2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二(下)期中数学试卷(理科)

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江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.复数的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.详解：，则复数的虚部，故答案为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.2.用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．【答案】a、b都不能被2整除．【解析】试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求．解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故答案为：a、b都不能被2整除．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．3.设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.【答案】【解析】分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可. 详解：因为，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和4.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取_____________．【答案】5【解析】由于n=1时，;n=2时，;n=3时，,n=4时，;n=5时，.所以当时，成立5.三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是．(填写序号)【答案】②【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提．考点：演绎推理．6.观察下列等式1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为________________.【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.考点：归纳推理.7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有__________ 个【答案】【解析】分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.8.设，那么______．【答案】【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出与项数变化规律以及之间的关系即可得到结论.详解：，，，故答案为.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.9.已知，则_________.【答案】【解析】分析：由组合数性质得，解方程求出，进而能求出的值.详解：，，化简得，，，解得或（舍去），，故答案为.点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1）；（2）；（3）.10.的展开式中的系数为70，则________．【答案】【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于,求得的值,即可求得展开式中的的系数,再根据的系数为70 ,求得的值.详解：的展开式中通项公式的为，令，求得，故的系数为，则，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11.在数列中，，可以猜测数列通项的表达式为_________.【答案】【解析】分析：根据，，，依次由，分别求出，仔细观察，总结规律，可猜想.详解：，，，由此猜测，故答案为.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12.记等差数列得前项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即；类似地，记等比数列的前项积为，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系式，即公式______．【答案】【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.详解：在等差数列得前项和为，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列的前项积，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.13.已知，则__________．【答案】180【解析】，，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．【答案】【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.二、解答题（本大题共6小题，共90分。

江苏省无锡市江阴四校高二数学下学期期中试题理(含解析)

19。已知等差数列的公差大于0，且 , 是方程的两根,数列的前项和为，且 .
（1）求数列、的通项公式；
(2)设数列的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明．
【答案】（1），；(2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据韦达定理可构造方程组求得和，从而得到公差和，根据等差数列通项公式可得 ;利用可证得为等比数列，根据等比数列通项公式求得；(2）通过列举的结果可猜想当时， ;根据数学归纳法的基本步骤，依次证明时成立，在成立的前提下时也成立，从而使问题得以解决。
2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数运算，求得 ,即可根据复数的概念得到实部.
【详解】
的实部是
本题正确结果：
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.
3。已知 ,则 _______.
【答案】4或6
【解析】
【分析】
根据组合数性质可得到方程，求解即可得到结果.
下面用数学归纳法证明：
①当时，，，所以成立；
②假设当时，，即
那么,当时，
所以当时, 也成立．
由①②可知，对任何，，都有成立
综上所述，当时，；当时,
【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式的求解、利用数学归纳法证明不等式的问题。在运用数学归纳法证明问题时,需要注意的是当时假设成立的结论，必须在证明结论成立的过程中予以应用.
【详解】由得：或解源自: 或本题正确结果：或【点睛】本题考查组合数的性质，两种情况分别为或，属于基础题.
4.已知复数z=（1+i）(1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________

江苏省无锡市江阴市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年江苏省无锡市江阴市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。

请直接将答案填在答题卡对应的横线上 1．设集合A={1，2，3}，B={﹣1，1，3，5}，则集合A ∩B=______． 2．若复数z 满足z ﹣2i=zi （其中i 为虚数单位），则复数z 的模为______．3．若3名学生报名参加数、理、化、生四科竞赛，每人选报1项，则不同的报名方式有______种（用数字作答）．4．函数y=+log 2（x ﹣1）的定义域是______．5．某篮球运动员投篮投中的概率为，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率是______（结果用分数表示）． 6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，应假设“三角形的______”（用文字作答）．7．的展开式中的常数项为______．8．已知函数，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 有3个零点，则实数m的取值范围是______．9．已知定义在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足关系f （x ）﹣g （x ）=2x ，则f （1）•g （0）的值为______．10．有三张卡片的正、反两面分别写有数字0和1，2和3，4和5，某同学用它们来拼一个三位偶数，不同的个数为______．11．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在试题库中任取一题，甲能答对的概率为，乙能答对的概率为，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．则甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为______．12．从装有编号为1，2，3，…，n +1的n +1个球的口袋中取出m 个球（0＜m ≤n ，m ，n ∈N ），共有C n +1m 种取法．在这C n +1m 种取法中，不取1号球有C 10C n m 种取法；必取1号球有C 11C n m ﹣1种取法．所以C 10C n m +C 11C n m ﹣1=C n +1m ，即C n m +C n m ﹣1=C n +1m 成立．试根据上述思想，则有当1≤k ≤m ≤n ，k ，m ，n ∈N 时，C n m +C k 1C n m ﹣1+C k 2C n m ﹣2+…+C k k C n m ﹣k =______．13．已知函数f （x ）=﹣xlnx +ax 在（0，e ）上是增函数，函数．当x ∈[0，ln3]时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为，则a=______．14．已知（1+x ）10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则a 0+++…+=______．二、解答题:本大题共6题，计90分。

