函数的单调性6

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6、函数之函数的单调性(教师版)

6、函数之函数的单调性函数单调性的相关知识点：一：函数的单调性的定义。

（设函数)(x f y =的定义域为I ）。

1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值2121x x x x <，且、。

当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增函数。

相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。

2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值2121x x x x <，且、。

当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减函数。

相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。

3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。

二：证明或判断单调性的方法与步骤。

1. 定义法：（1）取值。

（2）作差变形。

（3）定号。

（4）下结论。

2. 导数法：（1）求导。

（2）判断导函数f ′(x )的符号。

若f ′(x ) > 0，则函数为增函数。

若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。

3. 图像法：主要用来判断。

三：函数单调性的有关性质。

若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。

1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。

2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0<a 时，具有相反的单调性。

3. 当函数)(x f 恒不等于0时。

函数)()(1x f x f 与具有相反的单调性。

4. 当函数0)(≥x f 时。

函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。

5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。

6.函数的单调性

1.函数单调性的定义：一般地，设函数y ＝f （x ）地定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中地任意两个值x 1、x 2，则当改变量△x ＝x 1－x 2＞0时，有△y ＝f （x 1）－f （x 2）_______，那么就称函数y ＝f （x ）在区间M 上是增函数；当改变量△x ＝x 1－x 2＞0时，有△y ＝f （x 1）－f （x 2）_______，那么就称函数y ＝f （x ）在区间M 上是减函数.如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数，就说函数在区间M 上具有_______，区间M 叫做____________.2.基本初等函数的单调性：（1）一次函数f （x ）＝kx ＋b ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.（2）二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ：当a>0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数；当a<0时，f （x ）在区间_________上是增函数，在区间_________上是减函数.（3）反比例函数xk )x (f =：k>0时，f （x ）在区间______________上是______函数 k<0时，f （x ）在区间______________上是______函数（4）指数函数y ＝a x ：当_________，f （x ）单调递增；当_________，f （x ）单调递减.（5）对数函数y ＝log a x ：当_________，f （x ）在区间_________上单调递增；当_________，f （x ）在区间_________上单调递减.3.复合函数y ＝f ［)x (ϕ］的单调性：若y ＝f （μ）和μ＝)x (ϕ在相应的区间内具有相同的单调性，则y ＝f ［)x (ϕ］在这个区间上是__________；若y ＝f （μ）和μ＝)x (ϕ在相应的区间内具有相反的单调性，则y ＝f ［)x (ϕ］在这个区间上是__________.4.增减函数的性质：（1）增（减）函数＋增（减）函数为_________函数；（2）增（减）函数－减（增）函数为_________函数；（3）y ＝f （x ）与y ＝kf （x ）（k ≠0），当k>0时，增减性_________；当k<0时，增减性_________；（4）当f （x ）恒为正或恒为负时，)x (f 1y =与y ＝f （x ）的单调性_________. 【基础知识检测】1.函数y ＝x ＋x1的递增区间是__________.2.函数1x 11y --= （） A.在（－1，＋∞）上单调递增 B.在（－1，＋∞）上单调递减C.在（1，＋∞）上单调递增D.在（1，＋∞）上单调递减3.函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)是单调函数的充要条件是（）A.b≥0B.b≤0C.b>0D.b<04.已知函数y ＝f （x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，则方程f （x ）＝0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有1个D.有2个以上【典型例题探究】例1.求证：f （x ）＝－x 3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数.例2. 指出函数)x 2x (log )x (f 221-=的单调区间.例3.已知奇函数)x (f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)1m 2(f )1m (f >-+-，求实数m 的取值范围.例4.设函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx （x ∈R ），已知g （x ）＝f （x ）－f ˊ（x ）是奇函数.（1）求b 、c 的值（2）求g （x ）的单调区间.【巩固练习】A 组1.若函数f(x)=121x +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值C. 单调递增无最大值D. 单调递增有最大值2.函数f （x ）（x ∈R ）的图像如图，则函数g （x ）＝f （log a x ）（0＜a ＜1）的单调递减区间是 A.]21,0[ B. ]1,a [ C.),21()0,(+∞-∞ D. ]1a ,a [+ 3.设函数f （x ）＝log a ｜x ｜在（－∞，0）上是单调递增，则f （a ＋1）与f （2）的大小关系是（）A. f （a ＋1）＝f （2）B. f （a ＋1）<f （2）C. f （a ＋1）>f （2）D. 不确定4.有下列四个命题：（1）y ＝2x 2＋x ＋1在（0，＋∞）上不是增函数；（2）函数1x 1y +=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；（3）函数2x x 45y ---=的单调递增区间为[－2，＋∞)；（4）已知f （x ）在R 上增函数，若a ＋b ＞0,则f （a ）＋f （b ）＞f （－a ）＋f （－b ），其中正确命题的序号是__________________.5.函数3x 2x y 2-+=的单调减区间是________________.6.函数y ＝－（x －3）｜x ｜的递增区间是_______________.7.证明:x 1x )x (f +=在（0，1］上是减函数.B 组1.设函数f(x)=,aax x c 22++其中a 为实数. (1)若f(x)的定义域为R,求a 的取值范围; (2)当f(x)的定义域为R 时，求f(x)的单调递减区间.2.定义在R 上的函数y ＝f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有 f （a ＋b ）＝f （a ）·f （b ）.（1）证明：f （0）＝1；（2）证明：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0（3）证明：f （x ）在R 上是增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.。

