反函数基础练习含答案

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反函数练习题

反函数练习题一、简答题1. 什么是反函数？答：反函数是指在给定函数的定义域上，通过互换函数的输入和输出得到的新函数。

对于给定函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，满足g(f(x)) = x，且 f(g(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。

2. 如何判断一个函数是否有反函数？答：要判断一个函数是否有反函数，需要满足两个条件：a) 函数必须是一个一对一函数，即对于不同的输入，函数的输出不能相同。

b) 函数必须是可逆的，即函数的定义域和值域都必须相等。

3. 如果一个函数有反函数，它们之间的关系是什么？答：如果一个函数有反函数，那么它们之间存在以下关系：a) 函数 f(x) 和其反函数 g(x) 是互逆的，即 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x 成立。

b) 函数 f(x) 和 g(x) 是对称的，即 f(x) 经过反函数后得到 g(x)，同样，g(x) 经过反函数后得到 f(x)。

4. 反函数与原函数的图像有何关系？答：反函数与原函数的图像关系如下：a) 反函数与原函数的图像是关于直线 y = x 对称的。

b) 反函数的图像可以通过将原函数的图像绕直线 y = x 旋转 180 度得到。

二、计算题1. 计算以下函数的反函数：(1) f(x) = 3x - 2解：首先将 f(x) 换成 y，则等式变为 y = 3x - 2。

接下来，交换 x 和y，得到 x = 3y - 2。

然后解方程，将 y 表示为 x 的函数：x = 3y - 2x + 2 = 3yy = (x + 2) / 3所以，f(x) 的反函数是 g(x) = (x + 2) / 3。

(2) f(x) = √x解：同样地，将 f(x) 换成 y，则等式变为y = √x。

交换 x 和 y，并解方程，得到反函数：x = √yx^2 = y所以，f(x) 的反函数是 g(x) = x^2。

2. 求反函数的定义域和值域：(1) f(x) = 2x - 5解：原函数 f(x) 是一次函数，定义域是全体实数集 R，值域也是全体实数集 R。

反函数练习附答案

解析:∵ ,∴ 不是常函数,且存在反函数.在f(x)的图象上取一点(0, ),它关于y＝x的对称点( ,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a＝-5.
13.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y＝f(1)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y＝f(1)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称,可知y＝f(1)与互为反函数,有 x＝e22,所以y＝e22 y＝f(1)＝e22.故f(x)＝e2x.答案
4.已知函数f(x)＝231(x)是f(x)的反函数,若＝16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y＝f(x)与y＝1(x)关于y＝x对称＝x沿向量(-1,2)平移得到y＝3,
∴y＝f(1)+2与y＝1(1)+2关于y＝3对称.答案＝3
三、解答题
15.已知函数 (x)＝1(),求g(x).
解:由 ,得＝1,∴ ,即，∴g(x)＝1()＝ .
16.已知函数f(x)＝2( )(a＞0且a≠1).
8.设0＜a＜1,函数 ,则函数1(x)＜1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x＞f(1)＝0.故选C.
9.设函数为y＝f(x)的反函数为y＝1(x),将y＝f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )

河北专升本反函数练习题

河北专升本反函数练习题# 河北专升本反函数练习题## 一、基础知识点回顾反函数是数学中的一个重要概念，它描述了函数与其逆过程之间的关系。

如果函数\( f \)将集合\( A \)映射到集合\( B \)，那么\( f \)的反函数\( f^{-1} \)将集合\( B \)映射回集合\( A \)，满足\( f(f^{-1}(x)) = x \)和\( f^{-1}(f(x)) = x \)。

## 二、反函数的求法1. 定义法：根据反函数的定义，如果\( y = f(x) \)，则\( x =f^{-1}(y) \)。

2. 交换法：将\( y = f(x) \)中的\( x \)和\( y \)互换，然后解出\( y \)。

## 三、练习题### 练习题1：求函数\( f(x) = 2x + 3 \)的反函数。

解答：首先，设\( y = 2x + 3 \)，然后交换\( x \)和\( y \)得到\( x = 2y + 3 \)。

解出\( y \)得到\( y = \frac{x - 3}{2} \)。

因此，\( f(x) \)的反函数是\( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)。

### 练习题2：求函数\( g(x) = \sqrt{x + 1} \)的反函数。

解答：设\( y = \sqrt{x + 1} \)，平方得到\( y^2 = x + 1 \)。

解出\( x \)得到\( x = y^2 - 1 \)。

因此，\( g(x) \)的反函数是\( g^{-1}(x) = x^2 - 1 \)。

### 练习题3：求函数\( h(x) = 3^x \)的反函数。

解答：设\( y = 3^x \)，取对数得到\( x = \log_3 y \)。

因此，\( h(x) \)的反函数是\( h^{-1}(x) = \log_3 x \)。

### 练习题4：求函数\( k(x) = \frac{1}{x} \)的反函数。

反函数练习题

反函数练习题反函数是数学中的一个重要概念，它与函数之间的关系密切相关。

在本文中，我们将通过一些练习题来加深对反函数的理解和运用。

题目一：求反函数已知函数f(x) = 2x - 3，求其反函数f^{-1}(x)。

解析：为求反函数f^{-1}(x)，我们先将f(x)写成关于x的等式y = 2x - 3。

接下来，我们将x和y交换位置，得到x = 2y - 3。

接下来，解出y，即可得到反函数f^{-1}(x)。

将x = 2y - 3两边加3，得到x + 3 = 2y。

再将等式两边同时除以2，得到(y = (x + 3)/2)。

所以，反函数f^{-1}(x) = (x + 3)/2。

题目二：验证反函数已知函数f(x) = 4x - 5，求其反函数f^{-1}(x)并验证是否为反函数。

解析：首先，我们仍然将f(x)写成关于x的等式y = 4x - 5。

然后，将x和y交换位置，得到x = 4y - 5。

再次解出y，即可得到反函数f^{-1}(x)。

将x = 4y - 5两边加5，得到x + 5 = 4y。

再将等式两边同时除以4，得到((x + 5)/4 = y)。

所以，反函数f^{-1}(x) = (x + 5)/4。

为了验证f^{-1}(x)是否为f(x)的反函数，我们需要计算复合函数f(f^{-1}(x))和f^{-1}(f(x))，并判断它们是否等于x。

首先，计算f(f^{-1}(x)) = f((x + 5)/4)。

将(x + 5)/4代入f(x)的表达式中，得到f(f^{-1}(x)) = 4((x + 5)/4) - 5 = x - 1。

我们可以看到，f(f^{-1}(x))得到了x。

接下来，计算f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(4x - 5)。

将4x - 5代入f^{-1}(x)的表达式中，得到f^{-1}(f(x)) = ((4x - 5) + 5)/4 = x。

我们可以看到，f^{-1}(f(x))也得到了x。

16.函数与反函数【学生版】(正式版)(含答案)

