一类隐非齐次马尔可夫模型的强极限定理
第二章-信息论基本概念（3）
H ( X m1 / X1 X 2 X m )
这表明：m阶马尔可夫信源的极限熵H 就等于m阶条件熵，记为H m 1
akm )
设状态 Ei (ak1 ak2 akm ),信源处于状态Ei时，再发出下一个符号akm1
此时，符号序列 (ak2 ak3 a ) km1 就组成了新的信源状态
Ej (ak2 ak3 a ) km1 ，这时信源所处的状态由 Ei 转移到 Ej
状态转移图(香农线图)
0:0.5 E1
1:0.5 E3
1
0:0.6
E2
1:0.4
【注】E1、E2、E3是三种状态，箭头是指从一个状态转移到另
一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率p(ak/Ei) 。 这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。
二、马尔可夫信源
若信源输出的符号和信源所处的状态满足以下两个条 件，则称为马尔可夫信源：
a1 a2
p(sl
E2
/ xl
a3
sl1 E1 ) 0 sl1 E1 ) 1 sl1 E1 ) 1 sl1 E1 ) 0
可求得状态的一步转移概率：
1
2
1 4
0
1 4
0
0
1 2
1 2
0
0
p(E j
/
Ei
)
0
3
1
0
0
44
0
0
0
0
1
0
0
0
3 4
1 4
此信源满足马尔可夫的 两个条件，所以是马尔可夫 信源，并且是齐次马尔可夫 信源。
对于这个随机序列，若有：
p(xn Sin | xn1 Sin1 ,..., x1 Si1 ) p(xn Sin | xn1 S ) in1
马尔可夫性质
泊松过程与排队论应用
01
泊松过程在排队论中的角色
泊松过程是一种重要的随机过程，在排队论中广泛应用于描述顾客到达
的规律。
02
排队系统的性能指标
排队系统的性能指标包括平均队长、平均等待时间、系统利用率等，这
些指标可以通过泊松过程和其他随机过程进行建模和分析。
03
排队论在实际应用中的价值
排队论在实际应用中具有广泛的价值，如电信网络中的呼叫中心、交通
03
序列生成与预测
利用马尔可夫模型对序列数据的建模 能力，结合深度学习等技术，可以实 现更加准确的序列生成和预测。
THANKS
感谢观看
稳态概率分布求解
对于非齐次、非遍历性马尔可夫模型，如何求解稳态概率分布是一 个重要的问题。
深度学习等新技术融合创新
01
深度学习与马尔可夫 模型融合
利用深度学习强大的特征提取和表示 学习能力，可以改进传统马尔可夫模 型的性能。
02
强化学习与马尔可夫 决策过程
将强化学习算法与马尔可夫决策过程 相结合，可以实现更加智能的决策和 控制。
马尔可夫性质
汇报人： 2024-02-06
目录 CONTENTS
• 马尔可夫性质概述 • 马尔可夫链基本概念 • 马尔可夫性质在随机过程中应用 • 马尔可夫性质在信息科学中应用 • 马尔可夫性质在金融领域应用 • 马尔可夫性质挑战与未来发展
01
马尔可夫性质概述
CHAPTER
定义与基本思想
马尔可夫性质是指在给定现在状 态下，过去的信息与未来状态无 关，即未来只依赖于现在，而与
非线性、非高斯问题
复杂系统往往呈现出非线性和非 高斯特性，这使得基于线性高斯 假设的马尔可夫模型不再适用。
马尔科夫模型简介
故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为
1 3,
PX n
j
X n1
i
2
1
3, 2,
1 2,
01
i 1, j 0 i 1, j 1 i 0, j 0 i 0, j 1
P
0 1 1 1
2 3
1 2 2 3
又由于
01
P2
0 5 1 7
ak
aj
ai
o
s
su
suv t
证明 先固定 ak I和s T1 , 由条件概率定义和乘法定理得
P{ X (s u v) aj , X (s u) ak | X (s) ai } P{X (s u) ak | X (s) ai }
p21
状
态
ai
pi1
P(1)
X m1的状态
a2 a j
p12 p1 j
p22 p1 j
P(1)
pi2 pij 记为P
三、应用举例
例1 设{ X (t), t 0}是独立增量过程,且X (0) 0, 证明 { X (t ), t 0}是一个马尔可夫过程.