江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案

2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）命题人：黄希复核人：黄亚新一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 计算：2547A C -的值为 ▲ .2. 已知复数iiz -+=141，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是 ▲ . 3. 已知421414-=x x C C ，则x = ▲ .4. 已知复数)21)(1(i i z ++=，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ .5. 用反证法证明“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .6. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 ▲ .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.8. 1233-除以9的余数为 ▲ .9. 若，则2312420)()(a a a a a +-++的值为___▲___.10. 已知不等式23411<+，3591411<++，4716191411<+++，照此规律总结出第)(*∈N n n 个不等式为 ▲ .11. 在平面几何中，ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比BC AC EB AE ::=（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中（如图所示），面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 相交于点E ，则得到的结论是_ ▲ .443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则=2019a ▲ .14. 三角形的周长为31，三边c b a ，，均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知复数是虚数单位）i R m iim m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数.（1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证：．17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.a b c ，，112a c b+≠18. （本小题满分16分）已知在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2323的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n 的值；（2）求展开式中6x 的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根，数列的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,试比较nb 1与1+n S 的大小，并用数学归纳法给予证明．20. （本小题满分16分）已知*()(1),(01,)n n f x x x x n N =+≠≠-∈且. （1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)nn n n nC C C n C +++++；（3）证明：1121(1)1232m m mmm m m m m n m n m n C C C nC C m ++++-+++++++=+{}n b2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）答案一、填空： 1. 15 2. 23-3. 4或64. 105. a ，b 都不能被5整除6. 57. 308. 79. 1 10. 112)1(11312112222++<++++++n n n n 11.BCD ACDS S EB AE ∆∆=12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1..........................................................................................8分 (2)由(1)可以知道:.设.,,,.可以知道:,. 的最大值为3................................................................................14分注：法二：用复数的几何意义 16.（1）由33222222(2)(2)2()()(2)()()a b ab a b a a b b a b a b a b a b ---=-+-=++-……4分因为0a b ≥>所以20,0,0a b a b a b +>+>-≥所以332222a b ab a b -≥-………………………7分（2）（反证法）假设，则． ①而． ②由①②，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分17. 解：（1）60 ………………………3分(2)480 ………………………6分 (3)180 ………………………10分(4)1470 ………………………14分1819. 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. ………………………2分因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，（10分）（16分）所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . ………………………6分(2) 因为S n ＝12n －12×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5. ………………………8分猜想：n ≥4时，1b n＞S n ＋1. ………………………9分下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2， …………………10分那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1> k 2＋4k ＋4 =[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1 …14分所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1， ………………………15分当n ≥4时，1b n>S n ＋1. ………………………16分20. 解：（1）由3410()(1)(1)(1)g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104451011330C C C C C C C C C ++++=++++==………………………3分（2）通项为(1)k k k n n n k C kC C +=+ ………………………5分 0()(1)n nk k n n k f x x C x =∴=+=∑111(1)nn k k n k n x kC x --=+=∑两边求导得 1x =令得到112n n k n k n kC -=⋅=∑ 1221n n n n n C C C +++=-又1231234(1)221n n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+-………………………10分 (如采用组合恒等式证明相应给分)。

2016-2017学年江苏省江阴市四校高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年江苏省江阴市四校高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题1．已知A 1110985m n =⨯⨯⨯⨯ ，则()0,+∞为___________ 【答案】18【解析】因为A 1110985m n =⨯⨯⨯⨯ ，所以()11,11517,18n m m n ==-+=+= ，故答案为18 .2．若11mini i+=+（,,m n R i ∈为虚数单位），则mn 的值为____. 【答案】1-【解析】因为11mini i +=+，所以可得11{11m m i n mn n =-=+⇒⇒=-=- ，故答案为1- .3．给出下列演绎推理：“整数是有理数，，所以-3是有理数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写．【答案】-3是整数【解析】试题分析：由演绎推理三段论可知，整数是有理数，-3是整数，所以-3是有理数；【考点】演绎推理三段论的应用4．设Z x ∈，则方程2551616x x x C C --=的解集．．是__________ 【答案】{}1,3【解析】由2551616x x x C C --= 可得255x x x -=-或者()()25516x x x -+-= ，解得1x = 或3x = ，方程的解集为{}1,3 ，故答案为{}1,3.5．用反证法证明命题“若11,0,x y 2,,x yx y y x++>+>且则中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是________. 【答案】假设11,x yy x++ 两者都大于或等于2 【解析】由于“1x y + ， 1y x +中至少有一个小于2 ”的反面是: “1x y+ ， 1yx +都大于或等于2 ”,故用反证法证明命题: “若0,0x y >> 且2x y +> ,则1x y+ ， 1yx +中至少有一个小于2”时,应假设1x y + ， 1y x +都大于或等于2 ,故答案为1x y+ 和1yx +都大于或等于2 .6．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）【答案】30【解析】试题分析：由题意得，从7个人中不讲顺序的挑3个人，共有3537=C 种，除掉不符合题意的事件有：3名全部是女生的有133=C 种，3名全部是男生的有434=C 种，所以符合题意的选法共有30种【考点】1.组合及简单计数原理；2.对立事件的概念；7．复数(,)z x yi x y R =+∈，且2z -=yx的最大值为。

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题

点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意
和
以及
运算的准确性，否则很容易出现错误. [来源:学
科网]
点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 4．【解析】分析：利用对数函数的定义域，指数函数的单调性解不等式组即可的得结果.
的解集；4、研究函数性质．
15．（1）；（2）
.
【解析】试题分析：（1）且真，则都是真命题，解这两个不等式后取交集即可得到实数的取值范
围.（2）是的必要不充分条件，则的范围是的范围的子集，由此得到的取值范围.
试题解析：（1）由
，得 .当时，，即为真命题时， .
由
得
，所以为真时，
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
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是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图
象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归
纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式

2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)

