2014届高考数学知识点总复习教案19.doc
2014届高考数学知识点总复习教案二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2,0)；由⎩⎨⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6.答案 A2．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝OM →·OA→的最大值为( )． A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x＋y 过点B (2，2)时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选C. 答案 C3．(2013·淮安质检)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7. 答案 C4．(2013·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )．A ．1吨B ．2吨C ．3吨D.113吨解析 设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为⎩⎨⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥1，y ≥2.所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域．作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，163时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·大纲全国)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析 画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x －z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1. 答案 －16．(2012·安徽)若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3. 答案 [－3,0] 三、解答题(共25分)7．(12分)(2013·合肥模拟)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2、随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·临沂一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )．A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·咸阳一模)设实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是________．解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设y x ＝t ，则y ＝tx ，求yx 的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32. 答案 324．(2011·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．解析 目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm ， ∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm 同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2) 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·黄山模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．6．(13分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？解 (1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎨⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.。
2014届高考数学知识点总复习教案定积分的概念与微积分基本定理
第4讲 定积分的概念与微积分基本定理A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )． A ．0B ．4C ．8D ．16解析 因为f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16. 答案 D2．(2013·唐山模拟)已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛2－1f (x )d x 等于( )． A ．3B ．4C.72D.92解析 f (x )＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴⎠⎛2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )．A.13B.43C ．2D.83解析 由导函数f ′(x )的图象可知函数f (x )为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，由f (0)＝0，得c ＝0.f ′(x )＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有⎩⎨⎧ 2a ×(－1)＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛0－2(－x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43. 答案 B4．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )． A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，即a ＝2.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t ＝________. 解析 ⎠⎛0t(2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪t0＝t 2－t ＝6，解得t ＝3(t ＝－2舍去)． 答案 36．(2012·山东)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 S ＝⎠⎛0a x d x ＝⎪⎪⎪23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案 49 三、解答题(共25分)7．(12分)已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx ⎪⎪⎪10＝12a ＋b .∴12a ＋b ＝5.①又⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2⎪⎪⎪10＝13a ＋12b . ∴13a ＋12b ＝176.②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， ∴⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x d x＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21＝4＋3ln 2.8．(13分)如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值． 解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为 x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.16B.13C.56D.23解析 在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x 2＋2x ＝x ，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S ＝ ⎠⎛0－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫－13x 3－12x 20－1＝－13－12＝16. 答案 A2．(2013·郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12B.16C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若⎠⎛k 3f (x )d x ＝403(k <2)．则k ＝________. 解析 ⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1. 答案 0或－14．设f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且⎠⎛12f (－x )d x ＝m ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析 因为f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪13x 3－⎭⎪⎫12x 221＝56＝m 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1.答案 1 三、解答题(共25分)5．(12分)已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2， (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎨⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x 10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]．∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．(13分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积， 即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)． 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23. 所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。
2014届高考数学知识点总复习教案基本不等式
第4讲基本不等式A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．4解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立．答案 A2．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是()．A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时取等号．答案 A3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a <b ，∴v ＝2ssa ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A4．(2013·杭州模拟)设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是()．A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋bab (a －b )－10ac ＋25c 2＝2a 2＋1b (a －b )－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a 2＋4a 2－10ac ＋25c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·浙江)设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105.答案21056．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 8 三、解答题(共25分)7．(12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.8．(13分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D2．(2012·湖南)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba 的最小值为( )．A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m.同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m－282m ＋12－82m ＋1－2－m＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m－282m ＋12m －282m ＋12m ·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________。
2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )．A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3. 答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )．(1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立， 则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎨⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
