高考数学大一轮复习 第十一章 第1节 合情推理与演绎推理学案 文 新人教A版
高考数学(文)新创一轮(实用课件)人教A版:第十一章第1节合情推理与演绎推理
考点一 归纳推理
归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项 与项数的关系,列出即可. (4)与图形变化有关的推理. 合理利用特殊图形归纳推理得出结论, 并用赋值检验法验证 其真伪性.
2
六边形数 ……
N(n,6)=2n2-n
可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24) =____________.
统一形式以便寻找规律
n2+n 1 2 1 解析 (2)三角形数 N(n,3)= n + n= , 2 2 2 2 2 n -0· n 2 正方形数 N(n,4)=n = , 2
考点一 归纳推理
[训练 1] (1)(2018· 郑州一模)古希腊人常用小 石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如: 他们研究过图中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为 三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{an},那么 a10 的值 为(
解析
)
A.45 B.55 C.65 D.66
n
解析 (1)由题意,如果 2 -1 是质数,
若 2n-1(2n-1)=8 128,解得 n=7,
则 2n-1(2n-1)是完全数,
所以 8 128 可表示为
26(27-1)=26+27+…+212.
例如:6=21+22=21(22-1),28=22+23+ 24=22(23-1),…;
考点一 归纳推理
等差数列. 类比这一性质可知, 若正项数列{cn}是等比数列, 且{dn}也是等比数列, 则 dn 的表达式应为( C . d n= c1+c2+…+cn )A.dn= n n c1· c2·…·cn B.dn= n
高考数学一轮复习 11.1 合情推理与演绎推理课件 文 新人教A版
高考第一轮复习用书·数学(文科)
第十一章 11.1合情推理与演绎推理
【解析】若点P是正三角形ABC的边BC上一点,且P到另两 边的距离分别为h1,h2,正三角形ABC的高为h,由面积相等很 快可以得到h=h1+h2.由平面对应空间,正三角形对应正四面 体,边对应面,类比可得.
【答案】B
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第十一章 11.1合情推理与演绎推理
3.下列是用类比法进行猜测的几个结论:
①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;
②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;
③由“a b =a (a>0,b>0,c>0)”类比得到lg(“ab) lg a= (a>0,b>0,c
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第十一章 11.1合情推理与演绎推理
【解析】∵a1=1,a2=5,an+2=f(an),n∈N+,
∴a3=f(a1)=f(1)=3,a4=f(a2)=f(5)=1,a5=f(a3)=f(3)=5,a6=f(a4)=f(1) =3,…, 由此可知数列{an}是以3为周期的数列, ∴a2013=a671×3=a3=3. 【答案】3 【点评】由题设条件归纳出an值的周期性是解决本题的关 键所在.
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第十一章 11.1合情推理与演绎推理
第十一章 推理证明、算法初步、复数
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第十一章 11.1合情推理与演绎推理
§11.1 合情推理与演绎推理
知识诠释 思维发散
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高三数学一轮复习教案全套 人教A版合情推理与演绎推理
高三一轮复习6.5合情推理与演绎推理
【教学目标】
1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段
论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.
【重点难点】
1.教学重点了解合情推理和演绎推理,掌握演绎推理的“三段论”;
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
有a-b
a r-
b r
≥
s
r⎝
⎛
⎭
⎫
a+b
2
s
r⎝
⎛
⎭
⎫
a+b
2
=
x
x+2
(
=
x
x+2
,
=
x
3x+4
,
=
x
7x+8
,
=
x
15x+16
,
=
x
x+2
(=
x
x+2
,f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4
=
x
2-x+22,
f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8
=
x
3-x+23,
f4(x)=f(f3(x))=
x
15x+16
=
x
4-x+24,
x
n-x+2n.【答案】n-x+2n
0123问数字100所代表的图形中小方格的个数为
________.。
高中数学《2.1合情推理与演绎推理(一)》教案 文 新人教A版选修1-2
湖南省蓝山二中2014年高中数学《2.1合情推理与演绎推理(一)》教案文新人教A版选修1-2教学任务分析:课文以提出哥德巴赫猜想的思维过程为背景,从中概括出归纳推理,然后借助例题说明应用归纳推理的一般步骤以及归纳推理的作用,使学生对归纳推理有一个比较完整的认识.教学重点:了解归纳推理的含义以及思维过程、特点.教学难点:应用归纳进行简单推理,做出猜想.教学过程哥德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.归纳推理这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.例1 观察右图可以发现:1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,……由上述具体事实能得出怎样的结论?例2 已知数列{an }的第1项a 1=1,且nn n a a a +=+11 (n =1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.在例1和例2中,我们通过归纳得到了两个猜想.虽然它们是否正确还有待严格的证明,但猜想可以为我们的研究提供一种方向.课堂练习1. 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数,则f (3)=10__________,f (n )=6)2)(1(++n n n 2. 对于任意正整数n ,猜想2n -1与(n +1)2的大小关系.3. 设凸k 边形的内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+___B_______. ππππ2 D. 23 C. B. 2 A. 4. 定义A *B ,B *C ,C *D ,D *B 分别对应下列图形.那么下列图形中可以表示A *D ,A *C 的分别是( C )A.(1),(2)B.(2),(3)C.(2),(4)D.(1),(4).333*)(222111.52个的值猜想n n n N n =∈-6. 一个正整数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍.如图,则第6行中的第三个数是32216=+-_.. 22)(2127)32(3)16(25)8(2)4(23)2(*)(131211)(.7+≥≥>>>>=∈++++=n f n f f f f f N n n n f n 时,有,推测当,,,,,经计算得:..3251111121611119111.821中有怎样的不等式成立边形猜想在成立中,不等式成立;在五边形中,不等式成立,在四边形中,不等式在n A A A n E DC B A ABCDED C B A ABCD C B A ABC πππ≥++++≥+++≥++∆ 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.课后作业《习案》作业(七).1112;16--=≥==n n n S S a n S a n 时,时,题提示:第。
【数学】2019届一轮复习人教A版合情推理与演绎推理(1)学案(1)
11.3合情推理与演绎推理[知识梳理]1.推理(1)定义:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理.(2)分类:推理一般分为合情推理与演绎推理.2.合情推理(1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理叫做合情推理.(2)分类:数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理.(3)归纳和类比推理的定义、特征3.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.[诊断自测]1.概念思辨(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.教材衍化(1)(选修A2-2P75例题)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10为() A.28 B.76 C.123 D.199答案C解析记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f (8)=f (6)+f (7)=47;f (9)=f (7)+f (8)=76;f (10)=f (8)+f (9)=123.所以a 10+b 10=123.故选C.(2)(选修A2-2P 84A 组T 5)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,________,________,T 16T 12成等比数列.答案 T 8T 4 T 12T 8解析 设等比数列{b n }的公比为q ,首项为b 1,则T 4=b 41q 6,T 8=b 81q 1+2+…+7=b 81q 28,T 12=b 121q 1+2+…+11=b 121q 66,∴T 8T 4=b 41q 22,T 12T 8=b 41q 38, 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42=T 12T 8·T 4,故T 4,T 8T 4,T 12T 8成等比数列. 故答案为T 8T 4,T 12T 8. 3.小题热身(1)(2018·厦门模拟)已知圆:x 2+y 2=r 2上任意一点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.类比以上结论,有双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任意一点(x 0,y 0)处的切线方程为________.答案 x 0x a 2-y 0y b 2=1解析 设圆上任一点为(x 0,y 0),把圆的方程中的x 2,y 2替换为x 0x ,y 0y ,则得到圆的切线方程;类比这种方式,设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任一点为(x 0,y 0),则切线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1(这个结论是正确的,证明略).(2)(2015·陕西高考)观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16……据此规律,第n 个等式可为________.答案 1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n +1+1n +2+…+12n 解析 观察已知等式可知,第n 个等式左边共有2n 项,其中奇数项为12n -1,偶数项为-12n ,等式右边共有n 项,为等式左边后n 项的绝对值之和,所以第n 个等式为1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n +1+1n +2+…+12n .