【【全国百强校】上海市上海中学2013届高三数学校本作业《数列》：02等差、等比数列的性质与应用(1)

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上海高中数学数列

上海高中数学数列一、上海高中数学数列概述上海高中数学数列作为高中数学的重要内容，是进一步学习高等数学和解决实际问题的基础。

数列是数学中研究一系列有序数的集合，具有广泛的应用和深远的研究价值。

掌握数列的基本概念、性质和应用，对于提高学生的数学素养和培养逻辑思维能力具有重要意义。

二、数列的概念与基本性质1.数列的定义：数列是一组按照一定顺序排列的实数，通常用{a1, a2,a3,...}表示。

其中，ai（i=1,2,...）称为数列的项。

2.数列的分类：根据项之间的关系，数列可分为单调递增、单调递减、摆动数列等；根据项的性质，数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等。

3.数列的基本性质：（1）任意两个数列的和仍是数列；（2）任意两个数列的积仍是数列；（3）数列的任意项都可以求极限；（4）数列的极限存在且唯一。

三、等差数列1.等差数列的定义与性质：等差数列是指相邻两项之差为一个常数的数列。

设等差数列{an}的公差为d，则有an+1 - an = d。

2.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为数列的首项，d为公差。

3.等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为数列的首项，an为数列的第n项。

四、等比数列1.等比数列的定义与性质：等比数列是指相邻两项之比为一个常数的数列。

设等比数列{bn}的公比为q，则有bn+1 / bn = q。

2.等比数列的通项公式：bn = b1 * q^(n-1)，其中b1为数列的首项，q 为公比。

3.等比数列的前n项和公式：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中b1为数列的首项，q为公比。

五、其他常见数列1.几何数列：几何数列是指相邻两项之比为常数的数列，如等比数列。

2.调和数列：调和数列是指相邻两项之比为倒数的数列。

3.Fibonacci数列：Fibonacci数列是指相邻两项之和等于下一项的数列，如1, 1, 2, 3, 5, 8, ...。

上海市上海中学2013届高三数学第一次综合练习作业活页训练苏教版

上海中学2013届高三数学第一次综合练习作业活页训练题1、已知集合{|11},{1,0,1}M x x N =+≤=-，那么M N =2、线性方程组的32524x y x y +=⎧⎨+=-⎩增广矩阵为 3、已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+=4、2221lim 1n n n n →∞-=++5、若123,34z a i z i =+=+，且12z z 为纯虚数，则实数a =6、已知数列{}n a 是以-15为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第项。

7、若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---= 的周长，则12a b +的最小是为 8、如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，,M N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，(),[0,],PON f OM ON ααπα∠=∈=+，则()f α的范围为9、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为10、已知双曲线22221x y a b -=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双曲线的两条渐近线方程为11、已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，52201020102010(4)(4)(4)f a a a -=-+-，n S 是其前n 项和，则2011S =12、设函数1421411()log (),()log ()44x xf x x f x =-=-的零点分别为12,x x ，则（）A ．1201x x <<B ．121x x = C ．1212x x << D ．122x x > 13、给出条件①12x x <；②12x x >；③12x x <；④2212x x <，函数()22sin f x x x =+，对任意12,[,]22x x ππ∈-，都使()()12f x f x <成立的条件序号是（）A ．①③B ．②④C ．③④D ．④14、如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，11160,4AD A AD ∠==，点P 是1AD 的中点，求异面直线1AA 与1B P 所成的角。

13年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载

列 a1, a2 , a3,满足 an1 f (an ), n N * 。⑴若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；⑵求证：对任意 n N ， an1 an c ；⑶是否存在 a1 ，使得 a1, a2 ,an , 成等差数列？若存在，求出
所有这样的 a1 ，若不存在，说明理由。
厂应该选取何种生产速度?并求最大利润。
21．（6 分+8 分）已知 f x 2sin x，常数 0 ；⑴若 y f x在
1
4, 2 3上单调递增，求的取值范围；⑵令 2 ，将函数 y f x的图像左移
个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y g x的图像，区间a,b( a,b R 且 a b )

别为 a1, a2 , a3, a4 , a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4 , d5 。若

m, M 分别为 ai a j ak dr ds dt 的最小值、最大值，其中i, j, k 1, 2,3, 4,5，
f 1 2, 4 0,1，若方程 f x x 0 有解 x0 ，则 x0 _____ 。
二．选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
15．设常数 a R ，集合 A x | x 1x a 0， B x | x a 1，若
的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）。
9．设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在上，且 CBA ，若 AB 4 ， BC 2 ， 4
则的两个焦点之间的距离为________。
10．设非零常数 d 是等差数列 x1, x2 , x3,, x19 的公差，随机变量等可能地取值m来自 ________ 。x2

