2019湘教版数学选修2-2分层训练：4-3-2函数的极大值和极小值含解析

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湘教版高中数学选修2-2同步精练：4.3.2 函数的极大值和极小值含解析

1．有下列四个函数:①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x。

其中在x＝0处取得极小值的函数是( ）．A．①②B．②③C．③④D．①③2．函数y＝x－sin x在错误!上的最大值为( ）．A．错误!B．错误!－1 C．πD．π－13．关于函数的极值，下列说法正确的是( )．A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x）在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在（a，b）内有极值，那么f(x）在（a，b）内不是单调函数4．已知函数f(x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x）的（）．A．极大值为0，极小值为－错误!B．极大值为错误!，极小值为0C．极小值为－错误!，极大值为0 D．极小值为0，极大值为错误!5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点,则a的范围是（）．A．(－1,＋∞）B．（1，＋∞）C．（－∞，－1) D．(－∞，1）6．若函数f（x）＝x3－6bx＋3b在(0，1)上有极小值,则实数b 的取值范围为__________．7．若f（x）＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形,记S＝错误!,则S的最小值是__________．9．已知函数f(x）＝x－2x＋a(2－ln x），a>0。

讨论f（x）的单调性．10．设函数f（x)＝x3－6x＋5,x∈R.(1)求函数f（x）的单调区间和极值；（2)若关于x的方程f(x）＝a有三个不同实根,求实数a的取值范围；(3）已知当x∈（1,＋∞)时，f(x）≥k（x－1)恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案1．B ①与④在R上是增函数,取不到极值，由极值定义，结合图象知②③在x＝0处取得极小值．2．C ∵y′＝1－cos x≥0，∴y＝x－sin x在错误!上是增函数．∴当x＝π时,y max＝π.3．D4．B ∵f(x）与x轴切于点(1，0）,f′（x)＝3x2－2px－q,∴f′(1）＝3－2p－q＝0.又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x.∴f′(x)＝3x2－4x＋1。

高中湘教版数学选修2-2当堂检测：4-3-3三次函数的性质：单调区间和极值 Word版含解析

4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4，∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0，故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，时，y ′＞0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．(2012·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为 ( )A.B. C. D.答案 A 解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．(2)求最值的步骤：①求出函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．。

2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章4.3.2函数的极大值和极小值含解析

4．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值点与极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．3．极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能即有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0；当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值，且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 列表：当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求函数的导数f ′(x )；(2)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(3)列表，方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．要注意函数的定义域．1．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.极值的逆运用已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根．即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)可得f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． [自主解答] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．在本例(2)中，若将“曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点”改为“曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点”呢？解：由于曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点， ∴f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧527＋a >0，a －1<0，解得－527<a <1.即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－527，1.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．解：f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．a为何值时，方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思]方程x3－3x2－a＝0根的个数，即为直线y＝a和函数f(x)＝x3－3x2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f(x)＝x3－3x2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解]令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R，由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.所以当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0.函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4，如图所示，故当a＞0或a＜－4时，原方程有一个根；当a＝0或a＝－4时，原方程有两个不等实根；当－4＜a＜0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4 D．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5. 答案：D2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．答案：D3．若a ＞0，b ＞0，且函数ƒ(x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析：函数的导数为ƒ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数ƒ(x )在x ＝1处有极值，可知函数ƒ(x )在x ＝1处的导数值为零，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案：D4．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：f ′(x )＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4. 当x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＜0；x ∈(0,4)时，f ′(x )＞0， ∴x ＝4时f (x )取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－195．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为__________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)6．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ 4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．一、选择题1．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：令y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值解析：由导函数的图象可知：x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，即x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x ＝0取得极大值，x ＝2取得极小值，x ＝4取得极大值，因此选C.答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A ．x ＝π2为f (x )的极小值点B ．x ＝π2为f (x )的极大值点C ．x ＝3π4为f (x )的极小值点D ．x ＝3π4为f (x )的极大值点解析：∵f (x )＝e x sin x ， ∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ) ＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增，f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减， ∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：46．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )，由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)7．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题9．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a 和b 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．10．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4. (1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0. 解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点 ”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]．。

