第63课时 空间距离
人教版《必修2》4..空间两点间的距离公式课件63PPT完美课件
人教版《必修2》4..空间两点间的距 离公式 课件63P PT完美 课件
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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第63课时法拉第电磁感应定律、自感和涡流2025届高考物理一轮复习课件
电流方向由N到M，使回路中的电流减小，则杆OP受到的安培力减
小，杆MN中的电流减小，安培力会减小，加速度减小，故B、C错
误，D正确。
目录
高中总复习·物理
1. 【平动切割问题】
（多选）如图所示，分布于全空间的匀强磁场垂
直于纸面向里，其磁感应强度大小为B＝2 T。宽
图乙中b曲线，故B错误；断开开关前，两支路中电流相等，刚断开
开关时，回路中的电流不变，所以小灯泡不会发生明显闪亮，而是
逐渐熄灭，故C错误；t1时刻，两支路中电压相等，电流相等，则电
阻相等，即小灯泡与线圈的电阻相等，故D正确。
目录
高中总复习·物理
2. 【涡流问题】
（2023·全国乙卷17题）一学生小组在探究电磁感应现象时，进行
C. 在t＝0.05 s时，金属框ab边受到安培力的方向垂直于ab向右
D. 在t＝0到t＝0.1 s时间内，金属框中电流的电功率为0.064 W
目录
高中总复习·物理
Δ
解析：根据法拉第电磁感应定律E＝
，金属框的面积不
Δ
Δ
0.2T
2
变，磁场的磁感应强度变化，故ΔΦ＝ΔB·
L， ＝
＝2
Δ
T/s，解得E＝0.08
0.1s
0.08
V，故A正确；感应电流为I＝ ＝
A＝
0.1
0.8 A，在t＝0.05 s时，ab边受到的安培力大小为F＝BIl＝
0.1×0.8×0.2 N＝0.016 N，故B正确；根据楞次定律，感应电
流阻碍原磁通量的变化，原磁通量随时间在减小，故线框有
扩大的趋势，则ab边受到的安培力水平向左，故C错误；电功
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
空间距离公式解析
解析空间距离安徽省五河一中邢文举李莉莉（邮编233300 ）我们知道向量乔在单位向量：方向上的射影的长度可以表示为：J=|A S|COS<A5^>=AB e ,那么空间所有的距离都可以用该公式求解，即d=屈•：可以叫做空间距离公式：线叫两直线的公垂线。
分别是两直线a,b上的各任意点，则d=亦•：就一、点与直线间的距离已知点A是平面a外的一已知点，：是平面&的单位法向量,假设与空间两直线（无论平行或异面）都垂直且都相交的直是两直线。
与b间的距离，如图三四、线与面的距离直线°与平面。
平行，€是平而a的单位法向量，A是平面a内的任一点，E是直线a 上的任一点，贝9d = AB -e 就是直线。
到平面a的距离，如图四五、面与面的距离图四平面a与平面0平行，：是平面a与“的单位法向量，A、B分别是平面a与“内的各任一点，则d = 是两平行平面&与0间的距离，如图五综上知，求空间有关距离问题就可归纳为利用一个公式:d=AB e求之即可。
所以该公式可以叫做空间距离公式。
A或E点虽然可以是任意点，但在实际应用过程中，可选用特殊点或己知点即可，其中两点间的距离公式是该公式的特殊情形，此时而// e o例如图在边长为3的正方体中，G是g的3等份点，求:(1)平而ABG的法向量为二=(0-23) 丽=(0.03)AB. •/?. a"点到面ABG的距离为：山花阿(2) VCD//AB, AB^ABG :.CD//^\ ABG又岚=(0,3,0) /• CD到面ABG的距离为:(3 ) V A,B = (3,0-3) AG= (3,3,2)•I而与而的法向量为石=(3,-5,3)又巫=(0,0,3)二4/与AG间的距离为:由上例可知，用公式d =△〃・£求有关距离简易而可行。
第63课时—空间中的角(1)(学案) (2)
高三数学第一轮复习讲义（63） 2004.12.11直线与平面、直线与直线所成的角一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角．二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ．2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．三．课前预习：1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）()A 60 ()B 90 ()C a r c c o s 3 ()D a r c c o s 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是 （ ） ()A 12()B 3 ()C 3 ()D 2 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角．AC V ED 1C 1B 1A 1O DCBA· B 1P A C D A 1C 1D 1B O H·例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； （2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ） ()A 13()B 4π()C ()D a r c s 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是 （ ）()A [,)2ππ ()B [0,)2π ()C (0,]2π ()D [0,]2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD的公垂线段，1,10,AB AC BD CD ====则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠=，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．ABCP D5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠=，190CMC ∠=，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。
空间距离知识点总结
空间距离知识点总结空间距离是指物体在空间中的位置之间的距离，通常用来描述物体之间的相对位置关系。
在日常生活中，我们经常使用距离来描述物体的位置关系，比如在行驶中使用路程来描述两个地点之间的距离，或者在导航中使用地图上的距离来指引行驶方向。
在物理学和数学中，距离是一个重要的概念，它被用来描述空间中的位置关系，衡量物体之间的远近。
空间距离的研究对于理解物体的位置关系、运动轨迹、引力场等具有重要的意义。
本文将就空间距离的基本概念、常见的计算方法以及与空间距离相关的知识点进行总结。
一、空间距离的基本概念1.欧几里得距离欧几里得距离是指在欧几里得空间中两点之间的直线距离，它是最常见的距离定义之一。
在二维欧氏空间中，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离可使用以下公式计算：$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$在三维空间中，可以类似地定义欧几里得距离。
而在更高维的空间中，欧氏距离的定义也可以很容易地推广到n维空间。
欧几里得距离在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用，它是最为直观的距离定义之一。
2.曼哈顿距离曼哈顿距离又称为城市街区距离，它是指在城市街区中两点之间的距离，即两点在横纵坐标上的距离之和。
在二维平面上，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的曼哈顿距离可使用以下公式计算：$$d = |x_2-x_1| + |y_2-y_1|$$曼哈顿距离的概念最初来源于纽约市的城市规划，被用来衡量从一个街区到另一个街区的行走距离。
曼哈顿距离在寻路算法、距离测量以及图像处理等领域有广泛的应用。
3.切比雪夫距离切比雪夫距离是指在几何空间中两点之间的最大距离，它是欧几里得距离的一种特殊情况。
在二维平面上，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的切比雪夫距离可使用以下公式计算：$$d = \max(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|)$$切比雪夫距离在图像处理、模式识别、机器学习等领域被广泛运用，它能够很好地描述两个点之间的最大距离，具有一定的实际意义。
