2019-2020学年安徽省淮南市高一上学期期末数学试题及答案解析

2019-2020学年安徽省淮南市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（）A ．{1}B ．(1,1)C ．{}(1,1)D ．{}1,1【答案】C【解析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来. 【详解】 ∵2{0x y x y +=-= ∴1{1x y ==∴方程组2{0x y x y +=-=的解构成的集合是{（1，1）} 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写． 2．已知，且为第二象限角，那么 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可求出的值．【详解】，且为第二象限角，，则，故选：D ． 【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( ) A ．()2xf x =B ．()lg ||f x x =C ．1()f x x =-D ．1()33x xf x =-【答案】D【解析】先求函数的定义域，看是否关于原点对称，再判断()()f x f x -=-及单调性. 【详解】显然四个选项的函数的定义域都关于原点对称， 对A ，()2xf x =不为奇函数，故A 错误；对B ，()lg ||()f x x f x -=-=为偶函数，故B 错误；对C ，反比例函数在定义域上不具有单调性，故C 错误； 利用排除法可选D. 故选：D. 【点睛】本题考查判断具体函数的奇偶性和单调性，考查对概念的理解与应用，属于基础题.4．函数1sin (0π)2y x ϕϕ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）． A ．0 B ．π4C ．π2D ．π【答案】C【解析】分析：由奇偶性可得11sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化为cos 0ϕ=，从而可得结果.详解：∵1sin 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是R 上的偶函数， 则11sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin cos cos sin sin cos cos sin 2222x x x x ϕϕϕϕ-+=+， 即2sin cos 02x ϕ=成立， ∴cos 0ϕ=， 又∵0πϕ≤≤， ∴π2ϕ=．故选C ．点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --=恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 5．函数()2f x lgx x =+-的零点所在的区间（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,10)【答案】B【解析】(2)lg 222lg 20f =+-=>，(1)lg11210f =+-=-<，零点定理知，()f x 的零点在区间(1,2)上．所以B 选项是正确的．6．若1cos 63πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭,那么2sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】A 【解析】先观察角度2236πππαα+=++，再利用诱导公式，即可得答案. 【详解】∵21sin sin cos 36632ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意先找角度之间的关系.7．已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．c a b << D ．a b c <<【答案】A【解析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小. 【详解】 解：1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>.故选A. 【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题. 8．要得到函数y=cos(24x π-)的图像，只需将y=sin 2x的图像( )A ．向左平移2π个单位长度B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度【答案】A【解析】试题分析：本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为1y sin[()]sin()sin (2422422x x x ππππ=-+=+=+），然后根据“左加右减”的口诀平移即可.【考点】三角函数图像平移. 9．已知函数π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若f ()x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,则 m 的最小值是A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π【答案】B【解析】先求出522666x m πππ-≤-≤-，再根据πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为1得到m 的取值范围即得解. 【详解】 由题得25,22,2233666x m x m x m πππππ-≤≤∴-≤≤∴-≤-≤-， 因为函数f(x)的最大值为32，所以πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为1，所以2,623m m πππ-≥∴≥.所以m 的最小值为3π. 故答案为：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.10．己知定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称,且在[1,)+∞上单调递增,若点()1,m y ,()222,m y -都是函数()f x 图象上的点,且12y y >,则实数m 的取值范围是( )A ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭ D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用图象的对称性及单调性，可得m 到对称轴的距离大于22m -到对称轴的距离，解不等式，即可得答案. 【详解】由题意得：m 到对称轴的距离大于22m -到对称轴的距离， ∴2|1||221|30m m m m ->--⇒-<，解得20,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意只要将问题转化成点的横坐标到对称轴距离的大小问题即可.二、填空题11．2222sin 1sin 2sin 88sin 89︒︒︒︒+++=___________. 