[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.6圆内接四边形同步练习新版浙教版

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九年级上册数学书圆的知识点总结

九年级上册数学书中圆的知识点总结1. 圆的概念：圆是一个由曲线包围的形状，它由一个中心点（称为圆心）和到这个中心的固定距离（称为半径）的所有点组成。

这个形状可以看作是线段OA 绕着它的一个端点O旋转一周后，另一个端点A所形成的轨迹。

2. 圆心和半径：在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦长度相等，所对的弧长度相等，所对的弦的弦心距（即从圆心到弦的垂线段的长度）也相等。

这个规律是由于圆本身的性质决定的，它反映了圆的一个重要特性。

3. 弧、弦的关系：在同一个圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

这个规律在证明一些几何定理时非常有用，它帮助我们理解圆中的角度和线段之间的关系。

4. 垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这个定理是圆中一个重要的定理，它在证明一些与弦有关的定理时非常有用。

5. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这个定理是圆中一个基本的定理，它帮助我们理解圆中的角的关系。

6. 切线：切线是指与圆只有一个公共点的直线。

这个公共点称为切点。

切线在几何学中有着重要的应用，它可以用来证明一些关于圆的定理。

7. 切线定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

这个定理帮助我们判断哪些直线是圆的切线，以及如何找到圆的切线。

8. 三角形的外接圆与外心：任何一个三角形都有一个外接圆和外心。

外接圆的半径等于三角形外心的半径。

这个知识点帮助我们理解三角形的性质以及如何找到三角形的外接圆和外心。

9. 圆与正多边形：正多边形的各边长度都相等，各内角也相等。

这个知识点可以帮助我们理解正多边形的性质以及如何计算它们的面积和周长。

10. 反证法：在证明一个几何命题时，如果直接证明有困难，可以先假设命题不成立，然后推导出与已知事实或已证明的定理矛盾的结果，从而证明假设不成立，命题得证。

反证法是一种有效的证明方法，它在几何学中经常被使用。

浙教版初中九年级上册数学精品教学课件第3章圆的基本性质 3.6 圆内接四边形

注意一个圆有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知识点2 圆内接四边形的性质重难点
内容
图示
数学语言
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的对角互补.
四边形是的内接四边形，，.
教材深挖与圆内接四边形有关的结论
结论
图示
①在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，即若圆周角在弦的同侧，则相等，若在弦的异侧，则互补.如图，，.
②圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图，.
推导过程：四边形内接于，.，
典例1如图，四边形内接于，，则的度数是()
D
A.B.C.D.
[解析]四边形内接于，.又，，.
中考常考考点
难度
常考题型
考点：圆内接四边形的性质定理，主要考查利用圆内接四边形的性质定理求角的度数或线段长.
★★
选择题、填空题
考点利用圆内接四边形的性质定理求角度
典例2（湖州中考）如图，已知四边形内接于，，则的度数是()
B
A.B.C.D.
[解析]四边形内接于，，.
链接教材本题取材于教材第97页课内练习第1题.教材习题考查了直径所对的圆周角是<m></m>及圆内接四边形的性质定理，中考真题直接利用圆内接四边形的对角互补求解，比较简单.
第3章圆的基本性质
3.6 圆内接四边形
学习目标
1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.
2.理解圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补.
3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关证明和计算.
知识点1 圆内接四边形的定义
定义
图示

九年级数学课本圆的知识点

九年级数学课本圆的知识点圆是数学中一个非常重要的几何图形，它的应用范围非常广泛。

在九年级的数学课本中，圆的知识点是必须掌握的内容之一。

本文将围绕九年级数学课本中关于圆的知识点展开，探讨其性质、定理以及实际应用。

1. 圆的定义与性质圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。

圆的性质包括：圆上任意两点之间的距离相等，圆的半径是任意两点之间的距离，圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，圆的周长等于直径的长度乘以π（即3.14159...）。

