2.3(1)其他不等式的解法
(完整版)上海高中数学教材目录
高中高一（一）第一章集合和命题1 集合1。
1 集合及其表示法1。
2 集合之间的关系1.3 集合的运算2 四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系3 充分条件与必要条件1.5 充分条件，必要条件1.6 子集与推出关系第二章不等式2。
1 不等式的基本性质2。
2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用＊2.5 不等式的证明第三章函数的基本性质3.1 函数的概念3。
2 函数关系的建立3。
3 函数的运算3。
4 函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上)1 幂函数4.1 幂函数的性质图像与性质2 指函数4。
2 指数函数的图像与性质4。
3 借助计数器观察函数递增的快慢高一(二)第四章幂函数、指数函数和对数函数(下）3 对数4.4 对数概念及其运算4 反函数4。
5 反函数的概念5 对数函数4。
6 对数函数的图像与性质6 指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比1 任意角的三角比5。
1 任意角及其度量5。
2 任意角的三角比2 三角恒等比5。
3 同角三角比的关系和诱导公式5。
4 两角和与差的余弦、正弦和正切 3 解斜三角形5。
6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数1 三角函数的图像与性质6。
1 正弦函数与余弦函数的图像性质6.2 正切函数的图像性质6。
3 函数y=Asin(wx+ψ)的图像、性质 2 反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6。
5 最简三角方程高二(一)第七章数列与数学归纳法1 数列7.1 数列7.1 等差数列7.3 等比数列2 数学归纳法7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳——猜想——论证3 数列的极限7。
7 数列的极限7。
8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8。
1 向量的坐标表示及其运算8。
2 向量的数量积8.3 平面向量的分解定理8。
4向量的应用第九章矩阵和行列式初步1 矩阵9。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。
在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。
一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。
1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。
1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。
1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。
二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。
2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。
三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。
解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。
3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。
3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。
2.3不等式及不等式的解(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.3不等式及不等式的解（教案）
一ห้องสมุดไป่ตู้教学内容
本节课选自教材第二章第三节“不等式及不等式的解”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.不等式的定义：了解不等式的概念，掌握不等式的表示方法，区分不等式的类型（如：严格不等式、非严格不等式）。
2.不等式的性质：探讨不等式的基本性质，如：同加同减、同乘同除等，并学会运用这些性质简化不等式。
3.培养学生的数学运算能力：熟练掌握一元一次不等式及其不等式组的解法，提高运算速度和准确度。
4.培养学生的数据分析素养：通过对不等式问题的探讨，学会收集、整理和分析数据，形成对数据的敏锐洞察力。
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决不等式问题的过程中，大胆尝试新方法，勇于突破传统思维，培养创新精神。
-难点二：不等式组中多个不等式的求解和交集的确定。在处理多个不等式组成的不等式组时，学生往往难以确定解集的交集。
-举例：对于不等式组x > 3和x < 5，学生需要理解解集是两个不等式解集的交集，即3 < x < 5。
-难点三：不等式在现实生活中的应用。学生可能难以将抽象的不等式与具体情境联系起来，解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
上海地区高一数学知识点归纳
精心整理上海高一数学知识点归纳第一章 集合与命题1.1集合与元素 （1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.1.2重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.1.3集合的基本运算 A A = ∅=∅ B A ⊆A A =A ∅=B A ⊇命题的非运算 命题的且运算 命题的或运算1.7抽屉原则与平均数原则第二章 不等式2.1不等式的基本性质1.如果.;,c a c b b a >>>那么2.如果.,c b c a b a +>+>那么3.如果.,0,:,0,bc ac c b a bc ac c b a <<>>>>那么如果那么4.如果,,d c b a >>.d b c a +>+那么5.如果.,0,0bd ac d c b a >>>>>那么6.如果0>>b a ，那么.110ba <<7.如果0>>b a ，那么)(*∈>N n b a nn.的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．2.3其他不等式的解法（1）分式不等式的解法先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（<≤“或”时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.（2）含绝对值不等式的解法2()[()]f x g x >⎩2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f xg xf xg x≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩（4）高次不等式的解法方法：穿根法分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），在某个变化过程中有两个变量yx,，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数.记作：()xfy=Dx∈x是自变量D是定义域与x对应的y值叫做函数值函数值的集合是值域3.2函数关系的建立函数的三要素:定义域、值域和对应法则．表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 3.3函数的运算函数的和：()()()x g x f x h += 3.4函数的性质 （1）函数的奇偶性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（3）函数的最值①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：用函数的第四章 幂函数、指数函数和对数函数4.1幂函数的性质 （1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 4.5对数函数的图像与性质}}第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z如果角α的终边落在坐标轴上，则也可以称为轴线角. 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z （2）角的弧度制1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．2、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 18057.3≈． 5.2任意角的三角比5.3同角三角比的关系和诱导公式 同角三角函数的基本关系式()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．.（3）倒数关系：tan cot 1αα=()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()6sin cosπαα⎛⎫+= ⎪，cos sin παα⎛⎫+=- ⎪． ②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =第六章 三角函数6.1及6.2正弦函数与余弦函数，正切，（余切）的图像与性质6.3函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质 ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 6.4反三角函数。
2.3分式不等式的解法1