无锡江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题命题人：黄希复核人：黄亚新一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 计算：2547A C -的值为 ▲ . 2. 已知复数iiz -+=141，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是 ▲ . 3. 已知421414-=x x C C ，则x = ▲ . 4. 已知复数)21)(1(i i z ++=，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ .5. 用反证法证明“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .6. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 ▲ .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.8. 1233-除以9的余数为 ▲ .9. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为___▲___.10. 已知不等式23411<+，3591411<++，4716191411<+++，照此规律总结出第)(*∈N n n 个不等式为 ▲ .11. 在平面几何中，ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比BC AC EB AE ::=（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中（如图所示），面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 相交于点E ，则得到的结论是_ ▲ .12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则=2019a ▲ .14. 三角形的周长为31，三边c b a ，，均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知复数是虚数单位）i R m iim m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数.（1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证： 112a cb +≠．17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.18. （本小题满分16分）已知在nxx⎪⎭⎫⎝⎛+2323的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n的值；（2）求展开式中6x的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,试比较nb 1与1+n S 的大小，并用数学归纳法给予证明．20. （本小题满分16分）已知*()(1),(01,)nn f x x x x n N =+≠≠-∈且. （1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)nn n n n C C C n C +++++；（3）证明：1121(1)1232m m mmm m m m m n m n m n C C C nC C m ++++-+++++++=+无锡江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试数学答案一、填空： 1. 15 2. 23-3. 4或64. 105. a ，b 都不能被5整除6. 57. 308. 79. 1 10.112)1(11312112222++<++++++n n n n 11.BCDACDS S EB AE ∆∆=12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1..........................................................................................8分 (2)由(1)可以知道:.设.,,,.可以知道:,.的最大值为3................................................................................14分注：法二：用复数的几何意义 16.（1）由33222222(2)(2)2()()(2)()()a b ab a b a a b b a b a b a b a b ---=-+-=++-……4分因为0a b ≥>所以20,0,0a b a b a b +>+>-≥ 所以332222a b ab a b -≥-………………………7分（2）（反证法）假设，则． ①而． ②由①②，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分17. 解：（1）60 ………………………3分(2)480 ………………………6分 (3)180 ………………………10分(4)1470 ………………………14分1819. 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. ………………………2分因为T n ＝1－12n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，（10分）（16分）所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . ………………………6分(2) 因为S n ＝12n －12×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812S 5＝25，所以1b 4>S 5. ………………………8分猜想：n ≥4时，1b n＞S n ＋1. ………………………9分下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2(k ＋1)2， …………………10分那么，1b k ＋1＝3k ＋123·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1> k 2＋4k ＋4 =[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1 …14分所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1， ………………………15分当n ≥4时，1b n>S n ＋1. ………………………16分20. 解：（1）由3410()(1)(1)(1)g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104451011330C C C C C C C C C ++++=++++==………………………3分（2）通项为(1)k k k n n n k C kC C +=+ ………………………5分0()(1)n nk k n n k f x x C x =∴=+=∑111(1)nn k k n k n x kC x --=+=∑两边求导得 1x =令得到112n n k n k n kC -=⋅=∑ 1221n n n n n C C C +++=-又1231234(1)221n n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+-………………………10分 (如采用组合恒等式证明相应给分)。

2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版

江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 计算：2547A C -的值为 ▲ . 2. 已知复数iiz -+=141，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是 ▲ . 3. 已知421414-=x x C C ，则x = ▲ . 4. 已知复数)21)(1(i i z ++=，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ .5. 用反证法证明“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .6. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 ▲ .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.8. 1233-除以9的余数为 ▲ .9. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为___▲___. 10. 已知不等式23411<+，3591411<++，4716191411<+++，照此规律总结出第)(*∈N n n 个不等式为 ▲ .11. 在平面几何中，ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比BC AC EB AE ::=（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中（如图所示），面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 相交于点E ，则得到的结论是_ ▲ .12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则=2019a ▲ .14. 三角形的周长为31，三边c b a ，，均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知复数是虚数单位）i R m iim m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数.（1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证：112a c b+≠．17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.18. （本小题满分16分）已知在nxx⎪⎭⎫⎝⎛+2323的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n的值；（2）求展开式中6x的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,试比较nb 1与1+n S 的大小，并用数学归纳法给予证明．20. （本小题满分16分）已知*()(1),(01,)n n f x x x x n N =+≠≠-∈且. （1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)nn n n nC C C n C +++++；（3）证明：1121(1)1232m m mmm m m m m n m n m n C C C nC C m ++++-+++++++=+2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）答案一、填空： 1. 15 2. 23-3. 4或64. 105. a ，b 都不能被5整除6. 57. 308. 79. 1 10.112)1(11312112222++<++++++n n n n 11.BCD ACDS S EB AE ∆∆=12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1..........................................................................................8分 (2)由(1)可以知道:.设.,,,.可以知道:,.的最大值为3................................................................................14分注：法二：用复数的几何意义 16.（1）由33222222(2)(2)2()()(2)()()a b ab a b a a b b a b a b a b a b ---=-+-=++-……4分因为0a b ≥>所以20,0,0a b a b a b +>+>-≥ 所以332222a b ab a b -≥-………………………7分（2）（反证法）假设，则． ①而． ②由①②，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分17. 解：（1）60 ………………………3分(2)480 ………………………6分 (3)180 ………………………10分(4)1470 ………………………14分1819. 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. ………………………2分因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，（10分）（10分）（16分）所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . ………………………6分(2) 因为S n ＝12n －12×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5. ………………………8分猜想：n ≥4时，1b n＞S n ＋1. ………………………9分下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2， …………………10分那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1> k 2＋4k ＋4 =[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1 …14分所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1， ………………………15分当n ≥4时，1b n>S n ＋1. ………………………16分20. 解：（1）由3410()(1)(1)(1)g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104451011330C C C C C C C C C ++++=++++==………………………3分（2）通项为(1)k k k n n n k C kC C +=+ ………………………5分 0()(1)n nk k n n k f x x C x =∴=+=∑111(1)nn k k n k n x kC x --=+=∑两边求导得 1x =令得到112n n k n k n kC -=⋅=∑ 1221n n n n n C C C +++=-又1231234(1)221n n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+-………………………10分 (如采用组合恒等式证明相应给分)。