证明 由独立增量过程的定义知, 当0 t j tn1 tn , j 1,2,,n 2时,
第二节 多步转移概率的确定
一、C-K 方程 二、多步转移概率的确定 三、应用举例 四、小结
一、C-K 方程
设 { X (n), n T1 }是一齐次马氏链, 则对任意的
u,v T1,有
Pij(u v) Pik (u) pkj (v), i, j 1,2,.
k 1
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(简称C -K方程)
马尔可夫排队模型
第一节 状态转移图
• 状态：系统的某种可以稳定存在的形态。
– 从随机过程角度去看，则为随机过程的取值
• 变迁：状态间的有向弧，描述状态间可能的变化。
– 变迁没有延迟，发生的时间为0
• 状态转移图：用来描述系统状态和变迁情况的有 向图 • 实例：一个机械系统由A、B两部分构成，各自有 修理工。若运行时间和修理时间均为服从独立的 指数分布的随机变量，求状态转移图。
例题的求解
• 定义状态：
– S0＝AB，S1＝AB，S2＝AB，S3＝AB
• 变迁和强度：
– S0→S1：A系统发生故障强度λ1＝1/t1 – S1→S0：A的平均修复强度μ1＝1/t1’
• t1’:A的平均修复时间
• t1:A的平均无故障时间。（ λ1指数分布参数）
– 同样可能的变迁S1→S3，S3→S1，S0→S2，S2→S0， S2→S3，S3→S2，强度分别为：λ2、μ2、λ2、μ2、λ1、 μ1
• 试证
M|M|1|0的普通解
• 对应的哥氏方程组：
– p0‘(t) ＝ －λp0(t) ＋μp1(t) – p1‘(t) ＝ － μp1(t) ＋ λp0(t)
• 解得：
– p0(t) ＝μ/(μ+λ)+Ce -(μ+λ)t – 若 t=0 p0(t) =1，则 C＝ λ/(μ+λ) – ∴ p0(t) ＝μ/(μ+λ)+ λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t – p1(t)=1-p0(t) = λ/(μ+λ)-λ/(μ+λ) e -(μ+λ)t
马尔可夫链模型
用 Matlab 计算如下： s0=[1/4 1/2 1/4]; P=[1/4 3/4 0;1/3 1/3 1/3;0 1/4 3/4]; S2=s0*P.^2=(0.0712 0.2118 0.1962) 稳态分布 T=(t1,t2,t3),TP=T,变换后 (P’-E)T’=0 T=(0.16 0.36 0.48) 附程序： liyiw.m
3 (1) (k ) ( n)
(
)
u j ≥ 0, j = 1, 2,L , n
∑u
i =1
n
i
ห้องสมุดไป่ตู้=1
定义 3：若方阵 P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。 可以证明，如果矩阵 A 和 B 皆为概率矩阵，则 AB, Ak , B k 也都是概率矩阵(k 为正整数) 由所有一步转移概率组成的矩阵称为一步转移概率矩阵表示为：
2
马尔可夫链是参数离散、状态离散的最简单的马尔可夫过程。在马尔可夫链 X ( t ) , t ∈ T 中，一般取 参数空间 T = {0,1, 2, L} 。马尔可夫链的状态空间 E 的一般形式是 E = {0,1, 2,L} 。 1、马尔柯夫链定义： 一个随机序列 {X(t), t=1,2,3,…}取值于正整数空间 E={0,1,2,……},或者为 E 的子集， 如果有： P X ( tn ) = xn | X ( t1 ) = x1 , L X ( tn −1 ) = xn −1
( 0)
就可以用上式计算任意时段的状态概率 S
(k )
。
2、 吸收链 在马尔可夫链中，称 pij = 1 的状态 i,j 为吸收状态。如果一个马尔可夫链中至少包含一个吸收状态，并 且从每一个非吸收状态出发，都可以到达某个吸收状态，那么这个马尔可夫链称为吸收链。 含有 m 个吸收状态和(n-m)个非吸收状态的吸收链，其转移矩阵的标准形式为
5马尔可夫链模型
马尔可夫链模型在考察随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况，系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。
这种性质称为无后效性或马尔可夫性。
通俗的说就是已知现在，将来与历史无关。
