高三理科数学一轮复习试题选编10：平面向量的数量积(学生版)

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新高考数学一轮复习练习-平面向量的数量积(基础)(解析版)

10.2 平面向量的数量积（基础）一、单选题1．（2021·济南市历城第二中学高三开学考试）若与的夹角为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由得，∴即，设向量与的夹角为，则，又∴.故选：A.2．（2021·甘肃城关·兰州一中高三月考（文））已知向量，的夹角为60°，，，则（）A ．2B ．C ．D．12【答案】C【解析】，所以故选：C.3．（2021·四川省乐山第一中学校高三月考（理））已知平面向量，，且，则（）A ．4BC ．D ．5【答案】D【解析】由，得，所以，则，，a b a +=- a b +a π6π32π35π6a b a b +=- 22()()a b a b +=-222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+0a b ⋅= a b +a θ2)cos (ab a a a a b a a a a b b θ=+⋅+⋅+⋅+==a b a +=- cos θ=6πθ=a b2a = 1b = 2a b +=()222222224444cos 123a b a ba b a b a b a b π+=+=++⋅=++⋅= 2a b += (2,)a m →=(2,1)b →==a b a b →→→→-+=a b →→+222222=a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→-+⇒⋅=++⋅+-0a b →→⋅=40m +=4m =-(4,3)a b →→+=-所以.故选：D.4．（2021·江苏苏州·高三月考）已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（）A ．B ．CD【答案】A【解析】由题意可知，，则解得故选：A5．（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中高三月考（理））已知向量则（）ABC ．D ．5【答案】B【解析】由题意，则故选：B6．（2021·安徽镜湖·芜湖一中（理））已知，则（）AB ．CD ．【答案】B【解析】故选：B.7．（2021·安徽镜湖·芜湖一中（理））已知，若，则（）A ．B ．C ．D ．||5a b →→=+=a b 1,12a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a b 38-34-2221521211cos ,1124a b a a b b a b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯⨯⋅+=+= ⎪⎝⎭3cos ,8a b =-1(2,0),(1),2a b ==- 2a b += 12(2,0)2(,1)(1,2)2a b +=+-=r r a += (2,3),(3,1)a b ==- cos ,a b 〈〉= cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅(2,3),(,1)a b λ→→=-=(2)a b a →→→+⊥λ=7474-2323-【解析】解：由题可知，，，由于，则，解得：.故选：B.8．（2021·四川省乐山第一中学校高三月考（理））《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的儿何图形一八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形的边长为2，是正八边形内的一点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：因为每个三角形的顶角为．的模为2，根据正八边形的特征，所以所以如下图所示，在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是．(2,3),(,1)a b λ→→=-=2(22,1)a b λ→→∴+=+-(2)a b a →→→+⊥4430λ++=74λ=-ABCDEFGH P ABCDEFGH AP AB ⋅(4-(-(44--(4-+360458︒=︒AB cos 452AH ⋅== cos 452BC ⋅== AP AB(2+AP AB ⋅AB AP AB AP AB ⋅(4-+9．（2021·河西·天津实验中学高三月考）“”是“与夹角为钝角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，可得，所以与夹角为钝角或是，所以由“”得不出“与夹角为钝角”，故充分性不成立；若“与夹角为钝角”，即，所以，所以，所以由“与夹角为钝角”可得出，故必要性成立，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B.10．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，0a b ⋅< a bcos 0a b a b a b ⋅=⋅⋅⋅< cos 0a b ⋅< 90180a b <⋅≤a b180 0a b ⋅< a ba b 90180a b <⋅< cos 0a b ⋅< cos 0a b a b a b ⋅=⋅⋅⋅<a b 0a b ⋅<0a b ⋅< a ba b 60()=2,0a =1b 2a b- 2412()=2,0a=2a 1cos 602112a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= ()22222244a b a b a b a b-=-=+-⋅ 2224424414a b a b =+-⋅=+-⨯=所以，故选：B.11．（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量与向量的夹角为，则（）ABCD【答案】D【解析】由题意，又故选：D12．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）非零向量，满足，且，则为（）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】，，分别为单位向量，的角平分线与垂直，，，，，为等边三角形．故选：D ．13．（2021·抚顺市第二中学高三模拟预测）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）22a b -=()1,1a =-()1,3b =- θsin θ=cos ||||a b a b θ⋅===r r r r [0,]sin 0θπθ∈∴≥sin θ∴==AB AC 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅= ABC V 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭||AB AB||ACAC A ∴∠BC AB AC ∴=1cos 2||||AB AC A AB AC =⋅=3A π∴∠=3B C A π∴∠=∠=∠=∴ABC V a b 2b a = ()b a a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，又，又故选：B14．（2021·全国高三月考（文））已知向量，，则下列结论正确的是（）A ．，B ．，使得C ．，与的夹角小于D ．，使得【答案】A【解析】因为，，又，所以.故正确；，若，则，解得，故错误；设与的夹角为，则当时，，夹角为，故C 错误；因为，π6π32π35π6()b a a -⊥()22||||cos ,||0b a a a b a a b a b a ∴⋅-=⋅-=<>-=2b a=||1cos ,2||a a b b ∴<>==cos ,[0,]a b π<>∈ ,3a b π∴<>=2cos ,sin 33a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1,=b x R x ∀∈231a b -> (),0x ∃∈-∞()//a b b + [)0,x ∀∈+∞a b3πR x ∃∈()b a b -⊥ 21cos ,sin332a ππ⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝ ()1,=b x ()()123231,32a b x x ⎛-=-=- ⎝221a -≥> A 32a b x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭()//a b b + 32x x =x =x =()//a b b +B a b θcos a b a b θ⋅==⋅ 0x =1cos 2θ=3πθ=()221115=,,022216b a x b a b x x x x ⎛⎛⎛--⋅=+=+=+> ⎝⎝⎝所以不存在，使得，故D 错误.故选：.15．（2021·贵州贵阳一中高三月考（理））已知向量，且，则（）A ．B ．C ．2D ．-2【答案】D【解析】因为，，所以，又因为，所以，化简得.故选：D.二、多选题16．（2021·广东荔湾·高三月考）已知向量，，则下列说法正确的是（）A ．若，则的值为B ．的最小值为1C ．若，则的值为2D ．若与的夹角为钝角，则的取值范围是且【答案】BCD【解析】选项A ，，A 选项错误；选项B ，，当时取等号，B 选项正确；，C 选项正确；D 选项，与的夹角为钝角，则，且两个向量不能反向共线，注意到A 选项，时，，于是且.故选: BCD.17．（2021·全国高三专题练习）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（）x ()b a b -⊥A (1,2),(1,3)a b ==- ()ma nb b +⊥ m n=12-12()1,2a =r()1,3b =- (),23ma nb m n m n +=-+ ()ma nb b +⊥ ()()()3230ma nb b m n m n +⋅=--++= 2mn=-()2,1a =-r ()1,b t =ra bP t 2-a b +a b a b +=- t a b t 2t <12t ≠-12112a b t t ⇔-⋅=⋅⇔=-r r P (1,1a b t +=-≥1t =-(3,1a b -=- =2t =a b20a b t ⋅=-< 12t =-2a b =- 2t <12t ≠-a b 3πc ()()0a c b c -⋅-=A．