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试文数试题(考试版)

绝密★启用前江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题考试范围：集合与简易逻辑、函数、推理与证明；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学集合与简易逻辑、函数、推理与证明等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.评卷人得分一、填空题1．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A B，则a等于_________.2．若，则___________.3．已知命题,那么命题为___________.4．函数的定义域是___________.5．已知，则的大小关系为__________.6．“” 是 “” 的___________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）7．设函数，则满足的的取值范围是___________.8．二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度___________.9．已知函数，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是___________.10．若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________.11．已知函数，则_______.12．设函数，则使成立的的取值范围是___________.13．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，当时，，则下列结论正确的是___________.①的图象关于对称②的最大值与最小值之和为③方程有个实数根④当时，14．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.评卷人得分二、解答题15．已知实数，满足，实数，满足.（1）若时为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围16．已知函数．（）求函数的定义域．（）若为偶函数，求实数的值．17．已知函数(其中为常量且且）的图象经过点,.(1)试求的值；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.18．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．已知函数⑴若，且，求的值；⑵当时，若在上是增函数，求a的取值范围是；⑶若a=1，求函数在区间上的最大值.20．已知函数，.（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围；（3）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（柱：区间的长度为）。

2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学(理)试题

2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学试题（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 计算：2547A C -的值为 ▲ .2. 已知复数iiz -+=141，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是 ▲ . 3. 已知421414-=x x C C ，则x = ▲ .4. 已知复数)21)(1(i i z ++=，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ .5. 用反证法证明“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .6. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 ▲ .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.8. 1233-除以9的余数为 ▲ .9. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为___▲___.10. 已知不等式23411<+，3591411<++，4716191411<+++，照此规律总结出第)(*∈N n n 个不等式为 ▲ .11. 在平面几何中，ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比BC AC EB AE ::=（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中（如图所示），面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 相交于点E ，则得到的结论是_ ▲ .12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则=2019a ▲ .14. 三角形的周长为31，三边c b a ，，均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知复数是虚数单位）i R m iim m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数. （1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证： 112a cb +≠．17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒. 18. （本小题满分16分）已知在nxx⎪⎭⎫⎝⎛+2323的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n的值；（2）求展开式中6x的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,试比较nb 1与1+n S 的大小，并用数学归纳法给予证明．20. （本小题满分16分）已知*()(1),(01,)n n f x x x x n N =+≠≠-∈且. （1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)nnn n n C C C n C +++++；（3）证明：1121(1)1232m m mmm m m m m n m n m n C C C nC C m ++++-+++++++=+2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）答案一、填空： 1. 15 2. 23-3. 4或64. 105. a ，b 都不能被5整除6. 57. 308. 79. 1 10. 112)1(11312112222++<++++++n n n n 11.BCD ACDS S EB AE ∆∆=12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1..........................................................................................8分 (2)由(1)可以知道:.设.,,,.可以知道:,.的最大值为3................................................................................14分注：法二：用复数的几何意义 16.（1）由33222222(2)(2)2()()(2)()()a b ab a b a a b b a b a b a b a b ---=-+-=++-……4分因为0a b ≥>所以20,0,0a b a b a b +>+>-≥ 所以332222a b ab a b -≥-………………………7分（2）（反证法）假设，则． ①而． ②由①②，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分17. 解：（1）60 ………………………3分(2)480 ………………………6分 (3)180 ………………………10分(4)1470 ………………………14分1819. 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. ………………………2分因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，（10分）（10分）（16分）所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . ………………………6分(2) 因为S n ＝12n －12×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5. ………………………8分猜想：n ≥4时，1b n＞S n ＋1. ………………………9分下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2， …………………10分那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1> k 2＋4k ＋4 =[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1 …14分所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1， ………………………15分当n ≥4时，1b n>S n ＋1. ………………………16分20. 解：（1）由3410()(1)(1)(1)g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104451011330C C C C C C C C C ++++=++++==………………………3分（2）通项为(1)k k k n n n k C kC C +=+ ………………………5分0()(1)n nk k n n k f x x C x =∴=+=∑111(1)n n k k n k n x kC x--=+=∑两边求导得1x =令得到112n n k n k n kC -=⋅=∑ 1221n n n n n C C C +++=-又1231234(1)221n n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+-………………………10分 (如采用组合恒等式证明相应给分)。

