线性系统理论线性系统的运动分析
线性系统的运动分析第二章PPT课件
t0)
x(t)(t)x(0) 则有： x(t)(tt0)x(t0)
线性定常系统的状态转移矩阵
9
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： (t0t0)I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： (tt0)A (tt0)
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
即 A d I ： e A ) 0 ti ( ( i I A ) p i 0 p i T e A
24
（2）当A具有n重特征根 i ：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit
eAtTeAtT1
T
0
0
teit
1 tn1eit (n1)!
T1
teit
0
eit
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
故上式成立，意为 t 0 至 t 2 的状态转移过程可分解为t 0 至 t 1
及 t 1 至 t 2 的分段转移过程。
11
3、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1和t2为两个独立 自变量，则有：
e e e A(t1t2)
A1t A2t
4、可逆性： e At 总是非奇异的，必有逆存在，且：(eAt)1 eAt
23
（1）当A的特征值 1,2,,n为两两相异时：对角线标准型
e1t eAtTeAtT1 T
0
0 T1
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 p i ，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏反变换法 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿定理
线性系统理论3线性系统的运动分析
THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
2线性系统运动分析
二 运动分析的目的：是要提示系统状态的运动规律和基本特性。 运动分析分为： 定量分析：对系统的运动规律进行精确研究，即定量地 确定系统由外部激励作用所引起的响应。
{
定性分析：着重对决定系统行为和综合系统结构具有重 要意义的几个关键性质，如能控性、能观测 性和稳定性等进行定性研究。
2.1 引言
一 运动分析的数学实质 分析系统运动的目的：就是从其数学模型出发，来定量地和精确地定出系统运 动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。 线性系统状态方程
时变: 时不变 :
& = A(t)x + B(t)u x & = Ax + Bu x
[t0 , tα ]
x(t0 ) = x0
t ∈[t0 tα ] t ≥0
(1) (2)
x(0) = x0
从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u，来求解方程（1） 和（2）的解，即系统响应。 二 解的存在性和唯一条件 如果系统A(t)、B(t)的所有元在时间定义区间[ t 0 , t α]上均为 t 的实值连续函 数，而输入u(t)的元在时间定义区间[ t 0 , t α ]上是连续实函数，则其状态方程 的解x(t)存在且唯一。 在数学上可表为
1
(1)
式中: α 0 (t ),α1 (t ),L,α n−1 (t )称为待定系数, 是时间t的函数.(1)式称为e At的
−1
M α ( ) t n−1
=
2
L L 2 n −1 1 λn λn L λn
M λnt e
e λ2 t
0 T −1 O λn t e
性质10
若A经过非奇异变换后, 变为约当标准形J , 即 : 0 λ1 1 λ O 1 T −1 AT = J = O 1 0 λ 1 n×n 式中λ1为A的n重特征值, T为变换阵
线性系统理论(第三章)线性系统的运动分析
00
eAt x(t) x(0) t eAτ Bu(τ) d τ 0
两边同乘 eAt，并且移项
x(t) eAt x(0) eAt t eAτ Bu(τ) d τ 0
eAt x(0) t eA(tτ) Bu(τ) d τ 0
eAt x(0) t eAτ Bu(t τ) d τ 0
e λ2t
2!
而
0
e
λnt
A PΛP1
因此，状态转移矩阵为
eAt ePΛP-1t I PΛP-1t 1 PΛP-1 2 t 2 2!
PP-1
P
Λt
P -1
P
1 2!
Λ2t
2
P -1
P
I
Λt
1 2!
