第8讲 专题复习之二次函数

已知抛物线y=4

1x 2，点M (－4，t ) 为抛物线上一点，过点M 作抛物线的两条弦MD 和MC ，且MD MC ，

判断直线DC 是否经过定点?并说明理由.

己知抛物线y=－x2＋2a x－a2－a＋1的顶点A在直线l上.

(1)求直线l的解析式.

(2)如图2，当a= －1时，过原点任作一条直线与抛物线交于G、F两点.若···线上存在点D，使

∠GDF= 90°，求D点坐标.

如图1，已知抛物线C 1 ：y= ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A (－

3

16，0)，B (6，0)两点，与y 轴正半轴交于点C ,且tan ∠ ABC =

34. (1)求该抛物线C 1的解析式.

（2）如图2，将原抛物线C 1绕着某点旋转180°，得到的新抛物线C 2的顶点为坐标原点，点F (0，1)，点Q 是y 轴负半轴上一点，过Q 点的直线PQ 与抛物线C 2在第二象限有唯一公共点P ， 过P 分别作PG ⊥PQ 交y 轴与G , PT //y 轴， 求证:∠TPG= ∠FPG .

已知抛物线y=－2

1 x

2 点P (0，1)为y 轴上一点，E 为抛物线上y 轴左侧的一个动点，从点E 发出的光线－沿EP 方向经过y 轴上反射后与此抛物线交于另一点F ，则当点E 的位置发生变化时，直线EF 是否经过某个定点?如果是，请求出此定点的坐标，如果不是，说明理由.

练习6

抛物线y= 2

1x 2 － 6与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C . 如图，直线y=－2x ＋m 交抛物线于M 、N 两点，点P 是第四象限抛物线上一点，连接MP ，NP ，NP 延长线交x 轴于点D ，若∠MPN = 2∠ADP ，点P 的坐标.

例题：如图1, 抛物线y=ax 2 ＋4ax ＋43交x 轴于A 、B (A 在B 的左侧)，过A 点的直线y=kx ＋3k (k>41)交抛物线于另一点C (x 1，y 1), 交y 轴于M .

(1) 直接写出A 点坐标，并求a 的值.

(2) 连BC ，作BD BC 交A C 于D ，若CB=5BD ，求k 的值.

(3) 设P (－1，－2)，如图2，连CP 交抛物线于另一点E (x 2，y 2)，连AE 交y 轴于N .请你探究OM·ON 的值的变化情况，若变化，求其变化范围 ；若不变，求其值.

已知抛物线y=4

1x 2，点M (－4，t ) 为抛物线上一点，过点M 作抛物线的两条弦MD 和MC ，且MD MC ，判断直线DC 是否经过定点?并说明理由.

解：将M (－4，t ) 代入y=41

x 2，t =4， M (－4，4)

设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，

过点M 作l //y 轴，过点C 作CE//x 轴，过点D 作DF l 于F ，

MD CM ， ∠CMD=90°， ∠FDM ＋∠DMF=∠DMF ＋∠CME ，

∠FDM=∠CME ， 又 ∠MFD=∠CEM=90°

Rt △DMF ∽Rt △MEC ， ME DF =EC FM

，即 1244y x =4

4

12 x y ，

点C ，D 在抛物线上， 21

24144x x =44

41

1

2

2 x x ，整理得4(x 1＋x 2)－x 1

x 2=80，

设直线CD 的解析式为y=kx ＋b ，联立

b

kx y x y 241

，整理得 x 2－4kx －4b=0

，

x 1＋x 2=4k ， x 1x 2=－4b ， 4×4k －(－4b )=80 ，整理得 b=20－4k ，

直线CD 的解析式为y=kx ＋b=kx ＋20－4k=k (x －4)＋20

直线CD 过定点(4，20)

己知抛物线y=－x 2＋2a x －a 2 －a ＋ 1的顶点A 在直线l 上.

(1)求直线l 的解析式.

解：抛物线y=－x 2＋2ax －a 2 －a ＋1=－(x －a )2－a ＋1

的顶点在A 在直线l 上，则 y=－x ＋1

(2)求证:不论a 为何值，抛物线与直线l 的交点的距离恒为定值.

解：联立y=－x 2＋2ax －a 2 －a ＋1， y=－x ＋1，－x 2＋2ax －a 2 －a ＋1=－x ＋1

x 2－(2a ＋ 1)x －a 2 －a=0，x 1＋x 2=(2a ＋ 1)，x 1x 2=－a 2 －a ，(x 1－x 2)2=1，(y 1－y 2)2=1，

抛物线与直线l 的交点的距离恒为定值1

(3)如图2，当a= － 1时，过原点任作一条直线与抛物线交于G 、F 两点.若···线上存在点D ，使

∠GDF= 90°，求D 点坐标.

解：将a= － 1代入，得 y=－x 2－2x ＋1，

设直线FG ：y=kx ，联立，

122x x y kx y ， x 2＋(2＋k )x －1= 0， x F ＋x G =－2－k ，x F ·x G =－1，由图中2个三角形相似知，

F D F D y y x x =D

G G D x x y y ， 又y D －y F =－x D 2－2x D ＋x F 2＋2x F =(x F －x D )(x F ＋x D ＋2)，同理y D －y G =(x G －x D )(x G ＋x D ＋2)， 2

1 D F x x =(x G ＋x D ＋2)， (x F ＋x D ＋2)(x G ＋x D ＋2)=－1， (x F ＋x D )(x G ＋x D )＋2(x F ＋x D )＋2(x G ＋x D )=－1， x F· x G ＋x F·x D ＋x D·x G ＋·x D 2＋2(x F ＋x G ＋2x D )=－1 － 1＋x D (x F ＋x G )＋·x D 2＋2(x F ＋x G )＋4x D =－1，x D 2＋x D (－2－k )＋2(－2－k )＋4x D =－4，

x D 2＋2x D －k (x D ＋2)=0， 与k 无关，x D =－2，D (－2，1)，