第63课时—空间中的角(1)(学案) (2)
高三数学第一轮复习讲义（63） 2004.12.11直线与平面、直线与直线所成的角一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角．二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ．2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．三．课前预习：1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）()A 60 ()B 90 ()C a r c c o s 3 ()D a r c c o s 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是 （ ） ()A 12()B 3 ()C 3 ()D 2 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角．AC V ED 1C 1B 1A 1O DCBA· B 1P A C D A 1C 1D 1B O H·例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； （2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ） ()A 13()B 4π()C ()D a r c s 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是 （ ）()A [,)2ππ ()B [0,)2π ()C (0,]2π ()D [0,]2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD的公垂线段，1,10,AB AC BD CD ====则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠=，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．ABCP D5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠=，190CMC ∠=，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。
第63课 空间两条直线
9.在四面体ABCD中，AB＝８，CD＝６，M、N分别是BC、AD的中点，且MN＝５，则AB
A.1 B.2 C.3 D.4
6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( )
A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则异面直线CM与D1N所成的角的正弦值为 ( )
第2课 空间两条直线习题解答
1.D 解这种题简单、省时的方法是在草稿纸上作如下记录，然后对照选项判断①√②×③×④×⑤√.
2.D 若射影为两个点，则两条直线与平面垂直，可知两直线平行，与异面相矛盾．
3.B 在a,b所确定的平面外作与a,b都成60°角的直线有两条.
4.D 12×2=24.
∴∠A1BC1(或它的补角)是异面直线A1B与AD1所成的角.
设AA1=a,∵∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°
∴在△AA1D1与△A1AB中，AB=AA1=a,A1B= EMBED Equation.3 a,AD1=BC1=2a,A1D1= EMBED Equation.3 a,
【解前点津】 判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一
平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找，
可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行
的性质定理、向量知识等)实施证明.
【规范解答】 证明：连结BC1、AD1，因为ABCD-A1B1C1D1是正
第63课时—空间中的角(1)(学案) (2)
高三数学第一轮复习讲义（63） 2004.12.11直线与平面、直线与直线所成的角一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角．二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ．2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．三．课前预习：1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）()A 60 ()B 90 ()C a r c c o s 3 ()D a r c c o s 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是 （ ） ()A 12()B 3 ()C 3 ()D 2 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角．AC V ED 1C 1B 1A 1O DCBA· B 1P A C D A 1C 1D 1B O H·例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； （2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ） ()A 13()B 4π()C ()D a r c s 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是 （ ）()A [,)2ππ ()B [0,)2π ()C (0,]2π ()D [0,]2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD的公垂线段，1,10,AB AC BD CD ====则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠=，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．ABCP D5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠=，190CMC ∠=，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。
1.2.5 空间中的距离 课件
解：依题意，, , 是两两互相垂直的.
以为原点，, , 的方向分别为轴、轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),
所以 = (0,1,0), = (−1,0,1), = (0,1, −1).
解：以为原点，��，, 1 的方向分别为轴、
轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如
图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0)，(2,1,2), (0,2,1), (2,0,0), (0,2,0),
所以 = (1,1,2), = (−1,2,1), = (−2,2,0).
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距
离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。
数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，
要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平
面内的“距离” ？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能
设平面的一个法向量为 = (, , )，则
∙ = + + 2 = 0
∙ = − + 2 + = 0
令 = 1，则得 = (−1, −1,1).