Λ2t
2
P
-1
P eΛt
P-1
例 线性定常系统的齐次状态方程为 用特征值法，计算其状态转移矩阵
2t et e2t 2t et 2 et 2 e2t
2t et 4 et 4 e2t
3t et 2 et 2 e2t 3t et 5 et 4 e2t 3t et 8 et 8 e2t
t et et e2t
t
et
2
et
2
e
2t
t et 3et 4 e2t
4、非齐次状态方程的解
x b0 b1t b2t 2 b3t3 bkt k
x b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1 A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A
2b0
而
b0 x(0)
线性系统理论(第2章)2[1].1
![线性系统理论(第2章)2[1].1](https://img.taocdn.com/s3/m/21fd85f8700abb68a882fb01.png)
2、对于线性定常系统情况
系数矩阵 A 和 B 均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件 满足，解存在且唯一。
3
2010-10-08
三、零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理。 即线性系统在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两 个单独的分运动： 初始状态作用 → 自由运动 输入向量作用 → 强迫运动
Φ ( t ) = e A(t) , t 0 Φ (t t0 ) = e A(t t0 ) , t t0
则系统零输入响应可表达式为：
φ(t;0, x0 ,0) = Φ(t) x0 , t 0 φ (t; t0 , x0 ,0) = Φ(t t0) x0 , t t0
物理意义： Φ(t t0 ) 就是将时刻 t 0 之状态 x0 映射到时刻 t 之状态 x 的一个线性变换。
12 22
1n 1 e t 2n 1 e t
1 2
n2
n 1 n t n e
④ 对给定 n n 常阵 A ，先求出预解矩阵：
(sI - A)-1
则有
e At = L-1 (sI - A)-1
二、零状态响应
给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程：
& = Ax + Bu, x (0) = 0, t 0 x
其中，x 为 n 维状态向量，u为p 维输入向量，A和B 分别为 n ×n 和 n × p 常阵。
8
2010-10-08
结论 2 ： 零状态响应的表达式为：
(t;0,0, u) = e A(t ) Bu( )d ,
第2 章
线性系统的运动分析
2.1 引言
一、运动分析的实质
线性系统理论全讲课文档
若表征系统的数学描述为L
系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统
x t A tx t B tu t
yt C txt D tu t
x Rn, u R p, y Rq
第十三页，共309页。
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运
动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、
L(R1 R2)
(R1RR1RR122)CuiLc
(R1
1 RR2 2)Ce
L(R1 R2)
L(R1 R2) e(t )
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc iL
R1R2R2
e
x1 x2
(R1
1
R2)C R1
L(R1 R2)
线性系统理论全PPT课件
第一页，共309页。
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分
线性系统的复第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第二页，共309页。
第一章 绪论
(R1RR1RR122)Cxx12
线性系统的运动分析
1
1
结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获 得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数 较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍 要借助计算机来计算。
跳转
0 1 [例2.2] 已知系统矩阵 A 2 3 ，试用拉普拉斯变换 ( t ) 法求系统状态转移矩阵 。
Φ(t ) e
At
1 2 2 1 i i I At At At 2! i!
① 证：
Φ(0) I
1 2 1 i Φ(0) I A.0 A .0 A .0 2! i! I
(t ) AΦ(t ) Φ(t )A ② Φ 证： 下式逐项对t求导
1 1 1 2 n T 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1
(t ) e At I (TAT 1 ) t
1 1 (TAT 1 )2t 2 (TAT 1 )it i 2! i! 1 1 I (T A T 1 ) t (T A 2 T 1 ) t 2 (T A i T 1 ) ti 2! i! 1 1 T(I At A2t 2 A it i )T 1 2! i! Te A t T 1 Te
2
3
结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机 求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。
2 3 1 t t 7 2t 3t 2 t 3 3
（2）状态转移矩阵的计算 2.普拉斯变换法
(t ) e
At
L [(sI A) ]
[例2.2]
Φ 1 (t ) Φ(t )
⑤ 证明：