【【全国百强校】上海市上海中学2013届高三数学校本作业《数列》：12周末作业

章末作业一、填空题1、在德国不莱梅矩形的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若组“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就是一个球，第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4，所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然堆放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数， ()3f = ()f n =2、在数列{}n a 中，若111,23n n a a a +==+，则该数列的通项n a =3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若51010,5S S ==-，则公差为二、选择题：1、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12312315,80a a a a a a ++==，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．752、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S =（） A ．310 B ．13 C ．18 D ．193、已知等差数列共10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为ie30，则其公差为A ．5B ．4C ．3D ．24、在等差中数列{}n a 中，1232,13a a a =+=，则456a a a ++=（）A ．40B ．42C ．60D ．665、若互不线段的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（）A ．4B ．2C ．-2D ．-46、在等差数列{}n a 中，若4612,n a a S +=是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（）A ．48B ．54C ．60D ．667、已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ，且11115,,a b a b N *+=∈，设()n n b c a n N *=∈，则数列{}n c 的前10项和等于（）A ．55B ．70C ．85D ．1008、设()473102222n f n +=++++，则()f n 等于（）A ．2(81)7n -B ．12(81)7n +-C ．32(81)7n +-D ．42(81)7n +- 9、在等比数列{}n a 中，12a =中，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（）A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．31n -10、“等式sin()sin 2αγβ+=成立”是“,,αβγ成等差数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件三、解答题1、已知,,αβγ成公比为2的等比数列（[]0,2απ∈）且sin ,sin ,sin αβγ成成等比数列，求,,αβγ的值。

(完整word版)2013-2018年上海高考试题汇编-数列.docx

21，求a3；
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列
{cn}是公比为正数的等比数列，
b1c51，
b5
c181，anbn
cn判断{an}是否具有性质
P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an
1bn
sinan(n
N*).求证：“对任意a1,{an}都具有性
质P”的充要条件为“
{bn}是常数列”.
,L均是等比数列
,L均是等比数列，且公比相同
知识点6：等差数列与等比数列综合
（2016文22）对于无穷数列{an}与{bn}，记A { x| xan,nN*}，
B{ x| xbn,nN*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A I B且
A U BN*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．
答案：（1）a316；（2）由于a1
a5，但a2a6，故an不具有性质P；
（3）证明：必要性：若对于任意
a1，an
都具有性质P，则a2b1
sin a1，设函数
f x
x b1, g x
sin x,由f
x , g
x
图像可得，对于任意的b1，二者图像必有一个
交点，所以一定能找到
a1，使得a1
b1
sin a1，所以a2b1sin a1a1，所以anan 1，
3
3
n
1, 2, L ,99
．
①当d
0
时，a99
a98
L
a2
a1
，所以0
d
2 a1，即
0
d
2
．
②当d
0
时，a99
a98

上海市上海中学数列多选题试题含答案

上海市上海中学数列多选题试题含答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ．【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（） A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】BC 【分析】对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得112n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22pa =，则2112a a =，当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即112n n a a -=，故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；当1p =时，441111521812S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故B 正确；当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12m nm n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，而56451112+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故3856a a a a +>+，则D 错误；故选：BC.3．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.4．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0c D ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =- 又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭ 由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.7．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r+-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即12p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中，因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =；而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=，则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确；而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；（3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和；（4）对选项逐个判断正误，得到结果.二、平面向量多选题9．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ．由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确；对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．10．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.。

历届上海高考中的数列试题选(附答案)

历届上海高考中的数列试题选一. 填空题 1.（05春2） =++++∞→nn n 212lim0 .2.（06春1）计算：=+-∞→3423lim n n n ；（06，4）计算：23(1)______61lim n n n n →∞+=+。

3.（07春1）计算=++∞→)1(312lim 2n n n n ；（06，4（理））计算：1lim 33+∞→n C n n ＝．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++； 4.（08春2）计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ . 13（02文5）在二项式nx )31(+和nx )52(+的展开式中，各项系数之和分别记为n a 、n b ，n 是正整数，则nn n n n b a b a 432lim--∞→= 。