函数与反函数【课前预习】一、知识梳理 1.反函数的概念一般地, 对于函数()y f x =, 设它的定义域为D, 值域为A. 如果对于 ,在与之对应, 使()y f x =, 这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数, 记作 . 习惯上, 自变量常用x 表示, 而函数用y 表示, 所以把它改写为 . 2.求反函数的步骤(1) ; (2) ; (3) . 3.函数与反函数的关系.设函数()y f x =的定义域为D, 值域为A, 其反函数为1()y f x -=, (1)1()y f x -=的定义域是 , 值域是 ; (2)函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于对称;(3)对于任意 , 都有1[()]f f x -= ；对于任意 , 都有1[()]f f x -= . (4)特别地, 若()y f x =是D 上的单调函数, 则1()y f x -=也是A 上的单调函数, 且其单调性与()y f x =的单调性相同.二、基础练习1.函数()1lg(2)(2)f x x x =++>-的反函数是___________________________.2.函数1a y x =+(a 为非零实常数)的反函数的图像经过点1(,1)2, 则a =_______. 3.函数223y x ax =--在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是____________________. 4.已知函数12y x m =+与13y nx =-互为反函数, 则m =______, n =_______. 5.函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称, 则m =________.6.已知函数设()f x =213(,)434x x R x x +∈≠-+，则1(2)f -= . 7.若函数()y f x =存在反函数, 则方程()f x c =(c 为实常数)的实数解的情况是………………...( ) A. 有且仅有一解B. 至少有一解C. 至多有一解D. 无解.8.设()110)f x x =-≤≤, 则其反函数1()y f x -=的图像是………………………………( )ABCD【例题解析】例1.求下列函数的反函数. (1)35x y =+;(2)222(0)y x x x =-+≤;(3)22 1 01 10x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩.例2.已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a a -+>的图像经过点4,2（），试求函数1()f x -的表达式.例3.设函数12()1xf x x-=+, 函数()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于y x =对称, 求(2)g 的值.例4.设()f x=,(1)求1()f x -的解析式;(2)用单调性的定义证明1()f x -在定义域内是增函数;(3)解不等式1()4f x -≤.函数与反函数姓名班级【巩固练习】1.已知函数()x f x a k =+的图像过点(1,7), 又函数1(4)y f x -=+的图像过(0,0), 则函数()f x 的解析式为_____________________.2.若函数)y x m ≥与其反函数的图像有公共点, 则实数m 的取值范围是______________.3.函数31()31x x f x -=+, 则11()2f -=__________.4.函数2 1 1() 1 1x x f x x x ⎧+≤-=⎨-+>-⎩的反函数是_______________________.5.已知(1)1xf x x +=+, 则1(1)f x -+的解析式为________________________. 6.函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是_______________________. 7.函数()y f x =的图像过点(2,3), 其反函数为1()y f x -=, 则1(2)y f x -=-的图像必过点_________. 8.已知函数()ax b f x x c +=+(a , b , c 是实常数)的反函数是125()3x f x x -+=-, 则(,,)a b c = . 9.求下列函数的反函数.(1)223(2)y x x x =-+≥; (2)23231()4y x x x =-+≤;(3)1(1)1xy x x -=≠-+; (4)e e e e x x xxy ---=+.10.已知函数()12x f x -=-, (1)求()y f x =的反函数1()y f x -=;(2)求不等式122log (1)()0x f x -++≥的解集.【提高练习】11.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2)，则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .12.已知函数12()1xf x x-=+, 函数()y g x =与函数1(1)y f x -=-的图像关于直线y x =对称, 求()g x 的解析式.函数与反函数课前预习答案【课前预习】一、知识梳理 1.反函数的概念一般地, 对于函数()y f x =, 设它的定义域为D, 值域为A. 如果对于A 中任意一个值y , 在D 内总有唯一确定的x 值与之对应, 使()y f x =, 这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数, 记作1()x f y -=. 习惯上, 自变量常用x 表示, 而函数用y 表示, 所以把它改写为1(), A y f x x -=∈.2.求反函数的步骤(1)求出原函数的值域, 即反函数的定义域; (2)将()y f x =看作关于x 的方程, 解出1()x f y -=; (3)x , y 互换得1()y f x -=, 并写出它的定义域.3.函数与反函数的关系.设函数()y f x =的定义域为D, 值域为A, 其反函数为1()y f x -=, (1)1()y f x -=的定义域是A, 值域是D;(2)函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称;(3)对于任意D x ∈, 都有1[()]f f x -=x ；对于任意A x ∈, 都有1[()]f f x -=x .(4)特别地, 若()y f x =是D 上的单调函数, 则1()y f x -=也是A 上的单调函数, 且其单调性与()y f x =的单调性相同.二、基础练习1.函数()1lg(2)(2)f x x x =++>-的反函数是___________________________.2.函数1a y x =+(a 为非零实常数)的反函数的图像经过点1(,1)2, 则a =_______.3.函数223y x ax =--在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是____________________.4.已知函数12y x m =+与13y nx =-互为反函数, 则m =______, n =_______. 5.函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称, 则m =________. 6.已知函数设()f x =213(,)434x x R x x +∈≠-+，则1(2)f -= .56-7.若函数()y f x =存在反函数, 则方程()f x c =(c 为实常数)的实数解的情况是………………...( C ) A. 有且仅有一解B. 至少有一解C. 至多有一解D. 无解.11 or 2a a ≤≥1-16211()102,x f x x --=-∈R8.设()110)f x x =-≤≤, 则其反函数1()y f x -=的图像是………………………………( B )解: 2211(1)1y y x y =-=+-=, 则其图像是圆的一部分, 满足10,1x y -≤≤≤, 作图如右图,将所得图像关于直线对称, ()110)f x x =-≤≤的图像如图所示. 【评注】本题除了上述解法, 还可以通过代入特殊点的坐标来判断.AB CD函数与反函数例题解析答案【例题解析】例1.求下列函数的反函数. (1)35x y =+;解: 函数的定义域为(5,)+∞, 由53x y -=,两边取对数得3log (5)x y =-, 所求反函数为3log (5)(5)y x x =->. (2)222(0)y x x x =-+≤;解: 对称轴为1x =, 函数在(,0]-∞上单调递减,因此其值域[2,)+∞,22(1)1(1)1y x x y =-+⇒-=-,由010x x ≤⇒-<,因此11x x -==所求反函数为12)y x =≥.(3)22 1 01 10x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩.解: 当01x ≤≤时, 函数值的取值范围是[1,0]-,2211y x x y =-⇒=+,由0110)x x y ≤≤⇒-≤≤;当10x -≤<时, 函数值的取值范围是(0,1],2y x =,由101)x x y -≤<⇒=<≤;综上所述,所求的反函数为110x y x ⎧<≤⎪=-≤≤.例2.已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()(0)f x a a -+>的图像经过点4,2（），试求函数1()f x -的表达式.解 (1)32f a =⇒=. 12(4)(2)464f a f a b -=+⇔=+=⇒=. 于是114()24,()log (2)1(2)x f x f x x x --=+=-+>.例3.设函数12()1xf x x-=+, 函数()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于y x =对称, 求(2)g 的值. 解法一: ()f x 的值域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞,112112(2)1()(2)12x xy y yx x y x y f x x x x ---=⇒+=-⇒+=-⇒=≠-++, 1(1)3xf x x --∴+=+, 其值域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,33(1)3()(1)31x xy xy y x y x y g x x x x --=⇒+=-⇒+=-⇒=≠-++, 因此可知(2)2g =-. 解法二: ()g x 与1(1)y f x -=+的图像关于y x =对称, 则它们互为反函数, 考虑求1(1)y f x -=+的反函数,两端同时作用f , 得1()[(1)]1()1f y f f x x x f y -=+=+⇒=-, x , y 互换得()()1g x f x =-, 所以(2)(2)12g f =-=-.例4.设()f x=,(1)求1()f x -的解析式;(2)用单调性的定义证明1()f x -在定义域内是增函数; (3)解不等式1()4f x -≤.(1)解: 函数的定义域为(0,)+∞, 令0)t t >,则1(0)y t t t =->, 其值域为(,)-∞+∞,22110ty t t ty =-⇔--=, 解方程得: t =||y y ≥, 0y ,考虑到0t >, 所以t =故反函数为121()((R)4f x x x -=∈;(2)证明: 任取12,R x x ∈, 12x x <, 记111()y f x -=, 122()y f x -=, 则11()x f y =, 22()x f y =,由y =12y x -=-均为(0,)+∞上的增函数, 故()f x 也是(0,)+∞上的增函数, 故由12x x <可知12y y <, 也即1()f x -在R 上是增函数.(3)解: 考虑方程12()4(16f x x -=⇔=,20x x ++>, 4x ∴=,223441682x x x x x -⇒+=-+⇒=, 即13()42f -=, 由1()f x -的单调性, 1()4f x -≤的解为32x ≤.函数与反函数巩固和提高练习答案【巩固练习】1.已知函数()x f x a k =+的图像过点(1,7), 又函数1(4)y f x -=+的图像过(0,0), 则函数()f x 的解析式为_____________________.2.若函数)y x m ≥与其反函数的图像有公共点, 则实数m 的取值范围是______________.3.函数31()31x x f x -=+, 则11()2f -=__________. 4.函数2 1 1() 1 1x x f x x x ⎧+≤-=⎨-+>-⎩的反函数是5.已知(1)1xf x x +=+, 则1(1)f x -+的解析式为________________________.6.函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是_______________________.7.函数()y f x =的图像过点(2,3), 其反函数为1()y f x -=, 则1(2)y f x -=-的图像必过点_________.8.已知函数()ax b f x x c +=+(a , b , c 是实常数)的反函数是125()3x f x x -+=-, 则(,,)a b c = . 解: ()f x 的值域是(,)(,)a a -∞⋃+∞, 1()f x -的定义域是(,3)(3,)3a -∞⋃+∞⇒=;1()f x -的值域是(,2)(2,)-∞⋃+∞, ()f x 的定义域是(,)(,)2c c c -∞-⋃-+∞⇒=-;3223(3)223x b y by xy y x b y x y b x x y ++=⇒-=+⇒-=+⇒=--, 因此12()3x bf x x -+=-, 由此可知5b =; 综上所述, 3, 5, 2a b c ===-.9.求下列函数的反函数. (1)223(2)y x x x =-+≥;解: 对称轴为1x =,函数在[2,)+∞上单调递增, 值域为[3,)+∞;22223(1)2(1)2y x x x x y =-+=-+⇔-=-,由2x ≥, 11x x -=, 所以反函数为1(3)y x ≥.(2)23231()4y x x x =-+≤;解: 函数的值域为1[,)8-+∞,23132()484y x x =--⇒=,所以反函数为31)48y x =≥-. (3)1(1)1xy x x-=≠-+; 解: 函数的值域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞,11(1)111x yy x y y x x y--=⇒+=-⇒=++, ()43x f x =+112()1 2x f x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩11(1)(0)f x x x -+=-≠2, 021x x y x =>-(5,2)14m ≤所以反函数为1(1)1xy x x-=≠-+.(4)e e e e x xx xy ---=+.解: 令2e x t =, 则0t >,12111t y t t --==+++, 在(0,)+∞上单调递增, 其值域为(1,1)-, 11(1)1ln 11y yy t y t y y--+-=--⇒==--,所以反函数为11ln (11)21xy x x+=-<<-.10.已知函数()12x f x -=-, (1)求()y f x =的反函数1()y f x -=; (2)求不等式122log (1)()0x f x -++≥的解集. (1)解: 函数的值域为(,1)-∞,设()12x y f x -==-, 则221log (1)x y x y -=-⇒=--, 所以反函数为12()log (1), 1f x x x -=--<.(2)解: 即222(1)12log (1)log (1)10[0,1)10x x x x x x x ⎧+≥-⎪+>-⇒+>⇒∈⎨⎪->⎩.【提高练习】11.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2)，则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .【(1,2)-】12.已知函数12()1xf x x-=+, 函数()y g x =与函数1(1)y f x -=-的图像关于直线y x =对称, 求()g x 的解析式.解: 在1(1)y f x -=-两端都作用f , 得1()[(1)]f y f f x -=-, 上式1()1()()1x f y x f y x f y ⇔-=⇔-=⇔=+, 所以2()()1()(1)1xg x f x g x x x -=+⇒=≠-+.。

