保费随机复合二项模型的Gerber-shiu折现罚金函数

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带干扰的两类理赔更新风险模型的Gerber-Shiu函数

带干扰的两类理赔更新风险模型的ＧｅｂｒＳｉｒｅ—ｈｕ函数
王杰程建华，
（．吉林师范大学课程与教学论研究所，吉林四平１６０２１３００；．吉林大学数学学院，春１０１）长３０２
摘要：考虑一类带干扰的两类理赔更新风险模型，假设两类理赔的到来过程都是以时间间隔为Ｐａｅ分布的更新过程，得到了Ｇｒｅ．ｈｕ函数满足的积分微分方程及其解析解，并且当ｈｓｅｂｒＳｉ
０引言
风险理论是精算学研究的核心内容，近年来，人们开始关注两类理赔的风险模型：Ｕｔ＋ｃ（）＝ｔ—Ｓｔ，ｔ≥ ０（），
设Ｊ包含两类保险风险：ｓ）（
Ｎ１）（Ｎ（）２１
（）１
其中：０表示初始盈余；＞ｕ＝Ｃ０为单位时间的保费收入；｛（）ｔＳｔ，≥０｝示累积理赔额过程，且假表并
两类理赔额的密度函数均属于有理分布族时，给出了一些具体表达式．
关键词：两类理赔；带干扰的风险模型；Ｇｒｅ－ｈｕ函数；积分微分方程ｅｂｒｉＳ
中图分类号：２１９０１．
文献标志码：Ａ
文章编号：１７－４９２１）５０１－７６１８（０２０－９７０５
Ｊ）＝）Ｊ（ｓ（Ｓ＋ｔ（ｓ）＝∑ ｉ，ｔ，＋∑ ≥０
（）２
式中：ｓ（）示到时刻ｔ．ｔ表时第ｋ类理赔总额；ｋｔ表示到时刻ｔ第ｋ类理赔的理赔次数，ｋ别表示第一类理赔和第二类理赔的个体理赔额，Ｘ，｝ｉ｝ｉ它们都是非负ｉ．．．ｄ随机变ｉ

红利边界下两类索赔相关风险模型的Gerber-Shiu函数

红利边界下两类索赔相关风险模型的Gerber-Shiu函数张燕;毛磊;寇冰煜【摘要】The Gerber-Shiu expected discounted penalty functions for a risk model with two dependent classes of insurance business is considered in the presence of a constant dividend barrier. Claim occurrence of both classes relate to Poisson and generalized Erlang(2) processes. Integro-differential equations with boundary conditions for the Gerber-Shiu expected discounted penalty functions and the explicit expression of the Gerber-Shiu expected discounted penalty functions are derived.%考虑具有常数红利边界的两类索赔相关风险模型的Gerber - Shiu函数.两类索赔计数过程分别为独立的Poisson过程和广义Erlang(2)过程.得到了Gerber - Shiu函数满足的积分-微分方程及边界条件,并给出了Gerber - Shiu函数的解析表达式.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(000)022【总页数】5页(P5361-5364,5367)【关键词】Poisson过程;广义Erlang(2)过程;Gerber-Shiu函数;红利边界【作者】张燕;毛磊;寇冰煜【作者单位】解放军理工大学理学院数理系,南京211101;解放军理工大学理学院数理系,南京211101;解放军理工大学理学院数理系,南京211101【正文语种】中文【中图分类】F840.4由于保险公司经营规模的不断扩大，若用单一险种的风险模型来描述其风险经营具有一定的局限性。

保费随机的复合二项风险模型的破产概率

$ ($+&.+ . &( !"%," !$!(&.+"’%+&% 但是 # 在项风险模型 #得到了计算最终破产的公式 #!(""#!""! ! &, "+- & + " "
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收稿日期 !$0’.)+’)#’ 作者简介 ! 张茂军 !+,**) "# 男 # 山西人 # 博士生 # 主要从事随机过程和随机优化的研究 %
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常值利息力风险模型下Gerber-Shiu折现罚函数