具有马氏性的，时间、状态无为离散的随机转移过程通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。
马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用。
值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理。
马氏链简介：马氏链及其基本方程：按照系统的发展，时间离散化为0,1,2,n =，对每个n ，系统的状态用随机变量nX 表示，设nX 可以取k 个离散值1,2,,nX k= ，且nXi=的概率记作()ian ，称为状态概率，从nXi=到1n Xj+=的概率记作ijp ，称为转移概率。
如果1n X+的取值只取决于nX 的取值及转移概率，而与12,,n n XX --的取值无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。
由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为1(1)()1,2,,ki jijj a n an p i k=+==∑并且()ian 和ijp 应满足11()10,1,2,;0;11,2,,kkjij ij j j an n p p i k====≥==∑∑引入状态概率向量和转移概率矩阵12()((),(),,()){}k ij ka n a n a n a n P p ==则基本方程可以表为1(1)()(0)n a n a n Pa P++==例1：某商店每月考察一次经营情况，其结果用经营状况好与孬表示。
若本月经营状况好，则下月保持好的概率为0.5，若本月经营状况不好，则下月保持好的概率为0.4，试分析该商店若干时间后的经营状况。
关于极限limn→∞11nn存在的三种证明方法
E 证法一
由数字归纳法容易证得 O 引理 E 设实数 \ 则有 _‘" > R为正整数 >
R b " c K "F \ N a "F R \
K " N "
R R CD
下面利用引理 "证明[ ] Y \ R 因为 \ R F" \ R 而由 ‘
P Q " [S"F RT]递增且有上界>从而证明5 S F RT 是存在的U " "F " " RF " S T Y "F RF "‘ Y b " K RF " Nc " S T S"F RT
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马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
一级马尔可夫方程
一级马尔可夫方程（原创实用版）目录1.一级马尔可夫方程的定义与概述2.一级马尔可夫方程的特性与应用3.一级马尔可夫方程的求解方法4.一级马尔可夫方程的实际应用案例正文【一级马尔可夫方程的定义与概述】一级马尔可夫方程，又称为一级马尔可夫链，是一种随机过程。
在这个过程中，系统在每一个时间步都根据当前状态转移到下一个状态，且转移的概率只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
这种特性使得该过程具有马尔可夫性质，即系统的未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
【一级马尔可夫方程的特性与应用】一级马尔可夫方程具有以下特性：无后效性、稳定性、非负性、齐次性和不可约性。
其中，无后效性和稳定性是马尔可夫过程最显著的特性，也是其在实际应用中最为重要的特性。
一级马尔可夫方程在实际应用中具有广泛的应用，包括但不限于金融领域、生物信息学、信号处理、机器学习等领域。
在金融领域，一级马尔可夫方程可以用来预测股票价格的走势；在生物信息学中，一级马尔可夫方程可以用来预测基因的表达；在信号处理中，一级马尔可夫方程可以用来降噪和滤波；在机器学习中，一级马尔可夫方程可以用来构建各种分类器和预测模型。
【一级马尔可夫方程的求解方法】求解一级马尔可夫方程的方法主要包括矩阵方法、迭代方法和逆向概率法。
矩阵方法主要是通过求解系统的转移矩阵来计算状态转移的概率；迭代方法主要是通过迭代计算来求解系统的稳态概率分布；逆向概率法是通过求解系统的逆向概率矩阵来计算状态转移的概率。
【一级马尔可夫方程的实际应用案例】假设有一个机器人在四个不同的状态下运动：静止、向左、向右和向上。
机器人在每个状态下有一个固定的概率转移到下一个状态，例如，静止的概率是 0.2，向左的概率是 0.3，向右的概率是 0.4，向上的概率是0.1。
