分以上的有6＋4＝10人…………………… 3分估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有：1005005010=⨯人………… 6分（Ⅲ）[45，60）内有2人，记为甲、A ．[135，150]内有4人，记为乙、B 、C 、D ．“二帮一”小组有6种分组办法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）、 （甲BC ，A 乙D ）、（甲BD ，A 乙C ）、（甲CD ，A 乙B ）………………………9分 其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）．所以甲、乙分到同一组的概率为2163==P ………………12分 18证明：（Ⅰ）F E ,分别是BC AD ,上的两点，且1==BF AE2为矩形，四边形==∴∴AB EF ABFE.2，易得1的中点为，,连接====∴GF EG BG AG AB G GE GF ︒=∠∴=+∴=902222EGF EF FG EG EF.GF EG ⊥∴…………………2分CFG GC G CG FG GC EG 平面,，又⊆=⊥ CFG GF 平面⊆CFG EG 平面⊥∴……………………… 6分（Ⅱ）法一：取CF 中点H ，连接EH ，GH. 121则==CF CH ∴=1ED CH=DF CH ∥DF 为平行四边形四边形DCHE ∴故有CD ∥HE 故HE 与平面CFG 所成的角即为CD 与平面CFG 所成的角CFG EG 平面因⊥ 所以为所求的角EHG ∠ ………………………9分5中，在22=+=∆FHEF EH EFH Rt2解得42中，在22===∆EG EF EHEGF Rt所以510==∠EHEGEHG sin 直线CD 与平面CFG 所成的角的正弦值为510……………… 12分法二：设D 到平面CGF 的距离为h,所求的角为α. 利用等体积法求D 到平面CGF 的距离CFG D CFD G V V --=由()ABFE CF E EF EG EF CF CF EG 平面故,,，又知1⊥=⊥⊥ CFED BF F EF CF BF EF BF CF 平面所以,又因为所以⊥=⊥⊥ 因AB ∥EF ，所以G 到平面CFED 的距离为BF.321222131213131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=∆-BF EF CF BF S V DCF CFD G ………………………… 9分2又有,得平面由22=+=⊥⊥BG BF GF FG CF ABFE CF 32222131213131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=∆-h H FG CF h S V GFC GFC D 解得2=h ，5，为易得,连,中点取22=+=∆∆DH CHCD Rt DHC DH H CF510==CD h αsin ,直线CD 与平面CFG 所成的角的正弦值为510. 19解：（Ⅰ）由1224+=s s 得12-2224324=+=+=q a q a a a s s ，又,22=a 06-q 2=+q 解得：q = 2或q = -3（舍）故12-=n n a …………3分因点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+， 故n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111T =为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n T n n =+-，则(1)2n n n T +=…………………5分2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n n b T T n -+-=-=-=，11b =满足该式，故n b n = ……………… 6分（Ⅱ）12223221-++++=n n nB ，则n n n B 22322212132++++= 两式相减得nn n n n n B 2222212121211211132+-=-+++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 所以1224-+-=n n n B ………………10分不等式221--≥n n m B 对于*n ∈N 恒成立 即2121224---≥+-n n m n 则m n n ≥--124对于*n ∈N 恒成立那么m 的最大值即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12-4n n 的最小值………………1１分 由nn n n n n 212-42141-=-+--）（知 当n=1或2时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12-4n n 的最小值为3， 所以实数m 的最大值为3 ………………13分20解：（Ⅰ）由椭圆定义知P 的轨迹为：以21，F F 为焦点的椭圆 …………… 2分易知2=c ， 32221=+=PF PF a 3=⇒a …………… ３分122=-=∴c a b …………… ４分∴ 动点P 的轨迹方程为C ：1322=+y x ………………………5分（Ⅱ）假设存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y 得()09123122=+++kx x k∴()()03136-12k 22>+=∆k ①……………… 6分设()11,y x A ，()22,y x B ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+2212213193112k x x k k x x ②…………… ８分 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ………………９分 要使以AB 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当BE AE ⊥时，则11.12211-=++x yx y ， 即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ③ 将②式代入③整理得：()()0531*******1222=++-++++k kk kk解得67=k 经验证67=k 使①成立综上可知，存在67=k ，使得以AB 为直径的圆过点E ……………… 13分21解：（Ⅰ）由题知)0()1(1)1(1)(/>+-=+-=x xxa a x x f ……… １分 （1）当1-≤a 时，0)('>x f 恒成立，所以)(x f 在），（∞+0上单调递增……… ３分 （2）当1->a 时，由0)('>x f 得)11,0(+∈a x ， 由0)('<x f 得),11(+∞+∈a x 即)(x f 在），（110+a 上递增； 在上),11(+∞+a 上递减……… ５分综上所述：当1-≤a 时，)(x f 在），（∞+0上递增； 当1->a 时，)(x f 在)11,0(+∈a x 上递增，在),11(+∞+∈a x 上递减……… 6分 （Ⅱ）当1<a 时，要证)1(ln )(+--<x a xxx f 在），（∞+0上恒成立 只需证)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立 令a x x x g x x x F -+--=-=1ln )(,ln ）（，因为xxx x F -=-=111)(' 易得)(x F 在)1,0(上递增，在),1(∞+上递减，故1)1()(-=≤F x F …………8分 由a x x x g -+-=1ln )(得)0(1ln ln 1)(2'>-=--=x xx x x x g 当e x <<0时，0)('<x g ； 当e x >时，0)('>x g .所以)(x g 在),0(e 上递减，在),(+∞e 上递增.所以a e e g x g -+-=≥11)()( ………………………… 10分 又1<a ，1111->->-+-∴e a e ，即min max )()(x g x F <所以)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立 故当1<a 时，对任意的），（∞+∈0x ，)1(ln )(+--<x a xxx f 恒成立………13分。