2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：13 变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
届高考数学一轮总复习课时跟踪检测(十三)变化率与导数、导数的计算理新人教版【含答案】
课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x， ∴y ′＝cos x ＋e x， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3.解：(1)y ′＝(e x)′cos x ＋e x(cos x )′＝e xcos x －e xsin x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2015·广州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2016·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.6．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝ 2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a fa＋b fb＋c fc＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a fa ＋b f b＋c fc＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·t a n x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x.解：(1)y ′＝(x ·t a n x )′＝x ′t a n x ＋x (t a n x )′＝t a n x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝t a n x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝t a n x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x′＝x ＋x －x x ＋x 2＝x ＋2x ＋1·x －x＋x 2＝2x2x ＋1－x ＋x 2＝2x －x ＋x ＋x ＋x2.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A. 278B ．－2C ．2D ．－278解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(十三)变化率与导数、导数的计算 含解析
答案：B
14．(20xx·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()
A．ln 2B．1C．1－ln 2D．1＋ln 2
解析：由y＝xlnx得y′＝lnx＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝lnx0＋1，因为切点(x0，y0)既在曲线y＝xlnx上又在直线y＝kx－2上，所以 所以kx0－2＝x0lnx0，所以k＝lnx0＋ .
解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝ －3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
答案：y＝－2x－1
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
解析：f′(2)、f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A、B处切线的斜率．
又f(3)－f(2)＝ 表示直线AB的斜率．
2020届高考数学（理科）总复习课时跟踪练：（十三）变化率与导数、导数的计算 含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
(十三)
A组 基础巩固
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()
A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)
答案：B
9．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________．
2020高考数学理科大一轮复习导学案《变化率与导数、导数的计算》含答案
第十节变化率与导数、导数的计算知识点一 导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx→0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．1．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．2．函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x ＝2处的导数为4.解析：函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3，在x ＝2处的导数为f ′(2)＝2×2＝4.3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . 解析：∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 知识点二 导数的运算1．几种常见函数的导数2.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．4．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( B ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 5．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( B ) A ．e 2 B ．e C.ln22D ．ln2解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.1．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝sin x .2．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．考向一 导数的运算【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 【解】 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ，∴y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .(1)对于复杂函数的求导，首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，不要与求导的乘法公式混淆.(1)函数y ＝sin xx 的导数为y ′＝x cos x －sin x x 2. (2)已知f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋a )，若f ′(－1)＝2，则f ′(1)＝26. (3)函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值是－74.解析：(1)∵y ＝sin xx ，∴y ′＝x (sin x )′－x ′sin x x 2＝x cos x －sin xx 2.(2)f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋a )＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋a )＝x 3＋(a ＋3)x 2＋(3a ＋2)x ＋2a ，所以f ′(x )＝3x 2＋2(a ＋3)x ＋3a ＋2，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋2(a ＋3)×(－1)＋3a ＋2＝2，解得a ＝3，所以f ′(x )＝3x 2＋12x ＋11，所以f ′(1)＝3×12＋12×1＋11＝26.(3)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－12，解得f ′(2)＝－74. 考向二 导数的几何意义方向1 已知切点求切线方程【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x【解析】 解法1：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)·(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.解法2：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【答案】 D 方向2 求切点坐标【例3】 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．【解析】 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)方向3 未知切点的切线问题【例4】 (1)(2019·西安八校联考)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2019·广州市调研测试)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．【解析】 (1)解法1：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A (23x 0,0)．易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20(x －x 02)，根据线段OB 的垂直平分线过点A (23x 0,0)可得－x 302＝－1x 20(23x 0－x 02)，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.故选C. 解法2：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A (23x 0,0)．由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.故选C.(2)由y ＝x ln x 得，y ′＝ln x ＋1.设直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，又直线y ＝kx －2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y 0＝x 0ln x 0代入切线方程，得x 0＝2，故P (2,2ln2)．把(2,2ln2)代入直线的方程y ＝kx －2，得k ＝1＋ln2.【答案】 (1)C (2)1＋ln21.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .,(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.2.