2 < x <1 3
方法小结
• 本例提供的两种方法都 是先移项，将不等式 的一边变为零，另外一边经过通分后转化为 形如 f ( x) < 0(或 > 0) 的形式。
g ( x) (x
• 方法一讨论f(x)和g(x)的正负，通过解整式不 等式组 f(x) > 0(或 < 0) 求得解集。
g(x) < 0(或 > 0)
f ( x) > 0 f ( x) < 0 f ( x) > 0 ⇔ f ( x) ⋅ g ( x) > 0 ⇔ 或 g ( x) g ( x) > 0 g ( x) < 0
3、解含有字母的分式不等式必须分清： 、解含有字母的分式不等式必须分清： 必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。 必须分清对字母分类讨论的依据；最后要下结论。
其它不等式的解法（ 其它不等式的解法（一）
——分 式 不等式的解法 分 Solving of Fractional Inequality
分式不等式的定义
• 型如
f ( x) f ( x) > 0或者 <0 g ( x) g ( x)
(其中f(x)、g(x)为整式且g(x) ≠0 ( f(x) g(x) g(x) ≠0）的不等式称 为分式不等式（fractional nequality）
( x + 2)(2 x + 1) ≥ 0 ⇔ 2 x + 1 ≠ 0
所以原不等式的解集为: 所以原不等式的解集为
1 { x | x > − 或 x ≤ − 2} 2
练习： 练习：解不等式
1 解：当 2 x + 1 > 0，即 x > − 时 2 原不等式可化为 x −1 ≤ 2x +1 1 则 x ≥ −2 ∴x > − 2 此时， 此时， 1 当 2 x + 1 < 0，即 与X>-1/2 时 x x>-1/2与 x>-1/2与 X≥-2与 < − 2 x≤x≤-2是什 是什么关系呢？ 是什么关系呢？ 么关系呢？ 原不等式可化为 x − 1 ≥ 2 x + 1么关系呢？
2.3.1 其他不等式的解法(含答案)
【课堂例题】例1.解下列不等式 (1)203x x ->+; (2)105x x->-; (3)2103x x +≤-;(4) 1232x x +>-; (5) 32x x <-;(6) 11x >例2.解下列不等式 (1)2260815x x x x --≤-+;(2)22121x x x x ++>-+.例3.解关于x 的不等式202ax a x -<-.(选用)例4.解关于x 的不等式101mx mx +<-【知识再现】解分式不等式一般不先直接去分母，而是先移项、通分化成形如()()0,0()()f x f xg x g x ><等形式，再实施等价转化，比如： ()0()f x g x >⇔ ；()0()f xg x <⇔ ； ()0()f xg x ≥⇔ . 【基础训练】1.解下列不等式： (1)13x <; (2)4351x x +≥-; (3)223x x <-; (4)1144xx x ≤---.2.不等式211x x x ≥-的解集是 .3.下列不等式中，与22x >同解的不等式为( )(A)211233x x x +>+--; (B)22x (C)2(1)2(1)x x x -->--; (D)2(2)2(2)x x x ->-.4.关于x 的方程4322k xx k -=+的解是负数时，k 的取值范围是( ) (A)7(,)(0,)2-∞-+∞; (B)7(0,)2; (C)7(,0)2-; (D)7(,2)(2,0)2---.5.(1)不等式2(4)03x x -≤-的解集为 .(2)不等式2312x x +≥-在整数集中的解集为 .6.若0a b <<，则不等式0x ax b +>+的解集是 .7.解关于x 的不等式()0,1a x a a R x +>∈-【巩固提高】8.当实数P 为何值时，不等式22221x Px x x +-<-+对于任意x R ∈恒成立.提示：注意分母的特点.9.若不等式2211x ax bx x x x -->++-+的解集为1(,1)2，求,a b 的值.(选做)10.已知关于x 的不等式250ax x a -≤-的解集为A，(1)当4a =时，求集合A ；(2)若3,5A A ∈∉，求实数a 的取值范围.【温故知新】11.方程2111x x +=-的解集为 .【课堂例题答案】例1.(1)(,3)(2,)-∞-+∞; (2)(1,5); (3)1[,3)2-; (4)2(,1)3; (5)(2,)+∞; (6)(0,1). 例2.(1)[2,3)(3,5)-;(2). 例3.当0a =时，解集为∅；当0a <时，解集为(,)(2,)a -∞+∞；当02a <<时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .例4.当0m =时，解集为R ；当0m <时，解集为11(,)m m -；当0m >时，解集为11(,)m m -. 【知识再现答案】()()0;()()0;f x g x f x g x ⋅>⋅<()()0f x g x ⋅≥且()0g x ≠【习题答案】 1.(1)1(,0)(,)3-∞+∞; (2)(1,8]; (3)(,0)(3,)-∞+∞; (4)5(,](4,)2-∞+∞. 2.(,0)(1,)-∞+∞. 3.C4.D5.(1)(,3){4}-∞; (2){0,1}.6.(,)(,)b a -∞--+∞7.当0a =时，解集为∅；当0a >时，解集为(,)(1,)a -∞-+∞；当10a -<<时，解集为(,1)a -；当1a =-时，解集为∅；当1a <-时，解集为(1,)a -.8.(6,2)P ∈-提示：分母恒正，转化为2222(1)x Px x x +-<-+解集为R 的问题.9.4,2a b ==提示：分母恒正，转化为22()(1)()(1)x a x x x b x x --+>-++，展开后化简，从而转化为二次不等式已知解集求系数的问题. 10.(1)5(,2)[,2)4-∞-;(2)5(1,](9,25]3a ∈ 提示：(2)3,5A A ∈∉等价于350955025a a a a-⎧≤⎪⎪-⎨-⎪>⎪-⎩，或者3509250a a a -⎧≤⎪-⎨⎪-=⎩11.{2}。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象 （a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a
＞0
2
=0
无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0） ＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法 如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
高次不等式(xue)
x 2 x 3 0 x 2 x 3 0 或 x 4 x 1 0 x 4 x 1 0
（二）标根法
记：y=(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)把多项式各因式的根安 从小到大的顺序标在数轴上
试一试
1 . (x+3)2(x-2)(x-5) ≤ 0 2 . x2-3x+2 x2-7x+12 ≥0
x 2x 3 3, 2 0 x 3x 2 1 4, x x
2
-4
-3
12Βιβλιοθήκη 各因式 X的取值 范围 的值
因式
-4
-3
1
2
X+4 X+3 x-1 X-2
Y的符号
x 2x 3x 4x 1 0.
+
-4
-
+
-3 1
-
+
2
所以原不等式的解集为：
(,4) (3,1) (2,)
例题：用数轴标根法解下列不等式
1.( x 7 x 12)( x x 6) 0
2 2
2.( x 2 x 3)( x 4 x 4) 0
2 2
3.( x 1) ( x 2)(3 x)( x 4) 0
2
小结: “数轴标根法” 用于解一元高次不等式非 常方便, 其解题步骤如下: 1. 分解因式, 化成若干个因式的乘积; 2. 作等价变形, 处理如：
2.3其他不等式的解法
-----高次不等式的解法
一、一元高次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数大 于2次的整式不等式叫做一元高次不等式。
x 例如： 2x 3x 4x 1 0.
分式不等式
课题：2.3-其它不等式的解法(1)-分式不等式的解法(2课时)教学目标：1.熟练掌握分式不等式的解法。
2.理解分式不等式转化为整式不等式过程中的同解变形内涵。
3.培养分类讨论思想。
教学重点：分式不等式的解法教学难点：不等式的同解变形教学过程：第1课时：分式不等式的解法(1)引例：m为何值时，关于x的方程(m－2)x2－(2m＋6)x＋(m＋3)＝0的两根一正一负？解：设两根为x1、x2，显然⊿＝b2－4ac≥0成立x1x2＝m3m2＋－＜0 ——分式不等式解法1：m30m20+>⎧⎨-<⎩或m30m20+<⎧⎨->⎩——运用分类讨论思想求解即：m3m 2>-⎧⎨<⎩或m3m2<-⎧⎨>⎩得：－3＜m＜2或m无解∴不等式的解为－3＜m＜2解法2：m3m2＋－＜0 ⇔(m＋3)(m－2)＜0 ⇔－3＜m＜2——转化为熟悉的一元二次不等式求解(转化的依据：两个数的商与积同号)要防止负迁移：m3m2＋－＜1 ⇔(m＋3)(m－2)＜1反思：两种解法本质上是一样的，都要掌握。
练习：解下列不等式：(1)2m1m2－＋＞0 ⇔(2m－1)(m＋2)＞0 ⇔m＜－2或m＞12(2)m1m2＋＋≥0 ⇔(m1)(m2)0m20++>⎧⎨+≠⎩⇔m＜－2或m≥－1——估计学生会认为：m1m2＋＋≥0 ⇔(m＋1)(m＋2)≥0或(m＋1)(m＋2)＞0(3)4k1－k－＞0 ⇔4k1k－－＜0 ⇔(k－4)(k－1)＜0 ⇔1＜k＜4——估计学生会认为：4k1－k－＞0 ⇔(4－k)(k－1)＞0 ⇔k＜1或k＞4反思：(1)是否看清未知数前系数；(2) 是否看清含“＝”；(3) 是否看清“＞”还是“＜”。
解题策略：(1)使未知数前系数为正(注意代数式和不等式的变号)；(2)含“＝”要注意分子为零，分母不能为零；(3) 看清“＞”还是“＜”。