数学选修2-2配套课件：4-3-2函数的极大值和极小值

要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)
或
即k＜－4或k＞4. ∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
遇到”仁”的事情的时候，对老师也不必谦让。
选文1
叔孙武叔毁仲尼，子贡曰：“无以为也。仲尼不可毁也，他人之贤者，丘陵也，犹可逾也；仲尼，日月也，无得而逾焉。人虽欲自绝，其何伤于日月乎？多见其不知量也。”
“无类”指什么？
一、不分身份、地位均要教育。
二、不管品行、习性，对所有的人都平等地加以教育。
选文1
子曰：“有教无类。”
【译文】孔子说：“人人我都教育，没有区别！
选文2
子曰：“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也。”
•【译文】孔子说：“中上等天赋的人，可以同他研究高深的学问；中下等天赋的人，不可以同他讨论高深的学问。”
况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴
的交点个数，从而判断方程根的个数．
跟踪演练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解 f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数， f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数． f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k， f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
【译文】
叔孙武叔诽谤孔子。子贡说：“不要这样吧，孔子是诽谤不了的，其他人的贤良，象丘陵一样，还可以超越；孔子却象日月，别人没法超过。虽然有人要自绝于日月，但对日月又有什么损伤？只能表明他不自量而已。”
【评析】
写子贡面对叔孙武叔的诋毁，运用比喻、对比的手法，理直气壮地表达了自己的观点，表现孔子的出类拔萃

高中数学新湘教版选修2-2函数的极大值和极小值

4．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值点与极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．3．极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能即有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0；当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值，且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 列表：当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求函数的导数f ′(x )；(2)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(3)列表，方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．要注意函数的定义域．1．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根．即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)可得f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． [自主解答] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．在本例(2)中，若将“曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点”改为“曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点”呢？解：由于曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点， ∴f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧527＋a >0，a －1<0，解得－527<a <1.即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－527，1.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)，求函数f (x )的单调区间与极值点．解：f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如下表：a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2，则f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ＞0或a ＜－4时，原方程有一个根；当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根；当－4＜a ＜0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5. 答案：D2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．答案：D3．若a ＞0，b ＞0，且函数ƒ(x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为ƒ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数ƒ(x )在x ＝1处有极值，可知函数ƒ(x )在x ＝1处的导数值为零，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案：D4．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：f ′(x )＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4. 当x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＜0；x ∈(0,4)时，f ′(x )＞0， ∴x ＝4时f (x )取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－195．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为__________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)6．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ 4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．一、选择题1．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( )A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：令y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值解析：由导函数的图象可知：x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，即x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x ＝0取得极大值，x ＝2取得极小值，x ＝4取得极大值，因此选C.答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A ．x ＝π2为f (x )的极小值点B ．x ＝π2为f (x )的极大值点C ．x ＝3π4为f (x )的极小值点D ．x ＝3π4为f (x )的极大值点解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ) ＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增，f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减， ∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：46．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )，由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)7．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题9．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点． (1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．10．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4. (1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0. 解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点 ”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]．。

2019-2020年湘教版数学选修2-2配套课件：4-3-2函数的极大值和极小值

这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么
f(x)在这个根处无极值．
跟踪演练1 求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值．解函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 1. 令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.
规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间
分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0
＋
f(x)
3
因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
要点二利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值； (2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，
高中数学·选修2-2·湘教版
4.3.2 函数的极大值和极小值
[学习目标]
1．了解极大(小)值的概念；结合图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2．能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值，极小值．
[知识链接]
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点

高二数学配套课件4.3.2 函数的极大值和极小值(湘教版选修2-2)

值点， f(c) 为f(x)的一个极大(小)值．极大值，极小值统称
f(c) ，极大值点和极小值点统称为极值点．
2 ．如果函数 f(x) 在某(x)； (2)求f(x)的驻点，即求 f′(x)＝0 的根； (3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正(负) ，右侧附近为负(正) 驻点处取得极大(小)值．，那么函数y＝f(x)在这个
要点阐释
1．函数极值概念的理解 (1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左、右邻域都有意义． (2)按定义，极值点xi是区间[a，b]内部的点(如图)，不会是端点a，b.
(3) 若f(x) 在 (a ， b) 内有极值，那么 f(x) 在(a， b) 内绝不是单调
函数，即在区间上单调的函数没有极值． (4) 极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． (5)不可导函数也可能有极值点(例如函数y＝|x|，它在点x＝0
2
－x
解 (1)函数的定义域为R.
x2 x f′(x)＝ x ′＝ e
2
′ex－ex′x2 ＝2xe－x－x2e－x x 2 e
＝x(2－x)e x.
－
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，0) 0 (0,2) － 0 0 ＋ 2 0 4e－2 (2，＋∞) －
又y′＝3(x＋3)(x－3)， ∴y′>0⇔x<－3或x>3； y′<0⇔－3<x<3，故x＝－3是函数的极大值点， ∴y极大值＝f(－3)＝54. 答案 54
函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为__ 4．

