2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评7 平

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高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评7 Word版含答案

学业分层测评(七)(建议用时：分钟)一、选择题.函数＝()＝在从变到时的平均变化率等于( ).－【解析】Δ＝()－()＝－＝，则＝＝.故选.【答案】.函数()＝－在区间上的平均变化率为，则实数的值为( )【解析】由已知得＝，∴＋＝，∴＝.【答案】.将半径为的球加热，若球的半径增量为Δ，则球的表面积增量Δ等于( )πΔπΔ＋π(Δ)πΔ＋π(Δ)π(Δ)【解析】球的表面积＝π，则Δ＝π(＋Δ)－π＝πΔ＋π(Δ).【答案】.函数＝()＝＋在点＝处的瞬时变化率估计是( )【解析】Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)＋－(×＋)＝Δ，则＝＝，∴当Δ趋于时，趋于.故选.【答案】.一个物体的运动方程为＝－＋，其中的单位是，的单位是，那么物体在末的瞬时速度为( )【解析】＝＝Δ＋.当Δ趋于时，趋于，所以此物体在末的瞬时速度为 .【答案】二、填空题.物体的运动方程是()＝－，则从＝到＝的平均速度是.【导学号：】【解析】由题意可得，Δ＝－＝，Δ＝(×－×)－(×－×)＝－＝，∴平均速度为＝＝.【答案】.已知函数()＝－＋，且＝()在上的平均变化率为，则＝.【解析】＝＝＝＝＝.【答案】.汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示.在时间段，，上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是.图【解析】∵＝＝，＝＝，＝＝，由图像可知：<<，∴>>.【答案】>>。

2016-2017学年高一数学人教A版必修2学业分层测评7 平面 Word版含解析

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．【答案】 A2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【解析】选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．【答案】 C3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面()【导学号：09960046】A．只有一个B．可作两个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.【答案】 D4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中() A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．(1)(2)【答案】 B5．如图2-1-7，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()图2-1-7A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.【答案】 D二、填空题6．如图2-1-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：图2-1-8(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．【答案】(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．【答案】1或2或3三、解答题8．如图2-1-9所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上.【导学号：09960047】图2-1-9【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[自我挑战]10．下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内【解析】经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A ＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.【答案】 D11．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD ＝P，A1C1∩EF＝Q，如图2-1-10.(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．图2-1-10【导学号：09960048】【解】(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。

北师大版数学高一-必修2学业分层测评2 直观图

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1-2-9所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()图1-2-9A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【解析】∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．【答案】 B2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()【解析】正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.【答案】 C3．如图1-2-10为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()图1-2-10【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】 C4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A．16 B．64C．16或64 D．无法确定【解析】若该边长平行于x轴或与x轴重合，则正方形的边长为4，面积为16，若该边长平行于y轴或与y轴重合，则正方形的边长为8，面积为64.【答案】 C5．如图1-2-11所示是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为()【导学号：10690005】图1-2-11A. 2B.2 2C．2 2 D．2【解析】由斜二测画法规则画出直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin 45°＝2×22＝ 2.【答案】 A二、填空题6．如图1-2-12，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．图1-2-12【解析】由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.【答案】107．如图1-2-13，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为________．图1-2-13【解析】由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin 45°＝1×22＝22.【答案】2 28．(2016·潍坊高一检测)如图1-2-14，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________cm.图1-2-14【解析】由斜二测画法的规则知，与x轴平行的线段长度不变，以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为2，在平面图中对应的长度为22，其原来的图形如图所示，AB＝(22)2＋12＝3，所以周长为2×(3＋1)＝8 cm.【答案】8三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图1-2-15所示)的直观图．图1-2-15【解】①过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．②如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.③连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图．【解】画法如下：(1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心，作A′B′＝2 cm，C′D′＝1 cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图；(3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′.(4)擦去辅助线，得圆锥的直观图．[能力提升]1．如图1-2-16所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()图1-2-16A．2 B．4C．2 2 D．4 2【解析】由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝22S直观图，得12·OB·h＝22×12×2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4 2.【答案】 D2．如图1-2-17，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()图1-2-17A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．【答案】 C3．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图1-2-18所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．图1-2-18【解析】过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.【答案】2＋2 24.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图1-2-19，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．图1-2-19【解】四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC.∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

高中数学学业分层测评含解析北师大版选修27

学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)【解析】由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．【答案】 B2．设抛物线C ：y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设抛物线C 的焦点为F ，由抛物线的定义知，|PF |＝d (d 为点P 到抛物线C 的准线的距离)，又d ＝4＋1＝5，所以|PF |＝5.【答案】 B3．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.【答案】 B4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x【解析】设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .【答案】 A5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |【解析】因为P 1，P 2，P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.【答案】 C 二、填空题6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.∴p 2＝2，∴p ＝4.【答案】 47．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则抛物线的准线方程为________．【导学号：32550075】【解析】圆方程为(x －3)2＋y 2＝16.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 x ＝－1.8．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为点M ，N 是圆(x －2)2＋(y －5)2＝1上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值是________．【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆(x －2)2＋(y －5)2＝1的圆心为Q (2,5)，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F三点共线时，点P 到点N 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和最小为1＋25－1＝26－1.【答案】 26－1三、解答题9．已知定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离．【解】如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A 、B 、M 分别作AA ′、BB ′、MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′、B ′、M ′.由抛物线定义知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 的中点，由梯形中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时取“＝”)，所以d min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.图32110．如图321，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解】 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝43x －，y ＝－34x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.[能力提升]1．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)【解析】设A (x 0，y 0)，由题意可知F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－4(舍去)． ∴y 0＝±2. 【答案】 B2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．圆C ．直线D ．以上都不对【解析】作PF ⊥AD 于F ，则PF ⊥平面ADD 1A 1，作FE ⊥A 1D 1于E ，则PE ⊥A 1D 1.由勾股定理得PF 2＝PE 2－EF 2＝(PM 2＋1)－1＝PM 2，∴PF ＝PM .由抛物线定义知，点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．【答案】 A3．过抛物线y ＝4x 2的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝5，则线段AB 的长为________．【导学号：32550076】【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，∴p ＝18，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝5＋18＝418.【答案】4184．河上有座抛物线形拱桥，当水面距离拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一条小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？【解】如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设桥拱的抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )．由22＝－165y A ，得y A ＝－54，又知船面露出水面上部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航.。

