线性系统理论线性系统的运动分析
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性质（稳定性、能观性和能控性等）进行研究。
3.1.1 问题的提出及其解的存在惟一性
解的存在性和唯一性条件 ：
设系统状态方程
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
或
x& Ax Bu, x(0) x0， t 0
(3.1.2)
t t0
[bik
(t)]2
dt
,
i 1, 2,L n, k 1, 2L r
(3.1.4)
③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
t t0
[uk
(t )]2
dt
,
k 1, 2L r
(3.1.5)
条件②③可一步合并为要求B(t) u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。
设时变线性系统(3.3.1)满足解的存在唯一性条件，
(t, t0 ) 为系统的状态转移矩阵,则
3.1.2 线性系统响应的特点
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
◆零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理
在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两个单独的分运动。
初始状态 自由运动 输入作用 强迫运动
●自由运动 系统的自治方程：
(3.2.6)
且对某个t0 , (t0 )非奇异，那么 (t)必为方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵。
性质Ⅱ
对任意 t ，基本解阵 (t) 都是非奇异的。
定义3.2.2 (系统的状态转移矩阵) 令 (t)是方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵，则矩阵
(t, t0 ) (t) 1(t0 ), t t0
x&(t) A(t)x(t)
满足解的存在唯一性条件，则
(t, t0 )与方程 x&(t) A(t)x(t) 的基本解阵的选取无关。
而是由下述矩阵微分方程惟一决定
&(t
,
t0
)
A(t ) (t, t0 )
(t0 , t0 ) In
(3.2.12)
3.3 线性时变系统的运动分析
(3.1.8)
★系统全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
(3.1.9)
3.2 状态转移矩阵及其性质
3.2.1 线性齐次方程的解空间
系统的自由方程（齐次方程）：
x& A(t)x
(3.2.1)
定理3.2.1 齐次方程的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。
t0 ,t
At
说明： 系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
系统状态转移矩阵只取决于系统矩阵A(t) ！！！
t,t0 I
t A d
t0
t
t0 A 1
A 1
t0
2
d 2d1
命题3.2.2
设 (t, t0 )为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，且系统
1(t, t0 ) (t0 , t)
(3.2.9) (3.2.10)
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
4.导数性质
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
(3.2.11)
对任意t0和t,
d dt
1
t,
t0
d dt
t0
,
t
从数学观点，上述条件可减弱为：
引理 3.1.1：
线性时变系统(3.1.1)对于任何x(0)有解且解为唯一的充分必要条件：
①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0 | aij (t) | dt ,
i, j 1,2, n
(3.1.3)
②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
定量分析：按照给定的初始状态x0和外部输入作用u，求解方程的解
系统的解（运动形态）主要由系统的结构和参数决定。
只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.
如果系统矩阵A(t), B(t)的所有元在时间定义区间[t0, tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。
x& A(t)x, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.7)
其解（零输入响应）： (t, t0 , x0 , 0)
●强迫运动 系统的强迫方程：
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) 0， t [t0, t ]
其解（零状态响应）： (t, t0 , 0, u)
称为系统的状态转移矩阵。
说明：
系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
(3.2.8)
3.2.3 状态转移矩阵的性质
命题3.2.1
(t, t0 ) 为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，
则它具有下述性质：
1.Байду номын сангаас反性： 对任意t,有
(t,t) In 2.反身性： 对任意t0和t,有
3.2.2 状态转移矩阵的定义
定义3.2.1
设1(t), 2(t),L n(t)是齐次方程：
x&(t) A(t)x(t) 的一组线性独立的解，那么矩阵
(t) 1(t) 2(t)L n(t)
称为齐次方程的基本解阵。
(3.2.5)
性质Ⅰ
如果 (t) 满足方程
&(t) A(t) (t)
x&
A(t ) x
B(t )u,
x(t0 )
x0 ,
t
t0 ,
ta
y C(t)x D(t)u
★系统状态全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
3.3.1 线性时变系统的零输入响应
定理3.3.1（零输入响应求解）
第三章 线性系统的运动分析
3.1 运动分析的含义
分析系统运动的目的:揭示系统状态运动规律和基本性质。