题型1 类比推理典例 已知P (x 0,y 0)是抛物线y 2=2px (p >0)上的一点,过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y 2=2px 两边同时对x 求导,得2yy ′=2p ,则y ′=p y ,所以过点P 的切线的斜率k =p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2-y 22=1在P (2,2)处的切线方程为________.注意题意要求,类比上述方法求切线.答案 2x -y -2=0解析 将双曲线方程化为y 2=2(x 2-1),类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′=4x ,则y ′=2x y ,即过点P 的切线的斜率k =2x 0y 0,由于P (2,2),故切线斜率k =222=2,因此切线方程为y -2=2(x -2),整理得2x -y -2=0.方法技巧1.类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几个方面考虑类比: ①类比定义:如等差、等比数列的定义;②类比性质:如椭圆、双曲线的性质;③类比方法:如基本不等式与柯西不等式;④类比结构:如三角形内切圆与三棱锥内切球.(2)四个原则①长度类比面积;②面积类比体积;③平面类比空间;④和类比积,差类比商.见典例.2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).3.常见类比推理题型的求解策略在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.冲关针对训练(2017·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为________.答案 465解析 类比求36的所有正约数之和的方法,200的所有正约数之和可按如下方法求得,因为200=23×52,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+52)=465.题型2 归纳推理角度1 与数字有关的归纳推理典例 (2018·石家庄模拟)如图所示的数阵中,用A (m ,n )表示第m 行的第n 个数,则依此规律A (15,2)为( )1316 16110 13 110115 1330 1330 115121 12 1315 12 121……A.2942B.710C.1724D.73102答案 C解析 观察题中所给的数阵,可以看出从第三行开始,每行第二个数等于它肩上的两个数的和,所以A (15,2)=16+16+110+115+121+…+1120=16+2×( 112+120+130+142+…+1240 )=16+2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×4+14×5+15×6+16×7+…+115×16 =16+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13-14+14-15+15-16+…+115-116 =16+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13-116=1724.故选C. 角度2 与式子有关的归纳推理典例 (2016·山东高考)观察下列等式:⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2+⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2=43×1×2; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2+⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2=43×2×3; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2+…+⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2 =43×3×4;⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2+…+⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2 =43×4×5;……照此规律,⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n +1-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n +1-2=________.分析等式右边的结构规律.答案 4n (n +1)3解析 观察前4个等式,由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n +1-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n +1-2=43×n ×(n +1)=4n (n +1)3. 角度3 与图形有关的归纳推理典例 如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18个火柴,……,则第2018个图形用的火柴根数为( )A .2016×2019B .2017×2018C .2017×2019D .3027×2019答案 D解析 由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×1;第2个图形需要火柴的根数为3×(1+2);第3个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3);……由此,可以推出,第n 个图形需要火柴的根数为3×(1+2+3+…+n ).所以第2018个图形所需火柴的根数为3×(1+2+3+…+2018)=3×2018×(1+2018)2=3027×2019,故选D. 方法技巧归纳推理问题的常见类型及解题策略1.与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.见角度1典例.2.与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.(2)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.见角度2典例.3.与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.见角度3典例.冲关针对训练某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n级分形图,n级分形图中共有________条线段.答案3×2n-3解析分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3=(3×2-3)条线段,二级分形图有9=(3×22-3)条线段,三级分形图中有21=(3×23-3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条数a n=3×2n-3.题型3演绎推理典例 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2n S n (n∈N *).证明:(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列; (2)S n +1=4a n .证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列,将已知a n +1=n +2n S n 中的a n +1用S n +1-S n 表示.证明 (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=n +2n S n ,∴(n +2)S n =n (S n +1-S n ),即nS n +1=2(n +1)S n .∴S n +1n +1=2·S n n ,又S 11=1≠0,(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n +1n +1=4·S n -1n -1(n ≥2), ∴S n +1=4(n +1)·S n -1n -1=4·n -1+2n -1·S n -1 =4a n (n ≥2),(小前提)又a 2=3S 1=3,S 2=a 1+a 2=1+3=4=4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n +1=4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 方法技巧三段论的应用1.三段论推理的依据是:如果集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的子集,那么S 中所有元素都具有性质P .2.应用三段论的注意点:解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.提醒:合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.冲关针对训练(2017·厦门模拟)设f (x )=3ax 2+2bx +c ,若a +b +c =0,f (0)>0,f (1)>0,证明:(1)a >0且-2<b a <-1;(2)方程f (x )=0在(0,1)内有两个实根.证明 (1)因为f (0)>0,f (1)>0,所以c >0,3a +2b +c >0.由a +b +c =0,消去b 得a >c >0;再由条件a +b +c =0,消去c 得a +b <0且2a +b >0,所以-2<b a<-1.(2)因为抛物线f (x )=3ax 2+2bx +c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 3a ,3ac -b 23a , 又因为-2<b a <-1,所以13<-b 3a <23.因为f (0)>0,f (1)>0,而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 3a =3ac -b 23a =-a 2+c 2-ac 3a =-⎝⎛⎭⎪⎫a -c 22+3c 243a <0,所以方程f (x )=0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 3a ,1内分别有一个实根,故方程f (x )=0在(0,1)内有两个实根.1.(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀,1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.2.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则() A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解析解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C 错误.故选B.解法二:设袋中共有2n 个球,最终放入甲盒中k 个红球,放入乙盒中s 个红球.依题意知,甲盒中有(n -k )个黑球,乙盒中共有k 个球,其中红球有s 个,黑球有(k -s )个,丙盒中共有(n -k )个球,其中红球有(n -k -s )个,黑球有(n -k )-(n -k -s )=s 个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.3.(2017·石家庄模拟)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3163V ,人们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.14159…判断,下列近似公式中最精确的一个是( )A .d ≈36031VB .d ≈32VC .d ≈3158VD .d ≈32111V答案 D解析 由V =4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23,解得d =36V π, 选项A 代入得π=31×660=3.1;选项B 代入得π=62=3;选项C 代入得π=6×815=3.2;选项D 代入得π=11×621=3.142857.