2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题4 三角函数与平面向量第18练

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2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题4 三角函数与平面向量第15练

第15练三角函数的化简与求值[题型分析·高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于( )A ．－32 B.32C ．－12D.12答案 D 解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12. 2．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3. 3．(2016·课标全国甲)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α等于( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725答案 D解析因为sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D. 4．(2016·课标全国丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( ) A.6425B.4825 C ．1D.1625 答案 A解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sinαcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 5．(2016·四川)cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案 22解析由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin 2α＋cos 2α＝1；tan α＝sin αcos α. 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin 2α＋cos 2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号．例1 已知tan α＝2，求：(1)4sin α－2cos α5sin α＋3cos α的值； (2)3sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2α的值．解 (1)方法一 ∵tan α＝2，∴cos α≠0，∴4sin α－2cos α5sin α＋3cos α＝4sin αcos α－2cos αcos α5sin αcos α＋3cos αcos α＝4tan α－25tan α＋3＝4×2－25×2＋3＝613. 方法二由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得4sin α－2cos α5sin α＋3cos α＝4×2cos α－2cos α5×2cos α＋3cos α＝6cos α13cos α＝613. (2)3sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2α＝3sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋3tan α－2tan 2α＋1＝3×22＋3×2－222＋1＝165. 点评本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式．对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin 2α＋cos 2α代换“1”，变成分式后再化简．变式训练1 已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 题型二利用诱导公式化简与求值1．六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”．2．诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2 (1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. (2)化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋ sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.答案 (1)3 (2)0解析 (1)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan (－23π6)＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. (2)原式＝cos αsin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．变式训练2 (1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝________. 答案 (1)－43(2)0 解析 (1)将θ－π4转化为(θ＋π4)－π2. 由题意知sin(θ＋π4)＝35，θ是第四象限角，所以cos(θ＋π4)＞0，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2(θ＋π4)＝45. tan(θ－π4)＝tan(θ＋π4－π2)＝－tan[π2－(θ＋π4)] ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－(θ＋π4)cos ⎣⎡⎦⎤π2－(θ＋π4)＝－cos (θ＋π4)sin (θ＋π4) ＝－4535＝－43. (2)cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．例3 化简：(1)sin50°(1＋3tan10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 解 (1)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°) ＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos (60°－10°)cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . 点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用．(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”．变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形．变式训练3 (1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________．(2)2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12B.32C.3D. 2 (3)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A.118B ．－118 C.1718D ．－1718答案 (1)3 (2)C (3)D解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3.(3)cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin(π4－α)≠0，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.高考题型精练1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵sin α＝cos α⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos2α＝0⇔cos α＝±sin αsin α＝cos α，故选A.2．若cos θ＝－55，θ∈[0，π]，则tan θ等于( ) A.12B ．－12C ．－2D ．2答案 C解析因为cos θ＝－55且θ∈[0，π]，所以sin θ＝255，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2，故选C.3．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于() A ．－255 B.3510C ．－3510D.255答案 A 解析由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 4．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1 答案 C解析 a ＝f (lg5)＝sin 2(lg5＋π4)＝1－cos (2lg5＋π2)2＝1＋sin (2lg5)2， b ＝f (lg 15)＝sin 2(lg 15＋π4)＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2lg 15＋π22＝1－sin (2lg5)2，则可得a ＋b ＝1. 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝－45. 6．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( )A.14B.12C ．4D ．12答案 C 解析由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17，∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. 7．(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.8．已知cos(π2＋α)＝2sin(α－π2)，则sin (π－α)＋cos (α＋π)5cos (5π2－α)＋3sin (7π2－α)＝________. 答案 17解析 ∵cos(π2＋α)＝2sin(α－π2)， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17. 9．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268.10．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．答案－1解析 ∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2.又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－1. 11．(2015·广东)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4 ＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. (2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2 ＝1.12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24. 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋12(sin2x ＋cos2x ) ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝12＋22⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620.。

2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科考前抢分必

回扣3 三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba ).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.5.三种三角函数的性质ππ在[－π＋2k π，2k π]6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 7.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 8.余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 9.面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解. (4)已知三边，利用余弦定理求解. 11.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 13.利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 14.利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1 答案 C解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32.故选C. 2.要得到函数y ＝sin 2x 的图象，可由函数y ＝cos(2x －π3)( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案 D解析由于函数y ＝sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π12)－π3]，所以可由函数y ＝cos(2x －π3)向右平移π12个单位长度得到函数y ＝sin 2x 的图象，故选D.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B.1＋ 2 C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°) 答案 C解析由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1，所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选C.5.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，三角形为直角三角形.6.已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案 A解析 ∵A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，∴A ＋B >π2，即A >π2－B >0，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，∴p·q ＝sin A －cos B >0.再根据p ，q 的坐标可得p ，q 不共线，故p 与q 的夹角为锐角. 7. f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C解析 f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)＝sin(2x －π3＋π3)＝sin 2x ，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1，2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a与b 的夹角为( ) A.0 B.π4 C.2π3 D.π答案 D解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0⇒2a 2－2b 2＋3b·a ＝0⇒b·a ＝－52，从而cos 〈b ，a 〉＝b·a|b|·|a |＝－1，〈b ，a 〉＝π，故选D. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 有下列命题：①若A >B >C ，则sin A >sin B >sin C ；②若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 为等边三角形；③若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ④若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则△ABC 为钝角三角形； ⑤存在A ，B ，C 使得tan A tan B tan C <tan A ＋tan B ＋tan C 成立. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号). 答案 ①②④解析若A >B >C ，则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ；若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则cos A sin A ＝cos B sin B⇒sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒a ＝b ，同理可得a ＝c ，所以△ABC 为等边三角形；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，因此△ABC 为等腰或直角三角形；若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因此tan(A ＋B )＝1⇒C ＝3π4，△ABC 为钝角三角形；在△ABC 中，tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C 恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 答案817解析由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋(1－sin A 4)2＝1，sin A ＝817(0舍去).11.若tan θ＝3，则cos 2θ＋sin θcos θ＝________. 答案 25解析 ∵tan θ＝3，∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝1＋332＋1＝25.12.已知单位向量a ，b ，c ，且a ⊥b ，若c ＝t a ＋(1－t )b ，则实数t 的值为________. 答案 1或0解析 c ＝t a ＋(1－t )b ⇒c 2＝t 2＋(1－t )2＝|c |2＝1⇒t ＝0或t ＝1.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C ). (1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －B )(x ∈R )的最大值. 解 (1)由已知，b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，即sin B cos A ＝－(2sin C ＋sin A )cos B ，即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ，则sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x cos2π3－cos 2x sin 2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin(2x －π6)，即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 3.14.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且锐角A 满足f (A )＝1，b ＝2，c ＝3，求a 的值.解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z ).(2)由题意知f (A )＝2sin(2A －π4)＝1，sin(2A －π4)＝22，又∵A 是锐角， ∴2A －π4＝π4，∴A ＝π4，由余弦定理得a 2＝2＋9－2×2×3×cos π4＝5，∴a ＝ 5.。

浙江专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质教案含解析

浙江专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质教案含解析第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R 错误!值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎢⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎥⎤π2为增；[2kπ⎦⎥⎤＋π2，2kπ＋3π2为减[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减⎝⎛kπ－π2，kπ⎭⎪⎫＋π2为增对称中心(kπ，0)⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.考点三三角函数的性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3x 的最小正周期为( )A ．6B ．－6C ．2π3D ．23 解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π3＝6.2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z.所以当k＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12.4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z)．答案：k π＋π2(k ∈Z)角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z)．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π35．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π(k ∈Z)， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z. 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z.(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( )A ．1B ．52C ．32D ．2 解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32； ②当a 2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a 2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C. 2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a ＜0时，得⎩⎨⎧ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

2017版考前三个月浙江专版文理通用习题高考知识方法篇专题1 集合与命题第2练含答案精品

第2练理清四种命题，突破充要条件[题型分析·高考展望]充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2015·天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件，故选A.3．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 4．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析由|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，故是既不充分也不必要条件，故选D.5．(2015·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数．例1(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案 D解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练1已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是()A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m∥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m答案 D解析若l∥m，m⊂α，当l⊂α时，则l∥α不成立，故A错误；若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一条线，可得l⊥m，故D 正确．题型二充分条件与必要条件例2(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B 的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练2(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)·(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n－4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q 成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.题型三与命题有关的综合问题例3以下关于命题的说法正确的是________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题．答案 ②解析对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确．综上可知正确的说法有②.点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一．变式训练3 下列命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°30°＝150°，∴②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，∴③正确； ④显然正确．高考题型精练1．已知复数z ＝a ＋3i i (a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 z ＝a ＋3ii ＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a ＞0，反之也成立，所以“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．3．(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 A解析两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 4．(2016·天津)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由题意得，a2n－1＋a2n＜0⇔a1(q2n－2＋q2n－1)＜0⇔q2(n－1)(q＋1)＜0⇔q∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件，故选C.5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．6．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z ，φ＝0不一定成立．故选A.7．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析画出可行域(如图所示)，可知命题q 中不等式组表示的平面区域△ABC 在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.8．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析⎭⎪⎬⎪⎫当x ＞1，y ＞1时，x ＋y ＞2一定成立，即p ⇒q 当x ＋y ＞2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q p ⇒ 故p 是q 的充分不必要条件9．下列4个命题中正确命题的个数是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．答案 2解析 ①正确；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；④正确，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确．10．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即命题p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即命题q ：1＜m＜32. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.。

