初高中数学衔接预习教材解析版 第12节分式不等式和特殊的高次不等式的解法

【例 1】 解不等式： x - 3 < 0⎩ ∵ ⇔ - 7 < x < 3 ，x + 7x + 7 ≠ 0小结：（1）ax + b. ； x + 1(2) x + 3解集为{x | x < -2或x ≥ - } ．⎧(3x + 5)(x + 2) ≥ 0第 12 节分式不等式和特殊的高次不等式的解法1．简单分式不等式的解法x + 7．解：解法 1：化为两个不等式组来解：∵ x - 3 ⎧x - 3 > 0 ⎧x - 3 < 0 < 0 ⇔ ⎨ 或⎨ ⇔ x ∈φ或 - 7 < x < 3 ⇔ - 7 < x < 3 ，x + 7 x + 7 < 0 ⎩x + 7 > 0∴原不等式的解集是{x | -7 < x < 3}．解法 2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．x - 3⎧( x - 3)( x + 7) < 0⎩∴原不等式的解集是{x | -7 < x < 3}ax + b< 0 ⇔ (ax + b )(cx + d ) < 0 ； > 0 ⇔ (ax + b )(cx + d ) > 0 cx + d cx + d（2） ax + b cx + d⎧(ax + b )(cx + d ) ≤ 0 ax + b ⎧(ax + b )(cx + d ) ≥ 0≤ 0 ⇔⎨ ≥ 0 ⇔⎨⎩cx + d ≠ 0 cx + d ⎩cx + d ≠ 0练习 1：解下列不等式：(1) 2 x - 3 < 0x 2 - x + 1≥0 解：（1）原不等式可化为： (2 x - 3)(x + 1) < 0 ⇒ -1 < x <3 3，所以原不等式的解集为 {x | -1 < x < } ． 2 21 (2) ∵ x2 - x + 1 = ( x - )2 + 23 4> 0 ，原不等式可化为： x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3 ，所以原不等式的解集为 {x | x ≥ -3}．【例 2】解不等式1≤ 3 ．x + 2解：原不等式可化为：1 -3x - 5 3x + 55 - 3 ≤ 0 ⇒ ≤ 0 ⇒ ≥ 0 ⇒⎨ ⇒ x < -2或x ≥ - ，所以原不等式的x + 2 x + 2 x + 2 ⎩ x + 2 ≠ 0353说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为 0．练习 2：解下列不等式（1） 5 2 x - 1> 1 （2） ≥ 3x x + 2解：（1）5 - x x> 0 ⇒ x ( x - 5) < 0 ⇒ 0 < x < 5 ，所以原不等式的解集为{x | 0 < x < 5}．（2）2x-1x+7-3≥0⇒≤0⇒-7≤x<-2，所以原不等式的解集为{x|-7≤x<-2}．x+2x+2归纳小结：解分式不等式的一般步骤是：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x)>0(或<,≤,≥)的形式，g(x)然后转为f(x)g(x)>0(或<,≤,≥)．2．简单的高次不等式的解法【例1】解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解法一（列表法）：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下：-213x+2x-1x-3各因式积----+--+++--++++④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}．小结：此法叫列表法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x)(x-x)⋅⋅⋅(x-x)>0(<0)形式（各项x的系数化为正数），令12n(x-x)(x-x)⋅⋅⋅(x-x)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个12n分界点把数轴分成n+1部分……；②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面各因式积的符号写出不等式的解集．解法二：（穿根法）①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2，1，3，在数轴上表示这三个数，②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点则；③若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,找“线”在x轴下方的区间.由图可知，原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}．小结：此法叫穿根法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x)(x-x)⋅⋅⋅(x-x)>0(<0))形式，并将各因式x的系数化“+”；12n②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间．注意：奇穿偶不穿【例2】解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x)n时，n为奇数时，曲线在x点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x点处不穿过数轴，不111妨归纳为“奇穿偶不穿”．练习1：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如图：④∴原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}．说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉．练习2：解不等式< 0 （5） 3x + 1 > -1 （3） 3 - x 3x 3 - 1（1） x - 2 <（2） ( x 2 - 7 x + 12)(6 - x - x 2 ) < 0（3） ≥ 0x( x + 2)( x - 3)解：（1）x 2 - 2 x - 3x< 0 ⇒ x ( x + 1)(x - 3) < 0 ⇒ x < -1 或 0 < x < 3 ，所以原不等式的解集为{x | x < -1 或 0 < x < 3}．（2） ( x + 3)(x - 2)( x - 3)(x - 4) > 0 ，所以原不等式的解集为{x | x < -3 或 2 < x < 3 或 x > 4}．( x - 1)(x 2 + x + 1) ⎧( x + 2)(x -1)(x - 3) ≥ 0（3） ≥ 0 ⇒⎨( x + 2)( x - 3) ⎩ x ≠ -2 且 x ≠ 3所以原不等式的解集为{x | -2 < x ≤ 1 或 x > 3}．1．解下列不等式：（1） ( x - 2)2 ( x - 3) ( x - 2)2 ( x - 3) ( x - 2)2 ( x - 5)< 0 （2） ≤ 0 （3） ≤ 0x + 1 x + 1 x - 4( x - 2)2 ( x - 3)3( x - 5)(x - 3)2（4）≤ 0x + 1( x -1)2 ( x - 2)2．解下列不等式：(1) 2 x 2 + 3x + 1 2 x 2 + 3x - 7 > 0 （2） ≥ 1 （4）3x 2 - 7 x + 2 x 2 - x - 2x - 1 x + 1< x + 1 x - 13．解下列不等式： (- x 2 + x + 12)( x + a ) < 02．（1）{x|x<-1或-1<x<或x>2}（2）(-2,3)答案：1．（1）{x|-1<x<2或2<x<3}（2）{x|-1<x≤3}（3）{x|x=2或4<x≤5}（4）{x|-1<x<2或2<x<3}（5）{x|2<x≤5}123（3）{x|x≤-5或-1<x≤1或x>2}（4）{x|-1<x<0或x>1}3．解：(x+3)(x-4)(x+a)>0①当-a>4，即a<-4时，解集为(-3,4) (-a,+∞)；②当-3<-a<4，即-4<a<3时，解集为(-3,-a) (4,+∞)；③当-a<-3，即a>3时，解集为(-a,-3) (4,+∞)；④当-a=4，即a=-4时，解集为(-3,+∞)；⑤当-a=-3，即a=3时，解集为(4,+∞)．。