定量分析： 从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的 变化规律,，以为系统的实际运动过程做出估计.（一般 研究系统在外部激励作用下的响应）
定性分析： 对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的关键
3.1.1 问题的提出及其解的存在惟一性
解的存在性和唯一性条件 ：
设系统状态方程
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
或
x& Ax Bu, x(0) x0， t 0
(3.1.2)
t t0
[bik
(t)]2
dt
,
i 1, 2,L n, k 1, 2L r
(3.1.4)
③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
t t0
[uk
(t )]2
dt
,
k 1, 2L r
(3.1.5)
条件②③可一步合并为要求B(t) u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。
设时变线性系统(3.3.1)满足解的存在唯一性条件，
(t, t0 ) 为系统的状态转移矩阵,则
3.1.2 线性系统响应的特点
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.1)
◆零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理
在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两个单独的分运动。
初始状态 自由运动 输入作用 强迫运动
●自由运动 系统的自治方程：
(3.2.6)
且对某个t0 , (t0 )非奇异，那么 (t)必为方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵。
性质Ⅱ
对任意 t ，基本解阵 (t) 都是非奇异的。
定义3.2.2 (系统的状态转移矩阵) 令 (t)是方程 x&(t) A(t)x(t)的基本解阵，则矩阵
(t, t0 ) (t) 1(t0 ), t t0
x&(t) A(t)x(t)
满足解的存在唯一性条件，则
(t, t0 )与方程 x&(t) A(t)x(t) 的基本解阵的选取无关。
而是由下述矩阵微分方程惟一决定
&(t
,
t0
)
A(t ) (t, t0 )
(t0 , t0 ) In
(3.2.12)
3.3 线性时变系统的运动分析
(3.1.8)
★系统全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
(3.1.9)
3.2 状态转移矩阵及其性质
3.2.1 线性齐次方程的解空间
系统的自由方程（齐次方程）：
x& A(t)x
(3.2.1)
定理3.2.1 齐次方程的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。
t0 ,t
At
说明： 系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
系统状态转移矩阵只取决于系统矩阵A(t) ！！！
t,t0 I
t A d
t0
t
t0 A 1
A 1
t0
2
d 2d1
命题3.2.2
设 (t, t0 )为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，且系统
1(t, t0 ) (t0 , t)
(3.2.9) (3.2.10)
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
4.导数性质
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
(3.2.11)
对任意t0和t,
d dt
1
t,
t0
d dt
t0
,
t
从数学观点，上述条件可减弱为：
引理 3.1.1：
线性时变系统(3.1.1)对于任何x(0)有解且解为唯一的充分必要条件：
①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0 | aij (t) | dt ,
i, j 1,2, n
(3.1.3)
②输入矩阵B(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：
定量分析：按照给定的初始状态x0和外部输入作用u，求解方程的解
系统的解（运动形态）主要由系统的结构和参数决定。
只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.
如果系统矩阵A(t), B(t)的所有元在时间定义区间[t0, tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。
x& A(t)x, x(t0 ) x0， t [t0, t ]
(3.1.7)
其解（零输入响应）： (t, t0 , x0 , 0)
●强迫运动 系统的强迫方程：
x& A(t)x B(t)u, x(t0 ) 0， t [t0, t ]
其解（零状态响应）： (t, t0 , 0, u)
称为系统的状态转移矩阵。
说明：
系统的基本解阵不唯一； 系统的状态转移矩阵唯一。
(3.2.8)
3.2.3 状态转移矩阵的性质
命题3.2.1
(t, t0 ) 为系统 x&(t ) A(t )x(t )的状态转移矩阵，
则它具有下述性质：
1.Байду номын сангаас反性： 对任意t,有
(t,t) In 2.反身性： 对任意t0和t,有
3.2.2 状态转移矩阵的定义
定义3.2.1
设1(t), 2(t),L n(t)是齐次方程：
x&(t) A(t)x(t) 的一组线性独立的解，那么矩阵
(t) 1(t) 2(t)L n(t)
称为齐次方程的基本解阵。
(3.2.5)
性质Ⅰ
如果 (t) 满足方程
&(t) A(t) (t)
x&
A(t ) x
B(t )u,
x(t0 )
x0 ,
t
t0 ,
ta
y C(t)x D(t)u
★系统状态全响应
(t, t0, x0, u) (t, t0, x0,0) (t, t0,0, u)
3.3.1 线性时变系统的零输入响应
定理3.3.1（零输入响应求解）
第三章 线性系统的运动分析
3.1 运动分析的含义
分析系统运动的目的:揭示系统状态运动规律和基本性质。
定量分析： 从系统数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的 变化规律,，以为系统的实际运动过程做出估计.（一般 研究系统在外部激励作用下的响应）
定性分析： 对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的关键