21（03文理3）在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .－49（08春5）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .21n a n =-5.（08春9）已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 1-. （02文11）若数列}{n a 中，211,3n n a a a ==+且（n 是正整数），则数列的通项=n a 。

123-n6.（05春9）设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题：（1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列；（3）若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是（1）、（2）、（3） .（03文理8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . 10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）（03文理11）已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = 4π.7.（08春12）已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=112233a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = 1k k a a -- (2)k n ≤≤8.（05春12）已知函数2()2log xf x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当 |()2005|n f a -取得最小值时，n = 110 .9.（06春12）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++10.（01春12）甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%.乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）219.01）11.（04上海春7）在数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn 3 .12.（04上海春8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 12+-n n 个点.12312312312312312312.（04上海春12）在等差数列{}n a 中，当s r a a = ）（s r ≠时，{}n a 必定是常数数列. 然而在等比数列{}n a 中，对某些正整数s r 、）（s r ≠，当s r a a =时，非常数数列{}n a 的一个例子是 r a a a a a .)0(,,,,≠--与s 同为奇数或偶数. （说明：不指出s r 、的情况，不扣分）（04文理4）设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= .2（04文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号) ①、④ ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.（05理12，文16）用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

全国百强校上海交通大学附属中学高三数学复习课外练习数列无答案.doc

高三数学课外练习14（数列1）一、数列、等差数列、等比数列的要点与疑点二、填空题1、根据下面各数列的前几项分别写出它们的一个通项公式（1）,,0,1,0,1,0,1 则 n a _______ （2）,,94,73,52,31 则 n a _______ （3）,,111.0,11.0,1.0 则 n a _______ （4）,,167,85,43,21 则 n a _______ 2、若数列N n a n 的递推公式：N n a a n a n n n 1311121，则 3a _______ 3、若数列 n a 的通项公式是12 n n a n ，并且89 k a ，则 k ______ 4、不相等的三个数c b a ,,成等差数列，二b c a ,,成等比数列，则 c b a ::_______ 5、实数c b a ,,满足ac b是b 为c a ,等比中项的__________条件。

6、设三个实数c b a ,,成等比数列，且乘积为8，有1,, c b a 成等差数列，则c b a ,,分别为__________7、在等差数列 n a 中，若 n m m a n a n m ,,，则 n m a ________8、在等差数列 n a 中，已知2511a ，10a 为第一个大于1的项，此数列公差的取值范围是___________ 9、若某三角形的三边成等比数列，则公比q 的取值范围是_________10、已知方程 02222 n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m =________11，已知数列 n a 是非零等差数列，又931,,a a a 是某个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a _____12、设数列 n a 是等比数列，公比1 q ，已知其中连续三项恰为某等差数列的第r 项，第r 2项，第r 4项，则等比数列 n a 的公比q =_________13、已知直角三角形三边成等比数列，则其最小内角的大小为________ 14、若不等式 R a a n n nn324，对所有的 N n 恒成立，则实数a 的取值范围是__________15、数列 n a 各项均大于零，,31 a 且对任意大于1的正整数n ，若点 1, n n a a 在双曲线122y x ，则n a ________三、选择题16、下列命题正确的是（）（A ）若数列 n a 是等差数列，则数列n a 也是等差数列（B ）若数列 n a 是等差数列，则数列 n a 也是等差数列（C ）若数列 n a 是等比数列，则数列n a 也是等比数列（D ）若数列n a 是等比数列，则数列 n a 也是等比数列17、已知数列 n a 的通项公式为 nn a 23 ，把数列 n a 中项数是3的倍数的项按它们在原来数列中的顺序构成一个新的数列 n b ，则数列 n b 是（）（A ）以-24为首项，-8为公比的等比数列（B ）以3为首项，-8为公比的等比数列（C ）以-24为首项，-2为公比的等比数列（D ）以3为首项，-2为公比的等比数列18、321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列，543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （）（A ）成等差数列（B ）成等比数列（C ）倒数成等差数列（D ）以上都不对 19、设数列 n a 中，cnb naa n，其中c b a ,,均为正数，则次数列（）（A ）递增（B ）递减（C ）先增后减（D ）先减后增20、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。

上海市上海中学2013届高三数学第一次综合练习作业活页

上海中学2013届高三数学第一次综合练习作业活页训练题1、已知集合{|11},{1,0,1}M x x N =+≤=-，那么M N =2、线性方程组的32524x y x y +=⎧⎨+=-⎩增广矩阵为 3、已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= 4、2221lim 1n n n n →∞-=++ 5、若123,34z a i z i =+=+，且12z z 为纯虚数，则实数a = 6、已知数列{}n a 是以-15为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第项。