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
线性系统理论-郑大钟(第二版)
L (c1u1 c 2u 2 ) c1L (u1 ) c 2 L (u 2 )
②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示
③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是 物理系统。
以上方程可表为形如
R1
C
iC
L
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C x1 ( R1 R2 )C u R1 R2 R 2 x2 L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 x1 R2 x u R1 R2 2 R1 R2
Ax Bu x y Cx Du
机电系统状态空间描述的列写示例
R a i a La
dia c e e dt d c M i a f J dt ce Ra 1 a L i i La a e a La c f M 0 J J i
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
线性系统的运动分析
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
西北工业大学航天学院【硕士课程简介】
02 航天学院序号：课程编号：02M001课程名称：线性系统理论任课教师：周军刘莹莹英文译名：Linear System Theory先修要求：《线性代数》和《矩阵论》中任一门、《复变函数》内容简介：《线性系统理论》是控制类、系统工程类、电类、计算机类、机电类等许多学科专业硕士研究生的一门公共基础理论课，是控制、信息、系统方面系列理论课程的先行课。
《线性系统理论》是最优估计、最优控制、系统辨识、自适应控制等现代控制理论的基础，系统讲述线性系统的运动规律，揭示系统中固有的结构特性，建立系统的结构、参数与性能之间的定性和定量关系，以及为改善系统性能，满足工程指标要求而采取的各类控制器设计方法。
具体的内容包括：线性系统的状态空间描述、状态空间描述与传递函数描述的关系、线性系统的运动分析、能控性、能观性、稳定性理论、线性反馈系统的状态空间综合方法、线性鲁棒性控制基本理论、线性系统的基本代数理论，以及多变量频域设计方法等。
主要参考书：（1）《线性系统理论》阙志宏主编，西安西北工业大学出版社，1995；（2）《现代控制理论引论》周凤歧等，北京国防工业大学出版社，1988；（3）《线性理论》郑大中编著，北京清华大学出版社；（4）《线性系统理论与设计》[美]陈启宗，科学出版社，1988。
序号：课程编号：02M900课程名称：专业英语任课教师：周军英文译名：Professional English先修要求：专业方面的课程内容简介：本课程作为一种基本的专业英语技能，在阅读和学习与本专业的相关的国外文献资料时，发挥着重要的作用。
因此，主要学习和掌握专业外语的基本语法、句法和结构，通过这门课的学习，期望学生能掌握专业英语的特点；扩大专业英语词汇量，尤其关于本专业有关导弹、航天器、无人机等专业知识方面的英语词汇量；提高专业英语（或科技英语）文章的阅读速度；并进行相应专业英语文献的翻译，在此基础上掌握专业英语的写法，为今后从事工程技术和科学研究工作打下稳固的基础。
线性系统理论第三章
为约旦标准型
J1 0
A
P 1AP
0
J2
0 A PAP 1
0
0
0
J
n
i 1
Ji
0
i
0
0
0
1
i nini
, eJit
如何计算矩阵指数函数 eAt ？
§3.2 矩阵指数函数的计算
Linear system theory
1. 拉普拉斯变换方法：
eAt I
At
1
A2t 2
2!
两边取拉普拉斯变换，有
1 Ak t k
k0 k !
L
e At
L
I
At
1 2!
A2t
2
1 s
I
1 s2
A
1 s3
A2
另外一方面，有
exp[(M 1AM )t] M 1eAt M = exp[(M 1AM )t]
(M 1AM )k t k
M 1 Ak M t k
M 1(
Ak t k )M = M 1eAt M
k 0
k ! k0
k!
k0 k !
§3.1 状态方程的解
Linear system theory
3. 强迫运动： 当 u(t) 0，给定
t2 )
A2
(
t12 2!
t1t2
t22 ) 2!
A3 (t13 3!
t12t2 2!
t1t22 2!
t23 ) 3!
Ak ( t1k
t1k 1t2
t1k
t2 2 2
k ! (k 1)! (k 2)!
t12t2k2 t1t2k2 t2k ) = e A(t1t2 ) 2!(k 2)! (k 1)! k !
2.线性系统的运动分析(第四讲)
第二章：线性系统的运动分析(第四讲)内容介绍：状态方程的解、离散系统的状态方程的解、离散化方法状态方程及其解一般P 个输入，m 个输出的线性定常系统x=Ax+Bu y=Cx (D=0时，称为严格的定常系统) 其中An×n 、Bn×p 、Cm×n 阵, 阵中各元素均为常数。
对此一般系统的分析，本质上为对状态空间表达式的分析。
如果已知x(t)、y(t)，则系统运动一目了然。
问题归结为：求解方程 x=Ax+Bu 。
事实上，求解 x=Ax+Bu 完全可利用现成程序。
（但作为专业课了解并掌握状态方程解的求法十分重要，一并介绍常用术语。
）一、齐次方程的解 （输入u=0时）x=Ax 当初值为 x(t)|t=0 = x 0 其解为 x(t)=0x e At ⋅ At e ---A 为n×n 阵，为特定的矩阵函数 事实上，可设其解为 +++++=k k t b t b t b b )t (x 2210则 ++++='-1212k k t kb t b b )t (x 代入方程有：)t b t b t b b (A t kb t b b k k k k +++++=++++-22101212比较有：01Ab b =02122b A Ab b == 02!212b Ab =0323213b A Ab b == 033!31b Ab =011b A )!k (kb k k -=0)!(1b Ak bkk=且t 0=0时x(0) =b 0)0(e )( !1!21e )0(]!1!21[ )0(!1)0(!21)0(x(0) !1!21 x(t)At 22At 222220200x t x t A k t A At I x t A k t A At I t x A k t x A t Ax t b A k t b A t Ab b k k k k k k k k k =+++++=+++++=+++++=+++++=则且（因为 输入u=0 为零输入响应） 引入记号 )(Ate t =Φ 则 )0()()(x t t x ⋅Φ=视 )(Atet =Φ为将x(0)转移到x(t)的变换称其为状态转移阵。