2017版考前三个月浙江专版文理通用习题高考知识方法

第17练解三角形问题[题型分析·高考展望] 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一．命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是与三角函数等结合，综合考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点．体验高考1．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.2．(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析设BC 边上的高线AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.3．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154.S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24.又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52. 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.4．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 答案 1解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.5．(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.高考必会题型题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 3 答案 C解析由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.(2)(2016·课标全国乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . ①求C ；②若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解 ①由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C,2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ．可得cos C ＝12，所以C ＝π3.②由已知，得12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断．一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解．在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生．变式训练1 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0，即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3.题型二正弦、余弦定理与三角函数的综合应用例2 已知函数f (x )＝23sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S . 解 (1)由题意知，f (x )＝3⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝3(1＋sin 2x )＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由f (A )＝3＋1，得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， ∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π3.又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3.由A ＝π3，a ＝3，得|BC →|＝|AC →－AB →|＝a ＝3，①又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →|＝6， ② 联立①②，解得AB →·AC →＝274，即|AB →|·|AC →|·cos π3＝274，∴|AB →|·|AC →|＝272.∴△ABC 的面积为 S ＝12|AB →|·|AC →|·sin π3＝2738. 点评三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中的范围，结合三角有关公式及变形，充分利用正弦定理、余弦定理解题．变式训练2 在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角为A ，B ，C ，且A ，B ，C 都不是直角，(bc －8)cos A ＋ac cos B ＝a 2－b 2.(1)若b ＋c ＝5，求b ，c 的值； (2)若a ＝5，求△ABC 面积的最大值．解 (1)(bc －8)·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－b 2.b 2＋c 2－a 22－8·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22＝a 2－b 2. b 2＋c 2－a 2－8·b 2＋c 2－a 22bc＝0，因为△ABC 不是直角三角形，所以bc －4＝0.故bc ＝4，又因为b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝1.(2)因为a ＝5，由余弦定理可得5＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ＝8－8cos A ，所以cos A ≥38，所以sin A ≤558，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤554.所以△ABC 面积的最大值是554，当cos A ＝38时取到．题型三解三角形与其他知识的交汇例3 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，A B →·A C →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)求a 的最小值．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45，又因为A B →·A C →＝3，得bc cos A ＝3⇒bc ＝5⇒S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)∵bc ＝5，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×5×35，∴a 2＝b 2＋c 2－6，∴a 2＝b 2＋c 2－6⇒b 2＋c 2＝6＋a 2≥2bc ＝10. ∴a min ＝2.当且仅当b ＝c ＝5时，a 有最小值2.点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键．变式训练3 (2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217. 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.高考题型精练1．(2015·北京改编)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C 等于( )A.12 B ．2 C ．1 D.3 答案 C解析由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1. 2．(2015·重庆改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c 等于( ) A ．2 B ．3 C.32 D ．4答案 D解析由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，解得c ＝4. 3．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2 D.⎝⎛⎫0，π2 答案 C解析因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，所以A 为锐角，又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＜0，故C 是钝角．5．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.21 B.3214C.212D ．321答案 B解析设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( ) A ．b ＋c ＝2a B ．b ＋c ＜2a C ．b ＋c ≤2a D ．b ＋c ≥2a答案 C解析 ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0＜A ＜π2，∴0＜2A ＜π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3.由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝(b ＋c )24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .7．(2016·课标全国甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. 答案2113解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sinA cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sinB sin A ＝2113.8．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6.9．(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是____________．答案 (6－2，6＋2) 解析如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE . 在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°， CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30° ＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围为________．答案 (3,6]解析由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C ) ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝4－2cos 2B －2cos 2(2π3－B )＝4＋3sin 2B －cos 2B ＝4＋2sin(2B －π6)．又0＜B ＜2π3，所以－π6＜2B －π6＜7π6，所以－1＜2sin(2B －π6)≤2.所以3＜b 2＋c 2≤6.11．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． (1)证明由题意知，2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B . 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 12．(2016·杭州第一次高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c .若A ＝π6，(1＋3)c ＝2b .(1)求C ；(2)若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c .解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C，得(1＋3)sin C ＝2sin B ，又因为2sin B ＝2sin(5π6－C ) ＝cos C ＋3sin C ，所以sin C ＝cos C ，即C ＝π4. (2)因为CB →·CA →＝22ab ，所以ab ＝2(1＋3)．由正弦定理得2a ＝c ，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＝12c 2＋(1＋3)24c 2－2(1＋3) ＝3＋32c 2－2(1＋3)，解得c ＝2，所以a ＝2，b ＝1＋ 3.。

2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题3 函数与导数第8练

√
B.1
C.2
D.3
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1 ，＋∞) 7.已知函数 f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为(1 ________. x＋2 1 解析函数 f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根. x＋2 1 1 ∵ ＝m|x|⇔m＝|x|· (x＋2)，作函数 y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示. x＋2 1 由图象可知 m 应满足：0＜m＜1，
解析答案返回
高考必会题型
题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题
例1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]
上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(
A.既不充分也不必要条件
)
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
√
D.充要条件
点评
解析
x1 变式训练 1 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 f(x )＝f(x1)－f(x2)， 2 且当 x＞1 时，f(x)＜0. (1)求 f(1)的值；
故m＞1.
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
8. 设函数 y ＝ f(x ＋ 1) 是定义在 ( － ∞ ， 0)∪(0 ，＋ ∞) 上的偶函数，在区间 ( － ∞ ， 0) 是减函数，且图象过点 (1,0) ，则不等式 (x－ 1)f(x)≤0 的解集为 (－∞，0]∪(1,2] __________________.
则正确结论的序号是_______.

浙江高考数学三角函数最实用知识点汇编

高中数学必修4学问点总结第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为__________________终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、及角α终边一样的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的肯定值是．6、弧度制及角度制的换算公式：2360π=，，．7、假设扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，那么l r α=，2C r l =+，． 8、设α是一个随意大小的角，α的终边上随意一点P 的坐标是(),x y ，它及原点的间隔是()0r r =>，那么，，． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的根本关系()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：鸡便偶不变，符号看象限．，．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，．口诀：鸡便偶不变，符号看象限． 13、①的图象上全部点向左〔右〕平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上全部点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的1ω倍〔纵坐标不变〕，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上全部点的纵坐标伸长〔缩短〕到原来的A 倍〔横坐标不变〕，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上全部点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的1ω倍〔纵坐标不变〕，得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上全部点向左〔右〕平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上全部点的纵坐标伸长〔缩短〕到原来的A 倍〔横坐标不变〕，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：；③频率：；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，获得最小值为min y ；当2x x =时，获得最大值为max y ，那么，，．图象定义域 RR值域[]1,1-[]1,1-R最值当()k ∈Z 时，max 1y =；当()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在()k ∈Z 上是增函数；在()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴对称中心对称轴()x k k π=∈Z对称中心无对称轴第二章平面对量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量〔共线向量〕：方向一样或相反的非零向量．零向量及任一向量平行．相等向量：长度相等且方向一样的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法那么的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法那么的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，那么()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，那么()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ及向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向及a 的方向一样；当0λ<时，a λ的方向及a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，那么()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠及b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，那么当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面对量根本定理：假如1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．〔不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内全部向量的一组基底〕22、定比分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是．〔当时，就为中点公式。

高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5 数列、推理与证明第22练常考

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第22练常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望］利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型,掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键．一般这类题目难度较大，但只要将已知条件转化为几类“模型",然后采用相应的计算方法即可解决．体验高考1．(2015·湖南）设S n为等比数列{a n｝的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列,则a n＝________.答案3n－1解析由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3,可得a3＝3a2,∴公比q＝3,故等比数列通项a n＝a1q n－1＝3n－1.2．（2015·课标全国Ⅱ)设S n是数列{a n｝的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝____________.答案－错误!解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由a n＋1＝S n S n＋1,得S n＋1－S n＝S n S n＋1，因为S n≠0，所以错误!＝1，即错误!－错误!＝－1,故数列错误!是以错误!＝－1为首项，－1为公差的等差数列,得错误!＝－1－（n－1)＝－n，所以S n＝－1 n .3．(2015·江苏）设数列｛a n}满足a1＝1，且a n＋1－a n＝n＋1(n∈N＊），则数列错误!前10项的和为________．答案错误!解析∵a1＝1，a n＋1－a n＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，将以上n－1个式子相加得a n－a1＝2＋3＋…＋n＝错误!，即a n＝错误!.令b n＝错误!，故b n＝错误!＝2错误!，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2错误!＝错误!。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题3 函数与导数第7练 Word版含答案

