2016-2017年江苏省徐州一中高一上学期期中数学试卷带答案

2016-2017学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上.1．（5分）设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+2的单调减区间为（﹣∞，4]，则a=．3．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是．4．（5分）函数f（x）=+的定义域为．5．（5分）函数y=的值域是．6．（5分）设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是．7．（5分）计算：=．8．（5分）函数y=log（x2﹣2x﹣3）的单调减区间为．9．（5分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为．10．（5分）已知函数f（x）=，则f（2016）=．11．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是．13．（5分）若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，且满足f（x﹣y）=f（x）g（y）﹣g（x）f（y），f（﹣2）=f（1）≠0，则g（1）+g（﹣1）=．14．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，若存在x∈[t2﹣1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是．．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}．求：（1）∁U A；（2）A∪B；（3）若C={x|x＞a}，且B∩C=B，求a的范围．16．（14分）已知2x≤256，且log2x≥．（1）求x的取值范围；（2）求函数f（x）=log2（）•log2（）的最大值和最小值．17．（14分）已知奇函数f（x）=的定义域为[﹣a﹣2，b]（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；（3）若实数m满足f（m﹣1）＜f（1﹣2m），求m的取值范围．18．（16分）某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入（万元），假定该产品产销平衡．（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？（3）求该厂利润最大时产品的售价．19．（6分）已知y=f（x）是偶函数，定义x≥0时，f（x）=（1）求f（﹣2）；（2）当x＜﹣3时，求f（x）的解析式；（3）设函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．20．（16分）定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上.1．（5分）设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是0．【解答】解：A=B；∴m=3m；∴m=0；故答案为：0．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+2的单调减区间为（﹣∞，4]，则a=4．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2的单调减区间为（﹣∞，4]，可得=4，即a=4．故答案为：4．3．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是f（x）=x4．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象经过点（2，16），∴2a=16，解得a=4，∴f（x）=x4．故答案为：f（x）=x4．4．（5分）函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）5．（5分）函数y=的值域是{y|y≠1} ．【解答】解：∵函数y==∴函数y=的值域是的值域是{y|y≠1}6．（5分）设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a ＜c．【解答】解：∵0＜a=log0.60.9＜log0.60.6=1，b=ln0.9＜0，c=20.9＞1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．7．（5分）计算：=4．【解答】解：===4．故答案为：4．8．（5分）函数y=log（x2﹣2x﹣3）的单调减区间为（3，+∞）．【解答】解：令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞3}，且函数y=log t，故本题即求二次函数t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性值可得t在定义域内的增区间为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．9．（5分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为．【解答】解：若函数在（﹣∞，+∞）上单调递减则解得：故答案为：10．（5分）已知函数f（x）=，则f（2016）=0．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当x＞0时，f（x+6）=f（x+5）﹣f（x+4）=f（x+4）﹣f（x+3）﹣f（x+4）=﹣[f（x+2）﹣f（x+1）]=﹣[f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）]=f（x），∴f（2016）=f（6×336）=f（0）=log21=0．故答案为：0．11．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＜|2m|，两边平方得：（m+1）2＜4m2，解得：m＞1或m所以实数m的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，）∪（1，+∞）．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是[，16）．【解答】解：∵存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），∴log2（4﹣2）+2=3，log2（6﹣2）+2=4，∴3≤2x1﹣4＜4，∴≤x1＜4∵f（x1）=2x1﹣4，f（x1）=f（x2）∴x1f（x2）=x1f（x1）=x1（2x1﹣4）=2x12﹣4x1=2（x1﹣1）2﹣4，∴y=（x1﹣2）2﹣4，在[，4）为增函数，∴y∈[，16）故答案为：[，16）13．（5分）若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，且满足f（x﹣y）=f（x）g（y）﹣g（x）f（y），f（﹣2）=f（1）≠0，则g（1）+g（﹣1）=﹣1．