7、若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---= 的周长，则12a b+的最小是为 8、如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，,M N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，(),[0,],PON f OM ON ααπα∠=∈=+，则()f α的范围为9、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为10、已知双曲线22221x y a b-=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双曲线的两条渐近线方程为11、已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=， 52201020102010(4)(4)(4)f a a a -=-+-，n S 是其前n 项和，则2011S =12、设函数1421411()log (),()log ()44x xf x x f x =-=-的零点分别为12,x x ，则（）A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x >13、给出条件①12x x <；②12x x >；③12x x <；④2212x x <，函数()22sin f x x x =+，对任意 12,[,]22x x ππ∈-，都使()()12f x f x <成立的条件序号是（） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．④14、如图，已知1111ABCD A BC D -是底面为正方形的长方体，11160,4AD A AD ∠==，点P 是1AD的中点，求异面直线1AA 与1BP 所成的角。

2013届上海高三数学数列最值得做的12类题

2013届上海高三数学数列最值得做的12类题题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2. (1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；（3）若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n2=a n ,又依a 1>0,可以推得a n >0并解出：a n =32.即a 1=a 2=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32. （Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1 又：a n +2<a n +1 即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52. 题型二：最值问题2、已知数列}{n a 满足：11=a ,a n +1=a n2a n +1(n ∈N ) )(N n ∈,数列}{n b 的前n 项和S n =12-12(23)n (n ∈N ). (1) 求数列}{n a 和{b n }的通项公式；(2) 设c n =b na n,是否存在N m ∈,使c m ≥9成立？并说明理由.解答：（1）由2111211+=⇒=+++nn n n a a a a n a ,∴12)1(211-=-+=n n na ,121-=n na )(N n ∈.由nnS )(121232-=及1321)(1212---=n n S )2(≥n ,可得1321)(4--=-=n n n n S S b )2(≥n ,令1=n ,则412123211=⋅-==S b 也满足上式,∴132)(4-=n nb )(N n ∈.（2）132132)()12(4)(4)12(---=⋅-==n n a b nn n C nn ,设m C 为数列}{n C 中的最大项,则⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥--≥⋅-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥--≥-⇒⎩⎨⎧≥≥---+-252732323213223213211)12(1232)12()()12(4)()12(4)()32(4)()12(4m m m m m m m m m m C C C C m m m m m m m m ,∴3=m .即3C 为}{n C 中的最大项.∵9)(209802323<==C ,∴不存在N m ∈,使9≥mC 成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。