反函数(练习+详细答案)

提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若y ＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( )A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y ＝f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x ,则f -1(21)的值为( ) A.2 B.1 C.21 D.-1 解析:令f(x)＝2x ＝21,则x ＝-1,故f -1(21)＝-1,故选D. 答案:D3.若函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,则f(x)等于…( )A.e 2x-1B.e 2xC.e 2x+1D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln+=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x .答案:B4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn ＝16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( )A.-2B.1C.4D.10 解析:设y ＝2x+3,则有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3.于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2.答案:A5.设函数x x f -=11)((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),则( )A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由x x f -=11)((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y B.⎩⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y C.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y D.⎩⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y解析:当x ≥0时,y ＝2x,且y ≥0, ∴2)(1x x f =-(x ≥0). 当x ＜0时,y ＝-x 2且y ＜0, ∴x x f --=-)(1(x ＜0).∴函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=.0,,0,2x x x x y 答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( )A.［-2,-1］B.［-2,0］C.［0,2］D.［-1,0］解析:画出函数24)(x x f --=; 由24x y --=得y 2＝4-x 2且y ≤0,即x 2+y 2＝4,y ≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x 轴下方的部分(包括点(±2,0));又y ＝f(x)在区间M 上反函数是其本身,故y ＝f(x)图象自身关于y ＝x 对称,故区间M 可以是［-2,0］.答案:B8.设0＜a ＜1,函数)2(log log )(1x x x f aa -+=,则函数f -1(x)＜1的x 的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(log a (2-a),+∞) 解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x ＞f(1)＝0.故选C.答案:C9.设函数为y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x),将y ＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A.21)(1--=-x f y B.2)(11x f y --=- C.2)(1x f y -= D.21)(-=x f y解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y ＝-f ［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y ＝f(2x+1),2x+1＝f -1(-y),21)(1--=-y f x ,故所求函数的反函数是21)(1--=-x f y . 答案:A 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,13,1,12)(x x x x x x f 若函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,则g(11)的值是( ) A.512 B.913 C.513 D.1115 解析:∵函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,∴函数y ＝g(x)与函数y ＝f -1(x-1)互为反函数.由g(11)得f -1(x-1)＝11,∴x-1＝f(11),即x ＝f(11)+1.∵57)11(=f ,∴512)11(=g . 答案:A二、填空题11.设f(x)＝x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)＝_____________.解析:∵f(x)＝(x-1)5+2, ∴12)(51+-=-x x f .答案:125+-x12.若函数)54(541≠++=a x ax y 的图象关于直线y ＝x 对称,则a ＝_________. 解析:∵54≠a , ∴541++=x ax y 不是常函数,且存在反函数. 在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y ＝x 的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a ＝-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为f -1(x),则f -1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数f -1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3,解得31-≤x ≤35.故函数f -1(3x-2)的定义域为［31-,35］,值域为［-1,1］.答案:［31-,35］［-1,1］ 14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R 上的函数y ＝f(x)有反函数,则函数y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y ＝f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f(x+1)+2,函数y ＝f -1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f -1(x+1)+2,又y ＝f(x)与y ＝f -1(x)关于y ＝x 对称,y ＝x 沿向量(-1,2)平移得到y ＝x+3,∴y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2关于y ＝x+3对称.答案:y ＝x+3三、解答题15.已知函数11)(-+=x x x f ,g(x)＝f -1(-x),求g(x). 解: 由11-+=x x y ,得xy-y ＝x+1, ∴11-+=y y x ,即11)(1-+=-x x x f . ∴g(x)＝f -1(-x)＝11+-x x . 16.已知函数f(x)＝2(1121+-x a )(a ＞0且a≠1). (1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性；(3)解不等式f -1(x)＞1.解:(1)化简，得11)(+-=x x a a x f . 设11+-=x x a a y ,则y y a x -+=11. ∴yy x a -+=11log . ∴所求反函数为xx x f y a-+==-11log )(1(-1＜x ＜1). (2)∵)(11log )11(log 11log )(111x f x x x x x x x f a a a ----=-+-=-+=+-=-, ∴f -1(x)是奇函数. (3)111log >-+xx a . 当a ＞1时，原不等式⇒a x x >-+11⇒011)1(<--++x a x a . ∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x a a x 或 ∴-1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为(-1，11+-a a ). 教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,1)(x x x x f 若g(x)＝(x-1)2f(x-1),y ＝g(x)的反函数为y ＝g -1(x),则g(-1)·g -1(-4)＝___________.解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=-.1,1,1,0,1,1)1(x x x x f∴g(x)＝(x-1)2f(x-1)＝⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.1,)1(,1,0,1,)1(22x x x x x设g(x)＝-4,可得-(x-1)2＝-4且x ＜1,解得x ＝-1.∴g(-1)＝-4.∴g -1(-4)＝-1.∴g(-1)·g -1(-4)＝-4×(-1)＝4.答案:4【例2】已知f(x)是定义在R 上的函数,它的反函数为f -1(x).若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)＝a(a 为非零常数),则f(2a)＝____________.解析:设y ＝f -1(x+a),则x ＝f(y)-a,即y ＝f -1(x+a)的反函数为y ＝f(x)-a,∴f(x+a)＝f(x)-a. 令x ＝a,得f(2a)＝f(a)-a ＝a-a ＝0.答案:0。

初三反函数练习题

初三反函数练习题问题1已知函数 f(x) = 2x - 3 ，求反函数 f^(-1)(x)。

解答：为求反函数f^(-1)(x)，我们需要交换x 和f(x) 的位置并解出x。

令 y = f(x)，则有 y = 2x - 3。

交换 x 和 y 的位置并解出 x：x = (y + 3) / 2因此，反函数为 f^(-1)(x) = (x + 3) / 2。

问题2已知函数 g(x) = x^2 + 5 ，求反函数 g^(-1)(x)。

解答：为求反函数 g^(-1)(x)，我们需要交换 x 和 g(x) 的位置并解出 x。

令 y = g(x)，则有 y = x^2 + 5。

交换 x 和 y 的位置并解出 x：x^2 = y - 5x = √(y - 5)因此，反函数为 g^(-1)(x) = √(x - 5)。

问题3已知函数 h(x) = 2^x ，求反函数 h^(-1)(x)。

解答：为求反函数 h^(-1)(x)，我们需要交换 x 和 h(x) 的位置并解出 x。

令 y = h(x)，则有 y = 2^x。

交换 x 和 y 的位置并解出 x：x = log2(y)因此，反函数为 h^(-1)(x) = log2(x)。

问题4给定函数k(x) = √x ，求反函数 k^(-1)(x)。

解答：为求反函数 k^(-1)(x)，我们需要交换 x 和 k(x) 的位置并解出 x。

令 y = k(x)，则有y = √x。

交换 x 和 y 的位置并解出 x：x = y^2因此，反函数为 k^(-1)(x) = x^2。

问题5已知函数 f(x) = 3x + 4 ，求反函数 f^(-1)(x) 的定义域。

解答：反函数 f^(-1)(x) 的定义域是使得 f^(-1)(x) 存在的 x 的取值范围。

根据题目给出的 f(x) = 3x + 4，我们可以通过变换求得 f^(-1)(x)：x = (y + 4) / 3由此可以看出，无论 y 取什么值，x 都存在。

反函数题型及解析

反函数题型及解析1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=．2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+23.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3）4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣15.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1）6.求下列函数的反函数．（1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．反函数题型解析1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1，此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2）3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y=的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}（2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以，则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0）（3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠}（2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞），则反函数的定义域为[0，+∞）（3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）5.分析:由已知解析式，用y表示出x，然后把x与y互换，即得反函数，应注意定义域与值域的互换．解：（1）由y=得到x=，把x与y互换可得：y=，（x∈R）；（2）由y=（e x﹣e﹣x）得到：e x=y±，∵e x＞0，∴e x=y+，由此得：x=ln（y+）∴函数y=（e x﹣e﹣x）的反函数是y=ln（x+）（x∈R）；（3）∵y=1+ln（x﹣1）∴x=e y﹣1+1（y∈R），∴函数y=1+ln（x﹣1）的反函数为y=e x﹣1+1（x∈R）；6.分析:首先确定函数的值域，即反函数的定义域，然后看作方程解出x，从而将x与y互换即可．解：（1）∵y=log（1﹣x）+2（x＜0）；∴y＜2，∴y=﹣log2（1﹣x）+2，∴x=1﹣22﹣y，即y=1﹣22﹣x，（x＜2）；（2）∵y=2﹣（﹣2≤x≤0）的值域为[0，2]，∴x=﹣，即y=﹣，（x∈[0，2]）；（3）∵y=（﹣1≤x≤0）的值域为[，1]，∴x2=1+log3y，∴x=﹣，故y=﹣，（≤x≤1）；（4）y=x|x|+2x的值域为R，当x≥0时，y=x2+2x，故x=，当x＜0时，y=﹣x2+2x，x=1﹣；故y=．。