高三数学知识点总结6：函数的单调性

（四）函数的单调性1.函数单调性的定义（局部性质）（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值,,21x x ①数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调增函数；（形：从左往右看图象逐渐上升；）②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调减函数（形：从左往右看图象逐渐下降.）（2）等价形式：任意,21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f （或写成0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ）都表明)(x f 在区间上单调增. 注：xy 1=的单调减区间为)0,(-∞和),0(+∞,单调区间有两段一般需要用“和”，不能“ ”. 2.判断单调性的方法（用来证明单调性的只有定义法和导数法）（1）定义法:取值，作差，变形，定号，结论. （2）利用函数的运算性质：若)(),(x g x f 为增函数，则)()(x g x f +为增，)0)((>a x af 为增，)(x f 为增，)0)((<a x af 为减，)(1x f 为减. （注：只能用“增”+“增”⇒“增”，“减”+“减”⇒减，其他不能确定单调性.）（3）复合函数单调性法则：同增异减.（内函数与外函数单调性相同，则整体增；内函数与外函数单调性相反，则整体减.）（4）导数法函数)(x f y =在区间D 上单调增⇔0)('≥x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0；函数)(x f y =在区间D 上单调减⇔0)('≤x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0.（注：如果问单调区间，不要带等号.令,0)('>x f 求单调增区间；令,0)('<x f 求单调减区间.）（5）图像法3.分段函数求单调性的方法①左段单调性与整体一致；②右段单调性与整体一致；③若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(≥≤右段函数在端点的函数值.。

函数单调性

函数单调性函数单调性概念：如果函数()x f y =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()x f y =的单调区间．一般地，设函数()x f 的定义域为I ，区间I D ⊆:如果D x x ∈∀21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，那么就称函数(x f 在区间D 上单调递增，区间D 称为函数()x f 的单调递增区间。

一般地，设函数()x f 的定义域为I ，区间I D ⊆:如果D x x ∈∀21,，当21x x <时，都有()()21x f x f >，那么就称函数(x f 在区间D 上单调递减，区间D 称为函数()x f 的单调递减区间。

注意：①函数的单调性是函数局部上的性质，是函数在其定义域内的某个区间上的增减性质。

这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集。

有的函数不具有单调性，例如常函数：2=y ，或者()R x Q x Q x y ∈⎩⎨⎧∉∈=,0,1。

②单调区间的书写，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有有意义，则写成闭区间（也可以写成开区间）；若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间。

函数单调性与函数最值间的关系：（1）若函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数，则函数的最小值为()a f y =min ，最大值为()b f y =max ；若函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数，则函数的最小值为()b f y =min ，最大值为()a f y =max 。

