判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1，在平行四边形ABCD中,E、Ｆ在对角线AC上,且ＡＥ=CF,试说明四边形DEＢＦ是平行四边形．分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接ＢD.解:连接BＤ交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CＯ,BO=DO. 又ＡE=CF,所以ＡＯ－AE＝ＣＯ-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形．二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例２如图２,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别．解：设每根木棒的长为1个单位长度,则AF＝ＢC=1,AＢ=FC ＝1，所以四边形AＢCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ＡCＤＦ都是平行四四边形.因为ＡE＝DＢ=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图３,E、F是四边形AＢCD的对角线ＡＣ上的两点,AE=CF，DＦ=BE,DF∥BＥ,试说明四边形AＢCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知,由已知条件可得△AＤF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解:因为DF∥ＢE，所以∠AFD=∠CＥＢ.因为AE=CＦ,所以AE+ＥF=CＦ＋EF,即AF＝ＣＥ．又ＤF＝图1图2AB C DEF图3B Ｅ，所以△A ＤＦ≌△CBE ,所以AD =ＢC ，∠DA Ｆ=∠B ＣE ， 所以AD ∥BC ．所以四边形ABCD 是平行四边形．四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABC Ｄ中，∠D ＡB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、A Ｄ边于点E 、F ，则四边形ＡECF 是平行四边形吗？为什么?分析:由平行四边形的性质易得ＡＦ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形A ＥCF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠ＤAB =∠BCD ，所以AF ∥EC ．又因为∠1=21∠D ＡＢ，∠２＝21∠ＢC Ｄ， 所以∠1＝∠2．因为ＡD ∥ＢC ,所以∠2=∠3,所以∠１=∠3,所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：(1）证两组对边分别平行;（2）证两组对边分别相等；(3)证一组对边平行且相等；(４）证对角线互相平分；(5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

ABC DE F图4132一、 两组对边分别平行如图1,已知△ABC 是等边三角形，Ｄ、E 分别在边BC 、AC 上,且C Ｄ=ＣＥ,连结ＤE 并延长至点Ｆ,使ＥF =ＡE ，连结A Ｆ、BE 和C Ｆ(1）请在图中找出一对全等三角形,并加以证明； (2)判断四边形ＡBDF 是怎样的四边形,并说明理由。

解:（1）选证△BDE ≌△FEC证明：∵△A ＢC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∠A ＣD =60°∵CD =CE ,∴ＢD =AE ，△E ＤC 是等边三角形 ∴DE =ＥＣ，∠CDE =∠DEC =6０° ∴∠B ＤＥ=∠ＦE Ｃ=120°又∵EF =AE ,∴BD ＝F Ｅ,∴△BDE ≌△ＦEC （2)四边形ABD Ｆ是平行四边形理由：由（1）知,△ABC 、△EDC 、△ＡEF 都是等边三角形∵∠CDE ＝∠ABC ＝∠E ＦA =60° ∴AB ∥D Ｆ，BD ∥ＡF∵四边形ＡBD Ｆ是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、 一组对边平行且相等 例2 已知:如图２，在正方形ABC Ｄ中,Ｇ是ＣD 上一点,延长BC 到E ,使C Ｅ=CG ，连结BG 并延长交DE 于F (1)求证:△ＢCG ≌△D ＣＥ;(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形?并说明理由。

分析:(2)由于ABCD 是正方形,所以有AB ∥D Ｃ,又通过旋转ＣE =A Ｅ′已知CE =CG ,所以E ′A =C Ｇ,这样就有BE ′＝ＧＤ,可证E ′B ＧＤ是平行四边形。

解:(1)∵ABCD 是正方形，∴∠ＢＣD =∠DCE =9０°又∵CG =CE ,△B ＣG ≌△DCE （2)∵△ＤＣE 绕Ｄ顺时针 旋转９０°得到△DAE ′,∴ＣＥ=ＡE ′，∵ＣE =ＣG ,∴CG =AE ′， ∵四边形ＡBCD 是正方形AFBDCE 图1∴BE′∥DG，AB=CD∴ＡB－AE′=CD-CＧ,即BＥ′=DＧ∴四边形DＥ′BG是平行四边形点评:当四边形一组对边平行时,再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示,在△AＢＣ中，分别以ＡB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ＡBD，等边△AＣE，等边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；分析:利用证三角形全等可得四边形DＡEF的两组对边分别相等，从而四边形DAＥF是平行四边形。

解:∵△ＡBD和△FBC都是等边三角形∴∠DBF+∠ＦＢA＝∠ABＣ+∠FBＡ=60°∴∠DＢF=∠ABＣ又∵ＢD=ＢA，BF=BC ∴△AＢＣ≌△DＢＦ∴ＡC=DF=AE 同理△ＡBC≌△EFC∴AＢ=EＦ=AD∴四边形ADFE是平行四边形点评:题设中存在较多线段相等关系时,可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。

四、对角线互相平分例4已知：如图4,平行四边形AＢＣＤ的对角线ＡC和BD相交于O，ＡE⊥ＢD于Ｅ,BF⊥AC于F，CG⊥BD于G,D Ｈ⊥ＡC于Ｈ，求证：四边形EＦGH是平行四边形。