反函数练习（含详细解析）

反函数练习（含详细解析）反函数练习一．填空题1．若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．2．定义在R上的函数f（x）=2x﹣1的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（3）=3．若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．4．已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．5．函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=．6．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m 的值为．7．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=．8．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是．9．函数的反函数是．10．函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．11．设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则g （1）=．12．设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x ﹣f（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f﹣1（x）+3的图象一定过点．13．函数（x≤0）的反函数是．14．已知函数，则=．15．函数的反函数为f﹣1（x）=．16．函数的反函数的值域是．17．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=．18．设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=．19．若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称，则a+b=．20．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．参考答案一．填空题（共20小题）1．1﹣（x≥0）；2．2；3．；4．3；5．，x∈[2，3]；6．1；7．1；8．；9．f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1）；10．y=﹣（x ≥3）；11．0；12．（﹣3，5）；13．（x≥﹣1）；14．﹣2；15．，（x∈（0，1））；16．；17．（x＞﹣2）；18．1；19．2；20．﹣；。

反函数基础练习含标准答案doc

反函数基础练习含标准答案.doc反函数基础练习含标准答案一、选择题1.设函数f(x) = 2x + 3，那么它的反函数是： A. f(x) = 2x + 3 B. f(x)= (x - 3) / 2 C. f(x) = (x + 3) / 2 D. f(x) = (x - 3) / 2 + 3答案：C2.设函数f(x) = x^2，那么它的反函数是： A. f(x) = x^2 B. f(x) = √xC. f(x) = x^(1/2)D. f(x) = x^2 - 1答案：B3.设函数f(x) = e^x，其中e为自然对数的底数，那么它的反函数是： A.f(x) = e^x B. f(x) = ln(x) C. f(x) = e^(1/x) D. f(x) = ln(e^x)答案：B4.设函数f(x) = |x|，那么它的反函数是： A. f(x) = |x| B. f(x) = x C.f(x) = -x D. f(x) = x^2答案：B5.设函数f(x) = x^3，那么它的反函数是： A. f(x) = x^3 B. f(x) = ∛x C.f(x) = x^(1/3) D. f(x) = x^2 - 1答案：C二、填空题1.设函数f(x) = 2x + 1，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = (x -1) / 22.设函数f(x) = x^2，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = √x3.设函数f(x) = e^x，其中e为自然对数的底数，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = ln(x)4.设函数f(x) = |x|，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = x5.设函数f(x) = x^3，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = ∛x三、计算题1.设函数f(x) = 2x + 1，求它的反函数f^(-1)(x)。

反函数(含答案)

反函数一些结论:()1定义域上的单调函数必有反函数；()2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ()3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数. ()4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．考点一。

反函数图象1.已知函数的反函数是，则的图象是（）解：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。

故选（C ）。

考点二。

求反函数定义域，值域2.（1）若为函数的反函数，则的值域为_________。

解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。

（2）已知p 为xe 2y =上一点，Q 为2ln ln y -=x 上一点，求PQ 最小值。

解：由题，两函数互为反函数，当PQ 与y=x 垂直，且P,Q 分别为两曲线切点时，PQ 最小。

2ln ln y -=x ，则1x 1y =='，即x=1,切点为（1，-ln2),故22ln 1d +=。

由对称性，PQ 最小值=)2ln 12+（。

（3）已知y=a 与y=2(x+1),y=x+lnx 交于A ，B 两点,求AB 最小值。

解：0x11y >+='，单调递增，y=2(x+1)单增且k=2,画图像得:要使AB 最小，只需B 到y=2(x+1)距离d 最小又5535212d =+-=，故AB min=d 25=23。

考点三。

求反函数3.（1）函数的反函数是（）A. B. C. D. 解：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B ）。

（2）求下列函数的反函数：（1）2()(1)f x x x x =+≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥．（2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．（3）f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，则f(x)反函数为（ ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)解：f(x)图像与g(x)图像关于直线x+y=0对称，∴-x=f(-y),即-y=)(f 1x --,则y=-)(f 1x --,)()(f 1x g x -=-∴-,故)(-g (f 1x x -=-），选D. 考点四。

反函数练习附答案

＜0,∴＜(x＜0时＝且y当x1x)f(xx,0x,,0x2x,∴函数的反函数是2yy20,xx.0xx,( )M可以是M上的反函数是其本身,则在区间7.已知函数2xx)4f(0,2］-2,0］C.［A.［-21］B.［-1,0］D.［22220,≤4y≤0,即x＝得:解析画出函数;由y＝4且22xy44f(x)x包括点(,以2为半径的圆在x轴下方的部分所以图象是以(0,0)为圆心图象自身关f(x)上反函数是其本身,故y＝＝(±2,0));又yf(x)在区间M可以是［-2,0］.答案,于y＝x对称故区间M1的取值范围的x,函数0＜a＜1,则函数(x)＜18.设)x2xf(x)loglog(1aa( )
:∵f(x)＝(1)+2,∴解析151xf2(x)41ax.＝,则若函数a的图象关于直线y＝x对称12.)(ay55x41ax4的图象上取在f(x),:∵,∴且存在反函数.不是常函数解析ya545x11a,可解得也在函数,0)f(x)的图象上的对称点一点(0,它关于),y＝x(55-5.
＝1(x),,值域为［-3,3］其反函数为,-1,1f(x)13.已知函数的定义域为［］1.
教案审核：6 / 6
＝yx对称g(x)的图象与函数y＝(1)的图象关于直线解析:∵函数y＝1.
(1)互为反函数y＝g(x)与函数y＝∴函数71即x＝f(11)+1.∵,∴得由g(11)(1)＝11,∴1＝f(11),f(11)512答案.(11)g5二、填空题13254. (x)＝＝x-5x+10x-10x+51,则f(x)的反函数为11.设f(x)5.
C.4 B.1 2
D.10
13于是则有3＝y,可得(x)＝3.2解析:设y＝,2211答案6＝-2.(m)(n)＝m6＝22211( )

反函数练习题(打印版)

反函数练习题（打印版）### 反函数练习题#### 一、选择题1. 若函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数是 \( f^{-1}(x) \)，求\( f^{-1}(-1) \) 的值。

- A. -5- B. -3- C. 0- D. 12. 已知 \( g(x) = x^2 \) 的反函数是 \( g^{-1}(x) \)，求\( g^{-1}(4) \) 的值。

- A. 2- B. -2- C. 4- D. ±23. 函数 \( h(x) = \log_{10} x \) 的反函数是 \( h^{-1}(x) \)，求 \( h^{-1}(100) \) 的值。

- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5#### 二、填空题4. 函数 \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) 的反函数是 \( f^{-1}(x) \)，当 \( x = 4 \) 时，求 \( f^{-1}(x) \) 的值。

5. 若 \( y = 3^x \)，求 \( x \) 关于 \( y \) 的反函数表达式。

6. 函数 \( s(x) = \frac{1}{x} \) 的反函数是 \( s^{-1}(x) \)，当 \( x = 0.5 \) 时，求 \( s^{-1}(x) \) 的值。

#### 三、解答题7. 已知函数 \( p(x) = 4x - 1 \)，求其反函数，并计算 \( p^{-1}(5) \)。

8. 函数 \( q(x) = 2^x \) 有反函数吗？如果有，请写出其反函数，并计算 \( q^{-1}(8) \)。

9. 函数 \( r(x) = 5x + 7 \) 的反函数是 \( r^{-1}(x) \)，求\( r^{-1}(12) \)。

#### 四、应用题10. 某工厂生产的产品数量与价格之间的关系由函数 \( v(x) = 100 - 0.5x \) 表示，其中 \( x \) 表示产品数量，\( v \) 表示价格。

反函数练习题

反函数练习题反函数练习题集1、已知函数yA、y 6x 5x 1 6x 5x 1(x R且x 1)，那么它的反函数为( ) x R且x 1 B、y x 5 x R且x 6x 6x 65 C、y x 1 x R且x 5 x R且x D、y6x 5 6 x 52、函数 x2(x 0) 的反函数是( y 1 x(x 0) 2 )1 1 2x(x 0) 2x(x 0) x x 0 xx 0 A、y B、y C、y2 D、y 2 x x 0 x x 0 x x 0 x x 03、已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（）A、(a,f 1(a))B、f 1 b ,bC、 f 1 a ,aD、 b,1f 1 b 4、若函数f(x) x2 1(x 1)，则fA、5B、5、函数f(x) (4)的值为（） 5 C、15 D、3 2 9x是否有反函数？_____；当x 0,4 时，反函数为 __________， 3定义域为__________ ；当x6、设f(x)的反函数为f 1 4 3,0 1时，反函数为________，定义域为_____________。