第7练抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型．主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上．二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力．体验高考1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b 等于( ) A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 当52－b ≥1，即b ≤32时，5224－＝，b 解得b ＝12. 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.3．(2016·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b24，当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0.所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，故选A.4．(2016·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f (x )的最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时的图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1.5．(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)．而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝124＝2，故f ⎝⎛⎭⎫－52＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 高考必会题型题型一函数单调性、奇偶性的应用1．常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减．2．若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断．3．定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数．4．奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数．例1 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综合上述得，－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是[32，2)．点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．变式训练1 (1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1] 答案(1)B(2)D解析(1)∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.(2)由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1.∵y＝1x＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数可得a＞0，故0＜a≤1.题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：(1)若对于定义域内的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝a对称．(2)若对于任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)的周期为T.例2(1)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，则f(2 015)＋f(2 016)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x ＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝________.答案(1)1(2)336解析(1)由f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数且f(x)的图象关于直线x＝1对称，知f(x)的周期为4，∴f(2 015)＝f(3)＝f(－1)＝1，f(2 016)＝f(4)＝f(0)＝0.∴f(2 015)＋f(2 016)＝1＋0＝1.(2)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336. 点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．变式训练2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．答案 ①②③解析令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图．由图知②③也正确，④不正确．所以正确命题的序号为①②③. 题型三分段函数例3 (1)(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． (2)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪(－1，32)B ．(－∞，－2]∪(－1，－34)C ．(－1，14)∪(14，＋∞)D ．(－1，－34)∪(14，＋∞)答案 (1)－25(2)B解析 (1)由已知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)＞1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x ＜－1或x ＞32.f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确．点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )的解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．变式训练3 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)答案 D解析由x ＜g (x )得x ＜x 2－2， ∴x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x ＜－1或x ＞2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8. ∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)；当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．高考题型精练1．设函数f (x )为偶函数，对于任意的x ＞0，都有f (2＋x )＝－2f (2－x )，已知f (－1)＝4，那么f (－3)等于( )A ．2B ．－2C ．8D ．－8 答案 D解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝4，f (－3)＝f (3)，当x ＝1时，f (2＋1)＝－2·f (2－1)， ∴f (3)＝－2×4＝－8，∴f (－3)＝－8.2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.3．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2) D ．f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13答案 C解析由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53＜f (2)，即f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f (2)． 4．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 答案 A解析由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x－1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，112211(log )(log )44＝，c f 则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B 解析因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称．所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<ln 2<1，121log 24＝，从而0.21210ln 22log 4，<<< 所以b >a >c .7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.故选C. 8．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．答案 f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4.所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，所以f (2 016)＝f (0)＝f (2)．由(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)＜0可知当1≤x 1＜x 2≤3时，函数单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，13解析根据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z .当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图．直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案①②④解析1＋2x＋1－2x2＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于－x＋x＋22＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.12．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0恒成立，所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )＞0，即x ＋a x－2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3x －x 2对x ∈[2，＋∞)恒成立．令h (x )＝3x －x 2，3 22＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a＞2.而h(x)＝3x－x2＝－⎝⎛⎭⎫x－。

浙江专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数教案含解析

浙江专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数教案含解析第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sinθ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos5π6，则tan α＝________.答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z)，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z)时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m∈Z)时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cm C. 4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253cm 2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cosθ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcosα＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sinαcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限，所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0，即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13. 综上可得sin β＝13. 答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________．解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝a r ＝a 2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22.答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， ∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa ＝－2，sin β＝a2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .(1)求x 的值；(2)求sin α＋1tan α的值．解：(1)因为角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝36x ，所以有xx 2＋2＝36x .因为x ≠0，所以x 2＋2＝12，解得x ＝±10.(2)若x ＝10，则P (10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若x ＝－10，则P (－10，－2)，所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5.。

2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题1 集合与命题第1练

解析
1
2
3
4
5
4.(2015· 四川 ) 设集合 A ＝ {x|(x ＋ 1)(x － 2) ＜ 0} ，集合 B ＝ {x|1 ＜ x ＜ 3} ，则 A∪B等于( C.{x|1＜x＜2} ) B.{x|－1＜x＜1} D.{x|2＜x＜3} A.{x|－1＜x＜3} √
解析 ∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}， ∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}.
“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0,1,2,3,4}.给出如下四个结论： ①2 016∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”. 其中，正确结论的个数是( A.1 B.2 )
√
C.3
D.4
解析答案
题型三与集合有关的创新题
与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的
深层次理解，在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等. 例3 设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意 x ， y∈S ，都有 x＋ y ， x － y， xy∈S，则称S为封闭集.下列命题：
A.{1，3，4}为“权集”
√
B.{1，2，3，6}为“权集” C.“权集”中元素可以有0 D.“权集”中一定有元素1
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
4 1 10.已知 a， b 均为实数，设集合 A＝{x|a≤x≤a＋ }， B＝{x|b－ ≤x≤b}， 5 3 且 A，B 都是集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把 n－m 叫做集合{x|m≤x≤n}

2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题4 三角函数与平面向量第17练

)
√
π π ， C.3 2
π 0 ， D. 2
解析因为a2＜b2＋c2，
b2＋c2－a2 所以 cos A＝ 2bc ＞0，所以 A 为锐角，
又因为a＞b＞c，所以A为最大角，
π π 的取值范围是3，2 .
解析
所以角 A
1
2
3 55 所以 cos A≥8，所以 sin A≤ 8 ，
1 55 所以 S△ABC＝2bcsin A≤ 4 .
55 所以△ABC 面积的最大值是 4 ， 3 当 cos A＝8时取到.
解析答案
题型三
例3
解三角形与其他知识的交汇
A 2 5 设△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 cos ＝， 2 5
解析
)
B.2
b2＋c2－a2 25＋36－16 3 由余弦定理，得 cos A＝＝＝， 2bc 4 2×5×6
√
C.1
D. 3
2 2 2 a ＋ b － c 16＋25－36 1 7 ∴sin A＝ 4 ，cos C＝ 2ab ＝＝8， 2×4×5 3 7 2× × 4 4 3 7 sin 2A ∴sin C＝ 8 ，∴ sin C ＝＝1. 3 7 8
题型二
例2
正弦、余弦定理与三角函数的综合应用
π π π 2 3sin 4＋x＋2sin4＋x· cos4＋x.
已知函数 f(x)＝2
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
解析答案
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且角 A 满足 f(A) ＝ 3＋1.若 a＝3，BC 边上的中线长为 3，求△ABC 的面积 S.