常值利息力风险模型下Gerber-Shiu折现罚函数王晶晶【摘要】文章研究常值利息力风险模型的破产问题,在理赔过程为齐次Poisson过程的条件下,得到Gerber-Shiu折现罚函数及其所满足的积分-微分方程,并进一步研究当索赔额为指数分布时破产概率的表达式.【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】3页(P25-27)【关键词】利息力;风险模型;Gerber-Shiu折现罚函数;破产概率【作者】王晶晶【作者单位】宿州学院数学与统计学院,安徽宿州 234000【正文语种】中文【中图分类】O211.6在最近的几年里，国内外的学者热衷于对风险理论的研究［1］，随着研究的深入，越来越多的学者开始注意到破产概率对风险理论的重要作用，如何求出破产概率的显示解就成为大家关注的焦点［2-4］.在经典风险模型中，通常将盈余过程小于0的时刻定义为破产时刻，进而考虑其破产概率或Gerber-Shiu罚函数等破产问题.文献［5］给出在复合Poisson风险模型下绝对破产概率的解析表达式，文献［6］研究带干扰的泊松风险模型下绝对破产概率的表达式.随着研究的深入，建立更多符合实际情况的风险模型，对保险公司的实际工作具有指导意义.本文在此基础之上，进一步考虑分红策略下资产盈余具有利息收入的破产风险模型，讨论其Gerber-Shiu折现罚函数及其所满足的积分-微分方程，最后又给出了索赔额为指数分布时破产概率的解析表达式.本文中出现的变量均定义在一个完备概率空间上.设为一个强度为λ的Pois⁃ son过程，表示在时间内保险公司的索赔次数，是一列独立同分布的非负随机变量序列，Xi表示第i次的索赔额，其分布函数为并且和相互独立［6］.记表示到时刻t为止发生的索赔总额，用Uδ(t)表示在t时刻保险公司的盈余，则其中保险公司的初始盈余为u，单位时间收取的保费为c，δ>0为保险公司将盈余投资于证券或银行所获得的固定利息力.在此基础上，考虑门限分红策略下资产盈余具有利息力收入的破产风险模型：模型（2）表示当盈余小于门限值a时，其保费收取率为c1；当盈余超过a时，保费收取率为即用来给股东发放红利；当盈余小于0时，破产发生，没有分红.定义破产时刻如果T=∞，则认为保险公司永不破产.破产概率为记为Gerber-Shiu折现罚函数.其中β>0为折现因子为破产前瞬时盈余为破产赤字，I为示性函数（即事件A发生取值为1，不发生取值为为一非负函数，0≤x,y<∞.在这一部分，主要研究Gerber-Shiu折现罚函数.令定理2.1 在模型（2）中的Gerber-Shiu折现罚函数满足下面的积分-微分方程：证明当0<u<a时，在足够小的时间段[0,dt]内，不发生索赔的概率为1-λdt，发生索赔的概率为λdt，由全概率公式，有并令dt→0，化简即为（3）式.当0<u<a时，在充分小的时间段[0,dt]的内，类似于（3）式的证明，可得（4）式.推论2.1 满足边界条件：现讨论索赔额服从指数分布时破产概率的表达式.定理3.1 若在定理2.1中令为破产概率那么（3）式和（4）式可改写为：在分红策略下，利用全概率公式和泰勒展开式，得到Gerber-Shiu折现罚函数所满足的积分-微分方程及边界条件，进一步，当索赔变量服从指数分布时，可推导出其破产概率的表达式.由于保险公司的实际经营会受到市场波动和一些经济因素的影响，可以将红利策略推广为线性红利策略，使得模型更贴近实际操作.研究Gerber-Shiu折现罚函数和分红问题，这对保险公司的日常经营及重大决策提供重要的理论依据.【相关文献】［1］严颖，成世学，程侃.运筹学随机模型［M］.北京：中国人民大学出版社，1995.［2］温玉珍，尹传存.一类混合分红策略下广义Erlang（n）风险模型［J］.中国科学：数学，2014，44（10）：1111-1122.［3］张春生，吴荣.关于破产概率函数的可微性的注［J］.应用概率统计，2001，17（3）：267-275.［4］LIU D，LIU Z.The perturbed compound Poisson risk model with linear dividend barrier［J］.J Comput Appl Math，2011，235（8）：2357-2363.［5］孙景云.门限分红策略下复合Poisson风险模型的绝对破产［J］.山东大学学报，2010，45（3）：105-110.［6］彭丹，侯振挺，刘再明.常利率和门限分红策略下带干扰的泊松风险模型的绝对破产问题［J］.应用数学学报，2012，35 （5）：855-866.［7］董英华，张汉君.带干扰的双Poisson风险模型的破产概率［J］.数学理论与应用，2003，23（1）：98-101.［8］陈昱，苏淳.有利息力情形下的有限时间破产概率［J］.中国科技大学学报，2006（5）：909-916.［9］YUEN K C，ZHOU M，GUO J.On a risk model with debit interest and dividend payments［J］.Statist Probab Lett，2008，78 （15）：2426-2432.［10］宗昭君，胡锋，元春梅.具有线性红利界限的破产理论［J］.工程数学学报，2006，23（2）：319-323.。

带两类离散时间风险过程的期望折现罚金函数

为了讨论（）满足的一些关系，得出几何索赔额分布的Ｇｒｅ— ｈ折现罚金函数的表达式，ｅｒＳｉｂｕ定义辅助函数
（）＝研ＷＵＴ一，ＵＴ１，）Ｌ１， ¨ （（）Ｉ（））ｌ１＝ｋ
共同的离散分布ｑ＝ＰＹ＝ｉ和肛分别表示和ｙ（）的ｕｔ（）＝“ 此式在妒 “ 的推导过程中非常有用。］，（）令Ｍ＝Ｗ１＾Ｌ “≥０数学期望，（）＝ｓＰ（）＝，和ｓｑｓ分别表示和
ｋ）：Ａ１Ａ ‘ （一）。类似地，Ⅳ （）ｋ＝０１…｝｛２ｋ，，，是具有ｉ．
险模型（）我们利用概率生成函数这个工具来代替通１中，
那么在同一式中的ｕ是初期盈余，寸每个日期的保险费率是１｛（）０１，ｓｋ，，常被用于连续时间模型中的拉普拉斯变换式，＝，时间点上，可能会同时出现两种索赔，这是不同于连续时间｝是总金劫挝翟。假使ｓｋ是由两类的保险风险，（）减即
（台学院数学系，北邢台０４０）邢河５０１
摘
要：对于包括两种独立类型的离散时间风险模型，假设第一类的索赔间隔时间是服从几何分布的随机变量，并且第二类
索赔间隔时间是两个相互独立的各自服从几何分布的随机变量的总和，当两类的赔款服从几何分布时，可以得到Ｇｒｅ —Ｓｉ便ｅｂｒｈｕ
（）＝ＥｖｗＵＴ一，ｕｒｆ，）ｕｏＥ（（）Ｉ（））Ｉ（）＝“ ］
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ３
式中ｕ为非负整数，＜１０＜是折现因子，（，（，０ｗｉ）ｉｊｊ＝，

带两类离散时间风险过程的期望折现罚金函数

The Expected Discounted Penalty Function for the Two Classes of Discrete Time Risk Processes
作者：尹彦红
作者机构：邢台学院数学系,河北邢台054001
出版物刊名：衡水学院学报
页码： 3-4页
年卷期： 2010年第4期
主题词：离散时间模型;几何分布;罚金函数
摘要：对带两种独立类型的保险风险的离散时间风险模型,我们假设第一类的索赔间隔时间是服从几何分布的随机变量,第二类索赔间隔时间是两个相互独立的各自服从几何分布的随机变量的总和,当两类的赔款服从几何分布时可以得到Gerber-Shiu期望折现罚金函数的表达式.由定义的Dickson-Hipp算子,得到罚金函数的简化表达式.。