我们可以用一级马尔可夫方程来描述这个过程，并根据系统的稳态概率分布来预测机器人未来的运动方向。
以上就是一级马尔可夫方程的基本概念、特性和应用，以及求解方法的简单介绍。
马尔可夫链模型
马尔可夫链在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。
例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。
随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。
在贝努利过程(){},1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。
在维纳过程(){},0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。
在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。
易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进入商店的顾客无关。
一、马尔可夫过程定义：给定随机过程(){},X t t T ∈。
如果对任意正整数3n ≥，任意的12,,1,,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11,,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤==()()11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){},X t t T ∈为马尔可夫过程。
在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,,n t t -是“过去”。
马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,,n n X t x X t x --==无关。
非齐次可列马尔可夫过程的强马尔可夫性
非齐次可列马尔可夫过程的强马尔可夫性顺序1 强马尔可夫性强马尔可夫性（strong Markov property）是指一个时间序列仅受本次量度的影响，下次量度的概率不受事先的时间序列的影响，并且任何两个时刻的量度概率关系不受其他时刻的量度的影响。
强马尔可夫性通常被应用在马尔可夫过程中，指一个时间序列存在着强马尔可夫性，它表明这个时间序列仅受当前量度值的影响，而不受其之前量度值的影响。
这一性质被用来描述一个时间序列的时间依赖关系，这意味着每一次的量度结果不受之前的量度值的影响。
2 非齐次可列马尔可夫过程非齐次可列马尔可夫过程（Non-homogeneous Markov Processes）简称非齐次马尔可夫过程，是一种时间序列模型，用于对不同时刻量度值之间的转移概率建模。
它被应用在有不同马尔可夫过程状态之间进行转移的时间序列分析中，例如，交通流实时预测，股票价格分析，或者双色球结果预测等等。
非齐次马尔可夫过程的特性是，每一次的量度的值都可能受到前一次量度的影响，并且相应时刻的转移概率可能不一样。
这是由于它的背景中有不同的状态和转移的概率有变化的，才形成了非齐次马尔可夫过程的概念。
3 非齐次可列马尔可夫过程的强马尔可夫性非齐次可列马尔可夫过程和齐次可列马尔可夫过程一样，都具有强马尔可夫性。
即只要知道某一次量度值，就可以得出它所影响和受影响的下一次量度值。
也就意味着，其转移概率是依赖于当前量度值的，而不受前期量度值的影响。
但是，非齐次可列马尔可夫过程的强马尔可夫性有一定的限制。
由于非齐次马尔可夫过程的背景存在不同的过程状态和不同的转移概率，因此影响概率分布的因素也会影响转移概率，也就是说，不同时刻下有不同的概率分布，这也就影响了非齐次可列马尔可夫过程的强马尔可夫性。
隐马尔科夫模型(原理图解)
3
总结
11
山东大学高性能计算与大数据处理学科组
1.隐马尔可夫模型-路径预测
问题2：给定观察序列O=O1,O2, …,OT,以及模型λ,如何推测最可能的状态序列S ?
1 (1)
t=1
Π：初始概率向 量
2 (1)
S1t=3
3 (1)
T (1)
S1 t=2
St=T-1 1
S1t=T
S1
a01 a02
B生成概率矩阵
…
…
…
…
SN