2017-2018学年高中数学北师大版必修二学业分层测评：

章末分层突破[自我校对]①简单多面体②直观图③点与直线④直线与直线⑤确定平面⑥画相交平面的交线⑦球的表面积和体积从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，主视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高.某四棱锥的三视图如图1-1所示，该四棱锥最长棱的棱长为()【导学号：39292060】图1-1A.1B. 2C. 3D.2【精彩点拨】通过三视图得到几何体的结构，再利用三视图中的数据求解.【规范解答】根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.【答案】 C[再练一题]1.一个几何体的三视图如图1-2所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________.图1-2【解析】由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V ＝43×π×23×34＝8π.【答案】 8π1.2.证明线线平行的依据：(1)平面几何法(常用的有三角形中位线定理、平行线分线段成比例的逆定理、平行四边形的性质)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理.3.证明线面平行的依据：(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理. 4.证明面面平行的依据：(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性.如图1-3所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.图1-3(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值.【精彩点拨】 (1)先利用线面平行的性质，分析出BC 1∥平面AB 1D 1时，线线平行，得线段比，在解答时，可以利用已知A 1D 1D 1C 1的比，利用线面平行判定求解.(2)利用面面平行得到线线平行，得对应线段成比例，从而得到比值. 【规范解答】 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点.在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⊆/平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，又由题可知A 1D 1D 1C 1＝DCAD ，A 1O OB ＝1，所以DC AD ＝1，即ADDC ＝1.[再练一题]2.如图1-4，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ，EF ∥AB ，H 为BC 的中点，求证：FH ∥平面EDB .【导学号：39292061】图1-4【证明】连接AC 交BD 于点G ，则G 为AC 的中点. 连接EG ，GH ， ∵H 为BC 的中点， ∴GH ═∥12AB . 又EF ═∥12AB ， ∴EF ═∥GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，∵EG 平面EDB ，FH ⊆/平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .1.2.两条异面直线相互垂直的证明方法： (1)定义；(2)线面垂直的性质定理. 3.直线和平面垂直的证明方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理.4.平面和平面相互垂直的证明方法： (1)定义；(2)面面垂直的判定定理.如图1-5，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：图1-5(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用面面垂直性质定理可得P A⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面P AD；(3)利用面面垂直的判定定理证明.【规范解答】(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊆/平面P AD，AD平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[再练一题]3.如图1-6，△ABC是边长为2的正三角形.若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.求证：图1-6(1)AE ∥平面BCD ； (2)平面BDE ⊥平面CDE .【证明】 (1)取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD ＝CD ，且BD ⊥CD ，BC ＝2. 所以DM ＝1，DM ⊥BC . 又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE ∥DM .又因为AE ⊆/平面BCD ，DM 平面BCD ，所以AE ∥平面BCD . (2)由(1)已证AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE ∥AM .连接AM ，易证AM ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD 平面BCD ，所以DE ⊥CD .因为BD ⊥CD ，BD ∩DE ＝D ，所以CD ⊥平面BDE . 因为CD 平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的折叠与展开是高考的一个热点.折叠与展开是互逆过程，在此过程中，要注意几何元素之间数量关系与位置关系是变化了，还是不变，这是解题的关键所在.如图1-7(1)，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，F 为AD 中点，E 在BC 上，且EF∥AB ，已知AB ＝AD ＝CE ＝2，现沿EF 把四边形CDFE 折起如图1-7(2)，使平面CDFE ⊥平面ABEF .图1-7(1)求证：AD∥平面BCE；(2)求证：AB⊥平面BCE；(3)求三棱锥C-ADE的体积.【精彩点拨】观察折叠前后的平面图形与立体图形，弄清折叠前后哪些元素间的位置关系及数量关系发生了变化，哪些没有发生变化，依据未变化的已知条件求解.【规范解答】(1)证明：由题意知，AF∥BE，DF∥CE，又∵AF⊆/平面BCE，BE平面BCE，∴AF∥平面BCE.同理可证DF∥平面BCE.又∵AF∩DF＝F，∴平面ADF∥平面BCE.又AD平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)证明：在直角梯形ABCD中，∵EF⊥BC，∴折起后，EF⊥EC，EF⊥EB.又∵EF∥AB，∴AB⊥EC，AB⊥EB，EC∩EB＝E，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，EF⊥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴AF为三棱锥A-CDE的高，且AF＝1.又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE ＝12×2×2＝2，∴V C -ADE ＝V A -CDE ＝13S △CDE ·AF ＝23. [再练一题]4.如图1-8所示，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝2AB ＝2a ，BD ＝3a ，AC ∩BD ＝E ，将其沿对角线BD 折成直二面角.求证：(1)AB ⊥平面BCD ； (2)平面ACD ⊥平面ABD .【导学号：39292062】图1-8【证明】 (1)在△ABD 中，AB ＝a ，AD ＝2a ，BD ＝3a ， ∴AB 2＋BD 2＝AD 2， ∴∠ABD ＝90°，AB ⊥BD . 又∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB 平面ABD ， ∴AB ⊥平面BCD .(2)∵折叠前四边形ABCD 是平行四边形，且AB ⊥BD ， ∴CD ⊥BD .由(1)知AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . ∵AB ∩BD ＝B ，∴CD ⊥平面ABD . 又∵CD 平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABD .系；所谓方程的思想，就是把函数解析式看成一个方程，将变量间的等量关系表达为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得以解决.如图1-9所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和；(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小？图1-9【精彩点拨】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般应作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图(2)的截面图，在图(2)中，观察R与r和棱长间的关系即可.【规范解答】(1)如题图(2)，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线交于E，F.设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R.则由AB＝1，AC＝3，得AO1＝3r，CO2＝3R.∴r＋R＋3(r＋R)＝3，∴R＋r＝33＋1＝3－32.(2)设两球体积之和为V，则V＝43π(R3＋r3)＝43π3－32[(R＋r)2－3rR]＝43π3－32⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3－322－3R⎝⎛⎭⎪⎫3－32－R＝43π·3－32⎣⎢⎡⎦⎥⎤3R2－3(3－3)2R＋⎝⎛⎭⎪⎫3－322.当R＝3－34时，V有最小值，∴当R＝r＝3－34时，体积之和有最小值.[再练一题]5.已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；(2)求圆柱的侧面积；(3)x为何值时，圆柱的侧面积最大？【解】 (1)圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示.(2)设所求的圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S ＝2πr ·x ，因为r R ＝h －x h ，所以r ＝R －R h ·x ，所以S ＝2πRx －2πR h ·x 2，即圆柱的侧面积S 是关于x 的二次函数，S ＝－2πR h x 2＋2πRx .(3)因为S 的表达式中x 2的系数小于0，所以这个二次函数有最大值，这时圆柱的高x ＝－2πR －2·2πR h＝h 2，即当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.1.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】 n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.【答案】 B2.如图1-10，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()图1-10A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图.设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.【答案】 A3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【解析】 A 选项m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以n ⊂α，D 选项也可以n ∥α或n 与α相交.根据线面垂直的性质可知选B.【答案】 B4.某工件的三视图如图1-11所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( )⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积图1-11A.89πB.827πC.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【解析】由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223. ∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 【答案】 A5.如图1-12，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .图1-12(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积.【解】 (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG .又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点.(2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝23CG.由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝23PG，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.。