一类 Omega 模型的期望折现罚金函数

一类 Omega 模型的期望折现罚金函数周颖;王秀莲【摘要】On the basis of the classical risk model , this paper considers the expected discounted penal-ty function according to the company ’ s surplus plus or minus charge the premium .Firstly, we obtain the inte-gral differential equation for the expected discounted penalty function of bankruptcy by the law of total proba -bility.Secondly, the differential equation for the expected discounted penalty function in the case of exponen-tial claim is given .Finally , choosing three common bankruptcy rate functions in the penalty function as expo-nential function , we have derived the explicit expressions of the expected discounted penalty function by chan -ging differential equation to Kummer function .%在经典风险模型的基础上，根据公司盈余的正负不同收取不同的保费，考虑期望贴现罚金函数。

首先，通过全概率公式得到了实质性破产时间的期望折现罚金函数满足的积分微分方程。

有多重门限分红策略的泊松风险模型期望折现罚金函数

第２５卷
第１期
甘肃科学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｓｕＳｃｉｅｎｃｅｓ
Ｖｏｌ ‘ Ｚ５Ｎｏ．１
Ｍｆｉｒ．２Ｏｌ３
２０１３年３月
有多重门限分红策略的泊松风险模型期望折现罚金函数
ＥｘｐｅｃｔｅｄＤｉｓｃｏｕｎｔｅｄＰｅｎａｌｔｙＦｕｎｃｔｉｏｎｏｆＰｏｉｓｓｏｎＲｉｓｋＭｏｄｅｌｗｉｔｈ
Ｍｕｌｔｉ — ｌａｙｅｒＤｉｖｉｄｅｎｄＳｔｒａｔｅｇｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢｙａｃｌａｓｓｏｆＰｏｉｓｓｏｎｒｉｓｋｍｏｄｅｌｗｉｔｈｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅａｎｄｍｕｌｔｉ — ｌａｙｅｒｄｉｖｉｄｅｎｄｓｔｒａｔｅｇｙ，ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ — ｌａｙｅｒｄｉｖｉｄｅｎｄｓｔｒａｔｅｇｙ；ｅｘｐｅｃｔｅｄｄｉｓｃｏｕｎｔｅｄｐｅｎａｌｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｐｏｉｓｓｏｎｒｉｓｋｍｏｄｅｌ；ａｂｓｏ — ｌｕｔｅｒｕｉｎｔｉｍｅ
ＨＵＡＮＧＧｕａｎｇ — ｄｉ．ＺＨＡＮＧＲｕｉ — ｆａｎｇ

支付红利的双险种复合二项风险模型的Gerber-Shiu折现罚金函数

支付红利的双险种复合二项风险模型的Gerber-Shiu折现罚金函数方世祖;朱双喜【摘要】In this paper,we study the double type-insurance compound binomial risk model. The insurer pays dividends to shareholders with a probability when the surplus is greater than or e-qual to a non-negative dividend-line. We derive the defective renewal equation and the asymptotic expressions for the Gerber-Shiu discounted penalty function by using the renewal theory. The recursion formulas and asymptotic expressions for the ruin probability, the probability function of the severity of ruin,and the surplus prior to the ruin time are obtained.%对支付红利的双险种复合二项模型,考虑当盈余大于或等于一个给定的非负红利界时保险公司以一定概率给股东分红的情形,利用更新理论,得到该模型的Gerber-Shiu折现罚金函数满足的瑕疵更新方程及其渐近表达式,并给出破产概率、破产时破产赤字分布和破产前瞬时盈余的概率函数的递推公式及其渐近表达式.【期刊名称】《广西科学》【年(卷),期】2012(019)004【总页数】5页(P297-301)【关键词】双险种复合二项模型;Gerber-Shiu折现罚金函数;瑕疵更新方程;渐近表达式;破产概率【作者】方世祖;朱双喜【作者单位】广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004【正文语种】中文【中图分类】O211.6考虑经典复合二项风险模型:假设任意一个时间区间(n-1,n](n=1,2,…)中,至多有一次索赔发生:用ξn=1表示有一次索赔发生;用ξn=0表示没有索赔发生.假设{ξn,n=1,2,…}为独立同分布的随机变量序列,且满足P(ξn=1)=p,P(ξn=0)=q,0＜p ＜1,p+q=1,若用Xn表示这个时间区间的索赔额, Xn为取正整数值的随机变量,Sn 表示到n个时间区间末保险公司所支付的索赔总额,则有Sn=ξ1X1+ξ2X2+…+ξnXn.再假定{Xn,n=1,2,…}为独立同分布序列,而且在每个时间区间的开始时刻收取一个钱币单位的保费,这样保险公司在时刻n的盈余可表示为其中U(0)=u为初始盈余,其取值为非负整数.而我们知道,在保险公司实际经营中,股东投资的目的就是为了能定期获得收益,而随着保险行业竞争的加剧,公司对股东分红多少显得很重要,况且投保人往往不只购买一种保险.因此,对多险种的风险模型和带分红的风险模型[1～5]进行研究很有必要.但是文献[1～3]和[5]仅讨论了对顾客分红的模型,文献[4]仅讨论了对股东和投保人都分红的模型.本文讨论对股东分红且分红界为一般的非负整数的支付红利的双险种复合二项风险模型,得到了该模型的Ger ber-Shiu折现罚金函数满足的瑕疵更新方程及其渐进表达式,并给出了破产概率、破产时破产赤字分布和破产前瞬时盈余的概率函数的递推公式及其渐进表达式.在经典复合二项风险模型的基础上加入另一险种,其索赔总额过程也为复合二项过程,并考虑分红策略为:当盈余大于或等于非负红利界a时保险公司将以概率p0给股东分红1个单位钱币.同时为讨论方便假设保险公司单位时间内收取的保费为1单位钱币.于是,盈余过程可表示为[1] Bao Z H.A note on the compound binomial model with randomized dividend strategy[J].Applied Mathematics and Computation,2007,194:276-286.[2] Tan J Y,Yang X Q.The compound binomial model with randaomized decisions on paying dividends[J].Insurance:Mathmatics and Economic,2006,39:1-18.[3] Landriault D.Randomized dividends in the compound binomial model with a general premium rate[J].Scandinavian Actuarial Journal,2008(1):1-15.[4] He L,Yang X Q.The compound binomial model with randomly paying dividends to shareholders and policyholders[J].Insurance:Mathematics and Economic,2010 (46):443-449.[5] 谭激扬,陈珊,杨向群.支付红利的复合二项模型[J].经济数学,2008,25(2):111-117.[6] 成世学,朱仁栋.完全离散经典风险模型中的渐近解和Lundberg型不等式[J].高校应用数学学报,2001,16 (3):348-358.。