SN
OT
…
HMM模型五元组表示：λ ＝（ N, M, π , A, B）用来描述HMM，或简写为 λ =(π , A, B)
6
…
…
…
…
OM
…
山东大学高性能计算与大数据处理学科组
提 纲
1 2
Hidden Markov Model 隐马尔科夫模型的三个问题
概率计算问题
路径预测问题
参数学习问题
3
总结
7
山东大学高性能计算与大数据处理学科组
1. 隐马尔可夫模型-全概率计算 问题1：给定观察序列O=O1,O2, …,OT,以及模型λ=(π,A,B),计算P(O|λ)？
t=1
Π：初始概率向 量
1 (1)
t=2
2 (1)
t=3
3 (1)
S1
t=T-1
T (1)
t=T
H M M
… … … …
Q Q1 1 Q2
Q1 Q2 一般随机过程 观察状态序列
…
…
QM
t=2
…
QM
t=3
…
形象透彻理解马尔可夫链
形象透彻理解马尔可夫链让我们再次强调马尔可夫链在处理随机动⼒学时对问题建模的强⼤作⽤，被⽤于各种领域，例如排队理论，优化电信⽹络的性能；统计信息，众所周知的'马尔可夫链蒙特卡罗'；⽣物学，⽣物种群进化的建模；计算机科学，隐马尔可夫模型是信息论和语⾳识别等领域的重要⼯具。
1998年，Lawrence Page、Sergey Brin、Rajeev Motwani和Terry Winograd共同发表了⼀篇名为《PageRank引⽤排⾏:给⽹络带来秩序》的⽂章。
他们在这篇⽂章中从⾕歌的成⽴之初介绍了现在著名的PageRank算法。
⼆⼗多年后，⾕歌已经成为⼀个巨⼈，即使算法已经发展很多，PageRank仍然是⾕歌排名算法的'象征'。
从理论的⾓度来看，值得注意的是，对该算法的⼀种常见解释是依赖于马尔可夫链的简单且基本的数学概念。
我们将在本⽂中看到马尔可夫链是⽤于随机建模的强⼤⼯具，它对任何数据科学家都是有⽤的。
什么是马尔可夫链？随机变量和随机过程⾸先，在⾮数学术语中，随机变量 X是⼀个变量，其值被定义为随机现象的结果。
该结果可以是⼀个数字（或'类数'，包括向量）或不是。
例如，我们可以将随机变量定义为掷骰⼦的结果(数字)以及投掷硬币的输出(不是数字，除⾮您指定，例如，0为正⾯，1为反⾯)。
还要注意，随机变量的可能结果的空间可以是离散，也可以是连续的：例如，例如，正态随机变量是连续的，⽽⾮随机变量是离散的。
然后我们可以定义⼀个随机过程（也称为随机过程）作为由集合T索引的随机变量的集合，其通常表⽰不同的时间瞬间。
两种最常见的情况是：T是⾃然数集（离散时间随机过程）或T是实数集（连续时间随机过程）。
例如，每天翻转硬币定义了离散时间随机过程，⽽股票市场期权价格连续变化定义⼀个连续的时间随机过程。
不同时刻的随机变量可以相互独⽴（硬币翻转⽰例）或以某种⽅式依存（股票价格⽰例），也可以具有连续或离散的状态空间（每个时刻可能结果的空间）。
马尔可夫链理论及其应用现状
3 马尔可夫链理论在医学领域的应用
马氏链理论在医学上的应用也取得了很大的进展。 3.1 马氏链理论在乙型脑炎预测中的应用 马氏链是由状态转移概率联系起来的一个个状态所组成的 “链条”，我们可以根据某地乙脑每年发病率时间序列，求出 预测值状态的各阶转移概率矩阵，就可按最大转移概率原理做 出预报。 3.2 马氏链在流行性出血热疫情预测预报中的应用 根据搜集的资料确定各状态的取值范围和状态分类，求 出一阶转移概率矩阵。运用马尔可夫链理论可对未来的状态 进行预测, 预测的结果是某个状态，对应指标值的某个区间， 相当于区间估计, 虽使预测的结果相对模糊, 却提高了预测的 准确度, 在EHF防治和疫情预测中具有一定的实用价值。
马尔可夫链预测理论可用来研究日最大波高系列的预测 问题。1996年刘德辅，王超研究了由日最大波高系列估算设 计极值波高时，相邻日最大波高间的相关性对极值预测的影 响。从日最大波高系列遵从马尔可夫链的假定出发，考虑到 国内外经常采用对数─正态分布和韦布尔分布拟合波高长期分 布的现实，用解析法求解了对数─正态分布情况下的极值预测。 同时，对解折法难以求解的非正态随机变量情况（如韦布尔 分布），用计算机随机模拟方法作出了其极值预测。用上述 两种方法对北大西洋和北海有关日最大波高系列的预测结果 表明，考虑了马尔可夫链预测方法，比常用预测方法所得到 的百年一遇设计波高值低10％左右。
7 马尔可夫链理论在土地规划利用上的应用
7.1 农业土地规划利用上的应用 1998年贾华，祝国瑞考虑到自然因素、社会因素对农作 物单产影响的后效性，通过灰色系统建模，并应用马尔可夫 链的状态转移概率矩阵，对农作物单产进行预测，得到了较 好的结果。 7.2 在城市土地规划利用上的应用