1(x)，f(x) 3x 2，则f(3) ________ ，f(3)=_________17、若点(1,2)既在函数f(x) 又在函数f(x)的反函数fax b的图象上，(x)的图象上，则a=____________ ,b=________8、f(x)在0, 上为递增函数，则f 1(1)与f 1(3)的大小关系是________9、函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x)10、11、已知f12、函数f(x)=x2-2tx+1(t∈R)，定义域为x 0,1 7,8 ，（1）f(x)在定义域内是否一定有反函数？（2）若f(x)有反函数，求t的范围。

1函数y ax bx c(x R且x c)的反函数为y 3x 1x 2，求a,b,c的值 (x) 2x 3，x 1，求f(x)。

(完整版)反函数基础练习含答案

反函数基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+-5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是x 1y＝－，那么另一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a))B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x)．函数＝的反函数是，则13x[ ]A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121 解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--(三)解答题1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．x ax x +++252(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝，函数＝的图像是＝＋的图像2311x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．10(B)g(x)=1x (0)33．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜100g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3．证明略．4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．。

高一数学反函数及答案

ß
而 f (x + 2) = k (x + 2) + b (x ∈ R) 得反函数 y= 由” 2 和性质” 定义可知立，所以即所求一次函数为 f (x) = −x + b (b ∈ R) . (3) 设 a > 0，x0 > 0，且点 (x0 , y0 ) 在 y = f (ax) 图象上，则 (y0 , x0 ) 在函数 y = f −1 (ax) 图象上，故 x − b − 2k . k
3. 要使函数 y = x2 − 2ax + 1 在 [1, 2] 上存在反函数，则 a 的取值范围是( ) A. a ⩽ 1 B. a ⩾ 2 C. a ⩽ 1 或 a ⩾ 2 D. 1 ⩽ a ⩽ 2 m (x + n) 4. 已知函数 f (x) = ln x − (m > 0, n ∈ R) 在 (0, +∞) 上不单调，若 m − n > λ 恒成立，则实数 λ 的取 x+1 值范围为 ( ) A. [3, +∞) B. [4, +∞) C. (−∞, 3) D. (−∞, 4] 二、填空题 5. 设 f −1 (x) 为 f (x) = x 的反函数，则 f −1 (2) = 2x + 1 ．
反函数一、选择题 √ 1. 如果点 (1, 2) 同时位于函数 f (x) = ax + b + 1 及其反函数的图象上，则 a，b 的值分别为( A. a = −3，b = 6 B. a = −3，b = −6 C. a = 3，b = −6 D. a = 3，b = 6 2. 若函数 y = f (x) 的反函数是 y = g (x)，f (a) = b，ab ̸= 0，则 g (b) 等于( A. a B. a−1 C. b ) D. b−1 )

