函数单调性案例分析
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)章节一：函数单调性的引入1. 引入概念：单调增加和单调减少2. 讲解实例：设f(x) = x，则f(x)在实数集上单调增加设g(x) = -x，则g(x)在实数集上单调减少3. 总结：函数单调性是描述函数值变化趋势的重要性质，分为单调增加和单调减少两种情况。
章节二：函数单调性的定义1. 定义单调增加：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上单调增加。
2. 定义单调减少：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上单调减少。
3. 举例说明：设h(x) = 2x + 3，则h(x)在实数集上单调增加设k(x) = -x^2 + 1，则k(x)在区间[-1, 1]上单调增加，在区间(-∞, -1]和[1, +∞)上单调减少章节三：函数单调性的判断方法1. 导数法：若函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x) ≥0（单调增加）或f'(x) ≤0（单调减少），则f(x)在区间I上单调增加或单调减少。
2. 图像法：绘制函数图像，观察函数值的变化趋势，判断单调性。
3. 表格法：列出函数在不同x值下的函数值，观察函数值的变化规律，判断单调性。
章节四：函数单调性的应用1. 最大值和最小值：对于单调增加的函数，最大值出现在定义域的右端点；对于单调减少的函数，最小值出现在定义域的左端点。
2. 函数的切线：单调增加的函数在切点处的切线斜率为正；单调减少的函数在切点处的切线斜率为负。
3. 函数的图像：单调增加的函数图像上升，单调减少的函数图像下降。
章节五：单调性在实际问题中的应用1. 线性规划：利用函数的单调性确定最优解的位置。
2. 优化问题：求函数的最值，利用函数的单调性判断最值的位置。
3. 经济学：分析市场需求和供给的单调性，预测市场变化趋势。
4. 物理学：研究物体运动的速度和加速度，利用单调性分析物体的运动状态。
函数的单调性知识点及例题解析
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3） 利用函数的图像；x y =，2-=x y ，212-+=x y . （4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； 如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数；②()0≠=k xk y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,； ③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反； ⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f （x ）=x 4﹣2x 2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x 2，可得0≤t ≤4，根据二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g （t ） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x 2，由﹣2≤x ≤2，可得0≤t ≤4，由于二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=t 2﹣2t+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g （t ） 在区间[0，4]上的最大值是g （4）=13，最小值为 g （1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答 证明：任取x 1，x 2∈[﹣2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21+x －22+x =22)22)(22(212121+++++++-+x x x x x x =222121+++-x x x x ，因为x 1-x 2＜0，21+x +22+x ＞0，得f （x 1）＜f （x 2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数． 10.函数f （x ）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f （x ）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f （x ）=，根据反比例函数的单调性便可看出f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x 1，x 2≠﹣1，且x 1＜x 2，然后作差，通分，说明x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1），或x 1，x 2∈（﹣1，+∞）上时都有f （x 1）＜f （x 2），这样即可得出f （x ）的单调区间； ②根据f （x ）的单调性便知f （x ）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f （x ）=112++x x =11)1(2+-+x x =2-11+x ； 该函数的定义域为{x|x ≠﹣1}，设x 1，x 2∈{x|x ≠﹣1}， 且x 1＜x 2，则：f （x 1）- f （x 2）=112+x -111+x =)1)(1(2121++-x x x x ； ∵x 1＜x 2；∴x 1﹣x 2＜0；∴x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1）时，x 1+1＜0，x 2+1＜0；x 1，x 2∈（﹣1，+∞）时，x 1+1＞0，x 2+1＞0；∴（x 1+1）（x 2+1）＞0；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）； ②由上面知f （x ）在[3，5]上单调递增；∴f （3）≤f （x ）≤f （5）；∴7／4≤f （x ）≤11／6；∴f （x ）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f （x ）+2f （x1）=3x ．