由于D 的值最接近π的真实值.故选D.4.(2017·湖北七市联考)观察下列等式1+2+3+…+n =12n (n +1);1+3+6+…+12n (n +1)=16n (n +1)(n +2);1+4+10+…+16n (n +1)(n +2)=124n (n +1)(n +2)(n +3).可以推测,1+5+15+…+124n (n +1)(n +2)(n +3)=________________________.答案 1120n (n +1)(n +2)(n +3)(n +4)解析 观察所给等式的左侧和右侧并归纳推理,等式右边的因式应为n (n +1)(n +2)(n +3)(n +4),系数为15×24=1120.可以得到答案.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1.(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4号或5号选手得第一名;观众乙猜测:3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( )A .甲B .乙C .丙D .丁答案 D解析 若甲猜测正确,则4号或5号得第一名,那么乙猜测也正确,与题意不符,故甲猜测错误,即4号和5号均不是第一名.若丙猜测正确,那么乙猜测也正确,与题意不符,故丙猜测错误,即1,2,6号均不是第1名,故3号是第1名,则乙猜测错误,丁猜测正确.故选D.2.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 2016=( )A .3B .-3C .6D .-6答案 B解析 ∵a 1=3,a 2=6,∴a 3=3,a 4=-3,a 5=-6,a 6=-3,a 7=3,…,∴{a n }是以6为周期的周期数列.又2016=6×335+6,∴a 2016=a 6=-3.故选B.3.已知x ∈(0,+∞),观察下列各式:x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥3,x +27x 3=x 3+x 3+x 3+27x 3≥4,…,类比有x +a x n ≥n +1(n ∈N *),则a =( )A .nB .2nC .n 2D .n n答案 D解析 第一个式子是n =1的情况,此时a =1,第二个式子是n =2的情况,此时a =4,第三个式子是n =3的情况,此时a =33,归纳可以知道a =n n .故选D.4.已知a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ,把数列{a n }的各项排成如下的三角形: a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ,t )表示第s 行的第t 个数,则A (11,12)=( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5,…,那么第10行的最后一个数为a 100,第11行的第12个数为a 112,即A (11,12)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D.5.(2017·阳山一模)下面使用类比推理恰当的是( )A .“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0,则a =b ”B .“若(a +b )c =ac +bc ”类推出“(a ·b )c =ac ·bc ”C .“(a +b )c =ac +bc ”类推出“a +b c =a c +b c (c ≠0)”D .“(ab )n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ”答案 C解析 对于A ,“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0,则a =b ”是错误的,因为0乘任何数都等于0;对于B ,“若(a +b )c =ac +bc ”类推出“(a ·b )c =ac ·bc ”,类推的结果不符合乘法的运算性质,故错误;对于C ,将乘法类推除法,即由“(a +b )c =ac +bc ”类推出“a +b c =a c +b c ”是正确的;对于D ,“(ab )n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ”是错误的,如(1+1)2=12+12.故选C.6.(2017·河北冀州中学期末)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项,如下表所示:按如此规律下去,则a 2017=( )A .502B .503C .504D .505答案 D解析 由a 1,a 3,a 5,a 7,…组成的数列恰好对应数列{x n },即x n =a 2n -1,当n 为奇数时,x n =n +12.所以a 2017=x 1009=505.故选D.7.(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在 2+2+2+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x ,这可以通过方程2+x =x 确定x =2,则1+11+11+…=( ) A.-5-12B.5-12C.1+52D.1-52 答案 C解析 1+11+11+…=x ,即1+1x =x ,即x 2-x -1=0,解得x =1+52⎝ ⎛⎭⎪⎫x =1-52舍,故1+11+11+…=1+52,故选C.8.(2017·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2S a +b +c,类比这个结论可知,四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为R ,四面体S -ABC 的体积为V ,则R 等于( )A.V S 1+S 2+S 3+S 4B.2V S 1+S 2+S 3+S 4C.3V S 1+S 2+S 3+S 4D.4V S 1+S 2+S 3+S 4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,则四面体的体积为V=V四面体S-ABC=13(S1+S2+S3+S4)R,所以R=3VS1+S2+S3+S4.故选C.9.(2018·鹰潭模拟)[x]表示不超过x的最大整数,例如:[π]=3.S1=[1]+[2]+[3]=3S2=[4]+[5]+[6]+[7]+[8]=10S3=[9]+[10]+[11]+[12]+[13]+[14]+[15]=21,…,依此规律,那么S10等于()A.210 B.230 C.220 D.240答案A解析∵[x]表示不超过x的最大整数,∴S1=[1]+[2]+[3]=1×3=3,S2=[4]+[5]+[6]+[7]+[8]=2×5=10,S3=[9]+[10]+[11]+[12]+[13]+[14]+[15]=3×7=21,……,S n =[n 2]+[n 2+1]+[n 2+2]+…+[n 2+2n -1]+[n 2+2n ]=n ×(2n +1),∴S 10=10×21=210.故选A.10.(2017·龙泉驿区模拟)对于问题:“已知两个正数x ,y 满足x+y =2,求1x +4y 的最小值”,给出如下一种解法:∵x +y =2,∴1x +4y =12(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =12⎝⎛⎭⎪⎫5+y x +4x y , ∵x >0,y >0,∴y x +4x y ≥2y x ·4x y =4,∴1x +4y ≥12(5+4)=92, 当且仅当⎩⎨⎧ y x =4x y,x +y =2,即⎩⎪⎨⎪⎧ x =23,y =43时,1x +4y 取最小值92.参考上述解法,已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,则1A +9B +C的最小值为( )A.16πB.8πC.4πD.2π答案 A解析 A +B +C =π,设A =α,B +C =β,则α+β=π,α+βπ=1,参考题干中解法,则1A +9B +C =1α+9β=⎝ ⎛⎭⎪⎫1α+9β·(α+β)1π=1π⎝⎛⎭⎪⎫10+βα+9αβ≥1π(10+6)=16π,当且仅当βα=9αβ,即3α=β时等号成立.故选A.二、填空题11.(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i =1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是________;(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p 1,p 2,p 3中最大的是________.答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1,yA 1),B 1(xB 1,yB 1),线段A 1B 1的中点为E 1(x 1,y 1),则Q 1=yA 1+yB 1=2y 1.因此,要比较Q 1,Q 2,Q 3的大小,只需比较线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3中点纵坐标的大小,作图比较知Q 1最大.又p 1=yA 1+yB 1xA 1+xB 1=2y 12x 1=y 1x 1=y 1-0x 1-0,其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率,因此,要比较p 1,p 2,p 3的大小,只需比较线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率,作图比较知p 2最大.12.(2018·湖北八校联考)二维空间中,圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =43πr 3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V =8πr 3,则其四维测度W =________.答案 2πr 4解析 在二维空间中,圆的二维测度(面积)S =πr 2,则其导数S ′=2πr ,即为圆的一维测度(周长)l =2πr ;在三维空间中,球的三维测度(体积)V =43πr 3,则其导数V ′=4πr 2,即为球的二维测度(表面积)S=4πr 2;应用合情推理,在四维空间中,“超球”的三维测度V =8πr 3,则其四维测度W =2πr 4.13.(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一.并五关所税,适重一斤.问本持金几何?”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金12,第2关收税金为剩余的13,第3关收税金为剩余的14,第4关收税金为剩余的15,第5关收税金为剩余的16,5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少?”若将“5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少?”改成“假设这个人原本持金为x ,按此规律通过第8关”,则第8关所收税金为________x .答案 172解析 第1关收税金:12x ;第2关收税金:13⎝⎛⎭⎪⎫1-12x =x 6=x 2×3; 第3关收税金:14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12-16x =x 12=x 3×4; ……第8关收税金:x 8×9=x 72. 14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n },将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测:(1)b 2016是数列{a n }中的第________项;(2)b 2k -1=________(用k 表示).