下册东北大学高数期末考试试题

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高数-下-期末考试试卷及答案

2017学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)

注意：

1、本试卷共 3 页;

2、考试时间110分钟；

3、姓名、学号必须写在指定地方

一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．

1．已知a 与b

都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）。（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。极限2

lim()sin

x y x y x y →→+=+( ）.

(A ） 0

(B) 1 (C) 2

(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。

（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数

(C ）(,)f x y =

（D ）(,)e x y f x y +=

4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).

(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2

:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=

⎰⎰，2D

I σ=，3D

I σ=，则有（）

。（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<

6．设椭圆L ：

2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 12

高数下册期末试题及答案

高数下册期末试题及答案第一部分：选择题（共50题，每题2分，共100分）

1. 某函数的导函数为f(x)=3x^2+2x-1，则该函数f(x)在x=1处的导数值为多少？

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

2. 下列哪个极限是不存在的？

A. lim(x→∞) 1/(1+x)

B. lim(x→0) sin(1/x)

C. lim(x→1) (x-1)/(x-1)

D. lim(x→∞) e^(-x)

3. 物体在空气中自由下落的速度v(t)与时间t之间的关系可以用下列哪个微分方程描述？

A. v'(t) = g - kv(t)

B. v'(t) = g - kt

C. v'(t) = g - kv(t)^2

D. v'(t) = g - k/v(t)

...

第二部分：填空题（共30题，每题3分，共90分）

31. 若a=3，b=-2，则方程组3x+ay=1，bx-2y=5的解为x=___，

y=___。

32. 设函数f(x)=sin(x)，则f''(x) = ___。

33. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则必在该区间上有___。

...

第三部分：解答题（共4题，每题15分，共60分）

问题一：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，求f(x)的极值及对应的取

值范围。

解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x，令其等于零，得到极值点x=0

和x=2。将这两个极值点代入原函数f(x)，可以求得f(0) = 1和f(2) = -1。因此，函数f(x)的极值为1和-1，取值范围为[-1, 1]。

问题二：已知函数y = e^x / (1 + e^x)，求该函数的反函数及其定义域。

第二学期高数下期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1

一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰2

t x

x e dt ，则()F x '=-2

2x xe

2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫

⎪⎝⎭

1442ππ处

的切平面方程是

--+=210

x y z .

3.交换累次积分的次序：

(),-⎰⎰2

302

dx f x y dy

4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：

使得格林公式： ⎛⎫

∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD L

Q P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：

()(),,和在D上具有一阶连续偏导数

P x y Q x y .

其中L 是D 的取正向曲线;

5.级数

∞

=-∑

n 的收敛域是

(]

,-33.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)

1.当→0x ，→0y 时,函数

+242

3x y

x y 的极限是

()D

A.等于0;

B. 等于1

C. 等于1

; D. 不存在.

2.函数(),=z

f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，

(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C

A.充分必要条件;

B.充分但非必要条件;

C.必要但非充分条件;

D. 既非充分又非必要条件.

3.设()cos sin =+x z

e y x y ，则==10

x y dz

()=B

A.e ;

B. ()+e dx dy ;

C. ()-+1

dx dy ; D. ()+x e dx dy .

4.若级数

()

∞

=-∑1

n n a x 在=-1x 处收敛,

下册东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期

试题

一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)

3dz

dx dy =-；

(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；

(C)曲线(,)

0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；

(D) 曲线(,)

0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)

2. 设1

0 (1,2,)n u n n

≤<

=L ，则下列级数中必收敛的是[ ]

(A)1

n n u ∞

=∑； (B)

(1)n

n u

∞

=-∑； (C)

n ∞

= (D)

(1)n

n u

∞

=-∑.

3. 如果81

lim

1=+∞→n

n n a a ，则幂级数∑∞

=03n n n x a [ ]

(A) (B)

4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω

++⎰⎰⎰= [ ] .

(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52

a π.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .

2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .

东北大学高数下试题2010-2013_年

n1 1 an
八、(6 分)设有一半径为 R 的球体，P0 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 的距离成正比 (比例系数 k > 0)，求球体对于点 P0 的转动惯量.
2
解答 2011-2012
一、1.【解】应选择 D。
f x (x, y), f y (x, y)在(x0 , y0 )连续 f (x, y)在(x0 , y0 )可微。
D
对 f (x, y) xy f (x, y)dxdy 两边在区域 D 上做重积分
D
f (x, y)dxdy xydxdy Adxdy
D
D
D
可得
A xydxdy A dxdy
D
D
A 1 A A1
12 3
8
因此, f (x, y) xy 1 8
.
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f (x, y)在(x0 , y0 )连续 .
f (x, y)在(x0 , y0 )可微 f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 )存在 . 2．【解】应选择 B
设切点为(
x(t
0
),
y(t0
),
z(t
0
));
切向量为(
x(t0
h 部分的外侧. 五 (8 分 ) 在抛物面 : z x2 y2 1 上求一点