B ．CD ．与的夹角是钝角【答案】BC【解析】对于A 选项，，故，A 错；对于B 选项，，故，B 对；对于CD 选项，作，，，则，，，所以，，故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示：设线段的中点为点，，所以，，C 对，以、为邻边作平行四边形，则，则为向量与的夹角，当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值，连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，D 错误.故选：BC.18．（2021·湖北高三开学考试）已知，，则下列说法正确的有（）A ．在B ．与同向的单位向量是C．D ．与平行【答案】ABC1a b += 1a b -=r ra b + c2222222cos 33a b a b a b a b a b π+=++⋅=++⋅= a +r 2222222cos 13a b a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅= 1a b -=r r OA a = OB b = OC c =OA OC a c CA --== b c OB OC CB -=-=()()0a c b c CA CB -⋅-=⋅= CA CB ⊥C AB AB D 1122DC AB == c OC OD ==+< OA OB OAEB OE OA OB a b =+=+EOC ∠a b + cOC D C C 'EOC ∠DC DC OC ⊥EOC ∠a b + c()3,1a =- ()1,2b =-ra ba π,4a b =a b【解析】对于A：因为，，所以在方向上的投影为故选项A正确；对于B，所以与同向的单位向量是，即，故选项B正确；对于C：由，因为，所以故选项C正确；对于D：因为，所以与不平行，故选项D错误，故选：ABC.19．（2021·湖北高三开学考试）已知，，且，则（）A．B．C．D．若，则【答案】ACD【解析】因为，所以，即，解得或（舍），故选项A正确；由得，所以，故选项B不正确；，故选项C正确；若，则，所以，所以，故选项D正确.()3,1a=-()1,2b=-r=()()31125a b⋅=⨯+-⨯-=aba bb⋅===acosa ba ba b⋅⋅===[0,π]a b⋅∈π,4a b=()()3211⨯-≠-⨯ab()sin,cos25aαα=+()3sin7,1bα=+-a b⊥3sin5α=24sin225α=7cos225α=22ππα-<<tan()74πα+=a b⊥()sin3sin7cos250ααα--+=25sin7sin60αα+-=3sin5α=sin2α=-3sin5α=4cos5α=±24sin225α=±27cos212sin25αα=-= 22ππα-<<cos0α>3tan4α=31tan14tan7341tan14πααα++⎛⎫+===⎪-⎝⎭-故选：ACD.20．（2021·重庆高三开学考试）已知向量，，则下列结论正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】AC【解析】由，得，则A 正确，B 错误；由，得，即，则C 正确，D 错误．故选：AC ．21．（2021·江苏省前黄高级中学高三模拟预测）已知向量，，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．与的夹角为D ．【答案】ABCD【解析】对于A ：因为，，所以，则，所以，故选项A 正确；对于B ：由，故选项B 正确；对于C ：，，与的夹角为，所以，因为，所以，故选项C 正确；对于D ：，故选项D 正确；故选：ABCD.22．（2021·江苏高三开学考试）设，是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（）A ．若，则和的夹角为B ．若，则和的夹角为C ．若，则和方向相同D ．若，则和b 的夹角为钝角【答案】ABC(),2a m =()1,b n =- //a b20mn +=//a b20mn -=a b ⊥20m n -=a b ⊥20m n +=//a b 20mn +=a b ⊥20n m -=20m n -=()1,0a =()2,2b = ()4a b b-⊥b =a b45 ()25,4a b +=()1,0a =()2,2b = ()42,2a b -=- ()422220a b b -⋅=⨯-⨯= ()4a b b -⊥()2,2b = =12022a b ⋅=⨯+⨯= 1a = b = a bθcos θ=0180θ≤≤ 45θ= ()()()21,022,25,4a b +=+=a ba b a b ==-r r r r a b 3πa b a b ==+ a b 2π3a b a b +=+ a b0a b ⋅< a【解析】，，，构成等边三角形，A 正确；由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B 正确；，则与同向，C 正确；若，则和的夹角为钝角或者，D 错误，故选：ABC.三、填空题23．（2021·孟津县第一高级中学高三月考（理））已知向量，满足，且，则，夹角的余弦值为___________.【答案】【解析】依题意，，则，故，则.故答案为：24．（2021·孟津县第一高级中学（文））已知向量，若，则______.【答案】【解析】因，则，又，且，于是得，即，解得，所以.故答案为：25．（2021·深圳市第七高级中学高三月考）平面向量与的夹角为，，，则_______.【答案】【解析】∵向量与的夹角为，，，∴，a b a b ==- a b a b - a b a b ==+ a b 2π3()22,0a b a b a b a b a b a b a b +=+⇒+=+⇒⋅=⋅⇒= a b 0a b ⋅< a b πa b 3||2||6a b == 2))((2a b a b ⊥-+ a b 59-(2)(2)0a b a b -⋅+= 222320a a b b -⋅-= 224323cos 230θ⨯-⨯⨯⋅-⨯=5cos 9θ=-59-(2,3),(1,3),(1,)c a b λ=-=-= (2)a b c +⊥ λ=49(2,3),(1,3)a b =-=- 2(4,9)a b +=- (1,)c λ= (2)a b c +⊥ (2)0a b c +⋅= 490λ-=49λ=49λ=49a b 90︒()2,0a = 1b = 2a b +=a b 90︒()2,0a = 1b = ||2a →∴=12cos900a b ⋅=⨯⨯︒=则，故答案为：．26．（2021·云南玉溪·高三月考（文））已知中，，，，点是线段的中点，则______．【答案】【解析】由题意知，，有，所以为直角三角形，将放在平面直角坐标系中，如图，，又M 是AB 的中点，则，有，所以，故答案为：27．（2021·洛阳市第一高级中学高三月考（文））若非零向量满足，，则与夹角的大小等于______.【答案】【解析】由得：，即，又，，a +=== ABC V 3AC =4BC =5AB =M AB CM CA ⋅= 92453BC AB AC ===，，222AB AC BC =+ABC V ABC V (00)(30)(04)C A B ，，，，，3(2)2M 3(2)(30)2CM CA == ，39(2)(30)22CM CA ⋅=⋅= ，，92,a b 2a b = 2a b a b -=+ a bπ2a b a b -=+ ()()222a b a b -=+ 2222244a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ 2a b = 222254cos ,178cos ,b b a b b b a b ∴-<>=+<>整理可得：，，，.故答案为：.28．（2021·河北高三月考）若、均为单位向量且夹角为，设，若，则______.【答案】【解析】，因为，所以，∴故答案为：29．（2021·全国高三专题练习）已知的三个顶点的坐标满足如下条件：向量，，，则的取值范围是________【答案】【解析】由题得所以点A 的轨迹是以为半径的圆.过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接，，则向量与的夹角的范围是.由图可知.∵知，2212cos ,12b a b b <>=- cos ,1a b ∴<>=- [],0,a b π<>∈ ,a b π∴<>= πa b θ()a ab μ⊥+ 1cos 23θ=-μ=()()210111cos 0cos 0a a b a a b a a b μμμμθθμ⊥+⋅++⋅=⇒+⋅⋅⋅=⇒=-⇒=⇒ 1cos 23θ=-22122cos 113θμ-=-=-μ=ABC V (2,0)OB →=(2,2)OC →=,CA α→=)αAOB ∠5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦||CA →==(2,2)C CM CN OA →OB →θMOB NOB θ∠∠……45COB ∠=︒||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==30COM CON ∠=∠=︒∴，.∴.故的取值范围为.故答案为：30．（2021·全国高三专题练习）已知，，与的夹角为，且，则________.【解析】因为，所以，所以453015BOM ∠=︒-︒=︒453075BON ∠=︒+︒=︒1575θ︒︒……AOB ∠{}1575θθ︒≤≤︒丨{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，2a = 3b =r a b 23π0a b c ++= c = 0a b c ++= c a b =--r r r ()222222222223cos 346973c a b a a b b π=--=+⋅+=+⨯⨯+=-+=。