江苏省无锡市2017-2018学年高二下学期期末数学(理)试题及解析

无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高二数学（理）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．2. 设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为__________．3. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．4. 直线与圆相交的弦长为__________．5. 若，，则，的大小关系是__________．6. 求值：__________．7. 有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）8. 用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴__________”．9. 在圆中：半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为.类比到球中：半径为的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________．10. 平面上画条直线，且满足任何条直线都相交，任何条直线不共点，则这条直线将平面分成__________个部分．11. 在平面直角坐标系中，已知点是椭圆：上第一象限的点，为坐标原点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则四边形的面积的最大值为__________．12. 在的展开式中的所有的整数次幂项的系数之和为__________．13. 湖面上有个相邻的小岛，，，，，现要建座桥梁，将这个小岛连接起来，共有__________不同方案．（用数字作答）14. 一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当__________时，取得最大值．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足.（1）求复数；（2）设复数满足：为纯虚数，，求的值.16. 已知二阶矩阵对应的变换将点变换成，将点变换成. （1）求矩阵的逆矩阵；（2）若向量，计算.17. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为.（1）若直线与圆相切，求的值；（2）已知直线与圆交于，两点，记点、相应的参数分别为，，当时，求的长.18. 将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.19. 有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能获得元，可能获得元，可能获得元，这三种情况的概率分别为，，；游戏乙有种结果：可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.（1）某人花元参与游戏甲两次，用表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求的概率分布及期望；（2）用表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为.20. 已知函数，其中，. （1）若，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）若，求证：.无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高二数学（理）试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．【答案】【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。

江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题

2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 计算：2547A C -的值为 ▲ .2. 已知复数ii z -+=141，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部是 ▲ . 3. 已知421414-=x x C C ，则x = ▲ .4. 已知复数)21)(1(i i z ++=，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ .5. 用反证法证明“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ .6. 用数学归纳法证明“122+>n n 对于0n n ≥的自然数都成立”时，第一步中的值0n 应取 ▲ .7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.8. 1233-除以9的余数为 ▲ .9. 若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为___▲___.10. 已知不等式23411<+，3591411<++，4716191411<+++，照此规律总结出第)(*∈N n n 个不等式为 ▲ .11. 在平面几何中，ABC ∆的C ∠内角平分线CE 分AB 所成线段的比BC AC EB AE ::=（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥BCD A -中（如图所示），面DEC 平分二面角B CD A --且与AB 相交于点E ，则得到的结论是_ ▲ .12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，则=2019a ▲ .14. 三角形的周长为31，三边c b a ，，均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知复数是虚数单位）i R m ii m m m m z ,(1)()2(22∈+++--=是纯虚数. （1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.16. （本小题满分14分）（1）设0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证：112a cb +≠．17. （本小题满分14分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；（4）甲不在第一棒.已知在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2323的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求n 的值；（2）求展开式中6x 的项；（3）求展开式中系数最大的项.19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且52,a a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,试比较nb 1与1+n S 的大小，并用数学归纳法给予证明．已知*()(1),(01,)n n f x x x x n N =+≠≠-∈且.（1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++，求()g x 中含3x 项的系数；（2）化简：123234(1)n n n n n C C C n C +++++；（3）证明：1121(1)1232m m m m m m m m m n m n m n C C C nC C m ++++-+++++++=+2018-2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）答案一、填空：1. 152. 23- 3. 4或6 4. 10 5. a ，b 都不能被5整除 6. 5 7. 30 8. 7 9. 1 10.112)1(11312112222++<++++++n n n n 11.BCD ACD S S EB AE ∆∆= 12. 420 13. 3974 14. 24 二、解答题：15. 解:(1)复数是纯虚数.,计算得出.的值是1..........................................................................................8分(2)由(1)可以知道:.设.,,,.可以知道:,.的最大值为3................................................................................14分注：法二：用复数的几何意义16.（1）由33222222(2)(2)2()()(2)()()a b ab a b a a b b a b a b a b a b ---=-+-=++-……4分因为0a b ≥>所以20,0,0a b a b a b +>+>-≥所以332222a b ab a b -≥-………………………7分（2）（反证法）假设，则． ① 而． ② 由①②，得，即，于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分17. 解：（1）60 ………………………3分(2)480 ………………………6分(3)180 ………………………10分(4)1470 ………………………14分 1819. 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27. 因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. ………………………2分因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23. 当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，（10分）（10分）（16分）所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n . 所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . ………………………6分 (2) 因为S n ＝1＋n －2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n 2. 下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5. ………………………8分猜想：n ≥4时，1b n＞S n ＋1. ………………………9分下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k 2＞(k ＋1)2， …………………10分那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1> k 2＋4k ＋4 =[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1 …14分所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1， ………………………15分当n ≥4时，1b n>S n ＋1. ………………………16分20. 解：（1）由3410()(1)(1)(1)g x x x x =++++++所以()g x 中含3x 项的系数为：333343334345104451011330C C C C C C C C C ++++=++++==………………………3分（2）通项为(1)k k k n n n k C kC C +=+ ………………………5分0()(1)n nk k n n k f x x C x =∴=+=∑111(1)n n k k n k n x kC x--=+=∑两边求导得1x =令得到112n n k n k n kC -=⋅=∑ 1221n n n n n C C C +++=-又1231234(1)221n n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+-………………………10分 (如采用组合恒等式证明相应给分)。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

【数学】江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试(理)