【解答】解：∵f（x﹣y）=f（x）g（y）﹣g（x）f（y）=﹣[g（x）f（y）﹣f（x）g（y）]=﹣[f（y）g（x）﹣g（y）f（x）]=﹣f（y﹣x）∴f（x）是奇函数．﹣f（﹣2）=f（2）=f[1﹣（﹣1）]=f（1）g（﹣1）﹣f（﹣1）g（1）=f（1）g（﹣1）+f（1）g（1）=f（1）[g（﹣1）+g（1）]又∵f（﹣2）=f（1），∴g（﹣1）+g（1）=﹣1故答案为：﹣114．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，若存在x∈[t2﹣1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是．（，] ．【解答】解：当x≥0时，，∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣．∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（2x+t）≥2f（x）．∵不等式f（2x+t）≥2f（x）=f（4x）在[t2﹣1，t]有解，首先区间有意义：t2﹣1＜t得到＜t＜；∴2x+t≥4x在[t2﹣1，t]上有解，即：t≥2x，在[t2﹣1，t]有解，∴只需t≥2t2﹣2即可；解得≤t≤；综合得到到＜t≤．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}．求：（1）∁U A；（2）A∪B；（3）若C={x|x＞a}，且B∩C=B，求a的范围．【解答】解：（1）∵全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，∴∁U A={x|﹣2≤x≤3或x＞4}；（2）由集合B中的不等式变形得：（x﹣5）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤5，即B={x|﹣3≤x≤5}，则A∪B={x|x≤5}；（3）∵B∩C=B，∴B⊆C，∵B={x|﹣3≤x≤5}，C={x|x＞a}，∴a＜﹣3．16．（14分）已知2x≤256，且log 2x≥．（1）求x的取值范围；（2）求函数f（x）=log2（）•log2（）的最大值和最小值．【解答】解：（1）由2x≤256，解得：x≤8，由log2x≥，得：x≥，∴≤x≤8；（2）由（1）≤x≤8得：≤log2x≤3，f（x）=（﹣1）（﹣2）=﹣，当=，∴x=时：f（x）min=﹣，当=3，∴x=8时：f（x）max=2．17．（14分）已知奇函数f（x）=的定义域为[﹣a﹣2，b]（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；（3）若实数m满足f（m﹣1）＜f（1﹣2m），求m的取值范围．【解答】（1）∵f（x）是奇函数，故f（0）=0，即a﹣1=0，解得：a=1，故﹣a﹣2=﹣3，定义域为[﹣a﹣2，b]，关于原点对称，故b=3；（2）函数f（x）在[﹣3，3]递增，证明如下：设x1，x2是[﹣3，3]上的任意2个值，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵﹣3≤x1＜x2≤3，∴﹣＜0，又+1＞0，+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣3，3]递增；（3）由（1）得f（x）在[﹣3，3]递增，∴f（m﹣1）＜f（1﹣2m）等价于：，解得：﹣1≤m＜，故不等式的解集是[﹣1，）．18．（16分）某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入（万元），假定该产品产销平衡．（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？（3）求该厂利润最大时产品的售价．【解答】解：由题意得，成本函数为C（x）=2+x，从而利润函数．（1）要使不亏本，只要L（x）≥0，当0≤x≤4时，L（x）≥0⇒3x﹣0.5x2﹣2.5≥0⇒1≤x≤4，当x＞4时，L（x）≥0⇒5.5﹣x≥0⇒4＜x≤5.5．综上，1≤x≤5.5．答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间．（2）当0≤x≤4时，L（x）=﹣0.5（x﹣3）2+2，故当x=3时，L（x）max=2（万元），当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．综上，当年产300台时，可使利润最大．（3）由（2）知x=3，时，利润最大，此时的售价为（万元/百台）=233元/台．19．（6分）已知y=f（x）是偶函数，定义x≥0时，f（x）=（1）求f（﹣2）；（2）当x＜﹣3时，求f（x）的解析式；（3）设函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．【解答】解：（1）已知y=f（x）是偶函数，故f（﹣2）=f（2）=2（3﹣2）=2；（2）当x＜﹣3时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x﹣3）（a+x）=﹣（x+3）（a+x），所以，当x＜﹣3时，f（x）的解析式为f（x）=﹣（x+3）（a+x）（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，①当a≤3时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以，②当3＜a≤7时，f（x）在与上单调递增，在与上单调递减，所以此时只需比较与的大小．（A）当3＜a≤6时，≥，所以（B）当6＜a≤7时，＜，所以g（a）=③当a＞7时，f（x）在与[3，5]上单调递增，在上单调递减，且＜f（5）=2（a﹣5），所以g（a）=f（5）=2（a﹣5），综上所述，g（a）=20．（16分）定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）（或其它底在（0，1）上的对数函数）．…（2分）（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…（4分）证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2则==∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，∴（x1﹣x2）2＞0，2x1•x2（x1+x2）＞0即＞0，∴所以函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…（8分）（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则===∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，∴（x1﹣x2）2＞0，4x1•x2（x1+x2）＞0要使上式大于零，必须2﹣a•x1•x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即，∴a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]…（14分）。