（1）求f （x ）的解析式及定义域；（2）指出f （x ）的单调区间并加以证明 解：（1）由 f(x)+2f(x 1)＝3x ①，用x 1代替x ，得 f(x 1)+2f(x)＝x 3 ②；②×2-①，得 3f(x)＝x6-3x ，所以 f(x)＝x2-x （x ≠0） （2）由（1），f(x)＝x 2-x （x ≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间． 事实上，任取x 1，x 2∈（-∞，0）且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)＝12x -x 1-22x +x 2＝2121)(2x x x x --(x 1-x 2)＝(x 2-x 1)• 21212x x x x +， ∵x 1＜x 2＜0∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，2+x 1x 2＞0，所以 (x 2-x 1)• 21212x x xx +＞0，即f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在（-∞，0）上递减． 同理可证其在（0，+∞）上也递减 12.证明：f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数 分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+211-x ）-（x 2+212-x ）=（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ， ∵x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1﹣2＞1，x 2﹣2＞1，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＞1，∴（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数． 同理可证，f （x ）=x+21-x 在（2，3]上是减函数 【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x 解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221-∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2， 当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
函数的单调性在解题中十个方面的应用举例
函数的单调性在解题中十个方面的应用举例函数的单调性是函数的一条重要性质，通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些数学问题，若解题中注意应用函数的单调性，可以使问题的解决简捷明快；它是历年高考重点考查的重要内容之一，它在中学数学的应用十分广泛。
本文通过利用函数的单调性解方程、解不等式、证明不等式等问题的例子，探讨函数单调性在解题中的应用。
1利用函数的单调性比较大小2利用函数的单调性解方程３利用函数的单调性解方程根的问题x2+x+1=0至多有一个实根。
４利用函数的单调性解不等式例4解不等式（2x-1）5+2x-1<x5+x解：原不等式两边的结构都是t5+t的形式，故令f（t）=t5+t，则原不等式可写为f（2x-1）<f（x）∵f（t）=t5+t在（-∞，+∞）上是增函数，由f（2x-1）<f（x）得2x-1<x，解得x<1∴原不等式的解是x<1５利用函数的单调性求值６利用函数的单调性求最大（小）值例6 已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，点P坐标为（-3，0）。
求当D在轴上移动时，得最大值。
７利用函数的单调性求取值范围例7若关于x的方程cos2x+2asinx-3a-1=0有实数解，求a的取值范围。
故当sinx=1时，a最小=-1，因此，a的取值范围是-1,<a<0８利用函数的单调性证明条件等式９利用函数的单调性证明条件不等式10利用函数的单调性证明函数的性质例10试证函数f（x）=x-asinx（x∈R，０≤a，１）有反函数。
参考文献1谭森.函数单调性的应用花名册.高中数理化，2010（10）2胡岩火等.函数单调性在解题中的一些应用.数学通报，1993（02）3李国勤.巧用函数的单调性证明不等式./xxff/200510/gaoshu/42.htm4边锡栋.函数单调性的应用.学勉数学网5杨晓.函数的单调性在解题中的应用/wu51/keyan/shu15.doc2007-6-13。
函数的单调性案例分析
猜商品的价格
求方程的解的问题可以转化为求函数的零点的问题. 零点一定在函数值异号的两个自变量的值之间，它 就是方程的解．再根据精确度的要求，逐步缩小区 间就行了．
方程解的问题 找函数零点的问题
怎样逼近
缩小区间 怎样缩小区间 用二分法来缩小
感谢各位专家和同行！
问题5： 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA, 在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果 对于区间I内的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
我认为这节课如果结合多媒体教学，让学生结 合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性 效果会更好些。
用二分法求方程的近似解
引导学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思 想． 引导学生去探索缩小区间的“方法”．
逼近思想应该让学生去探索． 前一节课已经研究了函数零点的概念，研究了函 数零点附近两侧的函数值异号的特性，这两者就 构成了思考这节课问题的基础，就能成为这节课 要学习的知识的生长点．因而，这节课的教学就 应该建立在这个生长点上．
案例分析
南京市金陵中学 凌惠明
函数的单调性
《函数的单调性》是苏教版高中数学必修一第 二章第2.1.3节的内容，共2课时，我讲的是第一课 时中一些教学内容的处理方法．