根据导数的几何意义求参数的值的思路一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.1．(方向1)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( B )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3解析：设x >0，则－x <0，∵f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x ln x －x ＋2)＝x ln x ＋x －2.∴f (1)＝－1，f ′(x )＝ln x ＋2.∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是y ＝2x －3.故选B.2．(方向2)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( A )A ．ln2B ．－ln2 C.ln22D ．－ln22解析：对f (x )＝e x ＋a ·e －x 求导得f ′(x )＝e x －a e －x ，又f ′(x )是奇函数，故f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1，故f ′(x )＝e x －e －x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝32，得e x 0＝2或e x 0＝－12(舍去)，得x 0＝ln2.3．(方向3)经过原点(0,0)作函数f (x )＝x 3＋3x 2的图象的切线，则切线方程为y ＝0或9x ＋4y ＝0.解析：当(0,0)为切点时，f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0；当(0,0)不为切点时，设切点为P (x 0，x 30＋3x 20)(x 0≠0)，则切线方程为y －(x 30＋3x 20)＝(x －x 0)(3x 20＋6x 0)，因为切线过原点，所以x 30＋3x 20＝3x 30＋6x 20，所以x 0＝－32，此时切线方程为9x ＋4y ＝0.典例 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.【分析】 分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．【解析】 解法1：求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1. 又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln2－1＝1－ln2.解法2：设直线y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2的切点坐标为A (x 1，ln x 1＋2)，则在点A 处的切线方程为y －(ln x 1＋2)＝1x 1(x －x 1)，即为y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1 ①，设直线y ＝kx ＋b 与y ＝ln(x ＋1)的切点坐标为B (x 2，ln(x 2＋1))，则在点B 处的切线方程为y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，即为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1②，由①②表示同一直线，则⎩⎨⎧ x 1＝x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，则b ＝ln 12＋1＝1－ln2.【答案】 1－ln2已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝8.解析：法1：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法2：同法1得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧ x 0＝－12，a ＝8.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训13变化率与导数导数的计算文含解析北师大版20190627273
课后限时集训(十三)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．已知函数f (x )＝x －exx，f ′(x )是f (x )的导函数，则f ′(1)－f (1)＝( )A ．2B ．eC ．1D ．－e B [f ′(x )＝1－exx －x 2，则f ′(1)＝1，又f (1)＝1－e ，所以f ′(1)－f (1)＝1－(1－e)＝e ，故选B.]2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0C [由于y ′＝e －1x，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0，故选C ．]3．曲线y ＝x e x在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b的值为( ) A ．－12eB ．－2eC ．2eD ．12eD [y ′＝e x＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e.]4．(2019·广州模拟)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C ．1eD ．－1eC [设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ′＝1x 得y ′|x ＝x 0＝1x 0，由题意知y 0x 0＝1x 0，即y 0＝1，∴ln x 0＝1，解得x 0＝e ，因此切线的斜率为1e，故选C ．]5．已知奇函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的解析式为f (x )＝x 2＋x ，则曲线y ＝f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x －y ＋1＝0B [当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ， 又f (－x )＝－f (x )，则－f (x )＝x 2－x ，即f (x )＝－x 2＋x ， ∴f ′(x )＝－2x ＋1，∴f ′(1)＝－1，又f (1)＝0.因此所求切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0，故选B.] 二、填空题6．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图所示，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.0 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．已知函数f (x )＝13x 3＋43.(1)求函数f (x )在点P (2,4)处的切线方程； (2)求过点P (2,4)的函数f (x )的切线方程．[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.B 组 能力提升1．(2019·青岛模拟)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2； 对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A ．]2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2xA [设三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知得y ＝－x 是函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点(0,0)处的切线，则y ′|x ＝0＝－1⇒c ＝－1，排除选项B 、D.又∵y ＝3x －6是该函数在点(2,0)处的切线，则y ′|x ＝2＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3⇒12a ＋4b －1＝3⇒3a ＋b ＝1.只有A 选项的函数符合，故选A ．]3．(2019·武汉模拟)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．1 [f (x ＋1)＝x ＋－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x，对f (x )求导得f ′(x )＝1x2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.]4．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．。
高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业13变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
课时作业变化率与导数、导数的计算一、选择题．已知()＝( ＋)，′()＝，则等于( )．．．．解析：因为()＝＋，所以′()＝＋＋＝＋，又因为′()＝，所以＋＝，解得＝.答案：．若()＝′()＋，则′()等于( )．．．－．－解析：′()＝′()＋，令＝，则′()＝′()＋，得′()＝－，所以′()＝′()＋＝－.答案：．已知曲线＝－的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为( ) ．－．．或－．解析：设切点坐标为(，)，因为′＝－，所以′＝－＝－，即＋－＝，解得＝或＝－(舍)，故选.答案：．已知直线＝＋与曲线＝(＋)相切，则的值为( )．．．－．－解析：设切点坐标为(，)，由′＝知′＝＝，即＋＝.解方程组得故选.答案：．下面四个图象中，有一个是函数()＝＋＋(－)＋(∈)的导函数＝′()的图象，则(－)＝( )．－．－或解析：∵′()＝＋＋－，∴′()的图象开口向上，则②④排除．若′()的图象为①，此时＝，(－)＝；若′()的图象为③，此时－＝，又对称轴＝－>，∴＝－，∴(－)＝－.答案：．设为实数，函数()＝＋＋(－)的导函数为′()，且′()是偶函数，则曲线＝()在点(，())处的切线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝解析：′()＝＋＋－，由于′()是偶函数，所以＝，此时′()＝－，′()＝，()＝，所以曲线＝()在点(，())处的切线方程为－＝(－)，即－－＝.答案：二、填空题．函数＝()的图象在点(，())处的切线方程为＝＋，′()为()的导函数，则()＋′()＝．解析：(，())在切线＝＋上，∴()＝，又′()＝，∴()＋′()＝.答案：。
2020版高考数学一轮复习第三章第一节变化率与导数、导数的计算课件文
▶提醒 对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f '(x0)g(x)+h
(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f '(x0)是常数,其导数值 为0.因此先求导数f '(x),令x=x0,即可得到f '(x0)的值,进而得到函数解析 式,求得所求导数值.
