第二章第五节 曲线和曲面

s
b X
a’
(3) 作出锥 顶的正面投 影和侧面投 s’ s” W 影并画出正 S 面转向轮廓 b’ d” 线和侧面转 c’d’ B (b”) c” 向轮廓线。 a” A
d a C b c
c” Z
圆锥的投影
Y
2、圆锥表面上取点
在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一 种是辅助圆法。 Z 方法一：素线法
V
s’ s” S
m’
过M点及锥顶S作 一条素线SⅠ,先求 出素线SⅠ的投影, 再求出素线上的M点。 X
W
d”
m”
b’
M
a’
c’d’ A a d
Ba” (b”) C b c
c”
m
Y
圆锥的三面投影图
s’
s”
已知圆锥表面的点 M的正面投影m’,求出 M点的其它投影。 m” 过m’s’作圆锥表面 c” 上的素线，延长交底 圆为1’。 求出素线的水平投 影s1及侧面投影s”1”。 求出M点的水平投 影和侧面投影。
回转曲面
非回转曲面
母线按一定规律运动，但并非回转
回转曲面
第五节 曲线和曲面
5.3 回转曲面的投影
一、圆柱
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。 Z
1、圆柱的投影 b’ 一个投影为圆，其余二投影 c’d’ d” a’ V 均为矩形。规定：回转体对 如图所示，圆柱的 D B 轴线垂直于H面，其上 某投影面的转向轮廓线，只 A C 下底圆为水平面，水 能在该投影面上画出，而在 平投影反映实形，其 其它投影面上则不再画出。 c’d’ a’
图示柱面的导线是一个 水平圆。母线的方向平行于 图中给出的正平线L的方向，
柱面的各素线是互相平行的。
由于母线为定长，所以此柱 面的上底也是一个水平圆。
一、柱面
柱面在建筑工程中，有着广泛的应用。下图表示了
一个用柱面构成的完体建筑。
二、锥面
锥面。一直线沿着一曲线 活动， 并始终通过一固 定的点， 所形成的曲面 叫做锥面。
a’ V
s’
s” S
m’
W
b’
M
c’d’ A a d
d”
m”
Ba” (b”) C b c
c”
m
Y
圆锥的三面投影图
s’
s” 已知圆锥面上M点 的水平投影m，求出 其m’和m”。 以s为中心，以sm c” 为半径画圆，
2’ m’
3’ b’ d”
m”
a’
a
2
m
s
3 b
作出辅助圆的正面 投影2’3’。
求出m’及m”的投影。
[例题]：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影，已知 圆心O的投影及直径D的长度。
分析：
所给平面P垂直于V面， 对H面倾斜成α 角，所 以P面内的圆，在V面上 的投影积聚成一直线并 重合在Pv上，长度等于 D；在H面上投影变形成 为椭圆。此椭圆的长轴 是圆内一条垂直于V面 的直径的投影，长度等 于直径D；短轴是该平 面内的最大斜度线
对于圆锥面，要 分别画出正面和侧 面转向轮廓线
正面转向轮廓线 A
X
侧面转向轮廓线
c
Y
图3-11 圆锥的三面投影图
圆锥投影图的绘制：
s’ s”
（1） 先绘出圆锥的对 称线、回转轴线。
（2）在水平投影面上 绘出圆锥底圆，正面 投影和侧面投影积聚 为直线。
a’
c’(d’) d
b’
d”
V
a’(b’)
a c
和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影
光滑连接起来。
第五节 曲线和曲面
5.2 曲 面
1、曲面的形成
导线
S
母线
定点
母线
锥面
柱面
素线
直线或曲线连续运动形成曲面 形成曲面的动线（直线或曲线）称为母线。 控制母线运动规律的线、面，称为导线、导面 母线在曲面上的每一个位置称为素线
导线
直线L沿着曲线M移动，移动过程中直线L始终平行于Y轴。 其中运动的直线L即是母线，母线在移动过程中的任意称为素线。 图中曲线M即是导线。
a' c'
a" (c" )
m' m" d" b"
b' (d ' )
d PH QH
a
m
c
b
四、锥状面
一直母线沿着不在同一 平面上的直导线和一条 曲导线移动，并始终平 行于一导平面，形成 的曲面叫做锥状面。
图示的锥状面，直导线AB
垂直于正立面，曲导线为一个 水平圆，而导平面为正平面。 表现在投影图上， 所有素线的 水平投影均平行于OX轴， 而 正面投影集中于一点a’(b’)。
平螺旋面的母线垂直于轴线，
因此母线运动时始终平行于轴线所 垂直的平面；当轴线为铅垂线比那
么水平面即为平螺旋面的导平面。
斜螺旋面的母线倾斜于轴成定角， 因此母线在运动时始终平行于一个 圆锥面，此圆锥面叫做导锥面。
平螺旋面
斜螺旋面
作法： （1）根据导圆柱半径R及螺距h，作 出螺旋线；