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
建立起系统的状态空间描述之后，可以利用这些描述来 分析系统的运动行为，其分析方法主要包括定量分析和定性分 析两种。 在定量分析中，主要分析系统对给定输入的精确响应及其 性质，其数学上的体现为状态方程解析形式的解。
在定性分析中，则着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如可控性、可观测性和稳定性等， 进行定性研究。
第3章线性系统的运动分析42第3章线性系统的运动分析43线性时变系统状态转移矩阵状态转移矩阵计算状态转移矩阵定义34线性时变系统的运动分析线性时变系统的运动规律第3章线性系统的运动分析44ccbbddaa当at给定后状态转移矩阵是唯一的是可交换的则线性系统运动分析状态转移矩阵性质
第3章 线性系统的运动分析
s 0 0 1 s 1 解：系统的特征矩阵为: sI A 0 s 2 3 2 s 3
s 3 1 adj (s A) 1 (s A) 2 s s A (s 1)(s 2)
1. 零输入响应
零输入响应：指系统输入u为零时，由初始状态 x0单独作用所引起的运动。即状态方程
A(t ) x, x x(t0 ) x0 , t t0 , t
的解，用 x0u (t ) 表示。
4
第3章 线性系统的运动分析
2. 零初态响应
零初态响应：指系统初始状态 x0为零时，由系统 输入u单独作用所引起的运动。即状态方程
14
第3章 线性系统的运动分析
例： 求下列系统状态方程的解
1 0 1 x1 x , x 2 0 0 x2 x1 (0) x(0) x2 (0)
线性系统理论
linearsystemstheory以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。
20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。
美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。
20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。
与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。
前言第1章线性系统的数学描述1.1 线性系统的输入.输出描述1.1.1 线性系统1.1.2 非零初始条件与冲激输入1.2 线性系统的状态空间1.2.1 输入.输出描述的局限性1.2.2 状态与状态空间1.2.3 线性系统的状态空间描述1.2.4 物理系统状态方程的建立1.2.5 传递函数矩阵的状态参数矩阵表示1.2.6 传递函数矩阵G(s)的实用计算方法1.2.7 离散系统状态空间的描述1.3 线性系统等价的状态空间描述1.3.1 坐标变换1.3.2 线性定常系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.3.3 线性时变系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.4 状态方程的对角线规范形与约当规范形1.4.1 状态方程的对角线规范形1.4.2 状态方程的约当规范形1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵1.5.1 子系统的并联联接1.5.2 子系统的串联联接1.5.3 子系统的反馈联接1.6 习题第2章线性系统的运动分析2.1 线性系统运动分析的数学实质2.1.1 运动分析的数学实质2.1.2 状态方程解的存在性和唯一性条件2.1.3 零输入响应和零状态响应及全响应2.2 线性定常系统的运动分析2.2.1 线性定常系统的零输入响应2.2.2 矩阵指数函数的性质2.2.3 几种典型的矩阵指数函数2.2.4 矩阵指数函数的计算方法2.2.5 线性定常系统的零状态响应2.2.6 线性定常系统的全响应及输出响应2.3 线性时变系统的运动分析2.3.1 线性时变系统的零输入响应2.3.2 线性时变系统的零状态响应2.3.3 线性时变系统的全响应及输出响应2.4 状态转移矩阵2.4.1 线性时变系统的状态转移矩阵2.4.2 线性时变系统的状态转移矩阵的性质2.4.3 线性定常系统的状态转移矩阵2.4.4 线性定常系统的状态转移矩阵的性质2.4.5 基于状态转移矩阵表示的线性定常系统的运动规律2.5 线性连续时间系统的时间离散化2.5.1 数字控制系统的基本形式2.5.2 离散化的假设条件2.5.3 线性连续时变系统的离散化2.5.4 线性连续定常系统的离散化2.6 线性离散时间系统的运动分析2.6.1 迭代法求解线性离散系统的状态方程2.6.2 线性离散时间系统的状态转移矩阵2.6.3 线性离散时变系统的状态运动规律2.6.4 线性离散定常系统的状态运动规律2.7 习题第3章线性系统的能控性与能观测性3.1 能控性和能观测性的定义3.1.1 能控性和能观测性的直观讨论3.1.2 能控性的定义3.1.3 能观测性的定义3.2 线性连续时间系统的能控性判据3.2.1 线性定常系统的能控性判据3.2.2 能控性指数3.2.3 线性时变系统的能控性判据3.3 线性连续时间系统的能观测性判据3.3.1 线性定常系统的能观测性判据3.3.2 能观测性指数3.3.3 线性时变系统的能观测性判据3.4 对偶系统与对偶原理3.4.1 对偶系统3.4.2 对偶原理3.