高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评15 Word版含答案

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)一、选择题．对于以＝()在内汽车作直线运动经过的路程，下列叙述正确的是( )．将等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的是的不足估计值．将等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的是的过剩估计值．将等分，越大，求出的近似替代的精确度越高．将等分，当越大时，求出的就是的准确值【解析】每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当→＋∞时，估计值才是准确值．【答案】．已知定积分()＝，且()为偶函数，则()＝( )．．．．【解析】偶函数图像关于轴对称，故()＝()＝.故选.【答案】．设()＝则()的值是( )＋＋【解析】被积函数()是分段函数，故将积分区间分为两个区间和，由定积分的性质知选.【答案】．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )图(－)(＋)(－)【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为－＝(－).【答案】．下列各阴影部分的面积不可以用＝求出的是( )【解析】定积分＝的几何意义是求函数()与()之间的阴影部分的面积，必须注意()的图像要在()的图像上方，对照各选项，知中()的图像不全在()的图像上方．【答案】二、填空题．定积分(－)＝．【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－)表示由＝，＝与＝－，＝所围成图形面积的相反数．所以(－)＝－(×)＝－.【答案】－．定积分＝. 【导学号：】【解析】如图，＝＋＝.【答案】．由直线＝，＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，将区间等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是．。

高中数学北师大版选修2-2练习学业分层测评17 Word版含答案

学业分层测评(十七)
(建议用时：分钟)
一、选择题
.若＝()与＝()是上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线＝，＝所围成的平面区
域的面积为( )
()－()
【解析】当()>()时，
所求面积为；
当()≤()时，
所求面积为.
综上，所求面积为()－().
【答案】
.由抛物线＝介于(，)点及(，)点之间的一段弧绕轴旋转所得的旋转体的体积为( )
π
π
π
π
【解析】＝π()＝＝π.
【答案】
.如图，阴影部分的面积是( )
图
－
【解析】＝(－－)＝＝.
【答案】
.曲线＝－与轴所围成图形的面积等于( )
【解析】函数＝－与轴的交点为(－，)，(，)，且函数图像关于轴对称，故所求面积
为＝(－)＝
＝×＝.
【答案】.由＝，＝，＝，＝围成的平面区域绕轴旋转所得的旋转体的体积是( )
π
π
π
π
【解析】因为＝，所以＝，
＝π＝π
＝π－＝－π－
＝－π＝π.
【答案】
二、填空题
.由曲线＝与＝所围成的图形的面积可用定积分表示为.
【导学号：】【解析】
画出＝和＝的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为
＝及＝.因此，所求图形的面积为＝(－).
【答案】(－)
.由曲线＝，直线＝，＝以及轴所围成的图形绕着轴旋转一周形成的几何体的体积是.
【解析】体积＝π＝π(－).
【答案】π(－)
.由曲线＝，直线＝－及轴所围成的图形的面积为.。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评6 Word版含解析

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】 B2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】 C3．如图2-1-3所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()图2-1-3A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【解析】夹角为90°的共有BA →与BD →，BA →与BC →，DB →与DC →，BA →与DC →，DA →与DC →.【答案】 C4.在如图2-1-4所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( )图2-1-4A ．〈AB →，BC →〉B ．〈BC →，CA →〉C ．〈C 1B 1→，AC →〉D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D.【答案】 D5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A.BD →B ．BC 1→ C.BD 1→D ．A 1B →【解析】 ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD →为平面ACC 1A 1的法向量．【答案】 A二、填空题6．正四面体S -ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF →，AC →〉＝________.【解析】如图所示，∵E ，F 为中点，∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形，∴∠SAC ＝π3，∴〈EF →，AC →〉＝2π3.【答案】 2π37．下列命题正确的序号是________．①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4； ②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝b ；③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ，②错；③当b ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】 ④图2-1-58．如图2-1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【解析】要求异面直线EF 与GH 所成的角就是求〈FE →，GH →〉，因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.【答案】 60°三、解答题9.如图2-1-6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图2-1-6(1)写出所有的单位向量；(2)写出与AB →相等的所有向量；(3)写出与AD →相反的所有向量；(4)写出模为5的所有向量．【解】在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为长、宽、高分别为AB ＝3，AD＝2，AA 1＝1，所以AD 1＝12＋22＝ 5.(1)单位向量有：AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →.(2)与AB →相等的向量有：DC →，D 1C 1→，A 1B 1→.(3)与AD →相反的向量有：DA →，CB →，C 1B 1→，D 1A 1→.(4)模为5的向量有：AD 1→，A 1D →，BC 1→，B 1C →，D 1A →，DA 1→，C 1B →，CB 1→.图2-1-710．如图2-1-7所示，已知正四面体A -BCD .(1)过点A ，作出方向向量为BC →的空间直线；(2)过点A ，作出平面BCD 的一个法向量．【解】如图所示，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ，∴向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．[能力提升]1．(2016·福州高二检测)空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( )A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3【解析】 ∵a ，b 互为相反向量，∴a ＝－b ，又∵|b |＝3，∴|a |＝3.【答案】 D2．(2016·天津高二检测)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 AB →与C 1D 1→，AD 1→与C 1B →平行且方向相反，互为相反向量．【答案】 B图2-1-83．如图2-1-8所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1＝CD ，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉．【解】取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF →＝12AC →，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉，由AD ＝DD 1＝CD ，且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ，∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1，∴△EFD 为正三角形，∠FED ＝π3，∴〈AC →，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3.4．如图2-1-9，四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：【导学号：32550023】图2-1-9(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有AB →，BA →，CD →，DC →这4个．(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .又∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA .又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC .∴平面VAC 的法向量有BD →，DB →这2个．。