1-1 f(x)=x(2 018+ln x),若f '(x0)=2 019,则x0等于 ( B )
命题方向三 求参数的值
典例4 (2019河北唐山质检)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于 点A(1,3),则b的值为 ( A.3 B.-3 C.5 ) D.-5
答案 A
解析 由题意知,3=k+1,∴k=2,又(x +ax+b)'|x=1=(3x +a)|x=1=3+a,∴3+a=2, ∴a=-1,∴3=1-1+b,即b=3.
1 1 (2)由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于- ,∴f '(3)=- . 3 3
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①
y x
.
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
,若Δx=x2-x1,Δy=
f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
y f ( x0 x) f ( x0 ) lim = lim 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 为函数y x0 x x0 x y lim = |x x0 ,即f '(x0)= lim =f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x0)或y' x0 x x0 f ( x0 x) f ( x0 ) x .
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf
第10节 导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二 导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二 因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。
2020届高三理数一轮讲义：3.1-变化率与导数、导数的计算(练习版)
第1节 变化率与导数、导数的计算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－9B.－3C.9D.153.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝______ m/s2.4.(2019·保定质检)已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·福州联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－e B.2C.－2D.e规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.考点二 导数的几何意义 多维探究角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.1 2(2)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.角度3求参数的值或取值范围【例2－3】(1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·东北三省四校联考)已知曲线f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】(1)(2018·东莞二调)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x2.(2018·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 23.函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( ) A.y ＝xB.x ＝0C.y ＝0D.不存在4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末5.(2019·合肥一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7B.4C.0D.－46.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )8.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2D.1＋ln 2二、填空题 9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________.10.已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.12.已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________________.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·深圳二模)设函数f(x)＝x＋1x＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝()A.1B.0C.－1D.－214.(2019·西安一模)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)＝x3－32x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________.15.函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________.16.若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.。
2020高考数学一轮复习 课时作业13 变化率与导数、导数的计算 理
课时作业13 变化率与导数、导数的计算[基础达标]一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 答案：C2．[2019·衡水调研]曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 解析：∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．[2019·山西名校联考]若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋2sin xD ．f (x )＝e x＋x解析：A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A 选项；B 选项中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B 选项；C 选项中，f ′(x )＝2cos x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x＋1，其图象不关于y 轴对称，排除D 选项．答案：C4．[2019·郑州市质量检测]曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.答案：C5．[2019·合肥市高三第一次质量检测]已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．e解析：由题意知y ′＝a e x＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：B6．[2019·福建福州八县联考]已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( )A ．－eB ．2C ．－2D ．e解析：由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.答案：B7．[2019·湖南株洲模拟]设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处的切线斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )图象的一部分可以是( )解析：由y ＝x sin x ＋cos x 可得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .则g (t )＝t cos t ，g (t )是奇函数，排除选项B ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y >0，排除选项C.故选A.解析：如图，在同一平面直角坐标系内分别作出函数f (x )的大致图象以及直线l ，并平移直线l 使之与函数f (x )的图象恰好相切于点Q ，由图易知，当且仅当点P 与点Q 重合时，点P 到直线l的距离最短．设点Q (x 0，y 0)，则由f ′(x )＝2x ，可得f ′(x 0)＝2x 0＝2，解得x 0＝1，所以y 0＝f (x 0)＝f (1)＝0，所以Q (1,0)，故点Q 到直线l ：2x －y ＋6＝0的距离为85，即855.故点P 到直线l 的距离的最小值为855.答案：855[能力挑战]15．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1,1]，。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：13 变化率与导数、导数的计算 Word版含解析