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性3.5.1 线性离散时间系统的能控性和能达性3.5.2 线性离散时间系统的能控性判据3.5.3 线性离散时间系统的能观测性及其判据3.6 能控规范形和能观测规范形3.6.1 单输入一单输出系统的能控规范形3.6.2 单输入-单输出系统的能观测规范形3.6.3 多输入-多输出系统的能控规范形3.6.4 多输入-多输出系统的能观测规范形3.7 线性系统的结构分解3.7.1 能控性和能观测性在非奇异变换下的特性3.7.2 线性定常系统按能控性的结构分解3.7.3 线性定常系统按能观测性的结构分解3.7.4 线性定常系统的结构规范分解3.8 习题第4章传递函数矩阵的状态空间实现4.1 传递函数的能控和能观测规范形实现4.1.1 单输入-单输出系统传递函数的实现4.1.2 单输入一多输出系统传递函数的实现4.1.3 多输入.单输出系统传递函数的实现4.1.4 多输入.多输出系统传递函数的实现4.2 最小实现及其性质4.3 最小实现的解法4.3.1 降价法4.3.2 直接求取约当规范形的最小实现方法4.3.3 用汉克尔法直接求取传递函数矩阵的最小实现4.4 习题第5章系统运动的稳定性5.1 外部稳定性和内部稳定性5.1.1 外部稳定性5.1.2 内部稳定性j5.1.3 内部稳定性和外部稳定性的关系5.2 李亚普诺夫稳定性理论5.2.1 李亚普诺夫第一法和第二法5.2.2 自治系统、平衡系统和受扰系统5.2.3 李亚普诺夫意义下的稳定5.2.4 不稳定5.2.5 李亚普诺夫第二法的主要定理5.3 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据5.3.1 线性时变系统的稳定性判据5.3.2 线性定常系统的稳定性判据5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法5.4.1 变量梯度法5.4.2 克拉索夫斯基方法5.5 离散时间系统状态运动的稳定性5.5.1 离散时间非线性定常系统的李亚普诺夫稳定性定理5.5.2 离散时间线性定常系统的稳定性定理5.6 李亚普诺夫直接法在系统综合方面的应用5.6.1 连续时间线性定常系统稳定自d运动的衰减性能的估计5.6.2 平均积分值的计算5.7 习题第6章状态反馈6.1 状态反馈与输出反馈的概念6.2 状态反馈与输出反馈对系统能控性和能观测性的影响6.2.1 状态反馈和输出反馈对系统能控性的影响6.2.2 状态反馈对系统能观测性的影响6.2.3 输出反馈对系统能观测性的影响6.2.4 多输入能控系统转变为单输人能控系统6.3 系统的极点配置6.3.1 极点配置的概念6.3.2 极点配置的条件6.3.3 单输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.4 多输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.5 状态反馈对传递函数的影响6.4 输出反馈极点配置6.5 不完全能控系统状态反馈的极点配置和镇定6.5.1 不完全能控系统状态反馈的极点配置6.5.2 不完全能控系统状态反馈的镇定6.6 状态反馈解耦6.6.1 解耦问题的提法和结构假设6.6.2 系统结构特征量6.6.3 可解耦条件与解耦算法6.7 习题第7章状态观测器7.1 状态观测器的基本概念7.2 全维闭环状态观测器7.3 降维状态观测器7.4 基于观测器的状态反馈系统7.5 Rz函数观测器7.6 习题。
线性系统理论-郑大钟(第二版)
郑大钟 清华大学出版社
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论 第二部分 线性系统的复频率域理论
第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第一章 绪论 控制理论发展概况： 第一阶段 20世纪40—60年代 经典控制理论 第二阶段 20世纪60—70年代 现代控制理论 第三阶段 20世纪70— 大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x n (t )
f ( x,u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x,u, t )
向量函数
g1 ( x,u, t ) f1 ( x,u, t ) g ( x,u, t ) f ( x,u, t ) 2 ，g( x,u, t ) 2 f ( x,u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) n q
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性
(5).系统任意两个状态变量组之间的关系
(6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章
t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
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由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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3.1 运动分析的含义
分析系统运动的目的:揭示系统状态运动规律和基本性质。
定量分析： 从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的 变化规律,，以为系统的实际运动过程做出估计.（一般 研究系统在外部激励作用下的响应）
定性分析： 对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的关键
t0 ,t
At
说明： 系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
系统状态转移矩阵只取决于系统矩阵A(t) ！！！
