相似圆锥曲线的一组性质
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
2.5 圆锥曲线的共同性质
c
图形
l l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 px
2
( (
p 2 p 2
,0 ) ,0y 2 px
2
x 2 py
2
(0,
p 2
)
y
p 2
l l
x 2 py
2
( 0，
p 2
)
y
p 2
例1 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x y （1） 1 25 9 x y （ 3） 1 25 9
2 2
x
+ c + y
2 2 2
2
= 2a 2
x
- c + y
2 2
2
x + c + y = 4a - 4a
2
x - c + y
2
x - c + y
2
2
a － c x＝ a
x－ c
2
＋y
2
在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:
a cx a
x
x
a
2
c
常数
c a
就是椭圆的离心率
e ( 0 ,1 ).
变题：若（
a c 0）改为（
c a 0）呢？
已知点P（x，y）到定点F（c，0）
x 的距离与它到定直线l： a
2
比是常数
c a
c
的距离的
(c a 0) ，求点P的轨迹．
(x c) y
2
2
|
a
2
c a
x
圆锥曲线中的共同性质
故 ｎ ＋ ￣（ 一口 ） １ 。 ≤１成立． ６ ／１ 。 （ 一ｂ） 点 评 ： 现 有 界 性 条 件 ， 用 有 界 性 ， 化 到 三 角 发 利 转
函数 的有 界 性 知 识 ， 识 桥 由 然 而 生 ， 利 完 成 由此 及 知 顺 彼 ， 学之美跃然纸上． 数
６ 转化 数 列
９
故
＋Ｆ ≥ Ｔ 成 立 ・ 二
￣（ —０ ） １ 。≤ ｌ ／ １ （ 一ｂ） ＿
分 析 构 造 ： ｆ ｌ １ ｊ Ｉ １有 界 性 ， 度 到 三 角 由 ｎ≤ ，ｂ≤ 过
点评 ： 由数 或 式 结 构 特 点 或 题 设 条 件 ， 妙 转 化 为 巧 数 列 ， 用 数 列 的 相 关 结 论 或 性 质 ， 作 证 明 ， 有 茅 利 再 即 塞顿开之感． 不 仅 可以 提高解 题速 度 ， 缩 思维 ， 它 简 拓 宽 思 路 ， 时 还 让 人 萌 生 一 种 “ 雨 断 桥 人 不 渡 ， 舟 同 春 小 撑 出 绿 荫 来 ” 美 妙感 觉 ． 的 从 以 上 各 例 不 难 看 出 ， 造 法 是 一 种 极 富 技 巧 性 构 和创造性的解 题方 法 ， 体 现 了数学 中发 现 、 比、 它 类 化 归 的 思 想 ， 渗 透 着 猜 想 、 索 、 殊 化 等 重 要 的数 学 也 探 特 方 法 ， 妙 运 用 构 造 法 解 数 学 题 可 从 中欣 赏 到 数 学 之 巧 美 ， 受到解题 之 乐 ， 重要 的是可 开拓 思维空 间 ， 感 更 启 迪 智 慧 ， 于 激 发 学 生 学 习 数 学 的兴 趣 ， 培 养 多元 化 对 对 思维和创新精神都大有裨益． 参考文献 ：
例 ６ 设 实 数 ａ ｂ满 足 ｆ ＜ １ Ｉ ＜ １ 求 证 ： ， Ｉ ａ ， ｆ ｂ ，
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质
高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。
本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。
根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。
椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。
2. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线。
它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。
抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。
3. 双曲线双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。
双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。
4. 圆圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。
圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。
二、圆锥曲线的相关性质除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。