反函数专题含答案

反函数专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，则f(x)=()A.ln(x−1)B.ln x−1C.ln(x+1)D.ln x+12. 指数函数y＝a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2)，则a＝（）A.3B.2C.9D.43. 已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称，则（）A.f(x)=log2x−1(x>2)B.f(x)=log2x−1(x>0)C.f(x)=log2(x−1)(x>2)D.f(x)=log2(x−1)(x>0)4. 函数y=√x23−1(x≥−1)的反函数是（）A.y=√(x+1)3(x≥−1)B.y=−√(x+1)3(x≥−1)C.y=√(x+1)3(x≥0)D.y=−√(x+1)3(x≥0)5. 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(2)的值是（）A.4B.2C.1D.06. 函数y=(12)x2(x≥1)的反函数为（）A.y=√log12x(0<x≤2) B.y=−√log12x(0<x≤12)C.y=√log12x(0<x≤12) D.y=−√log12x(0<x≤2)7. 函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是（）A.y=4x+2x+1(x>0)B.y=4x+2x+1(x∈R)C.y=4x+2x+2(x>0)D.y=4x+2x+2(x∈R)A.(−∞, 2]B.(−∞, −4]∪[2, +∞)C.[−2, +∞)D.(−∞, −2]∪[4, +∞)9. 已知函数y=f(x)与y=f−1(x)互为反函数，又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=log12(x2+2)(x>0)，那么g(√6)等于（）A.−4B.−3C.−2D.210. 已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数的图象经过点(√22,12)．若函数g(x)的定义域为R，当x∈[−2,2]时，有g(x)=f(x)，且函数g(x+2)为偶函数．则下列结论正确的是（）A.g(π)<g(3)<g(√2)B.g(π)<g(√2)<g(3)C.g(√2)<g(3)<g(π)D.g(√2)<g(π)<g(3)11. 函数f(x)=xx+1(x>0)的反函数为f−1(x)=________．12. 函数y=log2(√x+4+2)(x>0)的反函数是________．13. f(x)=−√1−x(x≤1)，则f−1(x)=________．14. 函数y=2x1+x（x∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为________．15. 已知函数f(x)=|1−12x4x|的反函数为f−1(x)，则f−1(12)=________．16. 已知函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称，则g(10)的值为________．17. 设f−1(x)为f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为________．18. 若函数y=2x+1x−a的图象关于直线y=x对称，则实数a的值为________．19. 若定义在R上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f−1(x−1)，且f(0)=1，则f(2006)=________．，函数y=g(x)的图象与y=f−1(x−1)的图象关于直线y= 20. 已知函数f(x)=1−2x1+xx对称，则g(x)=________．的反函数．21. 求函数y=2x2x+122. 设y=f(x)是函数y=a x−1(a>0, a≠1)的反函数，（1）试比较3f(x)与f(3x)的大小；（2）若在区间[1, 2]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．的反函数．23. 求函数y=x−4x+424. 一次函数y=−x的图象与它的反函数的图象重合，试写出一个非一次函数的函数，使它的图象与其反函数的图象重合．25. 已知函数f(x)=3x，且f−1(18)=a+2，g(x)=3ax−4x（1）求a的值；（2）求g(x)的表达式；（3）当x∈[−1, 1]时，g(x)的值域并判断g(x)的单调性．26. 已知函数f(x)=3x−3−x，求它的反函数f−1(x)．227. 已知函数f(x)=√a−3x的反函数为y=f−1(x)（1）求函数f(x)的反函数f−1(x)的解析式；（2）若y=f(x)的图象与直线y=x有交点，求实数a的取值范围；（3）判断方程f(x)=f −1(x)的实根的个数，并说明理由．28. 已知函数f(x)=log a (x +√1+x 2)(x ∈R ，a >0，a ≠1)．(1)判断f(x)奇偶性；(2)若g(x)图象与曲线y =f(x)(x ≥34)关于y =x 对称，求g(x)的解析式及定义域；(3)若g(x)<5m −5−m 2对于任意的m ∈N ∗恒成立，求a 的取值范围．29. 求证：若奇函数f(x)存在反函数，则反函数必为奇函数．30. 若函数f(x)=a +1x−b 与g(x)=1+c 2x+1互为反函数，求实数a 、b 、c 的值．31. 求函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数．32. 求函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数．33. 求函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数．34. 已知函数f(x)=log a (a x −1)(a >1)且x >1，求使f(2x)=f −1(x)的x 的值．35. 若函数y =1−ax 1+ax (x ≠−1a , x ∈R)的图象关于直线y =x 对称，求a 的值．36. 已知函数f(x)=3x+1x+a (x ≠−a, a ≠13)．（1）求f(x)的反函数f −1(x)；（2）若函数f(x)的图象关于直线y =x 对称，求实数a 的值．（1）求f(x)的反函数图象上点(1, 0)处的切线方程；（2）证明：曲线y =f(x)与曲线y =12x 2+x +1有唯一公共点；（3）设a <b ，比较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a 的大小，并说明理由．38. 已知函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)．（1）求证f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）F(x)=f(−x)，G(x)=f −1(−x)，若F(x)是G(x)的反函数，求证：f(x)是奇函数．39. 已知函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)，设g(x)=3ax −4x 的定义域为区间[−1, 1]，（1）求g(x)的解析式；（2）若方程g(x)=m 有解，求m 的取值范围；（3）对于任意的n ∈R ，试讨论方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数．40. 已知函数y =f(x)存在反函数，定义：若对给定的实数a(a ≠0)，函数y =f(x +a)与y =f −1(x +a)互为反函数，则称y =f(x)满足“a 和性质”．（1）判断函数g(x)=x 2+1(x >0)是否满足“1和性质”，说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数．参考答案与试题解析反函数专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】反函数【解析】与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x，只需把y=ln x向左平移一个单位长度即可．【解答】解：由题意可知与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x，只需把y=ln x向左平移一个单位长度得到y=ln(x+1)，∴f(x)=ln(x+1)，故选：C2.【答案】B【考点】反函数【解析】根据反函数与原函数的定义域和值域的关系求解即可．【解答】指数函数y＝a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2)，根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点(2, 4)，可得，4＝a2，解得：a＝2；3.【答案】A【考点】反函数【解析】由题意可得，函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数，求出函数y=2x+1(x> 0)的反函数，即可得到f(x)的解析式．【解答】解：由于函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称，故函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数．由y=2x+1(x>0)可得x+1=log2y，x=log2y−1，y>2．故y=2x+1(x>0)的反函数为y=log2x−1 (x>2)，故f(x)=log2x−1，(x>2)．故选A．4.B【考点】反函数【解析】由条件求得y ≥−1，x =−√(y +1)3，把x 、y 互换，并注明反函数的定义域，即可求得反函数．【解答】解：∵ 函数y =√x 23−1(x ≥−1)，y ≥−1，∴ x 2=(y +1)3，故x =−√(y +1)3，故反函数为y =−√(x +1)3(x ≥−1)，故选B ．5.【答案】C【考点】反函数【解析】令反函数的值 2x =2，可得x 的值，即为f(2)的值．【解答】解：根据函数与反函数的关系，令 2x =2，可得x =1，故f(2)=1，故选C ．6.【答案】C【考点】反函数【解析】由y =(12)x 2(x ≥1)，能导出x =√log 12y ，0<y ≤12，x ，y 互换，得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ，0<x ≤12．【解答】解：∵ y =(12)x 2(x ≥1)，∴ x 2=log 12y ，0<y ≤12，x =√log 12y ，0<y ≤12，x ，y 互换，得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ，0<x ≤12．故选C ．7.【答案】D【考点】【解析】根据已知中函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的解析式及定义域，我们可以求出函数的值域，即反函数的定义域，进而将x表示成Y的函数，进而即可得到函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数．【解答】解：∵函数y=log2(√x+4−2)(x>0)则函数的值域为R又∵函数的解析式可化为：√x+4−2=2y即√x+4=2y+2即x+4=(2y+2)2即x=4y+2y+2，故函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是y=4x+2x+2(x∈R)故选D8.【答案】D【考点】反函数【解析】函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数，只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数⇔f′(x)≥0或f′(x)≤0在[−1, 2]恒成立，从而转化求函数g(x)=2x，在[−1, 2]上的最值问题解决即可．【解答】解：对函数求导可得，f′(x)=2x−b，函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数，只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数即f′(x)=2x−b≥0或f′(x)=2x−b≤0在[−1, 2]恒成立即b≤2x或b≥2x在[−1, 2]上恒成立令g(x)=2x，则g(x)在[−1, 2]上的最小值为−2，最大值是g(2)=4∴a≤−2或a≥4故选D．9.【答案】A【考点】反函数【解析】求出函数f(x)的反函数，在反函数解析式中取x=x+1，然后由得到的解析式等于√6求解x的值．【解答】解：由f(x)=log12(x2+2)(x>0)，得x=√(12)y−2，∴f(x)的反函数为f−1(x)=√(12)x−2(x<−1)．又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，由√(12)x+1−2=√6，得x=−4．故g(√6)=−4．故选A．10.【答案】C【考点】反函数【解析】本题考查函数的奇偶性、反函数．【解答】解：因为函数f(x)的反函数的图象经过点(√22,12)，则函数f(x)的图象经过点(12,√22)，则由√22=a12，解得a=12，所以f(x)=(12)x，所以函数f(x)在定义域内为减函数．因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(2−x)，所以g(3)=g(1+2)=g(2−1)= g(1)，g(π)=g[(π−2)+2]=g(4−π)．因为当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)，所以g(x)在[−2,2]上单调递减，又4−π<1<√2，所以g(4−π)>g(1)>g(√2)，即g(√2)<g(3)<g(π)．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】x1−x，（x∈(0, 1)）【考点】反函数【解析】由y=f(x)=xx+1(x>0)，解得x=y1−y>0，解得0<y<1，即可得出．【解答】解：由y=f(x)=xx+1(x>0)，解得x=y1−y>0，解得0<y<1，因此f(x)的反函数为f−1(x)=x1−x，（x∈(0, 1)）．故答案为：x1−x，（x∈(0, 1)）．12.【答案】y=22x−4⋅2x(x>2)【考点】反函数【解析】【解答】解：∵y=log2(√x+4+2)(x>0)，∴y>2；√x+4+2=2y；则x=(2y−2)2−4=22y−4⋅2y(y>2)；故答案为：y=22x−4⋅2x(x>2)．13.【答案】1−x2，(x≤0)【考点】反函数【解析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=−√1−x(x≤1)，∴x=1−y2，(y≤0)故反函数为f−1(x)=1−x2，(x≤0)．故答案为：1−x2，(x≤0)．14.【答案】(0, 0)，(1, 1)【考点】反函数【解析】根据原函数和反函数关于y=x对称，解得原函数和y=x的交点即可．【解答】解：∵原函数和反函数关于y=x对称，∴联立{y=2x 1+xy=x，解的x=0或1，则当x=0时，y=0，当x=1时，y=1，故函数y=2x1+x（x∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为为(0, 0)，(1, 1)，故答案为(0, 0)，(1, 1)．15.【答案】log23【考点】反函数【解析】先根据二阶行列式的运算法则化简函数，然后欲求f−1(12)的值，只须从条件中函数式f(x)=12中反解出x，即得f−1(12)的值．解：f(x)=|1−12x4x|=1×4x−(−1)×2x=4x+2x，令f(x)=12，即4x+2x=12，即(2x−3)(2x+4)=0，解得：2x=3即x=log23，根据f(a)=b，则f−1(b)=a，可知f−1(12)=log23．故答案为：log23．16.【答案】2【考点】反函数【解析】利用互为反函数的性质：定义域与值域互换的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称，∴10=3x+1，解得x=2．∴g(10)=2．故答案为2．17.【答案】2【考点】反函数【解析】f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]，则f(x)在此区间上单调递增，可得f(x)∈[−23，1]，利用互为反函数的性质可得：f−1(x)在x∈[−23，1]上单调递增，f−1(x)∈[0, 1]．【解答】解：f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]，则f(x)在此区间上单调递增，∴f(x)∈[−23，1]，同理可得f−1(x)在x∈[−23，1]上单调递增，∴f−1(x)∈[0, 1]．∴y=f(x)+f−1(x)的最大值为2．故答案为：2．18.【答案】2【考点】反函数【解析】一个函数关于直线y=x对称，则这个函数与其反函数是同一个函数．【解答】解：由y =2x+1x−a得xy −ay =2x +1，即x =1+ay y−2，即ff −1(x)=1+ax x−2，所以有a =2．故答案为：2 19.【答案】 2007 【考点】反函数【解析】由y =f −1(x −1)，求出该函数的反函数，再由y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1)，得到f(x +1)=f(x)+1，结合已知f(0)=1可求答案．【解答】解：由y =f −1(x −1)，得x −1=f(y)，即x =f(y)+1． ∴ 函数y =f −1(x −1)的反函数为y =f(x)+1．又y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1)， ∴ f(x +1)=f(x)+1．∴ f(2006)=f(2005)+1=f(2004)+1+1=...=f(0)+1+1+...+1=f(0)+2006=2007．故答案为：2007． 20. 