2014届高考数学总复习 第2讲 证明不等式的基本方法课件 理 新人教A版选修4-5
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定
函数的极值.
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使 用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证 明过程．
则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.
又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0， 则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 故原不等式成立．
证法二 (分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，
例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
1 1 1 ＋ ＋ 2≥6 a b c
3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[审题视点] 因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥ 3 abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明． 3
[证明]
2
因为a，b，c均为正数，
核心要点研究
例1 [2013· 广州模拟]已知a>0，b>0，求证：( b3≥ab＋ ab2.
[审题视点]
a
)3＋
本题主要考比较法证明．
[证明]
( a)3＋b3－(ab＋ ab2)
＝[( a)3－ab]＋[b3－ ab2] ＝a( a－b)－b2( a－b) ＝( a－b)(a－b2) ＝( a－b)[( a)2－b2] ＝( a－b)2( a＋b)． 因为a>0，b>0，所以 a＋b>0，又( a－b)2≥0， 所以( a －b)2( a ＋b)≥0，从而( a )3＋b3－(ab＋ a
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十章 算法、统计与概率第1课时 算 法
《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十章算法、统计与概率第1课时算法考情分析考点新知① 算法初步是高中数学新课程标准中新添加的内容，高考对本章的考查主要以填空题的形式出现，单独命题以考查考生对流程图的识别能力为主，对算法语言的阅读理解能力次之，考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大.②算法可结合在任何试题中进行隐性考查，因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课标的基本要求，常见的与其他知识的结合有分段函数、方程、不等式、数列、统计等知识综合，以算法为载体，以算法的语言呈出，实质考查其他知识．① 了解算法的含义、算法的思想.②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、选择、循环.③理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.1. (必修3P37测试1改编)阅读程序框图，若输入的a，b，c分别为14，6，20，则输出的a，b，c分别是________．答案：20，14，6解析：该程序框图的作用是交换a，b，c的值，逐一进行即可．Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2Elsey ←log 2xEnd If Print y2. (必修3P 37测试3改编)某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为________．答案：8解析：所给算法伪代码的意义是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log 2x ，x>0的值，当输出y 的值为3，若输入的x≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1不合，舍去；若输入的x>0，则log 2x ＝3，解得x ＝8.综上所述，输入x 的值为8.3. (2013·连云港期末)下图是一个算法流程图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为________．(第3题图)答案：2解析：算法流程图的运行过程如下：条件 Y Y Y N x－47412输出故输出的y 的值为2.4. (必修3P 25习题7改编)阅读如图所示的伪代码，若使这个算法执行的是－1＋3－5＋7－9的计算结果，则a 的初始值x ＝________．S ←0a ←xFor I From 1 To 9 Step 2 S←S＋a×I a←a×(－1)End For Print S (第4题图)答案：－1 解析：根据算法的循环结构知循环体第一次被执行后的结果应为0＋(－1)，故初始值x ＝－1.(第5题图)5. (2013·南通期末)已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．答案：38解析：由流程图知，当输入x 时，各次循环输出的结果分别是2x ＋1，2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，此时退出循环．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋7≥55，1≤x ≤9，解得6≤x≤9，故输出的x不小于55的概率为P ＝9－69－1＝38.1. 算法一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2. 流程图流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．3. 构成流程图的图形符号及其作用(1) 起止框用“”表示，是任何流程图不可缺少的，表明算法的开始或结束；(2) 输入、输出框用“”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内；(3) 处理框用“”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内；(4) 当算法要求你对两个不同的结构进行判断时，需要将实现判断的条件写在判断框内，判断框用“”表示．4. 基本的算法结构(1) 算法都可以由顺序结构、选择结构、循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套表达出来．(2) 流程图可以方便直观地表示三种基本的算法结构．5. 伪代码伪代码是介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法．6. 赋值语句用符号“x←y”表示，将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或表达式．7. 输入语句、输出语句(1) 输入语句：“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b．(2) 输出语句：“Print x”表示输出运算结果x．8. 条件语句条件语句的一般形式是If A ThenBElseCEnd If其中A表示判断的条件，B表示满足条件时执行的操作内容，C表示不满足条件时执行的操作内容，End If表示条件语句结束．9. 循环语句循环语句一般有三种：“While循环”“Do循环”“For循环”．(1) 当型循环一般采用“While循环”描述循环结构．格式：While 条件循环体End While先判断条件是否成立，当条件成立时，执行循环体，遇到End While语句时，就返回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过程，若不成立，则退出循环．当型语句的特点是先判断，后执行．(2) 直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构．格式：Do循环体Until 条件End Do先执行循环体部分，然后再判断所给条件是否成立．如果条件不成立，那么再次执行循环体部分，如此反复，直到所给条件成立时退出循环．直到型语句的特点是先执行，后判断．(3) 当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．格式：For I from 初值to 终值 step 步长循环体End for功能：根据For语句中所给定的初值、终值和步长，来确定循环次数，反复执行循环体内各语句．通过For语句进入循环，将初值赋给变量I，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个语句，遇到End For，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体．这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环．注：① 只有当循环次数明确时，才能使用本语句；② Step可以省略，此时默认步长为1；③ 步长可以为正、负，但不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，循环将不能执行．步长为负时，要求终值必须小于初值．[备课札记]题型1 流程图的算法功能例1(2013·江苏)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．答案：3解析：根据流程图得，当n＝1时，a取初值2，进入循环体，a＝3×2＋2＝8，n＝1＋1＝2；由a<20进行第二次循环，a＝3×8＋2＝26，n＝2＋1＝3；此时a<20不成立，退出循环，从而最终输出n＝3.变式训练(2013·扬州调研)如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为________．答案：49条件Y Y Y Y Y Y Y Ns 0+1=1 1+3=4 4+5=9 9+7=16 16+9=25 25+11=36 36+13=49 输出i 1+2=3 3+2=5 5+2=7 7+2=9 9+2=11 11+2=13 13+2=15 15判断框中的横线上可以填入的最大整数为49.题型2 算法伪代码的算法功能例2 (2013·南通一模)根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为________．S →0For I From 1 to 28 Step 3 S ←S ＋I End For Print S 答案：145解析：由算法伪代码知，此算法为计算首项为1，公差为3的等差数列的前10项的和，所以S ＝1＋4＋…＋28＝10（1＋28）2＝145.备选变式（教师专享）(2013苏州调研)如下一段伪代码中，Int(x)表示不超过x 的最大整数，若输入m ＝6，n ＝4，则最终输出的结果n 为________．Read m ，nWhile m n ≠Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n c ←m －n×Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m nm ←n n ←cEnd While Print n 答案：2解析：输入m ＝6，n ＝4时，m n ＝64＝32，而Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫64＝1，显然m n ≠Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ，进行循环体，执行c ＝m －n×Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝6－4×1＝2，并将m←4，n ←2；从而m n ＝42＝2，Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫42＝2，判断条件m n ＝Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ，退出循环，故输出n ＝2.题型3 算法与相关知识的交汇例3 如图是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入a i ＝sin i 11π(i∈N *)，则输出的i 的值是________．答案：22解析：根据流程图所示的算法，可知：该程序的作用是计算：S ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝sinπ11＋sin 2π11＋…＋sin n π11，并判断满足条件S≤0的最小整数i －1的值．结合三角函数的正弦线可得：S ＝sin π11＋sin 2π11＋…＋sin 20π11>0，S ＝sin π11＋sin 2π11＋…＋sin 21π11＝0，故满足条件的i 值为22，故答案为22. 备选变式（教师专享）(2013·合肥模拟改)如图所示，算法流程图输出的n 为________．答案：13解析：由框图可知，该程序为求数列a n ＝12n －13的前n 项和大于零的n 的最小值，由a n 的形式可知：S 12＝0，a 13>0，S 13>0，所以输出的n 值为13.1. (2013·盐城二模)如图，该程序运行后输出的结果为________．(第1题图)答案：16解析：由流程图知，在循环体中执行运算：第一循环：b ＝2，a ＝2；第二循环：b ＝22＝4，a ＝3；第三循环：b ＝24＝16，a ＝4；不满足条件a<4，退出循环，故输出b ＝16.2. 如图，N i 表示第i 个学生的学号，G i 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1～10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是________.(第2题图)答案：8，361 解析：本题流程图表示的算法功能是筛选成绩大于等于360分的学生，打印出他们的学号和成绩，所以打印出的第5组数据是8，361.3. (2013·北京(改))执行如图所示的程序框图，输出的S ＝________．