因为 ∙ = (−2) × (−1) + 2 × (−1) + 0 × 1 = 0,
所以 ⊥ ，又因为点显然不在平面内，所以
(−1) +(−1) +1
3
因此点到平面的距离为 ，
3
=
|(−1)×1+(−1)×0+1×0|
最新人教版高中数学必修2第四章《空间两点的距离公式》知识导航
2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式知识梳理1.空间直角坐标系的建立为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy中，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴、y轴都垂直，这样任意两条数轴都互相垂直.轴的方向这样规定:从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°后与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系O—xyz，O叫做坐标原点.由两条坐标轴确定的面叫坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限〔如图2-4-(1,2)-1〕.图2-4-(1,2)-1xOy平面:由x轴及y轴确定的坐标面；xOz平面:由x轴及z轴确定的坐标面；yOz平面:由y轴及z轴确定的坐标面.2.点在空间直角坐标系中的坐标取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系.点M为空间一已知点,在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的平行平面，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是M点相应的一个坐标.设点M在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的点M就唯一的确定了一个有序数组x、y、z.这组数x、y、z就叫做点M的坐标，记为(x，y，z)，并依次称x、y和z为点M的x坐标，y坐标和z 坐标.反之，设(x,y,z)为一个三元有序数组,过x轴上坐标为y的点,y轴上坐标为z的点,z轴上坐标为x的点，分别作x轴、y轴、z轴的垂直平面，这三个平面的交点M便是三元有序数组(x,y,z)唯一确定的点.所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:Ⅰ:(+,+,+)；Ⅱ:(-,+,+)；Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+)；Ⅴ:(+,+,-)；Ⅵ:(-,+,-)；Ⅶ:(-,-,-)；Ⅷ:(+,-,-).坐标面和坐标轴上的点有下列特点：空间两点间的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广,如图2-4-(1,2)-2.M1(x1,y1,z1),P(x2,y1,z1),M2(x2,y2,z2),N(x2,y2,z1),|M1P|=|x2-x1|,|PN|=|y2-y1|,|M 2N|=|z 2-z 1|,|M 1N|2=|M 1P|2+|PN|2=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2,|M 1M 2|2=|M 1N|2+|NM 2|2=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.图2-4-(1,2)-2∴点M 1与M 2间的距离为 d=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和开方.知识导学画好空间直角坐标系也要强调“三要素”——原点、坐标轴方向和单位长度.也就是说，z 轴、x 轴和y 轴的原点相同、单位长度相同(特殊情况除外)，坐标轴方向满足右手系——有两种解释：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这样建立的直角坐标系为右手直角坐标系；还可以解释成，先把大拇指指向z 轴的正方向，把其余的4指指向x 轴正方向，然后握成拳头，这时4指扫过原平面直角坐标系的第一象限从x 轴正方向到y 轴正方向.这和物理中的右手定则相同.在平面上画空间直角坐标系O —xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°，即用斜二测方法画立体图.这里显然要注意在y 轴、z 轴上的长度都取原来的单位长度，而在x 轴上的长度取原来单位长度的一半.不要把x 轴上的长度取成实际的长度，因为不符合斜二测方法作图的约定，直观性差.在给出点写出坐标、给出坐标找点的过程中，我们可以感受到如下规律：xOy 平面上的点的竖坐标都是零，yOz 平面上的点的横坐标都是零，xOz 平面上的点的纵坐标都是零. 把平面直角坐标系中两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)之间的距离公式|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-推广到空间直角坐标系中两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 1,y 2,z 2)之间的距离公式|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-,形式上相同，其不同点是仅仅多了一项，即与竖坐标有关的一项.疑难突破1.如何求空间一点A(x, y, z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标?你能总结出规律来吗?剖析:数学中的对称问题,把握两点:中点和垂直.对称点坐标问题,无非就是中点与垂直问题;空间点关于已知点的对称点,与平面内点关于点的对称点定义一样,已知点与其对称点,连线段的中点即为对称中心.根据这个理论我们可以得到：A(x, y, z)关于坐标平面xOy 对称A 1(x,y,-z);A(x, y, z)关于坐标平面yOz 对称A 2(-x,y,z);A(x, y, z)关于坐标平面xOz 对称A 3(x,-y,z);A(x, y, z)关于x轴对称A4(x,-y,-z);A(x, y, z)关于y轴对称A5(-x,y,-z);A(x, y, z)关于z轴对称A6(-x,-y,z);A(x, y, z)关于原点对称A7(-x,-y,-z).通过解答我们可以总结出如下规律：某面对称某不变，如A(x, y, z)关于坐标平面xOy对称A1(x,y,-z);这里x、y的符号不变；某轴对称某不变，如A(x, y, z)关于y轴对称A5(-x,y,-z);这里y的符号不变；原点对称起造“反”，如A(x, y, z)关于原点对称A7(-x,-y,-z).这里x、y、z的符号都变为其相反数.2.建立空间直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴？剖析：选择怎样的坐标原点和坐标轴，不会影响结论的正确性，但是却会影响解决问题的复杂性.因此，在建立坐标系时，要充分利用已知条件中的有关对称性、垂直、平行等性质，使得已知条件处在特殊的坐标系位置上，这样再写点的坐标、直线方程等时会方便很多.在建立空间直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴的问题，可以通过总结在建立平面直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴的规律进行迁移，如果题目中有共点且互相垂直的三条直线，那么建立空间直角坐标系时，一定首先考虑以这个公共点为坐标原点，分别以这三条互相垂直的直线为坐标轴建立空间直角坐标系.。
新概念英语第二册第63课ppt课件
Key words ＆ expressions
★ admire [əd'maiə]
1）赞美，钦佩，羡慕 admire sb./ sth. for…因……而羡慕某人、某
物
I admire you for your success in business. 2）（口）（恭维地）称赞
Remember to admire her new dress . admirer n. 称赞者，仰慕者 admiring adj. 赞赏的，羡慕的 admiration [,ædmə'reiʃən] n. [u] 钦佩，羡慕
a close match 势均力敌的比赛
closed 关着的 （反义词open） 11
Key words ＆ expressions
★wedding ['wediŋ]
n. 婚礼 When will you have your wedding? 你什么时候结婚？
wedding/marriage ceremony wedding breakfast 婚 wedding reception 宴
be popular among sb. 在某人中受欢迎 Chinese food is becoming popular among
Americans. popular newspaper 大众报纸 party 聚会，团，一行，一伙
at parties 在各种聚会中 have/give a party 聚会
close one’s mind 不愿思考
2）adj [kləus] （在空间或时间上）接近
The church is close to the school.