【答案】 2−x1+x 【考点】反函数【解析】由已知中函数f(x)=1−2x 1+x，函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称，可得函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数，根据互为反函数的图象的平移变换关系，可得函数y =g(x)的图象可由函数y =f(x)的图象向上平移一个单位得到，进而由函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：∵ 函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴ 函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数而y =f −1(x −1)的图象是把y =f −1(x)的图象向右平移一个单位故函数y =g(x)的图象可由函数f(x)=1−2x 1+x的图象向上平移一个单位得到即y =g(x)=1−2x 1+x+1=2−x1+x故答案为：2−x1+x三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分） 21.【答案】解：函数y =2x 2x +1可得：2x =2x y +y ．可得2x (1−y)=y ， 2x =y1−y ，可得x =log 2y1−y ，函数y =2x2x +1的反函数为：y =log 2x1−x ．【考点】反函数【解析】直接利用反函数的对应求解反函数即可．【解答】解：函数y =2x2x +1可得：2x =2x y +y ．可得2x (1−y)=y ， 2x =y1−y ，可得x =log 2y1−y ，函数y =2x2x +1的反函数为：y =log 2x1−x ． 22.【答案】解：由y =a x −1(a >0, a ≠1)，得a x =1+y ，即x =log a (1+y)， x ，y 互换得：y =log a (1+x)，∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1)．（1）3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3，f(3x)=log a (1+3x)，∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1)， ∴ (1+x)3>1+3x ．当a >1时，3f(x)>f(3x)；当0<a <1时，3f(x)<f(3x)．（2）当a >1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3，log a 2，由log a 3−log a 2=log a 32=1，解得a =32；当0<a <1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2，log a 3，由log a 2−log a 3=1，解得：a =23．【考点】反函数【解析】（1）求出函数的反函数，得到3f(x)与f(3x)，然后利用作差法比较真数的大小，然后利用对数函数的单调性得答案；（2）分类求出函数在区间[1, 2]上的最大值比最小值，由最大值比最小值大1求实数a 的值．【解答】解：由y =a x −1(a >0, a ≠1)，得a x =1+y ，即x =log a (1+y)， x ，y 互换得：y =log a (1+x)，∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1)．（1）3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3，f(3x)=log a (1+3x)，∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1)， ∴ (1+x)3>1+3x ．当a >1时，3f(x)>f(3x)；当0<a <1时，3f(x)<f(3x)．（2）当a >1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3，log a 2，由log a 3−log a 2=log a 32=1，解得a =32；当0<a <1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2，log a 3，由log a 2−log a 3=1，解得：a =23． 23. 【答案】解：由y =x−4x+4的得，xy +4y =x −4，解得x =4(1+y)1−y(y ≠1)，所以y =4(1+x)1−x (x ≠1)，则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1)．【考点】反函数【解析】由已知的解析式求出x 的表达式，再把x 换成y 、y 换成x ，并注明反函数的定义域．【解答】解：由y =x−4x+4的得，xy +4y =x −4，解得x =4(1+y)1−y(y ≠1)，所以y =4(1+x)1−x (x ≠1)，则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1)．24.【答案】解：若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合，则函数f(x)自身关于y =x 对称，比如函数y =1x ，则由y =1x 得x =1y ，即函数y =1x 的反函数是y =1x ．【考点】反函数【解析】根据反函数的定义进行寻找即可．【解答】解：若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合，则函数f(x)自身关于y =x 对称，比如函数y =1x，则由y =1x得x =1y，即函数y =1x的反函数是y =1x．25.【答案】解：（1）f −1(x)=log 3x ，log 318=a +2， ∴ a =log 32．（2）g(x)=(3a )x −4x =(33log2)x −4x =2x −4x ．（3）令u =2x ，∵ −1≤x ≤1，则12≤u ≤2，g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14，当u =12时，φ(u)max =14，当u =2时，φ(u)min =−2． ∴ g(x)的值域为[−2, 14]，当−1≤x ≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u =2x 为增函数， g(x)在[−1, 1]上为减函数．【考点】反函数【解析】（1）欲求a 的值，根据f −1(18)=a +2，只要即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，求得反函数的解析式即可．（2）由（1）求得的a 值直接代入g(x)=3ax −4x 欲即得g(x)的表达式；（3）令u =2x ，将g(x)的值域、单调性问题转化为二次函数u −u 2的值域、单调性解决即可．【解答】解：（1）f −1(x)=log 3x ，log 318=a +2， ∴ a =log 32．（2）g(x)=(3a )x −4x =(33log 2)x −4x =2x −4x．（3）令u =2x ，∵ −1≤x ≤1，则12≤u ≤2， g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14，当u =12时，φ(u)max =14，当u =2时，φ(u)min =−2．∴ g(x)的值域为[−2, 14]，当−1≤x ≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u =2x 为增函数， g(x)在[−1, 1]上为减函数． 26. 【答案】解：令y =3x −3−x2，则3x −3−x −2y =0，∴ (3x )2−2y3x −1=0， ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1，∴ x =log 3(y +√y 2+1)．∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1)．【考点】反函数【解析】令y =3x −3−x2，将式子变形用y 表示出x ，然后互换变量符号得出．【解答】解：令y =3x −3−x2，则3x −3−x −2y =0，∴ (3x )2−2y3x −1=0， ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1，∴ x =log 3(y +√y 2+1)．∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1)． 27. 【答案】解：（1）由y =√a −3x ，得：x =a−y 23(y ≥0)，所以原函数的反函数为f −1(x)=a−x 23(x ≥0)；（2）由y =f(x)=√a −3x ，得：y 2=−3x +a =−3(x −a3)(y ≥0)，其图象是把函数y 2=−3x(y ≥0)的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a3|个单位得到的，如图，要使y =f(x)的图象与直线y =x 有交点，则a ≥0；当a<0时，函数y=f(x)与其反函数的图象无交点，所以方程f(x)=f−1(x)无实根；当a≥0时，函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根．【考点】反函数根的存在性及根的个数判断【解析】（1）把原函数两边平方后解出x，然后把x和y互换，注意反函数的定义域；（2）作出函数y=f(x)的图象，然后数形结合分析可得答案；（3）作出函数y=f(x)与其反函数y=f−1(x)的图象，由图可以直观看出方程f(x)= f−1(x)的实根的个数．【解答】解：（1）由y=√a−3x，得：x=a−y 23(y≥0)，所以原函数的反函数为f−1(x)=a−x23(x≥0)；（2）由y=f(x)=√a−3x，得：y2=−3x+a=−3(x−a3)(y≥0)，其图象是把函数y2=−3x(y≥0)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a3|个单位得到的，如图，要使y=f(x)的图象与直线y=x有交点，则a≥0；当a<0时，函数y=f(x)与其反函数的图象无交点，所以方程f(x)=f−1(x)无实根；当a≥0时，函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根．28.【答案】解：(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2)，可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0，∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，令x=loga(y+√1+y2)，得y+√1+y2=a x，得(a x−y)2=1+y2，∴2ya x=a2x−1，得y=a2x−12a x，因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34}，∴解不等式12(a x−a−x)≥34，得a x≥2，当a>1时，g(x)的定义域为[loga2, +∞)；当0<a<1时，g(x)的定义域为(−∞，log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x)，当0<a<1时，loga2<0，此时定义域中无正整数，不满足条件；当a>1时，需所有正整数在定义域中，故loga2≤1，得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数，∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，所求a的取值范围是2≤a<5.【考点】函数奇偶性的判断对数函数图象与性质的综合应用函数的定义域及其求法反函数不等式恒成立问题【解析】（1）根据对数的运算性质，化简得f(x)+f(−x)=0，可得f(−x)=−f(x)，可得函数f(x)是奇函数；（2）由题意，函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，将f(x)的x、y互换，解出用x表示y的式子，即可得到g(x)的解析式．再结合a的范围加以讨论，即可得到函数g(x)的定义域；（3）根据a的范围加以讨论，并结合函数g(x)的单调性，建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2)，可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0，∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，令x=loga(y+√1+y2)，得y+√1+y2=a x，得(a x−y)2=1+y2，∴2ya x=a2x−1，得y=a2x−12a x，因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34}，∴解不等式12(a x−a−x)≥34，得a x≥2，当a>1时，g(x)的定义域为[loga2, +∞)；当0<a<1时，g(x)的定义域为(−∞，log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x)，当0<a<1时，loga2<0，此时定义域中无正整数，不满足条件；当a>1时，需所有正整数在定义域中，故loga2≤1，得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数，∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，所求a的取值范围是2≤a<5.29.【答案】解：设奇函数f(x)的反函数为f−1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f−1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)=y，则f(−x)=−y．∴f−1(y)=x，f−1(−y)=−x．∴f−1(−y)=−f−1(y)，即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数．【考点】反函数【解析】根据奇函数的性质得出f−1(−x)和f−1(x)的关系，利用函数奇偶性的定义得出结论．【解答】解：设奇函数f(x)的反函数为f−1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f−1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)=y，则f(−x)=−y．∴f−1(y)=x，f−1(−y)=−x．∴f−1(−y)=−f−1(y)，即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数．30.【答案】解：∵y=a+1x−b，∴x=b+1y−a，∴f(x)=a+1x−b 的反函数为b+1x−a，∵f(x)与g(x)互为反函数，∴b+1x−a =1+c2x+1=1+12cx+12∴b=1，c=2，a=−12．【考点】反函数【解析】先求出f(x)的反函数，再根据反函数的定义得到一个等式相等，对应的系数相等即可求出实数a 、b 、c 的值【解答】解：∵ y =a +1x−b ， ∴ x =b +1y−a，∴ f(x)=a +1x−b 的反函数为b +1x−a ， ∵ f(x)与g(x)互为反函数， ∴ b +1x−a =1+c2x+1=1+12c x+12∴ b =1，c =2，a =−12． 31. 【答案】解：由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1)， ∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0)，∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0)．【考点】反函数【解析】欲求原函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式．【解答】解：由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1)，∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0)，∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0)． 32.【答案】解：当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1，(1<x <2)．当0≤x <1时， y =x 2⇒x =√y ，∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1)．【考点】反函数【解析】当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，所以y =−x +1的反函数为y =−x +1 (1<x <2)；当0≤x <1时，y =x 2⇒x =√y ，所以y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．【解答】解：当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1，(1<x <2)．当0≤x <1时， y =x 2⇒x =√y ，∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1)．33. 【答案】解：∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R)，∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ， ∴ x =12(y 3+3y)，x ，y 互换，得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为：y =12(x 3+3x)．x ∈R ．【考点】反函数【解析】由已知条件，利用二项式定理求出y 3=2x −3y ，由此能求出函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数．【解答】解：∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R)，∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ，∴ x =12(y 3+3y)，x ，y 互换，得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为：y =12(x 3+3x)．