(第3题图)答案：1321解析：执行第一次循环时S ＝12＋12×1＋1＝23，i ＝1；第二次循环S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋12×23＋1＝1321，i ＝2，此时退出循环．故输出S ＝1321.4. 如图是一个算法流程图，则输出的k ＝________．(第4题图)答案：5解析：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k k 2－5k ＋4循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴ 最终输出结果k ＝5.1. (2013·苏锡常一模) 根据下图所示的伪代码，输出的结果T 为________．T ←1I ←3While I ＜20 T ←T ＋Ⅰ I ←I ＋2 End While Print T 答案：100解析：图中伪代码表示的算法是T ＝1＋3＋5＋…＋19＝10（1＋19）2＝100，所以输出T＝100.2. 定义一种新运算“”：S ＝a b ，其运算原理为如图的程序框图所示，则式子54－36＝________．答案：1解析：由框图可知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧b （a ＋1），a ≤b ，a （b ＋1），a>b ，从而可得54－36＝5×(4＋1)－(3＋1)×6＝1.3. (2013·西亭期中)如下给出的是一个与定义在R 上f(x)＝x 3＋sinx 相关的算法语言，一个公差不为零的等差数列{a n }，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0，请写出一个符合条件的数列{a n }的通项公式_______．n ←1 S←0While i ≤10x ←a nS ←S ＋f(x)n ←n ＋1End WhliePrint S答案：a n ＝n －5.5等 (答案不唯一)解析：易见f(x)是奇函数，而由题意，要使f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 10)＝0，可考虑f(a i )＋f(a 11－i )＝0(i ＝1，2，3，4，5)，由于{a n }是等差数列，因而又可考虑a i ＋a 11－i ＝0(i ＝1，2，3，4，5)，如a n ＝2n －11，a n ＝n －5.5等(答案不唯一)．4. 货物运输价格P(元)与运输距离s(km)有关，按下列公式定价(P 为每吨货物每千米的运价)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧20，s ＜100，17.5，100≤s ＜200，15，200≤s ＜300，12.5，300≤s ＜500，10，s ≥500.现输入s 和货物的吨数ω，画出计算总运费的流程图．解：流程图如图所示：1. 求解伪代码问题的基本思路关键是理解基本算法语言．在一个赋值语句中，只能给一个变量赋值，同一个变量的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次为准．对于条件语句要注意准确判断和语句格式的完整性理解．对于循环语句，要注意是“N”循环，还是“Y”循环，弄清何时退出循环．2. 注意算法与其他知识的综合交汇，特别是用流程图来设计数列的求和是高考的常考题型．数列的求和计算问题是典型的算法问题，要求能看懂流程图和伪代码，能把流程图或伪代码转化为数列问题，体现了化归的思想方法．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.。
2014届高考数学知识点总复习教案不等关系与不等式
第七篇不等关系与不等式A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当0<ab <1时，若b >0，则有a <1b ；若b <0，则a <0，从而有b >1a .故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a <1b 或b >1a ，但ab <0.故选A. 答案 A2．(2013·保定模拟)已知a >b ，则下列不等式成立的是( )．A ．a 2－b 2≥0B ．ac >bcC ．|a |>|b |D ．2a >2b解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0>a >b 时，C 不成立；由a >b 知2a >2b 成立，故选D. 答案 D3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b 成立的有 ( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b ，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )．A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析 由题意知c <0，a >0，则A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b ＝0时C 不正确． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β得－π<α－β<0. 答案 (－π，0)6．(2013·南昌一模)现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个．解析 因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)2－(3＋14)2＝270－242>0，且7＋10>0，3＋14>0，所以7＋10>3＋14，即③恒成立． 答案 2 三、解答题(共25分)7．(12分)设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解 法一 当a >1时，由0<x <1知， log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0， ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)，∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)<0，从而－log a (1－x 2)>0，故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.当0<a <1时，同样可得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 法二 平方作差 |log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )]2－[log a (1＋x )]2＝log a (1－x 2)·log a 1－x1＋x＝log a (1－x 2)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x >0.∴|log a (1－x )|2>|log a (1＋x )|2， 故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 法三 作商比较 ∵|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0<x <1，∴log (1＋x )(1－x )<0， 故|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x＝1＋log (1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ·11＋x ＝1＋log (1＋x )11－x 2.由0<x <1知，1＋x >1及11－x 2>1， ∴log (1＋x )11－x 2>0，故|log a (1－x )||log a (1＋x )|>1， ∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.8．(13分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解 由题意，得⎩⎨⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)． 因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203， 因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403.两式相加，得－1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[－1,20]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·上海)若a 、b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是 ( )．A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2 ab C.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋ab≥2 解析 对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b ＜0，而2ab ＞0，2ab ＞0，显然B 、C 不对；对D ：当ab ＞0时，由均值定理b a ＋ab ＝2 b a ·ab ＝2.答案 D2．(2013·汉中一模)若a 、b 均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x 值，ax ＋b >0恒成立；条件乙：2b －a >0，则甲是乙的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当x ∈[－1,0]时，恒有ax ＋b >0成立， ∴当a >0时，ax ＋b ≥b －a >0，当a <0时，ax ＋b ≥b >0，∴b －a >0，b >0，∴2b －a >0， ∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a ＝32b ，b >0时， 则2b －a ＝12b >0，但是，当x ＝－1时，a ·(－1)＋b ＝－32b ＋b ＝－12b <0， ∴甲是乙的充分不必要条件． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．解析∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)<f(－β)＝－f(β)，f(β)<f(－γ)＝－f(γ)，f(γ)<f(－α)＝－f(α)，以上三式相加得：2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]<0，即f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.答案f(α)＋f(β)＋f(γ)<04．(2013·南京一模)给出下列四个命题：①若a>b>0，则1a>1 b；②若a>b>0，则a－1a>b－1b；③若a>b>0，则2a＋ba＋2b>ab；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋1a－b≥2.其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析①作差可得1a－1b＝b－aab，而a>b>0，则b－aab<0，此式错误．②a>b>0，则1a<1b，进而可得－1a>－1b，所以可得a－1a>b－1b正确．③2a＋ba＋2b－ab＝b(2a＋b)－a(a＋2b)(a＋2b)b ＝b2－a2(a＋2b)b＝(b－a)(b＋a)(a＋2b)b<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．答案②三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 证明 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy . 于是，所要证明的不等式即为 x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立． 6．(13分)已知f (x )是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m ，使得f (m －sin x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对定义域内的一切实数x 均成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域． 解 假设实数m 存在，依题意， 可得⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －sin x ≥1＋2m －74＋cos 2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤sin x ，m －1＋2m ＋12≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122.因为sin x 的最小值为－1，且－(sin x －12)2的最大值为0，要满足题意，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤－1，m －1＋2m ＋12≥0，解得m ＝－12或32≤m ≤3.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12.探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m ≤f (x )恒成立，只需m ≤f (x )min .。
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第五章 数列第3课时 等 比 数 列