情境的创设
在一杯温水中，加入适量的糖，随着糖的不
断加入，杯中的糖水就越来越甜． 问题1：
在这一现象中，有定量也有变量，哪些是定 量，哪些是变量？
感受生活中的对称之美
用对称的观点看函数图象
y
函数的单调性·典型例题精析
2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是． 而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221 ∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．。
《函数的单调性》教学案例及分析
《函数的单调性》教学案例及分析教学过程：一、创设问题情境提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。
因为周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。
提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生能够把问题归结为：设受限制一边长为 x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。
如何求最小值和最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像能够得出结论。
多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。
设计说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像能够直观地得出结论，但是缺乏理论依据。
指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。
这样能够培养学生严谨的治学态度。
1.几何画板演示，点明课题。
多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。
用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。
2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于 区间．．I ．内的 任意两个值．．．．．x ．1．和．x ．2．，当x 1＜x 2时，都有．． f （x 1）＜f (x 2)那么就说函数f(x)在这个区间I 上是单调增函数（increasing fuction ）。
区间I 称为函数f(x)的单调增区间(increasing interval)。
如果对于 区间．．I ．内的 任意两个值．．．．．x ．1．和．x ．2．，当x 1＜x 2时，都有．． f （x 1）﹤f (x 2)那么就说函数f(x)在这个区间I 上是单调减函数（decreasing fuction ）。
函数的单调性案例分析
（3）、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运 用定义；
（4）、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题． 3、教学目标分析
1、教学原则 (1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教， 学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程 中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题 7 的提 出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入， 和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原 因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂 氛围。 (2)实践性原则：在教学中要重视理论联系实际，要结合实例进行教学，鼓励学生 动口、动脑、动手，让学生参与到数学概念的形成过程；要组织有效的练习，引导学生 运用所学到的知识去解决实际问题，使学生获得运用知识的能力。函数的单调性定义应 用只设计了一个典型的范例函数，这一过程由学生来完成，但学生的证明过程也存在一 定问题，老师再次强调定义，对照解答的层次性，再让学生自主订正，使学生自主进行 学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行 反思、质疑，总结出解题的步骤和规律。问题 5 的提出起到前后呼应，加深印象、画龙 点睛的作用，既是对本节课的反馈，又是引发对本节课的思考。由于时间的关系，课上 讨论的并不透彻和完美，但给学生课后进一步的思考、探究留下了空间。 (4)激励性原则：要帮助学生实现成功，让学生在学和做中能经常感受到成功的喜 悦和愉悦，认识到自身的价值，以此来激励学生的求知欲和成就感，从而培养学生的自 尊心和自信心，增强学生的创造动机和创造热情，使学生能不断地追求新知，积极进取， 勇于创新。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
高中数学教学课例《函数单调性》课程思政核心素养教学设计及总结反思
呢 设计说明:给出函数单调性的数学语言。通过教师指图 说明,分析定义,提问等办法,使学生把定义与直观图象 结合起来,加深对概念的理解,渗透数形结合分析问题 的数学思想方法。 问题 4:如果函数 y=x2 在区间[-3,3]内存在-1<2,恰有 f(-1)<f(2),那么函数 y=f(x)在该区间上一定是单调 递增的吗 5 问题 5:函数 x xf1)(=是减函数吗 设计说明:通过学生的积极思维探索,从抽象到具体,并 通过反例反衬,使学生对概念有了本质的认识,同时也 锻炼了学生的逻辑思维能力 (三)学以致用,理解感悟 例 1:证明函数 xxxf1)(+=在(0,1)上单调递减。设计说 明:主要考查定义法。让学生归纳证明单调性的一般步 骤,使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方 法,强化证题的规范性,从而提高学生的推理论证能力。 通过解题,帮助学生初步构建解题模式。 练习:函数 21 )(xxf=在()+∞,0 上是增函数。 设计说明:请学生板演,然后由其他学生完善步骤.
