2019-2020学年高中数学 20《分数指数幂》学案 苏教版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 20《分数指数幂》学案 苏教版必修1
【学习目标】
1．理解正数的分数指幂和正数的无理指数幂的意义，会用幂的运算法则进行运算；
2．体会用“有理数逼近无理数”的思想，可利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”过程．
【课前导学】 复习引入：
1．整数指数幂的运算性质：
)
()(),()()
,(Z n b a ab Z n m a
a Z n m a a a n n n mn
n
m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
2．根式的运算性质：
①当n 为任意正整数时，(n a )n
=a.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩
⎨
⎧<-≥)0()
0(a a a a .
⑶根式的基本性质：
n m np
m p a a =，
（a ≥0） 用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.
⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
3．引例：当a ＞0时
①5
102
552510
)(a a a a
===②3
124
334312
)(a a a a
===
③3
23
3
3
23
2
)(a a a ==
④2
12
2
1)(a a a ==
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. 【课堂活动】 一．建构数学：
1.正数的正分数指数幂的意义
n m n
m a a
= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定：
(1)n
m n
m a
a
1=
-
(a ＞0，m ,n ∈N *
,且n ＞1)；
(2)0的正分数指数幂等于0； (3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
)
()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ 说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则p
a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 二．应用数学：
例1求值：4
3
32
132
)81
16(,)41(,100,8---
.
解：422
)2(823
233
2332====⨯
8
27)32()32()8116(6422)2()4
1
(10
11010
)
10(100
3)43
(4436)3()2(3231)
2
1(22
12
2
1========
===--⨯--⨯------⨯-
-
例2 用分数指数幂的形式表示下列各式：
a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0)
解：2
52122
12
2a a
a a a a ==⋅=⋅+
4
32
12
32
12
13113
233
2
3
3
2
3
)()(a
a a a a a a
a
a a a a ==⋅===⋅=⋅+
例3计算下列各式（式中字母都是正数）：
.
))(2();3()6)(2)(1(8
834
1
6
56
13
12
12
13
2n m b a b a b a -÷-
【思路分析】（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘
除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤 解：
a
ab b
a b a b a b a 44)]3()6(2[)3()6)(2)(1(0
6
531216
121326
56131212132==-÷-⨯=-÷-++++
3
23
3
3
838
4188341)()()
)(2(n
m n m n m n m =∙==--
例4计算下列各式：
433
2
25
)12525)(2();
0()
1(÷->a a
a a
【思路分析】（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算 解：
三．理解数学：（课本练习）
1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)： 3
25
34
351,,,-
-
a a a a ．
解：55
1
a a =；
3
2
323
25
3
535
343
4
31
1
a a a
a a a
a a =
====--
--
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1)32x ； （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） ；（３）32
)(n m -；
65
6
53
221223
21
2
32
2)1(a a
a a
a a a a a ===∙=∙--.
5555
5
5
555555)55(5
)12525)(2(41254
5
12
541
2341324123413241
2
33243-=-=-=÷-÷=÷-=÷---
（４）4
)(n m -（ｍ＞ｎ）； (5)
5
6q p ⋅（ｐ＞０）； (6)
m
m 3．
解：(1) 3
2
32
x x =；
(2) 4
343)()(b a b a +=+； (3) 3
232
)()(n m n m -=-；
(4) 2
1
4
)()(n m n m -=-＝（ｍ－ｎ）２
； (5) 2
53
2
5262156
56)()0(q p q p q p p q p ⋅==⋅=⋅ ； (6)
2
52
13
3m m
m m m =⋅=-．
【课后提升】
1．计算：48373)27102(1.0)972(0
32
25.0+-++--π．
解：原式4837
3)2764(1
.01)925(32
2
21+-++=- 10048
37316910035=+-++=
． 2．已知：32
12
1=+-a a ，求
2
12
1232
3-
-
--a
a a a ．
解：∵3
213
21232
3)()(-
-
-=-a a a
a ，
∴原式81)
)((12
12
12
12
112
12
1=++=-⋅++-=
--
---a a a
a a a a a a a ．
3．化简)21)(21)(21)(2
1)(2
1(2
14
18
116
132
1-
--
--
+++++=s
解：原式1321
32
1132
1321)21(2
1
2
1212
1)2
1(-----
-
-=--=
-⋅-=
s
． 4．若x ＞0，y ＞0且)5(3)(y x y y x x +=+，求
y
xy x y xy x +-++322值.
解：由题知，0)(152)(22=--y xy x ，
∴0503=-=+y x y x 或， 又∵x ＞0，y ＞0 ， ∴y x 5=， ∴x ＝25y ， ∴原式＝3．
5．已知：+
-∈-=N n x n n ),55(211
1
，求n x x )1(2++的值．
解：由已知，1+21
1
2
2
2)55(4
1)525(41n n n
n x --+=++=，
∴原式5)5()]55(2
1)55(21[1
1
1
1
1
==++-=--n
n n n n n n ．。