[例1] 解下列不等式：(1) 2x 4x 3－－＞1解1：2x 4x 3－－－1＞0，即x 1x 3－－＞0 ⇔(x －1)(x －3)＞0∴不等式的解为x ＜1或x ＞3解2：x 30 2x 4x 3->⎧⎨->-⎩ 或x 30 2x 4x 3-<⎧⎨-<-⎩ 得x 3x 1>⎧⎨>⎩ 或 x 3x 1<⎧⎨<⎩，即x ＞3或x ＜1 ∴不等式的解为x ＞3或x ＜1反思：比较两种不同的解题思想方法，揭示“不能随便去分母”的原因：可能要改变不等号的方向。
不等式方程的解法口诀
不等式解法口诀一元一次不等式的解法口诀：如有分母，去分母；如有括号，去括号。
常数都往右边挪，未知都往左边靠。
如有同类须合并，化为标准再求解。
二元二次方程组一般解法口诀：未知项，成比例，消元降次都可以。
方程一边等于零，因式分解再降次。
方程缺了一次项，常数消去再求解。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边，小（鱼）于（吃）取中间。
不等式组的口诀解法：同大取大如果两个不等式的解集都是大于某数时，那么不等式的解集就是大于大数；同小取小如果两个不等式的解集都是小于某数时，那么不等式组的解集就是小于小数；大小大中间找如果不等式组中的一个不等式的解集是大于小数，另一个不等式的解集是小于大数，那么这个不等式组的解集就是小数与大数之间的部分；大大小小找不到如果不等式组中的一个不等式的解集是大于大数，另一个不等式的解集是小于小数，那么不等式组就是无解不等式是什么？不等式（inequality）是用不等号连接的式子。
不等式分为严格不等式与非严格不等式，用纯粹的大于号、小于号连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式是方程吗不是，方程的定义就是含有未知数的等式。
不等式就是不等式。
不等式的基本性质：对称性。
传递性。
加法单调性，即同向不等式可加性。
乘法单调性。
同向正值不等式可乘性。
正值不等式可乘方。
正值不等式可开方。
倒数法则。
新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册 课件
分式不等式的解法 其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式
f (x)
g(x)>0
f (x)
g(x)<0
f (x) g(x)
>a(a≠0)
同解不等式
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
0, 0
f(x)g(x)>0
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
2
2.(
)若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析 不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
1 x 4
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解 这个不等式.
提示:移项,通分,得 3x 1 ≤0.
4(x 1)
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0<x≤1 .
3
所以该不等式的解集为
0,
1 3
.
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶 次重根穿而不过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.3 其他不等式的解法-分式不等式课件
例1.解下列不等式
(1) x 2 0 x3
(4) x 1 2 3x 2
(2) x 1 0 5 x
(5) 3 ห้องสมุดไป่ตู้x 2x
(3) 2x 1 0 (6) 1 1
x3
x
例1.解下列不等式
(1) x 2 0 (x 2)(x 3) 0 x3 x (, 3) (2, )
(2) x 1 0 (x 1)(5 x) 0 5 x (x 1)(x 5) 0 x (1,5)
例3.解关于 x 的不等式 ax a2 0 x2
解：ax a2 0 a(x a)(x 2) 0 x2
③ a 0 时，转化为 (x a)(x 2) 0
(i) a 2 时，解集为 (2, a) (ii) a 2 时，解集为
(iii) a 2 时，解集为 (a, 2) 解毕
第二章 不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
2.3.1 其他不等式的解法
分式不等式
一、分式不等式
型如 f (x) 0 或 f (x) 0 的不等式，
(x)
(x)
其中 f (x),(x) 为整式.
你曾经解过的分式方程，如何解的？
例 2x 1 1 2x 11 0 x 4 0
x3
x3
x3
(x 4)(x 3) 0 x (, 3) (4, )
例3.解关于 x 的不等式 ax a2 0 x2
解：ax a2 0 a(x a)(x 2) 0 x2
分析：优先讨论二次项系数正负， 再讨论根的大小，如果根的大小不易判定， 作差比较后划分讨论区间.
讨论区间时注意不重不漏，划分清晰.
(选用)例4. 解关于 x 的不等式 mx 1 0 mx 1
上海地区高中一年级数学知识点归纳
高一数学知识点归纳第一章 集合与命题1.1集合与元素 （1）集合的概念常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.1.3集合的基本运算 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）AA ∅= （3）AB A ⊇ AB B ⊇BA补集A C U{|,}x x U x A ∈∉且()()()B C A C B A C U U U ⋃=⋂ ()()()B C A C B A C U U U ⋂=⋃1.4命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.（2）逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
§2.3.1 其他不等式的解法(1) 分式不等式的解法
§2.3.1其他不等式的解法（1）—分式不等式的解法1．熟练掌握分式不等式的解法；2．理解解不等式过程每一步都要是等价变形.问1 什么是分式不等式？问2 怎样解分式不等式？[思考] 如何解分式不等式：014<-+x x .[举一反三] 解分式不等式（1）014≤-+x x ； （2）014≤-+-x x .[练习] 把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组），并求解：（1）203x x ->+； （2）105xx ->-； （3）2103x x+≤-.问3 试总结分式不等式的解法.例1 解下列不等式：（1）1232x x +>-； （2）25103x x +->-；（3）2335x≥-；（4）52125x x +-≤≤-.例2（P40例3）解不等式：28223x x x +<++.[练习] （1）22511x x x -+<++； （2）32x x<-.例3 解不等式： 2(3)09x x x -≤-.[练习] 2260815x x x x --≤-+[*高次不等式] 例4 解下列不等式：（1）(2)(2)(3)0x x x +-->；（2）23(2)(2)(3)0x x x +-->；（3）23(5)(12)(3)0x x x -+-≤；（4）23(1)(2)05x x x -+≥-[练习] （1）2231414168x x x x -+≥-+； （2）112121x x <-+；（3）12712xx x ≥-+；（4）232452(2)(1)(1)01(4)()(1)(3)(23)2x x x x x x x x x x ----≥+++--+.[总结] 高次不等式的一般解法：[*分式不等式的简单应用] 例5 （1）解关于x 的不等式：11xa x <--.（2）设1a <，解关于x 的不等式2220x ax a x x a+>+--.例6 p 为何值时，不等式22221x px x x +-<-+对任意实数x 恒成立.例7（1）已知对任意x R ∈，总有222321x tx x x +--<<-+，求实数t 的取值范围；（2）对二次函数2y ax bx c =++，有1x =-时，0y =.问是否存在这样的实数a b c 、、，使得不等式21(1)2x y x ≤≤+对一切实数x 恒成立，并证明你的结论.1. 不等式302xx -≥+的解集为_______________. 2. 不等式2413x x +>-的解集为_______________. 3. 不等式2411x x x +≤-+的解集为_______________. 4. 不等式2(3)02x x -≤-的解集为_______________. 5. 不等式221132121x x x x x +<+-+-+的解集为_______________.6. 当__________k =时，关于x 的方程4(3)(1)x k x -=-解为正数.7. 不等式201x x -≤-的解集为 （ ）A ．[1,2]；B ．(1,2]；C ．[1,2)；D ．(1,2). 8. 不等式11x<的解集为（ ）A ．(1,)+∞；B ．(,1)-∞；C ．(,0)(1,)-∞+∞ ；D ．(0,1). 9. 下列不等式中，与22x >同解的不等式为（ ）A ．211233x x x +>+--； B ．22x >； C ．2(1)2(1)x x x -->--；D ．2(2)2(2)x x x ⋅->-.10. 不等式111312121x x x x ++≥++++的解集为（ ） A ．{|0}x x ≥； B ．{|0}x x ≤；C ．{|0x x ≤且1}2x ≠；D ．1{|0}2x x -<≤.11. 若0a >，0b >，求不等式1b a x-<<的解集.12. 解关于x 的不等式1021x x a ->-+.13. 已知不等式11ax x <-的解集为1(,)(1,)2-∞+∞ ，求实数a 的值.14. p 为何值时，不等式2236961x px x x ++-<≤-+对任意实数x 恒成立.。
2.3.1一元二次不等式及其解法2021-2022学年高一数学同步备课系列(湘教版新教材必修一)
|
x
2
或
x
3
2
故选：D.