考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题四第一讲

专题四数列、推理与证明第一讲等差数列与等比数列１．a n与S n的关系：S n＝a１＋a２＋…＋a n，a n＝错误!２．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义a n—a n—１＝常数（n≥２）错误!＝常数（n≥２）通项公式a n＝a１＋（n—１）d a n＝a１q n—１（q≠0）判定方法（１）定义法（２）中项公式法：２a n＋１＝a n＋a n＋２（n≥１）⇔{a n}为等差数列（３）通项公式法：a n＝pn＋q（p、q为常数）⇔{a n}为等差数列（４）前n项和公式法：S n＝An２＋Bn（A、B为常数）⇔{a n}为等差数列（５）{a n}为等比数列，a n>0⇔{log a a n}为等差数列（１）定义法（２）中项公式法：a错误!＝a n·a n＋２（n≥１）（a n≠0）⇔{a n}为等比数列（３）通项公式法：a n＝c·q n（c、q均是不为0的常数，n∈N*）⇔{a n}为等比数列（４）{a n}为等差数列⇔{aa n}为等比数列（a>0且a≠１）性质（１）若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q（２）a n＝a m＋（n—m）d（３）S m，S２m—S m，S３m—S２m，…仍成等差数列（１）若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q（２）a n＝a m q n—m（３）等比数列依次每n项和（S n≠0）仍成等比数列前n项和S n＝错误!＝na１＋错误!d （１）q≠１，S n＝错误!＝错误!（２）q＝１，S n＝na１１．（２0１３·江西）等比数列x,３x＋３,6x＋6，…的第四项等于（）Ａ．—２４Ｂ．0 Ｃ．１２Ｄ．２４答案A解析由x,３x＋３,6x＋6成等比数列得，（３x＋３）２＝x（6x＋6）．解得x１＝—３或x２＝—１（不合题意，舍去）．故数列的第四项为—２４．２．（２0１２·福建）等差数列{a n}中，a１＋a５＝１0，a４＝7，则数列{a n}的公差为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案B解析方法一设等差数列{a n}的公差为d，由题意得错误!解得错误!∴d＝２．方法二∵在等差数列{a n}中，a１＋a５＝２a３＝１0，∴a３＝５．又a４＝7，∴公差d＝7—５＝２．p１：数列{a n}是递增数列；p２：数列{na n}是递增数列；p３：数列错误!是递增数列；p４：数列{a n＋３nd}是递增数列．其中的真命题为（）Ａ．p１，p２Ｂ．p３，p４Ｃ．p２，p３Ｄ．p１，p４答案D解析a n＝a１＋（n—１）d，d＞0，∴a n—a n—１＝d＞0，命题p１正确．na n＝na１＋n（n—１）d，∴na n—（n—１）a n—１＝a１＋２（n—１）d与0的大小和a１的取值情况有关．故数列{na n}不一定递增，命题p２不正确．对于p３：错误!＝错误!＋错误!d，∴错误!—错误!＝错误!，当d —a １＞0，即d ＞a １时，数列{错误!}递增，但d ＞a １不一定成立，则p ３不正确．对于p ４：设b n ＝a n ＋３nd ，则b n ＋１—b n ＝a n ＋１—a n ＋３d ＝４d ＞0． ∴数列{a n ＋３nd }是递增数列，p ４正确．综上，正确的命题为p １，p ４.４．（２0１３·重庆）已知{a n }是等差数列，a １＝１，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a １，a ２，a ５成等比数列，则S 8＝________. 答案 6４解析因为a １，a ２，a ５成等比数列，则a 错误!＝a １·a ５，即（１＋d ）２＝１×（１＋４d ），d ＝２．所以a n ＝１＋（n —１）×２＝２n —１，S 8＝错误!＝４×（１＋１５）＝6４．５．（２0１３·江苏）在正项等比数列{a n }中，a ５＝错误!，a 6＋a 7＝３．则满足a １＋a ２＋…＋a n >a １a ２…a n的最大正整数n 的值为________．答案１２解析由已知条件a ５＝错误!，a 6＋a 7＝３，即错误!q ＋错误!q ２＝３，整理得q ２＋q —6＝0，解得q ＝２，或q ＝—３（舍去）．a n ＝a ５q n —５＝错误!×２n —５＝２n —6， a １＋a ２＋…＋a n ＝错误!（２n —１），a １a ２…a n ＝２—５２—４２—３…２n —6＝２，由a １＋a ２＋…＋a n >a １a ２…a n 可知２n >２＋１，n ≤１２．题型一等差（比）数列的基本运算例１（２0１２·山东）已知等差数列{a n }的前５项和为１0５，且a １0＝２a ５.错误!错误!（１）求数列{a n}的通项公式；（２）对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于7２m的项的个数记为b m.求数列{b m}的前m项和S m.审题破题（１）由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a１和d，从而求出a n.（２）求出b m，再根据其特征选用求和方法．解（１）设数列{a n}的公差为d，前n项和为T n，由T５＝１0５，a１0＝２a５，得错误!解得a１＝7，d＝7．因此a n＝a１＋（n—１）d＝7＋7（n—１）＝7n（n∈N*）．（２）对m∈N*，若a n＝7n≤7２m，则n≤7２m—１.因此b m＝7２m—１.所以数列{b m}是首项为7，公比为４9的等比数列，故S m＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.反思归纳关于等差（等比）数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a１和d （或q）的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差（等比）数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差（等比）数列问题的认识．变式训练１（２0１３·浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a１＝１0，且a１,２a２＋２,５a３成等比数列．（１）求d，a n；（２）若d<0，求|a１|＋|a２|＋|a３|＋…＋|a n|.解（１）由题意得５a３·a１＝（２a２＋２）２，即d２—３d—４＝0．故d＝—１或d＝４．所以a n＝—n＋１１，n∈N*或a n＝４n＋6，n∈N*.（２）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0，由（１）得d＝—１，a n＝—n＋１１．当n≤１１时，|a１|＋|a２|＋|a３|＋…＋|a n|＝S n＝—错误!n２＋错误!n.当n≥１２时，|a１|＋|a２|＋|a３|＋…＋|a n|＝—S n＋２S１１＝错误!n２—错误!n＋１１0．综上所述，|a１|＋|a２|＋|a３|＋…＋|a n|＝错误!题型二等差（比）数列性质的应用例２（１）已知正数组成的等差数列{a n}，前２0项和为１00，则a7·a１４的最大值是（）Ａ．２５Ｂ．５0 Ｃ．１00 Ｄ．不存在（２）在等差数列{a n}中，a１＝—２0１３，其前n项和为S n，若错误!—错误!＝２，则S２0１３的值为（）Ａ．—２0１１Ｂ．—２0１２Ｃ．—２0１0 Ｄ．—２0１３审题破题（１）根据等差数列的性质，a7＋a１４＝a１＋a２0，S２0＝错误!可求出a7＋a１４，然后利用基本不等式；（２）等差数列{a n}中，S n是其前n项和，则错误!也成等差数列．答案（１）A （２）D解析（１）∵S２0＝错误!×２0＝１00，∴a１＋a２0＝１0．∵a１＋a２0＝a7＋a１４，∴a7＋a１４＝１0．∵a n>0，∴a7·a１４≤错误!２＝２５．当且仅当a7＝a１４时取等号．（２）根据等差数列的性质，得数列错误!也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项错误!＝a１＝—２0１３，公差d＝１，故错误!＝—２0１３＋（２0１３—１）×１＝—１，所以S２0１３＝—２0１３．反思归纳等差数列和等比数列的项，前n项和都有一些类似的性质，充分利用性质可简化解题过程．变式训练２（１）数列{a n}是等差数列，若错误!<—１，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n等于（）Ａ．１１Ｂ．１7 Ｃ．１9 Ｄ．２１答案C解析∵{a n}的前n项和S n有最大值，∴数列为递减数列．又错误!<—１，∴a１0>0，a１１<0，得a１0＋a１１<0．而S１9＝错误!＝１9·a１0>0，S２0＝错误!＝１0（a１0＋a１１）<0．故当n＝１9时，S n取得最小正值．（２）公比为２的等比数列{a n}的各项都是正数，且a３a１１＝１6，则log２a１0等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7答案B解析∵a３·a１１＝１6，∴a错误!＝１6．又∵等比数列{a n}的各项都是正数，∴a7＝４．又∵a１0＝a7q３＝４×２３＝２５，∴log２a１0＝５．题型三等差数列、等比数列的综合应用例３已知数列{a n}的前n项和S n满足条件２S n＝３（a n—１），其中n∈N*.（１）证明：数列{a n}为等比数列；（２）设数列{b n}满足b n＝log３a n，若c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和．审题破题（１）利用a n＝S n—S n—１求出a n与a n—１之间的关系，进而用定义证明数列{a n}为等比数列．（２）由（１）的结论得出数列{b n}的通项公式，求出c n的表达式，再利用错位相减法求和．（１）证明由题意得a n＝S n—S n—１＝错误!（a n—a n—１）（n≥２），∴a n＝３a n—１，∴错误!＝３（n≥２），又S１＝错误!（a１—１）＝a１，解得a１＝３，∴数列{a n}为首项为３，公比为３的等比数列．（２）解由（１）得a n＝３n，则b n＝log３a n＝log３３n＝n，∴c n＝a n b n＝n·３n，设T n＝１·３１＋２·３２＋３·３３＋…＋（n—１）·３n—１＋n·３n，３T n＝１·３２＋２·３３＋３·３４＋…＋（n—１）·３n＋n·３n＋１.∴—２T n＝３１＋３２＋３３＋…＋３n—n·３n＋１＝错误!—n·３n＋１，∴T n＝错误!.反思归纳等差、等比数列的判断与证明方法是由已知条件求出a n或得到a n＋１与a n的递推关系，再确认a n＋１—a n＝d（n∈N*，d为常数）或错误!＝q（n∈N*，q为非零常数）是否对一切正整数均成立．变式训练３已知等差数列{a n}的首项a１＝１，公差d>0，且第２项、第５项、第１４项分别是等比数列{b n}的第２项、第３项、第４项．（１）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（２）设数列{c n}对n∈N*，均有错误!＋错误!＋…＋错误!＝a n＋１成立，求c１＋c２＋…＋c２0１３.解（１）∵a２＝１＋d，a５＝１＋４d，a１４＝１＋１３d，d>0，∴（１＋４d）２＝（１＋d）（１＋１３d），解得d＝２．则a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．又∵b２＝a２＝３，b３＝a５＝9，∴等比数列{b n}的公比q＝错误!＝错误!＝３．∴b n＝b２q n—２＝３×３n—２＝３n—１.（２）由错误!＋错误!＋…＋错误!＝a n＋１，得当n≥２时，错误!＋错误!＋…＋错误!＝a n，两式相减，得错误!＝a n＋１—a n＝２，∴c n＝２b n＝２×３n—１（n≥２）而当n＝１时，错误!＝a２，∴c１＝３．∴c n＝错误!∴c１＋c２＋…＋c２0１３＝３＋２×３１＋２×３２＋…＋２×３２0１２＝３＋错误!＝３—３＋３２0１３＝３２0１３.典例（１４分）已知数列a１，a２，…，a３0，其中a１，a２，…，a１0是首项为１，公差为１的等差数列；a１0，a１１，…，a２0是公差为d的等差数列；a２0，a２１，…，a３0是公差为d２的等差数列（d≠0）．（１）若a２0＝４0，求d；（２）试写出a３0关于d的关系式，并求a３0的取值范围；（３）续写已知数列，使得a３0，a３１，…，a４0是公差为d３的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（２）类似的问题（（２）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？规范解答解（１）由题意可得a１0＝１0，a２0＝１0＋１0d＝４0，∴d＝３．[３分]（２）a３0＝a２0＋１0d２＝１0（１＋d＋d２）＝１0错误!（d≠0）．