2. 圆心角与弧度在圆上选取两条弧，通过圆心的角称为圆心角。

在数学课本中，我们学习了圆心角的度数与对应的弧长之间的关系。

圆心角的度数等于弧长所对应的圆周长的比值，并可以用弧度来度量。

一个圆周的长度是2π，因此360度等于2π弧度。

3. 弧长与扇形面积在圆上，弧是指连接两点的部分。

我们学习了弧长与圆周角的关系。

当圆心角为360度时，所对应的弧长等于整个圆的周长。

通过这个关系，我们可以求解任意圆心角所对应的弧长。

此外，还学习了扇形面积的计算方法，扇形面积是指以圆心和弧所围成的图形。

4. 切线与切线定理切线是指与圆相切，且仅有一个交点的直线。

在数学课本中，我们学习了切线与圆的关系以及切线定理。

切线与半径的夹角为90度，并且切线与半径的交点在圆上。

切线定理告诉我们，切线与半径的长度乘积相等，即切线上的两个线段所构成的乘积等于半径的平方。

5. 正多边形与圆内接多边形正多边形是指所有边和内角都相等的多边形。

我们学习了正多边形和圆的关系。

正多边形的内接圆是指将正多边形的所有顶点都与圆心相连后得到的圆。

在数学课本中，我们学习了正三角形、正四边形和正五边形的面积公式。

6. 圆锥与球体圆锥是指一个圆在一个点上转动，形成一个锥体。

数学课本中，我们学习了圆锥的体积与表面积的计算方法。

球体是一个由所有与一个点的距离小于或等于给定半径的点组成的图形。

我们学习了球体的体积计算公式。

九年级第三章圆知识点总结

九年级第三章圆知识点总结九年级的数学学科中，第三章圆是一个重要的知识点。

圆是一个几何图形，是由平面上的所有与定点距离相等的点组成的。

在这个章节中，学生需要掌握圆的性质、圆的表达式和圆与直线的关系等内容。

下面将从不同的角度对这些知识点进行总结。

一、圆的定义和性质圆是一个几何图形，它由平面上的所有与定点距离相等的点组成。

圆的性质有以下几点：1. 圆的半径：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的距离，用字母r表示。

2. 圆的直径：圆的直径是通过圆心并在圆上的一条直线段，它的长度是圆的两倍，用字母d表示。

3. 圆的周长：圆的周长是圆周上的一段弧所对应的长度，用字母C表示。

圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。

4. 圆的面积：圆的面积是圆内部所包围的区域的大小，用字母A表示。

圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算。

二、圆的表达式在数学中，我们常常需要用到圆的表达式来描述一个圆。

圆的表达式一般有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程：标准方程是以圆心和半径为依据的表达式形式。

标准方程的一般形式为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。

2. 一般方程：一般方程是以圆的一般性质为依据的表达式形式。

一般方程的一般形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

三、圆与直线的关系圆与直线之间有一些重要的关系。

下面将介绍一些常见的关系：1. 切线：切线是与圆相切并且只与圆相交于切点的直线。

切线与半径的关系是垂直关系，切线与圆的切点处的切线段等于半径的长度。

2. 弦：弦是连接圆上任意两点的直线段。

弦的长度小于等于直径的长度。

3. 弧：弧是圆上的一段曲线。

圆周上的任意两点可以确定一个弧。

4. 正切线：正切线是一条通过圆外一点且与圆相切的直线。

正切线的长度等于该点到圆心的距离。

综上所述，九年级第三章圆是一个重要且有趣的数学知识点。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

九年级数学上人教版《圆》课堂笔记

《圆》课堂笔记一、基本概念1.圆：所有点到定点的距离等于定长的点的集合。

定点称为圆心，定长称为半径。

2.弦：连接圆上任意两点的线段。

最长的弦是直径。

3.弧：圆上两点之间的部分。

弧分为优弧和劣弧。

4.圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。

5.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。

二、圆的性质1.圆的对称性：圆关于经过圆心的任意直线对称。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