8．不等式 x2 2 x 0 的解集为（ ）
A．x | 0 x 2
B．x | 2 x 0或 0 x 2 C．x | 2 x 0
D．x∣ 2 x 2
【答案】B
【解析】不等式
x2
2
x
0
等价于
x0 x2 2
x
0
或
x0 x2 2
x
0
，
解得：
x 0
0 x
2
或
x 0 2
x
0
，
所以 2 x 0 或 0 x 2，
所以原不等式的解集为x | 2 x 0 或0 x 2，
故选：B.
9．不等式 x2 2x 0 的解集为（ ）
A．x x 2 B．x x 2
C．x 0 x 2
【答案】A
【解析】根据题意，要使附加税不少于 128 万元，
则
30
5 2
R
160
R%
128
，
整理得： R2 12R 32 0 ，
解得： 4 R 8 .
所以 R 的取值范围是4,8 ，
故选：A.
3．不等式 x2 2x 0 的解集是（ ）
A．x x 2 或 x 0 B．x x 2 或 x 0
C．x 0 x 2 D．x 0 x 2
【答案】B
【解析】 x2 2x 0 即 x x 2 0，解得x x 2 或 x 0
故选：B
4．已知关于 x 的不等式 mx 1 0 的解集为m, n ，则 m n 的值为（ ）
x3
A． 5
B．
10 3
C． 4
D． 5 或 10 3
高一数学上册(其它不等式的解法)练习 沪教版 试题
上海理工大学附属中学高一数学上册《其它不等式的解法》练习 沪教版2.3其它不等式的解法1.掌握分式不等式的解法，其基本步骤是：移项、通分、转化成整式不等式，利用标根法加以解决；（高次不等式）2.掌握绝对值不等式的解法，其解法关键就是消绝对值，化绝对值不等式为一般普通不等式，消绝对值的一般方法有分类讨论法和平方法；3.无理不等式高考不做具体要求，仅作一般的等价处理即可。
4.体会转化思想什么是分式不等式？答：分式不等式是指分母上带有未知数的不等式。
形如：1111,2121x x x x x -+>≥+-等 什么是高次不等式？答：高次不等式一般指未知数的次数大于2的整式不等式。
形如23(2)(1)(3)0x x x -+-≤等 例1.解下列不等式： （1）2102x x +≤-； （2）321x >+； （3）1121x x ->+； 练：2132x x->-例2.解下列不等式：（1）(51)(2)(1)0x x x +--≤； （2）2231414168x x x x -+≥-+； （3）21712x x x ≥-+（练习） （4）23(2)(1)(3)0x x x -+-≤；（拓展）例3.当m 为何值时，关于x 的方程(1)3(2)m x x -=+的解是正数？是负数？例4．解关于x 的不等式：12x x a+≤-（a R ∈）什么是绝对值不等式？答：绝对值不等式一般指绝对值符号中含有未知数的不等式。
如：2122x x +-<，125x x -++<等认知：,(0)0,(0),(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，及绝对值的几何意义。
(0)(,)(0)(,)(,)x a a x a a x a a x a a ⎧<>⇒∈-⎪⇒⎨>>⇒∈-∞-+∞⎪⎩例5.解下列不等式：（1）235x -<； （2）234x x ->； （3）2312x x ->+例6．解下列不等式：（1）2122x x +-<； （2）312x x -≤+；（3）125x x -++<； （4）2131x x x --<++例7.（1）不等式12x x a ++-<的解集非空，求实数a 的范围；（2）不等式12x x a ++->的解集为一切实数，求实数a 的取值范围。
高中五星级同步题组(高一上)---第2章
第二章 不等式2.1 不等式的基本性质（1）第一组 2-1——【完成本组需30分钟】1、"若0x y +＞且0xy ＞，则0x ＞且0y ＞" 是 （填"真"或"假"）命题.2、"若x y ＞且0xy ＜，则0y x ＜＜" 是 （填"真"或"假"）命题.3、"若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则a b c d＞" 是 （填"真"或"假"）命题. 4、"1x ＞" 是 "11x＜" 的 条件. 5、"22ac bc ＞" 是 "a b ＞" 的 条件.6、命题 "若12x ＞，22x ＞，则12x x +＞4"的逆命题是 ，这是 （填"真"或"假"）命题.7、比较大小：22x y + 222x y --.8、若24x ＜＜，36y ＜＜，则x y -的取值范围是 .9、若0a b ＞＞，0m ＞，则a b 与a m b m ++的大小关系是：a b a m b m++. 10、若角α、β满足°°9090αβ-＜＜＜，则2α-β的取值范围是 .11、若{}222,m y y x x x R ∈=-+∈，则11m +的取值范围是 . 12、观察以下四个不等式：①若a b ＞，则22a b ＞；②若a b ＞，则22a b ＞；③若a b ＞，则22a b ＞；④若a b ＞，则22a b ＞，其中正确结论的序号为 .第二组 2-2——【完成本组需30分钟】1、"若0x y +＜且0xy ＞，则0x ＜且0y ＜" 是 （填"真"或"假"）命题.2、"若x y ＞且0xy ＞，则0x y ＞＞" 是 （填"真"或"假"）命题.3、"若0a b ＞＞，c d ＞，则ac bd ＞" 是 （填"真"或"假"）命题.4、"x y ＞" 是 "11x y＞" 的 条件. 5、"221x y +＜" 是 "1xy x y ++＞" 的 条件.6、"若a b ＞且c d ＞，则a c b d ++＞" 的逆否命题是 ，这是 （填"真"或"假"）命题.7、比较大小：2221b b -+ 244ab a -（其中a 、b R ∈）.8、若13a ＜＜，42b --＜＜，则a b的取值范围是 . 9、若有实数a b ＜，0c ＜，且满足0a b +=. 请比较大小：11bc ac - 1abc . 10、若12a b -＜＜＜，则3a b -的取值范围是 .11、若有 "x R ∈⇒①2(2)0x -≥⇒②2(2)22x -+≥⇒③211(2)22x ≤-+"，以上推导 过程中，正确的序号是 .12、已知三个不等式：①0ab ＞；②c d a b--＜；③bc ad ＞. 以其中两个作为条件， 余下一个作为结论，那么可以组成的真命题有 .2.1 不等式的基本性质（2）第一组 2-3——【完成本组需35分钟】1、x 、y R ∈，比较大小22x y + xy .2、若2m ＜，则关于x 的不等式()21m x m --＜的解集为 .3、若0a b ＞＞，0c d ＜＜，则下列命题恒成立的是 .①22bc ad ＜；②33bc ad ＜；③a b c d ＜；④a b d c＜. 4、命题A ："a b ＞" 是命题B ："22a b ＞" 的 条件.5、"*)n N ∈，则a b ＞" 的否命题是 ，是 （填"真"或"假"）命题.6、已知a 、+b R ∈. 若*()b b n n N a a n+∈+＜成立，则a b （填"＞"、"＜"或"="）. 7、"0302x y xy +⎧⎨⎩＜＜＜＜" 是 "0102x y ⎧⎨⎩＜＜＜＜" 的 条件. 8、已知a 克糖水中含有b 克蔗糖，再向糖水中加入(0)m m ＞克蔗糖，完全溶解， 结果糖水变甜了，从上述现象中提炼出一个不等式为 .9、已知x 、y 是实数，()0xy x y -＞成立的充要条件是（ ）.（A ）0x y ＞＞ （B ）0y x ＜＜ （C ）11y x ＞ （D ）11x y＞ 10、若0x y ＜＜，则下列不等式中不成立的是（ ）.（A ）2211x y --＜ （B ）22*()n n x y n N ∈＜（C ）2121*()n n x y n N ++∈＜ （D ）11y x x-＞11、有四个条件如下：①0b a ＞＞；②0a b ＞＞；③a b ＞；④a b ＞. 其中是"11a b＜" 的充分不必要条件的有（ ）个 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412、若a 、b 、c 均为非零实数，且a c b -＜. 