答案 (1)5040 (2)5k (5k -1)2解析 观察知这些三角形数满足a n =n (n +1)2,n ∈N *,当n =5k-1或n =5k ,k ∈N *时,对应的三角形数是5的倍数,为数列{b n }中的项,将5k -1和5k 列为一组,所以b 2016是第1008组的后面一项,即b 2016是数列{a n }中的第5×1008=5040项;b 2k -1是第k 组的前面一项,是数列{a n }中的第5k -1项,即b 2k -1=a 5k -1=5k (5k -1)2. 三、解答题15.(2017·未央区期中)阅读以下求1+2+3+…+n 的值的过程: 因为(n +1)2-n 2=2n +1,n 2-(n -1)2=2(n -1)+1…22-12=2×1+1以上各式相加得(n +1)2-1=2×(1+2+3+…+n )+n所以1+2+3+…+n =n 2+2n -n 2=n (n +1)2. 类比上述过程,求12+22+32+…+n 2的值.解 ∵23-13=3·22-3·2+1,33-23=3·32-3·3+1,…,n 3-(n -1)3=3n 2-3n +1,把这n -1个等式相加得n 3-1=3·(22+32+…+n 2)-3·(2+3+…+n )+(n -1),由此得n 3-1=3·(12+22+32+…+n 2)-3·(1+2+3+…+n )+(n -1),即12+22+…+n 2=13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3-1+32n (n +1)-(n -1). 16.(2018·南阳模拟)我们知道,等差数列和等比数列有许多性质可以类比,现在给出一个命题:若数列{a n }、{b n }是两个等差数列,它们的前n 项的和分别是S n ,T n ,则a n b n=S 2n -1T 2n -1. (1)请你证明上述命题;(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列,类比上述结论,提出正确的猜想,并加以证明.解 (1)证明:在等差数列{a n }中,a n =a 1+a 2n -12(n ∈N *),那么对于等差数列{a n }、{b n }有:a nb n =12(a 1+a 2n -1)12(b 1+b 2n -1)=12(a 1+a 2n -1)(2n -1)12(b 1+b 2n -1)(2n -1)=S 2n -1T 2n -1. (2)猜想:数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列,它们的前n 项的积分别是X n ,Y n ,则⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n -1=X 2n -1Y 2n -1. 证明:在等比数列{a n }中,a 2n =a 1a 2n -1=a 2a 2n -2=…(n ∈N *),(a n )2n -1=a 1a 2a 3…a 2n -1(n ∈N *),那么对于等比数列{a n }、{b n }有⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n -1=a 1a 2a 3…a 2n -1b 1b 2b 3…b 2n -1=X 2n -1Y 2n -1.。
高考数学总复习 第十一章11.3 合情推理与演绎推理教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.3 合情推理与演绎推理考纲要求1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理主要包括__________和__________.合情推理的过程:(1)归纳推理:由某类事物的________具有某些特征,推出该类事物的__________都具有这些特征的推理,或者由________概括出__________的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的基本模式:__________________,结论:∀d∈M,d也具有某属性.(2)类比推理:由________具有某些类似特征和其中________的某些已知特征,推出________也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比),简言之,类比推理是由______到______的推理.类比推理的基本模式:A具有属性a,b,c,d;B______________;结论:B具有属性d′.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′分别相似或相同)2.演绎推理:从______的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由______到______的推理.(1)三段论是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(2)“三段论”可以表示为①大前提:M是P.②小前提:S是M.③结论:S是P.用集合说明:即若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.基础自测1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电,所以一切金属都导电”.此推理方法是( ).A.演绎推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.以上均不对2.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是( ).A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( ).A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为__________.思维拓展合情推理与演绎推理有什么联系与差异?提示:总体来说,从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的角度考虑,它们又是紧密联系、相辅相成的.合情推理得到的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的思路一般是通过合情推理获得的.一、归纳推理【例1】观察:①sin 210°+cos 240°+sin 10°cos 40°=34;②sin 26°+cos 236°+sin 6°cos 36°=34.由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.方法提炼1.归纳推理的特点:(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;(2)归纳的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是或然的.所以“前提真而结论假”的情况是可能发生的;(3)人们在进行归纳推理时,总是先收集一定的事实材料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行;(4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是做出科学发现的重要手段.2.归纳推理的一般步骤:首先,对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;然后,在此基础上提出带有规律性的结论,即猜想;最后,检验这个猜想.请做[针对训练]2二、类比推理【例2-1】在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB =AC BC,把这个结论类比到空间:在三棱锥A -BCD 中(如图所示),平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 相交于点E ,则得到的类比的结论是__________.【例2-2】在△ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC 于点D .求证:1AD 2=1AB2+1AC2.那么在四面体ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.方法提炼1.类比推理的特点:(1)类比推理是由特殊到特殊的推理;(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠;(3)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能;(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.2.类比推理的步骤:首先,找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;然后,用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而获得一个猜想;最后,检验这个猜想.类比是科学研究最普遍的方法之一.在数学中,类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段,也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.类比在数学中应用广泛,数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论,都是先用类比法猜想,而后加以证明的.请做[针对训练]3三、演绎推理【例3】如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F 分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1,CD=DD1=1,AB=2,BC=3.(1)证明:无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形;(2)当EC=1时,求几何体A-EFD1D的体积.方法提炼1.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.2.演绎推理的一般模式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示:如果b⇒c,a⇒b,则a⇒c.3.演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的.错误的前提可能导致错误的结论.三段论推理也可用集合论的观点来解释:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素也都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.请做[针对训练]4考情分析从近几年的高考试题来看,合情推理、演绎推理等问题都是高考的热点,归纳、类比推理大多数出现在填空题中,为中低档题,突出了“小而巧”,主要考查类比、归纳推理能力.在数学证明中,合情推理只能为我们证明问题提供思路和方向,通常由已知条件归纳出一个结论,或运用类比的形式给出某个结论,再运用演绎推理进行证明.针对训练1.(2011陕西高考,理13)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律,第n个等式为__________.2.(2011山东高考,理15)设函数f(x)=xx+2(x>0),观察:f1(x)=f(x)=xx+2,f2(x)=f(f1(x))=x3x+4,f3(x)=f(f2(x))=x7x+8,f4(x)=f(f3(x))=x15x+16,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=__________.3.设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为a i(i=1,2,3,4),P是该四边形内任意一点,P 点到第i 条边的距离记为h i ,若a 11=a 22=a 33=a 44=k ,则 i =14(ih i )=2Sk .类比上述结论,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i =1,2,3,4),Q 是该三棱锥内的任意一点,Q 点到第i 个面的距离记为H i ,则相应的正确命题是:若S 11=S 22=S 33=S 44=k ,则__________.4.已知函数f (x )=ax +1x +2在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数a 的取值范围.参考答案基础梳理自测 知识梳理1.