3.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

反之，如果两弦相等，那么它们所对的圆心角也相等，所对的弧也相等。

4.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

5.切线性质：切线垂直于过切点的半径。

切线与圆心的距离等于圆的半径。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

6.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。

三、重要公式和定理1.圆的周长公式：C = 2πr（r为半径）。

2.圆的面积公式：S = πr²（r为半径）。

3.扇形面积公式：S = (nπr²) / 360（n为圆心角度数，r为半径）。

4.圆锥侧面积公式：S = πrl（r为底面半径，l为母线长）。

5.圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

7.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

8.圆心角、弧、弦的关系推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

9.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

10.切线性质推论：圆的切线垂直于过切点的半径。

九年级上册圆知识点列表

九年级上册圆知识点列表本文将为读者详细介绍九年级上册关于圆的知识点。

圆是几何学中一种非常基础且重要的图形，掌握好圆的相关知识对于学习几何学以及解决实际问题都具有重要意义。

一、圆的定义圆是由平面上各点到圆心的距离都相等的点的集合。

圆由圆心和半径组成，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。

二、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上所有的半径长度都相等。

2. 圆的直径：圆上通过圆心的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。

3. 圆周率π：π是一个无理数，约等于3.14，是圆周长与直径的比值。

4. 圆周与圆心角：圆周上的两点和圆心围成的角称为圆心角。

圆心角的度数等于其所对的弧度数。

三、圆的元素1. 圆周：圆上所有的点组成的曲线称为圆周。

圆周的长度称为圆的周长。

2. 弧：圆周上的一段弧称为弧，弧可以表示圆周的一部分。

3. 弦：圆上连接两点的线段称为弦。

4. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。

四、圆的重要定理1. 弧长定理：圆周上任意一弧所对的圆心角的度数等于其所对的弧长与圆周长的比值。

2. 弦切角定理：圆上的切线与弦之间的夹角等于其所夹的弦所对的圆心角的一半。

3. 弦长定理：在同一个圆或等圆中，两个弦所对的弧长之比等于两个弦的长度之比。

五、常见圆的应用场景1. 圆的建筑结构：圆形建筑物如圆形体育馆、圆形剧院等具有优良的声学效果和视觉效果。

2. 圆形交通工具：轮船、汽车的轮胎以及自行车的轮子都采用圆形设计，以增加稳定性和降低摩擦力。

3. 圆的运动学：运动中的转动物体如车轮、风扇等都是圆形的，圆周运动的速度和角度存在特定的关系。

六、习题练习1. 已知圆的半径为6cm，求圆的直径、周长和面积。

2. 若两个圆的半径分别为3cm和5cm，求它们的轨迹是否相交。

3. 圆A的直径为10cm，圆B的半径为6cm，两圆相切于点C，求线段AC和线段BC的长度。

通过对九年级上册圆的知识点的学习，我们可以理解圆的基本概念和性质，并能够灵活运用圆的相关定理解决实际问题。

初中数学九年级圆的知识点

初中数学九年级圆的知识点圆是初中数学中的一个重要的图形，它具有独特的性质和应用。

在九年级的数学学习中，我们需要掌握圆的基本知识和相关的定理。

本文将依次介绍圆的定义、圆的性质、弦与弧、切线与切点、圆内接四边形以及圆的应用等内容。