以下不等式中一定成立的 是（ ）.（A ）a b c +＜ （B ）a c b -＞（C ）a b c +＜ （D ）a b c -＞第二组 2-4——【完成本组需35分钟】1、已知0a b c ＞＞＞c 从小到大的排列顺序是 .2、若2a ＜，则关于x 的不等式221ax x +-＞的解集为 .3、已知0a b ＞＞，0c d ＜＜，若e e a c b d--＞，则e 0（填"＞" 或 "＜"）. 4、命题A ："a b c ＞＞" 是命题B ："22ac bc ＞" 的 条件.5、"若a b ＞，则*()n n a b n N ∈＞" 的逆否命题是 ，是 （填"真"或"假"）命题.6、若2c -＞"＞"、"＜"或"="）.7、"22a b c c ＞" 是 "a b ＞" 的 条件.8、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a ＜. 现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg （其中x y ＞）. 若以两种价格的平均数收 购，对棉农 （填 "公平" 或 "不公平"），其理由可用不等式表示 为 .9、能使x y ＞与11x y＞同时成立的充要条件是（ ）. （A ）0x y ＞＞ （B ）0x y ＞＞ （C ）0x y ＞＞ （D ）x y ＞10、下列命题中，不正确的是（ ）.（Aa b ＞ （B ）若a b ＞，c d ＞，则a d b c --＞（C ）若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则a b d c＞ （D ）若0a b ＞＞，ac bd ＞，则c d ＞ 11、"x y ＞"的充分不必要条件是（ ）.（A ）22x y ＞ （B ）x y ＞ （C （D ）11x y＞ 12、有以下4个命题：①若0a b ＞＞，则11a b＜；②若0a b ＜＜，则22a b ＞； ③若11a＞，则1a ＜；④若12a ＜＜，且03b ＜＜，则22a b --＜＜. 其中真命 题的个数是（ ）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42.2 一元二次不等式的解法（1）第一组 2-5——【完成本组需30分钟】1、已知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=＞有两实根1x 、2x . 若12x x ＜，则一元 二次不等式20 ax bx c ++＞的解集是 .2、关于x 的不等式()()21430x x --＜的解集为 .3、关于x 的不等式2760x x ++＜的解集为 .4、关于x 的不等式231080x x --＞的解集为 .5、关于x 的不等式42280x x +-＜的解集为 .6、若(,1)A =-∞-∪(5,)+∞,写出一个以A 为解集的一元二次不等式： .7、关于x 的不等式222(2)20x a x a +--＞的解集为 .8、当0a ＜时，关于x 的不等式22420x ax a +-＜的解集是 .9、若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为(1,2)-，则不等式20cx bx a ++＜的 解集为 .10、若函数221y ax ax =++的图像与x 轴无交点，则a 的取值范围是 .11、关于x 的二次函数24y kx x k =-+的图像全部在x 轴的上方，则实数k 的取 值范围是 .12、已知集合{}2230A x x x =--＜，集合{}22(1)10B x x x a =-+-＜，若A B ⊆， 则a 的取值范围是 .第二组 2-6——【完成本组需30分钟】1、已知一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=＞有两实数根1x 、2x . 若12x x ＜，则一 元二次不等式20ax bx c ++＜的解集是 .2、关于x 的不等式()()2150x x --＜的解集是 .3、关于x 的不等式292350x x +-＞的解集是 .4、关于x 的不等式()()1212x x --＞的解集是 .5、关于x 的不等式42230x x --＜的解集是 .6、若(1,2)A =-，写出一个以A 为解集的一元二次不等式： .7、关于x 的不等式22(21)0x a x a a -+++＜的解集是 .8、关于x 的不等式222(10)2(1)x a x a a -+++＜（其中1a ≠）的解集是 .9、若关于x 的不等式20ax bx c ++＜的解集为(,3)-∞-∪(5,)+∞，则不等式 20cx bx a ++＞的解集是 .10、若函数2(1)2(1)1y a x a x =-+-+的图像与x 轴无交点，则a 的取值范围是 .11、若关于x 的二次函数24y kx x k =-+的图像全在x 轴下方，则实数k 的取值 范围是 .12、若同时满足不等式220x x --＞和22(52)50x a x a +++＜的x 的整数值只有 2-，则实数a 的取值范围是 .2.2 一元二次不等式的解法（2）第一组 2-7——【完成本组需30分钟】1、若一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=＞无实数解，则不等式20ax bx c ++＞的解 集为 .2、不等式2450x x ++＞的解集为 .3、不等式221x x -＜的解集为 .4、不等式2210x x -+≤的解集为 .5、不等式2450x x --＜的解集为 .6、不等式42320x x ++≥的解集为 .7、不等式组2210560x x x ⎧-≥⎪⎨--≤⎪⎩的解集为 . 8、关于x 的一元二次不等式2410ax x -+≥的解集为R ，则a 的取值范围是 .9、若函数2(0)y ax bx c a =++＜的图像与x 轴只有一个公共点0() ,0x ，则使函数 值0y ≥得所有x 值得集合是 .10、若关于x 的不等式2(1)0x a x a -++≤的解集包含2，则a 的取值范围是 .11、若不等式组2220(1)ax x x x a x ⎧--≤⎪⎨-≥-⎪⎩的解集为R ，则a 的取值范围是 . 12、已知集合{}2(3)0A x x a x a =+-+≤非空，且A R +，则实数a 的取值范围 是 .第二组 2-8——【完成本组需30分钟】1、若一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=＞无实数解，则不等式20ax bx c ++＜的解 集为 .2、下列不等式中，解集为全体实数的不等式是 .①241290x x -+＞；②241290x x -+＜；③2210x x ++＜；④23240x x -+＞3、不等式21x x -＞的解集为 .4、不等式210x x ++≤的解集是 .5、不等式23820x x --＜的解集是 .6、不等式4220x x -＜的解集是 .7、不等式组2234404120x x x x ⎧--≥⎪⎨--⎪⎩＜的解集是 . 8、若关于x 的一元二次不等式2410ax x -+＜的解集为∅，则a 的取值范围是 .9、若函数2(0)y ax bx c a =++＜的图像与x 轴只有一个公共点0() ,0x ，则使函数 值0y ＜的所有x 值得集合是 .10、关于x 的不等式2230x kx k k -++＜的解集包含2，则实数k 的取值范围是 .11、已知全集U=R ，()f x 、()g x 均为x 的二次函数，集合{}()0P x f x =＜，集合{}()0Q x g x =≥，则不等式组()0()0f xg x ⎧⎨⎩＜＜，的解集用P 、Q 表为 . 12、若关于x 的不等式2260x mx m m +++＜的解集为A ，且区间(1,2)A ⊆，则实 数m 的取值范围是 .2.2 一元二次不等式的解法（3）第一组 2-9——【完成本组需40分钟】1、若关于x 的不等式2(1)10ax a x -++＜的解集为∅，则a = .2、若关于x 的不等式240x ax -+＜的解集为(1,4)，则a = .3、若关于x 的不等式22(3)520a x x -+-＞的解集为1(,2)2，则a = . 