高考数学一轮复习平面向量的数量积专题卷

高考数学一轮复习平面向量的数量积专题卷一、单选题（共12题；共24分）1.已知非零向量，满足4| |=3| |，cos＜，＞= ．若⊥（t + ），则实数t的值为（）A. 4B. ﹣4C.D. ﹣2.已知向量的夹角为，则的值为（）A. 0B.C.D.3.已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量＝(2k－1,2)，若⊥，则实数k的值为( )A. －2B. －1C. 1D. 24.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A. B. C. D.5.已知向量满足，，，则( )A. B. C. D. 26.已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.7.在直角梯形中，已知，，，，，点和点分别在线段和上，且，，则的值为( )A. B. C. D. 18.已知向量，的夹角为，且，，则（）A. B. 2 C. D.9.在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，=3，·=2，则⋅的值是（）A. 4B. 6C. 8D. 1010.在平面直角坐标系中，已知三点为坐标原点.若向量，则的最小值为（）A. B. C. D.11.已知向量，，则在上的投影为（）A. 2B.C. 1D. -112.若O（0，0），A（1，3），B（3，1），则＝（）A. B. C. D.二、填空题（共5题；共5分）13.设向量，，则向量与向量的夹角为________．14.已知非零向量，满足，，，则对任意实数，的最小值为________．15.已知向量与的夹角为，且，，则________．16.已知向量，，若与共线，则的值为________．17.已知△ABC中，AB=2，AC=4，点D是边BC的中点，则• 等于________．三、解答题（共5题；共45分）18.△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a．b，c．已知a=2 ，A= ．（Ⅰ）当b=2时，求c; （Ⅱ）求b+c的取值范围。

高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及运用练习(含解析)