2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评10

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为( )图1-7-8A ．π B.32π C ．2π D ．3π【解析】由该几何体的三视图可知，其为底面半径为12，高为1的圆柱，故S 侧＝2×π×12×1＝π. 【答案】 A2．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1n 倍，那么它的侧面积变为原来的( )A ．1倍B ．n 倍C ．n 2倍 D.1n 倍【解析】由S 侧＝π(r ′＋r )l ，当r ，r ′缩小1n 倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．【答案】 A3．某几何体的三视图如图1-7-9所示，则该几何体的表面积为( )【导学号：10690029】图1-7-9A ．180B ．200C ．220D ．240【解析】几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.【答案】 D4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2【解析】设圆台的上、下底面圆半径分别为r 1，r 2，母线长为l ，则π(r 1＋r 2)l ＝18π，即(r 1＋r 2)l ＝18.又∵l ＝12(r 1＋r 2)，∴2l 2＝18，即l 2＝9，∴l ＝3. 【答案】 B5．(2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图1-7-10所示，则该多面体的表面积为( )图1-7-10A．21＋ 3 B．18＋ 3 C．21 D．18【解析】由三视图可知，原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥．正方体的表面积为S＝24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，其表面积的和为3，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，其表面积的和为3，故所求几何体的表面积为24－3＋3＝21＋ 3.【答案】 A二、填空题6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．【解析】设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，∵母线长为10，∴有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2，∴S圆台侧＝π(r＋4r)×10＝100π.【答案】100π7．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积为__________．【解析】∵底面边长为a，则斜高为a 2，故S侧＝3×12a×a2＝34a2，而S底＝34a2，故S表＝3＋34a2.【答案】3＋34a28．如图1-7-11，直三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为________．图1-7-11【解析】此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为32a .左视图是一矩形，一边为32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为32a ×2a ＝3a 2. 【答案】 3a 2三、解答题9．正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．【解】正四棱锥的高PO ，斜高PE 与底面边心距OE 组成Rt △POE .∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝OEsin 30°＝4(cm)，因此，S 侧棱锥＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)， S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．一个几何体的三视图及其相关数据如图1-7-12所示，求这个几何体的表面积．图1-7-12【解】这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.[能力提升]1．(2016·吉林高一检测)已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S ，则圆锥的底面面积是( )A ．2S B.S 2 C.2S D.22S【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l . 则由题意，得S ＝12πl 2，S ＝πrl ，所以12πl 2＝πrl ，于是l ＝2r ，代入S ＝πrl ，得S ＝2πr 2，所以圆锥的底面面积πr 2＝S2. 【答案】 B2．(2014·重庆高考)某几何体的三视图如图1-7-13所示，则该几何体的表面积为( )图1-7-13A ．54B ．60C ．66D ．72【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的一个三棱柱上方被截去一个三棱锥得到的．由三视图中的相关数据易知，底面的面积为12×3×4＝6，左侧侧面积为3×5＝15，前面的侧面积为12×(2＋5)×4＝14，后面的侧面积为12×(2＋5)×5＝352，截面积为12×3×5＝152，故表面积为6＋14＋15＋352＋152＝60.选B.【答案】 B3．直平行六面体底面是菱形，两个对角面的面积分别为Q 1和Q 2，则此平行六面体的侧面积为________．【解析】设侧棱为b ，底面边长为a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫Q 12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫Q 22b 2＝a 2， ∴Q 21＋Q 22＝4a 2b 2， ∴S 侧＝4ab ＝2Q 21＋Q 22. 【答案】 2Q 21＋Q 224．如图1-7-14，已知平行四边形ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，∠DAB ＝60°，以AB 为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积．图1-7-14【解】如图(1)，作DH ⊥AB 于H ，在Rt △ADH 中，AD ＝6，∠DAH ＝60°，∴DH ＝32×AD ＝33，如图(2)，所得旋转体的表面积是一个圆柱的侧面积与两个圆锥侧面积的和．即S 表＝2π×DH ×DC ＋π×DH ×AD ×2＝2π×33×8＋π×33×6×2＝483π＋363π＝843π，即旋转体的表面积为843π.。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评10 Word版含解析

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·泰安高二检测)以下四组向量： ①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z )∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．(2016·黄山高二检测)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)．【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．(2016·广州高二检测)用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·bb2，所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )．又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量．【答案】 ①②③4．(2016·北京朝阳期末)如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ，所以AC ⊥平面P AB . 又因为PB ⊂平面P AB ，所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)，又因为OG →＝13(OA →＋OB →)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )．设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)．由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2练习：学业分层测评17 Word版含答案

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)一、选择题1.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛ab d xB.⎠⎛ab d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d xD.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f （x ）－g （x ）]dx【解析】当f (x )>g (x )时，所求面积为⎠⎛ab d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .【答案】 C2.由抛物线y ＝x 2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为() A.45π B.165πC.85πD.325π【解析】 V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.【答案】 D3.如图434，阴影部分的面积是( )图434 A.2 3 B.2－ 3C.323D.353 【解析】 S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x3－x2⎪⎪⎪1-3＝323. 【答案】 C4.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( )A.13B.23C.1D.43 【解析】函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x3⎪⎪⎪10 ＝2×23＝43. 【答案】 D5.由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A.6πB.12πC.24πD.3π【解析】因为xy ＝4，所以y ＝4x ， V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x ＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41 ＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π. 【答案】 B二、填空题6.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【导学号：94210077】【解析】画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x . 【答案】 ⎠⎛01(x －x 3)d x 7.由曲线y ＝e x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】体积V ＝π⎠⎛01e xd x ＝π(e －1). 【答案】 π(e －1)8.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________.【解析】由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4，2).因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －（x －2）]dx ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 【答案】 163三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图435所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值.图435【解】由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝⎠⎛0－a d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x44＋ax33|－a 0＝a412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10.设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求：(1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】如图，M 为图中阴影部分.(1)图中M 的面积为⎠⎛01d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x3＋x2⎪⎪⎪10＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01d x ＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x4＋43x3⎪⎪⎪10＝π3.1.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B.2C.83D.1623 【解析】∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0，1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x312⎪⎪⎪20＝4－43＝83. 【答案】 C2.已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( ) A.y ＝axB.y ＝±axC.y ＝－axD.y ＝－5ax【解析】显然，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x2－2ax ，得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)，所以图形面积S ＝⎠⎛02a ＋k d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x2－x33⎪⎪⎪2a ＋k 0 ＝（k ＋2a ）32－（2a ＋k ）33 ＝（2a ＋k ）36. 又因为S ＝92a 3，所以（2a ＋k ）36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .【答案】 A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________.【解析】 V ＝⎠⎛－11π(1－x 2)d x ＝π⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝π⎝⎛⎭⎫⎠⎛－111dx －⎠⎛－11x2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝43π. 【答案】 43π 4.已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积.【解】设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x3－3x2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为 S ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x ＝，即所求面积为2732.。