(一)创设情境,引入课题 问题 1:科考队对沙漠气候进行科学考察,下图是某天 气温随时间的变化曲线.请你根据曲线图说说气温的变 化情况
设计说明:设置悬念,从实际生活出发使学生懂得 数学来源于生活,激发学生的求知欲望 教学过程 问题:2:观察下列函数图象,请你说说这些函数有什么 变化趋势 设计说明:明确目标、引起思考。给出函数单调性的图 形语言,调动学生的参与意识,通过直观图形得出结论, 渗透数形结合的数学思想。 (二)引导探索,生成概念 问题 3:如何用数学语言准确刻画函数在区间 D 上递增
高中数学教学课例《函数单调性》教学设计及总结反思
学科
称
本节课是北师大版《数学》(必修 1)第二章第 3 节
函数的单调性案例分析 PPT
那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
问题6： 如何定义单调减函数和单调减区间呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A，如 果对于区间I内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，
困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性 的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某 区间上“随着x的增大，y也增大”(单调增)这一特 征用该区间上“任意的x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)”(单 调增)进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区 间上“任意”取两个大小不等的x1，x2．
大家学习辛苦了，还是要坚持
输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有
θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增 大而增大．
O
t
取区间内n个输入值t1，t2，t3，…， tn， 得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在 t1＜t2＜t3＜…＜tn时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn ，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大 ．
在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2 ，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t 的增大而增大．
问题5：
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA, 在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果 对于区间I内的任意两个值x1，x2，
y
M x
O M'
此情景目的在于引导学生自主发现，
仅凭观察判断函数图象的对称性是不可靠 的，从而引发学生探求问题本质的动机．
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。
常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。
二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。
《函数单调性》教学案例
《函数单调性》教学案例第一篇：《函数单调性》教学案例《函数单调性》教学案例1.【案例背景】“函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。
“课标”规定两个课时，所选案例为第一课时。
函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。
在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。
2.【教学内容分析】首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．其次，从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.3.【学情分析】高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。
函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。
高一数学单调性教学案例分析
河北师范大学2021级数学专业15-16-1学期中学学科教学案例分析年级：_ __ 2021级学号：___2021012823____姓名：_ ___ 王宇日期：2021 年10月30日“函数的单调性〞教学案例分析一．内容介绍1.教材内容分析本节课“函数的单调性〞是?普通高中课程标准实验教科书·数学必修1·A版?第一章第三节的内容，函数单调性的实质是对函数运动趋势的研究，它既是函数的根本特征之一，又为后面根本初等函数的研究提供了一般方式，为研究不等关系提供了重要依据。
研究函数的单调性是从观察具体图像入手，定量分析数值关系，最终抽象出形式化概念的根本研究方式入手，表达了数学的数形结合和归纳转化的思想方式，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式，这对培育学生以图识数、开展学生的思维能力，掌握学生的思想方式具有重大意义。
2.学生情况分析本节内容学生在初中已有了较为粗略的熟悉，即主要按照观察图像得出结论。
本节课中函数增减性的概念，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的概念，学生经受起来可能比拟困难。
在引入概念时，要始终结合具体函数的图像来进展，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方式，方便学生理解，对于概念，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性〞的理解，多给学生操作和思考的时间和空间。
二 .教学目标1 .知识与技术理解函数单调性的含义，了解增函数、减函数和单调区间等概念的形成进程。
2 .进程与方式掌握用概念证明和验证函数单调性的方式和步骤，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的进程。
3 .情感态度与价值观通过自主探讨活动，体验数学概念形成的进程，体会从特殊到一般的进程。
三 . 教学重、难点1 .教学重点形成增函数和减函数的形式化概念。
2 .教学难点在形成增〔减〕函数概念的进程中，从图像起落的直观熟悉过渡到函数增减的数学符号语言表述；用概念证明函数的单调性。
函数的单调性教学案例分析
函数的单调性教学案例分析第一篇：函数的单调性教学案例分析函数的单调性教学案例分析一、内容介绍 1.教材内容分析“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基本特征之一，这一知识也为基本初等函数的研究提供了方法。
对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。