[５分]当d∈（—∞，0）∪（0，＋∞）时，a３0∈[7．５，＋∞）．[7分]（３）所给数列可推广为无穷数列{a n}，其中a１，a２，…，a１0是首项为１，公差为１的等差数列，当n≥１时，数列a１0n，a１0n＋１，…，a１0（n＋１）是公差为d n的等差数列．[9分]研究的问题可以是：试写出a１0（n＋１）关于d的关系式，并求出a１0（n＋１）的取值范围．研究的结论可以是：由a４0＝a３0＋１0d３＝１0（１＋d＋d２＋d３），[１１分]依次类推可得a１0（n＋１）＝１0（１＋d＋…＋d n）＝错误![１３分]当d>0时，a１0（n＋１）的取值范围为（１0，＋∞）．[１４分]评分细则（１）列出关于d的方程给１分；（２）求a３0的范围时没有注明d≠0扣１分．阅卷老师提醒本题从具体数列入手，先确定d，然后利用函数思想求a３0的范围，最后通过观察寻求一般规律，将结论进行推广，要求熟练掌握数列的基本知识，灵活运用数列性质．１．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a３·a7＝４a错误!，a２＝２，则a１等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．错误!答案A解析设数列{a n}的公比为q（q>0），由a２>0，知a４>0，a５>0，由于a３·a7＝a错误!，所以a错误!＝４a错误!，从而a５＝２a４，q＝２，故a１＝错误!＝错误!＝１．２．已知{a n}为等差数列，a１＋a３＋a５＝１0５，a２＋a４＋a6＝99，以S n表示数列{a n}的前n项和，则使得S n取得最大值的n是（）Ａ．２１Ｂ．２0 Ｃ．１9 Ｄ．１8答案B解析设数列{a n}的公差是d，则a２＋a４＋a6—（a１＋a３＋a５）＝３d＝99—１0５＝—6，即d＝—２．又３a３＝１0５，所以a３＝３５．所以a n＝a３＋（n—３）d＝４１—２n.令a n>0得n<２0．５，即数列{a n}的前２0项均为正，自第２１项起以后各项均为负，因此使得S n达到最大值的n为２0．３．首项为—２４的等差数列{a n}从第１0项开始为正数，则公差d的取值范围是（）Ａ．错误!≤d<３Ｂ．错误!<d<３Ｃ．错误!<d≤３Ｄ．错误!≤d≤３答案C解析设等差数列{a n}的公差为d，由已知得错误!即错误!所以d的取值范围是错误!<d≤３．４．（２0１３·辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a１，a３是方程x２—５x ＋４＝0的两个根，则S6＝________.答案6３解析∵a１，a３是方程x２—５x＋４＝0的两根，且q＞１，∴a１＝１，a３＝４，则公比q＝２，因此S6＝错误!＝6３．５．（２0１２·浙江）设公比为q（q>0）的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S２＝３a２＋２，S４＝３a４＋２，则q＝________.答案错误!解析方法一S４＝S２＋a３＋a４＝３a２＋２＋a３＋a４＝３a４＋２，将a３＝a２q，a４＝a２q２代入得，３a２＋２＋a２q＋a２q２＝３a２q２＋２，化简得２q２—q—３＝0，解得q＝错误!（q＝—１不合题意，舍去）．方法二设等比数列{a n}的首项为a１，由S２＝３a２＋２，得a１（１＋q）＝３a１q＋２．１由S４＝３a４＋２，得a１（１＋q）（１＋q２）＝３a１q３＋２．２由２—１得a１q２（１＋q）＝３a１q（q２—１）．∵q>0，∴q＝错误!.6．（２0１３·安徽）如图，互不相同的点A １，A２，…，A n，…和B１，B２，…，B n…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n＋１A n＋１的面积均相等．设OA n＝a n，若a１＝１，a２＝２，则数列{a n}的通项公式是________．答案a n＝错误!解析由已知S梯形A n B n B n＋１A n＋１＝S梯形A n＋１B n＋１B n＋２A n＋２，S△OB n＋１A n＋１—S△OB n A n＝S△OB n＋２A n＋２—S△OB n＋１A n＋１，即S△OB n A n＋S△OB n＋２A n＋２＝２S△OB n＋１A n＋１由相似三角形面积比是相似比的平方知OA错误!＋OA错误!＝２OA错误!，即a错误!＋a错误!＝２a 错误!，因此{a错误!}为等差数列且a错误!＝a错误!＋３（n—１）＝３n—２，故a n＝错误!.专题限时规范训练一、选择题１．（２0１３·课标全国Ⅱ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S３＝a２＋１0a１，a５＝9，则a１等于（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案C解析设等比数列{a n}的公比为q，由S３＝a２＋１0a１得a１＋a２＋a３＝a２＋１0a１，即a３＝9a１，q２＝9，又a５＝a１q４＝9，所以a１＝错误!.２．等比数列{a n}的前n项和为S n，若２S４＝S５＋S6，则数列{a n}的公比q的值为（）Ａ．—２或１Ｂ．—１或２Ｃ．—２Ｄ．１答案C解析方法一若q＝１，则S４＝４a１，S５＝５a１，S6＝6a１，显然不满足２S４＝S５＋S6，故A、D错．若q＝—１，则S４＝S6＝0，S５＝a５≠0，不满足条件，故B错，因此选Ｃ．方法二经检验q＝１不适合，则由２S４＝S５＋S6，得２（１—q４）＝１—q５＋１—q6，化简得q２＋q—２＝0，∴q＝１（舍去），q＝—２．３．已知{a n}为等差数列，a２＋a8＝错误!，则S9等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7答案C解析∵{a n}为等差数列，∴a２＋a8＝a１＋a9＝错误!，∴S9＝错误!＝错误!＝6．４．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前３项和的9倍，则此数列的公比为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析等比数列中，S6＝9S３，∴S6—S３＝8S３，∴错误!＝q３＝8，∴q＝２．５．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且错误!＝错误!，则使得错误!为整数的正整数n的个数是（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝7＋错误!（n∈N*），故n＝１,２,３,５,１１时，错误!为整数．6．已知{a n}为等差数列，其公差为—２，且a7是a３与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S１0的值为（）Ａ．—１１0 Ｂ．—90Ｃ．90 Ｄ．１１0答案D解析∵a３＝a１＋２d＝a１—４，a7＝a１＋6d＝a１—１２，a9＝a１＋8d＝a１—１6，又∵a7是a３与a9的等比中项，∴（a１—１２）２＝（a１—４）·（a１—１6），解得a１＝２0．∴S１0＝１0×２0＋错误!×１0×9×（—２）＝１１0．7．已知数列{a n}满足１＋log３a n＝log３a n＋１（n∈N＋），且a２＋a４＋a6＝9，则log错误!（a５＋a7＋a9）的值是（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．５Ｄ．—５答案D解析由１＋log３a n＝log３a n＋１得错误!＝３，{a n}为等比数列，公比为３．∴a５＋a7＋a9＝２7（a２＋a４＋a6）＝２7×9＝３５，∴log错误!（a５＋a7＋a9）＝log错误!３５＝—５．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S１５>0，S１6<0，则错误!，错误!，…，错误!中最大的项为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由S１５＝错误!＝１５a8>0，得a8>0．由S１6＝错误!＝错误!<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0．所以数列{a n}为递减数列．所以a１，…，a8为正，a9，…，a n为负，且S１，S２，…，S１５>0，S１6，S１7，…，S n<0，则错误!<0，错误!<0，…，错误!>0．又S8>S7>S6>0，a6>a7>a8>0．∴错误!>错误!>错误!，故错误!最大．二、填空题9．（２0１３·课标全国Ⅰ）若数列{a n}的前n项和S n＝错误!a n＋错误!，则{a n}的通项公式是a n＝_______.答案（—２）n—１解析当n＝１时，a１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝错误!a n—错误!a n—１，故错误!＝—２，故a n＝（—２）n—１.１0．（２0１３·课标全国Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S１0＝0，S１５＝２５，则nS n的最小值为________．答案—４9解析由题意知a１＋a１0＝0，a１＋a１５＝错误!.两式相减得a１５—a１0＝错误!＝５d，∴d＝错误!，a１＝—３．∴nS n＝n·错误!＝错误!＝f（n），f′（n）＝错误!n（３n—２0）．令f′（n）＝0得n＝0（舍）或n＝错误!.当n>错误!时，f（n）是单调递增的；当0<n<错误!时，f（n）是单调递减的．故当n＝7时，f（n）取最小值，f（n）min＝—４9．∴nS n的最小值为—４9．１１．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a１＝—１１，a４＋a6＝—6，则当S n取最小值时，n＝________.答案6解析设等差数列的公差为d，则由a４＋a6＝—6得２a５＝—6，∴a５＝—３．又∵a１＝—１１，∴—３＝—１１＋４d，∴d＝２，∴S n＝—１１n＋错误!×２＝n２—１２n＝（n—6）２—３6，故当n＝6时S n取最小值．１２．在数列{a n}中，如果对任意n∈N*都有错误!＝k（k为常数），则称数列{a n}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列问题：１等差比数列的公差比一定不为零；２等差数列一定是等差比数列；３若a n＝—３n＋２，则数列{a n}是等差比数列；４若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确命题的序号为________．答案１３４解析若k＝0，{a n}为常数列，分母无意义，１正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，２错误；错误!＝３，满足定义，３正确；设a n＝a１q n—１（q≠0），则错误!＝错误!＝q，４正确．三、解答题１３．（２0１３·福建）已知等差数列{a n}的公差d＝１，前n项和为S n.（１）若１，a１，a３成等比数列，求a１；（２）若S５>a１a9，求a１的取值范围．解（１）因为数列{a n}的公差d＝１，且１，a１，a３成等比数列，所以a错误!＝１×（a１＋２），即a错误!—a１—２＝0，解得a１＝—１或a１＝２．（２）因为数列{a n}的公差d＝１，且S５>a１a9，所以５a１＋１0>a错误!＋8a１，即a错误!＋３a１—１0<0，解得—５<a１<２．１４．已知数列{a n}的前n项和为S n，a１＝错误!，且２S n＝２S n—１＋２a n—１＋１（n≥２，n∈N*）．数列{b n}满足b１＝错误!，且３b n—b n—１＝n（n≥２，n∈N*）．（１）求证：数列{a n}为等差数列；（２）求证：数列{b n—a n}为等比数列；（３）求数列{b n}的通项公式以及前n项和T n.（１）证明∵２S n＝２S n—１＋２a n—１＋１（n≥２，n∈N*），∴当n≥２时，２a n＝２a n—１＋１，可得a n—a n—１＝错误!.∴数列{a n}为等差数列．（２）证明∵{a n}为等差数列，公差d＝错误!，∴a n＝a１＋（n—１）×错误!＝错误!n—错误!.又３b n—b n—１＝n（n≥２），∴b n＝错误!b n—１＋错误!n（n≥２），∴b n—a n＝错误!b n—１＋错误!n—错误!n＋错误!＝错误!b n—１—错误!n＋错误!＝错误!（b n—１—错误!n＋错误!）＝错误![b n—１—错误!（n—１）＋错误!]＝错误!（b n—１—a n—１），又b１—a１＝错误!≠0，∴对n∈N*，b n—a n≠0，得错误!＝错误!（n≥２）．∴数列{b n—a n}是首项为错误!，公比为错误!的等比数列．（３）解由（２）得b n—a n＝错误!·错误!n—１，∴b n＝错误!—错误!＋错误!·错误!n—１（n∈N*）．∵b１—a１＋b２—a２＋…＋b n—a n＝错误!，∴b１＋b２＋…＋b n—（a１＋a２＋…＋a n）＝错误!错误!.∴T n—错误!＝错误!错误!.∴T n＝错误!＋错误!错误!（n∈N*）．。