1. 椭圆的性质（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。
2. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。
3. 双曲线的性质（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。
4. 圆的性质（1）圆的任何直径经过圆心；（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。
总结圆锥曲线作为高中数学中的一个重要概念，其基本概念和相关性质都需要仔细掌握。
圆锥曲线的一组美妙性质
乜
ｂ
△ （ ） （ 篓 一一 一 ＋ ～一 ）
（ 一） ＋２ ．
（直 ｚ椭 ｃ 离 △ ｏ薯 一 １ 线 与 圆 相 ㈢ ＜ ＋ １ ）
２
（ ）抛 物 线 Ｙ 一２ ｘ（ ≠ Ｏ ３ 。 ｐ ）在 点 Ｐ（ Ｙ ）处 ｘ
的切 线 方 程 为 Ｙ—ｐ ｘ＋ ） （ ． 利 用上 述 结 沦 ， 以证 得 圆锥 曲 线 的 下 列 美 妙 可
・ １ ３ ・
性 质 ２ 自直 线 ：
一
－ １ 的任 意一 点 上
设 切 点
（ ）直 线 ｌ ３ 与抛 物 线 Ｃ相 切 ㈢ △一４ ８ ｘｏ ｙ ～ ｐ
Ｏ ：一２ ｘ。 点 Ｐ（ ， ）点 在 抛 物线 上 ， Ｐ为 ㈢ ｐ ㈢ ｘ。 。 即
切点．
Ｑ分 别 作 双 曲线 ｃ： 一 Ｚ １的两 条 切 线 ｙ一
Ｐ（ ， 。 ｘ。 Ｙ ）位 于 区 域 Ｉ； （ ）当且 仅 当直 线 ｚ 与 双 曲 线 Ｃ 的 一 支 交 于 ２ 仅 两 点 时 ， Ｐ（ ， 。 点 ｘ。 Ｙ ）位 于 区 域 Ⅱ；
设切点分别为 Ｍ ，
Ｎ． 证 ： 线 ＭＮ 恒 过 一 定 点 ， 判 断 直 线 ｌ 求 直 并 与椭 圆
Ｐ（ 。 Ｙ ）位 于双 曲线 上 ， 时 其 即为 切 点 ； ｘ ，。 此 （ ）当且 仅 当直 线 ￡ 双 曲线 Ｃ 的 一 条 渐 近 线 ５ 与 平 行 时 ， Ｐ（ 。 Ｉ ）位 于渐 近线 上 ． 点 ｘ ，ｎ ｙ
，
例 １ 自直 线 ｌ ２ ：ｘ一 ３ ｙ一５上 的 任 意 一 点 Ｑ分 分 别 为 Ｍ ， ， 直 线 ＭＮ 恒 过 定 点 Ｐ（ ， 。 ， Ｎ 则 。 Ｙ ） 且 别 作 椭 圆 ｃ： 十 ２的两 条 切 线 ２ ｙ ｘ
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
圆锥曲线中的相似定理
圆锥曲线中的相似定理
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
圆锥曲线中的相似定理-中学数学论文圆锥曲线中的相似定理
江苏无锡市堰桥中学胡谢芳周志峰
一、题目导引
从而我们可以看到弦AB的斜率与直线OM的斜率存在着特殊关系，从圆推广到椭圆我们是比较好理解的，当椭圆的长轴与短轴相等时，即a=b时自然就变成了一个圆，从结论中也可以发现是相通的，在此还要提出一个问题：在抛物线中是否也有类似的结论呢？显然如果仿照椭圆的探究方法，由于抛物线中x，y 的次数是有高低之分的，从而在证明过程中无法使得kOM与kAB同时出现在一个等式中，这样就无法得到在抛物线中kOM与kAB的关系式。
当然这并不代表着在抛物线中没有其它的结论，只是与圆、椭圆、双曲线相比已不是同一类型，从这个角度说研究抛物线的类似问题意义不大。
从上题中我们明显可以感受到定理推广的积极作用，当然本文重点是将圆中的垂径定理在圆锥曲线中加以推广，由于圆、椭圆、双曲线在图像的形成中有着千丝万缕的联系，我们也有理由相信圆中的其它定理可以在椭圆或双曲线中加以推广并应用，比如圆中的割线定理或切割线定理。
这些定理的推广也是值得我们去研究的一个方向。
4.2圆锥曲线的共同性质
2 2
图形
焦点坐标
( c, 0)
准线方程
x a
2
y b
2 2
1
(a b 0)
2 2 2 2
c
y a
x b
1
(0, c )
y
a
2
(a b 0)
c
x a
2 2
y b
2 2
1
( c, 0)
x
a
2
(a 0, b 0)
c
y a
2 2
x 4
2
y 3
2
1 上运动，求|PA|+2|PB|的
最小值。
P C
A
·
O
·
· B
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
1( a 0 , b 0 )
a
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同性质为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其 中 e是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 , 定点F是圆锥曲线的焦点, 定 直 线 l是 圆 锥 曲 线 的 准 线 .