带红利的两类索赔风险模型的Gerber-Shiu函数

带红利的两类索赔风险模型的Gerber-Shiu函数范庆祝;尹传存【摘要】本文考虑了一类具有常数红利界限的包含两个独立险种风险模型的Gerber-Shiu罚金折现期望函数,我们假设两个索赔次数过程是独立的Poisson过程和广义Erlang(2)过程.得到了关于Gerber-Shiu罚金折现期望函数满足的积分-微分方程及其边界条件.特别,当这两类索赔额服从同一指数分布时,给出了Gerber-Shiu罚金折现期望函数的精确解.最后给出了一个例子.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2009(026)001【总页数】9页(P51-59)【关键词】双险种风险模型;红利;复合Poisson过程;Gerber-Shiu罚金折现期望函数;积分-微分方程【作者】范庆祝;尹传存【作者单位】石河子大学商学院商务信息系,新疆,五家渠,831300;曲阜师范大学数学科学学院,曲阜,273165;曲阜师范大学数学科学学院,曲阜,273165【正文语种】中文【中图分类】O211.91 引言经典风险模型及其有关的推广模型基本上描述的是单一险种的数学模型，已得到了许多完善的结果。

但是随着保险公司业务规模的扩大，用单一险种的数学模型来描述风险经营过程具有很大的局限性。

因此，保险公司会考虑险种的多元化并不断开发新的险种。

另外，保险公司为了吸引更多的客户，又推出各种分红保险，即投保人除了可以得到传统保单规定的保险责任外，还能从保险公司经营的利润中获得较高的投资回报。

所以说，分红保险为客户有效规避风险、获取最大利益提供了良好的机会。

分红保险最早出现在1776年的英国，当时是为了抵御通货膨胀和利率波动而推出的。

它兼具保障和投资功能，因此一经推出，立即受到市场的普遍欢迎。

到二十世纪六十年代，西方发达国家的寿险公司又在此基础上，进行了多样化的开发。

近年来，分红保险更是成为世界保险市场的主流产品。

本文针对上述情况考虑如下带红利的双险种风险模型。

【国家自然科学基金】_poisson积分方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
科研热词推荐指数赤字 2 破产时刻 2 椭圆外区域 2 poisson过程 2 helmholtz方程 2 gerber-shiu函数 2 非传统cmos 1 随机保费 1 超逼近 1 表面势模型 1 自然边界归化 1 自然边界元法 1 罚金折现函数 1 罚金函数 1 积分方程 1 积分展开式 1 积分-微分方程 1 破产概率 1 破产时赤字 1 破产时 1 破产前瞬时盈余额 1 破产前瞬时盈余 1 破产前余额 1 期望红利总量现值 1 更新方程 1 按比例分红策略 1 拉普拉斯变换 1 扩散过程 1 微分积分方程 1 广义erlang(2)过程 1 常利率古典风险模型 1 复合泊松风险模型 1 复合poisson过程 1 复合poisson模型 1 器件物理 1 各向异性问题 1 双栅mosfet 1 利率 1 体mosfet极限 1 不完全双二次元 1 toda晶格 1 threshold strategy模型 1 poisson理论 1 noether理论 1 mathieu函数 1 laplace变换 1 hjb方程 1 hamilton系统 1 gerber-shiu折现罚金函数 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

保费随机复合二项模型的Gerber-shiu折现罚金函数

保费随机复合二项模型的Gerber-shiu折现罚金函数孙歆;方世祖;段誉【摘要】考虑保费随机收取的复合二项模型.得到了其Gerber-shiu折现罚金函数满足的递推公式,瑕疵更新方程及其渐近解,并且通过构造一个相关的复合几何分布函数,得到了这个更新方程的解析解.相应的也得到了一些相关精算量的渐近表示和分布函数,如破产前瞬时盈余分布的渐近解,导致破产的索赔额的分布函数.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2010(027)004【总页数】8页(P73-80)【关键词】复合二项模型;Gerber-shiu折现罚金函数;瑕疵更新方程;复合几何分布【作者】孙歆;方世祖;段誉【作者单位】毕节学院,数学系,贵州,毕节,551700;广西大学,数学与信息科学学院,广西,南宁,530004;广西大学,数学与信息科学学院,广西,南宁,530004;毕节学院,数学系,贵州,毕节,551700【正文语种】中文【中图分类】O211.67许多文献对经典复合二项模型进行了推广,得到了许多比较完美的结果,如文献[1-3].文献[4]研究了经典复合二项模型的Gerber-shiu折现罚金函数,得到了其渐近解及相关精算量的分布.本文将经典复合二项模型推广为保费随机的复合二项风险模型,即:将保费收取过程推广为参数为p1的二项随机序列{M(n),n≥0},其中M(n)表示到时刻n为止所收到的保单数,且假设{M(n),n≥0},{N(n),n≥0}(到时刻n为止所发生的索赔次数过程)和{Xi,i≥1}(索赔额随机变量序列)之间相互独立,初始资本(也即自由准备金)仅取非负整数值,即u=0,1,…,这里假定每个保单收取一个单位的保险费,那么时刻n时保险公司的盈余为并且假定在单位时间区间(n-1,n]内如果有保费收入将在时间区间(n-1,n]的始端收到,如果有理赔将在此区间的末端发生.为了保证公司的安全经营,假定相对安全负荷记P(X=k)=p(k),k=0,1,2,…表示个体索赔的概率密度函数,则有P(0)=0,也即p0=0,下记证明(i)在时间段(0,1]内,分以下几种情况考虑U(t)1)在时间段(0,1]内,没有收到一个保费,也没有发生一次索赔;2)在时间段(0,1]内,收到一个保费,但没有发生一次索赔;3)在时间段(0,1]内,没有收到一个保费,但发生一次索赔;4)在时间段(0,1]内,收到一个保费,发生一次索赔.运用全概率公式得由于p(0)=0,将式(6)稍微整理一下即得式(3).(ii)将(6)的两端同时乘以zu并关于u从0到求和得到注1 当p1=1时,模型(1)就是经典的离散时间风险模型,则本文中得到的定理2即是文献[4]中的定理1和定理2.且v=1时推论1即为文献[4]中的推论1.注2 当ω(x1,x2)取不同的表示形式时,还可以得到其他相关精算量的渐近表示.如取ω (x1,x2)=I(x2≤y),v=1时,mv(u)=E(|U(T)|≤y|U(0)=u)为破产时赤字的分布函数,代入定理2可得破产时赤字的分布函的渐近解.为破产前瞬时盈余和破产时赤字的联合分布函数,代入定理3可得破产前瞬时盈余和破产时赤字的联合分布的解析解.【相关文献】[1] 成世学.破产论研究综述[J].数学进展,2002,31(5):403-422.[2] GERBER H U.Mathematical fun with the compound binomial process[J].Astin Bulletin,1988,18:161-168.[3] SH IU E SW.Probability of eventual ruin in the compound binomial model[J].Astin Bulletin,1989,19:179-190.[4] 龚日朝,邹捷中.复合二项风险模型下Gerber-Shiu折现惩罚函数的渐近解[J].系统科学与数学,2007,27(4):573-586.[5] BAO Zhen-hua.The expected discounted penalty at ruin in the risk process w ith random income[J].App lied mathematics and computation,2006,179(2):559-566. [6] L IU Guo-xin,WANG Ying.On the expected discounted penalty function fo r the continuous-time compound binomial risk model[J].Statistics&Probability Letters,2008,178(15):2446-2455.。