5.3 平面向量数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即a ·b ＝a ·c ⇏b ＝c ； ②结合律，即(a ·b )·c ⇏a ·(b ·c )． 3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )＝λa ·b . (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.5．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．考向一数量积基本运算【例1】（1）平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30 D.34（2）已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．（3）已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】（1）D （2）2π3（3）B【解析】（1）依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D.（2）∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.（3）解法一：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径．故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)．设B (cos α，sin α)，∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴PA →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|PA →＋PB →＋PC →|＝(cos α－6)2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得PA →＋PC →＝2PO →(O 为坐标原点)，又PB →＝PO →＋OB →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|3PO →＋OB →|≤3|PO →|＋|OB →|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO →与OB →同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|max ＝7.故选B.【举一反三】1.设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为________．【答案】π3【解析】由题意得a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3， ∴cos α＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______． [答案]712【解析】 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.3.设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为________．【答案】 4【解析】因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°，所以A ，O ，B ，C 四点共圆．不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ，所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12.所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R ＝|AB →|sin ∠AOB ＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4.4.已知向量a ，b ，c ，满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝0，则|b －c |的最小值是( ) A ．2－ 3 B ．2＋ 3 C ．1 D ．2 【答案】 A【解析根据条件，设a ＝(1, 3)，b ＝(3,0)，设c ＝(x ，y )，则(c －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝(x －2，y －23)·(x －2，y )＝0；∴(x －2)2＋(y －3)2＝3；∴c 的终点在以(2，3)为圆心，3为半径的圆上，如图所示：∴|b －c |的最小值为(2－3)2＋(3－0)2－3＝2－ 3.故选A.5.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________．【答案】－23或113或3±132【解析】 ①若∠A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0，解得k ＝－23.②若∠B ＝90°，则有AB →·BC →＝0，因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)，所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113.③若∠C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0，解得k ＝3±132.综上所述，得k ＝－23或113或3±132.考向二平面向量与其他知识的综合【例2】如图，在△ABC 中，已知点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AB ＝3AD ，BC ＝2BE .(1)用向量AB →，AC →表示DE →；(2)设AB ＝9，AC ＝6，A ＝60°，求线段DE 的长．【答案】372【解析】(1)∵AB ＝3AD ，BC ＝2BE ，∴DB →＝23AB →，BE →＝12BC →＝12(AC →－AB →)，∴DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋12AC →－12AB →＝16AB →＋12AC →.(2)AB →2＝81，AC →2＝36，AB →·AC →＝9×6×cos60°＝27， ∴DE →2＝136AB →2＋16AB →·AC →＋14AC →2＝634，∴DE ＝|DE →|＝634＝372.【举一反三】1.已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.33 B.12 C.32 D.23【答案】 A【解析】 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OA →＋OB →＝－OC →，∴O 为三角形的重心，∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13.∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝2.∵∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4， △ABC 面积为12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33.故选A.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x【答案】 B【解析】如图所示，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°.由BA →·BC →＝48，得BC ＝43，得AC ＝4.∴由中位线的性质有p ＝12AC ＝2.故抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.3.已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．【答案】 [1,4]【解析】作出点M (x ，y )满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设z ＝OA →·OM →，因为A (－1,2)，M (x ，y )，所以z ＝OA →·OM →＝－x ＋2y ，即y ＝12x ＋12z .平移直线y ＝12x ，由图象可知，当直线y ＝12x ＋12z 经过点C (0,2)时，截距最大，此时z 最大，最大值为4，当直线y ＝12x ＋12z 经过点B 时，截距最小，此时z 最小，最小值为1，故1≤z ≤4，即1≤OA →·OM →≤4.1．向量,a b 的夹角为120，1a b ==，2c =，则2a b c ++的最大值为（）A ．2B ．2C ．23+D ．4【答案】C【解析】22224414cos12043a ba ab b +=+⋅+=++=()()222222222222cos 2,a b c a ba b c c a b a b c a b c c++=+++⋅+=+++<+>+343cos 2,4743cos 2,a b c a b c =+<+>+=+<+>又[]cos 2,1,1a b c <+>∈-(2227432a b c ∴++≤+=+max223a b c⇒++=+本题正确选项：C2．设向量a ，b 满足()1,3,0a a b a a b =+=⋅+=，则2a b -（）A ．2B ．23C ．4D ．43【答案】B【解析】∵()0a a b ⋅+=，1a = ∴21a a b =-⋅=∵向量a ，b 满足3a b += ∴2223a a b b +⋅+= ∴24b =则()2222244444a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=故选：B ．3．已知正三角形ABC 的边长为2，设2,AB a BC b ==，则（）A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．·1a b =【答案】C 【解析】如图，∵正三角形ABC 的边长为2，2,AB a BC b ==，取AB 中点D ，设BE AD a ==，∴1AD BD BE ===，0120EBC ∠=，∴22a b +=-=A 错误；,a b 的夹角为120°，故B 错误；()2044412cos12040a b b a b b +=+=⨯⨯⨯+=，∴()4a b b +⊥，故C 正确；012cos1201a b =⨯⨯=-，故D 错误．故选：C ．4．已知ABC ∆的边AB ，AC 的长分别为20,18，120BAC ∠=︒，则ABC ∆的角平分线AD 的长为（）A B ．9019C ．18019D 【答案】C【解析】如图，因为AD 是ABC ∆的角平分线，所以2010189BD AB DC AC ===，所以1019AD AB BD AB BC =+=+()10910191919AB AC AB AB AC =+-=+，即9101919AD AB AC =+. 两边平方得2AD =222211180 8120100182109182019219⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以18019AD AD ==，故选C. 5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259D.269[答案] B[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.7．平行四边形ABCD 中，,AC BD 在AB 上投影的数量分别为3，-1，则BD 在BC 上的投影的取值范围是（） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,∞+D ．()0,3【答案】A 【解析】建立直角坐标系：设(,0)B a ，(3,)C b ，(1,)D a b -，则3(1)a a --=，解得：2a =，所以，(1,),(3,)D b C b ，()=1,BC b ，()1,BD b =-，则BD 在BC 上的投影2c os BC BD BM BD BCθ==⋅=⋅=()1t t =>，则22t B M t ==-，令()2f t t t =-，则有()22'1f t t =+，在()1,+∞上，()'0f t >，()f t 单调递增，故()()1f t f >-，故()1f t >-，则BD 在BC 上的投影的取值范围是()1,-+∞8．设向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=（）A B C ．D ．10【答案】B【解析】因为a b ⊥，所以x-2=0,所以x=2.所以+=3|10a b a b ∴+=（，-1),|.故选：B9．在ABC ∆中，若2AB AC ⋅=且30BAC ∠=︒，则ABC ∆的面积为（）A B ．C D 【答案】C【解析】由2AB AC ⋅=得cos302,bc bc ==111sin2223S bc A ===，故选C. 10．已知ABC ∆中，90ABC ∠=，2AB =，D 是边BC 上一动点，则AB AD ⋅=（） A ．2 B ．2-C ．4D ．无法确定【答案】C【解析】()2AB AD AB AB BD AB AB BD ⋅=⋅+=+⋅90ABC ∠=0AB BD ∴⋅=24AB AD AB ∴⋅==本题正确选项：C11．已知向量a 与b 方向相同，(2,a =，2b =b -=___________。

