2019年广东省揭阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2019年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |-1＜x ＜1}， ，则M ∩N =（ ）A.B.C.D.2. 复数的共轭复数的虚部为（ ）A.B.C.D.3. 已知双曲线mx 2+y 2=1的一条渐近线方程为2x +y =0，则m 的值为（ ）A.B.C.D.4.由K 2=得K 2=≈8.333＞7.879参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5. 某公司2018年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有（ ） A. 56万元 B. 65万元 C. 91万元 D. 147万元6. 已知，，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知α，β是平面，m ，n 是直线．下列命题中不正确的是（ ）A. 若 ， ，则B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则D. 若 ， ，则8. 已知函数则的是（ ） A.B.C. eD. 39. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图源于这个题目，执行该程序框图，若输入x =20，则输出的结果为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设函数，则下列结论错误的是（ ）A. 为 的一个周期B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为D. 的最大值为211. 设F 是椭圆 ：＞ ＞ 的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线上一点，△APF是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D.12. 若函数f （x ）=-x 2（x 2+ax +b ）的图象关于直线x =-1对称，则f （x ）的最大值是（ ）A. B. C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件，则z =3x -2y 的最小值为______． 14. 已知平面向量 ，， ， ，且 ∥ ，则实数m 的值为______．15. 已知四棱锥S -ABCD 的底面是边长为 的正方形，且四棱锥S -ABCD 的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S -ABCD 体积的最大值为______．16. 已知△ABC 中， ，D 是BC 边上的一点，且△ABD 为等边三角形，则△ACD 面积S 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d 不为零，若a 1，a 3，a 9成等比数列，且S4=10．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：＜ ．18. 已知如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =4， ，点E ，F ，M 分别为C 1D 1，A 1D 1，B 1C 1的中点，过点M 的平面α与平面DEF 平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；（2）求证：D1B平面DEF．19.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线y=kx+m（m＞0）与抛物线C交于不同的两点M，N．（1）若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；（2）若m=2，求|MF|•|NF|的最小值．20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将A（0.9kg），B（1.3kg），C（1.8kg），D（2.5kg）四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为45元的概率．21.已知函数f（x）=x-a ln x-1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：＞．22.在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求△OAB的面积．23.已知正实数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：；∴．故选：A．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：设z====，所以z的共轭复数的虚部为-，故选：C．先求出复数的代数形式，即可得到的共轭复数的虚部本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：双曲线mx2+y2=1的渐近线方程为：y±x=0，因为双曲线mx2+y2=1的一条渐近线方程为2x+y=0，可得，解得m=-4．故选：D．求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出m的值．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：由题意知K2=≈8.333＞7.879，对照临界值得出，有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选：A．由题意知观测值K2，对照临界值得出结论．本题考查了独立性检验原理的应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，所以在1万元以上的项目投资中，不少于3万元的项目投资占比为，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%，所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×=65万元，故选：B．根据题意，在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，可得不少于3万元的项目投资占比为，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%，即可得到那么不少于3万元的项目投资．本题考查了扇形图的读图识图能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（-）2=1，解得：a=0，或a=4，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a=4，∴可得：sinθ=，cosθ=-，tanθ=-．故选：C．利用sin2θ+cos2θ=1，解得a．由于θ为第二象限角，可得sinθ＞0，cosθ＜0．即可得出a的值，进而可求tanθ的值．本题考查了同角三角函数的基本关系式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；对于B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，故错；对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；故选：B．