城市土地利用变化，具有非线性特征，一般的数据挖掘方 法基本上失效。2002年王铮，吴健平等利用马尔可夫链和神 经网络两种方法，研究了基于地理信息系统、遥感图像、电 子地图，作出了上海市中心城区、2002年和2005年的土地利 用总量和土地利用类型结构的变化预测，从而研究了城市土 地利用状况演变预测的地学数据挖掘技术。
隐马尔可夫模型数学公式
隐马尔可夫模型数学公式
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种统计模型，用
于描述一个隐藏的马尔可夫链的状态序列，该状态序列与可观测的输出序列相关联。
其数学公式可以表示为：
P(X,Y)=P(X1,Y1)P(X2,Y2)⋯P(XN,YN)P(X,Y) = P(X_1,Y_1)P(X_2,Y_2)\dots P(X_N,Y_N)P(X,Y)=P(X1,Y1)P(X2,Y2)⋯P(XN,YN)
其中，
X 表示可观测的状态序列，可以表示为一个离散随机变量序列
X1,X2,…,XN 。
Y 表示隐藏的状态序列，可以表示为一个离散随机变量序列Y1,Y2,…,YN 。
P(Xi,Yi) 表示在时刻 i ，状态为 Xi ，且输出为 Yi 的概率。
在隐马尔可夫模型中，隐藏的状态是不可观测的，只能通过可观测的状态序列来推断隐藏状态序列。
因此，隐马尔可夫模型可以用于解决许多实际问题，如语音识别、手写识别、自然语言处理等领域。
大数定律关于相依变量的扩展 马尔可夫
大数定律关于相依变量的扩展马尔可
夫
出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。
1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量来决定，而与它更前面的那些变量无关。
这就是被后人称作马尔科夫链的著名概率模型，也是在这篇论文里，马尔科夫建立了这种链的大数定律。
用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个马尔科夫链。
马尔科夫链在自然科学、工程技术、经济管理等领域都有广泛的应用。
马尔可夫链收敛分析
目录
• 引言 • 马尔可夫链的收敛性 • 马尔可夫链的收敛定理 • 马尔可夫链的应用 • 马尔可夫链的扩展 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
马尔可夫链是一种随机过程，其中未来的状态只依赖于当前 的状态，而与过去的状态无关。这种性质使得马尔可夫链在 许多领域都有广泛的应用，如自然语言处理、机器学习、统 计学等。
状态转移矩阵的收敛性
状态转移矩阵的收敛性是指随着时间 的推移，状态转移矩阵的极限行为。
判断状态转移矩阵是否收敛的一种常用方法 是计算其极限矩阵，如果极限矩阵的所有元 素都是非零的，那么状态转移矩阵就是收敛 的。
如果状态转移矩阵是收敛的，那么随 着时间的推移，马尔可夫链的状态分 布会趋于稳定。
收敛速度与稳定性
机器学习优化
在机器学习中，马尔可夫链常用于优化神经网络的权重和结构，通过不断迭代更新网络参数以最小化 损失函数。
在自然语言处理中的应用
文本生成
语义分析
马尔可夫链模型被用于生成自然语言文本， 如新闻、小说等，通过模拟文本的生成过程。
马尔可夫链在语义分析中用于表示词义之间 的关系，以及进行词义消歧和语义角色标注 等任务。
定义
非齐次马尔可夫链是指状态转移概率与当前时间有关。
性质
非齐次马尔可夫链的状态转移概率随时间变化，因此 其状态分布不具有平稳性。
应用
在自然语言处理、计算机视觉、语音识别等领域有广 泛应用，如隐马尔可夫模型、条件随机场等。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
定义
马尔可夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔可夫链的随机抽样方法， 用于估计数学、物理和工程领域中的复杂系统的性质。
在实际应用中，我们常常需要了解马尔可夫链的收敛性质， 即随着时间的推移，马尔可夫链的状态分布是否会趋于稳定 。
3.2 马尔可夫预测模型
pij1 p j1 j2 p jk j
。n步转移概率矩阵 P( n ) 与一步转移概率矩阵P的关
系为 P( n ) Pn 。