2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：模块综合检测含答案

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则 z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限．答案：D2．已知f (x )＝x (2 018＋ln x )，f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ·1x ＝2 019＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 019，得ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案：B3．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．以上都不对解析：取F (x )＝x 2－x 3，则F ′(x )＝2x －3x 2. ∴⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝F (k )－F (0)＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝1或k ＝0(舍去)．答案：B4．曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.答案：C5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3解析：因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 答案：A6.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ―→⊥AB ―→时，其离心离为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )．又因为FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A7．用数学归纳法证明“S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)”时，S 1等于( ) A.12B.12＋13C.12＋13＋14D ．以上答案均不正确解析：当n ＝1时，S 1＝11＋1＋11＋2＋13＋1＝12＋13＋14.答案：C8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B9．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①②正确，③错误．答案：C10．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2 (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )(e x )′(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．答案：A11．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22解析：因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)．(*)又f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＝e 2x (x ＋1)＋x －1e x ，当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0＝1>0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在[)0，＋∞上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 21<x 22.答案：D12．直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3B ．2C.324D.32解析：当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ， |AB |＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|，则z －＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2， ∴z ＝21＋i ＝2(1－i )2＝1－i ，∴z －＝1＋i.答案：1＋i14．观察下列式子： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出____________________________．解析：根据三个式子的规律特点进行归纳可知， 1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N ＋)．答案：1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N ＋)15．一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，则此汽车在这1 min 行驶的路程为______ m.解析：由速度－时间曲线易知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ， t ∈[0，10]，30， t ∈[10，40]，－1.5t ＋90， t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s ＝⎠⎛0103t d t ＋⎠⎛104030d t ＋⎠⎛4060(－1.5t ＋90)d t ＝1 350 (m)．答案：1 35016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 018个梯形数为a 2 018，则 a 2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a 1, 9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3， …，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z 1； (2)若实数a ，b 满足z 2＋az ＋b ＝1－i ，求z 2＝a ＋b i 的共轭复数．解：由已知得复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5＋5i5＝1＋i.(1) 复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称， (2) 则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z 1＝－1＋i.(2)因为z 2＋az ＋b ＝1－i ，所以(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，因为a ，b ∈R ，所以a ＋b ＝1，且2＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝4，所以复数z 2＝－3＋4i ，所以z 2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－1)，且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式； (2)f (x )的单调递增区间．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－1)，得a ＋b ＝－2. ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， ∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x ＋1. (2)∵f ′(x )＝3x 2－3，∴由f ′(x )>0，得x >1或x <－1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．20．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ca n ＋c n ＋1(2n ＋1)(n ∈N ＋)，其中实数c ≠0.求{a n }的通项公式．解：a 2＝ca 1＋c 2·3＝3c 2＋c ＝(22－1)c 2＋c ， a 3＝ca 2＋c 3·5＝8c 3＋c 2＝(32－1)c 3＋c 2， a 4＝ca 3＋c 4·7＝15c 4＋c 3＝(42－1)c 4＋c 3，猜测a n ＝(n 2－1)c n ＋c n －1，n ∈N ＋. 下面用数学归纳法证明．当n ＝1时，等式成立．假设n ＝k 时，等式成立，即a k ＝(k 2－1)c k ＋c k －1，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝ca k ＋c k ＋1(2k ＋1)＝c [(k 2－1)c k ＋c k －1]＋c k ＋1(2k ＋1) ＝(k 2＋2k )c k ＋1＋c k ＝[(k ＋1)2－1]c k ＋1＋c k . 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综上，{a n }的通项公式为a n ＝(n 2－1)cn＋c n －1(n ∈N ＋)．21．(本小题满分12分)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N ＋)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x ＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79，则g ′(x )＝50⎝⎛⎭⎫1－900x 2，由g ′(x )＝0及x ∈N ＋得，x ＝30. 易知当x ＝30时，g (x )取得最小值.所以要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为30层． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，求实数a 的值．解：(1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e ，∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减， ∴f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. (2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与g (x )的图象相切的直线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e， ∴⎩⎨⎧ln x 0＋1＝3ax 20－12，－x 0＝－2ax 3－23e，解得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e 26.。