归纳推理 类比推理 (1)部分对象全部对象 个别事实 一般结论 a ,b ,c ∈M 且a ,b ,c 具有某种属性 (2)两类对象 一类对象 另一类对象 特殊 特殊 具有属性a ′,b ′,c ′ 2.一般性 一般 特殊 基础自测1.B 解析:由个别到一般的推理叫归纳推理.2.A 解析:由图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为5的三白二黑的圆列,因为36÷5=7余1,所以第36个圆应与第1个圆颜色相同,即白色.3.D 解析:由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数,又f(x )是偶函数,所以g (x )是奇函数,故g (-x )=-g (x ).4.1∶8 解析:∵两个正三角形是相似的三角形, ∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方. ∴它们的体积比为1∶8. 考点探究突破【例1】解:猜想sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34.证明:左边=sin 2α+cos(α+30°)[cos(α+30°)+sin α]=sin2α+⎝⎛⎭⎪⎫32cos α-12sin α⎝ ⎛ 32cos α+⎭⎪⎫12sin α =sin 2α+34cos 2α-14sin 2α=34=右边.所以,猜想是正确的. 【例2-1】BE EA =S △BCD S △ACD 解析:易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等,故V EBCD V EACD =BEEA=S △BCDS △ACD. 【例2-2】证明:如图所示,由射影定理,得AD 2=BD ·DC ,2AB =BD·BC ,AC 2=BC·DC ,∴1AD2=1BD ·DC=BC 2BD ·BC ·DC ·BC =BC 2AB 2·AC 2. 又∵BC 2=AB 2+AC 2,∴1AD 2=AB 2+AC 2AB 2·AC 2=1AB 2+1AC 2. ∴1AD2=1AB2+1AC 2.猜想:类比AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,猜想四面体ABCD 中, AB ,AC ,AD 两两垂直,AE ⊥平面BCD ,则1AE 2=1AB 2+1AC 2+1AD2.下面证明上述猜想成立.如下图所示,连接BE 并延长交CD 于点F ,连接AF .∵AB ⊥AC,AB ⊥AD ,AC ∩AD =A , ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ,∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中,AE ⊥BF , ∴1AE 2=1AB 2+1AF2.同理可得在Rt△ACD 中,AF ⊥CD , ∴1AF2=1AC2+1AD2.∴1AE2=1AB2+1AC2+1AD 2.故猜想正确.【例3】(1)证明:在直四棱柱ABCD -1111A B C D 中,1DD ∥1CC , ∵EF ∥1CC ,∴EF ∥1DD . 又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D , 平面ABCD ∩平面E F D1D =ED ,平面1111A B C D ∩平面1EFD D =1FD , ∴ED ∥1FD .∴四边形1EFD D 为平行四边形. ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ,又DE ⊂平面ABCD , ∴1DD ⊥DE.∴四边形1EFD D 为矩形. (2)解:连接AE ,∵四棱柱ABCD -1111A B C D 为直四棱柱, ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD .又AE ⊂平面ABCD ,∴1DD ⊥AE . 在Rt△ABE 中,AB =2,BE =2, 则AE =22在Rt△CDE 中,EC =1,CD =1, 则DE 2在直角梯形ABCD 中,AD ()2210BC AB CD +-=∴222AE DE AD +=,即AE ⊥ED .又∵ED ∩1DD =D , ∴AE ⊥平面1EFD D .由(1)可知,四边形1EFD D 为矩形,且DE =2,1DD =1, ∴矩形1EFD D 的面积为1EFD D S 矩形=DE ·1DD 2.∴几何体A -1EFD D 的体积为1A EFD D V -=113EFD D S 矩形·AE =13×2×22=43.演练巩固提升针对训练1.n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2解析:观察等式左侧:第一行有1个数是1;第二行是3个连续自然数的和,第一个数为2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数为3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数为4.依此规律,第n 行是2n -1个连续自然数的和,其中第一个数为n ,∴第n 行左侧为:n +(n +1)+(n +2)+…+[n +(2n -2)]=n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2);等式右侧;第一行1=12,第二行9=32,第三行25=52,第四行49=72.依此规律,第n 行是(2n -1)2,∴第n 个等式为n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2.2.(21)2n nx x -+ 解析:由已知可归纳如下:()1f x =11(21)2xx -+, ()2f x =22(21)2x x -+,()3f x =33(21)2x x -+,()4f x =44(21)2xx -+,…,()n f x =(21)2n nxx -+. 3.∑i =14(iH i )=3V k解析:由31241234S S S S ====k , 得1S k =,2S k =2,3S k =3,4S k =4, ∴112233441111=3333V S H S H S H S H +++ =k3(1234234H H H H +++).∴1234234H H H H +++=3Vk,即∑i =14(iH i )=3Vk.4.解:()f x =ax +1x +2=a (x +2)+1-2a x +2=1-2ax +2+a . 任取1x ,2x ∈(-2,+∞),且1x <2x , 则()1f x -()2f x =12121222a ax x ---++ =2112(12)()(2)(2)a x x x x --++.∵函数()f x =ax +1x +2在区间(-2,+∞)上为增函数,∴()1f x -()2f x <0. ∵21x x ->0,12x +>0,22x +>0,∴1-2a <0,a >12,即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞.。
数学复习检测:第十一章第讲合情推理与演绎推理
第3讲合情推理与演绎推理,[学生用书P208])1.推理(1)定义:是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.(2)分类:推理错误!2.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.(3)模式:三段论错误!1.辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.2.把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性是需要证明的.(2)在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.(3)应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的.1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )A.28 B.32C.33 D.27B [解析] 由5-2=3,11-5=6,20-11=9,则x-20=12,因此x=32。
2.推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③三角形不是矩形”中的小前提是()A.①B.②C.③D.①和②B [解析]由演绎推理三段论可知,①是大前提,②是小前提,③是结论.3。
错误!观察下列不等式:1+错误!<错误!,1+错误!+错误!<错误!,1+错误!+错误!+错误!<错误!,…照此规律,第五个不等式为________________.[解析] 左边的式子的通项是1+错误!+错误!+…+错误!,右边的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不等式为1+错误!+错误!+错误!+错误!+错误!〈错误!.[答案] 1+错误!+错误!+错误!+错误!+错误!<错误!4。
2014届高考数学一轮复习 第十一章《算法框图及推理与证明》精编配套试题(含解析)理 新人教A版
2014届高考数学(理)一轮复习单元测试第十一章算法框图s 及推理与证明一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1、, 当输入x 为60时, 输出y 的值为( )A .25B .30C .31D .612.(2013年高考某某卷(理))阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A .2*2S i =-B .2*1S i =-C .2*S i =D .2*4S i =+3.下列推理正确的是( )A .把a (b +c )与log a (x +y )类比,则有log a (x +y )=log a x +log a yB .把a (b +c )与sin(x +y )类比,则有sin(x +y )=sin x +sin yC .把(ab )n 与(x +y )n 类比,则有(x +y )n =x n +y nD .把(a +b )+c 与(xy )z 类比,则有(xy )z =x (yz ) 4、(2013高考某某理)设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C .(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D .(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈5、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如:输入xIf x ≤50 Then y =0.5 * x Elsey =25+0.6*(x -50) End If 输出y他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数。
(江西专用)高考数学一轮复习 11.1 合情推理与演绎推理课件 文 新人教A版
n≤2 10 (m+n=20,m、n均为正实数) m + 【答案】
题型2
类比推理型问题
例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,
S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项
积为Tn,则T4, ,
T16 , 成等比数列. T12
一定是正确的.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2· an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,
a ,a ,猜想a 等于 (
3 4 n
)
(B) 2
n(n 1)
(A) (C) n
2 ( n 1) 2
. . (D)
.
2 2 1
2 2n 1
.
【解析】S2=22· a2,∴1+a2=4a2,∴a2= . S3=32· a3,∴1+ +a3=9a3,∴a3= . S4=42· a4,∴1+ + +a4=16a4,
3+ 变式训练1 已知经过计算和验证有下列正确的不等式:
8 2 + 7.5+ 12.5 <2 12 2 <2 10 , 10,根据以上不等 17 <2 10,
式的规律,请写出一个对正实数m、n都成立的条件不等式 .