北师大版2017课标高中数学必修第二册第一章综合测试试卷-含答案01

第一章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是（）A .24 cm B .22 cm C .24 cm πD .21 cm 2.已知5 tan 12a π=，3cos 5b π=，17 cos 4c π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A .b a c＞＞B .a b c＞＞C .b c a＞＞D .a c b＞＞3.要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数 cos 2y x =的图象（）A .向左平移3π个单位长度B .向左平移6π个单位长度C .向右平移6π个单位长度D .向右平移3π个单位长度4.已知3sin 35x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭等于（）A .35B .45C .35-D .45-5.函数()f x xsinx =的图象大致是（）6.函数()tan 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数()sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期相同，则ω=（）A .1±B .1C .2±D .27.已知函数()2sin 2(0)4f x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[]1,1-上的单调增区间为（）A .13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B .13,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦-8.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（）A .75米B .85米C .()5025+米D .()6025+米二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有（）A .tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .sin |2|y x =D .sin y x=10.已知函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A .函数()f x 的最小正周期为πB .函数()f x 在[]0,π上有三个零点C .当8x π=时，函数()f x 取得最大值D .为了得到函数()f x 的图象，只要把函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）11.若函数()14sin f x x t =+-在区间，,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个零点，则t 的可能取值为（）A .2-B .0C .3D .412.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+=（）A .sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C .cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.tan 15︒=________.14.函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为________.15.如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________.16.已知函数()2sin 36f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且2 39fπ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间为________________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知 sin()2cos(4)αβπαπ-=-，求sin()5cos(2)sin()32sin 2παπααπα-+---⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.已知函数()3tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域；（2）比较2f π⎛⎫⎪⎝⎭与8f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小.19.已知函数()sin(),0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ＞＞＜的部分图象如图所示.（1）试确定()f x 的解析式；（2）若122f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 32πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.某地昆虫种群数量在七月份113～日的变化如图所示，且满足 sin()(00)y A t b ωϕωϕ=++＞,＜.（1）根据图中数据求函数解析式；（2）从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？21.已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最值，并求出取最值时x 的值；（3）求不等式()2f x ≥的解集.22.已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()2sin()002f x x πωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞，＜图象上的任意两点，角ϕ的终边经过点(1,P ，且当()()124f x f x -=时，12 x x -的最小值为3π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2mf x m f x + 恒成立，求实数m 的取值范围.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】设半径为R ，由弧长公式得42R =，即 2 cm R =，则()2124 4 cm 2S =⨯⨯=，故选A .2.【答案】D 【解析】5tan 112a π=，317cos 0,1cos cos 0544b c πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，a c b ∴＞＞.3.【答案】B【解析】cos 2cos 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度.4.【答案】C【解析】73 cos cos sin sin 662635x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.5.【答案】A【解析】因为函数()sin f x x x =满足()()sin()sin f x x x x x f x -=--==，定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数，故排除B 、C ，又因为(,2)x ππ∈时，sin 0x ＜，此时()0f x ＜，所以排除D ，故选A .6.【答案】A 【解析】由题意可知2|||2|ππω=-，解得||1ω=，即1ω=±，故选A .7.【答案】C 【解析】由已知得2 22πω=，解得2πω=，所以()2sin 4f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22242k x k ππππππ-+-+ ，k ∈Z ，解得132244k x k -++≤≤，k ∈Z ，又[11]x ∈-，，所以1344x -≤，所以函数()f x 在[11]-，上的单调递增区间为1344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.8.【答案】B【解析】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设t 时刻的坐标为()x y ，，转过的角度为221t π，根据三角函数的定义有2250sin 50cos 21221y t t πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，地面与坐标系交线方程为60y =-，则第7分钟时他距离地面的高度大约为26050cos 853π-=，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A. tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数周期为π，非奇非偶函数，排除；B.sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数周期为π，偶函数，满足；C.sin |2|y x =是偶函数，不是周期函数，排除；D.|sin |y x =，函数周期为π，偶函数，满足；故选BD .10.【答案】AC【解析】()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，选项A 正确；()0f x =，2()4x k k ππ+=∈Z ，当[0,]x π∈时，37,88x ππ=，选项B 不正确；当8x π=时，()f x 取得最大值，选项C 正确；只要把函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到()f x ，选项D 不正确，故选A 、C .11.【答案】ABD【解析】令()0f x =，可得1sin 4t x -=，可知两个函数在区间，,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，作出函数sin y x =与14t y -=在区间，,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，如图所示：则11124t -＜＜或1104t --＜，解得35t ＜＜或31t -＜＜，故选ABD .12.【答案】BC【解析】由题图可知，函数的最小正周期2236T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2||ππω∴=，2ω=±；当2ω=时，sin(2)y x ϕ=+，将点,06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦代入得，sin 206πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，226k πϕππ∴⨯+=+，k ∈Z ，即223k πϕπ=+，k ∈Z ，故2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.由于22sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 正确；sin 2cos 2cos 23236y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 正确；对于选项A ，当6x π=时，sin 1063ππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，错误；对于选项D ，当2563212x πππ+==时，55cos 211612ππ⎛⎫-⨯=≠- ⎪⎝⎭，错误.当2ω=-时，sin(2)y x ϕ=-+，将,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得sin 206πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，结合函数图象，知22,6k k πϕππ-⨯+=+∈Z ，得4 2,3k k πϕπ=+∈Z ，4sin 23y x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，但当0x =时，4sin 203y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，与图象不符合，舍去，综上，选BC .三、13.【答案】2-【解析】()11tan 30tan15tan 453021tan 3033--=-=︒︒︒==+︒-︒14.【答案】[1,2]-【解析】,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，22,663x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 262x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-.15.【答案】8【解析】由图象可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 538y =+=.16.【答案】1222,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】①239f π⎛⎫=⎪⎝⎭，222sin 33996f a πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =；②将a 代入，得()2sin 316f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由232,262k x k k πππππ--+∈Z ，得222,3939k k x k ππππ-+∈Z ，故函数() f x 的增区间为222,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .四、17.【答案】sin(3)2cos(4)απαπ-=- ，sin(3)2cos(4)παπα∴--=-，sin()2cos()παα∴--=-，sin 2cos αα∴=-，由此可知 cos 0α≠，∴原式sin 5cos 2cos 5cos 3cos 32cos sin 2cos 2cos 4cos 4αααααααααα+-+====--+---.18.【答案】（1）由已知得2()32x k k πππ-≠+∈Z ，15()212x k k ππ≠+∈Z ，所以()f x 的定义域为15,212x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，（2）因为 3tan 3tan 0233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7753tan 3tan 3tan 3tan 0843121212f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 28f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜.19.【答案】（1）由图可知2A =，且5116324T-==，2T ∴=，又22T πω==，ωπ∴=；将5,06⎛⎫⎪⎝⎭代入()2sin()f x x πϕ=+，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，56k πϕπ∴+=，解得5,6k k ϕππ=-∈Z ；又||2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin ()6f x x x ππ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭R ；（2）122f απ⎛⎫=⎪⎝⎭ ，1sin 264απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，21cos cos sin 32226264παπαπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.【答案】（1）由图象可知max 900y =，min 700y =，且max A b y +=，min A b y -+=，max min 90070010022y y A --∴===，max min 8002y y b +==，且212T πω==，6πω∴=将()7,900看作函数的第二个特殊点应有762ππϕ⨯+=，23πϕ∴=-，因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又12622T ==，∴从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个低谷或一个高峰.21.【答案】（1）由222232k x k πππππ-+++≤，k ∈Z ，解得51212k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-+≤≤，故1 sin 2123x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤，所以()03f x ≤≤.当且仅当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取最大值3；当且仅当236x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 取最小值0.（3）由()2f x ≥得，1sin 232x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，所以5 222()636k x k k πππππ+++∈Z ≤解得()124k x k k ππππ-+∈Z ≤即不等式()2f x ≥的解集为,()124k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z .22.【解析】（1）角ϕ的终边经过点P （1，，tan ϕ∴=，02πϕ- ＜，3πϕ∴=-，由当()()124f x f x -=时，12 x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω=，()2sin 33f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.（2）由232232k x k πππππ-+-+≤≤，k ∈Z ，得252183183k k x ππππ-++≤≤，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为252,183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤，于是2()0f x +＞，则()2()mf x m f x +≥，等价于()212()2()f x m f x f x =-++≥，由()1f x ≤，得()2()f x f x +的最大值为13，故实数m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评17 两条直线的交点