课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．(2021·泰安一模)给出以下结论：①假设y ＝log 2x ,那么y ′＝1x ln2；②假设y ＝－1x ,那么y ′＝12x x； ③假设f (x )＝1x 2 ,那么f ′(3)＝－227；④假设y ＝a x (a >0) ,那么y ′＝a x ln a .其中正确的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数) ,那么其导函数f ′(x )＝( B )A.1＋x e xB.1－x e x C ．1＋xD ．1－x解析：函数f (x )＝xe x ,那么其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x ,应选B.3．假设函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1 ,那么点P 的坐标为( C )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1 ,－3)解析：f ′(x )＝3x 2－1 ,令f ′(x )＝2 ,即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1 ,又f (1)＝3 ,f (－1)＝3 ,所以P (1,3)或(－1,3) ,经检验 ,点(1,3) ,(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上 ,故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．4．(2021·合肥市质量检测)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数) ,那么实数a 的值是( B )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2 ,那么a >0 ,x ＝－ln a ,代入曲线方程得y ＝1－ln a ,所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a ) ,即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.5．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最|短距离为( A ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0.设切点为P (x 0 ,y 0) ,∵y ′＝2x ,∴斜率k ＝2x 0＝2 ,解得x 0＝1 ,因此y 0＝2ln1＝0 ,∴切点为P (1,0) ,那么点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|22＋(－1)2＝ 5 ,∴曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y＋3＝0的最|短距离是 5.6．(2021·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( C )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：设切点P (a ,a 3－a 2－2a ＋1) ,由f ′(x )＝3x 2－2x －2 ,当a ≠－1时 ,可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1) ,所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ,即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1) ,所以a ＝1 ,此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1 ,故切线有2条．7．函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ,假设曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线 ,那么实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ 1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e e D ．(e ,＋∞)解析：由题意知 ,方程f ′(x )＝－1e 有解 ,即e x－m ＝－1e 有解 ,即e x ＝m －1e 有解 ,故只要m －1e >0 ,即m >1e 即可 ,应选B.8．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数 ,f ″(x )是函数f ′(x )的导函数 ,假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0 ,那么称点(x 0 ,f (x 0))为函数y ＝f (x )的 "拐点〞．函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0 ,f (x 0)) ,那么点M ( B )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ,f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ,结合题意知4sin x 0－cos x 0＝0 ,所以f (x 0)＝3x 0 ,故M (x 0 ,f (x 0))在直线y ＝3x 上．应选B.二、填空题9．(2021·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2 ,那么a ＝－3.解析：y ′＝(ax ＋1＋a )e x ,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2 ,得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2 ,所以a ＝－3.10．函数f (x )是偶函数 ,当x >0时 ,f (x )＝(2x －1)ln x ,那么曲线y ＝f (x )在点(－1 ,f (－1))处切线的斜率为－1.解析：当x >0时 ,f ′(x )＝2ln x ＋2x －1x ,那么f ′(1)＝1 , ∵函数f (x )是偶函数 ,∴f ′(－1)＝－1.11．假设函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同 ,那么实数b ＝0或－1.解析：设公共切点的横坐标为x 0 ,函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2 ,y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x .由图象在一个公共点处的切线相同 ,可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ,解得x 0＝0 ,b ＝－1或x 0＝1 ,b＝0.故实数b ＝0或－1.三、解答题12．函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2 ,f (2))处的切线方程． (2)求经过点A (2 ,－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5 ,所以f ′(2)＝1 ,又f (2)＝－2 ,所以曲线在点(2 ,f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2 ,即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2 ,－2)的切线相切于点P (x 0 ,x 30－4x 20＋5x 0－4) ,因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5 ,所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2) ,又切线过点P (x 0 ,x 30－4x 20＋5x 0－4) ,所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2) ,整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0 ,解得x 0＝2或1 ,所以经过A (2 ,－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．函数f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1 ,曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的切线 ,那么实数a 的取值范围为( B )A ．(3 ,＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3 72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ 72 D ．(0,3)解析：f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1的导函数为f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ,由题意可得2e 2x－2e x＋a ＝3的解有两个 ,即有⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －122＝7－2a4 ,即为e x＝12＋7－2a 2或e x＝12－7－2a2,即有7－2a >0且7－2a <1 ,解得3<a <72.14．函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围；(2)假设曲线C 存在两条相互垂直的切线 ,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1 ,即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1 ,＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0) ,那么由(2)中条件并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1 －1k ≥－1 解得－1≤k <0或k ≥1 ,故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1 , 得x ∈(－∞ ,2－2]∪(1,3)∪[2＋ 2 ,＋∞)． 尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用15．(2021·安徽江南十校联考)假设曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa (a >0)存在公共切线 ,那么a 的取值范围为( D )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1 e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24＋∞ 解析：曲线y ＝x 2在点(m ,m 2)的切线斜率为2m ,曲线y ＝e xa (a >0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n 1a e n 的切线斜率为1a e n ,如果两条曲线存在公共切线 ,那么2m ＝1ae n .又由直线的斜率公式得到2m ＝m 2－1a enm －n,那么有m ＝2n －2 ,那么由题意知4n －4＝1a e n 有解 ,即y ＝4x －4 ,y ＝1a e x的图象有交点．