一、圆的定义圆是指平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。

定点称为圆心，所有到圆心距离等于半径的点构成圆。

圆通常用字母O表示圆心，字母r表示半径。

二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。

2. 圆心角是位于圆上两条半径的夹角，它的度数等于所对的弧上的角度。

3. 弧度制中，一个圆的弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。

三、弦与弧1. 弦是圆上两点之间的线段，它等于弧的直径。

2. 弧是圆上两点之间的一段曲线，它的度数等于对应的圆心角的度数。

四、切线与切点1. 切线是与圆相切于圆上一点的直线。

2. 切点是切线与圆的交点，切线与半径的夹角为90度。

五、圆内接四边形1. 圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在圆上，且每条边都是弧。

2. 圆内接四边形的两个对角线互相垂直且平分。

六、圆的应用1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π近似等于3.14。

2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径，π近似等于3.14。

3. 圆柱体、圆锥体、圆球等几何体的计算都与圆密切相关。

通过对初中数学九年级圆的知识点的学习，我们不仅能够了解圆的定义和性质，还能够应用圆的相关定理解决实际问题。

掌握圆的知识将为我们的数学学习打下坚实的基础，并在日常生活中发挥重要作用。

让我们积极投入学习，深入理解圆的知识，提升自己的数学水平！。

九年级数学圆这一章知识点

九年级数学圆这一章知识点数学是一门实用的学科，其中的几何学更是贯穿在我们日常生活中。

而在几何学中，圆是一个重要的图形，它有着广泛的应用。

本文将为大家介绍九年级数学圆这一章的知识点，帮助大家更好地理解和掌握。

一、圆的定义和性质圆是由平面上到一定点的距离都相等的点的轨迹，常用字母O表示圆心，字母r表示半径。

圆的性质包括：1. 圆心角：指的是以圆心为顶点的角，在圆上的弧所对的圆心角是不变的。

2. 弧和弦：弧是圆上的一段曲线，弦是圆上连接两点的线段。

3. 弦长公式：弦长等于半径长度乘以圆心角的正弦值的两倍。

4. 切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆有两个交点的直线。

二、圆的相关定理1. 圆的半径垂直于弦：如果半径垂直于弦，那么这条弦的中点一定在圆的直径上。

2. 在同一个圆或等圆中，弧相等的弦相等。

3. 在圆内，直径是最长的弦。

4. 圆内接四边形的内角和为360度。

5. 在圆上，相交弦的垂线互相垂直，垂直于弦的直径通过弦的中点。

三、圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界上的长度，即所有弧长的总和。

圆的周长等于直径乘以π（pi）。

圆的面积是指圆内部的区域面积，它等于半径的平方乘以π。

四、圆锥圆锥是由一个圆与一个共面点外的一条线段组成的几何体。

圆锥的性质包括：1. 顶点到圆的距离等于顶点到圆心的距离减去顶点到底面的距离。

2. 顶点到底面的垂线是在底面上的圆的直径上的垂线。

五、圆柱圆柱是由两个平行且相等的圆与它们的公共平行面上所有的线段组成的几何体。

圆柱的性质包括：1. 侧面积等于底面周长乘以高。

2. 体积等于底面积乘以高。

六、圆锥与圆柱的应用在现实生活中，圆锥和圆柱的应用非常广泛。

例如，喷水池常常采用圆锥形状，汽车的油箱常常是圆柱形状。

通过对圆锥和圆柱的研究，可以更好地理解和应用这些几何图形。

总结：九年级数学圆这一章的知识点主要包括圆的定义和性质、圆的相关定理、圆的周长和面积、圆锥和圆柱等内容。

通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用圆这一重要几何图形。

九年级上册数学圆知识点总结

九年级上册数学圆知识点总结
九年级上册数学圆知识点总结：
1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。