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·抚州高一检测)A ＝{(x ，y )|x ＋y －4＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －y －5＝0}，则集合A ∩B 等于( )A ．{1,3}B ．{(1,3)}C ．{(3,1)}D ．∅【解析】由⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，故A ∩B ＝{(3,1)}．【答案】 C2．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交D ．不确定【解析】 ∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13，∴k 1≠k 2，∴两直线相交．【答案】 C3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3) D ．都是平行直线【解析】 (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0化为ax －x －y ＋2a ＋1＝0，因此－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0.由⎩⎨⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3.故选A. 【答案】 A4．(2016·淮北高一检测)直线2x ＋y ＋2＝0与ax ＋4y －2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A ．(1，－4)B ．(0，－2)C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】由两条直线互相垂直得， (－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，a ＝－2，解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋2＝0，－2x ＋4y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0，所以两直线的交点为(－1,0)．【答案】 C5．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2 【解析】联立⎩⎨⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －6m 2＋3<0，y ＝4m ＋6m 2＋3>0，所以⎩⎨⎧3m －6<0，4m ＋6>0，所以－32<m <2.【答案】 A 二、填空题6．已知l 1过P 1(0，－1)，P 2(2,0)，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1与l 2的交点坐标为________．【解析】 l 1的方程为x －2y －2＝0，由⎩⎨⎧x －2y －2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－13，故交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－137．已知直线ax ＋4y －2＝0和2x －5y ＋b ＝0垂直，交于点A (1，m )，则a ＝________，b ＝________，m ＝________.【解析】 ∵点A (1，m )在两直线上，∴⎩⎨⎧ a ＋4m －2＝0，2－5m ＋b ＝0，①②又两直线垂直，得2a －4×5＝0， ③ 由①②③得，a ＝10，m ＝－2，b ＝－12. 【答案】 10 －12 －28．若三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝________.【导学号：10690053】【解析】因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23. 【答案】 23或－1 三、解答题9．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0，l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2及x 轴围成的三角形的面积．【解】由⎩⎨⎧ 3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6，即l 1与l 2交于点P (－2,6)，由⎩⎨⎧ 3x －y ＋12＝0，y ＝0得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝0， l 1交x 轴于A (－4,0)．同理l 2交x 轴于B (2,0)，|AB |＝6.S △ABP ＝12×6×6＝18.即l 1，l 2及x 轴围成的三角形面积为18.10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5,6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．【解】 ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0， ∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0，把点A (5,6)坐标代入，得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0.由⎩⎨⎧ 5x －4y －1＝0，x －6y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)．同理可得C (6,0)，∴k BC ＝1－01－6＝－15. ∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6)，即x ＋5y －6＝0.[能力提升]1．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0【解析】由⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，x ＝1，得交点A (1,1)，且可知所求直线斜率为－12，排除B 、C ，又所求直线过点A (1,1)，故选D.【答案】 D2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】解方程组⎩⎨⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫kk －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．【答案】 B3．在△ABC 中，已知B (2,1)，AC 边所在直线的方程为2x －y ＋5＝0，直线3x －2y ＋1＝0是BC 边的高线，则点C 的坐标为________．【解析】设BC 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0，将点B 的坐标代入，可得m ＝－7，∴BC 的方程为2x ＋3y －7＝0.解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －7＝0，2x －y ＋5＝0，得C (－1,3)．【答案】 (－1,3)4．已知点A 是x 轴上的动点，一条直线过点M (2,3)且垂直于MA ，交y 轴于点B ，过A ，B 分别作x ，y 轴的垂线交于点P ，求点P (x ，y )满足的关系式．【解】如图所示，∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，P 点坐标为(x ，y )， ∴A 点坐标为(x,0)，B 点坐标为(0，y )，由题意可知MA ⊥MB ，当x ≠2时， k MA ·k MB ＝－1，即3－02－x ·3－y2－0＝－1(x ≠2)，化简得2x ＋3y －13＝0.当x ＝2时，点P 与M 重合，点P (2,3)的坐标也满足方程2x ＋3y －13＝0. ∴点P (x ，y )满足的关系式为2x ＋3y －13＝0.。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞0 C.a b＞1 D ．ab＜－1【解析】 a ＋b ＜0 a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0.【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎨⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A．a≤0 B．a＞0C．a＜－1 D．a＜1【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴x1x2＜0.即1a＜0⇔a＜0，本题要求的是充分条件．由于{a|a＜－1}⊆{a|a＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x＜π2，则“x sin2x＜1”是“x sin x＜1”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为0＜x＜π2，所以0＜sin x＜1.由x·sin x＜1知x sin2x＜sin x＜1，因此必要性成立．由x sin2x＜1得x sin x＜1sin x，而1sin x＞1，因此充分性不成立．【答案】 B 二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】∵α＝π6⇒sin α＝12，∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6.【答案】π67．(2016·赤峰高二检测)已知“x＞k”是“3x＋1＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．【导学号：32550004】【解析】解不等式3x＋1＜1得，x＜－1或x＞2，∵x＞k⇒x＞2或x＜－1∴k≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞) 三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0； (2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0； (3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数； (4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0 q ：θ＝0，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件． (2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件． (4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2. 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p是q的必要条件，得A⊇B.∴－k4≥2，∴k≤－8.即k的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x＞0成立的充分条件是()A．x＞1 B．x＞－1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．x＜0或x＞1【解析】x＞1⇒1－1x＞0，故选A.【答案】 A2．(2016·天津高二检测)设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|，∴cos 〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0，∴a·b＝|a||b|⇒a∥b.而∵a∥b夹角可为π，∴a·b＝－|a||b|，∴a·b＝|a||b|⇐/ a∥b，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B，则A”为真，∴B⇒A，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件．【答案】必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜3} {x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)，所以⎩⎨⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。