(完整版)2013年上海高考理科数学试题及答案(2),推荐文档

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)一、填空题&盒子中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ________________________ (结果用最简分数表示) 9.设AB 是椭圆的长轴，点C 在上，且 CBA，若AB=4 , BC 「2，贝U 的4两个焦点之间的距离为 __________10 .设非零常数d 是等差数列X 1,X 2,X 3丄，心的公差，随机变量等可能地取值 X 1,X 2,X 3丄，x i9，则方差 D _________11.若 cos x cos y 1 2 冲sin xsiny —,sin 2x sin 2y —,贝U sin( x y).2 312.设a 为实常数，2y f (x)是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f(x) 9x7若f (x) a 1对一切x 0成立，则a 的取值范围为2 213.在xOy 平面上，将两个半圆弧(x 1) y 1(x 1)和(x 3) y 1(x3)、两条直线y 1和y 1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分.记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0, y)(| y| 1)作的水平截面，所得截面面积为41 y2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 ___________1.计算： limn2.设 m R ,2 23.若X y1 14.已知△ AB C n 203n 2m13 -m 2 2 (m 1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则 m 的内角2 2 2C 所对应边分别为 a 、b 、c ,若3a 2ab 3b 3c 0, —(结果用反三角函数值表示)5 •设常数a R ，若5x2a的二项展开式中x 7项的系数为 10，则a 6方程£37.在极坐标系中，曲线3x1 的实数解为 cos 1 与 cos1的公共点到极点的距离为1f (X)有反函数y f (x), 0有解X 0，则X 0________则角C 的大小是14 .对区间I上有定义的函数g(x),记g(I) {y | y g(x),x I}，已知定义域为[0,3]的函数y 且f [1,2), f 1((2,4]) [0,1)，若方程f(x) x二、选择题15.设常数a R，集合A {x|(x 1)(x a) 0}, B {x|x a 1}，若A B R，则a 的取值范围为((A) ( ,2) (B) ( ,2］ (C) (2, )(D)［2,)16•钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17 •在数列｛a n ｝中，a n2n 1，若一个7行12列的矩阵的第 i 行第j 列的元素a i,j a i a j a i a 」,(i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12 )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为() (A)18(B)28(C)48(D)631总.在边边长为比！的正六边形 ABCDEF 中，记以A 为起点, a 1, a 2,a 3 ,a 4, a 5 ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 iruu uu uu uu rn别为(aa j a k ) (d r d s d t )的最小值{i,j,k} {1,2,3,4,5} ,{r,s,t} {1,2,3,4,5},则 m,M 满足( (A) m 0,M 0(B) m 0,M(C) m 0, M三、解答题19. (本题满分 12分)如图，在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A BC 1平行于平面 DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.20.( 6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品 (生产条3件要求1 x 10)，每小时可获得利润是100(5x 1 -)元.x(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3000元，求x 的取值范围；(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21. (6分+8分)已知函数f(x) 2si n( x)，其中常数 0 ； 2 (1 )若y f (x)在［,］上单调递增，求的取值范围；4 3(2)令 2，将函数y f (x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函6数y g(x)的图像，区间［a,b ］ ( a,b R 且a b )满足：y g(x)在［a,b ］上至少含有 30个零点，在所有满足上述条件的［a,b ］中，求b a 的最小值.其余顶点为终点的向量分别为 d 1,d 2,d 3,d 4,d s .若 m, M 分、最大值，其中).0 (D) m 0,M 01A=1，证明直线X 2222 . ( 3分+5分+8分)如图，已知曲线C i :y 1 ,曲线2C 2 :| y | |x| 1 , P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与G ,C 2都有公共点，则称P 为“ C i — C 2型点” •(1)在正确证明C i 的左焦点是“ C i — C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ；⑵设直线y kx 与C 2有公共点，求证|k| 1，进而证明原点不是“ C i—C 2型点”；2 21⑶求证：圆x y —内的点都不是“ C 1—C 2型点” •223• (3分+6分+9分)给定常数 C 0 ,定义函数 f (x) 2 | x c 4 | | x c|，数列 a 1,a 2,a 3丄满足 a . 1 f (a n ),n N *.(1 )若 a 1c 2，求 a 2及 a 3 ； (2)求证：对任意 n N*© 1 a . c ,；(3)是否存在a 1，使得a 1,a 2,L a .,L 成等差数列？若存在，求出所有这样的印，若不存在，说明理由.2013年上海高考理科数学(参考答案)填空题4.62829.10. 30d2 11.—12. a-13. 21614.3 3 7选择题题号 15 16 17 18 代号BBAD三. 解答题19.【解答】因为 ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故 AB//C 1D 1, AB C 1D 1 ,故ABC 1D 1为平行四边形，故 BC 1//AD 1，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点 B 到平面D 1AC 的距离设为h1 1 111,,1 V51.-2. - 23. 04.arccos —5. - 26. log 3 47.33213188.考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC为底面，可得V - (- 1 2) 1 -3 2 320 . 【解答】21 . 【解答】23. 【解答】而AD1C中, AC DC 丿5,AD1 X2，故SAD1Ch -，即直线BC1到平面3D1AC的距离为-.3200(5x 1 -)3000 x10，可解得3 x 10一900(1)根据题意, 5x 14⑵设利润为y元，则y 100(5xxy max 457500 元.故x 6时，(1)因为⑵ f(x)104[ 3(丄x1)20，根据题意有2sin(2 x) , g(x) 2sin(2( x6))2si n(2x1x2一2即g (x)的零点相离间隔依次为和-,3 3故若y g(x)在［a,b］上至少含有30214 —3g(x) 0 si n(2x —)4315 -3 3个零点，3)k , k Z，12则b a的最小值为:(1)C1的左焦点为F( .3,0)，过F的直线x '、3与C1交于(2 与C2交于(• 3, (；3 1))，故C1的左焦点为“ C1-C2型点”，且直线可以为x \ 3 ；(2)直线y kx与C2有交点，则y kx (|k| 1)|x||y| |x| 1直线y kx与C2有交点，则y kx2 2x2 2y2 2(1 2k )x故直线y kx至多与曲线1(3)显然过圆x2 y2-2根据对称性，不妨设直线I : y (t 1) k(x t)1，若方程组有解，则必须|k|12C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。