（2）如果函数()x f 在某个开区间上是增函数或者减函数，则函数()x f 在这个区间上不存在最值。

（3）在利用函数单调性求函数最值时，一定要求函数的定义域。

判断函数单调性的基本方法：⑴ 定义法：任取21x x ，，21x x <，判断()()21x f x f -的正负；⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调性——同增异减．单调性的运算：函数间+、-、⨯、÷的运算的单调性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论） ⑴ 函数()f x 与常数k ：()f x k ±与()f x 的单调性相同；()kf x ：0k >时，与()f x 单调性相同；0k <时，与()f x 单调性相反；⑵ 函数()f x 与()g x ： ① ()f x 是增函数，()g x 是增函数时，()()f x g x +是增函数；② ()f x 是增函数，()g x 是减函数时，()()f x g x -是增函数；（这可以由⑴⑵①直接推出） ③ ()f x 是增（减）函数，()g x 是增（减）函数时，()()f x g x ⋅的单调性不确定．如：函数x x ⋅．当()0f x >，且()0g x >时，()()f x g x 是增（减）函数；当()0f x <，且()0g x <时，()()f x g x 是减（增）函数．定义法证明函数单调性：例1：已知()()0>+=a xax x f 在()a -∞-,与()+∞,a 上单调递增，在()0,a -与()a ,0 上单调递减．证明：任取21x x ，，21x x <，()()()21212121x x a x x x x x f x f -•-=-， 021<-x x ，21x x ，同时属于这四个区间中的任意一个时，都有021>x x ，当()a x x -∞-∈,21，或()∞+∈，，a x x 21时，有021>-a x x ，此时有()()21x f x f <；当()021，，a x x -∈或()a x x ，，021∈时，有021<-a x x ，此时有()()21x f x f >，由此得到结论：函数()x f 在()a -∞-,与()+∞,a 上单调递增，在()0,a -与()a ,0 上单调递减．函数单调性练习题：1.讨论函数22()(1)1f x x =--的单调性．【解析】 ()f x 在(1]-∞-，与[01]，上单调递减，在[10]-，与[1)+∞，上单调递增．2.已知2()21f x x x =--，讨论1()1g x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调性．【解析】 ()g x 在(1]-∞-，与(01]，上单调递减，在[10)-，与[1)+∞，上单调递增．3.讨论函数212()x f x x+=的单调性． ()f x 在(1]-∞-，，(0)+∞，上单调递减，在[10)-，上单调递增．。

人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲

高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容：函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间（1）增函数：对任意，则为上的增函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。

图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。

注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。

2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。

，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。

（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。

（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。

（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。

3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明）（3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。

高考第6课函数的单调性

第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】函数f (x )的定义域是(-1，4)，令u (x )=-x 2+3x+4，则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.因为e >1，所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数，则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2，1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数，所以由f (2-a 2)<f (a )，可得2-a 2>a ，解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞，4]【解析】依题意得2m≤2，解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2，求证：f (x )在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f (x )在(1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2，则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0，x 1-x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(-∞，-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0，x 2-x 1>0，所以要使f (x 1)-f (x 2)>0，只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式已知函数f (x )=x+1x ，求证：函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0，1]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x ，因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0，又因为0<x 1<x 2≤1，所以x 1x 2>0，x 1x 2-1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++，设x 1<x 2<-1，则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞，-1)上是减函数，所以f (x 1)-f (x 2)>0，由于x 1<x 2<-1，所以x 1-x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0，所以a+1<0，即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞，-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩，，，，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7，+∞)(2)(1，2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11，所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，由于其图象开口向上，于是-12a≤12，解得a≤2，故f(2)≥-2×2+11=7，即f(2)的取值范围是[7，+∞).(2)由题意，得12+12a-2≤0，且a>1，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-23，且当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x，得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二：设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3，3]上也是减函数，所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，所以函数在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2，在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小，或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要，需作适当地变形，如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等；利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2，所以x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1，f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)<2=f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-5<1⇒-3<a<2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在区间(-∞，+∞)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-1<0，0<a<1，且3a-1+4a≥0，所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解，由Δ=0，得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭，r=12[f(a)+f(b)]，有下列关系式：①q=r<p；②q=r>p；③p=r<q；④p=r>q，其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+，r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab，且f(x)=ln x在(0，+∞)上是单调增函数，所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab)，所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)>0，得f(m-1)>f(1-2m)，所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩，，，解得-12<m<23，所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭，.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3，+∞)，则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ，x ∈(-1，1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++，x ∈[1，+∞).(1)当a =12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，+∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1，求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3，+∞)【解析】依题意得，不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3，解得x>3，即x的取值范围是(3，+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1，所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩，，，作出该函数的图象如图所示，观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0，由x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，知2a-1>0，所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ，所以t ∈[1，2]，即f (t )=t 2-at ，因为f (x )在[1，4]上单调递增，所以2a≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又已知函数f (x )的单调增区间是[3，+∞)，所以-2a=3，解得a=-6.7.[0，1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，其图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x )，得函数f (x )关于直线x=1对称，故a=1，则f (x )=2|x-1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，+∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.9.方法一：任取x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2，则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1，所以|x1|<1，|x2|<1，x1-x2<0，21x-1<0，22x-1<0，|x1x2|<1，即-1<x1x2<1，所以x1x2+1>0.因此，当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，此时函数为减函数；当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数为增函数.方法二：f'(x)=-222(1)(-1)a xx+，x∈(-1，1)，所以当a>0时，f'(x)<0，此时函数为减函数；当a<0时，f'(x)>0，此时函数为增函数.10.当0<a<1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩，，解得0<a<3 4.当a>1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩，，无解.综上，实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)当a=12时，f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一：在区间[1，+∞)上，f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min=3+a，当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>-3.方法二：f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，所以a>-3. 综上，实数a的取值范围为(-3，+∞).12.(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0)，又f(0)≠0，解得f(0)=1.(2)当x<0时，-x>0，所以f(0)=f(x)·f(-x)=1，因为x>0时，f(x)>1>0，所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0，所以对任意的x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(x+2x-x2)>1，即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x2>0，所以0<x<3. 即x的取值范围是(0，3).。