湘教版高中数学选修2-2《函数的极大值和极小值》导学案

4.3.2 函数的极大值和极小值典例剖析题型一函数极值的求法例1.已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值． (1) 求,a b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值；题型二例2.设函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间．分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。

备选题例3：已知函数21)(xx f =+lnx, 求)(x f 的极值.点击双基1、函数y=1+3x-x 3有（）A ．极大值1,极小值-1B ．极小值-2,极大值2C ．极大值3 ,极小值 –2D ．极小值-1,极大值32、函数y=3+mx+x 3有极值的充要条件是（）A ．m>0B ．m<0C ． m ≤0D ．m ≥03、f '(x)在区间（a,b ）的图像如右，则f(x) 区间（a,b ）内有极大值点（）A ．2个B ．3个C ．4个D 4、y=x+x4的极大值为，极小值为5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________.课外作业一．选择题1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件2、函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．53、函数)(x f =-x 3+3x 2-3x+6有（）A ．极大值5B ．极小值5C ．极小值1D ．无极值4、函数a x x x f +-=2332)(的极大值为6，那么a 等于（）A ．6B ．0C ．5D ．115、下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（）①3x y = ②12+=x y ③||x y = ④x y 2=A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③6、函数)(x f =ax 3+3x 2+(a-1)x-5有极值的充要条件是（）A ．a=-3或a=4B ． -3<a<4C ． a>4或a<-3D ． a ∈R7、如右图是函数)x (f y =的导数)(x f '的图象，则)(x f 有（）A ．唯一极值点x=1B ．x=0极大值点，x=2是极小值点C ．x=0极小值点，x=2是极大值点D ．无极值8、函数)(x f =2sinx-x 则有（）A ． x=3π是极小值点, B ．x=6π是极小值点 C ．x=3π是极大值点, D ． x=6π是极大值点二．填空题9、函数()323922y x x x x =---<<的极大值为 .10、函数)(x f =-x-x2的极大值为 . 11、函数y =31x 3－4x +31的极小值为 .三．解答题12、求函数44313+-=x x y 的极值. 13、求函数的极值：y ＝2 e x ＋e x -.14、求函数y ＝x 4－8 x 2 ＋2的极值.思悟小结1.可导函数f （x ）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点.2.求可导函数f （x ）的极值的步骤如下：（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.。

2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值含解析

(－3，
x
－3
－1 (－1,0) 0
(0,1)
1
(1,2) 2
－1)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
极大
极小
极大
f(x) －60

－5
值4
值3
值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6 ＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12；x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
求函数最值的 4 个步骤
[注意] 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
2．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1＝0，
2 若 x＝时，y＝f(x)有极值．
3
(1)求 a，b，c 的值；
(2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
即－16a＋3＝－29，a＝2.
(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
2 －16a＋b
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b

极小值 b

－16a＋b
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值，所以 f(0)＝b＝－29. 又 f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故 f(2)>f(－1)．所以当 x＝2 时，f(x)取得最大值．即－16a－29＝3，a＝－2. 综上所述，所求 a，b 的值为Error!或Error!

湘教版数学选修2-2分层训练：4-3-1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

4.3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性一、基础达标1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y＝12x2－ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)答案 A解析∵y＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－1x，令y′<0，即x－1x<0，解得：0<x<1或x<－1.又∵x>0，∴0<x<1，故选A.3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是() A．增函数B．减函数C．常函数D．既不是增函数也不是减函数答案 A解析求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的 Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B解析显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1 (x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数．故选B.5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或12＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．解f′(x)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．二、能力提升8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案 A解析由f(x)与f′(x)关系可选A.9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有() A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．10．(2013·大纲版)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x 3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以a ≥3.11．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ，由y ′＞0，得x ＞1；由y ′＜0，得0＜x ＜1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎨⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎨⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＞0，得x ＜1－2或x ＞1＋2；令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与创新13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)＞0，即3mx2－6mx＞0，当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).。

2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步练习：4.3.2 函数的极大值和极小值应用案巩固提升 Word版含解析