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试（理）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1. 复数iiz 212+-=的虚部为 ▲ ． 2．用反证法证明命题“若ab N b a ,,∈能被2整除，则b a ,中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是 ▲ ．3．设复数为虚数单位),z 的共轭复数为=___▲_____. 4．用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n 0应取为 ▲ ．5．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是 ▲ ．(填写序号) 6．观察下列等式：…………据此规律，第n 个等式可为_______________▲_____________________. 7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有 ▲ 个 8．设f （k ）=+++…+（k ∈N *），那么f （k+1）﹣f （k ）= ▲ ．9.已知m m m C C C 76510711=-，则mC 21= ▲ . 10.8)1(xax -的展开式中2x 的系数为70，则a =___▲_____． 11.在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为 __▲.12. 记等差数列{a n }得前n 项和为S n ，利用倒序相加法的求和办法，可将S n 表示成首项a 1，1(z i i =--,(1)|z z z -⋅则|11122-=11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++{}n a 12a =1()31nn n a a n a *+=∈+N n a末项a n 与项数的一个关系式，即S n =221na a ）（+；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，b n ＞0（n ∈N *），类比等差数列的求和方法，可将T n 表示为首项b 1，末项b n 与项数的一个关系式，即公式T n = ▲ ． 13.已知1010221010)1()1()1()1(x a x a x a a x -++-+-+=+Λ，则8a = ▲ ．14. 学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．二、解答题（本大题共6小题，共90分。

江苏省江阴四校高二数学下学期期中试题理

2016-2017学年高二期中考试数学学科试题（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知5891011A ⨯⨯⨯⨯=Λm n ，则m n +为______▲______ 2. 若ni imi+=+11（i R n m ,,∈为虚数单位），则mn 的值为 ▲ . 3. 给出下列演绎推理：“整数是有理数，，所以-3是有理数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写 _▲__ ．4. 设Z x ∈，则方程5516162--=x x x C C 的解集．．是 ▲ 5. 用反证法证明命题“若xyy x y x ++>+>1,1,2y x ,0,则且中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是 ▲ .6. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）7. 已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则xy的范围为______▲_______． 8. 甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为___________．9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a . 类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ .10. 用数学归纳法证明：2321242n n n +=++++Λ，则当1+=k n 时，左端在k n =时的左端加上了 ▲11. 航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为__▲______．(用数字作答) 12. 观察下列等式：13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m n <且,m n N ∈时，313m +＋323m +＋343m +＋353m +＋…＋323n -＋313n -＝__▲______(最后结果用,m n 表示)．13. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ▲ .14. 从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法，这1m n C +种取法可分成两类：一类是取出的m 个球中，没有黑球，有m n C C ⋅01种取法，另一类是取出的m 个球中有一个是黑球，有111-⋅m n C C 种取法，由此可得等式：m n C C ⋅01+111-⋅m n C C =1m n C +．则根据上述思想方法，当1,,,k m n k m n N ≤<<∈时，化简0k C ·1122m m m k m knk n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅=L ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）已知复数i a z 41-=，i z 682+=，21z z 为纯虚数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求复数1z 的平方根．16.（本小题满分14分）（Ⅰ）求证：当2a >时，222a a a ++-<；（Ⅱ）证明：532，，不可能是同一个等差数列中的三项.17．（本小题满分14分）某地有10个著名景点，其中8 个为日游景点，2个为夜游景点．某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地．行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点．（Ⅰ）甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种？（Ⅱ）甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种？（Ⅲ）甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法？18．（本小题满分16分）已知z 是虚数，zz 1+是实数．（1）求z 为何值时，i z -+2有最小值，并求出|i z -+2的最小值；（2）设zzu +-=11，求证：u 为纯虚数．19.（本小题满分16分）如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 相交于O ，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形,,,ABO BCO CDO ADO ∆∆∆∆进行染色，且每个三角形用一种颜色图染.（1）若必须使用红色，求四个三角形,,,ABO BCO CDO ADO ∆∆∆∆中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数；（2）若不使用红色，求四个三角形,,,ABO BCO CDO ADO ∆∆∆∆中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数.20．（本题满分16分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且44431--=+n n n a S )(*∈N n ，令n nn a b 4=. （Ⅰ）求证：数列}{n b 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若2)(-=n a n f )(*∈N n ，用数学归纳法证明)(n f 是18的倍数．2016—2017学年第二学期高二期中考试数学（理科）试题参考答案一、填空题：（共14小题，每小题5分，共70分）1．18 ； 2．1- ；3． -3是整数； 4．{}3,1 ；5．假设xyy x ++1,1 两者都大于或等于2； 6．30； 7．3,3⎡⎤-⎣⎦； 8．336；9．83a ； 10．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ …＋(k ＋1)211．32 ； 12．22n m - ； 13． 465 ；14．二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