【范文】高考数学(理科)一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案

高考数学（理科）一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案27 平面向量的数量积及其应用导学目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理．向量数量积的定义向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则a•e＝e•a＝__________________；②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；③a•a＝________________或|a|＝________________；④cos〈a，b〉＝________；⑤|a•b|____|a||b|.2．向量数量积的运算律交换律：a•b＝________；分配律：•c＝________________；数乘向量结合律：•b＝________________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝，b＝，则a•b＝________________________；设a＝，b＝，则a⊥b⇔________________________；设向量a＝，b＝，则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.若A（x1，y1），B（x2，y¬2），则|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________.自我检测.（XX•湖南）在Rt△ABc中，∠c=90°,Ac=4,则AB→•Ac→等于A．－16B．－8c．8D．162．已知向量a，b满足a•b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝A．0B．22c．4D．83．已知a＝，b＝，⊥b，则λ等于A．－2B．2c.12D．－124.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），c（x，y），若AB→⊥Bc→，则动点c的轨迹方程为________________．5.（XX•天津）若等边△ABc的边长为2，平面内一点m满足cm→＝16cB→＋23cA→，则mA→•mB→＝________.探究点一向量的模及夹角问题例1 已知|a|＝4，|b|＝3，•＝61.求a与b的夹角θ；求|a＋b|；（3）若AB→＝a，Bc→＝b，求△ABc的面积．变式迁移1 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足•＝0，则|c|的最大值是A．1B．2c.2D.22已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．探究点二两向量的平行与垂直问题例2 已知a＝，b＝，且ka＋b的长度是a－kb的长度的3倍．求证：a＋b与a－b垂直；用k表示a•b；求a•b的最小值以及此时a与b的夹角θ.变式迁移2 设向量a＝，b＝，c＝．若a与b－2c垂直，求tan的值；求|b＋c|的最大值；若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.探究点三向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a＝cos32x，sin32x，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.求a•b及|a＋b|；若f＝a•b－|a＋b|，求f的最大值和最小值．变式迁移3（XX•四川）已知△ABc的面积S=AB →•Ac→•＝3，且cosB＝35，求cosc.．一些常见的错误结论：若|a|＝|b|，则a＝b；若a2＝b2，则a＝b；若a∥b，b∥c，则a∥c；若a•b＝0，则a＝0或b＝0；|a•b|＝|a|•|b|；c＝a；若a•b＝a•c，则b＝c.以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a＝，b＝，θ是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|＝a•a＝a2|a|＝x21＋y21a与b的数量积a•b＝|a||b|cosθa•b＝x1x2＋y1y2a与b共线的充要条件A∥b⇔a＝λba∥b⇔x1y2－x2y1＝0非零向量a，b垂直的充要条件a⊥b⇔a•b＝0a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0向量a与b的夹角cosθ＝a•b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y223.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB=cD，可转化证明AB→2＝cD→2或|AB→|＝|cD→|.（2）要证两线段AB∥cD，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB→＝λcD→成立即可．（3）要证两线段AB⊥cD，只需证AB→•cD→＝0.一、选择题．若向量a＝，b＝，a•b＝0，则实数m的值为A．－32B.32c．2D．62．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知⊥，则实数k的值为A．－6B．－3c．3D．63.已知△ABc中，AB→＝a，Ac→＝b，a•b<0，S△ABc＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAc等于A．30°B．－150°c．150°D．30°或150°4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，•b＝0，则a 与b的夹角为A．30°B．60°c．120°D．150°5．已知a＝，b＝，则a在b上的投影为A.135B.655c.6513D.1313题号2345答案二、填空题6．设a＝，b＝，α∈π2，π，若a•b＝25，则sinα＝________.7．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．8．已知向量m＝，向量n与向量m夹角为3π4，且m•n＝－1，则向量n＝__________________.三、解答题9.已知oA→＝，oB→＝，oc→＝，在线段oc上是否存在点m，使mA→⊥mB→，若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．0．已知向量a＝，sin)，b＝．求证：a⊥b；若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．1．已知a＝，b＝2cosx＋π6，1，函数f＝a•b．求函数f的单调递减区间；若f＝85，求cos2x－π3的值．答案自主梳理．a•b＝|a||b|cos〈a，b〉①|a|cos〈a，e〉②a•b＝0③|a|2a•a④a•b|a||b|⑤≤ 2.b•aa•c＋b•c λ 3.a1b1＋a2b2 a1b1＋a2b2＝0 a21＋a22 a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22x2－x12＋y2－y12自我检测2．B [|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a•b＋b2＝8＝22.]3．D [由•b＝0得a•b＋λ|b|2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y2＝8x解析由题意得AB→＝2，－y2，Bc→＝x，y2，又AB→⊥Bc→，∴AB→•Bc→＝0，即2，－y2•x，y2＝0，化简得y2＝8x．5．－2解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设c，A，B，这样利用向量关系式，求得mA→＝32，－12，mB→＝32，－12，mB→＝－32，52，所以mA→•mB→＝－2.课堂活动区例1 解∵•＝61，∴4|a|2－4a•b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a•b－27＝61，∴a•b＝－6.∴cosθ＝a•b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a•b＋|b|2＝16＋2×－6＋9＝13.∵AB→与Bc→的夹角θ＝2π3，∴∠ABc＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|Bc→|＝|b|＝3，∴S△ABc＝12|AB→||Bc→|sin∠ABc＝12×4×3×32＝33.变式迁移1 c [∵|a|＝|b|＝1，a•b＝0，展开•＝0⇒|c|2＝c•＝|c|•|a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ，∴|c|的最大值是2.]λ<12且λ≠－2解析∵〈a，b〉∈，∴a•b>0且a•b 不同向．即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<12.当a•b同向时，由a＝kb得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a⊥b⇔a•b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解由题意得，|a|＝|b|＝1，∴•＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．|ka＋b|2＝k2a2＋2ka•b＋b2＝k2＋2ka•b＋1，2＝3－6ka•b.由条件知，k2＋2ka•b＋1＝3－6ka•b，从而有，a•b＝1＋k24k．由知a•b＝1＋k24k＝14≥12，当k＝1k时，等号成立，即k＝±1.∵k>0，∴k＝1.此时cosθ＝a•b|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a•b的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 解因为a与b－2c垂直，所以a•＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin－8cos＝0.因此tan＝2.解由b＋c＝，得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2＝17－15sin2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.证明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cos β，所以a∥b.例3 解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解a•b＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|，∵x∈－π3，π4，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.f＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2cosx－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f取得最小值－32；当cosx＝1时，f取得最大值－1.变式迁移3 解由题意，设△ABc的角B、c的对边分别为b、c，则S＝12bcsinA＝12.AB→•Ac→＝bccosA＝3>0，∴A∈0，π2，cosA＝3sinA.又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010，cosA＝31010.由题意cosB＝35，得sinB＝45.∴cos＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.∴cosc＝cos[π－]＝－1010.课后练习区．D [因为a•b＝6－m＝0，所以m＝6.]2．D [由•＝0得2k－12＝0，∴k＝6.]3．c [∵S△ABc＝12|a||b|sin∠BAc＝154，∴sin∠BAc＝12.又a•b<0，∴∠BAc为钝角．∴∠BAc＝150°.]4．c [由•b＝0，得2a•b＝－|b|2.cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]5．B [因为a•b＝|a|•|b|•cos〈a，b〉，所以，a在b上的投影为|a|•cos〈a，b〉＝a•b|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]6.35解析∵a•b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝25，∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝25，∴sinα＝35.7．120°解析设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c•a＝0，即•a＝0.∴a2＋a•b＝0.又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cosθ＝0.∴cosθ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．或解析设n＝，由m•n＝－1，有x＋y＝－1.①由m与n夹角为3π4，有m•n＝|m|•|n|cos3π4，∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②由①②解得x＝－1y＝0或x＝0y＝－1，∴n＝或n＝．9．解设存在点m，且om→＝λoc→＝，mA→＝，mB→＝．…………………………………………∵mA→⊥mB→，∴＋＝0，………………………………………………即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴m点坐标为或225，115.故在线段oc上存在点m，使mA→⊥mB→，且点m的坐标为或．………0．证明∵a•b＝cos•cosπ2－θ＋sin －θ•sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………解由x⊥y得，x•y＝0，即[a＋b]•＝0，∴－ka2＋b2＋[t－k]a•b＝0，∴－k|a|2＋|b|2＝0.………………………………………………………………又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.………………………………………………………1．解f＝a•b＝2cosx＋π6＋2sinx＝2cosxcosπ6－2sinxsinπ6＋2sinx＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3.…………………………………………………………由π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，k∈Z.所以f的单调递减区间是π6＋2kπ，7π6＋2kπ．……………………………………………………………由知f＝2sinx＋π3.又因为2sinx＋π3＝85，所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………即sinx＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6＝45.所以cos2x－π3＝2cos2x－π6－1＝725.………………………………………………。