[A 基础达标]1．已知函数f (x )(x ∈R )，当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )<0 解析：选C.因为f (x )在x ＝1处取极小值，所以x <1时f ′(x )<0，x >1时f ′(x )>0.2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0，1，－1 B.33 C ．－33D.33，－33 解析：选B.由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝⎛⎭⎫x ＝－33舍去.当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0.所以当x ＝33时，f (x )取得极小值．从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点，选B.3．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D.由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可得函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，故选D.4．函数f (x )定义在区间[a ，b ]上，其导函数的图象如图所示，则在[a ，b ]上函数f (x )的极值点个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．7解析：选C.图象与x 轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，且在交点两侧附近导函数值异号，故函数有6个极值点．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：选A .y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0得e x ＝－a ，即x ＝ln(－a )＞0，所以a ＜－1.6．函数y ＝x ·2x 取极小值时x 等于________．解析：y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝2x (1＋x ·ln 2)＝0.所以x ＝－1ln 2.当x ＞－1ln 2时，f ′(x )＞0，函数递增；当x ＜－1ln 2时，f ′(x )＜0，函数递减．所以函数在x ＝－1ln 2时取得极小值．答案：－1ln 27．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：x ＝2是f (x )的极大值点，因为f (x )＝x (x 2－2cx ＋c 2)所以f ′(x )＝x (2x －2c )＋x 2－2cx ＋c 2＝3x 2－4cx ＋c 2，所以f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0.所以c ＝2或c ＝6.当c ＝2时，f (x )在x ＝2处只能取极小值．不能取极大值，所以c ＝6. 答案：68．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．解析：由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.答案：y ＝－1e9．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x 1＝1与x 2＝－23时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0.由题设，知x 1＝1与x 2＝－23为f ′(x )＝0的解．所以－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．所以a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.所以f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1.所以f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：X (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－0 ＋ f (x )极大值极小值所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，递减区间为(－23，1)．当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12.10．已知函数f (x )＝xa 2＋x2，a ＞0.(1)求f ′(0)，f ′(1)的值，并比较它们的大小； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f ′(x )＝（a 2＋x 2）－2x 2（a 2＋x 2）2＝a 2－x 2（a 2＋x 2）2，所以f ′(0)＝1a 2，f ′(1)＝a 2－1（a 2＋1）2.因为f ′(0)－f ′(1)＝1a 2－a 2－1（a 2＋1）2＝3a 2＋1a 2（a 2＋1）2＞0，所以f ′(0)＞f ′(1)．(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表： x (－∞，－a ) －a (－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) －0 ＋0 － f (x )极小值极大值由上表可知函数f (x )在x ＝a 处取得极大值f (a )＝12a ，在x ＝－a 处取得极小值f (－a )＝－12a. [B 能力提升]11．函数y ＝x 3－2ax ＋a在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D.y ′＝3x 2－2a ，因为函数在(0，1)内有极小值，所以y ′＝3x 2－2a ＝0在(0，1)内必有实数解，记f ′(x )＝3x 2－2a ，如图．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＝－2a <0，f ′（1）＝3－2a >0，解得0<a <32，故选D.12．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23 B.43 C.83 D.163解析：选C.由题图可得f (x )＝0的根为0，1，2，故d ＝0，f (x )＝x (x 2＋bx ＋c )，则1，2为x 2＋bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－3，c ＝2，故f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，由图可得x 1，x 2为3x 2－6x ＋2＝0的根，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝83.13．设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1，4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0的两个根分别为1，4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0，(*)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12. 又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0.故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，因为f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点，所以f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a ，所以Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0， Δ＝9（a －1）（a －9）≤0，得a ∈[1，9]，即a 的取值范围为[1，9]． 14．(选做题)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，所以当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－a，a)．(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(－3，1)．。

数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.3.2 函数的极大值和极小值 Word版含解析

4．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值点与极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．3．极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能即有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0；当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值，且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 列表：当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求函数的导数f ′(x )；(2)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(3)列表，方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．要注意函数的定义域．1．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根．即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)可得f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． [自主解答] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．在本例(2)中，若将“曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点”改为“曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点”呢？解：由于曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点， ∴f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧527＋a >0，a －1<0，解得－527<a <1.即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－527，1.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)，求函数f (x )的单调区间与极值点．解：f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如下表：a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2，则f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ＞0或a ＜－4时，原方程有一个根；当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根；当－4＜a ＜0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5. 答案：D2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．答案：D3．若a ＞0，b ＞0，且函数ƒ(x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为ƒ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数ƒ(x )在x ＝1处有极值，可知函数ƒ(x )在x ＝1处的导数值为零，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案：D4．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：f ′(x )＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4. 当x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＜0；x ∈(0,4)时，f ′(x )＞0， ∴x ＝4时f (x )取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－195．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为__________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)6．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ 4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．一、选择题1．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( )A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：令y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值解析：由导函数的图象可知：x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，即x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x ＝0取得极大值，x ＝2取得极小值，x ＝4取得极大值，因此选C.答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A ．x ＝π2为f (x )的极小值点B ．x ＝π2为f (x )的极大值点C ．x ＝3π4为f (x )的极小值点D ．x ＝3π4为f (x )的极大值点解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ) ＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增，f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减， ∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：46．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )，由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)7．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题9．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点． (1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．10．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4. (1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0. 解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点 ”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]．。