【全国校级联考】江苏省无锡市江阴四校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．复数212i z i-=+的虚部为__________． 2．用反证法证明命题“若,a b N ∈,ab 能被2整除，则a b ，中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是_______．3．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.4．用数学归纳法证明“2n >n 2+1对于n ≥n 0的自然数都成立”时，第一步中的值n 0应取____.5．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是．(填写序号)6．观察下列等式：1−12=121−12+13−14=13+141−12+13−14+15−16=14+15+16⋯⋯ 据此规律，第n 个等式可写为 ________．7．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ． 8．设()()1111...1232f k k N k k k k *=++++∈+++，那么()1f k +-()f k =______． 9．已知56711710m m m C C C -=，则21m C =_________. 10．8ax ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为70，则a =________． 11．在数列{}n a 中，()112,31n n n a a a n N a *+==∈+，可以猜测数列通项n a 的表达式为_________.12．记等差数列{}n a 得前n 项和为n S ，利用倒序相加法的求和办法，可将n S 表示成首项1a ，末项n a 与项数的一个关系式，即()12n n a a n S +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，()*0n b n N >∈，类比等差数列的求和方法，可将n T 表示为首项1b ，末项n b 与项数的一个关系式，即公式n T = ______ ． 13．已知()()100111x a a x +=+-()()21021011a x a x +-+⋅⋅⋅+-，则8a =__________．14．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．二、解答题15．(1)设()4234012341x a a x a x a x a x -=++++.①求01234a a a a a ++++；②求024a a a ++；③求1234a a a a +++；（2）求1227272727...S C C C =+++除以9的余数． 16．已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位）．（1）求w ；（2）设z C ∈，在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形面积．17．（1）证明：当2a ><；（2）已知,x y R +∈，且2x y +>，求证：1x y +与1y x+中至少有一个小于2． 18．有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员.19．已知在n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是 56:3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求231981...9n n n n n n C C C -++++的值.20．已知数列{}n b 是等差数列，112101,...145b b b b =+++=.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ；(2)设数列{}n a 的通项1log 1n a n a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0a >且1a ≠)记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与11log 3a nb +的大小，并证明你的结论.参考答案1．1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212i z i -=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.2．a 、b 都不能被2整除．【解析】试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求．解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a ，b 都不能被2整除”，故答案为a 、b 都不能被2整除．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．3【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++4．5试题分析：n =1,2,3,4时，不等式2n >n 2+1都不成立，n =5时，25=32>52+1=26，因此初始值为n 0=5．考点：数学归纳法【名师点睛】数学归纳法证明中的两个基本步骤,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.5．②【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提．考点：演绎推理．6．1−12+13−14+⋅⋅⋅+12n−1−12n =1n+1+1n+2+⋅⋅⋅+12n【解析】试题分析：由已知得，第n 个等式含有2n 项，其中奇数项为12n−1，偶数项为−12n ，其等式右边为后n 项的绝对值之和，所以第n 个等式为1−12+13−14+⋯+12n−1−12n =1n+1+1n+2+⋯+12n ．考点：归纳推理．7．72【分析】用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是5个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3个奇数中任选1个填入个位,其它4个数在4个位置上全排列即可.【详解】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有4424A =种排法，由分步乘法计数原理得，由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472⨯=个.故答案为：72.本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.8．11121221k k k +-+++ 【解析】分析：根据函数表达式含义，准确判断出()1f k +与()f k 项数变化规律以及之间的关系即可得到结论. 详解：()()*1111 ...1232f k k N k k k k=++++∈+++，()111111...()2322122f k k N k k k k k *∴+=+++++∈++++，()()111111...2322122f k f k k k k k k ∴+-=+++++-++++1111 (123)2k k k k ⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭11121221k k k =+-+++，故答案为11121221k k k +-+++. 点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 9．210【解析】分析：由组合数性质得()()()!5!!6!7!7!5!6!107!m m m m m m --⋅--=⋅，解方程求出m ，进而能求出21m C 的值. 详解：56711710m m m C C C -=， ()()()!5!!6!7!7!5!6!107!m m m m m m --⋅-∴-=⋅，化简得()()7!65!6!10m m m -⨯---=，()()()766610m m m ----=， 223420m m ∴-+=，解得2m =或21m =（舍去），22121210m C C ∴==，故答案为210.点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1）()!!!m n n m C n m =-；（2）11m m m n n n C C C -++=；（3）01+...2n n n n n C C C ++=. 10．±1【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式,再令x 的幂指数等于2 ,求得r 的值,即可求得展开式中的2x 的系数,再根据2x 的系数为70 ,求得a 的值.详解：8ax ⎛ ⎝的展开式中通项公式的为()3882181r r r r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令3822r -=，求得4r =，故2x 的系数为44870C a ⋅=，则1a =±，故答案为±1.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11．265n a n =- 【解析】分析：根据，()*112,31n n n a a a n N a +==∈+，，依次由1,2,3n =，分别求出1234,,,a a a a ，仔细观察1234,,,a a a a ，总结规律，可猜想n a . 详解：()*112,31n n n a a a n N a +==∈+， 1222222,6153217625a a ∴=====⨯-⨯+⨯-，34222222713,66136351964511713a a ======⨯-⨯-++，由此猜测265n a n =-，故答案为265n a n =-. 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12【解析】分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.详解：在等差数列{}n a 得前n 项和为()12n n a a n S +=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{}n b 的前n 项积()21n n nT b b =⋅=，点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.13．180【解析】()()()()1010101121x x x ⎡⎤+=--=-+-⎣⎦，()()100111x a a x +=+-()()2102101...1a x a x +-++-，()288102180a C ∴=⋅-=，故答案为180. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 14．930【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有2615C =种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有432432214-+=A A A 种，故共有1514210⨯= 种；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有3620C =种，女生乙不适合担任四辩手，则有133318C A =种，故共有2018360⨯=种；若甲乙都不入选，则从其余66人中选出4人，有4615C =种，再全排，有4424A =种，故共有1524360⨯=种，综上所述，共有210360360930++=，故答案为930.