假设直线y ＝4x －4与曲线y ＝1a e x 相切 ,设切点为(s ,t ) ,那么1a e s＝4 ,且t ＝4s －4＝1a e s ,可得切点为(2,4) ,此时1a ＝4e 2 ,故要使满足题意 ,需1a ≤4e 2 ,那么a ≥e 24 ,故a 的取值范围是a ≥e 24.应选D.16．(2021·安徽淮南一模)函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1 ,f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点 ,使以这两点为切点的切线互相垂直 ,且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1上 ?假设存在 ,求出这两点的坐标 ,假设不存在 ,请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1 ,且f ′(x )＝2x －1x ,f ′(1)＝2－1＝1 ,那么所求切线方程为y －1＝1×(x －1) ,即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意 ,且设切点坐标为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,那么x 1 ,x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1 ,不妨设x 1<x 2 ,结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x 1－1x 1)(2x 2－1x 2)＝－1 ,又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1上单调递增 ,函数的值域为[－1 ,1] ,故－1≤2x 1－1x 1<2x 2－1x 2≤1 ,据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－12x 2－1x 2＝1解得x 1＝12 ,x 2＝1(x 1＝－1 ,x 2＝－12)舍去 ,故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ln2＋14 ,(1,1)满足题意．。
高中数学(文)统考版 复习 课时作业 13变化率与导数、导数的计算
解析：∵f(x)＝(x2－a)lnx(x>0)，∴f′(x)＝2xlnx＋ ，∴f′(1)＝1－a＝－2，得a＝3.
答案：3
8．[2020·湖南湘东六校联考]已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．
解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点坐标分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为 ×1×1＝ .
答案：C
13．[2020·四川绵阳月考]过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，最多有()
A．3条B．2条
C．1条D．0条
解析：设切点为P(x0，x －3x0)．易知f′(x0)＝3x －3，则切线方程为y－x ＋3x0＝(3x －3)(x－x0)，代入(2,1)得，2x －6x ＋7＝0.令y＝2x －6x ＋7，则y′＝6x －12x0.由y′＝0，得x0＝0或x0＝2，且当x0＝0时，y＝7>0，x0＝2时，y＝－1<0，所以方程2x －6x ＋7＝0有3个解，则过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线的条数是3条．故选A项．
答案：D
二、填空题
6．[2019·全国卷Ⅰ]曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，
∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，
∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
答案：y＝3x
7．[2020·天津十二重点中学联考]已知函数f(x)＝(x2－a)lnx，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a的值为________．
高考数学一轮复习 课时作业(十三)第13讲 变化率与导数、导数的运算 文
课时作业(十三)第13讲变化率与导数、导数的运算时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.已知函数f(x)=x-,f'(x)是f(x)的导函数,则f'(1)-f(1)=()A. 2B. eC. 1D. -e2.函数f(x)=的图像在点(1,-2)处的切线方程为()A. 2x-y-4=0B. 2x+y=0C. x-y-3=0D. x+y+1=03.某汽车沿直线行驶时,位移s关于时间t的函数是s(t)=2t3-gt2(g取10 m/s2),则当t=2 s 时,汽车的加速度是()A. 14 m/s2B. 4 m/s2C. 10 m/s2D. -4 m/s24.[2017·天津质检]已知函数f(x)=,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)= .5.[2017·长沙长郡中学模拟]已知f(x)=ax ln x+1,x∈(0,+∞)(a∈R),f'(x)为f(x)的导函数,f'(1)=2,则a= .能力提升6.[2017·湖北百校联考]已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()A. 1B. -1C. 2D. -27.若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=()A.B. 2C.D. 28.若函数f(x)=x4-x的图像在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为()A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)9.下列图像中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图像,则f(-1)等于()图K13-1A.B. -C.D. -或10.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为.11.若函数f(x)=的图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则实数a= .12.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.13.(15分)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图像为曲线C.(1)求曲线C在任意一点的切线斜率的取值范围;(2)若曲线C在点A(x0,y0)处的切线与该曲线在点B处的切线垂直.求x0的取值范围.14.(15分)[2017·河南天一联考]设函数f(x)=(x2-2ax)ln x+bx2,a,b∈R.(1)当a=1,b=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当b=2时,若对任意x∈[1,+∞),不等式2f(x)>3x2+a恒成立.求实数a的取值范围.难点突破15.(5分)若曲线y1=x2与曲线y2=a ln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=()A. -2B.C. 1D. 216.(5分)[2018·邯郸联考]函数f(x)=ln x的图像在点P(x0,f(x0))处的切线l与函数g(x)=e x的图像也相切,则满足条件的切点P有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个课时作业(十三)1.B[解析] 因为f'(x)=1-=1-,所以f'(1)=1,又f(1)=1-e,所以f'(1)-f(1)=e.2. C[解析] 因为f'(x)=,所以f'(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.3. A[解析] 由题意知,汽车行驶的速度v关于时间t的函数为v(t)=s'(t)=6t2-gt,则v'(t)=12t-g,故当t=2 s时,汽车的加速度是v'(2)=12×2-10=14(m/s2).4. 2[解析] 因为f'(x)==,所以f'(0)=2.5. 2[解析] 因为f'(x)=a ln x+ax·=a(ln x+1),所以f'(1)=a(ln 1+1)=2,即a=2.6. A[解析] 设x+1=t,则x=t-1,所以f(t)==2-,故f(x)=2-,又f'(x)=,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=1.7. B[解析] 设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,则对于y=2ln x+1,有y'=,于是有解得x0=,则a==2.8. C[解析] 设点P的坐标为(x0,y0).因为f'(x)=4x3-1,所以f'(x0)=4-1=3,即x0=1,又y0=f(x0)=f(1)=0,所以点P的坐标为(1,0).9. B[解析] 因为f'(x)=x2+2ax+(a2-1),所以f'(x)的图像开口向上.又a≠0,所以f'(x)不是偶函数,即其图像不关于y轴对称,则f'(x)的图像为第三个图.由图像特征知f'(0)=0,所以a2-1=0,又f'(x)图像的对称轴x=-a>0,所以a=-1,因此f(x)=x3-x2+1,f(-1)=--1+1=-.10. 1[解析] 因为f(x)=f'cos x+sin x,f'(x)=-f'sin x+cos x,所以f'=-f'sin+cos,所以f'=-1,所以f=(-1)cos+sin=1.11. 7[解析] 因为f'(x)==,且f'(1)=tan=-1,所以=-1,解得a=7.12.-3[解析] y=ax2+的导数为y'=2ax-,直线7x+2y+3=0的斜率为-.由题意得解得则a+b=-3.13.解:(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C在任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C在点A处的切线的斜率为k,则由已知条件并结合(1)中结论可知解得-1≤k<0或k≥1,则有-1≤-4x0+3<0或-4x0+3≥1,解得x0∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).