3）adj. 亲密的，亲近的
空间距离
都被锁定在一个狭小的角落里，如同螺丝钉被拧在一 个不变的位置上。那时候，我刚离开学校，被分配到一个边远山区，生活平静而又单调。日 子仿佛停止了，不像是一条河，更像是一口井。 后来，时代突然改变，人们的日子如同解冻的江河，又在阳光下的大地上纵横交错了。
我也 像是一条积压了太多能量的河，生命的浪潮在我的河床里奔腾起伏，把我的成年岁月变成了 一道动荡不宁的急流。 而现在，我又重归于平静了。不过，这是跌宕之后的平静。在经历了许多冲撞和曲折之后， 我的生命之河仿佛终于来到一处开阔的谷地，汇蓄成了一片浩渺的湖
期待着父母式的疼爱。另一方面，如果我们想到与我们一起暂时居住在这颗星球上的 任何人，包括我们的亲人，都是宇宙中的孤儿，我们心中就会产生一种大悲悯，由此而生出 一种博大的爱心。我相信，爱心最深厚的基础是在这种大悲悯之中，而不是在别的地方。 生命本来没有名
字 ? 这是一封读者来信，从一家杂志社转来的。每个作家都有自己的读者，都会收到读 者的来信，这很平常。我不经意地拆开了信封。可是，读了信，我的心在一种温暖的感动中 战栗了。 请允许我把这封不长的信抄录在这里-- "不知道该怎样称呼您，每一种尝试都令自己沮
（6）两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算
；台州三门出海捕鱼 台州三门出海捕鱼 ；
的，乃是在成就之上的安宁。在那里，我们遇见我们的上帝。"他接着说明： "上帝就是灵魂里永远在休息的情爱。"他所说的情爱应是广义的，指创造的成就，精神的 富有，博大的爱心，而这一切都超越于俗世的争斗，处在永久和平之中。这种境界，正是丰 富的安静之极致。 我
第63课时—空间中的角(1)(学案) (2)
高三数学第一轮复习讲义（63） 2004.12.11直线与平面、直线与直线所成的角一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角．二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ．2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．三．课前预习：1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）()A 60 ()B 90 ()C a r c c o s 3 ()D a r c c o s 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是 （ ） ()A 12()B 3 ()C 3 ()D 2 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB 和棱l 所成的角．AC V ED 1C 1B 1A 1O DCBA· B 1P A C D A 1C 1D 1B O H·例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线； （2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ） ()A 13()B 4π()C ()D a r c s 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是 （ ）()A [,)2ππ ()B [0,)2π ()C (0,]2π ()D [0,]2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD的公垂线段，1,10,AB AC BD CD ====则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠=，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．ABCP D5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠=，190CMC ∠=，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 空间距离问题的求解方法素材 北师大版选修21
空间距离问题的类型及解法空间距离问题是高考的热点之一，本文对空间距离及其求解方法归纳总结如下，供参考. 一、 两点之间的距离设空间有两点P 、Q 的距离为d . 方法1：解三角形法：在PQX ∆中，由勾股定理、正、余弦定理或三角形的面积等求出线段PQ 的长度.方法2：向量法：（1）将用已知向量表示，于是，PQ PQ ==||，（2）求出P 、Q 的坐标),,(111z y x 及),,(222z y x ，于是，.)()()(||212212212z z y y x x PQ PQ -+-+-==二、 点到直线的距离方法1．过P 作a PH ⊥，然后通过解三角形求出线段PH 的长度，如图（1）. 方法2．过P 作α⊥PO ，过O 作a OH ⊥，则a PH ⊥，解三角形求出.PH 如图（2）.方法3．过P 作平面α，使α⊥a ，设H a =α ，然后求出PH ，如图（3）. 方法4．向量法：若是直线a 的一个法向量，P 是直线外一点，A 是直线l 上一点，则点P 到直线a 的距离为||||n PH ⋅=，如图（4）.方法5．最值法：设M 为直线a 上的动点，P 是直线a 外一点，求出PM 的最小值.三、 点到平面的距离方法1：如图（1）过点P 作α⊥PH ，则点P 到平面α的距离为.PH d =方法2．过P 作平面αβ⊥，设l =αβ ，在平面β内，过P 作l PH ⊥，则α⊥PH ，则点P 到平面α的距离为.PH d =EMNADCB方法3．向量法：若是平面α的一个法向量，P 是平面α外一点，A 是平面α内一点，则点P 到平面α的距离为.||||n PH d ⋅==方法4．等体积法：通过同一个几何体体积相等求距离，用的较多的是三棱锥等积法，即.ABC D ABD C CDA B BCD A V V V V ----===四、线线距离 1．平行线的距离 2．异面直线的距离方法1．作出异面直线a 、b 的公垂线l ，然后求出公垂线段的长度.特别地，若直线α⊂a ，α⊥b ，O b =α ，在平面α内，过点O 作a OH ⊥，则OH 即为所求.方法2．向量法：设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，与AB 平行的向量为，C 、D 分别是1l 与2l 上的任意一点，则a 与b 的距离为||||n AB d ==五、线面距离若直线a ∥平面α，则β上任一点到平面α的距离都相等，于是，将求线面距离转化为求点到平面的距离.