2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：平面向量的数量积及应用

∴a· b＝ | a|| b| ·cos〈 a， b〉＝ 3× 4＝ 12．故选 A．
5．平面四边形 ABCD中，＋＝ 0， ( －) ·＝ 0，则四边形 ABCD是 ( )
A．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形
答案 C
1/ 9
解析因为＋＝ 0，所以＝－＝，所以四边形 ABCD是平行四边形．又 ( －) ·＝·＝ 0，所以四边形对角线互相
6 － 7．故选 D．
7．(2018 ·大庆质检一 ) 若 e1， e2 是夹角为 60°的两个单位向量，则向量 a＝ e1＋ e2， b＝－ e1＋ 2e2 的夹角为
()
A．30° B ．60° C ．90° D ．120°
答案 B
1 解析依题意，有 e1·e2＝cos60°＝ 2，则 cos 〈 a，b〉
a· b
( e1＋ e2) · ( － e1＋ 2e2)
＝ | a|| b| ＝ ( e1＋e2) 2· ( － e1＋ 2e2) 2
3
－ 1＋ e1· e2＋ 2
2
1
＝
2＋ 2e1· e2·
＝ 5－ 4e1 ·e2
3×
3＝2，故〈 a，b〉＝ 60°，故选
B．
8．已知在直角三角形 ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC＝ 2，点 P 是斜边 AB上的中点，则·＋·＝ ________．
一、基础小题
1．已知向量 a＝ ( － 2，－ 1) ，b＝ ( m， 1) ， m∈ R，若 a⊥ b，则 m的值为 ( )
1
1
A．－ 2 B ．2 C ． 2 D ．－ 2
答案 A
1 解析由 a⊥b，得 a·b＝ 0，即－ 2m－ 1边长为 1 的等边三角形 ABC中，设＝ a，＝ b，＝ c，则 a· b＋ b·c＋ c· a＝( )

平面向量的数量积-2025届数学新高考一轮复习考点专练及答案解析

Ａ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的两侧时，ＯＡ·ＯＢ＝０
ＯＡ．ＯＢ＝２５Ｂ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的同侧时，
Ｃ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的两侧时，｜ｏｃ－１ＯＡ－ＯＢ的最小值为３
Ｄ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的同侧时，１０００Ｂ＝７５０Ａ＋７０Ｃ
试卷第４页，共７页
．１９．在ＡＢＣ中，令ＣＢ＝ａ，Ａｃ＝ｂ，若ａ＋ｂ＝ｑ，ａ－２ｂ＝ｅ，ｐｌ＝ｅ４＝１，ｑｅ＝１，
ｃ．ａ－ｂ≤ｌａｌ．ｂ
Ｄ．｜ｉ－ｂ｜＜問＋ｂ
核心考点２向量数量积的计算
角度１定义法
７．已知钝角ＡＢＣ的面积为３，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，则ＡＢ－ＡＣ的值是（）
Ａ．－６
Ｂ．－２√７
Ｃ．２√７或－２√７Ｄ．－６或６
８．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图１是八卦模型图，其平面图形记为图２中的正八
Ｂ．１
Ｃ．２
Ｄ．２√２
１５．已知直线ｌ／ｌ？，Ａ是ｌ，ｌ？之间的一定点并且点Ａ到１，ｌ？的距离分别为１，，作ＡＣ⊥ＡＢ，且使ＡＣ与直线ｌ？交于点Ｃ，
则（）
Ａ． △ＡＢＣ面积的最小值为２
Ｂ．点Ｇ到直线ｌ的距离为定值
５３５Ｃ．当ＧＢ＝Ｇｃ时，△ＧＡＢ的外接圆半径为
【详解】因为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２＝０，可得ａ２＝ｂ２，即｜ａ＝ｂ，
可知（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０等价于ａｌ＝ｂ，
若ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，可得ａ＝ｂ，即（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，可知必要性成立；
若（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，即｜ａ｜＝ｂ，无法得出ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，
例如ａ＝（１．０）．ｂ＝（０．１），满足ｌｄ＝５，但ａ≠ｂ且ａ≠－ｂ，可知充分性不成立：
Ａ．若ａ／／ｂ，则λ＝６
λ＝３Ｂ．若ａｌｂ，则

平面向量的数量积(一轮复习)

＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年高考四川卷）在 ABC 中 , 角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平．面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （）
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高三数学一轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习

高三数学一轮复习平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为( )A.12B.233 C ．2 D. 3解析：选A.c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝|a |2－12|a ||b |＝0，∴|a ||b |＝12.故选A.2．(2009年高考陕西卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49 解析：选A.M 是BC 的中点，则 PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝PA →·A P →＝－(PA →)2＝－(23MA →)2＝－49.3．(2010年江苏四市调研)已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 解析：选B.结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA→|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，得a ·b ＝－2＋8＝6， ∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 25．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →|＝________.解析：AP →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝－2 ∴|AC →|＝ 5. 答案： 56．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知，a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162∴|4a －2b |＝16 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0. 16k －16(2k －1)－2×64＝0， ∴k ＝－7.练习1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 解析：选B.∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.2．共点力F 1(lg2，lg2)，F 2(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：选D.F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2) 又s ＝(2lg5,1)所以W ＝F ·s ＝2lg5＋2lg2＝2.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．120°D ．150°解析：选C.由题意容易得出向量a 、b 共线，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π，可设向量a ＋b 与向量c 的夹角为α，则(a ＋b )·c ＝|a ＋b |·|c |·cos α＝5cos α＝52，所以cos α＝12，α＝60°，则向量a 与向量c 所夹的角应为120°.答案为C.4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b)b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选D.∵a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·aa ·b)(a ·b )＝0. ∴a ⊥c ，故选D.5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：选A.由投影计算公式可得：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|，即：4a ＋5＝8＋5b ，即4a －5b ＝3，故选A.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．因此，AP →·BP →＝(x －4)(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值1，此时P (3,0)．答案：(3,0)8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④错误．答案：②9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°， ∴航向为北偏西30°. 答案：北偏西30°10．已知|a |＝3，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．解：(1)∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b|cos150°＋4|b |2＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7， ∴|a ＋2b |＝7. (2)∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.∴a·b ＝|a |2.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝|a ||b |＝32.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°， ∴〈a ，b 〉＝30°.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2，当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即co s(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.法二：若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A2)，n ＝(cos A 2，sin A2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2)＝3，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．。