2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、圆弧、圆周。

3. 圆的性质：
- 圆心角：位于圆心的角，它所对应的弧度是1弧度。

圆心角的大小与所对应的弧度的弧长成正比。

- 弦长和圆心角：在同一个圆上的两个圆心角相等的弦所对应的弦长也相等。

- 弦的性质：相等的弧所对应的弦相等；一个圆只有一个直径，且直径是圆的最长弦。

- 弧度制：以圆心角所对应的弧长和半径长度的比值作为圆周角的单位，记作“rad”。

- 弧的长度：弧长等于圆周长的一部分。

4. 圆的位置关系：
- 圆内切：两个圆恰好内切，即两个圆的圆心距离等于两个圆半径之和。

- 圆外切：两个圆恰好外切，即两个圆的圆心距离等于两个圆半径之差。

- 圆的内外切：一个圆和一个直角三角形的两条直角边分别与该圆内切或外切。

5. 弦与弧的关系：
- 弦的垂直性质：圆上的两条直线垂直的充分必要条件是它们所对应的圆上的弦垂直。

- 弧的垂直性质：圆上的两条弦垂直的充分必要条件是它们所对应的圆上的弧垂直。

6. 圆的切线：
- 切线的定义：通过圆上一点且与圆相切的直线称为圆的切线。

- 切线的判定：过圆外一点引圆的半径，以这条半径为斜线作弧上另一点的切线，该切线与引半径垂直。

这些是九年级上册数学圆的一些基本知识点总结，包括圆的定义、性质、位置关系、弦与弧的关系以及切线相关内容。

希望对你的学习有帮助！。

九年级上册圆数学知识点

九年级上册圆数学知识点圆是我们数学学科中重要的几何图形之一，具有很多特殊的性质和应用。

在九年级上册的数学课程中，我们将学习关于圆的一些基础知识和重要概念。

下面将对九年级上册涉及的圆的数学知识点进行总结和探讨。

1. 圆的定义和性质：- 圆的定义：圆是由平面上距离一个确定点距离相等的所有点组成的图形。

- 圆的元素：圆心、半径、圆周、直径。

- 圆的性质：圆周上任意两点与圆心的距离相等；半径相等的圆互为同心圆；直径是圆的最长的线段。

2. 弧与弦：- 弧：圆上两点之间的弧是连接这两个点的圆周上的部分。

- 弦：圆上连接两点的线段称为弦。

- 弧与弦的关系：在同一个圆中，弧与其所对的弦相等。

3. 弧长和扇形面积：- 弧长：圆周上弧所对应的弧长是其所对应的圆心角的度数/360°乘以圆周长。

- 扇形面积：扇形面积是由中心角所对应的弧和半径所形成的扇形区域的面积。

4. 弦切定理和切线定理：- 弦切定理：两条相交弦的交点离圆心的距离乘积等于交点离圆心所对应的弦上各点的离圆心的距离乘积。

- 切线定理：切线与半径的垂直定理成立，切线和半径的垂线用于构造相切线。

5. 弧度与角度的关系：- 弧度：弧度是角度的单位之一，表示弧所占据的弧长与半径之比。

- 角度：角度是用度数来表示的，一周为360°。

- 弧度与角度的转换关系：1周的角度为360°，对应的弧度为2π弧度。

6. 相关公式和定理：- 圆的周长：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

- 圆的面积：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

- 圆的切线垂直于半径的定理：切线与半径的交点处垂直。

7. 圆的应用：- 圆的运动学应用：圆的运动学应用于描述物体在圆周运动或旋转运动中的运动规律，如圆周运动的速度、加速度等。

- 圆的建模应用：圆的建模应用于描述实际问题中的圆形物体，如车轮、圆桌等，通过数学模型求解相应的问题。

九年级数学上册第三章圆的基本性质 3.6 图内接四边形课件级上册数学课件

2021/12/12
精彩练习(liànxí) 九年级数学
第三章圆的基本( 性质 jīběn)
3. 图内接四边形
A
练就(liàn jiù)好基础
B
更上一层楼
C
开拓新思路
第一页，共八页。
A
练就(liàn jiù)好基础
C
D 50°
2021/12/12
⌒
第二页，共八页。
C
C
（第3题图）
（第4题图）
（第5题图）
D)பைடு நூலகம்
A．80°
B．100°
C．110°
D．130°
13．2017·永州中考如图所示，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 D 是A︵C的中点，点 E 是B︵C上的一点，若∠CED＝40°，则
∠ADC＝_____1_0_0_°______． 14．2017·盐城中考如图所示，将⊙O 沿弦 AB 折叠，点 C 在A︵mB上，
∵∠EBC＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.
（第9题图）
10．如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是劣弧(lièhú)OB
上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径长．
（第9题图）
解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，∠BMO＝120°， ∴∠BAO＝60°. ∵AB是⊙C的直径(zhíjìng)， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°. ∵点A的坐标为(0，3)， ∴OA＝3，∴AB＝2OA＝6，∴⊙C的半径长为3.
No 坐标为(0，3)，。∴OA＝3，∴AB＝2OA＝6，∴⊙C的半径长为3.。度数为( )
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九年级上数学圆知识点

九年级上数学圆知识点
圆是数学中一个重要的几何图形，其在日常生活中也有着广泛的应用。

在九年级上数学中，圆的知识点包括如下内容：
一、圆的概念
圆是由平面上所有与定点距离相等的点组成的几何图形。

其中，定点称为圆心，距离称为半径。

圆的符号为⚪。

二、圆的性质
1.圆心角定理：圆心角的度数等于其所对圆弧的度数的一半。

2.圆周角定理：圆周角的度数等于其所对圆弧的度数的一半。

3.相交弧定理：两条相交弧所对圆心角的度数相等。

4.切线定理：切线与半径垂直。

5.圆的外接定理：连接圆上任意三点，可以构成一个外接三角形，其三角形的外接圆唯一。

6.圆的内接定理：连接圆上任意三点，可以构成一个内接三角形，其三角形的内接圆唯一。

三、圆的计算
1.圆的面积公式：S=πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

2.圆的周长公式：C=2πr，其中C为圆的周长，r为圆的半径。

3.弧长公式：L=απr/180°，其中L为弧长，α为圆心角的度数，r 为圆的半径。

四、圆的应用
1.圆的平移：圆可以平移，其平移后的图形和平移前的图形相似。

2.圆的旋转：圆可以旋转，其旋转后的图形和旋转前的图形相似。

3.圆的缩放：圆的大小可以缩放，其缩放后的图形和缩放前的图形相似。

4.圆的投影：圆可以在平面上进行投影，其投影后的图形和原图形不相似。

总结
九年级上数学圆知识点主要包括圆的概念、性质、计算和应用。

圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

掌握圆的知识点，有利于我们在实际生活中更好地应用数学知识。

九年级上数学圆知识点总结

九年级上数学圆知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，在九年级上学期，学生们学习了很多与圆相关的知识。