(6)函数的单调性的证明以及典型题型

函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。

3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。

8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。

（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。

2、求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。

3、讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。

二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。

2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。

三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。

函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1．单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

函数单调性的判断与证明

函数单调性的判断与证明【方法综述】 1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．3.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f (x 1)－f (x 2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.例1.求证：函数f (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上是减函数．证明：设x 1，x 2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1)－(x 22－4x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．因为x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋x 2－4＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．故函数f (x )在(－∞，2]上是减函数．评注因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f (x 1)－f (x 2)的符号．例2.求证：函数f (x )＝x 3＋1在R 上是增函数．证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31＋1－x 32－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在R 上是增函数．评注本题极易在(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x 21＋x 1x 2＋x 22的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．例3.已知函数f (x )＝x ＋1x，求证：函数f (x )在区间(0,1]上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. 因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈(0, 1]，所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．故函数f (x )在(0,1]上是减函数．评注同样，我们可以证明f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例4.已知函数f (x )＝x －1，求证：函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1－x 2－1＝x 1－x 2x 1－1＋x 2－1 .因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 1－x 2＜0，x 1－1＋x 2－1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．评注对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f (x 1)－f (x 2)符号的目的. 例5.求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解：函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)．当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间；当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间．综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．例6. 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间．解：由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t ，因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞). 【针对训练】1．下列四个函数中，在上为减函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数.所以选项A 是正确的.对于选项B,在在上为增函数，所以选项B 是错误的. 对于选项C,在在上为增函数，所以选项C 是错误的.对于选项D,,当x=0时，没有意义，所以选项D 是错误的. 2.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3xC ．f(x)＝－1x ＋1 D ．f(x)＝－|x|【答案】C【解析】当x>0时，f(x)＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f(x)＝x 2－3x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f(x)＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．3．若函数y ax =与b y x=-在()0,+∞上都是减函数，则()2f x ax bx =+在()0,+∞上是（） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增【答案】B【解析】由函数y ax =与by x=-在()0,+∞上都是减函数,可得0,b 0a <<.则一元二次函数()2f x ax bx=+在()0,+∞上为减函数.故选B.4.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加【答案】A【解析】若a b <则由题意()()0f a f b a b->-知，一定有()()f a f b <成立，由增函数的定义知，该函数()f x 在R 上是增函数；同理若a b >，则一定有()()f a f b >成立，即该函数()f x 在R 上是增函数.所以函数()f x 在R 上是增函数.故应选A.5.已知，那么( ) A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增【答案】D 【解析】，记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A 错误；当时，不具有单调性，故B 错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C 错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D 正确.故选：D 6.试讨论函数f(x)＝axx －1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】设－1<x 1<x 2<1，f(x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．7.已知a>0，函数f(x)＝x ＋ax (x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．【解析】任意取x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－ax 2＝(x 1－x 2)＋ax 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，此时，函数f(x)＝x ＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，有f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在[a，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数．8.已知函数的图象经过点（1，1），．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明；【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）由f(x)的图象过A、B，则，解得．∴（x≠0）．（2）证明：设任意x1，x2∈0+∞（，），且x1<x2．∴.由x1，x2∈0+∞（，），得x1x2>0，x1x2+2>0．由x1<x2，得．∴，即．∴函数在0+∞（，）上为减函数．9.已知函数在上满足，且，.（1）求，的值；（2）判断的单调性并证明；【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【解析】（1）令，即可得到，再令，可得，令即可求得；（2）单调递增，证明：任取且，则，，因为，所以，所以在上单调递增.10.已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值；（2）证明：为单调增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．。