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.15．（1）①16，②1，③15；（2）7.【解析】分析：(1)①利用赋值，令1x =即可计算01234a a a a a ++++的值；②令1x =-，结合①即可求出024a a a ++的值；③令0x =，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把S 分解为9的倍数形式，从而可得结果.详解：(1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16.②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. ③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15.（2）解 122727272727...21S C C C =+++=-＝89－1＝(9－1)9－1001889999999...91C C C C =⨯-⨯++⨯--()0817*******...2C C C =⨯-⨯++- ()0817*******...17C C C =⨯-⨯++-+，显然上式括号内的数是正整数．故S 被9除的余数为7.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及各项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往利用利用赋值法：（1）令1x =可求得012n a a a a +++⋯+；（2）令1x =-结合（1）可求得0242...k a a a a ++++与13521...k a a a a -++++的值. 16．（1）2i -；（2）3π. 【解析】分析：（1）利用复数除法的运算法则即可得出；（2）结合（1），利用复数模的几何意义可得在复平面内求满足不等式12z w ≤-≤的点Z 构成的图形是一个圆环，面积圆的方程及其面积计算公式即可得出点Z 构成的图形面积. 详解：（1）∵w （1+2i ）=4+3i ，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w|≤2的点Z 构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆,在复平面内求满足不等式1≤|z ﹣w|≤2的点Z 构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】分析：（1）利用分析法证明，将不等式两边平方整理后，a <，再平方比较24a -与2a 的大小可得答案；（2）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明，假设1x y +与1y x+均不小于2，可得2x y +≤，与已知2x y +>相矛盾，其否定不成立，以此来证明结论成立.详解：证明：（1<，只要证，只要证，只要证，由于2a >，只要证，<（2）（反证法）假设均不小于2，即≥2，≥2，∴1+x≥2y ，1+y≥2x ．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y ＞2矛盾，故中至少有一个小于2．点睛：本题主要考查利用反证法以及分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.18．（1）共有3264120C C •=(种)选法；（2）246；（3）191.【解析】试题分析：（1）第一步：选3名男运动员，有36C 种选法.第二步：选2名女运动员，有24C 种选法.（2）将“至少1名女运动员”转化为其反面“全是男运动员”.55106246C C -=(种).（3）当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长.其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时共有4485C C -种选法试题解析：⑴第一步：选3名男运动员，有36C 种选法. 第二步：选2名女运动员，有24C 种选法.共有3264•120C C =(种)选法.⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有36C 种.所以“至少有1名女运动员”的选法有55106246C C -=(种).(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法.其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时共有4485C C -种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有444985191C C C +-=(种).点睛：做排列组合问题时首先将题意分析清楚，当遇到正面情况比较多时，可以先求其反面然后再求解，对于情况比较多的可以根据元素分析法逐一讨论分析，务必要注意讨论的完整性19．（1）T1=x5和T7=13400 ,（2）,（3）101019-.【详解】试题分析：（1）先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数，依题意得到4422(2):(2)56:3n n C C --=，求解可得10n =，进而化简该二项展开式的通项公式得到556110(2)r rr r T C x-+=-，由556r-为整数可得出r 的值，进而得到所有的有理项；（2）先求出二项展开式中的系列，并设第1r +项系数绝对值最大，列出不等式组11101011101022{22r r r r r r r r C C C C --++≥≥，从中求解即可得出r 的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（3）先根据二项开展式的特征将231981...9n n nnnn c c c -++++变形为01223310101010101010999 (91)9C C C C C +++++-，逆用二项式定理即可得结果.（1）由4422(2):(2)56:3n n C C --=，解得10n =因为通项：5510611010((2)r r rr r rr T C C x --+==-当556r-为整数，r 可取0，6于是有理项为51T x =和713400T =（2）设第1r +项系数绝对值最大，则11101011101022{22r r r r r rr r C C C C --++≥≥ 解得223{193r r ≤≥，于是r 只能为7所以系数绝对值最大的项为56815360T x-=-（3）231011010101010981...9C C C -++++12233101010101010999 (99)C C C C ++++=01223310101010101010999 (91)9C C C C C +++++-=1010(19)110199+--==考点：二项式定理及其应用.20．（1）32n b n =-；（2）当1a >时，11log 3n a n S b +>,当01a <<时，11log 3n a n S b +<，证明见解析. 【解析】分析：（1）根据数列{}n b 是等差数列，由11b =，利用1210...145b b b +++=建立d 的方程，解之即可；（2）要比较n S 与11log 3a n b +的大小，可先比较()111111432n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭与利用用数学归纳法证明，可得当1a >时，11log 3n a n S b +>；当 01a <<时，11log 3n a n S b +< .详解：(1) 设数列{b n }的公差为d ,由题意得,∴b n =3n － 2 .(2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+14)+…+log a (1+132n -) =log a ［(1+1)(1+14)…(1+ 132n -)］而13log a b n +1=loga 于是，比较S n 与13log a b n +1 的大小 ⇔比较(1+1)(1+14)…(1+132n -)取n =1，有>=取n =2，有(1+1)(1+1)4>>=推测 (1+1)(1+14)…(1+132n -)(*) ①当n =1时，已验证(*)式成立②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+14)…(1+132k -)则当n =k +1时，()()111111111143231231k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫++++>+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭ =33332k +⎛-()()()()()32223234319403131k k k k k k +-+++==>++)32k +>=()1111111143231k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++> ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立于是，当a ＞1时，S n ＞13log a b n +1 ,当 0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n +1 .点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式、归纳推理的应用以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。

江苏省江阴四校高二数学下学期期中试题理(2021年整理)

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2016—2017学年高二期中考试数学学科试题(理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知5891011A ⨯⨯⨯⨯= m n ,则m n +为______▲______ 2. 若ni imi+=+11（i R n m ,,∈为虚数单位）,则mn 的值为 ▲ . 3. 给出下列演绎推理：“整数是有理数，，所以—3是有理数"，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写 _▲__ ．4. 设Z x ∈，则方程5516162--=x x x C C 的解集．．是 ▲ 5. 用反证法证明命题“若xyy x y x ++>+>1,1,2y x ,0,则且中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是 ▲ .6。

从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一个小组，要求其中男、女同学都有，则共有种不同的选法．（用数字作答）7. 已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则x y 的范围为______▲_______．8. 甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数为___________．9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一面积恒为42a 。