【解析】观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的 被开方数的和等于20,不等式的右边都是2 ,因此对正实数 10 m、n都成立的条件不等式是若m、n均为正实数,则当m+n= 20时,有 m + n ≤2
1 ∴a4= . 25
1 3 1 3
1 3
1 23
1 23
2019-2020学年高考数学 2.1.1 合情推理(1)学案 文 新人教A版选修1-2.doc
2019-2020学年高考数学 2.1.1 合情推理(1)学案文新人教A版选修1-2学习目标1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义;2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备(预习教材P28~ P30,找出疑惑之处)在日常生活中我们常常遇到这样的现象:(1)看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家,推断天要下雨;(2)八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务:归纳推理问题1:哥德巴赫猜想:观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜想:.问题2:由铜、铁、铝、金等金属能导电,归纳出.新知:归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理,或者由的推理.简言之,归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式:1+3=4=22,1+3+5=9=23,1+3+5+7=16=24,1+3+5+7+9=25=25,……你能猜想到一个怎样的结论?变式:观察下列等式:1=11+8=9,1+8+27=36,1+8+27+64=100,……你能猜想到一个怎样的结论?例2已知数列{}na的第一项11a=,且nnn aaa+=+11(1,2,3.)n=,试归纳出这个数列的通项公式.变式:在数列{n a }中,11()2n n n a a a =+(2n ≥),试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试 练1. 应用归纳推理猜测11112222-的结果.练2. 在数列{n a }中,11a =,122n n n a a a +=+(*n N ∈),试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升※ 学习小结1.归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).※ 知识拓展1.费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在1640年通过对020213F =+=,121215F =+=,2222117F =+=,32321257F =+=,4242165537F =+=的观察,发现其结果都是素数,提出猜想:对所有的自然数n ,任何形如221n n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数,推翻费马猜想. 2.四色猜想:1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ).A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈,下列说法中正确的是( ).A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈(),猜想(f x )的表达式为( ). A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+ 4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈,经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时,有__________________________.5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .课后作业1. 对于任意正整数n ,猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ,123a =-,满足12(2)n n n S a n S ++=≥,计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.。
高考数学一轮复习 12.1 合情推理与演绎推理考点及自测 理 新人教A版.pdf
第1讲 合情推理与演绎推理 【2014年高考会这样考】 1.考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论. 2.考查演绎推理,主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合. 考点梳理 1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 大前提——已知的一般原理; 小前提——所研究的特殊情况; 结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 【助学·微博】 一个防范 合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 两个要点 (1)应用演绎推理证题时,大前提可省略,解题中应注意过程的规范性. (2)当大前提和小前提正确时,得到的结论一定正确. 考点自测 1.(2013·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( ). A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析 大前提是特称命题,而小前提是全称命题. 答案 C 2.(2012·江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ). A.28 B.76 C.123 D.199 解析 记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(nN*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9 )=123.所以a10+b10=123. 答案 C 3.(2013·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…,根据上述分解规律,对任意自然数n,当n≥2时,有________. 解析 分解后是以1为首项,2为公差,项数为n的等差数列的和. 答案 n2=1+3+…+(2n-1) 4.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为________. 解析 两个正三角形是相似的三角形,它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为18. 答案 18 5.(2011·陕西)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第n个等式应为________. 解析 由前4个等式可知,第n个等式的左边第一个数为n,且连续2n-1个整数相加,右边为(2n-1)2,故第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 考向一 归纳推理 【例1】观察下列等式: 可以推测:13+23+33+…+n3=________(nN*,用含有n的代数式表示). [审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152,与第一列比较可得结论. 解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,1,3,6,10,15,…,第n项an与第n-1项an-1(n≥2)的差为:an-an-1=n,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,等号的左右两端分别相加得, an=a1+2+3+…+n,其中a1=1,an=1+2+3+…+n,即an=,a=n2(n+1)2. 答案 n2(n+1)2 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳. 【训练1】 (2012·青岛模拟)观察下列等式:×=1-,×+×=1-,×+×+×=1-,…,由以上等式推测到一个一般结论为________. 解析 观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系,项数与分母中2的指数一致,分母中指数前边系数比项数多1,可得右侧为1-,左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致,其他就好确定,从而得到左侧为×+×+×+…+×. 答案 ×+×+×+…+×=1-(nN*) 考向二 类比推理 【例2】在平面几何里,有“若ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为SABC=(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为________”. [审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出结论. 解析 三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中类比为三维图形中的,得V四面体A-BCD= (S1+S2+S3+S4)r. 答案 V四面体A-BCD=(S1+S2+S3+S4)r (1)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.(2)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能. 【训练2】 (2013·长沙模拟)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时对x求导,得2yy′=2p,则y′=,所以过P的切线的斜率k=.类比上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为________. 解析 将双曲线方程化为y2=2(x2-1),类比上述方法两边同时对x求导得2yy′=4x,则y′=,即过P的切线的斜率k=,由于P(,),故切线斜率k==2,因此切线方程为y-=2(x-),整理得2x-y-=0. 答案 2x-y-=0 考向三 演绎推理 【例3】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(nN*).证明: (1)数列是等比数列; (2)Sn+1=4an. [审题视点] 在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.(1)由等比数列的定义及Sn与an的关系证明;(2)由(1)可推得. 证明 (1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, (n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. =2·,(小前提) 故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知=4·(n≥2), Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1 =4an(n≥2),(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略. 【训练3】 已知函数f(x)=(xR). (1)判定函数f(x)的奇偶性; (2)判定函数f(x)在R上的单调性,并证明. 解 (1)对任意xR有-xR,并且f(-x)===-=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)在R上单调递增,证明如下: 任取x1,x2R,并且x1>x2, f(x1)-f(x2)=- = =. x1>x2,2x1>2x2>0,即2x1-2x2>0. 又2x1+1>0,2x2+1>0, >0. f(x1)>f(x2). f(x)在R上为单调递增函数. 方法优化20——活用归纳推理巧解题 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,合情推理重点考查归纳推理,主要以函数、数列、不等式等知识为背景,以选择题或填空题的形式进行命题,试题难度不大. 【真题探究】 (2012·陕西)观察下列不等式 1+<, 1++<, 1+++<, … 照此规律,第五个不等式为________. [教你审题] 根据已知的不等式归纳两边式子的特征,找出其规律性. [优美解法] 观察三个不等式发现: 第一个不等式左边为两式之和,且分母为两个连续整数的平方;右边为; 第二个不等式左边为三式之和,且分母为三个连续整数的平方;右边为; 第三个不等式左边为四式之和,且分母为四个连续整数的平方;右边为; … 归纳推理知:第五个不等式为: 1+++++0a>b”类比推出“若a,bC,则a-b>0a>b”; “若xR,则|x|<1-1<x<1”类比推出“若zC,则|z|<1-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数有( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析 类比结论正确的只有. 答案 B 4.(2011·江西)观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…,则52 011的末四位数字为( ). A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125 解析 55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,… 5n(n∈Z,且n≥5)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记5n(nZ,且n≥5)的末四位数字为f(n),则f(2 011)=f(501×4+7)=f(7) 52 011与57的末四位数字相同,均为8 125.故选D. 答案 D 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2013·山东省实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足a+a=1,则a1+a2≤”的证明过程: 证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤. 