第五章 数列第3课时 等 比 数 列第六章 (对应学生用书(文)、(理)74～75页)1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________．答案：7解析：q 5＝a 6a 1＝32，q ＝2，S 3＝1×（1－23）1－2＝7.2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝2×3n －1解析：由a 2＝6，a 5＝162，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 4＝162，所以a 1＝2，q ＝3.3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．答案：6解析：a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝(a 3＋a 5)2＝36，又a 1>0，∴ a 3，a 5>0，∴ a 3＋a 5＝6. 4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________． 答案：3解析：由已知得(2k)2＝(k ＋9)(6－k)，k ∈N *，∴ k ＝3.5. (必修5P51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．答案：2n －1解析：由已知得a 1＝1，q ＝2；∴ a n ＝2n －1.1. 等比数列的概念 (1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：a n ＋1a n _＝q(n∈N，q 是等比数列的公比)．2. 等比数列的通项公式设{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则第n 项a n ＝a 1qn －1．推广：a n ＝a m q (n －m)．3. 等比中项若a ，G ，b 成等比数列，则G 为a 和b 的等比中项且G 4. 等比数列的前n 项和公式 (1) 当q ＝1时，S n ＝na 1．(2) 当q≠1时，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q1－q．5. 等比数列的性质(1) a n ＝a m q n －m．(2) 等比数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p ．(3) 等比数列{a n }中依次每m 项的和仍成等比数列，即S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等比数列，其公比为q m(q≠－1)．[备课札记]题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ； (2) 若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2， ∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12.(2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝83－83⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n∈N)． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 解不等式∑i ＝1n3a i>S n (n∈N)．解：(1) ∵ 2a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝3，∴ a 2＝32.∵ 2a 3＝S 2＋2＝a 1＋a 2＋2＝92，∴ a 3＝94.∵ 2a n ＋1＝S n ＋2，∴ 2a n ＝S n －1＋2(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＝S n －S n －1.∴ 2a n ＋1－2a n ＝a n .则a n ＋1＝32a n (n≥2)．∵ a 2＝32a 1，∴ a n ＋1＝32a n (n∈N)．∵ a 1＝1≠0，∴ a n ＋1a n ＝32，即{a n }为等比数列，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(2) 3a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n 是首项为3，公比为23的等比数列．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n 的前5项为：3，2，43，89，1627.{a n }的前5项为：1，32，94，278，8116.∴ n ＝1，2，3时，∑i ＝1n3a i >S n 成立；而n ＝4时，∑i ＝1n3a i ≤S n ；∵ n ≥5时，3a n＜1，a n ＞1，∴ ∑i ＝1n3a i≤S n .∴ 不等式∑i ＝1n3a i>S n (n∈N)的解集为{1，2，3}．题型2 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n∈N)． (1) 求a 1，a 2；(2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14.(2) 证明：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .备选变式（教师专享）在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1) 求证：数列{a n －n}是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ；(3) 求证：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n∈N *皆成立．(1) 证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2) 解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n－13＋n （n ＋1）2.(3) 证明：对任意的n∈N *，S n＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n－13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n对任意n∈N *皆成立．题型3 等比数列的性质例3 已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．解：(1) q 6＝a 8a 2＝1232＝164， a n ＋1<a n ，所以q ＝12.以a 1＝a 2q ＝3212＝64为首项，所以通项公式为a n ＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝27－n (n∈N)．(2) 设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n＝7－n.所以{b n }是首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n （n －1）2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.因为n 是自然数，所以n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最大值是T 6＝T 7＝21.备选变式（教师专享）已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n∈N *)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323解析：∵a 5＝a 2q 3，∴14＝2×q 3，∴q ＝12，∴a 1＝a 2q ＝4，∴a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝23－n ，∴a k a k ＋1＝12k －3·12k －2＝122k －5，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝12＋12＋…＋12＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋…＋14n ＝32×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323.题型4 等比数列的应用例4 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x 2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln(x)． 其中是“保等比数列函数”的是__________．(填序号) 答案：①③解析：验证：① f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2；③ f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝|q|. 备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n≥3时，c n ＋1<c n .(1) 解：a 1＝S 1＝4，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n(n ＋1)－2(n －1)n ＝4n.又a 1＝4适合上式，∴a n ＝4n(n∈N *)．将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，∴T 1＝b 1＝1. 当n≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n ＝12b n －1，∴b n ＝21－n.(2) 证明：证法1：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n，得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n .证法2：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]． 当且仅当n≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n.1. (2013·大纲版)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和为________．答案：3(1－3－10)解析：q ＝－13，a 1＝4，则S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．2. (2013·新课标1)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n＝________．答案：a n ＝(－2)n －1解析：S n ＝23a n ＋13，S n －1＝23a n －1＋13(n≥2)，相减得a n ＝23a n －23a n －1，即a n ＝－2a n －1(n≥2)．又S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.3. (2013·新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________．答案：19解析：有条件得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得q ＝±3，a 1＝19.4. 若数列{a n }满足lga n ＋1＝1＋lga n ，a 1＋a 2＋a 3＝10，则lg(a 4＋a 5＋a 6)＝________． 答案：4解析：由条件知：a n ＋1a n＝10，即数列{a n }是公比为10的等比数列，所以lg(a 4＋a 5＋a 6)＝lgq 3(a 1＋a 2＋a 3)＝4.1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n 和公比q 的值．解：解法1：在等比数列{a n }中，a 1a n ＝a 2a n －1＝128.又a 1＋a n ＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a n ＝66，a 1a n ＝128，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，∴q ≠1.由a n ＝a 1qn －1和S n ＝a 1（1－q n）1－q＝126，得⎩⎪⎨⎪⎧2q n －1＝64，2（1－q n ）1－q ＝126或⎩⎪⎨⎪⎧64q n －1＝2，64（1－q n ）1－q ＝126，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝12.解法2：当q ＝1时，经检验不合适，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋qn －1）＝66， ①a 21q n －1＝128， ②a 1（1－q n）1－q ＝126， ③由②可得qn －1＝128a 21，代入①，得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1＋128a 21＝66，化简得a 21－66a 1＋128＝0，解得a 1＝2或a 1＝64.当a 1＝2时，代入①，得q n －1＝32，将a 1＝2和qn －1＝32代入③，得2（1－32q ）1－q＝126，解得q ＝2.又qn －1＝32，即2n －1＝32＝25，∴n ＝6.同理，当a 1＝64时，可解得q ＝12，n ＝6.综上所述，n 的值为6，q ＝2或12.2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1，设b n ＝a n ＋1－2a n .证明：数列{b n }是等比数列．证明：由于S n ＋1＝4a n ＋1，① 当n≥2时，S n ＝4a n －1＋1.② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1. 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1.因为a 1＝1，且a 1＋a 2＝4a 1＋1，即a 2＝3a 1＋1＝4.所以b 1＝a 2－2a 1＝2，故数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．3. (2013·辽宁)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．