4、如果对任意实数x ，二次函数2y ax x c =--的值恒为负，那么a 、c 应满足的 条件是 .5、若关于x 的不等式2()()0x a x a --＞的解集为2(,)a -∞∪(,)a +∞，那么实数a 的 取值范围是 .6、已知区间(1,2)中的所有元素都是不等式220x mx -+＜的解，则m 的取值范 围是 .7、甲：1a ＞，乙：a ，则甲是乙的 条件.8、设1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++＞与22a x + 220b x c +＞的解集分别是M 、N ，那么 "111222a b c a b c ==" 是 "M N =" 的 条件.9、不等式(1)(2)(3)8x x x x +++＜的解集是 .10、某杂志以每册1.20元的价格可发行12万册. 若定价每提高0.10元/册，发 行量将减小4万册；定价每降低0.10元/册，发行量将增加4万册，要使总 收入不低于20万元，那么该杂志的最高定价为每册 元.11、若关于x 的不等式22(1)210a x ax -++＞有实数解，则a 的取值范围是 .12、不等式2210x x --＞的解集为A ，集合{}(25)()0B x x x a =++＜. 设Z 为整 数集，若A ∩B ∩Z=(1,2)--，则实数a 的取值范围是 .第二组 2-10——【完成本组需40分钟】1、若不等式202m x mx ++＞对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .2、已知不等式20x ax b --＜的解集为()2,3，则不等式210bx ax --＞的解集是 .3、已知不等式20ax bx c --＜的解集为()2,3，则不等式20cx bx a --＞的解集为 .4、如果对任意实数x ，二次函数2y ax x c =--的值恒为非负，那么a 、c 应满足 的条件是 .5、已知{}2560A x x x =-+＜，下列集合中是A 的子集的是 . ① (){}22,21x y y x x -+-＜； ② {}2560x x x -+≤； ③ {}2560x x x -+=； ④ {}2440x x x -+＜.6、已知不等式22x a x ≤的解集为A ，{}22B y y =-≤≤.若A B ，则a 的取值 范围是 .7、已知α：(2,2)x ∈-，β：{}42280x x x x ∈+-＜，则α是β的 条件.8、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--＜对于x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 .9、不等式(2)(4)(6)(8)768x x x x ++++＜的解集是 .10、某超市计划在第四季度完成利润364万元. 如果10月份已完成100万元利 润，那么在11月、12月这两个月中，该超市利润的月平均增长率至少要大 于 时，才能完成计划.11、若不等式222(1)2(1)9401m x m x m x x -+-++++＞对一切实数x 都成立，则实数m 的 取值范围是 .12、已知不等式20ax bx c ++＞的解集为(,)αβ，其中0βα＞＞，则不等式 20cx bx a ++＜的解集为 .2.3 其他不等式的解法（1）第一组 2-11——【完成本组需30分钟】1、在下列不等式中，与22x ＞同解的不等式是 .① 211233x x x ++--＞； ②22x + ③ 2(1)2(1)x x x ----＞； ④ 2(2)2(2)x x x --＞2、不等式11x＜的解集是 . 3、不等式302x x -≥+的解集用区间表示为 . 4、不等式22101x x ++＞的解集为 . 5、不等式2413x x +-＞的解集为 . 6、在平面直角坐标系内，若点311)1(2,a a a +--在第二象限内，则a 的取值范围 是 .7、若定义运算 " * " 满足如下法则：21*a a b b-=，则不等式*(1)0x x +＜的解集 是 .8、已知212111x x x x++=--，则x 的取值范围是 . 9、已知集合{}1A x ax ==，集合(){}221332B x x x x =+-+-＞. 若A B ，则a 的取值范围是 .10、已知211x y x -=-. 若0x ＞，则y 的取值范围是 .11、若0a ＞，0b ＞，则不等式1b a x-＜＜的解集是 . 12、若不等式2222463x kx k x x ++++＜1对于一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是 .第二组 2-12——【完成本组需30分钟】1、下列不等式中，与不等式302x x-≥-同解的是 . ① ()3(2)0x x --≥； ② ()3(2)0x x --≤；③ 203x x -≥-； ④ 302x x -≤-. 2、下列不等式中，解集为R 的是 .① 2210x x ++＞； ② 2210x x ++＞；③ 0x ＞； ④ 3312x x-+＜ 3、不等式211x＜的解集为 . 4、若关于x 的方程12ax x a -=+的解不小于1，则a 的取值范围为 .5、不等式112121x x -+＜的解集为 .60的解集为 . 7、若关于x 的不等式0x a b x +-＞的解为31x --＜＜，则a b += .8、不等式()260(1)(5)x x x -≤+-的解集为 . 9、不等式302x x -≤-的解集为A ，不等式2(1)()0x x a +-＞的解集为B ，若 A ∩B=A ，则a 的取值范围是 .10、不等式11ax x -＜的解集为{}3 1x x x ＜或＞，则a = . 11、 已知不等式24360ax ax a -++≥对一切实数x 恒成立，则关于x 的方程 421x a a =-++的根的取值范围是 . 12、不等式211x m x +-＞对满足11m -≤≤的一切实数m 恒成立，则x 的取值范围 是 .2.3 其他不等式的解法（2）第一组 2-13——【完成本组需40分钟】1、不等式3 1x ≤的解集是 .2、不等式 31x -＞的解集是 .3、不等式257 11x x -+-＜的解集是 .4、不等式2211x x x x--＞的解集是 . 5、不等式21x x --＜的解集是 .6、不等式126x x --+＜的解集是 .7、若5x =是不等式4x a -≤的解中的最大值，则a 的值等于 .8、已知集合{}A x y x R ==∈，集合{}10,B x x a x R =--∈＞. 若 A ∩B=∅，则实数a 的取值范围是 .9、已知x 、y R ∈，且0xy ＜，则下列不等式中正确的是 .① x y x y +-＞；② x y x y +-＜；③ x y x y --＜；④ x y x y -+＜.10、已知不等式23x x a -++＜的解集为∅，则实数a 的取值范围是 . 11、已知不等式2ax b +＜的解集为(2,6)，则a 、b 的值为 . 12、关于实数x 的不等式22(1)(1)22a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤ ()a R ∈的解集依次记为A 与B ，则使A B ⊆得a 的取值范围是 .第二组 2-14——【完成本组需40分钟】1、不等式127x ≤-＜()x 为整数的解集为 .2、不等式12x＞的解集为 . 3、不等式 32x -＜的解集为 .4、不等式11223x x ---＜的解集为 . 5、不等式125x x --＜的解集为 .6、不等式234x x +--＜的解集为 .7、已知2x =是不等式3x a -≤的解集中的最小值，那么a = .8、已知0h ＞，甲：两实数a 、b 满足2a b h -＜；乙：两实数a 、b 满足1a h -＜ 且1b h -＜，则甲驶乙的 条件.9、满足2x a -＜的实数x 也满足241x -＜，那么正数a 的取值范围是 .10、若关于x 的不等式43x x a -++＜有实数解，则a 的取值范围是 .11、已知关于x 的不等式1x ax -＜的解集为M ，Z 为整数集. 