东北大学历期末高等数学考试

八、高等数学试题 2005/1/10

一、填空题（本题20分，每小题4分）

1．已知==⎪⎭

⎫

⎝⎛-+∞→a a x a x x

x ，则9lim

2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1

12)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017

=-+x x 共有个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2

的曲率最大。

5．

⎰=20sin π

xdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（）

（A ）若a x n n =∞

→2lim ，a x n n =+∞

→12lim ，则a x n n =∞

→lim ；

（B ）发散数列必然无界；

（C ）若a x n n =-∞

→13lim ，a x n n =+∞

→13lim ，则a x n n =∞

→lim ；

（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（）。（A ）0)(0='x f ；（B ）0)(0<''x f ；

（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在；（D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3．函数⎰=

a dt t f x F )()(在][

b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（）

（A ）有界；（B ）连续；（C ）有定义；（D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242

cos 1sin π

πxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin π

高数下期末考试试卷及答案

2017学年春季学期

《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）

注意：

1、本试卷共 3 页；

2、考试时间110分钟；

3、姓名、学号必须写在指定地方

I σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<

6．设椭圆L ：

2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12

7．设级数

∑∞

n n

为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）.

(A)该级数收敛 (B)该级数发散

(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛

8.下列四个命题中，正确的命题是（）.

（A ）若级数n

∞

发散，则级数2n

∞

也发散

n =7.将函数2

,0()1,

0x f x x

x ππ

--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛

于 .

三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名

……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………

三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求u

∂∂，u y ∂∂．

解：

2．求曲面e 3z z xy ++=3.

4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23

东北大学高等数学(下)期末试题2013-2015

1. 求点 P0 (1,1,1) 到直线的距离 =
x−7 1
y −2 z −3 。 = 2 3
x2 + y 2 + z 2 = 6 在点 (1, −2,1) 处的切线与法平面方程。 2. 求曲线 0 x + y + z =
3. 函数 u = xy z 在点 (1, −1,1) 沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
0
2 x − x 2 上从原点到点（ 2 ， 0 ）的部分，则
∫
L
[ ] f ( x 2 + y 2 )( xdx + ydy ) = (B)
(A) 0；
k ； (C) k ； (A) 2k . 2
二、填空题 1．函数 z = f (x, y)由方程 2sin( x + 2 y − 3 z ) = x + 2 y − 3 z 所确定，则 dz = _______________. 2．交换积分次序
轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求 D 的面积。高等数学（下）2014 年 7 月一、单项选择题 1. 设向量 a = (2, −2, −5) 的起点坐标为 (2,1, 7) ，则[ （A） a 的终点坐标为 (4, −2,1) ；（C） a 与 y 轴的夹角为 arccos
2 2

]

（B） a 的长度为 6；

高数下册期末考试题及答案

一、选择题（每题2分，共10分）

1. 函数 \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数是：

A. \( 2x/(x^2 + 1) \)

B. \( 2x/x^2 + 1 \)

C. \( 2x/(x^2 - 1) \)

D. \( 2x/(x^2 + 1)^2 \)

答案：A

2. 已知 \( e^x \) 的泰勒展开式为 \( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots \)，那么 \( e^{-x} \) 的泰勒展开式是：

A. \( 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)

B. \( 1 + x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)

C. \( 1 - x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)

D. \( 1 + x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)

答案：A

3. 若 \( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则 \( \int_0^1 x^3 dx \) 的值是：

A. \( \frac{1}{4} \)

B. \( \frac{1}{5} \)

C. \( \frac{1}{6} \)

D. \( \frac{1}{7} \)

答案：A

4. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率是：

A. 0

B. 1

C. 2

D. -1

答案：B

5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则

第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1

一、填空题(每空3 分，共15 分）

1。设,则.

2。曲面在点处

的切平面方程是.

3.交换累次积分的次序：

4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：

使得格林公式：

成立的充分条件是：

。

其中L是D的取正向曲线；

5.级数的收敛域是。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.当，时,函数的极限是

A。等于0； B. 等于；

C。等于; D. 不存在.

2.函数在点处具有偏导数,

是函数在该点可微分的

A.充分必要条件；B。充分但非必要条件；

C。必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。

3.设,则

A。; B。；

C.；D。。

4.若级数在处收敛，

则此级数在处

A。绝对收敛; B。条件收敛；

C.发散；

D.收敛性不确定。

5。微分方程的特解应设为

A.;

B.；

C.;

D.。

三。（8分）设一平面通过点，而且通过

直线,求该平面方程.

解：

平行该平面

该平面的法向量

所求的平面方程为：

即：

四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.