答案：63解析：因为等比数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则q ＝2，故S 6＝1×（1－26）1－2＝63.4. 已知数列{a n }的首项a 1＝2a ＋1(a 是常数，且a≠－1)，a n ＝2a n －1＋n 2－4n ＋2(n≥2)，数列{b n }的首项b 1＝a ，b n ＝a n ＋n 2(n≥2)．(1) 证明：{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列；(2) 设S n 为数列{b n }的前n 项和，且{S n }是等比数列，求实数a 的值； (3) 当a>0时，求数列{a n }的最小项．(1) 证明：∵ b n ＝a n ＋n 2，∴ b n ＋1＝a n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋(n ＋1)2－4(n ＋1)＋2＋(n ＋1)2＝2a n ＋2n 2＝2b n (n≥2)．由a 1＝2a ＋1，得a 2＝4a ，b 2＝a 2＋4＝4a ＋4，∵ a ≠－1， ∴ b 2≠0，即{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列．(2) 解：由(1)知b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（4a ＋4）2n －2，n ≥2. S n ＝a ＋（4a ＋4）（2n －1－1）2－1＝－3a －4＋(2a ＋2)2n，当n≥2时，S nS n －1＝（2a ＋2）2n－3a －4（2a ＋2）2n －1－3a －4＝2＋3a ＋4（a ＋1）2n －1－3a －4. ∵ {S n }是等比数列， ∴ S n S n －1(n≥2)是常数，∴ 3a ＋4＝0，即a ＝－43.(3) 解：由(1)知当n≥2时，b n ＝(4a ＋4)2n －2＝(a ＋1)2n，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1，n ＝1，（a ＋1）2n －n 2，n ≥2， ∴ 数列{a n }为2a ＋1，4a ，8a －1，16a ，32a ＋7，…显然最小项是前三项中的一项．当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，最小项为8a －1； 当a ＝14时，最小项为4a 或8a －1；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，最小项为4a ； 当a ＝12时，最小项为4a 或2a ＋1；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，最小项为2a ＋1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a 1和公比q.2. 运用等比数列求和公式时，要对q ＝1和q≠1进行讨论．3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：①方程的思想：等比数列中有五个量a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a 1，q ；②分类的思想：当a 1>0，q>1或者a1<0，0<q<1时，等比数列{a n}递增；当a1>0，0<q<1或者a1<0，q>1时，等比数列{a n}递减；当q<0时，等比数列为摆动数列；当q＝1时，等比数列为常数列；③函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．请使用课时训练（A）第3课时（见活页）.。
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十章 算法、统计与概率第4课时 古典概型(1)
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十章 算法、统计与概率第4课时 古典概型(1)1. (必修3P 94练习3改编)下列事件：①若x∈R ，则x 2<0；②没有水分，种子不会发芽；③抛掷一枚均匀的硬币，正面向上；④若两平面α∥β，m Ìα且n Ìβ，则m∥n.其中________是必然事件， ________是不可能事件，________是随机事件． 答案：② ① ③④解析：对"x ∈R ，有x 2≥0，①是不可能事件；有水分，种子才会发芽，②是必然事件；抛掷一枚均匀的硬币，“正面向上”既可能发生也可能不发生，③是随机事件；若两平面α∥β，m Ìα且n Ìβ，则m∥n 或异面，④是随机事件．2. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．答案：12解析：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是P ＝24＝12.3. (必修3P 103练习3改编)袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为________．答案：13解析：将3个球编号，记1个白球1号，2个黄球分别为2号、3号，则先后两次摸出两球共有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共6种等可能结果，其中两次都是黄球的有(2，3)，(3，2)两种结果，故两次都是黄球的概率为26＝13.4. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为________．答案：0.4解析：由茎叶图可知数据落在区间[22，30)的频数为4，故数据落在[22，30)的频率为410＝0.4，故数据落在区间[22，30)内的概率为0.4. 5. (必修3P 103练习5改编)已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________．答案：815解析：将6幅名画编号为1，2，3，…，6，不妨设其中的5，6号是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个基本事件，其中买入的两幅画中恰有一幅画是赝品有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}等8个基本事件，故所求的概率为815.1. 事件(1) 基本事件：在一次随机试验中可能出现的每一个基本结果．(2) 等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2. 古典概型的特点(1) 所有的基本事件只有有限个．(2) 每个基本事件的发生都是等可能的． 3. 古典概型的计算公式如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n ；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝mn ，即P(A)＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.[备课札记]题型1 随机事件的频率与概率例1 (必修3P 91习题3改编)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1) 计算表中击中10环的各个频率；(2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1) 击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.904. (2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9. 备选变式（教师专享）某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1) 计算表中进球的频率；(2) 这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？解：(1) 由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为68＝34＝0.75，810＝45＝0.8，912＝34＝0.75，79≈0.78，710，1216＝34＝0.75.(2) 由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34的附近摆动，故可知该运动员进球的概率为34.题型2 简单的古典概型问题例2 袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球质量为n 2－6n ＋12(单位：g)，如果从这些球中不放回的任意取出2个球(不受重量、编号的影响)，求取出的两球质量相等的概率．解：(解法1)不放回的任意取出2个球可理解为先后取出两球，若记两次取出的球编号为有序数对(m ，n)，其中m∈{1，2，3，4，5，6}，n ∈{1，2，3，4，5，6}，由于第一次取出的球有6种等可能结果，且对每一种结果，第二次都有5种等可能的结果，故共有6×5＝30个基本事件(可用坐标法表示)．设编号分别为m 与n(m ，n ∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m 2－6m ＋12＝n 2－6n ＋12，即有(m －n)(m ＋n －6)＝0.∴ m＝n(舍去)或m ＋n ＝6.满足m ＋n ＝6的情形为(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，共4种情形．故所求事件的概率为430＝215.(解法2)不放回的任意取出2个球也可理解为无序地一起取出两球，则取出的两球的序号集合为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15种．设编号分别为m与n(m，n ∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴ m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1，5)，(2，4)，共2种情形．故所求事件的概率为2 15 .变式训练在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率．解：(解法1)(有序模式)设试验中先取出x，再取出y(x，y＝1，2，3，4，5，6)，试验结果记为(x，y)，则基本事件列举有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共30种结果，事件X结果有(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)，故P(X)＝430＝215.(解法2)(无序模式)设任取两种添加剂记为(x，y)(x，y＝1，2，…，6)，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，…，(5，6)共15种．事件X＝6取法有(1，5)，(2，4)，故P(X)＝215.题型3 古典概型与统计的综合例3(2013·天津)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z 评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2) 在该样品的一等品中，随机抽取两件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B 发生的概率．解：(1) 计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2) ① 在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．② 在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.备选变式（教师专享）(2013·广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：g)的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？(3) 在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有一个的概率．解：(1)重量在[90，95)的频率＝2050＝0.4.(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80，85)的个数＝55＋15×4＝1. (3)设在[80，85)中抽取的一个苹果为x ，在[95，100)中抽取的三个苹果分别为a 、b 、c ，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(x ，a)，(x ，b)，(x ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)6种情况，其中符合“重量在[80，85)和[95，100)中各有一个”的情况共有(x ，a)，(x ，b)，(x ，c)3种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，重量在[80，85)和[95，100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率P(A)＝36＝12.1. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案：35解析：∵ 以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1共6个数小于8，∴ 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.2. (2013·连云港调研)在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．2解析：在数字1、2、3、4四个数中任取两个不同的数有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中和大于积的有3个，即{1，2}，{1，3}，{1，4}，故其和大于积的概率是36＝12.3. 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为________．