2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步讲义：4.3.2 函数的极大值和极小值 Wor

姓名，年级：时间：4．3.2 函数的极大值和极小值1.理解极值的有关概念．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．3．会用导数求函数的极大值和极小值．1．极大值点与极大值设函数y＝f(x）在区间（a，b)内有定义，x0是(a,b）内的一个点,若点x0附近的函数值都小于f（x0)（即f（x）＜f(x0），x∈（a，b)），就说f（x0)是函数y＝f(x）的一个极大值，此时x0称为f(x）的一个极大值点．2．极小值点与极小值设函数y＝f(x）在区间(a,b)内有定义，x0是（a,b）内的一个点,若点x0附近的函数值都大于f(x0)（即f(x)＞f（x0），x∈(a,b）)，就说f(x0）是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x）的一个极小值点．3．驻点若f′（c）＝0，则x＝c叫作函数f(x）的驻点．4．求极值的一般步骤(1)求导数f′（x）；(2)求f（x)的驻点，即求f′（x)＝0的根；(3)检查f′（x）在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负,那么函数y＝f（x）在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负,右侧附近为正，那么函数y ＝f(x）在这个驻点处取得极小值．1．判断(正确的打“√"，错误的打“×”)（1)导数值为0的点一定是函数的极值点．（）(2）极大值一定比极小值大．( ）（3)函数f(x)＝错误!无极值．（)答案:（1）×(2)×(3）√2．如图是导函数y＝f′（x）的图象，在标记的点________处，函数y＝f（x)有极大值（)A．x2B．x3C．x5D．x4答案：B3．函数y＝1＋3x2－x3的极小值是________，极大值是________．答案：1 5求函数的极值[学生用书P13］求下列函数的极值．(1)f(x)＝错误!－2;（2）f（x)＝x2·e－x。

【解】（1)f′（x）＝错误!＝错误!。

2019年高中数学湘教版选修2-2讲义+精练：第4章章末小结含解析

1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x ＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1. 答案：12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x . 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 的解集． (2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．证明：不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2.∵x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数．又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0，即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x 2－4x <0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数． ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ln x －ax .(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ，且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， x ＞－a 时，f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22. 当0＜x ＜22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时， a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4] 已知函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，由f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 当－2<x <0或x >1时，f ′(x )>0；当x <－2或0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0，所以设h (x )＝e x －1－x .则h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0，得x ＝1，当x <1时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x <1时，h (x )>h (1)＝0.当x >1时，h ′(x )>0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x >1时，h (x )>h (1)＝0. 当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立，即12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．[例5] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．[解] 以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p . 解得p ＝12.∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)．设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点，则|P Q |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0，得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数；当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．得|P Q |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；(2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价为ln x x 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎨⎧1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x，x ∈(80，100].(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x，由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 在x ＝－3π4到x ＝5π4之间围成的图形的面积．[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤－3π4，5π4上的图象，它们共产生三个交点，分别为⎝⎛⎭⎫－3π4，－22，⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22. 在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝⎠⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝2⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎡⎦⎤F ⎝⎛⎭⎫5π4－F ⎝⎛⎭⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝⎛⎭⎫12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解：设切点A (x 0，y 0)，则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：y －[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ⎝⎛⎭⎫12，0，∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·⎣⎡⎦⎤12－x 0. 即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．∴切线l 的方程为y －1＝－2(x －0)． ∴2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝1－2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2，∴B ⎝⎛⎭⎫32，－2.∴S ＝⎠⎜⎛32(3x 2－2x 3)d x ＝2732.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′ ＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故选A. 答案：A2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ， ∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e .答案：C3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减．答案：A4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)．答案：A5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是()解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.答案：D6．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 答案：B7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32D. 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分⎠⎛－π3π3cos x d x ，取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x .∴⎠⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π3－F ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3. 答案：D8．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( ) A ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e πC ．－1－e 2 020π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π解析：∵f ′(x )＝2e x sin x ，∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z)，又0≤x ≤2 019π，∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2 018π＝－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π.答案：D9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是()解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.答案：C10．函数f (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值，也无最小值解析：函数f (x )＝13x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．答案：B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)．答案：B12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤0，e 28 C.⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤0，e 24 解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x 的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax 2＝e x，得a ＝e x x2.设f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 2在区间(0,2)上是减函数，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx2在区间(2，＋∞)上是增函数，所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12 log 2e.答案：12log 2e15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 216．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－13＝527，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x .取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝f (x )．∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c . ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <112.∴b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，所以2＋c <c 2，解得c >2或c <－1.即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c .∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －⎝⎛⎭⎫－32＋c ＝72. 20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x . (1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得 c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])， ∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12. 又∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减，又∵F (2)＝20，F (－3)＝45. ∴F (x )max ＝F (－3)＝45，∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)． (2)∵x 1∈[－3,3]， ∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40. ∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减； x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又∵x 2∈[－3,3]， ∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48. 又∵f (x 1)≤g (x 2)，∴147－c ≤－48，即c ≥195.∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0，当x ∈(9,11)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4， ∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， ∴－43<k <283.4 3，28 3.∴实数k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－。