06第六讲函数的单调性文库.doc

第六讲函数的单调性☆自学探究☆一、函数单调性的定义设函数/'(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个了区间。

上的隹尊两个自变量的值M ,工2，(I)当x.<x2时，都/(x1)< y(x2),则称函数/'(X)在区间。

上是单调增函数，这个区间。

就叫做这个函数的单调增区间；(II)当%J<X 2时，都有/(X, ) > f(x2)，则称函数/(X)在区间。

上是单调减函数，这个区间。

就叫做这个函数的单调减区间；思考：(1)定义中为什么要强调“任意”两个字？(2)若函数f(x)在定义域内的两个区间。

| 上都是增函数，那么/(X)的增区间能写成D, uo2吗？二、利用定义证明函数的单调性证明函数/(X)在区间。

上的单调性应遵循以下步骤：第一步：设元：设x} ,x2 e D且七v^2；第二步：作差：将函数值/(x]), f(x2)作差 /(%)) - f(x2)(或者))；第三步：变形：将上述差值通过因式分解、配方、有理化或通分等方法进行变形；笫四步：定号：对上述变形后的结果的正负情况进行判定；第五步：结论：根据定义对函数/(力的单调性做出结论。

三、复合函数的单调性规律：同调递增，异调递减设函数/(力定义域为/】，函数g(x)定义域为匕，且对于任意的xel2 , g(x)e/r有下列结论:f(x)g(*)*))/h)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函数无法判断单调减函数单调增函数单调减函数无法判断单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数变式 1-1-1. /(x) = kx + b (k A 0)(2) /(x) = x 2-2x-3(3) ☆典例解析☆题组一、由函数图像确定函数的单调区间例1・1.根据函数图像指出下列函数的单调区间;(1) f(x) = 2x-3变式 1-1-2. /(x) = ax 2+ bx + c (a 丰 0)变式 1・1・3. /(x) = - (SO)x题组二、函数单调性的证明例2.1.证明函数/(x) = %3在R 上单调递增;变式2.1 .证明函数f(x) = x + -在区间(0,1)上单调递减;例2-2.证明函数f(x) = 在区间［0 , + 8)上单调递增;例2.3.试讨论函数f （力=/一在区间（T , 1）上的单调性;JT -1题组三、复合函数的单调性问题例3-1.求函数=7X2+2X-3的单调递减区间;变式3.1.求函数/（x） = 7-X2-4X +5的单调递增区间;例3-2.求函数/（%） = 的单调递增区间;题组四、函数单调性的应用例4.1・设/'⑴是定义在（0,+3）上的减函数，旦/'（力＜/'（2工-3）,求尤的取值范围;变式4・1.若函数/（X）= 2x2 -mx + 5 - m在区间［-1,+8）上是单调增函数，求实数m的取值范围;☆课后检测☆1.下列函数在区间(-8,0]上单调递增的是( )A. =B. /(x) = 1 - %C. /(x) = x2 -2D. /(X)= - x2.已知函数/(x) = x2+/?x + c,其对称轴为x = l,则下列大小关系正确的是( )A. /(-1)</(1)</(2)B. /(1)</(2)</(-1)C.，⑵ </(-1)</(1)D.川)</(-1)</(2)3.已知函数f(x)在区间[-2,3] I:单调递增，则函数y = f(x + 5)的一个单调递增区间是( ) A, [3,8] B. [-7,-2] C. [0,5] D. [—2,3：4.己知函数f(x)定义域为1 ,对任意的x x , x2 e[a ,b]^ I f有―)〉0 ,则/(x)在区间[a , b]玉-x2上的单调性是;5.函数/(%) = + 1的单调递减区间是________________________ ；x-\6 .试用定义证明函数/(x) =X2-2X在[l,+oo)上单调递增。