故x0的取值范围为(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).14.解:(1)当a=1,b=0时,f(x)=(x2-2x)ln x,则f(1)=0,f'(x)=(2x-2)ln x+x-2,所以f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.(2)当b=2时,f(x)=(x2-2ax)ln x+2x2,a∈R.不等式2f(x)>3x2+a等价于(2x2-4ax)ln x+x2-a>0.令p(x)=(2x2-4ax)ln x+x2-a,x∈[1,+∞),则p(x)=(2x2-4ax)ln x+x2-a>0在[1,+∞)上恒成立,所以p(1)=1-a>0,所以a<1.又p'(x)=(4x-4a)ln x+(2x-4a)+2x=4(x-a)(ln x+1),其中x≥1,显然当a<1时,p'(x)>0,则函数p(x)在[1,+∞)上单调递增,所以p(x)min=p(1)=1-a>0,所以a<1.综上可知a的取值范围为(-∞,1).15. C[解析] 因为y'1=,y'2=,曲线y1=x2与曲线y2=a ln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,所以由①②得a=,由③得a=,所以=,所以s=,a=1.16.C[解析] 函数f(x)=ln x的图像在点P(x0,f(x0))处的切线l的方程为y=x+ln x0-1.设直线l与函数g(x)=e x的图像相切于点(x1,),则y=x+(1-x1).由题意知=,lnx0-1=(1-x1),所以可得ln x0=.作出函数y=ln x与y=的大致图像如图所示,由图可知,两函数的图像有两个交点.故选C.。
2020高考数学一轮复习配餐作业13变化率与导数导数的计算含解析理
2019年配餐作业(十三) 变化率与导数、导数的计算(时间：40分钟)一、选择题1．(2016·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析 ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π。
故选C 。
答案 C2．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析 由题意知y ′＝e x，故所求切线斜率k ＝e x| x ＝0＝e 0＝1。
故选A 。
答案 A3．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴y ′| x ＝π2＝－1， 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1。
故选A 。
答案 A4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 2， 所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30。
又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32。
当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1。
备考2020年高考数学一轮复习：12 变化率与导数、导数的计算
备考2020年高考数学一轮复习：12 变化率与导数、导数的计算一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）曲线y=2sinx+cosx 在点（π，-1）处的切线方程为 （ ）A ．x-y-π-1=0B ．2x-y-2π-1=0C ．2x+y-2π+1=0D ．x+y-π+1=02．（2分）下列求导运算的正确是（ ）A ．(sina)′=cosa(a 为常数 )B ．(sin2x)′=2cos2xC ．(cosx)′=sinxD ．(x −5)′=−15x −63．（2分）已知曲线 f(x)=xlnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．1B ．ln2C ．2D ．e4．（2分）一物体做直线运动，其位移 s (单位: m )与时间 t (单位: s )的关系是 s =5t −t 2 ，则该物体在 t =3s 时的瞬时速度是（ ） A ．−1m/sB ．1m/sC ．2m/sD ．6m/s5．（2分）曲线 y =ax 2+bx −1 在点（1，1）处的切线方程为 y =x,则b −a =（ ）A ．—4B ．—3C ．4D ．36．（2分）若曲线 y =x n ex 在点 (1，1e ) 处的切线的斜率为 4e ，则 n = （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2分）设函数 f(x) 在 x =1 处存在导数，则 limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx = （ ）A ．13f ′(1)B ．f ′(1)C ．3f ′(1)D ．f ′(3)8．（2分）设函数 f(x) 的导函数为 f ′(x) ，且 f(x)=x 2+2xf ′(1) ，则 f ′(2) ＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．29．（2分）函数 y =e x sin2x 的导数为（ ）A ．y′ ＝2 e x cos2xB ．y′ ＝ e x (sin2x +2cos2x)C ．y′ ＝2 e x (sin2x +cos2x)D ．y′ ＝ e x (2sin2x +cos2x)10．（2分）下列求导运算正确的是（ ）A ．(x +3x )′=1+3x 2B ．(log 2x)′=1xln2C ．(3x )′=3x log 3eD ．(x 2cosx)′=−2xsinx11．（2分）给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数。
高考数学一轮复习变化率与导数、导数的计算
第1讲 变化率与导数、导数的计算最新考纲考向预测1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.命题趋势 本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ．(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．常见误区1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD.因为(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A ，D 正确．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1解析：选B.因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，f ′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C ，D.又f (1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.4．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 45．(易错题)函数y ＝ln xe x 的导函数为________． 解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算 角度一 求已知函数的导数求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.【解】 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)因为f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－9 4对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝() A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝e x ln x＋1x－1，则f′(1)＝()A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e解析：选C.由题意，得f ′(x )＝(e xln x )′－1x 2＝e xln x ＋e x x －1x 2，所以f ′(1)＝0＋e－1＝e －1，故选C.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .导数的几何意义 角度一 求切线方程(1)(2021·广州调研检测)已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为___________________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________________________．【解析】 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0.解得a ＝1，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0.(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ， 所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三 已知切线方程(或斜率)求参数(1)(2021·西安五校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.(2)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)． 【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1|x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是________；f (2)＋f ′(2)的值为________．解析：由题图可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12， 则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52. 答案：x ＋2y －8＝0 52[A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选A.因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒解析：选C.