2017-2018学年高中数学学业分层测评7(含解析)北师大版选修2-1

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件．【答案】 A2．如图227所示，已知三棱锥O ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )图227【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.【答案】 D3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.12 B ．14 C ．1D ．2【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0.∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2， ∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝，则|a ＋2b |＝( )【导学号：32550026】A. 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3.OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，图228A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉又OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．如图229，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AM →＋12A 1A →＝________.(用a 、b 、c 表示)图229【解析】 AM →＋12A 1A →＝AA 1→＋A 1M →－12AA 1→＝12AA 1→＋12A 1C 1→＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ＝12(a ＋b ＋c )．【答案】 12(a ＋b ＋c )7.如图2210，在45°的二面角αl β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．图2210【解析】由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2. 【答案】2－ 28．如图2211所示，已知空间四边形ABCD 每条边和对角线都等于1，点E ，F 分别是CD ，AD 的中点，则AB →·EF →＝________.【导学号：32550027】图2211AB →，FE →〉＝120°.〉＝1×2cos 120°＝－4.【答案】－14三、解答题9．在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC .M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .【证明】如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12OB →＋OC →＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b ，∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a·c －a·b ＋b·c －b 2＋c 2－b·c ) ＝14(|a |2cos θ－|a |2cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC .10．如图2212，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH →与FG →为共线向量．图2212【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →) ＝12BD →. 又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB → ＝23(CD →－CB →) ＝23BD →. ∴BD →＝32FG →.∴EH →＝34FG →.∴EH →与FG →为共线向量．[能力提升]1．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定【解析】 BD →＝BA →→， ∴cos 〈BD →，BC →〉＝BA ＋BA →＋AC|BA →AD →|·|BA →＋AC |为锐角，BCD 为锐角三角形．【答案】 B2．如图2213，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为( )图2213A.13 B ．23 C.33D ．43【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝AB 2→＋AD 2→＋AA 21→＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°，∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋＋＝23. 【答案】 B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】 14a 24．如图2214，正方形ABCD 与正方形ABEF 边长均为1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．图2214(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．【解】 (1)由已知得|AC →|＝2，|CM →|＝|BN →|＝a . AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →，NF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →，∴NM →＝NF →＋FA →＋AM →的中点时，MN 的长最小，最小值为22.。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2学业分层测评2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】 D2.下列推理正确的是()A.把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y nD.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz).故选D.【答案】 D3.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()【导学号：94210007】A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C4.在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A.b 5b 7>b 4b 8B.b 7b 8>b 4b 5C.b 5＋b 7<b 4＋b 8D.b 7＋b 8<b 4＋b 5【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8. 【答案】 C5.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C 二、填空题6.(2016·山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________.【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.【答案】4657.在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥A-BCD，且AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD；△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A-BCD的外接球.【答案】在三棱锥A-BCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A-BCD的外接球半径R＝a2＋b2＋c228.已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论____________________.【解析】由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题9.如图1-1-13(1)，在平面内有面积关系S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，写出图1-1-13(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.(1)(2)图1-1-13【解】类比S△P A′B′S△P AB＝P A′·PB′P A·PB，有V PA′B′C′V PABC＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.证明：如图，设C′，C到平面P AB的距离分别为h′，h.则h′h＝PC′PC，故V PA′B′C′V PABC＝13S△P A′B′·h′13S△P AB·h＝P A′·PB′·h′P A·PB·h＝P A′·PB′·PC′P A·PB·PC.10.在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【解】在等差数列{a n}中，由a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则可得b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A.正四面体的内切球的半径是其高的1 2B.正四面体的内切球的半径是其高的1 3C.正四面体的内切球的半径是其高的1 4D.正四面体的内切球的半径是其高的1 5【解析】原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12ar⇒r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14h，即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n 【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列.【答案】 D3.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.【导学号：94210008】【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.【答案】 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数4.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).【解】 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 2a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2).。