(浙江通用)2017版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：4.如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z ) ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．3．(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1答案 C解析设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2sin 1. 4. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)答案 A解析由三角函数的定义知P x ＝cos θ，P y ＝sin θ，故选A. 5．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2c os x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一角及其表示例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．(2)若角α在第三象限，则α2在第________象限．答案 (1)⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z ) (2)二或四解析 (1)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z )． (2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 (1)B (2)C解析 (1)方法一由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.方法二由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.题型二弧度制的应用例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角：(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3 (cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋R α＝1012α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大．答案 (1)C (2)1 2解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)设扇形圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. 题型三三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 (1)B (2)A解析 (1)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 命题点2 三角函数值的符号例4 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 (1)C (2)B 解析 (1)∵sin α＜0，∴α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴上；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． (2)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．命题点3 三角函数线例5 满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .(2)根据三角函数定义中x 、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴上B ．y 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上(2)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]答案 (1)A (2)A 解析 (1)||cos α＝1，∴角α的终边在x 轴上．(2)∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.故选A.6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思维点拨 (1)点P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P 点坐标和三角形边长的关系．(2)求函数的定义域可转化为解不等式－32＜sin x ＜32，利用三角函数线可直观清晰得出x 的范围．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以|PB |＝sin(2－π2)＝－cos 2，|CB |＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－|CB |＝2－sin 2，y P ＝1＋|PB |＝1－cos 2，所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2) ∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ) 温馨提醒 (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．[方法与技巧]1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． [失误与防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．给出下列四个命题：( )①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2 答案 C解析设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3.3．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 等于( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3 答案 D解析依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－ 3. 4．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B.5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案 π3 解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l r ＝π612lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3r ＝2.7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．答案－1解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．答案四解析由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2 (k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2≤0，所以α2只能是第四象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．所以圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案 B解析圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1. 12．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是( )A ．①②B ．②C ．③D ．①答案 C解析与－1 000°终边相同的角是80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则cos(－2 200)°>0；－7π2<－10<－3π，所以－10是第二象限角，则tan(－10)<0.13．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 答案 C 解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α，∴α的一个变化区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 14．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．答案 (1，3)解析设B (x ，y )，由题意知|OA |＝|OB |＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，∴B 点的坐标为(1，3)．15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·|－π6|＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。