六、面面距离若平面β∥平面α，则β上任一点到平面α的距离都相等，于是，将求面面距离转化为求点到平面的距离.七、球面距离利用弧长公式求出经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.例1．在空间四边形ABCD 中，a BD AC ==，AC 与BD 成60角，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求线段MN 的长度.解1：取BC 中点E ，连结ME 、.NEM 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴MEN ∠是两条异面直线AC 与BD 所成的角或所成角的补角.MN ADCBAC 与BD 所成的角为 60， 60=∠∴MEN 或.120 =∠MEN由.2a NE ME a BD AC ==⇒== （1）若60=∠MEN ，则MNE ∆为正三角形，故.2a MN =（2）若120=∠MEN ，则MNE ∆为腰长为2a的等腰三角形，故.23a MN = 综上可得线段MN 的长度为2a，或23a .解2：++= ，++=， 两式相加，得到+++=2+=++，所以，)(21+=，且 60,>=<，或.120, >=< 于是),cos 2(41)(41||22222><++=+=a a a当60,>=<BD AC 时，.23||43||22aMN a MN =⇒=； 当120,>=<时，.2||4||22a a =⇒= 综上可得线段MN 的长度为2a，或23a .例2．一只小船以/10m 分的速度，由南向北等速驶过湖面，在离湖面20m 高处的桥上一辆汽车由西向东以/20m 分的速度等速前进. 如图，现在小船在水面P 点南m 40处，汽车在桥Q 点以西m 30处，求小船与汽车间的最短距离（可以不考虑汽车和小船本身的大小，线段PQ 分别垂直于小船和汽车的路线）.解：如下图设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，|1040||||,2030|||t BP t AQ -=-=.20||= 且异面直线AQ 与BP 所成的角为 90，于是，yOz yxACBDO 1A 1C 1B 1222222||||||||||||++=+=222)1040()2030(20t t -+-+= ].9)2(5[1002+-=t当2=t 时，900||min 2=，即).(30||min m =例3．（1）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是1AD 的中点，Q 是BD 上一点，DB DQ 41=，则P 、Q 两点间的距离为._______（2）在长方体1111C B A O OABC -中，,3,2==AB AO 则点1O 到AC 的距离为_______解：（1）如图，建立坐标系.xyz D - 则P )21,0,21(=、)0,41,41(=Q ， 故.46)21()41()2141(||222=-++-==PQ PQ （2）如图，建立坐标系.xyz O -设1O 在AC 上的正射影为D ，则)0,0,2(A 、).2,0,0(),0,3,0(1O C 设)0,,(y x D ，则)2,,(1-=y x D O ，)0,,2(y x AD -=，).0,3,2(-=AC 由AC D O ⊥1，且∥，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=--=+-.1312,1318.322,032y x y x y 所以).0,1312,1318(D故.1328622)1312()1318(||22211=++==O D O 例4．已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2=GC ，求点B 到平面EFG 的距离.解1：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、.ACEF 、BD 分别AC 交于H 、.OzyxF ED CBA GOHkFEDCBAG因为，ABCD 是正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以，EF ∥BD ，且H 为AO 的中点.BD 不在平面EFG 上，否则，平面EFG 与平面ABCD 重合，从而点G 在平面ABCD 上，与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以，BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离.AC BD ⊥ ，HC EF ⊥∴. ⊥GC 平面ABCD ，⊥∴EF 平面.HCG∴平面⊥EFG 平面HCG ，且平面 EFG 平面.HG HCG =作HG OK ⊥于点K ，则⊥OK 平面.HCG 所以，OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离.正方形ABCD 的边长为4，且2=GC ，.23,2,24===∴HC HO AC在直角HCG ∆中，.222)23(22=+=HG由于HKO Rt ∆和HCG Rt ∆有一个锐角是公共的，故HKO ∆∽.HCG ∆.111122222=⨯=⋅=∴HG GC HO OK即点B 到平面EFG 的距离为.11112 解2：如图，建立空间直角坐标系.xyz D - 易得向量)0,2,0(=，)0,2,2(=，)2,4,2(-=FG ，设平面EFG 的法向量为),,1(y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=⋅=⋅).3,1,1(.0,0n FG n 所以，点B 到平面EFG 的距离为.11112911|30)1(210|=++⨯+-⨯+⨯==d 例5．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 相互垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若).20(<<==a a BN CMACB DEFGNMP （Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小？