本文将从圆的定义、性质、公式等方面总结九年级上数学圆的知识点。

一、圆的定义与性质1. 圆的基本定义：圆是由平面内距离一定的一个点到这个平面内任意点的距离都相等的点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径。

圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

3. 圆的直径：通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。

直径是半径的两倍。

4. 圆的弧：圆上的一段曲线被称为圆弧。

圆弧可以用角度或弧长来表示。

5. 圆的弦：圆上的一条线段，并且两个端点都在圆上，这条线段被叫做圆的弦。

6. 圆的切线：与圆仅有一个交点的直线，这条直线与圆相切。

7. 圆与角度的关系：圆的弧对应的圆心角是圆弧所对应的圆心角的一半。

二、圆的公式1. 圆的周长：圆的周长可以通过直径或半径来计算。

如果已知圆的直径D，那么圆的周长C等于π乘以直径值，即C = πD。

如果已知圆的半径r，则圆的周长C等于2π乘以半径值，即C = 2πr。

2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。

已知圆的半径r，则圆的面积A等于π乘以半径的平方，即A = πr²。

三、圆与其他几何图形的关系1. 圆与线段的关系：如果线段的两个端点都在圆上，那么这个线段是圆的弦。

2. 圆与直线的关系：如果直线与圆仅有一个交点，那么这条直线是圆的切线。

3. 圆与三角形的关系：圆内接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且三边均是切线。

圆外接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且圆的直径是三角形的一条边。

四、常见解题方法与技巧1. 圆的位置关系：通过观察圆与直线、线段、三角形之间的位置关系，可以运用相关的定理和性质进行解题。

2. 利用圆的对称性：圆具有轴对称性和中心对称性，可以利用这些对称性质进行解题。

3. 利用圆的比例关系：圆的周长和面积都与半径相关，可以通过比例关系进行运算和求解。

九年级圆的有关性质知识点

九年级圆的有关性质知识点圆是我们数学中的重要概念，它具有独特的性质和特点。

在九年级的学习中，我们需要了解和掌握圆的相关性质知识点，下面将对圆的性质进行详细介绍。

一、圆的定义与基本构造圆是指平面上与给定点距离相等的所有点的集合。

在平面几何中，可以通过以下两种方法进行圆的构造：1. 已知圆心和半径：以给定点为圆心，以给定长度为半径画弧，使弧上所有点与给定点的距离相等，连接弧两端与给定点，即可得到一个圆。