根据上述证明方法,若n个正实数满足a+a+…+a=1时,你能得到的结论为________________________________(不必证明). 解析 依题意,构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,则有f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,Δ=[-2(a1+a2+…+an)]2-4n=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,即有a1+a2+…+an≤. 答案 a1+a2+…+an≤ 6.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖________块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是________. 解析 按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是. 答案 503 三、解答题(共25分) 7.(12分)给出下面的数表序列: … 其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. 写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明). 解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列. 将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列. 8.(13分)(2012·福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解 (1)选择式,计算如下: sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=. (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=. 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos30°cos α+sin 30°sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcosα-sin2α=sin2α+cos2α=. B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2013·九江质检)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( ). A.76 B.80 C.86 D.92 解析 由|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|y|=n的不同整数解的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解的个数为80.故选B. 答案 B 2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ). A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…,an=an-1+n.a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)an=1+2+3+…+n=,观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1 225. 答案 C 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2013·福州模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作;第一步,将它分割成3×3方格,接着用中心和四个角的5个小正方形,构成如图1所示的几何图形,其面积S1=;第二步,将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图2;依此类推,到第n步,所得图形的面积Sn=n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中,则到第n步,所得几何体的体积Vn=________. 解析 对一个棱长为1的正方体进行如下操作:第一步,将它分割成3×3×3个小正方体,接着用中心和8个角的9个小正方体,构成新1几何体,其体积V1==;第二步,将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作,得到新2几何体,其体积V2=2;…,依此类推,到第n步,所得新n几何体的体积Vn=n. 答案 n 4.(2012·湖南)设N=2n(nN*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换.将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到P2;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段作C变换,得到Pi+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置. (1)当N=16时,x7位于P2中的第________个位置; (2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第________个位置. 解析 (1)当N=16时,P1=x1x3x5x7x9…x16,此时x7在第一段内,再把这段变换x7位于偶数位的第2个位置,故在P2中,x7位于后半段的第2个位置,即在P2中x7位于第6个位置. (2)在P1中,x173位于两段中第一段的第87个位置,位于奇数位置上,此时在P2中x173位于四段中第一段的第44个位置上,再作变换得P3时,x173位于八段中第二段的第22个位置上,再作变换时,x173位于十六段中的第四段的第11个位置上,也就是位于P4中的第(3×2n-4+11)个位置上. 答案 6 3×2n-4+11 三、解答题(共25分) 5.(12分)观察下表: 1, 2,3 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, … 问:(1)此表第n行的最后一个数是多少? (2)此表第n行的各个数之和是多少? (3)2 013是第几行的第几个数? 解 (1)第n+1行的第1个数是2n, 第n行的最后一个数是2n-1. (2)2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1) ==3·22n-3-2n-2. (3)210=1 024,211=2 048,1 024<2 013<2 048, 2 013在第11行,该行第1个数是210=1 024, 由2 013-1 024+1=990,知2 013是第11行的第990个数. 6.(13分)(2013·南昌二模)将各项均为正数的数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表,如图所示.记表中各行的第一个数a1,a2,a4,a7,…,构成数列{bn},各行的最后一个数a1,a3,a6,a10,…,构成数列{cn},第n行所有数的和为Sn(n=1,2,3,4,…).已知数列{bn}是公差为d的等差数列,从第二行起,每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q,且a1=a13=1,a31=. (1)求数列{cn},{Sn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前n项和Tn的表达式. 解 (1)bn=dn-d+1,前n行共有1+2+3+…+n=个数,因为13=+3,所以a13=b5×q2, 即(4d+1)q2=1,又因为31=+3,所以a31=b8×q2, 即(7d+1)q2=,解得d=2,q=, 所以bn=2n-1,cn=bnn-1=, Sn==(2n-1)·. (2)Tn=+++…+, Tn=+++…+. ①②两式相减,得 Tn=1+2- =1+2×-=2-, 所以Tn=3-.。
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第1节 合情推理与演绎推理最新考纲 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1.合情推理2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.数列2,5,11,20,x ,47,…中的x 等于( ) A.28B.32C.33D.27解析 5-2=3,11-5=6,20-11=9, 推出x -20=12,所以x =32. 答案 B3.正弦函数是奇函数,f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数,因此f (x )=sin(x 2+1)是奇函数,以上推理( ) A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析 f (x )=sin(x 2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 答案 C4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子:1×2<2,1×2+2×3<92,1×2+2×3+3×4<8,1×2+2×3+3×4+4×5<252,…,根据以上规律,第n (n ∈N *)个不等式是______________________.解析 根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2+2×3+…+n ·(n +1)<(n +1)22.答案1×2+2×3+…+n ·(n +1)<(n +1)225.(选修1-2P35A6改编)在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n <19,n ∈N *)成立,类比上述性质,在等比数列{b n }中,若b 9=1,则b 1b 2b 3…b n =________.答案 b 1b 2b 3…b 17-n (n <17,n ∈N *)考点一 归纳推理【例1】 (1)(2018·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数),如6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,…,此外,它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和,如6=21+22,28=22+23+24,…,按此规律,8 128可表示为_____________. (2)(2018·济宁模拟)已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式:a 1+a 22≥a 1a 2;a 1+a 2+a 33≥3a 1a 2a 3;a 1+a 2+a 3+a 44≥4a 1a 2a 3a 4;……照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a nn≥________.解析 (1)由题意,如果2n-1是质数,则2n -1(2n -1)是完全数,例如:6=21+22=21(22-1),28=22+23+24=22(23-1),…;若2n -1(2n-1)=8 128,解得n =7,所以8 128可表示为26(27-1)=26+27+…+212.(2)根据题意有a 1+a 2+…a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *,n ≥2). 答案 (1)26+27+…+212(2)na 1a 2…a n 规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.【训练1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n },那么a 10的值为( ) A.45B.55C.65D.66(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n (n +1)2=12n 2+12n ,记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 N (n ,3)=12n 2+12n , 正方形数 N (n ,4)=n 2, 五边形数 N (n ,5)=32n 2-12n , 六边形数 N (n ,6)=2n 2-n……可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)=______. 解析 (1)第1个图中,小石子有1个, 第2个图中,小石子有3=1+2个, 第3个图中,小石子有6=1+2+3个, 第4个图中,小石子有10=1+2+3+4个, ……故第10个图中,小石子有1+2+3+…+10=10×112=55个,即a 10=55.(2)三角形数 N (n ,3)=12n 2+12n =n 2+n2,正方形数 N (n ,4)=n 2=2n 2-0·n2,五边形数 N (n ,5)=32n 2-12n =3n 2-n2,六边形数 N (n ,6)=2n 2-n =4n 2-2n2,k 边形数 N (n ,k )=(k -2)n 2-(k -4)n2,所以N (10,24)=22×102-20×102=2 200-2002=1 000.答案 (1)B (2)1 000 考点二 类比推理【例2】 (1)(一题多解)若数列{a n }是等差数列,则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n =a 1+a 2+…+a n n 也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,且{d n }也是等比数列,则d n 的表达式应为( ) A.d n =c 1+c 2+…+c nnB.d n =c 1·c 2·…·c nnC.d n =n c n 1+c n 2+…+c n nnD.d n =nc 1·c 2·…·c n(2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于________.解析 (1)法一 从商类比开方,从和类比积,则算术平均数可以类比几何平均数,故d n 的表达式为d n =nc 1·c 2·…·c n .法二 若{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+n (n -1)2d ,∴b n =a 1+(n -1)2d =d2n+a 1-d2,即{b n }为等差数列;若{c n }是等比数列,则c 1·c 2·…·c n =c n1·q1+2+…+(n -1)=c n1·qn (n -1)2,∴d n =nc 1·c 2·…·c n =c 1·qn -12,即{d n }为等比数列,故选D.