（Ⅲ）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 所成的二面角α的大小. 解：（Ⅰ）作MP ∥BC 交AB 于点P ，连结PN ，则⊥MP 平面ABEF ，故AB MP ⊥，.BN MP ⊥由已知2,1,======AC BE AB CB a BN CM ，.22,22122)2(a PB a a AP MP =-=⋅-==∴ ++= ，)(2||||||||2222⋅+⋅+⋅+++=∴)043cos 220(2)22()221(222+⨯++++-=πa a a a a .122+-=a a).20.(21)22(||2<<+-=a a MN （Ⅱ）由（Ⅰ）知当22=a 时，MN 的长的最小值为.22（Ⅲ）当MN 最小时，22=a ，取MN 的中点G ，则A G B MN BG MN AG ∠⊥⊥,,为平面MNA 与平面MNB 所成的二面角α的平面角. 且,22====BN BM AN AM .,46BG AG +=== ∴222||,cos 2||||>=<⋅++， 即).31arccos(31cos 1cos 46462)46()46(222-=⇒-=⇒=⨯⨯-+ααα 例6．已知平面⊥α平面β，l =βα ，P 是空间一点，且P 到平面α、β的距离HP B 1C 1A 1DBCA xyz OD 1分别为1、2，则点P 到l 的距离为.________解：如图，α⊥PA ，β⊥PB ，则l PB l PA ⊥⊥,，所以平面l PAB ⊥，且平面O l PAB = ，连结PO ，则l PO ⊥，于是，.52122=+=PO即点P 到l 的距离为.5注意：一般地，若二面角βα--l 的大小为θ，α⊥PA ，β⊥PB ，且b PB a PA ==,，则点P 到l 的距离为.sin cos 222θθab b a -+ 例7．在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是正方形1111D C B A 的中心，点P 在棱1CC 上，且.41CP CC =（Ⅰ）求直线AP 与平面11B BCC 所成的角；（Ⅱ）设O 点在平面AP D 1上的射影为H ，求证：AP H D ⊥1；（Ⅲ）求点P 到平面11B BCC 的距离.解：（Ⅰ）⊥AB 平面11B BCC ，AP ∴与平面AP D 1所成的角是.APB ∠如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为.D4,411==CC CP CC ，)0,0,4(,4A CP =∴、)1,4,0(P 、).0,4,4(B ∴)1,4,4(--=，).1,0,4(-=171016=++=⋅ ，.33561173317||||cos =⨯==∠∴PB PA APB 所以，直线AP 与平面AP D 1所成的角的大小为.33561arccos或略解： 为平面11B BCC 的一个法向量，且><,为AP 与面11B BCC 所成角的余角， .3333433416,cos ==>=< 所以，直线AP 与平面AP D 1所成的角的大小为.33334arcsin（Ⅱ）连结O D 1，由（Ⅰ）有)4,0,0(1D 、).4,2,2(O∴)0,2,2(1=D ，0088=+-=⋅.1D ⊥∴平面AP D 1的斜线O D 1在这个平面内的射影是H D 1，∴.1AP H D ⊥或证：设),,(z y x H ，)4,2,2(---=z y x OH ，由A D OH 1⊥，P D OH 1⊥知，⎩⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅---=⋅=-⋅---=⋅.0434,02.0)3,4,0()4,2,2(,0)4,0,4()4,2,2(11z y z x z y x D z y x D 而,0444)4,,()1,4,4(1=-++-=-⋅-=⋅z y x z y x H D AP 故.1AP H D ⊥（Ⅲ）设平面1ABD 的一个法向量为).,,(z y x = 则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥.11AD A D即⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=⋅=⋅.1,0.0)4,0,4()1,,(,0)0,4,0()1,,(1x y y x AD y x 故).1,0,1(=故P 到平面1ABD 的距离等于1PD 在方向上的射影向量的长度，即.2232|)1,0,1()3,4,0(|||1=⋅-=n 例8．在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，M SC SA ,32==、N 分别为AB 、SB 的中点.（1）证明：SB AC ⊥；（2）求二面角B CM N --的大小； （3）求点B 到平面CMN 的距离.解：（1）取AC 中点O ，连结OS 、OB .Oz y xMCBASNAC AB SC SA ==, ，SO AC ⊥∴，且BO AC ⊥. 平面⊥SAC 平面ABC ，平面 SAC 平面AC ABC =，⊥∴SO 平面ABC ，.BO SO ⊥∴如图，建立直角坐标系xyz O -，则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,0,2(-C ，)22,0,0(S ，)0,3,1(M ，).2,3,0(N=∴)0,0,4(-，=)22,32,0(，=⋅ 0)22,32,0()0,0,4(=⋅-，.SB AC ⊥∴ （2）由（1）得=CM )0,3,3(，=).2,0,1(-设),,(z y x n =为平面CMN 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅.02,033z x n MN y x 取1=z ，则6,2-==y x ，得).1,6,2(-=又)22,0,0(=为平面ABC 的一个法向量，31||||,cos =>=<∴OS n ，于是，二面角B CM N --的大小为.31arccos （3）由（1）、（2）)0,3,1(-=，)1,6,2(-=为平面CMN 的一个法向量，∴点B 到平面CMN 的距离.324||||=⋅=n d 例9．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心.G（Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成的角的大小； （Ⅱ）求平面ABD 与平面BD A 1所成角的大小； （Ⅲ）求点1A 到平面AED 的距离.