(浙江专用)高考数学一轮总复习专题4 三角函数 4.3 三角恒等变换检测-人教版高三全册数学试题

4.3 三角恒等变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2018某某,18两角和的正弦和余弦计算任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2017某某,14 二倍角公式余弦定理2016某某文,11降幂公式、辅助角公式2015某某,16,7,文16 两角和的正弦正弦定理2014某某文,18 两角和的余弦余弦定理、三角形的面积简单的三角恒等变换能利用和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角函数恒等变换.2017某某,18降幂公式、辅助角公式最小正周期、单调区间★★★2016某某,10,文16两角和的正弦、余弦正弦定理2015某某,16 三角恒等变换正弦定理、三角形的面积分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016某某,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2020年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2018某某某某十校第一学期期末调研,3)sin 5°cos 55°-cos 175°sin 55°的结果是( )A.-B.C.-D.答案 D2.(2018某某9+1高中联盟期中,12)设sin 2α=sin α,α∈(0,π),则cos α=,tan 2α=.答案;-解析(1)由(b+c)2-a2=(2+)bc得b2+c2-a2=bc,∴cos A==,∴A=.由sin Asin B=cos2,得sin B=,∴sin B=1+cos,即sin B+cos B=sin=1,且B+C=π,故B=.(2)f(x)=sin x(cos x+asin x)=+=sin(2x-φ)+≤+=(其中tan φ=a),解得a=.2.(2018某某高考模拟卷,18)函数f(x)=acos ωx+bsin ωx(ω>0)的最小正周期为,当x=时,有最大值4.(1)求a,b,ω的值;(2)若<x<,且f=,求f的值.解析(1) f(x)=acos ωx+bsin ωx=sin(ωx+θ),其中sin θ=,cos θ=.由条件得=,∴ω=4,∴f(x)=acos 4x+bsin 4x,又x=时,有最大值4,∴-a+b==4,解得a=-2,b=2.(2)由(1)得f(x)=2sin 4x-2cos 4x=4sin,则f=4sin=,∴cos 4x=,∵<x<,∴cos 2x=-=-,∴f=4sin=4cos 2x=-.炼技法【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.已知tan α=2 018tan,则=( )A.-1B.1C.-D.答案 C2.(人教A必4,一,2,B2,变式)已知α为第二象限角,则cos α+sin α=. 答案sin α-cos α方法2 三角函数式的求值方法1.(2017某某模拟训练冲刺卷五,14)已知sin+sin α=,且α∈,则sin=,cos α=.答案;2.已知α,β均为锐角,且cos α=,tan β=.(1)比较α,β的大小;(2)设θ,φ均为锐角,且sin(α+θ)sin(β+φ)=1,求θ+φ的值.解析(1)∵cos α=,α∈,∴sin α==,∴tan α=.∵tan β=<=tan α,β∈,函数y=tan x在上单调递增,∴α>β.(2)由(1)得tan(α+β)==1,又α+β∈(0,π),∴α+β=.∵α,β,θ,φ∈,∴α+θ,β+φ∈(0,π),∴0<sin(α+θ)≤1,0<sin(β+φ)≤1.∵sin(α+θ)sin(β+φ)=1,∴sin(α+θ)=sin(β+φ)=1,∴α+θ=β+φ=.∵α+β=,∴θ+φ=π-(α+β)=.方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2018某某“七彩阳光”联盟期初联考,18)已知f(x)=2cos2x+sin 2x-+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin 2x+(2cos2x-1)+1=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).(2)∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈,∴f(x)∈[0,3].2.(2018某某某某地区重点中学第一学期期中,20)已知a=(2cos α,2sin α),b=(cos β,sin β),其中0≤α<β<π,设=a+b,=a-2b(O为坐标原点),以OA,OB为邻边所作的平行四边形为菱形.(1)求cos(β-α)的值;(2)若α=0,单位向量e=xa+yb(x,y∈R),求x+y的最大值.解析(1)∵a=(2cos α,2sin α),b=(cos β,sin β),∴a+b=(2cos α+cos β,2sin α+sin β),a-2b=(2cos α-2cos β,2sin α-2sin β).∵|a+b|=|a-2b|,即(2cos α+cosβ)2+(2sin α+sin β)2=(2cos α-2cos β)2+(2sin α-2sinβ)2,∴12cos(β-α)=3,∴cos(β-α)=.(2)当α=0时,a=(2,0),b=,e=xa+yb=,设e=(cos θ,sin θ),则⇒∴x+y=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),∴(x+y)max=.过专题【五年高考】A组自主命题·某某卷题组考点一两角和与差的三角函数(2014某某文,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sin Asin B=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.解析(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,故cos(A+B)=-,所以A+B=,从而C=.(2)由S△ABC=absin C=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c=.评析本题主要考查两角和与差的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.考点二简单的三角恒等变换(2016某某,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2018课标全国Ⅲ理,4,5分)若sin α=,则cos 2α=()A. B. C.- D.-答案 B2.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=()A. B. C.- D.-答案 D3.(2018课标全国Ⅱ理,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=.答案-4.(2017课标全国Ⅰ文,15,5分)已知α∈,tan α=2,则cos=.答案考点二简单的三角恒等变换1.(2017课标全国Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=,则sin 2α=()A.-B.-C.D.答案 A2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tan α=,则( )A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案 C3.(2016某某,11,5分)cos2-sin2=.答案4.(2014某某,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin.(1)因为0<α<,sin α=,所以α=,从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.C组教师专用题组考点一两角和与差的三角函数1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-B.C.-D.答案 D2.(2015某某,9,5分)若tan α=2tan,则=( )A.1B.2C.3D.4答案 C3.(2017某某,5,5分)若tan=,则tan α=.答案4.(2015某某,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是.答案5.(2015某某,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为.答案 36.(2018某某,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.(1)求cos 2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析本小题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tan α=,tan α=,所以sin α=cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=,所以tan 2α==-.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.7.(2014某某,15,14分)已知α∈,sin α=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-.故sin=sincos α+cossin α=×+×=-.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=cos cos 2α+sin sin 2α=×+×=-.评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.考点二简单的三角恒等变换1.(2017某某文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=( )A.-B.C.-D.答案 D2.(2017某某,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届某某中学第一次模拟,2)计算:sin 5°cos 55°-co s 175°sin 55°的结果是( )A.-B.C.-D.答案 D2.(2019届镇海中学期中考试,7)已知sin=-,则cos 2α+sin 2α=()A. B.- C.- D.答案 A3.(2018某某新高考调研卷五(某某一中),5)已知△ABC中,有关系式tan C(sin 2B-sinA)=cos 2B+cos A成立,则△ABC为( )A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案 C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共20分)4.(2019届某某中学第一次模拟,15)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则cos 2α=,tan(α-β)=.答案-;-5.(2019届某某高考模拟试卷(五),16)若sin=cos+cos,则tan α=.答案6.(2018某某某某二中期中,15)若α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),则tan α=.答案7.(2018某某某某二模(3月),12)若cos 2α=2cos,α∈(0,π),则sin 2α=,tanα=.答案1;1三、解答题(共20分)8.(2019届某某名校协作体高三联考,18)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)在区间上的取值X围.解析(1)f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-=+-=cos.由=π,得ω=1.(2)由(1)知f(x)=cos,因为x∈,所以2x-∈,所以f(x)∈.9.(2018某某新高考调研卷二(镇海中学),18)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(ω>0)满足f(0)=,且f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为π.(1)求a与ω的值;(2)若f(α)=,α∈,求cos的值.解析(1)∵f(0)=,∴a=,∴f(x)=2sin,∵T=2π,∴ω=1.(2)∵f(α)=,∴sin=,∵-<α<,∴-<α+<.∵sin=<1,∴0<α+<,∴cos=,∴cos=cos=×+×=.。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题高考知识方法篇专题4三角函数与平面向量第16练