(2)椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,现构造两个底面半径为b ,高为a 的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积V =2(V 圆柱-V 圆锥)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×b 2×a -13π×b 2a =43πb 2a . 答案 (1)D (2)43πb 2a规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.【训练2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在2+2+2+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x ,这可以通过方程2+x =x 确定出来x =2,类似地不难得到1+11+11+…=( ) A.-5-12B.5-12 C.1+52D.1-52(2)如图(1)所示,点O 是△ABC 内任意一点,连接AO ,BO ,CO ,并延长交对边于A 1,B 1,C 1,则OA 1AA 1+OB 1BB 1+OC 1CC 1=1,类比猜想:点O 是空间四面体VBCD 内的任意一点,如图(2)所示,连接VO ,BO ,CO ,DO 并延长分别交面BCD ,VCD ,VBD ,VBC 于点V 1,B 1,C 1,D 1,则有________________.解析 (1)令1+11+11+…=x (x >0),即1+1x =x ,即x 2-x -1=0,解得x =1+52(x =1-52舍),故1+11+11+…=1+52,故选C.(2)利用类比推理,猜想应有OV 1VV 1+OB 1BB 1+OC 1CC 1+OD 1DD 1=1. 用“体积法”证明如下:OV 1VV 1+OB 1BB 1+OC 1CC 1+OD 1DD 1=V O -BCD V V -BCD +V O -VCD V B -VCD +V O -VBD V C -VBD +V O -VBC V D -VBC =V V -BCDV V -BCD=1. 答案 (1)C (2)OV 1VV 1+OB 1BB 1+OC 1CC 1+OD 1DD 1=1 考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2nS n (n ∈N *).证明: (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列;(2)S n +1=4a n .证明 (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=n +2nS n , ∴(n +2)S n =n (S n +1-S n ), 即nS n +1=2(n +1)S n . ∴S n +1n +1=2·S n n ,又S 11=1≠0,(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知S n +1n +1=4·S n -1n -1(n ≥2), ∴S n +1=4(n +1)·S n -1n -1=4·n -1+2n -1·S n -1 =4a n (n ≥2),(小前提)又a 2=3S 1=3,S 2=a 1+a 2=1+3=4=4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n +1=4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.【训练3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩解析由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀,1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.答案 D基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.观察一列算式:1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…,则式子3⊗5是第( )A.22项B.23项C.24项D.25项解析两数和为2的有1个,和为3的有2个,和为4的有3个,和为5的有4个,和为6的有5个,和为7的有6个,前面共有21个,3⊗5为和为8的第3项,所以为第24项,故选C.答案 C2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D.使用了“三段论”,但小前提错误解析由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.答案 C3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).答案 D4.观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10等于( ) A.28B.76C.123D.199解析 观察规律,归纳推理.从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a 10+b 10=123. 答案 C5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”;②“(m +n )t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”; ③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c =a ·(b ·c )”; ④“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”; ⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”; ⑥“ac bc =a b ”类比得到“a ·cb ·c =ab”. 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 ①②正确;③④⑤⑥错误. 答案 B6.(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下: 甲说:“我们四人都没考好”; 乙说:“我们四人中有人考的好”; 丙说:“乙和丁至少有一人没考好”; 丁说:“我没考好”.结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对的两人是( ) A.甲,丙B.乙,丁C.丙,丁D.乙,丙解析 甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为D. 答案 D7.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,以此类推,凸13边形对角线的条数为( ) A.42B.65C.143D.169解析 可以通过列表归纳分析得到.∴凸13边形有2+3+4+…+11=13×102=65条对角线.答案 B8.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为( )A.6B.7C.8D.9解析 由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第n (n ≥2,n ∈N *)层的点数为6(n -1).设一个点阵有n (n ≥2,n ∈N *)层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6(n -1)=1+6+6(n -1)2×(n-1)=3n 2-3n +1,由题意得3n 2-3n +1=169,即(n +7)·(n -8)=0,所以n =8,故共有8层. 答案 C 二、填空题 9.仔细观察下面○和●的排列规律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…,若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数是________.解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…, 则前n 组两种圈的总数是f (n )=2+3+4+…+(n +1)=n (n +3)2,易知f (14)=119,f (15)=135,故n =14. 答案 1410.观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n 个等式为________.解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13+23+…+n 3=⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n +1)22=n 2(n +1)24.答案 13+23+…+n 3=n 2(n +1)2411.(2018·重庆模拟)在等差数列{a n }中,若公差为d ,且a 1=d ,那么有a m +a n =a m +n ,类比上述性质,写出在等比数列{a n }中类似的性质:_____________________.解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积,故在等比数列中,类似的性质是“在等比数列{a n }中,若公比为q ,且a 1=q ,则a m ·a n =a m +n .” 答案 在等比数列{a n }中,若公比为q ,且a 1=q ,则a m ·a n =a m +n12.已知点A (x 1,ax 1),B (x 2,ax 2)是函数y =a x(a >1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB 总是位于A ,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论a x 1+ax 22>a x 1+x 22成立.运用类比思想方法可知,若点A (x 1,sin x 1),B (x 2,sin x 2)是函数y =sin x (x ∈(0,π))的图象上任意不同两点,则类似地有________成立. 解析 对于函数y =a x(a >1)的图象上任意不同两点A ,B ,依据图象可知,线段AB 总是位于A ,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论a x 1+a x 22>ax 1+x 22成立;对于函数y =sin x (x ∈(0,π))的图象上任意不同的两点A (x 1,sin x 1),B (x 2,sin x 2),线段AB 总是位于A ,B 两点之间函数图象的下方, 类比可知应有sin x 1+sin x 22<sin x 1+x 22成立.答案sin x 1+sin x 22<sin x 1+x 22能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4号或5号选手得第一名;观众乙猜测:3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( )A.甲B.乙C.丙D.丁解析 根据题意,6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表:由表知,只有丁猜对了比赛结果,故选D. 答案 D14.(2018·南昌调研)设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项之积为T n ,并且满足条件:a 1>1,a 2 016a 2 017>1,a 2 016-1a 2 017-1<0,下列结论中正确的是( )A.q <0B.a 2 016a 2 018-1>0C.T 2 016是数列{T n }中的最大项D.S 2 016>S 2 017解析 由a 1>1,a 2 016a 2 017>1得q >0,由a 2 016-1a 2 017-1<0,a 1>1得a 2 016>1,a 2 017<1,0<q <1,故数列{a n }的前2 016项都大于1,从第2 017项起都小于1,因此T 2 016是数列{T n }中的最大项. 答案 C15.若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)外,过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2+y 0yb 2=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P 0(x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)外,过P 0作双曲线的两条切线,切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________.解析 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2), 则P 1,P 2的切线方程分别是x 1x a 2-y 1y b 2=1,x 2x a 2-y 2yb2=1. 因为P 0(x 0,y 0)在这两条切线上, 故有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1,x 2x 0a 2-y 2y 0b2=1, 这说明P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线x 0x a 2-y 0yb 2=1上,故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2-y 0yb 2=1. 答案x 0x a 2-y 0y b 2=1 16.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (1)男学生人数多于女学生人数; (2)女学生人数多于教师人数; (3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________.解析 设男学生人数为x ,女学生人数为y ,教师人数为z ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >z ,2z >x ,且x ,y ,z 均为正整数.①当z =4时,8>x >y >4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2,当x =3时,条件不成立,当x =4时,条件不成立,当x =5时,5>y >z >52,此时z =3,y =4.∴该小组人数的最小值为12. 答案 ①6 ②12。