因为函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ，所以h ′(t )＝－9.8t ＋8，所以在t ＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43解析：选B.由y ＝x 3－x 2＋1可得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 20－2x 0＝8，所以x 0＝2或x 0＝－43.①当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x 0＝－43时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－8527，切线方程为y ＋8527＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43，即y ＝8x ＋20327，与直线y ＝8x －11平行，故选B.5．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC.对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：259．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos xe x .解：(1)因为y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x－12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， 所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级 综合练]11．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （2）－f （1）2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为f （2）－f （1）2－1＝a ，所以易知f ′(1)<a <f ′(2)．12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值可能为( )A.196 B ．3 C.103D.92解析：选AC.f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，因为曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的不同切线，所以f ′(x )＝3有两个不相等的实数根，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a －3)>0，① 设两切点的横坐标分别为x 1，x 2. 因为切点的横坐标都大于零， 所以x 1>0，x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－－22＝1>0，x 1·x 2＝a －32>0，②联立①②解得3<a <72， 故选AC.13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，所以f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意．[C 级 创新练]15．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC.对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，这个方程显然有解，得x ＝0或x ＝2，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D 不符合要求．16．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α解析：选D.由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，所以α＝1.由h (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可得r (1)<0，r (2)>0，故1<β<2.由φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.故选D.第1讲 变化率与导数、导数的计算最新考纲考向预测1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.命题趋势 本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ．(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．常见误区1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD.因为(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A ，D 正确．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1解析：选B.因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，f ′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C ，D.又f (1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.4．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 45．(易错题)函数y ＝ln xe x 的导函数为________． 解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算 角度一 求已知函数的导数求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.【解】 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)因为f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－9 4对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝() A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝e x ln x＋1x－1，则f′(1)＝()A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e解析：选C.由题意，得f ′(x )＝(e xln x )′－1x 2＝e xln x ＋e x x －1x 2，所以f ′(1)＝0＋e－1＝e －1，故选C.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .导数的几何意义 角度一 求切线方程(1)(2021·广州调研检测)已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为___________________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________________________．【解析】 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0.解得a ＝1，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0.(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ， 所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三 已知切线方程(或斜率)求参数(1)(2021·西安五校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.(2)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)． 【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1|x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是________；f (2)＋f ′(2)的值为________．解析：由题图可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12， 则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52. 答案：x ＋2y －8＝0 52[A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选A.因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒解析：选C.因为函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ，所以h ′(t )＝－9.8t ＋8，所以在t ＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43解析：选B.由y ＝x 3－x 2＋1可得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 20－2x 0＝8，所以x 0＝2或x 0＝－43.①当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x 0＝－43时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－8527，切线方程为y ＋8527＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43，即y ＝8x ＋20327，与直线y ＝8x －11平行，故选B.5．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC.对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：259．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos xe x .