基于线性分红模型下的期望折现罚金函数

基于线性分红模型下的期望折现罚金函数陈洁;于泳;申莹;刘建美【摘要】由于保险公司的正常运营会受利率等的影响,考虑线性分红利率下的风险模型,得到了期望折现罚金函数、破产概率、生存概率及期望折现分红函数的积分微分方程,研究了索赔额为指数分布时,推出破产概率的解析表达式,以及赤字分布、期望折现分红函数的积分微分方程的显式解.【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(045)003【总页数】4页(P23-26)【关键词】线性红利;期望折现罚金函数;期望折现分红函数;积分微分方程;破产概率【作者】陈洁;于泳;申莹;刘建美【作者单位】济宁学院数学系,273155,曲阜市;文登师范学校,264499,山东省文登市;济宁学院数学系,273155,曲阜市;济宁学院数学系,273155,曲阜市【正文语种】中文【中图分类】O211.60 引言保险公司为吸引更多的客户，纷纷推出各种分红保险. 分红策略问题最初是由De Finetti[1]提出进行分析的. 近年来，红利和破产的问题被越来越多的读者研究[2-5]. 但大多是研究常值红利边界下的破产概率问题，实际经营中应对红利的发放加以限制来减小保险公司的最终破产概率，若将红利边界设置为依赖于时间边界的线性红利边界则能克服这一缺陷. 文献[6]研究了线性红利边界下经典风险模型，文献[7]研究了线性红利边界下带干扰的经典风险模型. 在本文中,设u≥0,给定概率空间(Ω,F,P),t≥0, 令(1)其中u≥0表示保险公司的初始准备金; c为单位时间收取的保费; 计数过程{N(t),t≥0}表示(0,t]内保险公司总理赔次数，服从参数为λ>0的Poisson 过程; {Yi,i=1，2，…}表示第i次理赔额，且独立同分布，其分布函数为G(y),G(0)=0; U(t)为时刻t时保险公司的盈余. 假定{N(t),t≥0}与{Yi,i=1，2，…}是相互独立的. 对模型进行修正：设定一个红利界bt=b+at，其中b为初值(u≤b); a为递增速率(0<a<c).c1为单位时间收取的保费, α(0<α≤c1)为红利率. 若盈余在红利界bt以下，便不发放分红; 如果盈余在红利界bt以上，红利以α分发, 发放完红利之后的净保费率c2=c1-α≥0表示. 于是在这个边界策略下的盈余过程{U(t)}可表示为令表示保险公司在时刻t的获利部分. 假设E[R(t)]>0, 由此定义相对安全负荷的条件为cj-E(Yi)>0, j=1,2; i=1,2,…定义该模型的破产时刻为Tbt=inf{t:U(t)<0|U(0)=u}.引进Gerber-Shiu函数可表示为<)|U(0)=u],u≥0,(2)其中δ>0可理解为利息强度或拉普拉斯变换的变量, ω(x1,x2),x1,x2≥0为破产前的瞬间盈余x1与破产时的赤字x2的一个非负二元函数.I(E)是事件E的示性函数. 定义 D=e-δtdD(t)表示到破产前所有的累计折现分红值.对δ>0, 期望折现分红函数Vbt(u)被定义为Vbt(u)=E[e-δtdD(t)].1 积分微分方程定理1 令u≥0, m(u)满足积分方程(3)其中ζ(t)=ω(t,y-t)dG(y).证明令T1为计数过程{N(t),t≥0}的第一次跳跃时刻，当初始盈余0≤u≤b时，对初始盈余大小和初始索赔发生时刻取条件，得到两种情形，一是首次索赔时刻发生在盈余到达bt之前，二是首次索赔时刻发生在盈余在bt之后，每种情况都包含破产发生和不发生两种情况，有m(u)显然有和假设γbt(t)=ω(t,y-t;bt)dG(y),ζbt(t)=ω(t,y-t;bt)dG(y).则令s=u+(c1-a)t，有则mbt(u)=B1+B2.对其关于u求导，得(3)式.注①若δ=0,ω(x1,x2)=1,mbt(u)为破产概率ψbt(u)，那么(3)式为相应地，生存概率φbt(u)满足的积分微分方程为②若a=0,(3)式变为常值阈红利策略下的风险模型，其积分微分方程为当u=b时，满足的边界条件为定理2 当0≤u≤b时，期望折现分红函数Vbt(u)满足下面的积分微分方程特别地，当u=0时，有证明类似于证明(3)式的方法可得到定理2的证明.2 一些显式解上一节中得到盈余方程(1)的Gerber-Shiu函数mbt(u)的表达式. 可以看出求mbt(u)的解析形式是困难的, 但是在一些特殊条件下，可以求出它们较为精确的表达形式.假设每次索赔额Yi的分布为 G(y)=1-e-βy,其中β>0,y>0.令ω(x,y)=1,δ>0. 当u≥0时, 有mbt(u)=Eu[e-δTbtI(Tbt<)]≜ψbt(u)是破产时的期望折现函数；令ω(x,y)=y,δ>0. 当u≥0时, 有mbt(u)=Eu[|UTbt|e-δTbtI(Tbt<)]≜ηbt(u)是赤字的期望折现函数.当u≥0时, 得到在指数分布下破产时的期望折现函数所满足的积分微分方程, 有关于u再求导，得到分部积分可得整理得则ψbt(u)满足下面的式子(c1-a)y″+(βc1-βa-λ-δ)y′-δβy=0,(4)这里边界条件ψbt()=0. 又(5)解这个方程，有ψbt(u)=M1eru+M2er1u,r<0,r1>0,因为ψb()=0, 所以M2=0,有ψb(u)=M1eru. 将其带入式(5), 得到M1为一个分式形式,其分子部分是分母部分是r为方程(4)的一个负解, 即再令δ=0, 则将r代入M1中, 得到M1的表达式，从而可得到最终破产概率ψbt(u)的近似解.很容易得到ηbt(u)也满足方程(4), 有边界条件ηbt(+)=0和(6)同样的解决问题有ηbt(u)=M3eru. 将这个公式带入式(6), 整理得到M3, 再令δ=0, 将r代入M3进而得到ηbt(u)的近似解.利用类似的方法，对于分红函数当个体索赔额为指数分布时Vbt(u)也满足一个齐次微分方程求其通解类似于上述方法，在这里省略.参考文献：【相关文献】[1] De Finetti B. Su un’Impostazione Alternative Della Teoria Collettiva Delrischio[J]. Proceedings of the Transactions of the XV International Congress of Actuaries, 1957, 2: 433-443.[2] Lin X S, Pavlova K P. The Compound Poisson Risk Model with a Threshold Dividend Strategy[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2006, 38: 57-80.[3] Li S, Garrido J. On a Class of Renew Risk Models with a Constant Dividend Barrier[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2004, 35: 691-701.[4] Lin X S, Willmot G E, Drekic S. The Classical Risk Model with a Constant Dividend Barrier: Analysis of the Gerber-Shiu Discounted Penalty Function[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33: 551-566.[5] Gao H, Yin C. The Perturbed Sparre Andersen Model with a Threshold Dividend Strategy[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 220: 394-408. [6] Albrecher H, Hartinger J, Tichy R F. On the Distribution of Dividend Payments and the Discounted Penalty Function in a Risk Model with Linear Dividend Barrier[J]. ScandinavianA Ctuarial Journal, 2005, 12: 103-126.[7] 宗昭军, 胡锋, 元梅春. 具有线性红利界限的破产理论[J]. 工程数学学报, 2006, 23(2): 319.。