【答案】2【解析】利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系，即可得答案. 【详解】∵22sin 882cos ︒︒=，22sin 891cos ︒︒=， ∴原式2222sin 1sin 22cos 1cos 2︒︒︒︒=++=+. 故答案为：2. 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题.12．设扇形的半径为3cm ，周长为8cm ，则扇形的面积为__________2cm 【答案】3【解析】根据半径和周长求得弧长，再根据扇形面积公式求得扇形面积. 【详解】由于扇形的半径为3，周长为8，故弧长为8322-⨯=，所以扇形的面积为12332⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查扇形的周长公式，考查扇形的面积公式，属于基础题.13．在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个. 【答案】1【解析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos xx x x x x x =⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 14．函数()sin()(0,[0,2))f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则(2020)f =_________.【答案】22-【解析】由函数图象可得最小正周期，进而求得ω，代入()11f =可求得ϕ，进而得到()f x ；代入2020x =，利用诱导公式可求得结果. 【详解】由图可知，3124T=-=8T ∴=，即28πω= 4πω∴=由()1sin 14f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得：242k ππϕπ+=+，k Z ∈24k πϕπ∴=+，k Z ∈[)0,2ϕπ∈4πϕ∴=()sin 44f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()22020sin 505sin 442f πππ⎛⎫∴=+=-=- ⎪⎝⎭故答案为：2【点睛】本题考查根据图象求解函数解析式、诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够通过函数图象确定函数的最小正周期，同时利用最值点求得ϕ的值，从而得到函数解析式. 15．已知m R ∈,函数2()f x x m m =-+在2,5]的最大值是5,则m 的取值范围是_______.【答案】7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【解析】对m 分两种情况讨论，即0m ≤或0m >，结合二次函数的图象，即可得答案. 【详解】（1）当0m ≤时，22()f x x m m x =-+=，此时()f x 在单调递增，∴()f x 的最大值为5f =成立，∴0m ≤成立； （2）当0m >时，|5|,||2f m m f m m =-+=-+，∴55,52,f m m m m ⎧=-+=⎪⎨-≥-⎪⎩或25,52,f m m m m ⎧=-+=⎪⎨-<-⎪⎩ 解得：702m <≤， 综上所述：7,2m ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦. 故答案为：7,2m ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意在0m >时，函数的最值一定在端点处取得.三、解答题16．计算：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++-；（Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】（Ⅰ）32-；（Ⅱ）8- .【解析】（Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可.（Ⅱ）根据指数的运算性质和运算律化简即可得出结果. 【详解】 解：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++- =323lg100log 314+--=3252+- =32-.（Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.=342372)414⋅-⨯-=271-=2721--- =8- 【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题.17．（1）已知3sin cos 0x x +=，求22sin 2sin cos cos x x x x ++的值；（2）已知3cos 22ππαβ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且 ,02παπβπ<<<<，求,αβ的值．【答案】（1）25（2）34πα=，56πβ=【解析】（1）先求得1tan 3x =-，然后对22sin 2sin cos cos x x x x ++除以22sin cos x x +，再分子分母同时除以2cos x ，将表达式变为只含tan x 的形式，代入tan x 的值，从而求得表达式的值.（2）利用诱导公式化简已知条件，平方相加后求得cos α的值，进而求得α的值，接着求得cos β的值，由此求得β的大小. 【详解】（1）222222sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos x x x xx x x x x x++++=+22tan 2tan 1tan 1x x x ++==+ 25 （2）由已知条件，得sin αβαβ⎧=⎪= ，两式求平方和得22sin 3cos 2αα+=，即21cos 2α=，所以cos α=．又因为2παπ<<，所以cos α=，34πα=．把34πα=代入得cos 2β=-．考虑到0βπ<<，得56πβ=．因此有34πα=，56πβ=．【点睛】本小题主要考查利用齐次方程来求表达式的值，考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，考查特殊角的三角函数值.形如sin cos sin cos x x x x +-，222sin 2sin cos sin cos x x xx x +-或者2sin 2sin cos x x x +的表达式，通过分子分母同时除以cos x 或者2cos x ，转化为2tan ,tan x x 的形式.18．已知函数()x f x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围;(2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)(,5)-∞;(2)()0,1. 【解析】（1）由(5)8(2)f f =求得a 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案；（2）作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t 的取值范围. 