解：令，

五.（8分）计算对弧长的曲线积分

其中是圆周与直线

在第一象限所围区域的边界.

解：

其中：：

：

而

故：

六、（8分)计算对面积的曲面积分，

其中为平面在第一卦限中的部分.

解：：

七。（8分）将函数,展开成的幂级数.

解:，

而,

八。（8分)求微分方程：

的通解。

解:，

原方程为：

通解为：

九。幂级数:

1。试写出的和函数；（4分）

2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)

解:1、

于是

2、令：

由1知：且满足：

通解：

由，得:；故:

十.设函数在上连续,且满足条件

其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面

高数下学期期末试题(含答案)3套

高等数学期末考试试卷1

一、单项选择题（6×3分）

1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )

A.0

2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）

A.充分条件

B.充分必要条件

C.必要条件

D.既非充分又非必要条件

3、设函数，则等于（）

A. B.

C． D.

4、二次积分交换次序后为（）

A. B.

C. D.

5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散 C.不能确定其敛散性

6、设是方程的一个解，若，则在处（）

A.某邻域内单调减少

B.取极小值

C.某邻域内单调增加

D.取极大值

二、填空题（7×3分）

1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影

＝

2、设，，那么

3、D 为，时，

4、设是球面，则＝

5、函数展开为的幂级数为

6、＝

7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

三、计算题(4×7分)

1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中

4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数的和。

四、综合题(10分)

曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)

设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）

1、 A

2、 C

3、 C

4、 B

5、 A

6、 D

二、填空题（7×3分）

1、2

2、

3、 4 、

5、6、0 7、

三、计算题(5×9分)

1、解：令则，故

2、解：令

则

所以切平面的法向量为：

切平面方程为：

3、解：＝＝＝

高数高等数学考试题及答案

东北大学高等数学（下册）试卷答案及评分标准

2006．7．12

一、选择题 (本大题6小题, 每小题4分, 共24分)

1．)(B ； 2．)(A ； 3．)(C ；4．)(B ；5． )(D ；6. )(A 。

二．填空题（本大题5小题, 每小题4分, 共20分）

1. 154221--=-=-z y x ；2．2

2-；3.44a π；4． λ=３；x x e C e C 321*.4+-；5．８．三、（8分）求过点M(3, 1, -2)且通过直线1

2354z y x =+=-的平面方程解：在直线1

2354z y x =+=-取点P =(4, -3, 0)，则)2,4,1(-==MP 已知直线的方向向量为)1,2,5(= .------------------------------2分设所求平面的法线向量与向量n

)22,9,8(42-=-=⨯=n s MP . -------------------6分

所求平面的方程为 8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0,

即 8x -9y -22z -59=0.----------------------8分

三*（8分）求微分方程x y y x sin 2=+'的通解解：把方程改写为x x y x y sin 2=+

', ------------------2分则 )s i n (2

2C dx e x x e

y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-----------------4分 )s i n (12C x d x x x

高数下试题2001-2013

东北大学高等数学(下)期末考试试卷

一、填空题（

分）

1．曲线t t t e z t e y t e x 2,sin ,cos ===相应于点0=t 处的切线与oz 轴夹角的正弦

=γsin （）

2．设40,10:≤≤≤≤y x D ，则=⎰⎰D

dxdy x 3（）

3．设L 是由2x y =及1=y 所围成的区域D 的正向边界，则

=+++⎰

dy y x x dx y x xy )()(24233（）

4．周期为π2的周期函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为

ππ≤≤-=x x x f ,)(，设它的付立叶级数的和函数为)(x s ，则=)2

3(πs （） 5．微分方程

0=+

dy x

dx 的通解是（）

二、求解下列各题（32分）

1．（8分）设y

xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z

∂∂∂2。

2．（8分）计算⎰⎰⎰Ω

zdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的

闭区域。

3．（8分）计算曲线积分⎰L

xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的

区域的整个边界。

4．（8分）求微分方程0)2(=-+ydx dy x y 的通解。

三．（9分）计算曲面积分⎰⎰∑

-dxdy z )3(，其中∑是曲面2

22y x z +=上介于2=z 及3=z 之间部分的下侧。

四．（7分）判别级数∑

∞

23cos n n

n n π

的敛散性。

五．（9分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解。

下册东北大学高数期末考试试题

高数-下-期末考试试卷及答案

高数下册期末试题及答案

第二学期高数下期末考试试卷及答案

下册东北大学高数期末考试试题

东北大学高数下试题2010-2013_年

东北大学历期末高等数学考试

高数 下 期末考试试卷及答案

东北大学高等数学(下)期末试题2013-2015

高数下册期末考试题及答案

第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

高数下学期期末试题(含答案)3套

高数 高等数学 考试题 及答案

高数下试题2001-2013

高数下期末考试试卷及答案

高数高等数学考试题及答案