2.学生分析本节课是在学生初中已有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。
在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体，方便学生的理解。
在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。
二、教学目标 1.知识与技能理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2.过程与方法掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3.情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三、教学重难点 1.教学重点形成增函数和减函数的形式化定义。
2.教学难点：在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。
四、教学基本流程 1.创设情境，引入概念通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。
函数的单调性教学案例分析
函数的单调性教学案例分析一、内容介绍1.教材内容分析“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基本特征之一，这一知识也为基本初等函数的研究提供了方法。
对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。
2.学生分析本节课是在学生初中已有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。
在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体，方便学生的理解。
在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。
二、教学目标1.知识与技能理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2.过程与方法掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3.情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三、教学重难点1.教学重点形成增函数和减函数的形式化定义。
2.教学难点：在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。
四、教学基本流程1.创设情境，引入概念通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。
设计意图：通过学生的直观认识引入新课，让学生对函数的单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西。
函数单调性的判断与证明
图像判断法
绘制函数图像
通过描点或利用计算机绘制出函数的图像。
观察图像走势
通过观察图像上各点的高低走势来判断函数的单调性。若图像在某区间内持续 上升，则函数在该区间内单调递增；若图像持续下降，则函数在该区间内单调 递减。
03
函数单调性证明方法
Chapter
定义法证明
01
选定区间内任取两点$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$），计算函 数值$f(x_1)$和$f(x_2)$。
举例验证
通过具体例子验证复合函数单调性判断的正确性。
隐函数单调性判断与证明
隐函数求导
利用隐函数的求导法则，求出隐函数的导数表 达式。
单调性判定
根据导数的符号，判断隐函数在其定义域内的 单调性。
举例验证
通过具体例子验证隐函数单调性判断的正确性。
06
函数单调性应用举例
Chapter
在不等式证明中的应用
三角函数和反三角函数
正弦函数$y=sin x$在$[-frac{pi}{2}+2kpi, frac{pi}{2}+2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调 递增，在$[frac{pi}{2}+2kpi, frac{3pi}{2}+2kpi]$ （$k in mathbb{Z}$）上单调递减。
利用函数单调性证明不等式
通过构造函数，利用函数的单调性，将不等式问题转化为函数值的大小比较问题，从而 简化证明过程。
利用函数单调性解不等式
通过函数的单调性，确定不等式的解集范围，从而求解不等式。
在方程根的存在性及根的个数判断中的应用
利用函数单调性判断方程 根的存在性
通过函数的单调性，结合中值定理等工具， 判断方程在某个区间内是否存在根。
1.9 函数的单调性(一)
观察下列两组图像有何特点?
y y y
上升
1
第一组： 第一组：
1 1
：
1 x
-1 -1
1
x
-1 -1
1
x
-1 -1
Байду номын сангаас第二组： 第二组：
y
y
y
下降
1 1 1 -1 -1 1 x -1 -1 1 x -1 -1 1 x
：
画出下列函数的图象，观察其变化规律： 画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1） f(x) = x
（2） f (x) = x2
左至右图象上升还是下降 图象上升还是下降? 1.从左至右图象上升还是下降? 1.在区间 _______上，f(x)的值 (-∞,0] _______上 f(x)的值 上升 减小 随着x ______． 随着x的增大而 ______． (-∞,+∞) _________上 随着x 2.在区间 _________上，随着x 2.在区间 _______ 上，f(x)的 [0,+∞) f(x)的 的增大,f(x) ,f(x)的值随着 增大 的增大,f(x)的值随着 ______ ． 值随着x的增大而 _____． 增大 值随着x _____．
实例分析 我市某水库8 我市某水库8月1日0时的水位距警戒线4.5米。据 时的水位距警戒线4.5 4.5米 气象部门预报8 日后我市区域仍将持续降雨， 气象部门预报8月1日后我市区域仍将持续降雨，水库 水位将以每天0.5米的速度上涨， 0.5米的速度上涨 水位将以每天0.5米的速度上涨，若全市抗洪紧急动 员后，全体抗洪人员到位还需1 员后，全体抗洪人员到位还需1天。 最迟到几号如果下雨仍不止， 问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧急动 员令？ 员令？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学教学案例
函数单调性 弋阳一中 陈鲜花
教学目的：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。
教学重点：函数单调性的概念与判断 一、问题情境
1.情境：函数是描述事物运动变化规律的数学模型。
如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律。
因此研究函数的性质是非常重要的。
2.问题：2008年北京奥运会开幕式由原定的7月25日推迟到8月8日，你知道其中的原因吗？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？ 二、学生活动
问题1 分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y= x 2
以及y ＝1x (x ≠0)的图象,并观察自变量变化时,函数
值有什么变化规律?