【详解】 (1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2xf x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2xf x =,由题知21x y =-图象与y t =图象有两个不同交点,由图知:(0,1)t ∈【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 19．已知函数()cos2sin f x x x a =-+的最大值为178. (1)求a 的值;(2)若()2f α=,α在第三象限,求sin 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】62-【解析】（1）利用倍角公式和换元法，将函数()f x 化成关于t 的一元二次函数；（2）由(1)知,()cos2sin 1f ααα=-+,由()2f α=结合α在第三象限，求得sin ,cos αα的值，再利用两角差的正弦公式，即可得答案. 【详解】(1)∵2()cos 2sin 12sin sin f x x x a x x a =-+=--+， 令sin x t =，则2()()21,[1,1]f x g t t t a t ==--++∈-，max 111917()21416488g t g a a ⎛⎫=-=-⨯+++=+= ⎪⎝⎭∴1a =.(2)由(1)知,()cos2sin 1f ααα=-+, 若()2f α=,即212sin sin 12αα--+=解得sin 0α=或1sin 2α=-,因为α在第三象限,所以1sin 2α=-,cos α=,所以1sin cos )422224πααα⎛⎫⎛⎛⎫-=-=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查倍角公式、一元二次函数的最值、两角和的正弦公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号问题.20．已知函数2()2sin )1(0)4f x x x πωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭,()f x 的最小正期为π.(1)求()f x 的单调增区间; (2)方程()210f x n -+=在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解,求实数n的取值范围;(3)是否存在实数m 满足对任意1[1,1]x ∈-,都存在2x R ∈,使得()()1111244221x x x x m f x --++-+>成立.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;(2)112n -≤<或32n =;(3)存在,2929,66⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简得()2sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用周期公式求得ω的值，从而得到()f x 的解析式，再利用整体代入求单调区间；（2）方程()210f x n -+=;在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且有一个解,转化为函数()y f x =与函数21y n =-只有一个交点；（3）由(1)可知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()2min 2f x =-；实数m 满足对任意1[1,1]x ∈-,都存在2x R ∈,使得()()1111244221x x x x m f x --++-+>成立，即()1111442212x x x xm --++-+>-成立，再将问题转化为恒成立问题. 【详解】(1)函数()sin(2))2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∵()f x 的最小正周期为π.0>ω∴22ππω=,∴1ω=.那么()f x 的解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得:1212k x k π5ππ-≤≤π+ ∴()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (2)方程()210f x n -+=;在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且有一个解,转化为函数()y f x =与函数21y n =-只有一个交点.∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴52336x πππ-≤-≤因为函数()2sin 23y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上增,在57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上减,且57(0)2sin ()2,()131212f f f πππ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，∴211n ≤-<或212n -=,1n ≤<或32n =.(3)由(1)可知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,∴()2min 2f x =-.实数m 满足对任意1[1,1]x ∈-,都存在2x R ∈, 使得()()1111244221x x x x m f x --++-+>成立.即()1111442212x x x x m --++-+>-成立令()111144223x x x x y m --=++-+设1122xx t --=,那么()111122442222x x x x t --+=-+=+∵1[1,1]x ∈-,∴33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 可得250t mt ++>在33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立. 令2()5g t t mt =++,其对称轴2mt =-，∵33,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上, ∴①当322m -≤-时,即3m ≥,min 3293()0242mg t g ⎛⎫=-=->⎪⎝⎭,解得2936m ≤<; ②当33222m -<-<,即33m -<<时,min 2m m ()5024g t g ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭,解得33m -<<;③当322m ≤-,即3m -时,min 3293()0242mg t g ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭,解得2936m -<-;综上可得,存在m ,可知m 的取值范围是2929,66⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、三角函数的图象、不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.。