平面与平面垂直的判定

E
图形表示
β
β α α
注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
当我们把门打开时，门所在的平面与地面是什么位 置关系？
思考4 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？


平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号表示:
a a 面


∴平面AEC⊥平面PBD.
探究点一 ：平面与平面垂直的性
质定理
探要点、究所 然
例 1 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，AC∩BD ＝O，试判断平面 BDE 与平面 AA1C1C 的关系，并说明理由．
探究点一 ：平面与平面垂直的性
质定理
探要点、究所 然
解 平面 AA1C1C⊥平面 BDE. 理由如下：
∴B1C⊥平面A1BCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
又B1C平面AB1C，∴平面A1BC1⊥平面AB1C.
[例2]
如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是
⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，
AF⊥PC于F，求证：
(1)平面AEF⊥平面PBC； (2)PB⊥EF. [思路点拨] (1)用面面垂直的判定定理；
(2)先证线面垂直，再证线线垂直．
内分别作 垂直 于棱l的两条射线OA和OB，则这两条射线 平面角是 OA和OB所成的角∠AOB叫作二面角的平面角，
直角的二面角叫作直二面角．
A

O
0 ， 1 80 2.二面角的取值范围 .
l
B
β
思考2
AOB的大小与点O在l上的位置有关系吗？
平面角的大小与棱 上点的选取无关.
3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形， B1C⊥A1B，
求证：平面A1BC1⊥平面AB1C.
3．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面B1C1CB是菱形， B1C⊥A1B， 求证：平面A1BC1⊥平面AB1C. 证明：∵侧面B1C1CB是菱形， ∴B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B. A1B∩BC1＝B，
A
为什么？

l
O
B
β
求二面角的平面角
求二面角C1 AB C的平面角. 45
D1 B1
C1
A1
N M D C
A
B
思考3
教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？
分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？
P
α
平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直. 记作 α A a B β C D b
ι
p
γ P
β
β
B
α
A
β
B
α
β
A
②点P在二面角内 —垂面法
ι
O
p
B
α
A
3.两个平面垂直的判定定理的内容. （1）定义法： 找二面角的平面角 说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。） （2）判定定理： 要证两个平面垂直， 只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。（线面垂直面面垂直） 线线垂直 线面垂直 面面垂直
∴PA⊥BC，
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O直径，
∴∠BCA＝90°， 即BC⊥CA
又∵ PA与AC是△PAC所在平面内 的两条相交直线，
∴ BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内， ∴平面PAC⊥平面PBC.
[例1]
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，
PD⊥平面ABCD.点E在侧棱PB上，
∴BC⊥平面ADE，
又BC平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADE.
5．已知三棱锥A－BCD中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，AB＝BC，E、F分别 AE AF 在AC，AD上且AC＝AD＝λ(0<λ<1)． (1)求证：平面BEF⊥平面ABC. (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.
AE AF 解：(1)证明：∵AC＝AD，∴EF∥CD. 又∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∴EF⊥AB. ∵BC⊥CD，∴EF⊥BC.又AB∩BC＝B， ∴EF⊥平面ABC.又EF平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ABC.
a

则面面垂直
线面垂直
如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90° ,P为△ABC所在平 面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直， 为什么？ P
PA 面ABC 面PAC 面ABC PA 面PAC
PA 面ABC 面PAB 面ABC PA 面PAB
∵AA1⊥平面 ABCD，AA1⊂平面 AA1C1C， ∴平面 AA1C1C⊥平面 ABCD. 又∵BD⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 AA1C1C＝AC，AC⊥BD， ∴BD⊥平面 AA1C1C，
∴平面 BDE⊥平面 AA1C1C.
1．如图在四面体 A－BCD 中，BD＝ 2a，AB＝ AD＝CB＝CD＝AC＝a，
半平面
半平面
半平面
二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

Q
记为：二面角
l
l

P
简记：
P l Q
思考1
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，
我们应该怎么刻画二面角的大小？
二面角的平面角：
以二面角的棱上 任一点为端点，在两个半平面α和β
求证：平面AEC⊥平面PBD.
[例1]
如图，四棱锥P－ABCD的底面
ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.点E在侧 棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PBD.
[精解详析]
∵PD⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，
[一点通]
解决直线、面面垂直关系要注意三种
垂直关系的转化关系：即
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．
4．四面体ABCD中，△BCD，△ABC是全等三角形，且
AB＝AC，E为BC的中点． 求证：平面ADE⊥平面ABC. 证明：∵△BCD与△ABC全等，且AB＝AC， ∴BD＝DC，又E为BC的中点． ∴AE⊥BC，DE⊥BC.又AE∩DE＝E，
[精解详析]
(1)∵AB是 ⊙O的直径，C在圆上
∴AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.又AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.又AF平面PAC，
∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC＝C，
∴AF⊥平面PBC.又AF平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC
(2)由(1)知AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF， ∴PB⊥EF.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：∵△ABD是等腰三角形， ∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD， 1 2 在△ABD中，AB＝a，BE＝2BD＝ 2 a， 2 2 ∴AE＝ AB －BE ＝ 2 a.同理CE＝ 2 a. 2 在△AEC中，AE＝CE＝ 2 a，AC＝a，
2 2
∴AC2＝AE2＋CE2， ∴AE⊥CE，又BD∩CE＝E，∴AE⊥平面BCD. 又AE平面ABD.
A B
C
CB 面PAB 面PBC 面PAB CB 面PBC
例1
如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是
圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找出在一个面
内与另一个面垂直的
直线. BC⊥平面PAC
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有 PA⊥α，BC在α内，
2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC， CD＝DA， E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点． 求证：平面BEF⊥平面BGD.
2．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对
角线AC的中点． 求证：平面BEF⊥平面BGD. 证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点， ∴BG⊥AC，DG⊥AC， 又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG. ∴EF⊥平面BGD. ∵EF平面BEF， ∴平面BDG⊥平面BEF.
2.3.2
平面与平面垂直的判定
（1）正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直 二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（重点） （3）体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。（难点）
水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与 水平面要成一个适当的角度.
1 (2)当λ＝2时，平面BEF⊥平面ACD，证明如下： 由(1)知EF⊥平面ABC，BE平面ABC， ∴EF⊥BE， 1 ∵当λ＝2时，E为AC的中点，又AB＝BC， ∴BE⊥AC.又AC∩EF＝E. ∴BE⊥平面ACD.又BE平面BEF. ∴平面BEF⊥平面ACD.
α
ι
一、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所 ι 组成的图形叫做二面角 二、二面角的平面角 1.定义 2.求二面角的平面角的方法 ①点P在棱上 —定义法