图4分析:因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这些条件与四边形EFGH的对角线有关,若能证出OE=O Ｇ,OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AＥ⊥ＢD，CG⊥ＢD，∴∠AEO=∠CGO,∵∠AOE=∠COG,OＡ=OＣ∴△AＯE≌△COG,∴OＥ=OG同理△ＢOF≌△ＤOH∴OF=OＨ∴四边形EＦGＨ是平行四边形点评:当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分,从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等例5 将两块全等的含3０°角的三角尺如图１摆放在一起四边形AＢCD是平行四边形吗？理由。

(1）如图２，将Rt△BCＤ沿射线BD方向平移到Rt△B1Ｃ1Ｄ1的位置，四边形ABC1D１是平行四边形吗?说出你的结论和理由: 。

分析:因为题设与四边形内角有关,故考虑四边形的两组内角相等解决问题。

解:(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABＣ=∠ABD+∠DBＣ=30°＋９0°＝120°，∠ＡDＣ=∠ADB＋∠CDB=90°+30°＝120°又∠A=6０°,∠C=60°，∴∠ＡBC=∠AＤC,∠A=∠C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt△ＢCＤ沿射线方向平移到Rt△B1C１D1的位置时，有Rt△C1ＢB1≌Rt△ADＤ1∴∠C 1ＢB 1＝∠ＡD 1D ，∠BC 1B 1=∠ＤＡD １∴有∠C １BA =∠ABD +∠Ｃ1B Ｂ1=∠Ｃ1D 1Ｂ1+∠AD 1B ＝∠AD 1C 1,∠BC 1D 1=∠BC 1B 1＋∠B 1Ｃ1Ｄ１=∠D 1AD +∠DAB ＝∠D １AB 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形点评:（２）也可这样证明：由（1）知ABCD 是平行四边形,∴AB ∥ＣＤ,将Rt △B ＣD 沿射线BD 方向平移到Rt △B １C 1Ｄ1的位置时，始终有ＡB ∥C 1D 1，故ABC 1Ｄ1是平行四边形。

判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后,对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1 如图１所示,在△ABC 中,∠ACB ＝９0°,B Ｃ的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上,并且AF =ＣE .求证：四边形ACEF 是平行四边形. 证明:∵D Ｅ是BC 的垂直平分线， ∴DF ⊥BC ,DB = ＤC .∴∠FDB ＝ ∠A ＣＢ = 9０°.∴ＤF ∥AC .∴CE ＝ ＡE =21A Ｂ. ∴∠1 = ∠2 .又∵E Ｆ∥AC ,AF = CE = AE , ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F .==∴△ＡC Ｅ≌△EFA . ∴A Ｃ = EF .∴四边形ＡCEF 是平行四边形. 思路2:证明两组对边分别平行例 2 已知:如图2，在△A ＢＣ中,A Ｂ=AC ,E 是ＡＢ的中点，D 在BC 上,延长ED 到F ,使E Ｄ ＝ DF = EB . 连结FC .求证：四边形A ＥF Ｃ是平行四边形.证明：∵AB ＝A Ｃ，∴∠B ＝∠ＡCB ． ∵E Ｄ = EB ,∴∠B =∠ED Ｂ. ∴∠A ＣＢ ＝∠EDB . ∴ＥF ∥AＣ.∵E 是AB 的中点，∴ＢD = C Ｄ.∵∠ＥDB =∠ＦD Ｃ，ED = DF ，∴△EDB ≌△ＦＤC . ∴∠D ＥＢ =∠Ｆ. ∴AB ∥C Ｆ．∴四边形ＡEFC 是平行四边形． 思路3:证明一组对边平行且相等例 3 如图３,已知平行四边形ＡBCD 中，E 、F 分别是AB 、ＣD 上的点,AE = CF ，M 、Ｎ分别是DE 、ＢＦ的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ＡD ＝ B Ｃ,∠A =∠C .又∵A Ｅ ＝ CF ,∴△AD Ｅ≌△CBF .∴∠1 =∠2，D Ｅ ＝ BF . ∵M 、N 分别是D Ｅ、ＢF 的中点, ∴EM = FN .∵DC ∥ＡB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 ＝∠3. ∴EM ∥ＦＮ∴四边形EN ＦM 是平行四边形.二、考虑“对角”关系 思路:证明两组对角分别相等例4 如图４,在正方形AB ＣD 中,点Ｅ、 Ｆ分别是ＡD 、ＢC 的中点．求证:(1）△ABE ≌△ＣDF ；(2)四边形BFD Ｅ是平行四边形.证明:(1）在正方形ＡBCD 中,ＡB = CD ,A Ｄ = B Ｃ，∠A =∠C ＝9０°,∵AE =21AD ,ＣF =21BC ，∴A Ｅ = C Ｆ. ∴△A ＢＥ≌△C ＤF .（2）由（１)△ABE ≌△CDF 知,∠1 ＝∠２，∠3 =∠4. ∴∠BED =∠D ＦB ．∵在正方形ABC Ｄ中,∠ＡＢC ＝∠ADC , ∴∠EBF =∠EDF .∴四边形BFDE 是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系 思路:证明两条对角线相互平分例５ 如图５，在平行四边形A ＢＣD 中, P １、P 2是对角线ＢD 的三等分点.求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形． 证明:连结AC 交BD 于O ．∵四边形A ＢＣD 是平行四边形，∴ＯA = OC ，O Ｂ = OD ． ∵BP 1 = ＤP 2 ,∴OP 1 ＝ O Ｐ2 . ∴四边形AP 1CP 2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。