6函数的单调性

自学指南（6）——函数的单调性一、学习目标1.理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的步骤，提高利用定义证明函数的单调性的能力。

2.自主学习，合作交流，探究解决函数单调性问题的规律和方法。

3.激情投入，养成扎实严谨的科学态度。

二、基础知识构建：【学法指导】1.先仔细阅读教材必修一：P44-P46,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法。

1、函数的单调性的定义。

2、如何判断、证明函数的单调性？疑点难点突破：分析函数的单调性时，可以用特值验证再猜想，或者借助函数的大致图象，要熟练掌握基本初等函数以及形如)0(>+=k xkx y 的函数等一些常见函数的单调性等性质，注意导数在研究函数单调性方面的重要作用。

3.请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：三、挑战极限：挑战一：（参考案例）1.定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等实数x,y,总有f (x)f (y)<0x y--成立，则必有A ．函数f(x)在R 上是奇函数B ．函数f(x)在R 上是偶函数C ．函数f(x)在R 上是增函数D ．函数f(x)在R 上是减函数2．（2011全国Ⅰ理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=３．函数○1y x =，○2xy x =，○32x y x=-，○4x y x x =+，其中在(,0)-∞上为增函数的函数的序号为。

４．已知奇函数ｆ（ｘ）在(0,)+∞上单调递增，且ｆ（３）＝０，则不等式x f (x)0⋅<的解集是 . 挑战二：（参考案例）求下列函数的单调区间：（1）62-+=x x y ；（2）)32(log 221+--=x x y ；（3）)0(4>+=x x x y ；（4）)0()(>>++=b a bx a x x f ；（5）6322-+-=x x y （6）21-=x y挑战三：（参考案例） 1.判断并证明函数xy 1=的单调性。

第6讲函数的单调性与最值

变式 (2)函数 y＝－x2＋3x－2的单调递增区间为_________．
()
()
目标 3 函数单调性的应用
3 (1)已知函数f(x)＝－x ln 2－x3，则不等式f(3－x2)＞f(2x－5)的解集为( )
A．(－4，2)
B．(－2，2)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
M为最小值
4．求函数最值的依据：我们知道连续函数在闭区间内一定存在最大值和最小值． (1) 当函数为单调函数时，区间两端点处的函数值分别为 ____最_大__(小__)值_____； (2)当函数不单调时，函数的极大(小)值与区间端点处的较大 (小)值中最大(小)的函数值为函数在给定区间的 ___最__大_(_小_)_值_____．
目标 1 函数单调性的判断
1 (1)判断并证明 f(x)＝x2＋x 4在(0，＋∞)上的单调性． (2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：ⅰ)对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(xy) ＝f(x)＋f(y)；ⅱ)当且仅当x＞1时，f(x)＜0成立． ①求f(1)的值；
②用定义证明f(x)的单调性．
3．(人A必一P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋3在R上是减函数，则实数k的取值范
围是______________．
4．(人 A 必一 P79 例 3 改编)函数 y＝x＋4x(x＞0)的单调递增区间是______________． 5．函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为__________．
第二章基本初等函数
第6讲函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
定义

第6讲函数的单调性问题(原卷版)