A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，；C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；D，根据面面垂直的判定；本题考查了命题真假的判定，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，函数则f （）=ln=-ln3，则f[f （）]=f（-ln3）=e ln3=3；故选：D．根据题意，由函数的解析式求出f （）=-ln3，进而可得f[f （）]=f（-ln3），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：若x=20，则T=1+1=2，S=0+2=2，S＜20是，a=2，b=，n=2T=2+=，S=+2=，S＜20是，a=4，b=，n=3，T=4+=，S=+=，S＜20是，a=8，b=，n=4，T=8+=，S=+=，S＜20是，a=16，b=，n=5，T=16+=，S=+=，S＜20否，程序终止，输出，n=5，故选：C．根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．10.【答案】D【解析】解：∵函数=cos2x+cos2x=（+1）cos2x，故它的周期为=π，故A正确；当x=，求得f（x）=-（+1），为最小值，故它的图象关于直线x=对称，故B正确；当x=，求得f（x）=0，故f（x）的一个零点为x=，故C正确；由于f（x）的最大值为+1，故D错误，故选：D．由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的性质得出结论．本题主要考查诱导公式、余弦函数的性质，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：设交x轴于点M，∵△FPA是底角为30°的等腰三角形∴∠PFA=120°，|PF|=|FA|，且|PF|=2|FM|∵P为直线上一点，∴2（-c）=a+c，解之得2a=3c∴椭圆E的离心率为e==故选：B．利用△FPA是底角为30°的等腰三角形，可得|PF|=|FA|，根据P为直线上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则，即，解得，当a=b=4时，f（x）=f（-2-x）恒成立，即a=b=4满足题意，即f（x）=-x2（x+2）2=-[（x+1）2-1]2，当x=0时，f（x）取最大值0，故选：C．由函数的性质得：函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则，即，解得，当a=b=4时，f（x）=f（-2-x）恒成立，即a=b=4满足题意，由二次函数的最值问题得：f（x）=-x2（x+2）2=-[（x+1）2-1]2，当x=0时，f（x）取最大值0，得解．本题考查了函数的性质及二次函数的最值问题，属中档题．13.【答案】0【解析】解：由z=3x-2y得y=x-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x-由图象可知当直线y=x-经过点A时，直线的截距最小，此时z也最小，由，解得O（0，0）将O（0，0）代入目标函数z=3x-2y，得z=0．故答案为：0．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.【答案】【解析】解：平面向量，且∥，所以，2m+1-（-）•2m=0，解得m=-．故答案为：-．根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．15.【答案】6【解析】解：设M为正方形ABCD的中心，O为外接球的球心，则OM平面ABCD，∵正方形ABCD边长为，∴AM=，∴OM==1，当S，O，M在同一条直线上且O在四棱锥内部时，S到平面ABCD的距离取得最大值，最大距离为2+1=3．∴四棱锥的最大体积为（）2×3=6．故答案为：6．计算球心到平面ABCD的距离，得出S到平面ABCD的最大距离，再根据体积公式计算最大体积．本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，属于中档题．16.【答案】【解析】解：△ABC 中，，且△ABD为等边三角形，如图所示；则∠ADC=120°，△ADC中，AC=2，由余弦定理得：AC2=CD2+AD2-2CD•AD•cos∠ADC，即12=CD2+AD2-2CD•AD•（-），又CD2+AD2≥2CD•AD，所以3CD•AD≤12，即CD•AD≤4，当且仅当CD=AD=2时取“=”；所以△ACD面积为S=AD•CD•sin∠ADC≤×4×=，即△ACD面积S的最大值为．故答案为：．利用余弦定理和基本不等式求得CD•AD的最大值，再求△ACD面积S的最大值．本题考查了余弦定理以及三角形面积的计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）由a1，a3，a9成等比数列，可得且d≠0，化简得a1=d-------------------------------（3分）由S4=10可得2a1+3d=5由上解得a1=d=1，∴a n=1+（n-1）•1=n------------------------------（6分）（2）由（1）知，-------------------------------（7分）-----------------------------（9分）∴＜------------（12分）【解析】（1）利用等比数列以及等差数列，转化求解数列的首项与公差，得到数列的通项公式．（2）求出数列的和，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力．18.【答案】解：（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，且，过M作MP AC于点P，可得，，得，∴梯形MNAC的面积=．证明：（2）证法1：在长方体中ABCD-A1B1C1D1，设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，，由DE=DF得DQ EF，又EF BB1，∴EF平面BB1D1D，∴EF D1B，，∴∠D1QD=∠BD1D，∴∠QD1B+∠D1QD=∠DD1B+∠BD1Q=90°，∴DQ D1B，∴D1B平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，，由BB1平面A1B1C1D1可知BB1EF，又B1D1EF，BB1∩B1D1=B1，∴EF平面BB1D1D，∴EF D1B，由得tan∠QDD1=tan∠D1BD，得∠QDD1=∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD=∠QDB+∠QDD1=90°，∴DQ D1B，又DQ∩EF=Q，∴D1B平面DEF．【解析】（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．推导出四边形MNAC为梯形，过M作MP AC于点P，由此能求出梯形MNAC的面积．（2）证法1：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，推导出EF平面BB1D1D，从而EF D1B，推导出DQ D1B，由此能证明D1B平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，推导出BB1EF，从而EF平面BB1D1D，EF D1B，推导出DQ D1B，由此能证明D1B平面DEF．本题考查几何图形面积的求法，考查空间中直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），对求导得：，------------------------------------（1分）故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，又切线垂直，∴，即x1•x2=-4，-------------------------------------------------（3分）把y=kx+m代入C的方程得x2-4kx-4m=0．