2016-2017学年高中数学北师大版必修2学业分层测评18 平面直角坐标系中的距离公式

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·西安高一检测)已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝13，则实数k 等于()A．±3 B．3 C．－3 D．0【解析】|AB|＝(2k－k)2＋(－1－1)2＝13，即k2＋4＝13，所以k＝±3.【答案】 A2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为() A．a>7 B．a<－3C．a>7或a<－3 D．a>7或－3<a<7【解析】根据题意，得|3a－6|32＋42>3，解得a>7或a<－3.【答案】 C4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是() A. 5 B.7 C. 6 D．2 2【解析】|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|2＝2 2.【答案】 D5．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定【解析】 k AB ＝b －a5－4＝b －a . 又∵过A ，B 的直线与y ＝x ＋m 平行， ∴b －a ＝1，∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 【答案】 B 二、填空题6．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则⎩⎨⎧|y |＝10，(x ＋4)2＋(y －2)2＝100. 当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解．则P (2,10)或P (－10,10)．【答案】 (2,10)或(－10,10)7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________.【导学号：10690056】【解析】因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |(3)2＋(－1)2＝5⇒|b |＝10，所以b ＝±10，所以直线方程为3x －y ＋10＝0或 3x －y －10＝0.【答案】3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝08．(2016·蚌埠高一检测)如图2-1-6，点A 的坐标为(1,0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为______．图2-1-6【解析】由题意知，当AB 垂直于直线x ＋y ＝0时，线段AB 最短，此时k AB ＝1，设B (a ，－a )，则k AB ＝－a a －1＝1，∴a ＝12，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12三、解答题9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程．【解】 ∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点间的距离公式得 |PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325， ∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645，∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5，整理得4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.10．已知点A (0,0)，B (1,1)，C (2，－1)，求△ABC 的面积．【解】直线AB 的方程为x －y ＝0，点C 到AB 的距离d ＝|2－(－1)|12＋(－1)2＝322， |AB |＝(1－0)2＋(1－0)2＝2， ∴S △ABC ＝12|AB |d ＝12×2×322＝32.[能力提升]1．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0【解析】∵k AB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，∴过点P(1,2)与AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.【答案】 D2．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是() A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0【解析】法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知|2－3－6| 22＋32＝|2－3＋C|22＋32，∴C＝－6(舍)或C＝8，故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y＋8＝0.【答案】 D3．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为________．【解析】法一：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1,1)的距离．即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即 |MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2＝322. 法二：∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1， ∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2 ＝2x 2＋2x ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋92， ∴x ＝－12时，S min ＝92＝322.【答案】3224．直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】 ∵直线l 过点P (2，－5)， ∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离为 d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. ∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，解得k 1＝－1，k 2＝－17，∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.。

2016-2017学年高中数学人教B版必修二学业分层测评第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的是()A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围起来的部分C．100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚D．通常把平行四边形的锐角画成45°，一般根据需要也可画成90°，60°，30°，…【解析】A平面不是平行四边形；B平面是无限延伸的；C平面没有厚度，故A、B、C都不对．【答案】 D2．如图1-1-8，平面α，β，γ可将空间分成()图1-1-8A．五部分B．六部分C．七部分D．八部分【解析】由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.【答案】 B3．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是()【解析】选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.【答案】 C4．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是()A．1或2 B．2或3C．1或3 D．1或2或3【解析】若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．【答案】 C5．图1-1-9所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是()【导学号：60870003】图1-1-9【解析】分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的．根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.【答案】 C二、填空题6．给出下列三个命题：①任何一个平面图形都是一个平面；②空间图形中先画的是实线，后画的是虚线；③直线平行移动，不但可以形成平面，也可以形成曲面．其中正确命题的序号是________．【解析】任何一个平面图形都只是平面的一部分，故①错；画图时，看得见的画实线，看不见的画虚线，与先后顺序无关，故②错；③正确．【答案】 ③7．在如图1-1-10所示的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，互相平行的平面共有________对，与A ′A 垂直的平面是________．【解析】面ABCD 与面A ′B ′C ′D ′平行，面ABB ′A ′与面CDD ′C ′平行，面ADD ′A ′与面BCC ′B ′平行，共3对．与AA ′垂直的平面是面ABCD ，面A ′B ′C ′D ′.【答案】 3 面ABCD 、面A ′B ′C ′D ′ 8．(2016·铜陵高一检测)水平放置的正方体的六个面分别用前面、后面、上面、下面、左面、右面表示，图1-1-11是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面上，那么这个正方体的前面上的字是________．图1-1-11【解析】如图折叠可知，“努”与“有”是互为对面上的两个字，“力”与“收”是互为对面上的两个字，“定”与“获”是互为对面上的两个字．【答案】有三、解答题9．如图1-1-12所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1可以看成是由哪些面进行怎样的移动而得到的？图1-1-10图1-1-12【解】①将矩形ABCD上各点向上平移相同距离到矩形A1B1C1D1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.②将矩形A1B1C1D1上各点向下平移相同距离到矩形ABCD处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.③将矩形ADD1A1上各点向右平移相同距离到矩形BCC1B1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.④将矩形BCC1B1上各点向左平移相同距离到矩形ADD1A1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.⑤将矩形ABB1A1上各点向后平移相同距离到矩形DCC1D1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.⑥将矩形DCC1D1上各点向前平移相同距离到矩形ABB1A1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.10．试指出下列各几何体的基本元素(如图1-1-13)：(1)(2)(3)(4)图1-1-13【解】(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．[能力提升]1．下列四个长方体中，由如图1-1-14中的纸板折成的是()图1-1-14【解析】根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断答案A.【答案】 A2．如图1-1-15，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．图1-1-15【解析】正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．【答案】③3．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC、AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④.【答案】①③④4.如图1-1-16是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.【导学号：60870004】图1-1-16【解】制作实物模型(略)．通过正方体的展开图(如图所示)．可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长，为22＋12＝ 5.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．。