定义3.2.2 马尔可夫链 X T {X n , n 0,1,2,} ，初始时刻
取各状态的概率 P{ X 0 i} pi , i I .称为 X T 的初始概
其中状态空间为 I ={0,1,2,} ,若对任意的正整数
ti ti 1 ( i 0,1, 2,，k 1 ) k，任意 ti T ，
及任意非负整数 i0 , i1 , , ik 1 ，
有 P{X t
k 1
ik 1 | X t0 i0 , X t1 i1 ,, X tk ik } P{ X tk 1 ik 1 | X tk ik }
条件概率称为在时刻n系统从状态i经过k步转移到状态j的k步转移概率记为一般地转移概率不仅与状态i和j有关而且与时刻n有关当与n无关时表明马尔可nknpxjxikijnknpnpxjxiijikijpnkijpn夫链具有平稳的转移概率此时称马尔可夫链为时间齐次的马尔可夫链并把记为
数学模型
安徽大学数学科学学院 周礼刚 lg_zhou@
3.2 马尔可夫预测模型
马尔可夫（Markov）链模型是1906年由俄国
数学家Markov对其研究而命名的，后来
Kolmogorrov、Feller、Doob等数学家对其进行了
进一步的研究与发展。马尔可夫链的定义如下：
T {0,1, 2,} 定义3.2.1 设有随机过程 X T { X T , t T }，
i 0
，满足条件 ( j) 0
的惟一解，即该有限状态空间的马尔可夫链平稳分布 存在且惟一。
第七讲马尔可夫链
P { X n a i(n )|X n 1 a i(n 1 )}(i1,2,,N) 则称 { X n }为马尔可夫链（简称马氏链）。
为了完整的描述一个随机过程，需要给出任意 有限维概率函数。 对于马氏链的任意有限维概率函 数完全由初始分布和转移概率矩阵来描述。
设 {X(n),n0,1 ,2,}为一马氏链，其状态空间
E{0,1,2,}或为有限子集。
令 p i(0 ) P [X (0 ) i], i E，且对任意的 i E
均有
pi (0) 0
若与m无关，则称该马氏链为齐次马氏链，此时
pij (m,mk) 表示为 p ij ( k ) 。
(1) 一步转移概率
在齐次条件下，令 p ij( m ,m k ) P [X m k a j|X m a i]
中 k 1 则
pij(1 )pij(m ,m 1 )pij
称为一步转移概率。
由所有一步转移概率 p ij 构成的矩阵
均有
pi (n) 0 pi (n) 1 iE
则称 {pi(n),iE}为该马氏链的绝对分布，也称
绝对概率。
定理 马氏链的绝对概率由初始分布和相应的转移概 率唯一确定。
利用C-K方程，则n步转移矩阵可由一步转移 矩阵唯一确定。
推论 马氏链的绝对概率由初始分布和一步转移概率 唯一确定。
转移图（状态转移图与概率转移图）
p jj (n)
n0
推论 如果状态j是非常返的，则必有
ln im pjj(n)0
设i是一常返态，则从i出发可经过n (n1,2,)步 首次返回i，
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摘 要 ： 假 定 隐 藏 的 马 氏链 为 非 齐 次且 从 隐 藏链 到 观 测链 的 转 移 矩 阵 列 也 与 时 刻 Ｔ有 关 的 情 况 下 ， 一 类 在 在 ／ 对 发 音 过 程 中 常 用 的 隐 马 尔 可 夫 模 型进 行 研 究 ． 类 模 型 的 主 要 特 点 是 观 测 链 不 仅 受 当 前 状 态 的 影 响 还 与 上 这
Ｊｎ ２ ０ ｕ ．．０ ８
文 章 编 号 ：６ ２ ２ ７ （０ ８ ０ —０ ２ Байду номын сангаас０ １７ — ４ ７ ２ ０ ）２ ０ ７ ４
一
类 隐 非 齐 次 马 尔 可 夫 模 型 的 强 极 限 定 理
天 、 吴 小 Ｊ太
（ 徽 工 程 科 技 学 院 应 用 数 理 系 ． 徽 芜 湖 ２ １ ０ ） 安 安 ４ ０ ０
Ｊ ）＝ ｂ．ｉ Ｚ ， Ｊ∈ Ｓ， ， ； ） ， （ ， Ｚ∈ Ｔ．
（） １
则 （ Ｙ ， ０ 为 一类 隐 马尔可 夫模 型 引， 由隐藏链 到观 测链 的转 移概 率 Ｐ（ Ｚ Ｘ 一 ｉＸ Ｘ ， ｎ ） 记 Ｙ ＝ Ｉ ， ＝
如 （ ） 义 的隐 马 尔 可夫 模 型 主要用 于发 音过 程 的研 究 ， 的 主要 特 点是 观测 链 不 仅 受 当前 状 态 的 １定 它 影 响还 与上 一 时刻状 态 有关 ． 假定 ｛ ， ０ 为非 齐次 马 氏链 且 ｂ（ ； ，） ，有 关 时 ， Ｘ ｎ ） ｊ Ｚ 与 ｚ ； 将此 时 的模 型称 为隐非 齐 次马 尔可 夫模 型． 文先 给 出该模 型 的强极 限定律 ， 后得 出状态 出现频 率 的强极 限定 理 ． 本 然