第6讲函数的单调性问题方法总结：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。

即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式典型例题：例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值为（） A ．45B ．75C ．95D ．115例2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（）A ．15a <≤B ．25a <≤C ．25a ≤≤D ．35a <≤例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭例4．（2022·江苏·高三专题练习）若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）.A ．()+∞B ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D ．)+∞例5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））若函数()()()sin sin 2cos 2f x x x a x πππ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(-∞C ．(D ．[)1,+∞例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A ．(],2-∞B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()2,-+∞例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()331132ln 1222x t x a f t x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，若对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．16,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例8．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知函数()3,2,xx x mf x x x m ⎧<=⎨⋅≥⎩，若对任意120x x <<，恒有()()1221121x f x x f x x x -<-成立，则实数m 的取值范围是___________.例9．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知函数()e sin xf x x =.求函数()f x 的单调递增区间：例10．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数2()e (e)x f x a x ax =-++. 当a e =-时，求()f x 的单调区间；过关练习：1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，那么（）A ．可能不存在单调区间B ．()f x 是R 上的增函数C ．不可能有单调区间D ．一定有单调区间2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3230,f x ax x x b a b =+++>∈R 恰好有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（） A ．()()0,33,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(]0,3 D ．()0,33．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()(21)3f x mx m x m =-+++恰有4个单调区间，则实数m 的取值范围为（）A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，0）∪（0，18）C ．（0，18]D ．（18，1]4．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3log a f x x ax =-（0a >且1a ≠）在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，则a 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．91,4⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1，2]D ．[1，2)6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,17．（2022·全国·高三专题练习）已知0>ω，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））已知函数()314cos 3f x x mx =-在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．,⎛-∞ ⎝⎦B ．,⎛-∞ ⎝⎦C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．,⎛-∞ ⎝⎦9．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知R a ∈，则“3a ≤”是“()22ln f x x x ax =+-在()0,∞+内单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题10．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 8mf x x x=+，若12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，都有()()12120.5f x f x x x -<-，则实数m 的值可以为（）A ．5B ．4C ．3D ．e三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x )＝1＋12x ＋cos x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递增区间是________.13．（2022·全国·高三专题练习）若函数3211()2332f x x x x =+-+在区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．四、解答题14．（2022·陕西武功·二模（文））已知函数()2()1e xf x ax x =--（a R ∈且0a ≠）.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调区间.15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝1xx+－a ln(1＋x )(a ∈R)，求函数f (x )的单调区间. 16．（2022·江西宜春·高三期末（文））已知函数()()()x xf x e sinx ax a Rg x e cosx =-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.17．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数()sin f x x a x =-的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-. (1)求a ；(2)求()f x 在[0,2]π的单调区间.18．（2022·河北·高三阶段练习）设函数2()e mx f x x mx t =+-+在(0,(0))f 处的切线经过点(1,1). (1)求t 的值，并且讨论函数()f x 的单调区间；(2)当1m =时，,()0x ∈+∞时，不等式(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->--恒成立，求b 的取值范围. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()1ln 1,01xf x ax x x-=+++，其中0a >． (1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．20．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()21ln 2f x a x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.(1)若02a <<，求函数()f x 的单调区间；(2)若存在实数[)1,a ∈+∞，使得()()2f x f x '+≤对于任意的x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.21．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()()2e R xf x ax x a a -=++∈.(1)当=0a 时，求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)若0a ≥，求函数()f x 的单调区间；。

6函数的单调性

减函数：任意 x1 x2 f (x1) f (x2 ) (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
例1：常见函数的单调区间
(1) y kx b (k 0) 当 k 0时，在 R上增；当 k 0时，在 R上减；
则 y 1 与 y f (x) 的单调性相反； f (x)
则 y f (x) 与 y f (x) 的单调性相同；
（3）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数
增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数
例4：求下列函数的单调区间
(1) y x2 2x 3 (2) y x2 4x 5
如果对于定义域内某区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有 f (x1) > f (x2)，那么就说函数 f (x)在区间D上是减函数．
增函数：任意 x1 x2 f (x1) f (x2 ) (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质当k>0时，y随x的增大而增大当k<0时，y随x的增大而减小
反比例函数 y k (k 0) 的性质 x
当k>0时，在y轴的左侧，y随x的增大而减小在y轴的右侧，y随x的增大而减小
当k<0时，在y轴的左侧，y随x的增大而增大在y轴的右侧，y随x的增大而增大
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
当a>0时在对称轴的左侧，y随x的增大而减小在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
当a<0时在对称轴的左侧，y随x的增大而增大在对称轴的右侧，y随x的增大而减小

高考数学总复习6函数的单调性与最大(小)值

第六讲函数的单调性与最大(小)值
回归课本 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
定义
图象描述
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数
自左向右看图象是上升的
为M,最小值为m,则 m 的值为( ) M
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.
【典例2】已知f
x
x2
xa bx 1
是奇函数.1求a, b的值;
2求f x的单调区间,并加以证明; 3求f xx 0的最值.
[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
考点陪练
1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞), 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A. f (x) 1 x
C.f(x)=ex 答案:A
B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)

函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)

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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。

把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。

从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。

【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。

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