2. 已知三点：以任意三个不共线的点为顶点，画出它们之间的三条线段，这三条线段对应的圆唯一，称之为“三点确定一圆”的性质。

二、弧与圆心角弧的定义：圆上任意两点之间的弧是连接这两点的曲线部分。

圆心角的定义：以圆心为端点的两条射线所夹的角称为圆心角。

基本性质：1. 圆心角的度数等于所对弧的度数。

2. 同样对应于圆上的两个弧，其圆心角的度数相等，则这两个弧的长度也相等。

三、相交弧与相交线段相交弧：两条弧在圆上的交点之间的部分称为相交弧。

相交线段：在圆上连接两个相交点得到的线段称为相交线段。

性质：1. 相交弧所对的圆心角相等。

2. 相交线段所对的圆心角相等。

四、弦与切线弦的定义：在圆内连接圆上的任意两点，所得的线段称为弦。

切线的定义：与圆相切于一个点的直线称为切线。

弦的性质：1. 圆心角所对的弦相等。

2. 等长的弦所对的圆心角相等。

切线的性质：1. 切线与半径垂直于切点。

2. 作为一个线段，切线的长度等于半径的长度。

五、正多边形内接圆与外接圆正多边形是指所有边相等，所有内角相等的多边形。

对于正多边形，有两个特殊的圆与之相关联：内接圆和外接圆。

内接圆：可以在正多边形的内部找到一个圆，使这个圆与多边形内的每条边都相切，这个圆被称为内接圆。

外接圆：可以在正多边形的外部找到一个圆，使这个圆与多边形的每条边都相切，这个圆被称为外接圆。

性质：1. 正多边形的内接圆的圆心与外接圆的圆心都与多边形的重心重合。

2. 内接圆的半径小于等于外接圆的半径，且内接圆的半径与外接圆的半径成反比。

九年级上圆的知识点总结

九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容，也是中考的重点和热点。

在九年级上册的数学学习中，我们对圆的相关知识有了较为深入的了解。

下面就来对九年级上圆的知识点进行一个全面的总结。

一、圆的定义1、圆的动态定义在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 的长度叫做半径。

2、圆的静态定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

二、圆的相关概念1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

2、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示。

以A、B 为端点的弧记作⌒AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

4、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

5、等圆能够重合的两个圆叫做等圆。

6、等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

九年级数学上册第3章圆的基本性质3.6圆内接四边形教案(新版)浙教版

3.6圆内接四边形教材分析本课是在学生学习了圆的基本概念和圆心角和圆周角概念及性质的基础上对圆内接四边形性质的探索。

圆内接四边形性质是几何中最重要的定理之一，它揭示了圆和四边形之间的数量关系，它既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面图形的桥梁和纽带。

本课从具体的问题情境出发，引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，有机渗透“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。

因此无论在知识上，还是方法上，本节课都起着十分重要的作用。

教学目标【知识与能力目标】1.掌握圆内接四边形的性质定理及其证明；2.能用定理解决相关的几何问题。

【过程与方法目标】经历圆内接四边形性质的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法.【情感态度价值观目标】通过学生主动探索圆内接四边形性质，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦及数学的应用价值。

教学重难点【教学重点】圆内接四边形性质定理的应用【教学难点】性质定理的灵活应用课前准备教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体学生准备：圆规，三角尺，练习本教学过程1.复习提问1、如图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=__ ,∠A=__2、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 ,则∠1=___,∠B =___.2.概念学习⑴什么叫圆的内接四边形？⑵如图1，说明四边形ABCD与⊙O的关系.3.探讨性质：如图：圆内接四边形ABCD中，∠A＋∠C的和为多少，同理∠B＋∠D的和呢？小组合作，得出性质.⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形----平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要从哪几个方面入手？⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画⊙O和⊙O的内接四边形ABCD.⑶量出可试题的所有值(圆的半径和四边形的边，内角，对角线，周长，面积)，并观察这些量之间的关系.⑷ 改变圆的半径大小，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由(3)观察得出的某些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢？(让学生回答)4.性质的证明及巩固练习⑴证明猜想已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°⑵完善性质①若将线段BC延长到E( 如图 2)，那么，∠DCE与∠BAD又有什么关系呢？②圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.⑶练习①找出图中相等的角、互补的角。

九年级上册圆的知识点总结归纳

九年级上册圆的知识点总结归纳圆是我们数学学习中的重要概念之一，它在几何形状和代数运算中都有广泛的应用。

本文将对九年级上册涉及的圆的知识点进行总结和归纳。

一、圆的定义和基本性质圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

它的基本性质包括：1. 圆心和半径：圆心是固定点，用O表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。

2. 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，且等于半径的两倍，用d表示。

3. 弦：在圆上任意取两点，这两点之间的线段叫做弦。

4. 弧：在圆上的两个点之间的部分叫做弧。

一个圆可以被弧所分成两部分，分别为小弧和大弧。

5. 弧长和弧度：弧长是指弧所对应的圆周的长度；弧度是指与弧等长的圆心角所对应的弧长占整个圆周长的比值。

二、圆的推导和计算1. 圆的周长和面积：- 周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14或3.1416。

- 面积公式：A = πr²。

2. 圆的弧长和扇形面积：- 弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中θ表示所对应的圆心角的度数。

- 扇形面积公式：S = πr²(θ/360°)。

3. 圆的切线和切点：- 切线：与圆只有一个交点的直线叫做切线。

- 切点：切线与圆的交点叫做切点。

4. 圆与直线的相交关系：- 直线与圆相交：直线与圆交于两个不同的点。

- 直线与圆外切：直线与圆只有一个切点。

- 直线与圆内切：直线与圆不相交，但可以通过一条切线与圆接触。

三、圆的证明和应用1. 圆的证明：- 证明两个圆相交：通过证明两个圆的半径和圆心距之间的关系，来判断它们是否相交。

- 证明两个圆相切：通过证明两个圆的半径和圆心距之间的关系，以及圆的切线与圆的位置关系，来判断它们是否相切。

2. 圆在几何形状中的应用：- 圆的切线性质可用于证明其他几何定理，如切线定理、切线与切线的性质等。

- 圆与三角形的关系：如内切圆、外接圆等。

- 圆与多边形的关系：如正多边形的内切圆、外接圆等。