x a
l1
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
y l2
x a
圆锥曲线的性质及像
圆锥曲线的性质及像圆锥曲线是二维平面上的一种重要数学曲线，由与一个点（称为焦点）的距离与一个定值的比例关系确定。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
本文将就这三种圆锥曲线的性质和其像进行论述。
一、椭圆的性质及像椭圆是由平面上一定点到两个焦点的距离之和等于常数确定的轨迹，其数学表示为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1。
1. 对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的，当点P(x, y)在椭圆上时，点P'(-x, y)和P(x, -y)也分别在椭圆上。
2. 焦点和准线：椭圆有两个焦点F1和F2，直线F1F2称为准线。
焦点到准线的距离等于椭圆的长轴长度。
3. 长短轴：椭圆的长轴是其离心率e所确定的直线段，它过椭圆的两个焦点和中点，且长度为2a；短轴是长轴的垂直平分线段，且长度为2b。
4. 垂直切线与法线：椭圆上任意一点的切线与过该点的法线垂直。
椭圆的像：在光学中，当一束光线射向椭圆的近焦点时，光线将沿着椭圆内部传播，最终交于远焦点上。
这种现象称为椭圆的像。
二、双曲线的性质及像双曲线是由平面上一定点到两个焦点的距离之差等于常数确定的轨迹，其数学表示为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1。
1. 对称性：双曲线是关于x轴和y轴对称的，当点P(x, y)在双曲线上时，点P'(-x, y)和P(x, -y)也分别在双曲线上。
2. 焦点和准线：双曲线有两个焦点F1和F2，直线F1F2称为准线。
焦点到准线的距离等于双曲线的长轴长度。
3. 长短轴：双曲线的长轴是其离心率e所确定的直线段，它过双曲线的两个焦点和中点，且长度为2a；短轴是长轴的垂直平分线段，且长度为2b。
4. 渐近线：双曲线有两条对称的渐近线，它们与双曲线的距离无限接近但永远不相交。
双曲线的像：在光学中，当一束光线射向双曲线的一焦点时，光线将以双曲线内部为中心散射，无限延伸。
高一数学圆锥曲线的标准方程与几何性质
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线
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圆锥曲线的标准方程包括x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（椭圆）、 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线）和y = ax^2 + bx + c（抛 物线）
单击此处添加标题
椭圆的性质：对 称性、旋转性、 中心对称性、焦 点对称性
椭圆的应用：光 学、天体物理、 工程等领域
双曲线的标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点 的轨迹
双曲线的标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0,b>0）
双曲线的焦点：F1(c,0), F2(-c,0)
利用几何性质和代 数关系，求解标准 方程
验证求解结果是否 满足圆锥曲线的定 义和性质
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的一个特殊 点，决定了曲线的形状和性质
准线：与焦点相对应的直线， 决定了曲线的性质和位置
椭圆的焦点与准线：椭圆的焦 点在椭圆的中心，准线是垂直 于椭圆中心的直线
圆锥曲线在工程中 的应用：如建筑设 计、机械制造等
圆锥曲线在数学中 的应用：如解析几 何、微积分等
圆锥曲线在计算机 科学中的应用：如 图形学、计算机视 觉等
解析几何问题中的应用
圆锥曲线在物理中的应用：如天体运动、电磁场等 圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等 圆锥曲线在计算机图形学中的应用：如三维建模、图像处理等 圆锥曲线在数学竞赛中的应用：如奥林匹克数学竞赛、国际数学竞赛等
圆锥曲线在实际问题中 的应用
相似圆锥曲线的一个重要性质
讨相似与位似的关系问题 , 如果能把两个图形中的 一个搬到某个位置与另一图形位似 , 则称两个图形 相似 , 所以我们可以通过讨论位似来讨论图形的相 似性 , 文 [ 2 ] - [ 4 ]讨论了圆锥曲线相似的判定问题 , 文 [ 5 ] - [ 6 ]分别讨论了相似椭圆和相似双曲线的性 质 , 文 [ 5 ]作者得到了定理 1 :设点 P 为椭圆
2 2
通讯 ,2005 ( 11 ) .
[5] 张勇赴 . 相似椭圆的一组性质 . 数学通讯 ,2006 ( 13 ) . [6] 杨军 . 相似双曲线的一组优美性质 . 数学通讯 , 2007 ( 1) .