答案：13解析：在编号为1，2，3，4四个球中任取两个球有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6个基本事件，其中编号之和大于5的有2个，即{2，4}，{3，4}，故两个球的编号之和大于5的概率为26＝13.4. (2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n(m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m 、n 都取到奇数的概率为________．答案：2063解析：由题意，正整数m 有7种等可能的结果，且对于m 的每一个值，n 都有9种情况，故共有基本事件总数为7×9＝63种，而m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，所以满足m 、n 都取到奇数的基本事件数为4×5＝20，故m 、n 都取到奇数的概率为2063.1. 判断下列命题正确与否． (1) 先后掷两枚质地均匀的硬币，等可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果；(2) 某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3) 从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4) 分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同． 解：以上命题均不正确．(1) 应为四种结果，还有一种是“一反一正”．(2) 摸到红球的概率为12，摸到黑球的概率为13，摸到白球的概率为16.(3) 取到小于0的数的概率为47，取到不小于0的数的概率为37.(4) 男同学当选的概率为13，女同学当选的概率为14.2. (2013·德州模拟)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足log 2x y ＝1的概率为________．12解析：由log 2x y ＝1得2x ＝y.又x∈{1，2，3，4，5，6}，y ∈{1，2，3，4，5，6}，所以满足题意的有x ＝1，y ＝2或x ＝2，y ＝4或x ＝3，y ＝6，共3种情况．所以所求的概率为336＝112. 3. (2013·北京西城模拟)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_________．答案：45解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x)．令90>15(442＋x)，由此解得x<8，即x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.4. (2013·山东文)某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高(单位：m)以及体重指标(单位：kg/m 2)如下表所示：(1) 从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2) 从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．解：(1) 从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．其中选到的2人身高都在1.78以下的事件有： (A ，B)，(A ，C)，(B ，C)共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12.(2) 从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P 1＝310.求古典概型问题的基本步骤：(1) 明确事件，分清概型．对于古典概型一定要满足“所有基本事件只有有限个，且每个基本事件的发生都是等可能的”这两个基本特征．(2) 正确计数，套用公式．正确计算基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件数n ，再代入公式P(A)＝mn进行计算．请使用课时训练（B ）第4课时（见活页）.[备课札记]。
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学一轮复习：第八篇 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
均以选择题的形式出现，难度不大．
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【真题探究】► (2011· 山东)如图所示，长和宽 分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图
所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图 如右图；③存在圆柱，其正视图，俯视图 如图． 其中真命等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． 其中不正确的命题的个数是________个． 解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多 边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰
形．
③棱台：棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底 面是相似多边形．
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
(2)旋转体 一边所在直线 ①圆柱可以由矩形绕_____________旋转一周得到．
②圆锥可以由直角三角形绕其___________旋转得到． 任一直角边
③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点 连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得 到． ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三 棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA ＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小
均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其
三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.
答案
D
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5. 如图，过BC的平面截去长方体的一
答案
D
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对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还 要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 S′ 2 ＝ S，能进行相关问题的计算． 4
高考数学总复习教案：3.9三角函数的综合应用[ 高考]
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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________．答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝acosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tan π12＝________．答案：－23解析：原式＝sinπ12cos π12－cosπ12sin π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x ∈R )，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsinαsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 备选变式（教师专享）(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x－y)＝23sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质 例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. (1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx. (2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sin αcos α＝49， 即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013·浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ·5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17×12＋437×32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角． (1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc. 又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bcbc ＋4≥2bcbc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ≤34×4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12×4×sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则一般选正弦函数．规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分) 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错． 事实上，仅由sin (α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos (α＋β)不易出错．1. (2013·常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2·sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π. 3. (2013·北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________． 答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12×3×1＝32.4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________． 答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝⎛⎭⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)， 当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014·扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长． 解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0， ∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a ＋c ＝13，∴ 三角形周长是20.2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC. (1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC中∠C ∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°.3. (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1. (1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC ＝bc 4R 2＝57.4. (2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosAsinA ＝263.故cosA ＝63. (2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。
2014版高考数学一轮总复习 第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 理 新人教A版
【点评】(1)本题看似复杂，其实由条件可求得 sinx 及 cosx 的 值为特殊值，从而使问题快速解决． (2)本题在证明过程中，充分利用三角函数的平方关系， sin2α＋cos2α＝1，对“1”进行巧妙的代换，使问题迎刃而解．
备选例题
π 1 已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ . 2 5 (1)求 sinx－cosx 的值； x x 2x 3sin －2sin cos ＋cos 2 2 2 2 (2)求 的值． sinx cosx ＋ cosx sinx
公式一：
正弦 2kp+ sin - ④_____ p- sin p+ -sin 2p- -sin
余弦 正切
③____ tan
cos
-tan
-cos ⑤_____
-cos tan
⑥____ -tan
公式二：
正弦 余弦 - ⑦_____ sin + cos ⑧_____ p- ⑨_____ -sin p+ -cos ⑩_____
三
公式sin2α＋cos2α＝1的巧用
1 【例 3】已知 sinθ－cosθ＝ ，求： 2 (1)sinθcosθ； (2)sin3θ－cos3θ； (3)sin4θ＋cos4θ.