解：如图，建立直角坐标系，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，E Gyxz D C 1B 1A 1C(O)BAD 1B 1A 1A B DC 1C z yx)1,,(a a E ，)2,0,2(1a A ，)31,32,32(a a G ，GE ∴)32,3,3(a a =，)1,2,0(a -=. 由.10=⇒=⋅a（Ⅰ）由)32,31,31(=，且为平面ABD 的一个法向量及)2,2,2(1-=BA ，).31,34,32(-=由.723213234,cos 111=⨯=>=<BG BA 故B A 1与平面ABD 所成的角是37arccos. （Ⅱ）设平面BD A 1的一个法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+-=⋅.02,02221z y n BD z y x A ，取1=z ，则1,1=-=y x ，得).2,1,1(-=由.3263634,cos =⨯=>=< 所以，平面ABD 与平面BD A 1所成的角为32arccos .（Ⅲ）设平面AED 的法向量为),,(z y x m =，)1,1,1(-=AE ，).1,0,2(-=AD 仿上可求得)2,1,1(-=m ，又)2,0,0(1=AA ，设点1A 到平面AED 的距离为d ，则.36264||1===m d例10．在长方体1111D C B A ABCD -中，).(,,b a c CC b BC a AB ≠=== 求AC 与1BD 之间的距离及夹角.解：建立直角坐标系（左手系）如图，则)0,0,(b C ，)0,,0(a A ，)0,,(a b D ，),,(1c a b D .设n =),,1(μλA 同时与向量1BD 、CA 垂直（实际上n 为1BD 、CA 的法向量），则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,01n CA BD 得.2,c b a b -==μλ所以，=).2,,1(c b a b -= )0,0,(b ，于是，,b =⋅ 又.41||2222c b a b ++= ∴所求的距离为.4)(41222222222b a b a c abccb a b bd ++=++== 又,221a b CA BD +-=⋅而222||c a b BD ++=，.||22a b CA += ∴222222211||||||cos b a c b a b a CABD +++-==θ， 故.||arccos 2222222b a c b a b a +++-=θ练习：1．在平行四边形ABCD 中，90,1=∠==ACD AC AB ，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成 60角，求B 、D 间的距离. 解：在图（2）中以},,{为空间向量的一个基底，则.++= 由已知， 90,,,1||||||>=>=<<===CD AC AC BA BA CD AC ， 60,>=<CD BA 或.120 于是22)(||++=)(2||||||222⋅+⋅+⋅+++= .,cos 2323><+=⋅+=CD BA CD BA 当 60,>=<CD BA 时，2||4||2=⇒=BD BD ； 当 120,>=<时，.2||2||2=⇒= 故B 、D 间的距离为2或2. (2)DC BA (1)D C BA。
吴保宏公开示范课空间距离
C1
O1
B1
H
D
C
O
A
B
课外作业：
课本第51页 1，5，8
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？
C B
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少 条公垂线？
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂 线。
异面直线间 的距离通过 平移化为直 线到平面 （相交直线） 的距离
Q A
B M
A’ a
c a1 b
P B’
定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条 异面直线上两点的线段中最短的一条。
O
D
A
C
E
B
例3 正方体中，P为AB中点，Q为BC中点，AA1=2, O
为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。
D1 A1
C1 B1
D
OM
C Q
2
A PB
2
解法2：用空间向量方法求解
P'Q' PQ COS
d P'Q' PQCOS COS PQ
Eb
Q
COS PQ n
n
Q1 d
PQ n
（3） 转化为求平行平面间的距离。a//平面β,b//平面α
a b
a
a
α
α
b
（4）向量方法：
β
bHale Waihona Puke FbEF n dn
n
a E
（5）公式法：d l2 m2 n2 2mncos
同负，异正
思考：已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1， 求异面直线 AB1 与 A1C1 的距离。
D1 A1
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453
课题：教学目标： 1.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念
2.会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生
掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离(球面距离此课时不讨论)
教学重难点：点面距离.
（一） 主要知识及主要方法：
1.七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的
直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离.
2.点与点的距离：()1解三角形及多边形；()2向量法：空间任意两点A 、B 间的距离即线段 AB 的长度：设()111,,A x y z 、()222,,B x y z ，则
AB =
3.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.