所以 m + n =2 t , m - n =
2 pa
p
, mn =
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2 pt 2 pm
1 1
与关于 β的方程组
) = λ, cos (β- θ ) = t sin (β- θ
a +2 pn 2 pn 1 = p|2 pt 2 ( m - n ) - t ・ 2 p ( m 2 - n2 ) +2 pmn ( m n) - a ( m - n ) | 得 S a 有关的常数 .
x y - 2 =1 上任一点 P a2 b
2 2 2 2
) = sin [ (α - θ ) - (β - θ ) ] = sin (α 故 sin (α - β ) cos (β- θ ) - cos (α- θ ) sin (β- θ ) -θ ( 1) , ( 2) , ( 3) 均代入 ( 4) 得 : ) =2 λ sin (α- β
关于圆锥曲线的“相似”
在 直 角 坐标 系下
砂+ 沪 十 D 及( 二一 a )
2
_
,
对 形如
·
整 理可得
(D
,
劣+
均
2
` _
+ F = 0
Z
十 E Z 一 4 尸> 0 )
p , 一 2户 户` 。
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十 (g 一 6 ) = r z
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的方 程
D
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易知 都是 圆 的
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创 砂二 丽 则三 = = a U
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二 , 而二 乙 犷石 一 万下 一
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而- 切 等 边双 曲线 的 形状也 是 完全 一样 的 我 们 能 不 能说 所 有 的 圆 都 是 相 似 的 所 有 的 等边 双 曲线
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立二 互
可设
b
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即
a
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a
左
也是相 似的 呢 ?
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`
对曲 线
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c ,
作 位 似 变换 亏
戈 = 寿
,
,
梦 =
尺夕
( 掩> o )
,
定 能够找到适 当的 移动 和 位 似
、
.
使 它 们互 相 转 化
`
.
圆锥曲线的共同性质
课堂互动讲练
考点突破 利用共同性质求方程
平面上， 动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直 MF 线 l 的距离 d 之比 d ＝e(e 为大于零的常数)的 点的轨迹是圆锥曲线，当 e∈(0,1)时是椭圆，e ＝1 时是抛物线，e∈(1，＋∞)时是双曲线．
例1 已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，
x2 y2 例3 (本题满分 14 分)已知椭圆 ＋ 25 16 ＝1， 为椭圆上任意一点， 1， 2 为左、 P F F 右两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求 点 P 的坐标．
【思路点拨】 出x. 设点P(x，y)，由焦半径公式求
【规范解答】 设点 P 的坐标为(x， y)． x2 y 2 ∵椭圆 ＋ ＝1， 25 16 ∴a＝5，b＝4，c＝3. 3 25 ∴e＝ ，准线方程为 x＝± .6 分 5 3 3 由圆锥曲线的统一定义知|PF1|＝ed1＝ 5
圆锥曲线的焦半径、焦 点弦问题
圆锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的 问题常应用统一定义来解决． 圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题， 可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利 用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为 AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)，其中AA1，BB1为 弦的两端点到准线的距离．
2． 圆锥曲线的焦点、 准线与曲线的相对 位置，曲线中与坐标系无关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心 c 率 e＝a，中心到焦点的距离 c，中心到 a2 准线的距离 c 等都是与坐标系无关的不 变量．
p 抛物线中焦点到顶点的距离 ，焦点到 2 准线的距离 p 也都是与坐标系无关的不 变量．
25 3 x＋ ＝ x＋5， 3 5
相似锥体的性质(经典全面)
相似锥体的性质(经典全面)相似锥体是几何学中的一种特殊形状，它在很多领域和应用中都具有重要的性质和特点。