在学生画图的基础上,引导学生观察图象,获得信息:第一个图象从左往右上升,y 随 x 的增大
（1）
y
x
O y ＝x ＋1， x ∈R
（2）
y
x
O
y ＝-x ＋1， x ∈R
（3）
y x O y ＝x 2，
1 1
2 y
x
O y ＝1x
， x ∈(0,+∞) 1 （4）
1
而增大;第二个图象从左往右下降, y 随 x 的增大而减小.对第三,第四个图象进行讨论,让学生知道函数这两个性质是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题 2 能否用自己的语言来说明“图象呈逐渐上升趋势”与“图象呈逐渐下降趋势”的意思？ 讨论得到:
在相应区间上较大自变量对应较大函数值——图象呈逐渐上升趋势 在相应区间上较大自变量对应较小函数值——图象呈逐渐下降趋势 问题 3如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 学生讨论老师指导
师:能不能说，由于x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5就说随着x 的增大，函数值y 也随着增大？ 生:不能.应该对定义域内的每个自变量都成立 师:那我们在理解函数概念的时候要抓住什么关键词? 生:在定义域内的某个区间上,都有
师:回答的很好,反比例y ＝1
x (x ≠0)在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数,能否说它整个定义域上是
减函数?
生:不能!因为离开了定义域根本谈不上增减性.
师:继续考虑:我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的?为什么? 生:不能因为此时函数是一个数.
师:对!函数在某点上,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以在求单调区间时,若端点在定义域内,包不包括端点都可以,但我们要求”能逼则逼”.
那么,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间。
三、数学应用
例1如图所示是定义在[0，24]上的函数f(x)的图象,说出f(x)的单调区间,并回答每一个区间上, f(x)是增函数还是减函数?
y
x
O
y ＝f (x )，x ∈[0，24]
1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
2
4 6 8
10
－2
例2观察下列函数的图象（如图5），并指出它们是否为定义域上的增函数：
学生总结：函数y ＝(x －1)2与y ＝|x －1|－1的图象在x ≥1时随着x 值的增大而上升，在x ≤1时随着x 的值的增大而下降．所以，这两个函数在定义域上不是增函数 例3 证明函数f (x )＝－
x
1
－1在区间(－∞，0)上是增函数． 证明 设 x 1＜x 2＜0，则x 1－x 2＜0且x 1x 2＞0．因为 f (x 1)－f (x 2)＝（－11x －1）－（－2
1x －1）＝
21x －11x ＝2121x x x x ＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以，函数f (x )＝－x
1
－1在区间(－∞，0)上是增函数．
例4 讨论函数f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内的单调性 解: ∵f(x)=x 2-2ax+3=(x －a)2+3- a 2,对称轴为x=a, ∴若a ≤-2,则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内是增函数;
若-2≤a ≤2,则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,a)内为减函数,在(a,2)内为增函数； 若a ≥２，则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内为减函数。
四、课堂练习
课后练习第1、第2、第5题。
五、课堂小结
本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法． 六、课外作业
习题2．3：第1题、第2题、第4题、第8题。
七、教学总结
在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为函数单调性的“发现者”和“创造者”，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
创设数学情境是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内
图5
o 1
x
y y ＝(x －1)2
y
o
－1
x
1
y =|x －1|－1
容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。
教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。
因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。
教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。