第16练三角函数的图象与性质[题型分析· (高|考 )展望] 三角函数的图象与性质是 (高|考 )中对三角函数局部考查的重点和热点 ,主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别 ,三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换．考查题型既有选择题、填空题 ,也有解答题 ,难度一般为低中档 ,在二轮复习中应强化该局部的训练 ,争取对该类试题会做且不失分．体验 (高|考 )1．(2021·湖南)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象 ,假设对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1 ,x 2 ,有|x 1－x 2|min ＝π3 ,那么φ等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 D解析因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ) , 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1 ,－1≤sin(2x 2－2φ)≤1 ,所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中 ,一个为1 ,另一个为－1 ,不妨取sin 2x 1＝1 ,sin(2x 2－2φ)＝－1 ,那么2x 1＝2k 1π＋π2 ,k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2 ,k 2∈Z ,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π ,(k 1－k 2)∈Z , 得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2 ,所以0<π2－φ<π2,故当k 1－k 2＝0时 ,|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3 ,那么φ＝π6,应选D.2．(2021·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象 ,只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析由题可知 ,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6 ,那么只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位 ,选D.3．(2021·课标全国乙)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0 |φ|≤π2 ,x ＝－π4为f (x )的零点 ,x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴 ,且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18 5π36上单调 ,那么ω的最||大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析因为x ＝－π4为f (x )的零点 ,x ＝π4为f (x )的图象的对称轴 ,所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ,即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω ,所以ω＝4k ＋1(k ∈N *) ,又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π185π36上单调 ,所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω,即ω≤12 ,由此得ω的最||大值为9 ,应选B. 4．(2021·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最||小正周期是________ ,单调递减区间是________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π 7π8＋k π ,k ∈Z 解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32 ,∴T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π ,k ∈Z ,解得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π ,k ∈Z ,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π 7π8＋k π ,k ∈Z . 5．(2021·天津)函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x · cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最||小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π ,k ∈Z }．f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最||小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3,那么函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π π2＋2k π ,k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π ,k ∈Z .得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π ,k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4 π4 ,B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π ,k ∈Z } ,易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12π4. 所以 ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4 π4时 ,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12 π4上单调递增 ,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4 －π12上单调递减． (高|考 )必会题型题型一三角函数的图象例1 (1)(2021·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的局部图象如下列图 ,那么f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14 k π＋34 ,k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14 2k π＋34 ,k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14 k ＋34 ,k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14 2k ＋34 ,k ∈Z(2)(2021·北京)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.假设P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上 ,那么( ) A ．t ＝12 ,s 的最||小值为π6B ．t ＝32 ,s 的最||小值为π6C ．t ＝12 ,s 的最||小值为π3D ．t ＝32 ,s 的最||小值为π3答案 (1)D (2)A解析 (1)由图象知 ,周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2 , ∴2πω＝2 ,∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π ,k ∈Z ,不妨取φ＝π4 ,∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π ,k ∈Z ,得2k －14<x <2k ＋34,k ∈Z ,∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －142k ＋34 ,k ∈Z .应选D.(2)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上 , 那么t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋s )－π3＝sin 2x , 故s ＝π6＋k π ,k ∈Z ,所以s 的最||小值为π6.点评 (1)画三角函数图象用 "五点法〞 ,由图象求函数解析式逆用 "五点法〞是比较好的方法．(2)对三角函数图象主要确定以下信息：①周期；②最||值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系．变式训练1 (1)假设函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(0<ω<2)的图象关于直线x ＝π6对称 ,那么f (x )的最||小正周期为( ) A.2π3B.4π3C ．2πD.8π3(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0 ,|φ|＜π2 ,ω＞0)的图象的一局部如下列图 ,那么该函数的解析式为______________．答案 (1)B (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(0<ω<2)的图象关于直线x ＝π6对称 ,∴sin(π6ω＋π4)＝±1 ,∴π6ω＋π4＝k π＋π2 ,k ∈Z , 解得ω＝6k ＋32 ,k ∈Z ,∵ω＝6k ＋32∈(0,2) ,解得k ＝(－14 ,112) ,k ∈Z ,∴可得k ＝0 ,解得ω＝32.∴f (x )的最||小正周期T ＝2πω＝2π32＝4π3.(2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上 , ∴1＝2sin(ω·0＋φ) ,即sin φ＝12.∵|φ|＜π2 ,∴φ＝π6.又∵11π12是函数的一个零点 ,且是图象递增穿过x 轴形成的零点 ,∴11π12ω＋π6＝2π ,∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 题型二三角函数的简单性质例2 (2021·重庆)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最||小正周期和最||大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π62π3上的单调性．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32 , 因此f (x )的最||小正周期为π ,最||大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π62π3时 ,0≤2x －π3≤π ,从而当0≤2x －π3≤π2 ,即π6≤x ≤5π12时 ,f (x )单调递增 ,当π2≤2x －π3≤π ,即5π12≤x ≤2π3时 ,f (x )单调递减．综上可知 ,f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6 5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π122π3上单调递减．点评解决此类问题首||先将函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式 ,再将ωx ＋φ看成θ , 利用y ＝sin θ(或y ＝cos θ)的单调性、对称性等性质解决相关问题．变式训练2 (2021·北京)函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最||小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4 , 由ω＞0 ,f (x )最||小正周期为π ,得2π2ω＝π ,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 , 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π ,k ∈Z ,解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π ,k ∈Z ,即f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π π8＋k π ,k ∈Z . 题型三三角函数图象的变换例3 (2021·湖北)某同学用 "五点法〞画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0 |φ|<π2在某一个周期内的图象时 ,列表并填入了局部数据 ,如下表：(1) 请将上表数据补充完整 ,并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度 ,得到y ＝g (x )的图象．假设y ＝g (x )图象的一个对称中|心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12 0 ,求θ的最||小值．解 (1)根据表中数据 ,解得A ＝5 ,ω＝2 ,φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 , 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的图象的对称中|心为(k π ,0) ,k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π ,解得x ＝k π2＋π12－θ ,k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12 0成中|心对称 ,令k π2＋π12－θ＝5π12 ,解得θ＝k π2－π3 ,k ∈Z , 由θ>0可知 ,当k ＝1时 ,θ取得最||小值π6.点评对于三角函数图象变换问题 ,平移变换规那么是 "左加右减 ,上加下减〞 ,并且在变换过程中只变换其中的自变量x ,要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．当两个函数的名称不同时 ,首||先要将函数名称统一 ,其次把ωx ＋φ写成ω(x ＋φω) ,最||后确定平移的单位和方向．伸缩变换时注意表达为 "变为原来的〞这个字眼 ,变换的倍数要根据横向和纵向加以区分．变式训练3 向量a ＝(m ,cos 2x ) ,b ＝(sin 2x ,n ), 函数f (x )＝a ·b ,且y ＝f (x )的图象过点(π12 ,3)和点(2π3 ,－2)．(1)求m ,n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象 ,假设y ＝g (x )图象上各最||高点到点(0,3)的距离的最||小值为1 ,求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12 ,3)和点(2π3,－2) ,所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n －2＝－32m －12n 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝ 3n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最||高点为(x 0,2) ,由题意知 ,x 20＋1＝1 ,所以x 0＝0 , 即y ＝g (x )图象上到点(0,3)的距离为1的最||高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1 ,因为0<φ<π ,所以φ＝π6 ,所以g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π ,k ∈Z ,得k π－π2≤x ≤k π ,k ∈Z ,所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2,k π] ,k ∈Z .(高|考 )题型精练1．(2021·四川)以下函数中 ,最||小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ,最||小正周期T ＝2π2＝π ,且为奇函数 ,其图象关于原点对称 ,故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ,最||小正周期为π ,且为偶函数 ,其图象关于y 轴对称 ,故B 不正确； C ,D 均为非奇非偶函数 ,其图象不关于原点对称 ,故C ,D 不正确．2．(2021·课标全国甲)假设将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度 ,那么平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案 B解析由题意 ,将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ,由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) ,应选B. 3．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0 ,|φ|<π2) ,y ＝f (x )的局部图象如下列图 ,那么f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3 D ．1答案 C解析由图象知 ,T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2 ,ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π ,k ∈Z ,得φ＝k π－3π4 ,k ∈Z .又∵|φ|＜π2 ,∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1 ,知A ＝1 ,∴f (x )＝tan(2x ＋π4) ,∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.4．函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的局部图象如下列图 ,那么函数g (x )的解析式可以是( )A ．g (x )＝sin(2x －π3)B ．g (x )＝sin(2x ＋2π3)C ．g (x )＝cos(2x ＋5π6)D ．g (x )＝cos(2x －π6)答案 C解析代值计算可得f (π8)＝sin π4＝22 ,由图象可得g (x )的图象经过点(17π24 ,22) ,代入验证可得选项A ,g (17π24)＝sin 13π12≠22 ,故错误；选项B ,g (17π24)＝sin 25π12≠22,故错误；选项D ,g (17π24)＝cos 15π12＝－cos π4≠22 ,故错误；选项C ,g (17π24)＝cos 27π12＝cos π4＝22 ,故正确．5．α∈[0 ,π] ,(1)假设cos α＝12,那么tan 2α＝________；(2)假设sin α＞cos α＞12 ,那么α的取值范围是________．答案 (1)－3 (2)(π4 ,π3)解析 (1)∵cos α＝12 ,α∈[0 ,π] ,∴α＝π3 ,∴tan 2α＝tan2π3＝－ 3. (2)α∈[0 ,π] ,又sin α＞cos α , ∴α>π4 ,cos α＞12 ,∴α＜π3 ,综上可知：α的取值范围是(π4 ,π3)．6．φ∈[0 ,π) ,函数f (x )＝cos 2x ＋cos(x ＋φ)是偶函数 ,那么φ＝________ ,f (x )的最||小值为________．答案 0 －98解析 ∵函数f (x )＝cos 2x ＋cos(x ＋φ)是偶函数 ,∴f (－x )－f (x )＝cos(－2x )＋cos(－x ＋φ)－cos 2x －cos(x ＋φ)＝0恒成立 , 即cos(－x ＋φ)－cos(x ＋φ)＝－2sin φ·sin(－x ) ＝2sin φ·sin x ＝0恒成立 , ∵φ∈[0 ,π) ,∴φ＝0.f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2(cos x ＋14)2－98.∴f (x )的最||小值为－98.7．(2021·课标全国丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至||少向右平移____个单位长度得到．答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ,y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ,因此至||少向右平移2π3个单位长度得到．8．(2021·湖北)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．答案 2解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)| ,令f (x )＝0 ,得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如下列图．观察图象可知 ,两函数图象有2个交点 ,故函数f (x )有2个零点．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) ,对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ,那么f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 ±2解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ,∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.10．把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位 ,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象 ,对于函数y ＝f (x )有以下四个判断： ①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 0对称；③该函数在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π6上是增函数；④假设函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的最||小值为 3 ,那么a ＝2 3.其中 ,正确判断的序号是________．答案 ②④解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象 ,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象 ,所以①不正确；y ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0 ,所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 0对称 ,所以②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π ,k ∈Z ,得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π ,k ∈Z ,即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π π12＋k π ,k ∈Z ,当k ＝0时 ,增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12 π12 ,所以③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ,当0≤x ≤π2时 ,π3≤2x ＋π3≤4π3 ,所以当2x ＋π3＝4π3 ,即x ＝π2时 ,函数取得最||小值 ,y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a＝ 3 ,所以a ＝2 3 ,所以④正确．所以正确的判断为②④. 11．(2021·天津)函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ,x ∈R . (1)求f (x )的最||小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3π4上的最||大值和最||小值．解 (1)由 ,有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最||小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3 －π6上是减函数 ,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6 π4上是增函数 ,f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14 , f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12 ,f ⎝⎛⎭⎫π4＝34, 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3π4上的最||大值为34 ,最||小值为－12.12．(2021·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ,再把得到的图象向左平移π3个单位 ,得到函数y ＝g (x )的图象 ,求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z ) ,得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12 k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12 k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1 , 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) , 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象 , 再把得到的图象向左平移π3个单位 ,得到y ＝2sin x ＋3－1的图象 , 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。

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