有多重门限分红策略的泊松风险模型期望折现罚金函数

有多重门限分红策略的泊松风险模型期望折现罚金函数黄光迪;张瑞芳【摘要】对一类带干扰且有多重门限分红策略的泊松风险模型,运用随机分析方法得到了Gerber期望折现罚金函数φb(u)满足的逐段积分-微分方程；在索赔额服从指数分布的情况下,求得φb(u)满足的条件.%By a class of Poisson risk model with disturbance and multi-layer dividend strategy,the integral differential equation which satisfied the expected discounted penalty function Φb(u) was obtained on the basis of the stochastic analytic theory. The conditions of ΦB(U) was also presented under the exponential distribution of claims amount.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2013(025)001【总页数】4页(P144-147)【关键词】多重门限分红策略;期望折现罚金函数;Poisson风险模型;绝对破产时间【作者】黄光迪;张瑞芳【作者单位】兰州理工大学理学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O211.671857年Di Fineth提出了障碍分红策略，是指保险公司的盈余超过某一确定常数时，将全部盈余作为红利分配给股东.Lin等[1］对障碍分红策略进行了推广，提出了门限分红策略，是指当保险公司盈余超过某一特定值时，将超出该数值部分的盈余按照一定比例将其中一部分配给股东.文献[2］中研究了一类带有多重门限分红策略的泊松风险模型时得到了期望折现罚金函数所满足的方程；文献[3］中研究了一类带有多重门限分红策略的泊松风险模型，并运用Laplace变换法给出了期望折现罚金函数、破产概率、破产前的盈余分布和破产时赤字分布的显式表达式；文献[4］中考虑了具有分红策略的古典风险模型的绝对破产问题，得到了该风险模型的Gerber－shiu函数.文献[5］中对随机利率下的破产概率与罚金函数做了较深入的研究.有关风险模型其他的一些研究可参见文献[6－9］.在上述工作的基础上，我们研究了一类具有扩散项且带有多重门限分红策略的泊松风险模型，运用随机分析手段给出了期望折现罚金函数所满足的积分微分方程.设保险公司t时刻的保费收入为函数c（t）.记0＝b0＜b1＜…＜bn＝∞为给定的和保费收入相关的一组常数，并且在每段i上的保费率为ci，则我们讨论带有多重门限分红策略的、具有扩散项的泊松分布的风险模型为其中：u为初始盈余；｛N（t），t≥0｝是具有强度λ＞0的泊松过程；独立同分布的随机变量序列｛Xi，i＝1，2，…｝表示理赔额，具有分布函数F（x）和密度函数f（x）以及期望μ；｛W（t），t≥0｝是标准的Wiener过程，离差参数为σ2 ＞0.此处假设｛N（t），t≥0｝，｛Xi，i≥1｝和｛W（t），t≥0｝均相互独立. 绝对破产概率模型是在古典风险模型的基础上，进一步假设当保险公司无力偿还索赔时，公司通过向银行贷款等融资手段来弥补暂时的赤字，从而继续经营.假设银行贷款利率为β＞0，且公司的贷款是连续动态的；当盈余＜－c／b时，保险公司无力偿还索赔，绝对破产概率发生.因此对模型（1）定义Tb＝inf｛t；Ub（t）＜－ci／b｝为绝对破产时间，Ψb（u）＝P（Tb＜∞｜Ub（0）＝u）为绝对破产概率.为保证保险公司正常运转，设ci＞λμ，定义相应的期望折现罚金函数为其中：δ＞0为折现率，ω（x1，x2）为罚金函数；Ub（Tb－）为绝对破产前瞬时盈余；｜Ub（Tb）｜为绝对破产赤字；I（A）为A的示性函数.首先由文献[5］可得如下的引理1，在此基础上可得模型（1）的系列结果.引理1 设f（t）＝Y（t）－u，Y（t）＝u＋cit＋sW（t），则定理1 当时，如果Φb（u）两次可微.则Φb（u）满足如下的逐段积分－微分方程：证明当0＝bi－1＜u＜bi时，考虑在足够小的时间区间Δt内，首次理赔时间和理赔额取期望值，有上式两端同乘以，整理后可得上式两端同除以Δt，令Δt→0，可得令f（Δt）＝Y（Δt）－u，把函数Φb（f（Δt）＋u）在u处用泰勒公式展开得其中：u＊介于u和f（Δt）＋u之间.将式（5）代入式（4）并利用引理1即可得式（3）.定理2 当时，如果Φb（u）两次可微，，则Φb（u）满足如下的逐段积分—微分方程：证明当时，同理有易知把式（8）代入式（7），对方程两端乘以后同除以Δt，并令Δt→0即可得式（6）.定理3 当索赔额服从参数为γ的指数分布，即密度函数为时满足：证明当时，式（3）可化为令u－x＝t，则上式化为关于u求导，可得将式（11）和式（12）联立可得式（9）.同理，当时，式（6）可化为令u－x＝t，则上式化为再次对u求导，可得将式（13）和式（14）联立即可得式（10）.【相关文献】[1]Lin X S，Sendova K P.The Compound Poisson Risk Model with a ThresholdsStrategy[J］.Insurance：Mathematic and Economics，2006，（38）：57－80.[2]Lin X S，Sendova K P.The Compound Poisson Risk Model with MultipleThresholds[J］.Insurance：Mathematics and Economics，2008，（42）：617－627.[3]杨鹏，林祥.关于一类带有多重门限分红策略的泊松风险模型的研究[J］.重庆文理学院学报：自然科学版，2009，28（3）：5－8.[4]Yuen K C，Wang G J，Li W K.The Gerber－shiu Expected Discounted Penalty Function for Risk Process with Interest and a Constant Dividend Barrier[J］.Insurance：Mathematics and Economics，2007，（40）：104－112.