（2）根据母线A0B0与轴线的倾角φ，
图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平 面与投影面的位置不同，其投影也不同。
二、曲线的投影
（1） 圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影 反映实形（成为同样大小的圆）。 （2） 圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影 不反映实形（变为椭圆）。
（3） 圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影
积聚成一直线（其长度等于直径）。
左旋：动点上升时，母线对轴线作顺时针方向旋转。
一、螺旋线
母线旋转一周时，动点沿
母线移动的距离叫做螺距。螺 距h和导圆柱的半径R是确定螺
h
旋线的两个参数。给出这两个
参数的大小，再根据螺旋线的 方向(譬如是右螺旋)，就可以 做出螺旋线的投影。
螺旋线投影
作法： （1）用半径R作出导圆柱的投影； （2）把导圆柱的底圆周(在水平投影
2、曲面的分类
按母线的形状分类
直线面
由直线运动而成的曲面， 如柱面、锥面等。
由曲线运动而成的曲面， 曲线面 如球面、圆弧旋转面等。
S
圆柱面
直母线绕与之 平行的导线旋 转而成
圆锥面
直母线绕与之相交 的直导线旋转而成 交点即为定点
圆柱面、圆锥面均为直线面
一、曲面的形成和表示法
按母线的运动形式分类
母线绕一定轴作旋转运动所形成的 曲面叫做。固定的直线叫做回转轴。 母线和轴是确定回转面的要素。
12' 11'
10' 9' 8' 7' 6' 5' 3'
2' 1'
上)和螺距h(在正面投影上)分成同样
多的等份(如12等份)；
4'
（3）在水平投影上用数字沿螺旋线
方向顺次标出各分点0、1、··12； ·· ··
0'
11 12 0
10
9
8 7
（4）从0、1、··12 向上作铅垂联 ·· ··
系线，得各分点的正面投影； （5）用曲线圆滑的连接0’、l’、
3、球面上取点
1’
已知M点的水 平投影，求出其它 两个投影。 m’ o’
n’
m” o”
n"
过m作平行于V 面的正平圆12。
求正平圆的正面 投影。 在辅助正平圆上 求出m’和m”。 1 m
R
o 2
n
球的投影及表面上的点
第五节 曲线和曲面
5.4
几种常用的非回转曲面
一、柱面
1．柱面：直母线沿曲导线 移动，并始终平行于另一 导线时，所形成的曲面叫 做柱面。
作图步骤
D/2
1.过o’在Pv上截取 o’c’=o’d’=D/2，得c’d’， 即为所作圆周的3.过o作水平线与过c’和d’向下引 的铅垂联系线相交，得短轴cd； 4.最后用“四心圆法”作椭圆， 即为所求圆周的水平投影
d’ a’(o’、b’)
m’ a’ b’ 1’ c’(d’) d s b d”
a’(b’)1”
a
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平行与底
面的水平辅助圆，该圆 的正面投影为过m′且平 行于a ′ b ′的直线2 ′ 3 ′ ， 它们的水平投影为一直 径等于2 ′ 3 ′的圆，m在 X 圆周上，由此求出m及m″。
第五节 曲线和曲面
5.1 曲线
一、曲线的形成
曲线可以看做是点运动的轨迹。 平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线 叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线 等； 空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲
线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。
二、曲线的投影
1.平面曲线的投影 与平面曲线对投影面的相对位置有关。
圆锥的投影及表面上的点
已知圆锥表面上点M及N的正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。
s′
f′
a′
m
(n )
m
e′ b′
(n )
(e″)
n
a f b
e
m
三、圆球
1、 圆球的形成
球的表面是球面。球 面是一条园母线绕过 圆心且在同一平面上 的轴线回转而形成的。
2、球的投影
球的三个投影均 为圆，其直径与球直 径相等，但三个投影 面上的圆是不同的转 向轮廓线。
PV
b
c
o
d
D/2
a
二、曲线的投影
2.空间曲线的投影 在任何情况下都不会有直线，而是曲线， 不能反映实际形状。