上海高三数列知识点

上海高三数列知识点数列是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模、微积分等学科的基础。

在高三数学学习中，数列的知识点是非常重要的，掌握数列的性质、求解方法以及应用场景，对于学生的数学成绩提高和考试复习有着至关重要的影响。

本文将从数列的基本概念、常见数列的性质以及数列的应用三个方面进行论述，帮助同学们更好地理解和掌握数列的知识。

一、数列的基本概念数列是指按照一定顺序排列的一列数，其中每个数称为数列的项。

一般用字母a，b，c等表示数列的项。

数列可以用通项公式或递推公式来表示。

通项公式是指通过某种规律可以直接求出数列的任意一项的公式，例如等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

递推公式是指通过前一项或前几项可以推导出下一项的公式，例如斐波那契数列的递推公式为an=an-1+an-2，其中an-1和an-2表示前两项。

二、常见数列的性质1. 等差数列：等差数列是指数列中任意相邻两项之差都相等的数列。

等差数列的性质有：公差相等、通项公式、前n项和公式以及性质等。

在解题中，可以利用等差数列的性质来求解数列中任意一项的值或数列的前n项和。

2. 等比数列：等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的数列。

等比数列的性质有：公比相等、通项公式、前n项和公式以及性质等。

在解题中，可以利用等比数列的性质来求解数列中任意一项的值或数列的前n项和。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的性质有：递推公式、通项公式以及性质等。

斐波那契数列在自然界、金融、艺术等领域具有广泛的应用。

三、数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛。

下面以几个常见的数列应用场景进行说明：1. 成绩排名：学生的成绩可以按照一定的顺序排列成数列，通过数列的性质可以求得不同名次的成绩或者成绩区间的人数。

2. 财务管理：投资、贷款、利润等问题中涉及到的时间序列可以抽象成数列，通过数列的性质可以解决相关问题。

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.（4分）计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1} ^{n}k\sqrt{n^2+k^2}$考点：数列的极限。

专题：计算题。

分析：根据数列极限的定义即可求解。

解答：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}$int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$故答案为：$\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$。

点评：本题考查数列极限的求法，属基础题。

2.（4分）设$m\in R$，$m^2+m^{-2}+(m^2-1)i$是纯虚数，其中$i$是虚数单位，则$m=-2$。

考点：复数的基本概念。

专题：计算题。

分析：根据纯虚数的定义可得$m^2-1=0$，$m^2-1\neq0$，由此解得实数$m$的值。

解答：$\because$复数$z=(m^2+m^{-2})+(m-1)i$为纯虚数。

therefore m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，解得$m=-2$。

故答案为：$-2$。

点评：本题主要考查复数的基本概念，得到$m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，是解题的关键，属于基础题。