1 1 【解析】 (1)sinθ－cosθ＝ ，平方得 1－2sinθcosθ＝ ， 2 4 3 sinθcosθ＝ . 8 1 (2)sin θ－cos θ＝(sinθ－cosθ)(sin θ＋sinθcosθ＋cos θ)＝ 2
【点评】(1)在解决关于正弦、余弦的齐次问题时，可逆用商 sinα 数关系式 tanα＝ 将弦化为切(以减少函数名称)，从而达 cosα 到简化运算目的． (2)三角中的化简、 求值及三角恒等式的证明问题常常采 sinα 用“切化弦法”，即利用商数关系 tanα＝ ，把切函数化 cosα 为弦函数，以达到统一函数名称之目的．
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长． 解：DE BC ＝AE AC 6BC ＝35 BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．解：因为DE∥BC，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长． 解：设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x ，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB.连结BD 、EC ，若BD∥EC，求△BCD 和四边形ABCD 的面积．解：S △BCD ＝S △BDE ＝12·BE ·DF ＝12×1×3＝32，S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝12·AE ·DF ＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，求△ADF 的面积． 解：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． (4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定 ①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1 平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴ AD∥EF∥BC.∵ E是AB的中点，∴ F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴ EF是DC的垂直平分线，∴ ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E ，交边BC 于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM∥EN，∴ AD ∶AB ＝NM∶MB，NM ∶MC ＝AE∶AC. ∵ MB ＝MC ，∴ AD ∶AB ＝AE∶AC. 题型2 三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC≌△DCB； (2) DE·DC＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC≌△BCD，∴ ∠ACB ＝∠DBC，∠ABC ＝∠DCB，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC， ∴ ∠EDA ＝∠DBC，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD. ∴ DE ∶BD ＝AE∶CD， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF⊥EC，且EF 交AB于F ，连结FC.设ABBC ＝k ，是否存在实数k ，使△AEF、△ECF、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF. 因为EF⊥EC，所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE. 而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF.又∠CEF＝∠EAF＝90°， 所以△AEF∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF∽△BCF，由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC， 因此要使△AEF∽△BCF，应有∠AFE＝∠BF C ， 此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF∽△DCE，可知AE AF ＝CDDE，因此，⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC 2＝13AB 2，所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB＝CD 3.证明：∵ ∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ，∴ AD 2＝AE·AC，BD 2＝BF·BC.∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC ·BC ＝AB·CD，∴ CD 4＝AE·BF·AB ·CD ，即AE·BF·AB＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD 中，AD∥B C ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC ＝45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H.求证：FG 2＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.证明：因为AC⊥BD，故△AED、△BEC 都是直角三角形． 又EF⊥AD，EG ⊥BC ，由射影定理可知AF·DF＝EF 2，BG ·CG ＝EG 2.又FG 2＝(FE ＋EG)2＝FE 2＋EG 2＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC ＝45°，如图，过点H 、A 分别作直线HM 、AN 与BC 垂直，易知，AH ＝2FE ，BH ＝2EG ，故AH·BH＝2EF·EG.所以FG 2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1. 如图，在 ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，求BM －DN 的值． 解：∵ E、F 为BD 的三等分点，四边形为平行四边形， ∴ M 为BC 的中点．连CF 交AD 于P ， 则P 为AD 的中点，由△BCF∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点， ∴ BM －DN ＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB∥CD.证明：由△ABC≌△BAD 得∠ACB＝∠BDA， 故A 、B 、C 、D 四点共圆， 从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD 得∠CAB＝∠DBA. 因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，BD 交EF 于P ，已知EP∶PF＝1∶2，AD ＝7 cm ，求BC 的长．解：EF 是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴ PE AD ＝PE 7＝BE AB ＝12，PF BC ＝FD CD ＝12. ∵ PE ∶PF ＝1∶2, ∴ BC ＝2PF ＝14cm.4. 如图，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P 是线段AC 上一点，BP 交AO 于点D ，设三角形ADP 的面积为S ，点P 的坐标为(x ，y)，求S 关于x 的函数表达式．解：如图，作PE⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则PE ＝x ，PF ＝y. ∵ OA ＝OB ＝OC ＝1，∴ ∠ACO ＝∠FPC＝45°， ∴ PF ＝FC ＝y ，∴ OF ＝OC －FC ＝1－y ， ∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴ OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x ， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD ·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2. 解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在 ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF∽△CEB；(2) 若△DEF 的面积为2，求 ABCD 的面积． (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C，AB ∥CD ，∴ ∠ABF ＝∠CEB， ∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n ， ∴ AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n . 又EG∥BC，FG ∥AD ，∴ AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n ， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n ·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd(或a∶b＝c∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位． (2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bc ＝d a.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2014版高考数学一轮总复习 第12讲 函数与方程课件 理 新人教A版
1 B．(0,1)，f(2) 1 1 D．(0，2)，f(4)
1 1 【解析】因为 f(0)<0，f(2)>0，所以 f(0)· 2)<0， f( 1 0＋2 1 1 则 x0∈(0，2)，第二次计算 f( 2 )＝f(4)，故选 D.
3.方程 0.9x－x＝0 的实数解的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
【解析】 (2)函数 f(x)的零点个数， 即为方程 f(x)＝0 的根的 个数．
x>0 x≤0 由 2 或 ， －2＋lnx＝0 x ＋2x－3＝0
得 x＝－3(x＝1 舍去)或 x＝e2，有两根， 故函数 f(x)的零点个数为 2，选 B.
二
二分法
【例 2】 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内 的一个零点(精确度为 0.1)．
【解析】 由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， 所以 f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算列表如下： 端(中)点 中点函数值 零点所在区间 |an－bn| 坐标 符号 [1,1.5] 1.25 1.375 1.3125 f(1.25)<0 f(1.375)>0 [1.25,1.5] [1.25,1.375] 0.5 0.25 0.125
f(1.3125)<0 [1.3125,1.375] 0.0625
因为|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1， 所 以 函 数 的 零 点 落 在 区 间 长 度 小 于 0.1 的 区 间 [1.3125,1.375]内， 故函数零点的近似值为 1.3125.
2014高考数学总复习一轮用书与名师对话4-5
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与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·数学（理）
(对应学生用书 P88)
1.三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、 和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数 式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式 的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式 的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分 母尽量不含根式等．
1 3 2 2 6 3 4 3 5 ＝ × ＋ × ＝ ＋ ＝ 3. 3 3 3 3 9 9 9 (2)原式＝tan(25° ＋35° )(1－tan25°tan35° · )＋ 3tan25°tan35° · ＝tan60° －tan60°tan25°tan35° 3tan25°tan35° 3. · · ＋ · ＝
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2．三角函数式的求值主要有两种类型：给角求值，给值求 值．无论是给角求值还是给值求值，解题的关键都是找出条件 中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择 合适的公式．
三角函数求值的关键是寻求已知角与未知角之间的和差关 系．
注意角隐含范围的挖掘，尽量使角的范围缩小．
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(2011 年天津)已知函数
π f(x)＝tan2x＋4.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)设
α π α∈0， ，若 f ＝2cos 4 2
∴cos ＝cos
π π β β α＋ ＝cos ＋α － － 2 4 4 2 π π β π π β ＋α cos － ＋sin ＋αsin － 4 4 2 4 4 2