湘教版数学选修2-2分层训练4-3-2函数的极大值和极小值 Word版含解析

函数的极大值和极小值一、基础达标.函数＝()的定义域为(，)，＝′()的图象如图，则函数＝()在开区间(，)内取得极小值的点有( )．个．个．个．个答案解析当满足′()＝的点，左侧′()＜，右侧′()＞时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．．“函数＝()在一点的导数值为”是“函数＝()在这点取得极值”的( ) ．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析对于()＝，′()＝，′()＝，不能推出()在＝处取极值，反之成立．故选.．若＞，＞，且函数()＝－－＋在＝处有极值，则的最大值等于( ) ．．．．答案解析′()＝－－，∵()在＝处有极值，∴′()＝－－＝，∴＋＝.又＞，＞，∴＋≥，∴≤，∴≤，当且仅当＝＝时等号成立，∴的最大值为.．函数＝－－(－＜＜)有( ) ．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值答案解析由′＝－－＝，得＝－或＝，当＜－或＞时，′＞，当－＜＜时，′<.故当＝－时，函数有极大值；取不到，故无极小值．．函数()＝＋＋(＋)＋既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是．答案(－∞，－)∪(，＋∞)解析∵′()＝＋＋(＋)，令＋＋(＋)＝，即＋＋＋＝，∵函数()有极大值和极小值，∴方程＋＋＋＝有两个不相等的实数根，即Δ＝－－＞，解得＞或＜－.．若函数＝－＋在()内有极小值，则实数的取值范围是．答案()解析′＝－，当≤时，′≥，函数＝－＋为单调函数，不合题意，舍去；当＞时，′＝－＝⇒＝±，不难分析，当＜＜，即＜＜时，函数＝－＋在()内有极小值．．求函数()＝－的极值．解函数的定义域为，′()＝－＋·′＝－－－＝(－)－，令′()＝，得＝或＝.当变化时，′()，()的变化情况如下表：由上表可以看出，当＝时，函数有极小值，且为。

高中数学湘教版选修2-2：(课件)4.3.2 函数的极大值和极小值

由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝ 1－23，b3＝ 1× (－23)． ∴ a＝－12， b＝－ 2.
(2)由(1)知 f(x)＝x3－1x2－2x＋c， 2
由 f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得 c＝1.
∴f(x)＝x3－1x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2. 2
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．
2．极值点与导数为零的点 (1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数 f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要条件；
＝ 2xe －x－ x2e －x＝ xe－ x(2－ x)，令 f′(x)＝0，得 x＝0 和 x＝2
根据 x1，x2 列表分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.
x f′(x)
f(x)
(－∞，0) 0 (0,2)
－
0＋
极小值0
2 (2，＋∞)
0
－
极大值
4e－2
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且 f(0)＝0. 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e－2.
解：函数 f(x)＝3x＋3lnx 的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x32＋3x＝3
x－ x2
1，
令 f′(x)＝0 得 x＝1.
根据 x＝1 列表分析 f′(x)的符号、f(x)的单调性和
极值点：
x f′(x)
f(x)
(0,1)
1
(1，＋∞)
－
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湘教版数学选修2-2分层训练4-3-3三次函数的性质单调区间和极值 Word版含解析