若M ∩Z={}1 ,2， 则实数a 的取值范围是 .12、在一条笔直的街道上，住着7位小朋友，他们各家的门牌号分别是3，6， 15，19，20，30，39，这几位小朋友准备聚在一起玩游戏. 要使大家所走 的路程总和最短，则地点应选在门牌号为 的小朋友家（假定门牌 号数字大小依次相连，且相邻的两个门牌号的房子间的距离相等）.2.4 基本不等式及其应用（1）第一组 2-15——【完成本组需35分钟】1、当a 、b 满足条件 时，(2)(1)a b -+-≥.2、若正数a 、b 满足2ab =，则22a b +≥ .3、若0x ＞，则22x x+的取值范围是 . 4、"12x x+≥" 是 命题（填"真" 或 "假"）. 5、已知a 、b R ∈，若0ab ≠，有下列不等式：①222a b ab +≥，②2b a a b+≥， ③2b a a b+≥，④222a b a b ++≥. 其中恒成立的不等式序号是 . 6、若1a ＞，1b ＞，且a b ≠，则a b +、2ab 、22a b +中值最小的 是 .7、设0x ≠，则22352x x--的最大值是 . 8、当1x ＜时，有2224(1)1x x a a x -++≤-≠--，且当0x x =时等号成立，则 a = ，0x = .9、设x R ∈，下列各式中，值恒大于或等于x 的是（ ）.（A ）214x + （B ）10x （C （D ）10x 10、设0x y ＞＞，则下列各式中正确的是（ ）.（A ）2x y x y +＞ （B ）2x y x y +＞ （C ）2x y x y +＞＞ （D ）2x y x y +＞11、若实数x 、y 满足221x y +=，则x y +的取值范围是（ ）.（A ）[]1,1- （B ）[]2,2- （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎣12、在面积相等时，比较正方形与长方形的周长，正确的是（ ）.（A ）正方形较小 （B ）长方形较小（C ）一样大 （D ）无法确定第二组 2-16——【完成本组需35分钟】1、设a 、b R ∈且0ab ≠，那么 "a b =" 是 "2b a a b+≥" 的 条件. 2、若正数a 、b 满足2ab =，则a b +≥ .3、已知x R -∈，则1x x+的取值范围是 . 4、已知x 、0y ＞且4x y +≤，那么下列不等式中成立的是 .①114x y ≤+；②111x y +≥2；④11xy ≥ 5、已知a 、b R ∈，且110a b＜＜，有①22a b ＞，②a b +＞2ab b ＜， ④22a b a b ++＞，其中恒成立的不等式序号是 .6、若01x ＜＜，01y ＜＜，则在22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个 是 .7、若(),1x ∈-∞，则111x x ++-的最大值为 .8、已知不等式122x a x+＞对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 . 9、已知a 、b R +∈，则下列不等式中不成立的是（ ）.（A ）a b +≥ （B ）2b aa b+≥（C2a b +≥ （D ）2ab a b ≥+10、设x 为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）.（A ）210x x ++＜ （B ）12x x+≥ （C ）2212x x +≥ （D ）12x +≥11、若x 、y 是不相等的两个正数且1xy ≠，则下列代数式中值最大的是（ ）.（A ）11x y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （B ）1xy xy + （C ）11x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）11()()x y x y ++ 12、某种商品将进行提价，提价方案有三种，甲：先提价m %，再提价n %； 乙：先提价2m n +%，再提价2m n +%；丙：一次性提价()m n +%. 已知 0m n ＞＞，那么提价方案中最终提价幅度最大的是（ ）.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）皆有可能2.4 基本不等式及其应用（2）第一组 2-17——【完成本组需45分钟】1、若x R +∈，则212x x+有最 值，且此最值为 .2、若3a ＞，则13a a +-有最 值，是 ，此时a = . 3、当0x ＜时，29x x +有最 值，是 ，此时x = .4、若x R +∈，则821x x ++的最小值是 . 5、代数式(4)x x -有最 值，是 ，此时x = . 6、若x R +∈，则21xx +的取值范围是 . 7、若长方形面积为S ，则其周长的最小值为 .8、设12x ＞，则代数式821x x +-的最小值为 .9、设x 、y R +∈，且4x y +=，则使不等式14k x y +≥恒成立的实数k 的取值范围是 . 10、x y z ＞＞，*11()n n N x y y z x z+≥∈---恒成立，则n 的最大值为 . 11、下列各式中，最小值是2的是（ ）. （A ）111x x +++ （B ）1sin ()sin x x x +为锐角（C ）1tan ()tan x x x +为锐角 （D12、已知a 、b R ∈，且0ab ＞，则代数式22a b ab +的最值为（ ）.（A ）有最小值，但没有最大值 （B ）有最大值，但没有最小值 （C ）既有最大值，也有最小值 （D ）没有最大值，也没有最小值第二组 2-18——【完成本组需45分钟】1、已知0x ＞，43x x++的最小值是 . 2、若4x ＞，则124x x +-的最小值是 . 3、已知0x ＞，43x x--的最大值是 .4、若x 、y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值是 .5、已知0x ＞，那么当x = 时，(13)x x -有最大值为 .6、设a 、b 、c R +∈，则b c c a a ba b c+++++的最小值为 . 7、已知直角三角形ABC 的三边之和为2，那么∆ABC 的面积的最大值是 .8、代数式)x R ∈的最大值是 .9、对所有x 、y R +∈都成立，则k 的最小值为 . 10、已知x R +∈，由不等式12x x +≥，2244322x x x x x+≥++≥，…，启发我们可以 得出推广结论*1 ()n ax n n N x+≥+∈，则a = .11、函数2y =）.（A ）4 （B ）2 （C ）k （D ）不能确定 12、有下列四个命题：① 2=2的最小值是2；② 已知0x ＞，那么当1x =时，21x x ++取得最小值2；③ 由()222111x x ++≥+可得当0x =时，()222111x x +++取得最小值2；④ 若a 、0b ＞，则2a b +≥其中假命题的个数是（ ）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4整章综合测试第一组 2-19——【完成本组需75分钟】1、下列不等式中，恒成立的是 .①54a a ＞；②2243a a ＞；③12a a --＞；④5242a a --＞.2、若x 满足12x＜和13x -＞，则x 的取值范围是 .3、不等式()21(2)0(3)(4)x x x x -+≤--的解集是 .4、不等式2346x x --＜的解集是 .5、设a 、b 、c 、d 为实数，给出三个命题：①0ab cd ＞＞，则a dc b ＞；②若a b ＞，则11*()nna b n N ∈＞；③若11nna b ＞，则*()a b n N ∈＞.那么其中真命题的个数是 .6、如果a R ∈，且20a a +＜，那么a 、2a 、a -、2a -的大小关系是 .7、若0a ＞，0b ＞，且231a b +=，则ab 的最大值是 .8、已知集合214x a A a x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭有唯一实数解，则A= （用列举法表示）.9、若不等式1a xx b---＜的解集是{}3x x ＞，那么实数a 、b 的一组可能值为 . 