[5]Cai J.Ruin Probability and Penalty Functions with Stochastic Rates ofInterest[J］.Stochastic Processes and Their Applications，2004：53－78，112.[6]黎锁平，白志文，马成业.保费率交替变化的马氏调制风险模型[J］.系统工程学报，2011，26（6）：752－759.[7]黎锁平，刘琪.考虑投资和干扰具有随机保费的离散风险模型[J］.高校应用数学学报，2009，24（1）：9－4.[8]鹿艳锦，黎锁平.复合风险组合中有关理赔总额分布的分析[J］.甘肃科学学报，2008，20（3）：27－30.[9]刘琪，黎锁平.改进后复合负二项分布的破产概率[J］.甘肃科学学报，2008，20（2）：142－145.。

几类风险过程的Gerber_Shiu函数的求解

This paper’s innovation mainly has three points: • By modifying the traditional Erlang(2) process through adding another kind of
claims, we build a new model. We derive its system of integro-diﬀerential equations and solve it explicitly when the claims follow exponential distribution. • We develop a model by introducing n claims beyond the traditional risk, then derive its system of integro-diﬀerential equations and the explicit expression of its Laplace transform. • We consider a risk model in which each main claim induces a delayed claim called a by-claim. We develop a recursion method to explore its solution. Key words: Erlang risk process; Gerber-Shiu function; Integro-diﬀerential equations;
分-微分方程组，在索赔服从指数分布情形下给出了其Laplace变换的显式表达； • 对经典风险过程附加n个索赔风险，建立新模型，并得到了Gerber-Shiu函数的积分-微分方程组和其Laplace变换的显式表达； • 对具有相伴延迟索赔的模型，提出了一种用函数序列逼近，求解其GerberShiu函数的方法。关键词： Erlang风险过程； Gerber-Shiu函数；积分-微分方程； Laplace变换

保费收取次数为负二项随机序列的复合二项风险模型_陈贵磊

[ 1] 注册会计师 ( 财务管理6 [ M ] . 哈尔滨 : 东北财经大学出版社 , 2002. [ 2] 周频 . 略析财务管理与财务治理[ J] . 经济师, 2004, ( 11) . [ 3] 李世杰 . 加强产业公司财务管理之我见 [ J] . 经济师 , 2004, ( 9) .
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山东科技大学学报 ( 自然科学版 ) 的正解, M X ( r ) 为 X 的矩母函数。证明 E( e E( e
- rU ( n) - rU ( n)
第 25 卷
U( n i ) - U( n i- 1 ) = c( M ( n i ) - M ( ni- 1 ) ) ( S ( n i ) - S ( ni- 1 ) ) 而 i = 1, 2, , n M ( n 1) - M ( n 0) , M ( n 2) - M ( n 1) , ,, M ( n n ) - M ( n n- 1 ) S ( n 1) - S ( n 0) , S ( n 2) - S ( n 1) , ,, S ( nn ) - S ( n n- 1 ) 是相互独立的, 因此盈余序列 { U( n) : n \ 0} 具有独立增量。又因为 U( n + k ) - U( n) = c( M ( n + k ) - M ( n ) ) + ( S ( n + k ) - S ( n) ) 且对一切 n \ 0 , M ( n + k) - M ( n ) , S ( n + k ) - S ( n ) 具有相同的分布。所以, 对一切 n \ 0 U( n + k ) - U( n) 也具有相同的分布, 即 { U( n ) : n \ 0} 具有平稳增量。综上所述, 盈余序列 { U( n) : n \ 0} 具有平稳独立增量。性质 2. 2 cnq E ( U( n) ) = u + - np cL p c2 q 2 2 Var ( U( n) ) = n L + R) 2 + p c( q c p 其中 L = E ( X ) , R2 = Var ( X ) . 证明因为 nq nq E ( M ( n) ) = , V ar ( M ( n ) ) = 2 p p cnq 所以 , E ( S ( n) ) = - np cL p c2 q + p c( qcL2 + R2 ) Var ( S ( n ) ) = n p2 因而 E ( U( n ) ) = E ( u + cM ( n) - S ( n) ) = u + cE ( M ( n) ) - E ( S ( n) ) = u + cnq - np cL p Var ( U( n)) = Var ( u + cM ( n) - S ( n)) = c2 nq + np c( qcL2 + R2 ) p2