本文将介绍相似锥体的一些经典而全面的性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
定义和基本性质相似锥体是由一个多边形基面（底面）和顶点连接基面上每个顶点与顶点的线段（母线）所构成的多面体。
相似锥体的特点是其各个形状相似，并且所有的顶角都集中在锥体的顶点上。
根据相似锥体的性质，我们可以得出以下几个结论：1. 底面相似性：相似锥体的底面是相似的，即底面的各个边和角度之间具有相似的关系。
底面相似性：相似锥体的底面是相似的，即底面的各个边和角度之间具有相似的关系。
2. 高度相似性：相似锥体的高度是相似的，即锥体的顶点与底面之间的距离具有相似的比例。
高度相似性：相似锥体的高度是相似的，即锥体的顶点与底面之间的距离具有相似的比例。
3. 体积相似性：相似锥体的体积是相似的，即锥体的体积与底面积之间具有相似的比例。
体积相似性：相似锥体的体积是相似的，即锥体的体积与底面积之间具有相似的比例。
4. 侧面相似性：相似锥体的侧面是相似的，即锥体的各个侧面之间具有相似的形状和比例关系。
侧面相似性：相似锥体的侧面是相似的，即锥体的各个侧面之间具有相似的形状和比例关系。
直角锥体和斜锥体的性质比较在相似锥体的分类中，我们可以将其分为直角锥体和斜锥体两种类型。
它们在一些性质上有所不同：1. 形状特征：直角锥体的底面是一个正多边形，而斜锥体的底面可以是任意多边形。
形状特征：直角锥体的底面是一个正多边形，而斜锥体的底面可以是任意多边形。
2. 侧面特征：直角锥体的侧面是直线段，而斜锥体的侧面是曲线段。
侧面特征：直角锥体的侧面是直线段，而斜锥体的侧面是曲线段。
3. 稳定性：直角锥体比斜锥体更稳定，因为直角锥体的侧面更加垂直于基面。
稳定性：直角锥体比斜锥体更稳定，因为直角锥体的侧面更加垂直于基面。
相似锥体的应用相似锥体在科学、工程和日常生活中都有着广泛的应用。
相似圆锥曲线的一组性质
－ Ｉ 甘（ ３ 。＋１ ） （ １
① 当 Ａ ＝０时， 得 到不等 式 （ 口 ＋ｂ ） （ ｂ ＋
１ ） ≥０ ， 当且仅 当Ⅱ＝ ・ ６＝ｃ＝１ 了 时取到等号
ｃ ） （ 。 ＋ ｃ ） ≥ 鲁 （ 口 ６ ＋ ｂ ｃ ＋ 口 ｃ ） ， ；
一
・
注意到应用常见不等式口 ＋ ａ ｂ ＋ ｂ ；（ Ｅ ｌ ， ＋ ６ ）
（ 口 ＋Ａ ａ ｂ＋ｂ ２ ） （ ｂ ＋Ａ ｂ ｃ＋ｃ ２ ） （ ａ ＋Ａ ａ ｃ ＋ｃ ２ ）≥
［ ３ ］ 王扬 ， 剡智琪． 对 数学 问题 栏 目中若 干数学 问题 的感 悟
数学通报 ， ２ ０ ０ ３ ． ６ ． ４ ６ ．
（ 字 口 ＋ ｂ ） ２ （ ６ ＋ ｃ ） （ ｃ ≥ （ ） ×
ｒ
相似 圆锥 曲线 的 一些性质 ， 得到 以下定 理．
定理 １ 已知 圆 Ｃ １ ： ＋ Ｙ ＝１ ， 圆Ｃ ２ ： ＋Ｙ ＝
定 理２ 已 知椭圆Ｃ ： ｘ＋ 鲁 ＝１ 和 椭圆Ｃ ：
－ 卜 ＝ｒ ２ （ ｒ 》１ ） ． 设 Ｐ（ ， ｙ ｏ ） 为椭 圆Ｃ ： 上 一点 ，
这 两个不 等 式 同样 比较优 美 而且 有 一定 的用途．
③ 在不等式（ １ ）中把 。 ， ６ ， 。 分别用一 １
１
，
， Ｔ
作
因此不等式（ １ ） 是原 题 的加强式． 顺着这个证 明思路 ， 我们 可 以把原 试题 推广 为 推广 已知 口 ， ｂ ， ｃ∈Ｒ ，一２≤ Ａ≤ ２， 贝 ０ （ ｎ ＋Ａ ａ ｂ＋ｂ ２ ） （ ｂ ２＋Ａ ｂ ｃ＋ｃ ２ ） （ 口 ＋Ａ ａ ｃ＋ｃ ）
・
２ ２・
圆锥曲线的共同性质
§2.5 圆锥曲线的共同性质【教学目标】1、知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
2、能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
3、情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
【教学重点】圆锥曲线统一定义及其应用【教学难点】圆锥曲线统一定义及其应用【教学手段】多媒体演示【教学过程】一、情境设计学习椭圆、双曲线、抛物线存在一些困惑？1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？二、新课讲解1、思考：平面内到一定点F 的距离和到一定直线l (F 不在l 上）的距离比为常数（不等于1）的动点P 的轨迹是什么？（多媒体演示）2、在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子你能解释这个式子的几何意义吗?3、例1：已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l :x =a 2c 的距离之比是常数c a （a >c >0），求点P 的轨迹.变式 将条件a >c >0改为c >a >0呢？4、圆锥曲线的统一定义：2a cx -=c a x c =-5、学生活动，讨论并解决以下问题（1）椭圆和双曲线有几条准线?（2）准线方程分别是什么？三、知识运用：1、练习练习1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程2、例2 ：已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.3 （备用）例3：已知A (-1,1),B (1,0),点P 在椭圆 上运动，求|P A |+2|PB |的 最小值。
四、小结1.圆锥曲线的统一定义2.求点的轨迹的方法3.数形结合的思想五、作业数学之友 第10期 T2.1122(1)24x y +=22(2)24y x -=2(3)0x y +=2216436x y -=22x 143y +=。