10、不等式223221x x k x x ++++＞对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是 . 11、设不等式23x -＞的解集为A ，不等式112377x x x -++--＞的解集为B ，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）A B （B ）B A（C ）A=B （D ）以上结论都不对 12、若0ab ＞，则下列不等式不一定成立的是（ ）. （A ）22a b ab +≥ （B ）222a b ab +≥- （C）2a b +≥ （D ）2b aa b+≥ 13、"x y ＞" 的一个充分条件是（ ）.（A ）22x y ＞ （B ）x y ＞（C（D ）11y x ＞14、下列命题中，真命题是（ ）.（A ）若a b ＞，则22a b ＞ （B ）若a b ＞，则11a b ＜（C ）若a b ＞，则22a b ＞ （D ）若a b ＞，则a b ＞ 15、试比较38a a +与254a +的大小.16、已知集合{}2(1)0,A x x a x a x R =-++∈＜，{}2310,B x x x x R =+∈＜. 若 A B ⊆，求a 的取值范围.17、若不等式2220x ax a a -+-＞在[]0,1x ∈时恒成立，求a 的取值范围.18、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm ²，画面的长与宽之比为，(01)λλ＜＜，画面的上、下各留8cm 空白，左右各留5cm 空白. 试问：当λ 为何值，宣传画所用纸张面积最小？第二组 2-20——【完成本组需75分钟】1、若0a b ＞＞，比较大小：3a b 3ab .2、若x 满足11x ＞和28x ＜，则x 的取值范围是 . 3、若不等式()0f x ≥的解集为[]2,4，不等式()0g x ≥的解集为∅，则()0()f xg x ＞的 解集是 .4、使不等式23100x x --＞成立的负值x 的取值范围是 .5、若正整数a 、b 满足4432a b ⋅=，则3ab 的最大值是 .6、若x R ∈，则"11x +＜" 是 "2x ＜" 成立的 条件.7、下列命题中，正确的个数是 .① 1xx +的最小值是2； ② 2的最小值是2；③2的最小值是2； ④ 423x x --的最小值是2.8、对任意实数x ，若不等式12x x m +--＞恒成立，则m 的取值范围 是 .9、关于x 的不等式0ax b -＞的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +-＞的解 集是 .10、已知a 、b 、c R +∈，则1a b +、1b c +、1c a +三个数与2的大小关系是 .11、与不等式24x ＞同解的不等式是（ ）. （A ）211444x x x ++--＞ （B ）2114x x x++＞ （C ）24x + （D ）2104x -＜ 12、下列不等式一定成立的是（ ）.（A ）x y +≥ （B ）x y +≥（C ）x y +≥ （D ）x y +≥ 13、若02a b ＜＜＜，则a b -的取值范围是（ ）. （A ）22a b --＜＜ （B ）20a b --＜＜ （C ）02a b -＜＜ （D ）不能确定14、设a 、b 、c R ∈，有下列命题：①若22a b ＞，则a b ＞；②若22a b ＞， 则11a b ＜；③若a b ＞，则22ac bc ＞；④若0a b ＞＞，0c ＞，则11ac bc a b--＜， 其中假命题的个数是（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 15、解不等式：(1)01ax a x +--＜.16、若{}231A x x =-≥，{}222(1)(1)0B x x a a x a a =-+-+-＜. 若B A ⊆，求 实数a 的取值范围.17、已知不等式组22430680x x x x ⎧-+⎪⎨-+⎪⎩＜＜的解集是不等式2290x x a -+＜的解集的子集，求实数a 的取值范围.18、是否存在实数p ，使适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3？ 如果存在，求出实数p 的值；如果不存在，请说明理由.第三组 2-21——【完成本组需75分钟】1、若a b ＞，0ab ≠，则21a b 与21ab的大小关系为 . 2、设全集U R =，集合41A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭＞，{}2230B x x x =--＜，则()U C A B = .3、若不等式()()0x a x b x c++≥-的解集为[)[)1,23,-+∞，则a b +的值是 .4、甲离学校10公里，乙离学校a 公里，乙离甲3公里，那么实数a 的取值范围 是 .5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]=3π，[]1.2=2 --，1=02 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 使21=3x ⎡⎤-⎣⎦成立的x 的取值范围是 . 6、若1a b c ＞＞＞，按从小到大排列顺序为 . 7、在等式191a b=+的a 、b 处各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最 小，则a = ，b = .8、要使不等式22262x mx -≤-+≤恰有一解，则m = .9、若实数a 、b 、c 同时满足下列条件：①0abc ＞；②0a b c ++＞；③ab bc ++ 0ca ＜，则下列判断正确的是 （将正确判断的序号都填上）. 10、若不等式221(1)x x m x x -+++＞对一切实数x 恒成立，那么m 的取值范围 是 .11、下列各组不等式中，同解的一组为（ ）.（A ）20x x -＞与20x x -＜ （B ）11x -＞与11x ＜（C 2与14x -＜ （D ）111x x x++＜与1x ＜12、已知正实数a 、b 满足2a b +=，且a b ≠，则ab 、1、222a b +的大小关系正 确的是（ ）.（A ）2212a b ab +＜＜ （B ）2212a b ab +＜＜（C ）2212a b ab +＜＜ （D ）2212a b ab +＜＜13、不等式(21)(1)0x x --＜成立的充要条件是（ ）.（A ）1x ＞或12x ＜ （B ）1x ＞或112x -＜＜（C ）112x -＜＜ （D ）1x -＜或12x ＞14、已知0a b ＜＜，下列结论中正确的是（ ）.（A ）不等式11a b ＞与11a b ＞均不能成立（B ）不等式11a b a -＞与2211a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞均不能成立（C ）不等式11a b a -＞与11a b ＞均不能成立（D ）不等式11a b ＞与2211a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞均不能成立15、解关于x 的不等式22ax a bx b --＞.16、已知集合{}22240A x x x =--＜，集合{}22430B x x ax a =-+＜. 若B A ⊆， 求实数a 的取值范围.17、已知不等式2320ax x -+＞的解集为{}1x x x b ＜或＞.（1）求a 、b 的值；（2）解不等式：0 ()c x c ax b-+＞为常数18、是否存在2(0)y ax bx c a =++＞，它的图像经过点(1,2)，且对一切x R ∈，都 有221ax bx c x ++≤+？若存在，试求出一组a 、b 、c 的值；若不存在，请 说明理由.。