高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)

高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷一、选择题1、（2007•辽宁）若向量a与b不共线，a•b≠0，且，则向量a与c的夹角为（D）A、0B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．解答：解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．2、（2007•上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．解答：解：∵（1）若A为直角，则；（2）若B为直角，则；（3）若C为直角，则．∴k的可能值个数是2，故选B点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．3、已知△ABC中，，则△ABC的面积为（C）A、2B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角。

专题：计算题。

分析：由=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），知和x轴成23°角，和x轴68°角，由此能求出和，再由正弦定理能求出ABC的面积．解答：解：∵=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），∴和x轴成23°角，和x轴68°角，，=2，∴△ABC的面积S==．故选C．点评：本题考查平面向量的坐标表示，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式、正弦定理的灵活运用．4、已知点A（3，0），B（﹣，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（D）A、B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的模；三角函数的恒等变换及化简求值。

高考数学一轮复习平面向量的数量积活动单试题

卜人入州八九几市潮王学校平面向量的数量积
活动一
1．〔1〕向量和向量的夹角为，，那么向量与向量的数量积 .
〔2〕那么 .
2．向量，满足与的夹角为，那么 .
3．【2021高考，理11】向量，，那么 .
4．【2021高考，理6】假设非零向量，满足，且，那么与的夹角为.
5．，那么在方向上的投影为.
活动二．典型例题:
题型一平面向量的数量积的运算
例1：〔1〕菱形的边长为，求 ;
〔2〕设向量，．假设，务实数的值.
〔3〕平面向量中， =(4，-3)， =1，且 =5，求向量．
题型二向量的夹角与向量的模
例2〔1〕设两个向量，满足，与的夹角为，假设向量与的夹角为钝角，务实数的范围.
〔2〕为等边三角形，，设点满足，，，假设，那么 .
〔3〕【2021高考，理9】，假设点是所在平面内一点，且，那么的最大值等于.
4. 是平面上不一共线三点，设为线段垂直平分线上任意一点，假设那么的值是.
， .假设对任意单位向量，均有，那么的最大值是.
〔2〕平面向量，求的值.
〔3〕，是单位向量，，假设向量满足，求的取值范围.
题型三平面向量的垂直、平行问题
例3〔1〕，其中 .假设，试求的值.
〔2〕
①求证：与互相垂直；
②假设与的模相等，求 .〔其中为非零实数〕
活动三．综合提升
例4〔1〕设 .
① ；②

高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题(含答案)

高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________．三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。

高中数学一轮复习第3讲平面向量的数量积及应用试题(共9页)