∴x1x2=-4m．-------------------------------（5分）故m=1．------------------------------------------------（6分）（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义可知|MF|=y1+1，|NF|=y2+1---------------（8分）由（1）和m=2知x1x2=-8，x1+x2=4k所以=4k2+9------（11分）所以当k=0时，|MF|•|NF|取得最小值，且最小值为9．-----------------------------------------------------（12分）【解析】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），对求导得：，故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，通过切线垂直，得到x1•x2=-4，把y=kx+m代入C的方程得x2-4kx-4m=0．利用韦达定理求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义可知|MF|=y1+1，|NF|=y2+1，由（1）和m=2知x1x2=-8，x1+x2=4k，求出|MF|•|NF|的表达式，然后求解最小本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（1）每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------（2分）【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为】设中位数为x，易知x（200，300），则0.001×100×2+0.005×（x-200）=0.5，解得x=260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------（4分）（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5-3×100=1000（元），所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------（7分）（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重0.9+1.8+2.5=5.2（千克），礼物B、C、D共重1.3+1.8+2.5=5.6（千克），都超过5千克，------------------（8分）故E和F的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）------------------------------（10分）故所求概率为．----------------------------------------------------------------------------------（12分）【解析】（1）根据频率分布直方图，将每一组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．（2）根据（1）中得到的平均值，求出每天的费用，减去300元的前台工作人员工资即可．（3）将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg，共有5种分法，其中快递费用为45的有3种，可得概率．本题考查了用频率分布直方图估计平均值，考查频率公式，频率分布直方图的应用，古典概型的概率求法．属于基础题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=x-a ln x-1，∴，当a≤0时，f （x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故f（x）在x=a取得极小值0，∴f（a）=a-a lna-1=0，令p（a）=a-a lna-1，p'（a）=-ln a，所以p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）=0，∴f（a）=0的解为a=1，故a=1．证明：（2）证法1：由＞＞＞，∵a≤1，所以只需证当t＞0时，＞恒成立，令，，由（1）可知x-ln x-1≥0，令x=e t得e t-t-1≥0，∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）=0，故＞．证法2：＞＞＞，设（t＞0），则g'（t）=e t-at-a，则g''（t）=e t-a，又e t＞e0=1，a≤1，得g''（t）＞0，∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）=1-a≥0，∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）=0，故＞．【解析】（1）求出，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，从而f（x）在x=a取得极小值0，由此能求出a．（2）法1：由，由a≤1，得只需证当t＞0时，恒成立，令，x-lnx-1≥0，令x=e t得e t-t-1≥0，由此能证明．法2：，设（t＞0），则g'（t）=e t-at-a，推导出g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）=0，由此能证明．本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，-------------------------------------------------------（1分）所以C1的极坐标方程为，即（ρR），----------------------------（3分）C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ=0．----------------------------------------------------（4分）即ρ-2cosθ-4sinθ=0----------------------------------------------------------------------------------（5分）（2）代入ρ-2cosθ-4sinθ=0，解得．------------------------------------（7分）代入ρ-2cosθ-4sinθ=0，解得．---------------------------------------------（8分）故△OAB的面积为．----------------------------------（10分）【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可把C1，C2化成极坐标方程；（2）联立极坐标方程并利用极径的几何意义和面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（1）解：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，∴ ＜＜＜＜＜＜，解得＜，所以不等式的解集为，，证明：（2）方法一：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，∴ ===．当且仅当时，取“=”．方法二：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，∴ ====，当且仅当时，取“=”．【解析】（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。