说明：两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 求法：()1直接法：求两异面直线的公垂线段的长度；
()2转化法：转化为线面距离或面面距离；()3向量法：
法一、找平面β使b β⊂且a ∥β，则异面直线a 、b 的距离 就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β
的距离．
法二、在a 上取一点A ,
在b 上取一点B , 设a 、b
分别
为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ， n b ⊥
），
则异面直线a 、b 的距离cos AB n d AB n
θ==
（此方法移植于点面距离的求法）．
4.点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点， 过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是 点P 到平面α的距离.即 一点到它在一个平面内的正射影 的距离叫做这一点到这个平面的距离.
结论：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短.
求法：()1直接法：过点P 作一平面与平面α垂直，再过点P 作两平面的交线的垂线即可
()2等体积法：()3线面平行法：若过点P 有一直线l ∥平面α，则直线l 上的任一点到平面α的距离等于到点P 到平面α的距离.()4线段比例转化法：平面的统一斜线上的两点到
该平面的距离与这两点到斜足的距离成比例，运用此结论可转化为另一点到该平面的距离.
()5向量法：法一、设n
是平面α的法向量，在α内取一点则A 到α的距离cos AB n d AB n
θ==
a
A
b
α
454
法二、设AO α⊥于O ,利用AO α⊥和点O 在α内的向量表示，可确定点O 的位置，从而
求出AO
，即直接求垂线段的长度.
5.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直
线到平面的距离(转化为点面距离).
6.距离的共性：这其中距离中，虽然定义不同，但总具有下列几个特征：
()1某距离是指相应线段的长度；()2此线段是相关线段中最短的；()3除两点间的距离外，
其余总与垂直相联系，由此求距离的方法就有几何法和代数等方法.
7.求距离的一般步骤：()1找出或作出相关的距离；()2证明它符合定义；()3归到某三角形
或多边形中计算;()4作答.
（二）典例分析：
问题1．（05江西）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AD AA ==，
2AB =， 点E 在棱AD 上移动.()1略；()2当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；()3略
(请用多种方法，至少要用向量法)
A B E C D 1A
1B
1C
1D
455
问题2．（07辽宁）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，AC BC a ==，
D E ,分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30︒．
()1证明：111A B C D ⊥(此小题略去不写)；
()2求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．
(请用多种方法，至少要用向量法)
A
B
C
1A 1B
1C
D
M
E
456
问题3．（07湖北文）在棱长为1的正方体11
1
1
ABCD A B C D -中，E F ,
分别为棱1
1
AA BB ,的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1
AG λ=（0≤λ≤1）．则点G 到平面1D EF 的距离为 .
A .
B .
C .
D
问题4．（05重庆）如图，在三棱柱
1ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，E 为棱1
CC 上异于C 、1C 的一点，1EA EB ⊥，已知AB =，12BB =，1BC =，
13
BCC π
∠=
，求：()1异面直线AB 与1EB 的距离；()2略.
问题5．棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 的中点，
连结1A D ，DC ，1AC .()1求证：1BC ∥平面1A DC (略去不写)；()2求1BC 到平面1A DC 的距离.
A B
C
D
1A 1
B
1C
1D
E
F G A B
C 1A
1B
1C
E A
B
C
1A
1B
1C
D
457
P
B
E D
C
A
（三）课后作业：
1.A
α，,AB AC 是平面α的两条斜线，O 是A 在平面α内的射影，4AO =，OC =BO OC ⊥，30OBA ∠=︒，则点C 到直线AB 的距离为
2.在长方体1111ABCD A BC D -中，4AB BC ==，13AA =，
则直线11B C 与平面11A BCD 的距离是 .A 12
5
.B 4 .C 3 .D 135
3.如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，
4BC =．E 是PD 的中点．
()1求证：平面PDC ⊥平面PAD （略去不写）
； ()2求二面角E AC D --所成平面角的余弦值（略去不写）
； ()3求B 点到平面EAC 的距离．
高三理科数学第一轮复习讲义 第63课时
458
4.如图，在长方体1111
ABCD A BC D -中，4AB =， 3BC =，12CC =.
()1求证：平面11A BC ∥平面1
ACD （略去不写）； ()2求平面11A BC 与平面1ACD 间的距离.
（四）走向高考：
5.（05福建）如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长 为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
()1求证：AE ⊥平面BCE （略去不写）
； ()2求二面角B AC E --的大小（略去不写）
； ()3求点D 到平面ACE 的距离.
6.（05辽宁）如图，正方体的棱长为1，C 、D A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD
A
C
D E
F
M
D A
B
C
D
1A
1B
1C
1D
459
7.（06天津）如图，在正三棱柱111
ABC A B C -中， 1.AB = 若二面角1C AB C --的大小为60︒， 则点C 到直线AB 的距离为
8.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，O 是底面
1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为
.
A 21
.B 42 .C 2
2 .D 23
A
B
C
1
A
1B
1C
A
B
C
D
1C
1D
1A
1B
O
460
9.（06湖北文）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长
和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱
1CC 上的点，且12CN C N =.
()1求二面角1B AM N --的平面角的余弦值（略去不写）
； ()2求点1B 到平面AMN 的距离(请用多种方法，至少要用向量法)
A
B
C
M 1B
N
1A
1C
A B C
M 1B N 1A
1C。