带随机红利的双险种复合二项模型

Ｐ＋Ｙ＝七，表示两险种索赔额之和的概率，）
（０＜Ｐ＜１２２）２，＋ｇ＝１，ＰＮ（）＋＋… 十，Ｖｎｎ： ≥０，（．）１４
Ｆ＝（，ｎ１（ ∑Ｄ七Ｖ＞，））
七＝ｌ
Ｆ（）一ｎ， ≥１Ｅ（＝＋．，＝１Ｆ（）Ｖｚ，Ｄ）ｌ２上述Ｐ（），ｎ，，）Ｆ（）分别称为索赔额？Ｑ（
（ｃｏｌｆｔｅａｉｄＩｆｒｔｎＳｉｃ，ｕｎｘｎｖｒｉ，ｎｉｇＧａｇｉ３０４ＣｉａＳｈｏｏＭａｍｔｓｎｏｍａｉｃｅｅＧａｇｉｉｅｓｙｈｃａｎｏｎＵｔＮａｎ，ｕｎｘ５００，ｈｎ）ｎ
Ｅ＋Ｃ＋ｒ）Ｉ＋Ｐ＋＜ｌ（ｉｌ＝ＰＩ２＿（．）１７
假设｛， Ⅳ（）”≥０，｛，，０，｛ｎ０，）Ａ（）７），）２１
｛，０，｛，０）｝，｛０之间是相互独，）
。
Ｍ（）届＋＋，ｎ０，ｎ＝ …＋Ｖ
（．）１５
约定Ｎ（）Ｏ＝Ｍ（），ｎ，（）Ｏ：０Ｎ（），表示到第个２
单位时间末为止各险种所发生的总索赔次数。
】＋】的尾概率。，，，为保证公司的正常营运，本文恒假定
文章编号：１７．０５２１）３０１—５６４８８（００－０３０１
带随机红利的双险种复合二项模型
方世祖，文厚明２，刘

双理赔风险模型的Gerber_Shiu罚金函数

Ｇｅｒｂｅｒ－ＳｈｉｕＤｉｓｃｏｕｎｔｅｄＰｅｎａｌｔｙＦｕｎｃｔｉｏｎｏｆａｄｏｕｂｌｅ－ｃｌａｉｍｒｉｓｋｍｏｄｅｌＰａｎｊｉｅ１ＧｕｏＸｉａｎｇｐｅｎｇ２（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＨｕａｉｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｃｙ，Ｈｕａｉｎａｎ，２３２００７）【Ａｂｓｔｒａｔ】Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅａｄｏｕｂｌｅ－ｃｌａｉｍｒｉｓｋｍｏｄｅｌ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｍａｉｎｃｌａｉｍｃａｎｐｒｏｄｕｃｅａｂｙ－ｃｌａｉｍｗｉｔｈａｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆＰ．Ｗｅｏｂｔａｉｎｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅＧｅｒｂｅｒ－Ｓｈｉｕｄｉｓｃｏｕｎｔｅｄｐｅｎａｌｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ．【Ｋｅｙｗｏｒｄｓ】Ｇｅｒｂｅｒ－Ｓｈｉｕｄｉｓｃｏｕｎｔｅｄｐｅｎａｌｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ
换。本文在第三部分利用Ｕｔ的强马氏性，得到了期望折扣罚金函数所满足的积分方程和积分－微分方程。
Ｅ２＝ｐ
& !ｅ［ & ｗ（ｕ＋ｃｓ，ｘ－ｕ－ｃｓ）ｈ（ｘ）ｄｘ＋ &
００
""（ｕ＋ｃｓ－ｘ）ｈ（ｘ）ｄｘ］ｄｓ（７）

索赔具有时间相关性的复合二项风险模型

＝Ｐ是方程［ｌ一，一
将＝Ｐ带入（）式得５
一１）一
］＝０的根，以
（ｐ一（＋１（ｐ一（）ｐｖ￣）（）０）一）（）ｏ）ｎｏ＝０－
由（）即可得到（）。将（）带入（）可得６式３式６式６式
Ｇｒｅ－ｈｕ折现罚金函数的渐近解和解析解。ｅｂｒＳｉ
关键词：复合二项风险模型；间相关；ｅｂｒＳｉ时Ｇｒｅ— ｈｕ折现罚金函数；索赔；索赔主副
中图分类号：１．Ｏ２１７６文献标识码：Ａ文章编号：６３７５（０２０－０１０１７－０９２１）８０５－８
＋０（－ｆ（）９Ｏ０）１１
＋０（一∞２０）９２（），
［ｐｖｖＺ— —ｑＯ
一１）一
］
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＝ｑＯｃ（一∞ （）＋１）（Ｊ２０）ｐｖＯ，ｖ（１．１０）一（一∞ （）一ｍ（） ∞２由引理２１，．知
（６）
［ —ｐｖ一
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（７）
＝ｑＯ￣１一（）＋１）２一（）ｖ（（１）一（（国２ｐ）ｐ
将（式左边的第一部分减去（７）Ｐ－ｐｖ－［ —Ｐ一（ｐ一ｑ（— ｐ））ｖ１））并整理得一Ｊ）Ｄ】）
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＝０（，（／（，＜１１１））
一ｑ（一ｖ１）