１ 预 备 知 识
引理 １ 设 （ Ｘ—Ｙ ， ０ ｎ ）是如 （ ） １ 定义 的 隐非齐 次马 尔可 夫模 型 ， 对 Ｖ五 ∈ Ｓ， ∈ Ｔ， ｔ 则 ０
ｎ 有 ，
Ｐ（ 一 ｚ Ｘ Ｊ Ｘ０一 ｚ ， ０ ０ Ｙ 一 ０ … ， ｌ ｚ ， ，１ ， Ｘ — １ｙ厂 ＝ １ ）一 Ｐ（ Ｘ 一 ｚ Ｉ— ｚ一 ） ．（ ） Ｉ Ｘ １ ２ Ｐ（ ，一 Ｙ． Ｉ Ｘ０＝ Ｘ ， ０一 ０ … ， Ｉ ｚ ， Ｉ Ｏ Ｙ ， Ｘ — ＩＹ — ，ＩＸ，＝ ｚ ）一 Ｐ（ 一 广， ． Ｙ Ｉ Ｘ ＝ ｚ ，
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第 ２ 卷第 ２ ３ 期
２０ ０ ８年 ６月
安
徽
工
程
科
技
学 院
学
报
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ２ １２ ． ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｉ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ ｒ ａ ｆＡｎ ｕ ｏ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｃｅ ｃ ｙ
收 稿 日期 ： ０ ７ １ — １ ２０ — ２ ７
ｎ ， ∈ Ｓ， ）ｚ
基 金 项 目 ： 徽 工 程 科 技 学 院 青 年 基 金 资 助 项 目（ ０ ６ｑ ２ ） 安 ２ ０ ｙ ０ ３ 作者简介 ： 小太（９２ ）男 ． 徽枞阳人 ， 士． 吴 １８ 一 ． 安 硕
甚 少．
设 ｛ ｎ ０ 为 取值 于 Ｓ一 ｛ ， ， ， 的 马 氏链 ， 的初始 分 布为 （ （ ） … ，（ ） 转 移 矩 阵为 Ｘ ） １ ２ … Ｎ） 它 ｑ １ ， ｑ Ｎ） ， Ｐ（ Ｘ 一 Ｉ Ｘ ＝ ）一 ａ （ ，） ｉ ∈ Ｓ 若 ｛ ｊ ，， ； ． Ｘ ｎ ０ 链不 能被 直接观 测 到 ， 为 隐藏链 ． 能 观测 到 ） 称 而 的是 一个 取值 于有 限集 Ｔ一 ｛ ， ， ， ） １２ … Ｍ 的随 机变 量序 列 ｛ ｎ ０ ， 之为 观测 链 ， 对 Ｖｚ ∈ Ｓ ∈ Ｙ ， ） 称 若 ，
Ｔ， ０ ｔ ７ 有 ｚ ，
Ｐ（ ０一 ０ Ｙ １ … ， ， Ｙ ， １一 ， Ｙ． 一 ，Ｉ 。 Ｘ０： ｚ ， ０ Ｘｌ— ｚ ， ， ＝ ｚ ）一 ｌ… Ｘ Ｐ（ ０一 ０Ｉ Ｙ Ｘ０一 ｚ ） Ｙ ｌＩ — ｚ ， ０Ｐ（ ｌ— Ｘｌ ｌＸ０一 ｚ ， ， Ｙ。 ０ … Ｐ（ ，＝ Ｉ ． ｚＩＸ Ｉ— Ｘ－） ， 一 Ｘ， ｒ ＇ ｎＩ
（） ３ Ｘ， １一 ｚ，１ ） ．
证 由 ｛ ｎ ０ 为 马 氏链 ， 可得 （ ） （ ）的证 明可 参见 文献 ［ ］ Ｘ ） 故 ２ 、３ １．
引 理 ２ 设 ｛ Ｙ ， 三 ０ 是如 （ ） 义 的隐非 齐次 马尔 可夫模 型 ， 一 Ｘ ｙ Ｘ ， ７ 三 ） ｚ＝ １定 ｛ ， ∈ Ｔ， （ ， 为 定义 在 Ｓ× Ｔ上 的实值 函数 ， ｆ ｘ ） 则
一
时刻 的状 态有 关 ． 给 出 了该 模 型 的强 极 限定 律 ， 后 得 出 了状 态 出现 频 率 的强 极 根定 理 ． 先 然 键 词 ： 马尔可夫模 型； 齐次马尔可夫链 ； 隐 非 强极 限定 理
文献标识码 ： Ａ
关
中 图分 类 号 ： ｌ ． ０２ １ ６
隐马尔 可 夫模 型也称 为 隐马 尔可夫 过程 ｎ ， 型 中的状 态变迁 并 不能被 直 接观 测 到 ， 能观 测 到 的是 ］模 而 每个 时刻状 态 变迁进 所 发射 的观 测信 号 ， 过这 些观 测 信号 去 推 断 内在 的状 态变 迁． 为一 种 研 究 工具 ， 通 作 隐 马尔 可夫模 型在 发 音过程 、 经生 理学 、 神 信号 传输 等方 面 问题 中得 到 了广泛 的应 用 ． 理论研 究 方面 ， 在 也 取得 了丰 富 的成果 ． 在实 际应 用 中经 常会 遇 到 隐藏 链 为 非 齐 次 马 氏链 的情 况 ］ 对 这 一 类 情 况 研 究 ，