x ∈R ．34.【答案】解：∵ y =f(x)=log a (a x −1)，∴ a x −1=a y ，解得x =log a (a y +1)， ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1)，故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1)，可得a 2x −1=a x −1，即(a x +1)(a x −1)=a x +1， ∵ a x +1>1，∴ a x −1=1，即x =log a 2，【考点】反函数【解析】求反函数可得f −1(x)=log a (a x +1)，可得log a (a 2x −1)=log a (a x +1)，解方程可得．【解答】解：∵ y =f(x)=log a (a x −1)，∴ a x −1=a y ，解得x =log a (a y +1)， ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1)，故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1)，可得a 2x −1=a x −1，即(a x +1)(a x −1)=a x +1， ∵ a x +1>1，∴ a x −1=1，即x =log a 2， 35.【答案】 a =1．【考点】反函数【解析】求出原函数的反函数，根据函数图象本身关于直线y =x 对称知，原函数与它的反函数相同，从而比较系数求得a 值．【解答】解：由y =1−ax1+ax ，解得x =1−yay+a ．故函数y =1−ax 1+ax 的反函数为y =1−x ax+a．∵ 函数y =1−ax1+ax 的图象关于直线y =x 对称， ∴ 函数y =1−ax1+ax 与它的反函数y =1−xax+a 相同．由1−ax1+ax =1−xax+a 恒成立，得a =1． 36.【答案】解：（1）设y=3x+1x+a，则y(x+a)=3x+1，整理得(y−3)x=1−ay．若y=3，则a=13，与已知矛盾，∴y≠3．∴x=1−ayy−3．故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3)．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a，比较两边对应项的系数，有{−a=3a2−1=8a=−3故a=−3．【考点】反函数【解析】（1）由y=3x+1x+a，得y(x+a)=3x+1，(y−3)x=1−ay．由此能求出所求反函数．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，由此能求出a．【解答】解：（1）设y=3x+1x+a，则y(x+a)=3x+1，整理得(y−3)x=1−ay．若y=3，则a=13，与已知矛盾，∴y≠3．∴x=1−ayy−3．故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3)．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a，比较两边对应项的系数，有{−a =3a 2−1=8a =−3故a =−3． 37.【答案】解：（1）由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0)，则点(1, 0)处的切线斜率为k =g′(1)=1，故点(1, 0)处的切线方程为y −0=1×(x −1)，即x −y −1=0．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1，则ℎ′(x)=e x −x −1，∵ ℎ″(x)=e x −1，故当x <0时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)为减函数．当x >0时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)为增函数．故当x =0时，ℎ′(x)取得最小值为0，故有ℎ′(x)≥0恒成立，故函数ℎ(x)在R 上是增函数，故函数ℎ(x)最多有一个零点．再根据ℎ(0)=0，可得函数ℎ(x)有唯一零点．（3）设a <b ，∵ f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a =(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a +(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ]．由于e a2(b−a)>0，故只需考虑(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a 的符号即可．令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，则g′(x)=1+(x −1)e x ．在(0, +∞)上，g ″(x)=xe x >0，∴ g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0， ∴ g′(x)>0，∴ g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴ 在(0, +∞)上，g(x)>0．∵ 当x >0时，g(x)=x +2+(x −2)⋅e x >0，且a <b ，∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a ⋅e a2(b−a)>0，即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．【考点】反函数【解析】（I ）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可．(II)令ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1，利用导数研究函数ℎ(x)的单调性即可得出． (III)利用作差法得f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ]．构造函数，令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，利用导数的符号研究其单调性，可得g(x)的符号，从而得到f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a的大小关系．【解答】解：（1）由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0)，则点(1, 0)处的切线斜率为k=g′(1)=1，故点(1, 0)处的切线方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−(12x2+x+1)=e x−12x2−x−1，则ℎ′(x)=e x−x−1，∵ℎ″(x)=e x−1，故当x<0时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)为减函数．当x>0时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)为增函数．故当x=0时，ℎ′(x)取得最小值为0，故有ℎ′(x)≥0恒成立，故函数ℎ(x)在R上是增函数，故函数ℎ(x)最多有一个零点．再根据ℎ(0)=0，可得函数ℎ(x)有唯一零点．（3）设a<b，∵f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a+(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a]．由于e a2(b−a)>0，故只需考虑(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a的符号即可．令g(x)=x+2+(x−2)e x(x>0)，则g′(x)=1+(x−1)e x．在(0, +∞)上，g″(x)=xe x>0，∴g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴在(0, +∞)上，g(x)>0．∵当x>0时，g(x)=x+2+(x−2)⋅e x>0，且a<b，∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a⋅e a2(b−a)>0，即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．38.【答案】证明：（1）∵函数f(x)的反函数是f−1(x)，g(x)的反函数为g−1(x)．令t=g(x)，则y=f（g(x)）=f(t)，则g−1(t)=x．f−1(y)=t，即g−1（f−1(y)）=x，即f（g(x)）的反函数为g−1（f−1(x)）；（2）∵F(x)=f(−x)，…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y轴对称，又∵G(x)=f−1(−x)，∴G(x)与f−1(x)的图象关于y轴对称，故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到，又∵F(x)是G(x)的反函数，故F(x)与G(x)的图象关于y=x轴对称，故F(x)与f(x)的图象关于x轴对称，即F(x)=−f(x)，…②由①②得：f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数【考点】反函数【解析】（1）令t =g(x)，则y =f （g(x)）=f(t)，结合函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)，可得g −1（f −1(y)）=x ，从而得到f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）由已知中G(x)=f −1(−x)，若F(x)是G(x)的反函数，可得F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称，即F(x)=−f(x)，结合F(x)=f(−x)，可得f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数．【解答】证明：（1）∵ 函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)．令t =g(x)，则y =f （g(x)）=f(t)，则g −1(t)=x ．f −1(y)=t ，即g −1（f −1(y)）=x ，即f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）∵ F(x)=f(−x)，…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y 轴对称，又∵ G(x)=f −1(−x)，∴ G(x)与f −1(x)的图象关于y 轴对称，故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到，又∵ F(x)是G(x)的反函数，故F(x)与G(x)的图象关于y =x 轴对称，故F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称，即F(x)=−f(x)，…②由①②得：f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数 39.【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)， ∴ 3a+2=18，解得：a =log 32；∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ，x ∈[−1, 1]；（2）∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14，又x ∈[−1, 1]，∴ 12≤2x ≤2，0≤2x −12≤32，∴ 0≤(2x −12)2≤94， ∴ g(x)∈[−2, 14]，∵ 方程g(x)=m 有解，∴ m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，在[0, 1]上，ℎ(x)=3⋅2x −4x ，令2x =t(1≤t ≤2)，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，显然，y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增，在区间[32, 2]上单调递减， ∴ t =32(x =log 23−1)时，y max =94；又t =1（即x =0）时，y =2，当t =2（即x =1）时，y =2， ∴ t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2．又n ∈R ，∴ 当n >94或n <2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个；当n =94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个；当n =2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个；当2<n <94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个；【考点】反函数【解析】（1）利用函数与其反函数之间的关系可得a =log 32，从而可求得g(x)的解析式；（2）由g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14，x ∈[−1, 1]，可求得g(x)∈[−2, 14]，方程g(x)=m 有解，从而可得m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，令2x =t ，当x ∈[0, 1]时，1≤t ≤2，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，利用二次函数的单调性可求得t =32（即x =log 23−1）时，y max =94，t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2，于是可得答案．【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)， ∴ 3a+2=18，解得：a =log 32；∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ，x ∈[−1, 1]；（2）∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14，又x ∈[−1, 1]，∴ 12≤2x ≤2，0≤2x −12≤32，∴ 0≤(2x −12)2≤94，∴ g(x)∈[−2, 14]，∵ 方程g(x)=m 有解，∴ m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，在[0, 1]上，ℎ(x)=3⋅2x −4x ，令2x =t(1≤t ≤2)，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，显然，y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增，在区间[32, 2]上单调递减， ∴ t =32(x =log 23−1)时，y max =94；又t =1（即x =0）时，y =2，当t =2（即x =1）时，y =2， ∴ t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2．又n ∈R ，∴ 当n >94或n <2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个；当n =94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个；当n =2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个；当2<n <94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个；40.【答案】解：（1）不是；∵ g(x)=x 2+1(x >0)∴ y =g(x +1)=(x +1)2+1(x >0)∴ x +1=√y −1 ∴ x =√y −1−1∴ y =√x −1−1即g ′(x +1)=√x −1−1(x >2)① ∵ g ′(x)=√x −1，，∴ g ′(x +1)=√x 与①不符故函数g(x)=x 2+1(x >0)不满足“1和性质” （2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx +b(k ≠0) 则f ′(x)=x−b k∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b【考点】反函数【解析】（1）根据y=f(x)满足“a和性质”的定义可先根据求反函数的步骤求出g′(x)=√x−1进而求出g′(x+1)=√x①；再根据g(x)=x2+1(x>0)求出g(x+1)=(x+1)2+ 1(x>0)进而求出g(x+1)的反函数即g′(x+1)②然后比较①②是否相同进而可根据定义得出结论．（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)然后求出f′(x)进而求出f′(x+2)；再根据f(x+2)求出f′(x+2)然后两者相等求出k，b所满足的条件．【解答】解：（1）不是；∵g(x)=x2+1(x>0)∴y=g(x+1)=(x+1)2+1(x>0)∴x+1=√y−1∴x=√y−1−1∴y=√x−1−1即g′(x+1)=√x−1−1(x>2)①∵g′(x)=√x−1，，∴g′(x+1)=√x与①不符故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)则f′(x)=x−bk∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b。