t,t0 I
t A d
t0
t
t0 A 1
A 1
t0
2
d 2d1
命题3.2.2
设 (t, t0 )为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，且系统
x&
A(t ) x
B(t )u,
x(t0 )
x0 ,
t
t0 ,
ta
y C(t)x D(t)u
★系统状态全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
3.3.1 线性时变系统的零输入响应
定理3.3.1（零输入响应求解）
1(t, t0 ) (t0 , t)
(3.2.9) (3.2.10)
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
4.导数性质
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
(3.2.11)
对任意t0和t,
d dt
1
t,
t0
d dt
t0
,
t
3.2.2 状态转移矩阵的定义
定义3.2.1
设1(t), 2(t),L n(t)是齐次方程：
x&(t) A(t)x(t) 的一组线性独立的解，那么矩阵
(t) 1(t) 2(t)L n(t)
称为齐次方程的基本解阵。
(3.2.5)
性质Ⅰ
如果 (t) 满足方程
&(t) A(t) (t)
t t0
[bik
(t)]2
dt
,
i 1, 2,L n, k 1, 2L r
(3.1.4)
③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
t t0
[uk
(t )]2
dt
,
k 1, 2L r
(3.1.5)
条件②③可一步合并为要求B(t) u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。
x& A(t)x, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.7)
其解（零输入响应）： (t, t0 , x0 , 0)
●强迫运动 系统的强迫方程：
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) 0， t [t0, t ]
其解（零状态响应）： (t, t0 , 0, u)
设时变线性系统(3.3.1)满足解的存在唯一性条件，
(t, t0 ) 为系统的状态转移矩阵,则
定量分析：按照给定的初始状态x0和外部输入作用u，求解方程的解
系统的解（运动形态）主要由系统的结构和参数决定。
只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.
如果系统矩阵A(t), B(t)的所有元在时间定义区间[t0, tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。
x&(t) A(t)x(t)
满足解的存在唯一性条件，则
(t, t0 )与方程 x&(t) A(t)x(t) 的基本解阵的选取无关。
而是由下述矩阵微分方程惟一决定
&(t
,
t0
)
A(t ) (t, t0 )
(t0 , t0 ) In
(3.2.12)
3.3 线性时变系统的运动分析
性质（稳定性、能观性和能控性等）进行研究。
3.1.1 问题的提出及其解的存在惟一性
解的存在性和唯一性条件 ：
设系统状态方程
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
或
x& Ax Bu, x(0) x0， t 0
(3.1.2)
(3.1.8)
★系统全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
(3.1.9)
3.2 状态转移矩阵及其性质
3.2.1 线性齐次方程的解空间
系统的自由方程（齐次方程）：
x& A(t)x
(3.2.1)
定理3.2.1 齐次方程的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。
从数学观点，上述条件可减弱为：
引理 3.1.1：
线性时变系统(3.1.1)对于任何x(0)有解且解为唯一的充分必要条件：
①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0 | aij (t) | dt ,
i, j 1,2, n
(3.1.3)
②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
(3.2.6)
且对某个t0 , (t0 )非奇异，那么 (t)必为方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵。
性质Ⅱ
对任意 t ，基本解阵 (t) 都是非奇异的。
定义3.2.2 (系统的状态转移矩阵) 令 (t)是方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵，则矩阵
(t, t0 ) (t) 1(t0 ), t t0
称为系统的状态转移矩阵。
说明：
系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
(3.2.8)
3.2.3 状态转移矩阵的性质
命题3.2.1
(t, t0 ) 为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，
则它具有下述性质：
1.自反性： 对任意t,有
(t,t) In 2.反身性： 对任意t0和t,有
3.1.2 线性系统响应的特点
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
◆零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理
在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两个单独的分运动。
初始状态 自由运动 输入作用 强迫运动
●自由运动 系统的自治方程：