三次函数的性质：单调区间和极值一、基础达标．函数＝()在[，]上( ) ．极大值一定比极小值大．极大值一定是最大值．最大值一定是极大值．最大值一定大于极小值答案解析由函数的最值与极值的概念可知，＝()在[，]上的最大值一定大于极小值．．函数＝－，∈[]的最大值是( ) ．答案解析′＝－－·－＝－(－)，令′＝，∴＝，∴()＝，()＝，()＝－＝，∴()为最大值，故选.．函数＝)的最大值为( ) ．－．．答案解析令′＝(′－·′)＝)＝.(＞)解得＝.当>时，′<；当＜<时，′＞.＝()＝，在定义域(，＋∞)内只有一个极值，极大值所以＝.．函数＝在定义域内( ) ．有最大值，无最小值．无最大值，有最小值－．有最大值，最小值－．无最值答案解析令′＝＝＝，得＝±.当变化时，′，随的变化如下表：. ．已知函数()＝－＋有零点，则的取值范围是．答案(－∞，－]解析函数()＝－＋有零点，即方程－＋＝有实根，即函数()＝－，＝有交点，而′()＝－，易知函数()＝－在(－∞，)上递增，在( ，＋∞)上递减，因而()＝－的值域为(－∞，－]，所以要使函数()＝－，＝有交点，只需≤－即可．．函数＝＋在区间上的最大值是．答案＋解析′＝－＝，＝，比较，，处的函数值，得＝＋.．已知函数()＝－＋在[－]上有最小值－，求的值及()在[－]上的最大值．解′()＝－＝(－)，令′()＝，得＝或＝，当变化时，′()，()的变化情况如下表：＝－＋＝－，得＝.当＝时，()的最大值为.二、能力提升．设直线＝与函数()＝，()＝的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为。

高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 4.3.2 函数的极大值和极小值》

函数的极值与导数一．教材分析本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性二．教学目标1 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质；2 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；3 会用导数求函数的极值；4 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力；5 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用三．重点与难点重点：会用导数求函数的极值．难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程、创设情景，导入新课【问题情景】我们学过毛泽东的诗《清平乐·六盘山》，请同学们一起背诵。

[生]：背诵《清平乐·六盘山》：天高云淡，望断南飞雁。

不到长城非好汉，屈指行程二万。

湘教版数学选修2-2分层训练4-3-1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

导数在研究函数中的应用．利用导数研究函数的单调性一、基础达标．命题甲：对任意∈(，)，有′()>；命题乙：()在(，)内是单调递增的，则甲是乙的( ) ．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析()＝在(－)内是单调递增的，但′()＝≥(－<<)，故甲是乙的充分不必要条件，选.．函数＝－的单调减区间是( ) ．() ．()∪(－∞，－)．(－∞，) ．(－∞，＋∞)答案解析∵＝－的定义域为(，＋∞)，∴′＝－，令′<，即－<，解得：<<或<－.又∵>，∴<<，故选.．函数()＝＋＋＋，其中，，为实数，当－＜时，()是( ) ．增函数．减函数．常函数．既不是增函数也不是减函数答案解析求函数的导函数′()＝＋＋，导函数对应方程′()＝的Δ＝(－)＜，所以′()＞恒成立，故()是增函数．．下列函数中，在(，＋∞)内为增函数的是( ) ．＝．＝．＝－．＝－答案解析显然＝在(，＋∞)上既有增又有减，故排除；对于函数＝，因为大于零的常数，不用求导就知＝在(，＋∞)内为增函数；对于，′＝－＝，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于，′＝－(＞)．故函数在(，＋∞)上为减函数，在()上为增函数．故选.．函数＝()在其定义域内可导，其图象如图所示，记＝()的导函数为＝′()，则不等式′()≤的解集为．答案∪[)．函数＝(－－)的递减区间为．答案(－∞，－)解析′()＝，令′()＜得＜－或＜＜，注意到函数定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，故递减区间为(－∞，－)．．已知函数()＝＋＋的单调递减区间为(－)，求函数＝()的递增区间．解′()＝＋.∵(－)是函数＝()的单调递减区间，则－是方程＋＝的根，∴＝－.此时′()＝－，令′()＞，则－＞，解得＞或＜－，∴函数＝()的单调递增区间为(－∞，－)。