2013届上海数学高考模拟试题汇编——数列

1、（青浦区2013届高三一模）已知数列{}n a 满足)(233,2*111N n a a a n n n n ∈-+==++．（1）设nn n n a b 32-=证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．2、（金山区2013届高三一模）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ= (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ；(3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．3、（浦东新区2013届高三一模文科）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n b )21(-=，*∈N n ，判断}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）设数列}{n c 为“-p 摆动数列”，p c >1，求证：对任意正整数*,m n N ∈，总有122-<m n c c 成立；（3）设数列}{n d 的前n 项和为n S ，且n S n n ⋅-=)1(，试问：数列}{n d 是否为“-p 摆动数列”，若是，求出p 的取值范围；若不是，说明理由.4、（长宁区2013届高三一模）（理）已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k 、m 为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n 项和分别为S n ，T n ，],[,)(11b a x m kx x f ∈+=当)(x f ],[22b a ],[22b a x ∈)(x f ],[33b a ],[11--∈n n b a x )(x f ],[n n b a .1,011==b a }{},{n n b a 0>k }{n b ?4lim =∞→n n b 0<k }{},{n n b a求).()(201321201321S S S T T T +++-+++（文）设，等差数列中，，记=，令，数列的前n 项和为. （1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.5、（虹口区2013届高三一模）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和n nn n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ．问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．6、（崇明县2013届高三一模）已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．7、（宝山区2013届期末）已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()aa g af a n N n n n n+-+=∈10*3x x f =)({}n a 73=a 12321=++a a a n S ()31+n a fn n n S a b =}1{nb n T {}n a n S 31<n T n m ,n m <<1n m T T T ,,1n m ,（1）求函数f x ()的解析式；（2）求数列{}a n 的通项公式；（3）设()()b f a g a n n n =-+31，求数列{}b n 的最值及相应的n 8、（奉贤区2013届高三一模）等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n an c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分）（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n的值；若不存在，请说明理由．（6分）9、（黄浦区2013届高三一模文科）在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C成等差数列．（1）若3AB BC ⋅=-，且b =a c +的值；（2）若sin cos A M A=，求M 的取值范围．10、（嘉定区2013届高三一模文科）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n nn +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．11、（静安区2013届高三一模文科）已知数列}{n a 的递推公式为⎩⎨⎧=∈≥+-=-.2),2(,3231*1a N n n n a a n n（1）令n a b n n -=，求证：数列}{n b 为等比数列；（2）求数列}{n a 的前n 项和. 12、（闵行区2013届高三一模文科）设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，已知2*421()n n n S a a n N =++∈ (1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在*k N ∈，使得222048k k S a +=，若存在，求出k 的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意*2m k p N m p k ∈+=、、，，都有112m p kS S S +≥． 13、（松江区2013届高三一模文科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设数列对任意*n N ∈，都有1212222n n nc c c a ++++= 成立，求122012c c c +++ 的值．（3）在数列{}n d 中，11d =，且满足11nn n d a d ++=*()n N ∈，求下表中前n 行所有数的和. 112d d d 123d d d 213d d d……11n n d d d +211n n d d d -+...... 11k n k n d d d -++ (11)n n d dd +14、（杨浦区2013届高三一模文科）设数列{}n x 满足0>n x 且1≠n x （n ∈*N ）,前n 项和为n S ．已知点),(111S x P ,),(222S x P ,()n n n S x P,,⋅⋅⋅都在直线b kx y +=上(其中常数k b 、且0≠k ,1≠k ，0≠b ),又n n x y 21log =．（1）求证：数列{}n x 是等比数列；（2）若n y n 318-=，求实数k ，b 的值；（3）如果存在t 、∈s n *N ，t s ≠使得点()s y t ,和点()t y s ,都在直线12+=x y 上．问是否存在正整数M ，当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．15、（闸北区2013届高三一模文科）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．如：若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 则{}n c 是公差为8的准等差数列．（1）求上述准等差数列{}n c 的第8项8c 、第9项9c 以及前9项的和9T ；（2）设数列{}n a 满足：a a =1，对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++．求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201263>S ，求a 的取值范围．}{n c n S。

上海高三数学三轮复习--数列

三轮复习---数列1．数列的本质是什么？（定义在正整数集或其子集上的函数）。

2．等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？3．等差数列的求和公式有几个？等比数列的求和公式应注意什么？4．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“{}n a 是等差数列”的充要条件是“Bn An S n +=2，其中公差A d 2=”。

设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“{}n a 是非常数等比数列”的充要条件是“(0)n n S Aq A A =-≠，其中公比是q ”。

5．常数列：)(N n a a n ∈= ⇒ {}n a 是公差0=d 的等差数列；非零常数列．．．．．既是等差数列,又是等比数列；既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列6．若{}n a 是等差数列,则{}n a b 是等比数列（0≠b ）；若{}n a 是等比数列，则{}n b a log 是等差数列；7．对于等差、等比数列，你是否掌握了类比思想？8．等差数列、等比数列有哪些重要性质？你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗？等差数列等比数列定义从第二项起，后一项减前一项的差是同一个常数，则该数列为等差数列。

1. ),2(1*-∈≥=-N n n d a a n n从第二项起，后一项与前一项的比是同一非零常数，则该数列为等比数列。

1.)0,,2(1≠∈≥=*-q N n n q a a n n通项公式)()1(1*∈-+=N n dn a a n)(11*-∈=N n q a a n n前n 项和公式d n n a n n a a S n n ⋅-+⋅=⋅+=2)1(2)(11 )(2*∈+=N n BnAn⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==111)1(1111q q qa a q q a q na S n n n通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：⎩⎨⎧∈≥-==*-Nn n S S n S a n n n ,2111性质1．),()(*∈⋅-=-N k n d k n a a k n2. )(221*++∈+=N n a a a n n n1．),(*-∈=N k n q a a k n kn2.)0,(1221≠∈⋅=+*++n n n n a N n a a a3．若p l k j i 2=+=+，则：p l k j i a a a a a 2=+=+=⋅+=⋅+=-2)(2)(121na a n a a S n n n3．若p l k j i 2=+=+，则：2)(p l k j i a a a a a =⋅=⋅4.若 321,,k k k 是公差为k 的等差数列，则： 321,,k k k a a a 是公差为d k ⋅的等差数列。