第3讲平面(píngmiàn)向量的数量积及应用随堂演练稳固a、b满足|a|=1,|b|=4,且a b=2,那么a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】 cos<a,b>.π.∵<a,b>],∴a与b的夹角为3a、b、c和实数以下命题中真命题是… ( )a⋅b=0,那么a=0或者b=0a=0,那么或者a=0a b那么a=b或者a=-ba⋅b=a⋅c,那么b=c【答案】 Ba⋅b=0,还可能有a b;C中a2=b a b a+b a-b)=0,此时假设a与b的模相等或者a+b与a-b互相垂直即可;D中a⋅b=a⋅c a b-c)=0,a=0或者b=c或者a b-c).a=(-2,2),b=(5,k),假设|a+b|不超过5,那么k的取值范围是( )A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]【答案】 C【解析】a=(-2,2),b=(5,k),故a+b=(3,2+k).∵|a+b|∴|a+b|a+b.∴.a=(cos sin b那么(nà me)|2a-b|的最大值.最小值分别是( ) A.4,0 B.16,0 C.2,0 D.16,4 【答案】 A【解析】∵|2a-b|a a⋅b+b|a||b|cos<a,b>cos <a,b>,∈,π],又∵<a,b>[0∴cos<a,b>∴8-8cos<a,b>即|2a-b|∴|2a-b|.⊥b-c)〞的( )a与b-c都是非零向量,那么“a⋅b=a⋅c〞是“a(B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】由a⋅b=a⋅c得a(⋅b-c)=0,即|a||b-c|cos∵a,b-c均为非零向量,θ=,即a与(b-c)的夹角为90.∴cos0⊥b-c).∴a(⊥b-c),那么a(⋅b-c)=0,反之,假设a(即a⋅b-a⋅c=0,∴a⋅b=a⋅c.⊥b-c)〞的充要条件.故“a⋅b=a⋅c〞是“a(课后作业夯基1.a =(1,0),b =(1,1),(abb ,那么(nà me)λ等于 …( )C.D.【答案】 D 【解析】由(a λ+b b =0,得a ⋅b λ+|b |得.∴应选D.2.(2021春招,15)假设向量a =(2,0),b =(1,1),那么以下结论正确的选项是( ) A.a ⋅b =1 B.|a |=|b | C.(a -b )⊥b D.a ∥b【答案】 C【解析】 a ⋅b =2,选项A 错误; |a |=2,|b |选项B 错误;(a -b )⋅b =选项C 正确,故选C.a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=5,那么|3a -b |等于( )D.4【答案】 A 【解析】 |3a -b |.应选A.4.△ABC 中,AB =a , =b ,a ⋅b |a |=3,|b |=5,那么等于( )° °°°或者150°【答案】 C 【解析】|a ||b |sin∴sin.又a ⋅b <0,∴BAC ∠为钝角(dùnjiǎo).∴°,选C.在x 轴上存在一点P 使有最小值,那么P 点的坐标是( )A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【答案】 C【解析】设P 点坐标为(x,0),那么.4).当x=3时有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0).应选C.a =(2cossin b =(3cos sin 假设a 与b 的夹角为60,那么直线xcossin与圆(x-cos (y+sin的位置关系是( )B.相交且过圆心 D.相离【答案】 D【解析】 ∵a =(2cos 2α,sin )α,b =(3cos 3β,sin )β, ∴|a |=2,|b |=3. ∴a ⋅b =6coscossin αsincos.而a ⋅b =|a ||b |cos60°=3, ∴6coscos.那么圆心(cos sin到直线xcos y α-sin 102α+=的间隔d=|cos αcos sin αsin|=|cos |=1>∴直线(zhíxiàn)与圆相离.a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的〞向量积〞:ab 是一个向量,它的模|a ⨯b |=|a |⋅|b |⋅sin θ,假设a b那么|a ⨯b |等于( )A.C.D.4【答案】 B【解析】 ∵|a |=|b |=2,a ⋅b∴cos .又π],∴sin.∴|a ⨯b |.应选B.a =(4,3),b =(sincos )α,且a ⊥b ,那么tan等于 .【答案】【解析】由a ⊥b 得4sin cos所以tantan.9.假设平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,||=4,||=5,那么的值等于 .【答案】 -25 【解析】由0可得∴9.a,b,c,有以下三个命题:①假设a⋅b=a⋅c,那么b=c.②假设a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,那么k=-3.③非零向量(xiàngliàng)a和b满足|a|=|b|=|a-b|,那么a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法那么可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误. 11.=(2,5), =(3,1), =(6,3),在OC上是否存在点M,使⊥,假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λOC=(6λ,3λ),∴MA= OA－OM=(2－6λ,5－3λ),MB=OB－OM=(3－6λ,1－3λ),∵MA⊥MB,∴即解得或者.∴OM=(2,1)或者OM.∴存在M(2,1)或者满足题意.12.a=(sin b=(1,cos)θ,c=(0.(1)假设(4a-c)∥b,求;(2)求|a+b|的取值范围.θ,,【解】 (1)4a-c=(4sin4sin1)∵(4a-c)∥b,∴4sinθcos.∴sin.∵∴π,π).∴或者(huòzhě)即或者.(2)a+b=(sin cos)θ,|a+b|∵∴.∴sin.∴sin.∴|a+b|.13.(2021模拟)向量m sin n=(cos cos.(1)假设m⋅n=1,求cos的值;(2)记f(x)=m⋅n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.【解】 (1)∵m⋅n=1,即3sin cos cos即sin cos∴sin .∴cos cos cos=-[1-2sin .(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦(zhèngxián)定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sin .∴cos.∴.∴sin .又∵f(x)=m ⋅n =sin∴f(A)=sin .故函数f(A)的取值范围是.14.a (3=sin b =(cos 其中又函数f(x)=b (⋅a -b )+k 是以2π为最小正周期的周期函数,当时,函数f(x)的最小值为-2.(1)求f(x)的解析式;(2)写出函数f(x)的单调递增区间.=sin cos【解】 (1)a-b(3ω,,(3=sin cos1)xω-cos∴f(x)=(cos sin x=sin.∴.∵那么(nà me).∴f(x)的最小值为f =k-1=-2.∴k=-1.∴f(x)=sin.(2)当ππZ),即Z)时,函数f(x)是增函数.∴函数的单调递增区间为Z).内容总结（1）第3讲平面向量的数量积及应用随堂演练稳固a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,那么a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】 cos<a,b>.∵<a,b>],∴a与b的夹角为.a、b、c和实数以下命题中真命题是。

高三数学一轮复习必备精品：平面向量的数量积及应用试题

2021~2021学年度高三数学〔人教版A版〕第一轮复习资料制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日第26讲平面向量的数量积及应用一．【课标要求】1．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进展平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2．向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，开展运算才能和解决实际问题的才能。

二．【命题走向】本讲以选择题、填空题考察本章的根本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。

重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点〞题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联络，解决角度、垂直、一共线等问题，以解答题为主预测2021年高考：〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的断定或者夹角、长度问题；属于中档题目〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三．【要点精讲】1．向量的数量积〔1〕两个非零向量的夹角非零向量a 与a ，作OA ＝a ，OB ＝b ，那么∠A ＯA ＝θ〔０≤θ≤π〕叫a 与b 的夹角；说明：〔1〕当θ＝０时，a 与b 同向；〔2〕当θ＝π时，a 与b 反向；〔3〕当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

〔2〕数量积的概念两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积〔或者内积〕。

规定00a ⋅=；向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。

广东高考数学(理)一轮题库：5.3-平面向量的数量积(含答案)

第3讲平面向量的数量积一、选择题1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析 ∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝⎛⎭⎪⎫a 2a·b a·b ＝a 2－a 2＝0，又a ≠0，c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.答案 D 3．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝ ( )． A ．4B ．3C ．2D ．0解析由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP→＝－32，则λ等于( )．A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP→＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.] 答案 A5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1B ．1C. 2D ．2解析由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1. 答案 B6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a b 和b a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )．A.12B ．1C.32D.52解析由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |，由|a |≥|b |>0，及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4得0<|b |cos θ|a |<1，从而|b |cos θ|a |＝12，即|a |＝2|b |cos θ.a b ＝a ·b b 2＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以22<cos θ<1，所以12<cos 2θ<1，所以1<2cos 2θ<2.结合选项知答案为C. 答案 C 二、填空题7．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________．解析 ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7. 答案 78. 已知向量(3,2)a =-, (31,4)a m m =--，若a b ⊥，则m 的值为．解析,3(31)(2)(4)0,1a b a b m m m ⊥∴⋅=-+--=∴=答案 19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系xOy ，则AB →＝(2，0)，AE →＝(2，1)，设F (t,2)，则AF→＝(t,2)．∵AB →·AF →＝2t ＝2，∴t ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 答案210．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析由已知a ·c －b ·c ＝0，a ·b ＝0，|a |＝1，又a ＋b ＋c ＝0，∴a ·(a ＋b ＋c )＝0，即a 2＋a ·c ＝0，则a ·c ＝b ·c ＝－1，由a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，即a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＝－4c ·a ＝4，即|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案 4 三、解答题11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．解 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c ) a ＝0a ＝0. (2) a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×－222＋－22＝－222＝－22. 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解 (1)由题设知AB→＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则 AB→＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.13．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. ∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形.。