解：(1)因为y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x－12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， 所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级 综合练]11．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （2）－f （1）2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为f （2）－f （1）2－1＝a ，所以易知f ′(1)<a <f ′(2)．12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值可能为( )A.196 B ．3 C.103D.92解析：选AC.f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，因为曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的不同切线，所以f ′(x )＝3有两个不相等的实数根，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a －3)>0，① 设两切点的横坐标分别为x 1，x 2. 因为切点的横坐标都大于零， 所以x 1>0，x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－－22＝1>0，x 1·x 2＝a －32>0，②联立①②解得3<a <72， 故选AC.13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，所以f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意．[C 级 创新练]15．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC.对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，这个方程显然有解，得x ＝0或x ＝2，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D 不符合要求．16．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α解析：选D.由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，所以α＝1.由h (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可得r (1)<0，r (2)>0，故1<β<2.由φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.故选D.。
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课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．(2019·泰安一模)给出下列结论：①若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2；②若y ＝－1x ，则y ′＝12x x ；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；④若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a x ln a .其中正确的个数是( D )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ′(x )＝( B )A.1＋x e xB.1－x e x C ．1＋xD ．1－x解析：函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x－x e xe 2x ＝1－x e x ，故选B.3．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y＝2x －1，则点P 的坐标为( C )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．4．(2019·合肥市质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( B )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.5．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( A ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0.设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ，∴斜率k ＝2x 0＝2，解得x 0＝1，因此y 0＝2ln1＝0，∴切点为P (1,0)，则点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，∴曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.6．(2019·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( C )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1)，所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．7．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x－m ＝－1e 有解，即e x＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e 即可，故选B.8．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( B )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，结合题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B.二、填空题9．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3.解析：y ′＝(ax ＋1＋a )e x ，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3.10．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(2x －1)ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处切线的斜率为－1.解析：当x >0时，f ′(x )＝2ln x ＋2x －1x ，则f ′(1)＝1， ∵函数f (x )是偶函数，∴f ′(－1)＝－1.11．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝0或－1.解析：设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x .由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ，解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程． (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.13．已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1，曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为( B )A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)解析：f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1的导函数为f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，由题意可得2e 2x－2e x＋a ＝3的解有两个，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －122＝7－2a4，即为e x ＝12＋7－2a 2或e x ＝12－7－2a 2，即有7－2a >0且7－2a <1，解得3<a <72.14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围；(2)若曲线C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知⎩⎨⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa(a >0)存在公共切线，则a 的取值范围为( D )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析：曲线y ＝x 2在点(m ，m 2)的切线斜率为2m ，曲线y ＝exa (a >0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1a e n 的切线斜率为1a e n ，如果两条曲线存在公共切线，那么2m＝1a e n.又由直线的斜率公式得到2m ＝m 2－1a enm －n，则有m ＝2n －2，则由题意知4n －4＝1a e n 有解，即y ＝4x －4，y ＝1a e x 的图象有交点．若直线y ＝4x －4与曲线y ＝1a e x 相切，设切点为(s ，t )，则1a e s＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，可得切点为(2,4)，此时1a ＝4e 2，故要使满足题意，需1a ≤4e 2，则a ≥e 24，故a 的取值范围是a ≥e 24.故选D.16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x 1－1x 1)(2x 2－1x 2)＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1<2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1(x 1＝－1，x 2＝－12)舍去，故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln2＋14，(1,1)满足题意．。