上海2013年高考数学试卷及解析

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab bc c a b ab++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12+． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，|D d ξ=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2s i n ()3x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A)(,2)-∞(B)(,2]-∞ (C)(2,)+∞(D)[2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A)0,0m M => (B)0,0m M <>(C)0,0m M <=(D)0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅> ，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1ADC ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩(2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++ 1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F 的直线x =C 1交于()2±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

2013届上海市高考数学·二模汇编数列

2013届高中数学·二模汇编（专题：数列）2013届高中数学·二模汇编数列一、填空题1、(2013闵行二模文理8) 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于．2、(2013奉贤二模理12) 设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{n S }都是等差数列，且公差相等，则=+d a 1 ．3、(2013浦东二模文理8) 记直线n l ：01)1(=-++y n nx 错误！未找到引用源。

（*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S 错误！未找到引用源。

，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S 错误！未找到引用源。

．4、(2013浦东二模文理14) 数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．① 存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ② “数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③ 若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；④ 只要kk k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在；其中正确命题的序号为．5、(2013普陀二模理14) 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,33211111中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ，， 3,2,1，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,2,1-=n j ）,则n a ,3= .6、（2013杨浦、青浦、静安、宝山二模理12）各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim=∞→nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .7、（2013杨浦、青浦、静安、宝山二模理14）给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .8、（2013长宁、嘉定二模理14）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为______________9、（2013长宁、嘉定二模文14）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，则k n =_______________ 10、（2013虹口二模文理4）设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim ．11、（2013虹口二模文理7）数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 12、（2013虹口二模文理 13）设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为．13、（2013黄浦二模文理 4）等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________.14、（2013黄浦二模文理 12）已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+- (3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++ ，则lim4nnn A →∞=___________.15、（2013闸北二模文6）设20πθ<<，θcos 21=a ，n n a a +=+21，则数列{}n a 的通项公式=n a ．16、（2013崇明二模文理5）已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=, 341a a +=，则li m n n S →∞= ．二、选择题17、（2013奉贤二模理17）数列{}n a 前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若S a <恒成立，则实数a 的最小值为（）θCBA第18题图（A ）14 （B ）34 （C ）43（D ）418、（2013奉贤二模文17）()已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1n n nS S +→+∞=, 则公比q 的取值范围是（）（A ）01q <<（B ）01q <≤（C ）1q >（D ）1q ≥19、（2013徐汇、松江、金山二模文理18）如图所示，向量BC 的模是向量AB的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ, 那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈> ，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列，记i A 坐标为()(),*i i a b i N ∈，则下列命题中不正确．．．的是（） A. 23b = B. 3130k k b b +-=()*k N ∈ C. 31310k k a a +--=()*k N ∈D. ()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈ 20、（2013黄浦二模理17）下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件； ②“0a >”是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是（）A ．③ B. ②③ C. ①② D. ①③21、（2013闸北二模理12）在xOy 平面上有一系列的点),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对于所有正整数n ，点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图像上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且n n x x <+1．则=∞→n n nx lim （）A ．0B ．0.2C ．0.5D ．1xy O P1P2P3Q1Q3Q2 P4三、解答题22、(2013闵行二模理23) （本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．过坐标原点O 作倾斜角为60 的直线交抛物线2:y x Γ=于1P 点，过1P 点作倾斜角为120 的直线交x 轴于1Q 点，交Γ于2P 点；过2P 点作倾斜角为60 的直线交x 轴于2Q 点，交Γ于3P 点；过3P 点作倾斜角为120的直线，交x 轴于3Q 点，交Γ于4P 点；如此下去……．又设线段112231n n OQ QQ Q Q Q Q -，，，，，L L 的长分别为 123,,,,,n a a a a L L ，数列{}n a 的前n 项的和为n S ．（1）求12,a a ；（2）求n a ，n S ；（3）设(01)n an b a a a =>≠且，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若正整数,,,p q r s 成等差数列，且p q r s <<<，试比较p s T T ⋅与q r T T ⋅的大小．23、 (2013奉贤二模理22) （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分.已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1，a 3；（2）求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．24、(2013奉贤二模文22) （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分.已知数列}{n a 对任意的,2≥n *N n ∈满足：n n n a a a 211<+-+，则称}{n a 为“Z 数列”。