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章 平面向量与复数第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示1. (必修4P 75习题2.3第3题改编)若向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－9)，且a∥b ，则实数x ＝________．答案：－6解析：a∥b ，所以2×(－9)－3x ＝0，解得x ＝－6.2. (必修4P 75习题2.3第2题改编)若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝________． 答案：(－2，－4)解析：BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(－2，－4)．3. (必修4P 74例5改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ＝________．答案：－1解析：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，∵ 向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴ (λ＋2)×(－2)＝2λ×1，解得λ＝－1.4. (必修4P 75习题2.3第5题改编)已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 解析：设D(x ，y)，则由BC →＝2AD →，得(4，3)＝2(x ，y －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，2（y －2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.5. 已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2.若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________．答案：8解析：∵ A、B 、D 共线，∴ AB →与BD →共线，∴ 存在实数μ，使AB →＝μBD →.∵ BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2，∴ 3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ（λ－2）＝3，4μ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝8.1. 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b x 1y 2－x 2y 1＝0.[备课札记]题型1 向量的坐标运算例1 已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标．解：∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴ CA →＝(1，8)，CB →＝(6，3)，∴ CM →＝3CA →＝(3，24)，CN →＝2CB →＝(12，6)．设M(x ，y)，则有CM →＝(x ＋3，y ＋4)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，∴ M 点的坐标为(0，20)．同理可求得N 点的坐标为(9，2)，因此MN →＝(9，－18)．故所求点M 、N 的坐标分别为(0，20)、(9，2)，MN →的坐标为(9，－18)．备选变式（教师专享）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________． 答案：(－3，－5)解析：由题意，得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．题型2 向量共线的条件例2 已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，求m 的值． 解：a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)．∵ (a ＋b )∥c ，∴ 1－1＝m －12，∴ m ＝－1.变式训练已知向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)，若a ∥b ，求实数k 的值． 解：(解法1)∵ a ∥b ，∴ 存在实数λ，使b ＝λa ，∴ (－3，k)＝(6λ，2λ)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝－3，2λ＝k ，∴ k ＝－1.(解法2)∵ a ∥b ，∴ －36＝k2，∴ k ＝－1.题型3 平面向量基本定理例3 如图，已知△ABC 的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD∶DB＝BE∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于P.设存在λ和μ使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1) 求λ及μ； (2) 用a 、b 表示BP →； (3) 求△PAC 的面积．解：(1) 由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，即23a ＋μ(13a ＋b )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b . ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，μ＝23λ，解得λ＝67，μ＝47. (2) BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3) 设△ABC、△PAB、△PBC 的高分别为h 、h 1、h 2， h 1∶h ＝|PD →|∶|CD →|＝μ＝47，S △PAB ＝47S △ABC ＝8.h 2∶h ＝|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17，S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴ S △PAC ＝4.备选变式（教师专享）如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．答案：12解析：由B 、H 、C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x)AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH→＝12xAB →＋12(1－x)AC →. 又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x)＝12.1. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)满足p∥q ，则C ＝________．答案：π4解析：由p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S)且p ∥q ，得4S ＝a 2＋b 2－c 2，即2abcosC ＝4S ＝2absinC ，所以tanC ＝1.又0＜C ＜π，所以C ＝π4.2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边，且3aBC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，则a∶b∶c＝________．答案：20∶15∶12解析：∵ 3a BC →＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ 3a(BA →＋AC →)＋4bCA →＋5cAB →＝0，∴ (3a －5c)BA →＋(3a －4b)AC →＝0.∵ 在△ABC 中，∴ BA →、AC →不共线，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝5c ，3a ＝4b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝35a ，b ＝34a.∴ a ∶b ∶c ＝a∶34a ∶35a ＝20∶15∶12.3. (2013·北京文)向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R )，则λμ＝________．答案：4解析：以向量a 、b 的交点为原点作直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ＝λ(－1，1)＋μ(6，2) ⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4. 4. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一条直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy≠0)，则4x ＋y 的最小值是________．答案：94解析：因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)．又AB →＝1x AM →，AC→＝1y AN →，所以AE →＝14x AM →＋14yAN →. 因为M 、E 、N 三点共线，所以14x ＋14y＝1，所以4x ＋y ＝(4x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋14y ＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝94.1. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案：1＋32 32解析：(解法1)以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．令AB ＝2，则AB →＝(2，0)，AC →＝(0，2)，过D 作DF⊥AB 交AB 的延长线为F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3，3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x ，2y)．即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.(解法2)过D 点作DF⊥AB 交AB 的延长线为F.由已知可求得BF ＝DF ＝32AB ，AD →＝AF →＋FD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 2. 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若AP →＝AB →＋λ·AC →(λ∈R )，试问：(1) λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上； (2) λ为何值时，点P 在第三象限．解：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP →＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．由AP →＝AB →＋λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ，∴ 点P 坐标为(5＋5λ，4＋7λ)． (1) 若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴ λ＝12.(2) 若点P 在第三象限内，则5＋5λ<0且4＋7λ<0， ∴ λ<－1.3. 如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.4. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求1x ＋1y的值．解：设AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝x a ，AN →＝y b ，AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )．∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y＝4.1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]。
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第3讲 平面向量的数量积A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )．A ．－32B.32C ．2D ．6解析 由a ·b ＝3×2＋m ×(－1)＝0，解得m ＝6. 答案 D2．(2013·东北三校联考)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )．A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23， ∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4.答案 A3．(2011·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝ ( )．A ．4B ．3C ．2D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．(2012·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP→＝－32，则λ等于( )． A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP→＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.] 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 解析 以AB→，AD →为基向量，设AE →＝λAB →(0≤λ≤1)，则DE →＝AE →－AD →＝λAB →－AD →，CB →＝－AD →，所以DE →·CB →＝(λAB →－AD →)·(－AD →)＝－λAB →·AD →＋AD →2＝－λ×0＋1＝1.又DC →＝AB →，所以DE →·DC →＝(λAB →－AD →)·AB →＝λAB →2－AD →·AB →＝λ×1－0＝λ≤1，即DE →·DC →的最大值为1. 答案 1 16．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则AB →＝(2，0)，AE →＝(2，1)，设F (t,2)，则AF→＝(t,2)．∵AB →·AF →＝2t ＝2，∴t ＝1， 所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 答案2三、解答题(共25分)7．(12分)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7.(1)求a ，b 夹角的大小； (2)求|3a ＋b |的值．解 (1)设a 与b 夹角为θ，(3a －2b )2＝7，即9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，而|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12， 又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.(2)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a ＋b |＝13.8．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解 (1)由题设知AB→＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则 AB→＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析 设P 点坐标为(x,0)，则AP→＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C2．(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且ab 和ba 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中，则ab ＝ ( )．A.12B ．1C.32D.52解析 由定义αβ＝α·ββ2可得ba ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |，由|a |≥|b |>0，及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4得0<|b |cos θ|a |<1，从而|b |cos θ|a |＝12，即|a |＝2|b |cos θ.ab ＝a ·b b 2＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以22<cos θ<1，所以12<cos 2θ<1，所以1<2cos 2θ<2.结合选项知答案为C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析 由已知a ·c －b ·c ＝0，a ·b ＝0，|a |＝1， 又a ＋b ＋c ＝0，∴a ·(a ＋b ＋c )＝0，即a 2＋a ·c ＝0， 则a ·c ＝b ·c ＝－1，由a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， 即a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＝－4c ·a ＝4，即|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案 44．(2012·安徽)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b ，而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号． 答案 －98 三、解答题(共25分)5．(12分)设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 6．(13分)(2012·东营模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形.。