一类具饱和治愈率和垂直传染的传染病模型的研究

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一类具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型研究

一类具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型研究SEIRS模型是一种描述疾病传播过程的数学模型，其包括易感者(S)，患病者(E)，感染者(I)，康复者(R)和再次成为易感者(S)的人群。

在传统的SEIRS模型中，发生率和治愈率都是线性的，即假设每个人都有相同的感染和康复速率。

然而，现实中很多疾病的传播过程是非线性的，因此需要对SEIRS模型进行改进，考虑非线性的发生率和治愈率。

非线性发生率可以更好地反映疾病传播过程中的复杂性。

例如，一些传染病的传播速率可能随着感染人数的增加而增加，即感染速率随着感染者的数量呈指数增长。

这样的非线性发生率可以通过引入感染率的函数来描述，例如β(I)。

其中，β是感染率的基本值，I是感染者的人数。

通过这种方式，我们可以更准确地模拟疾病在人群中的传播情况，并能够更好地预测疫情的发展趋势。

另一方面，非线性治愈率也是一个重要的因素。

通常情况下，人群中患病者的康复速率并不是一个固定的值，而是受到各种因素的影响。

例如，随着卫生条件的改善和医疗技术的进步，疾病的治愈速率可能会有所提高。

因此，我们可以将治愈率表示为一个关于时间的函数，即γ(t)，其中γ是治愈率的基本值，t是时间。

通过引入非线性治愈率，我们可以更好地考虑人群中患病者康复的动态过程，从而更准确地评估疾病的传播和控制策略。

基于以上考虑，我们可以建立具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型：$\frac{dS}{dt}=-\beta(I)SI$$\frac{dE}{dt}=\beta(I)SI-\sigma E$$\frac{dI}{dt}=\sigma E-\gamma(t)I$$\frac{dR}{dt}=\gamma(t)I$在这个模型中，β(I)和γ(t)分别表示感染率和治愈率的非线性函数。

通过对这个模型进行数值模拟和分析，我们可以研究疾病在人群中的传播动态，预测疫情的发展趋势，并评估不同的防控策略的有效性。

总之，具有非线性发生率和治愈率的SEIRS模型在研究疾病传播过程中具有重要的意义，可以更准确地描述疾病的传播动态，为制定有效的防控策略提供重要的参考。

一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的SIR传染病模型的全局稳

文章编号：１６７４－８０８５（２０１５）０４ — ００１３－０４
一
类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的ＳＩＲ
传染病模型的全局稳定性分析
朱春娟
（韶关学院数学与统计学院，广东，韶关５１２００５）
ｓａｂｔｉｌｉｙｔ
还有更符合实际的饱和接触率。在传统的流行病模
０引言
传染病在现实生活中广泛存在，利用动力学方法来研究传染病是非常重要的方法之一【】。】。在文献
型中，通常假设平均每个染病者在单位时问内可与
ｒ
能力总是有限的，因而接触率不会随着种群规模的
无限增大而增大，而应该逐渐趋于一个饱和状态。在对１９７３年发生在巴里的霍乱疫情研究之后，
ＣａｐａｓｓｏａｎｄＳｅｒｉｏ在传染病模型中引进了饱和传染ｇ（Ｉ）Ｓ［１０］０
摘
要：针对一类具有饱和传染率、免疫接种和垂直传染的ＳＩＲ传染病模型，确定了疾病的基本再生数。得出结
论：当疾病的基本再生数小于ｌ时，无病平衡点是全局渐近稳定的，当疾病基本再生数大于１时，地方病平衡点
是全局渐近稳定的。
关键词：ＳＲ传染病模型；饱和传染率；免疫接种；垂直传染；稳定性Ｉ
ＺＨＵＣｈｕｎ－ｊｕａｎ
（ＣｏｌｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＳｈａｏｇｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｏｇｕａｎ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ５１２００５，Ｃｈｉｎａ）

具常数输入有饱和传染率和垂直传染的SEIR模型

ＣｅｉｎｕｎｉｎｕｎＷａｇＧｕｎｊｈｎＪａｊａ，ＬａＸｉｙａ，ｎａｇｕｏ
（ｃｏｆＭａｈｍａｉｓ＆Ｐｈｓｃ，ｎｖｒｉｙｏｕｈＣｈｎＨｅｇｙｎ２０１。ｕａＣｈｎａＳｈｏｌｏｔｅｔｃｙｉｓＵｉｅｓｔｆＳｏｔｉａ，ｎａｇ４１０Ｈｎｎ，ｉ）
第２卷第４期９２１０１年１２月
徐州师范大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＸｕｈｕＮｏｍａｉｅｓｔ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｄｔｎｏｒａｚｏｒｌｏＵｎｖｒｉｙＮａｕａｃｅｃｉｉ）ｏ
Ｖｏ１９，ｏ．．２Ｎ４
众所周知，传染病历来就是人类的大敌．近年来，由于环境污染和生态变迁使得许多病原体发生变异，出
现了很多新传染病，如艾滋病、典、流感、非禽乙肝等，因此对传染病的控制已成为当今迫切需要解决的问题．对传染病的发病机理、播规律及防治策略的研究日益受到人们的重视．传目前国内外学者利用数学模型建立了大量能反映传染病特性的动力系统并取得了许多重要成果］对传染病的预防起到了很大的作用．，经典的传染病传播模型，定发生率是双线性的，ＡｎｅｓｎＭａ假但ｄｒｏ，ｙ等人指出，人类和某些群居动物对
法、ｒｔ判据分析了平衡点的局部稳定性，据Ｌｚｓｉ测度分析了系统不存在周期轨道，由Ｐｉｃｒ—ｅ — Ｈｕｗｉｚ根ｏｉｋｌｎ并ｏｎａｅＢｎｄｘｏ性质、ｉｓｎ比较法等得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性．关键词：和传染率；直传染；Ｈｕｗｔ判据饱垂ｒｉｚ

具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略

具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略赵明;吕显瑞【摘要】A SIQRS epidemic model with saturating contact rate, isolation term and impulsive vaccination was established and analyzed. By means of Floquet theorem, impulsive differential inequality and limit system theory,the global asymptotic stable threshold conditions of disease-free periodic solution in the SIQRS epidemic model were paring the effectiveness of the two control strategies of impulsive vaccination and isolation shows that using the two strategies concurrently is superior to only one strategy for eradicating the disease.%建立并分析一类具有饱和接触率、隔离项和脉冲预防接种的 SIQRS 传染病模型。

通过综合运用 Floquet 定理、脉冲微分不等式和极限系统理论，获得了保证 SIQRS 传染病模型的无病周期解全局渐近稳定的阈值条件。

通过比较脉冲预防接种和隔离两种控制策略的有效性，表明同时使用脉冲预防接种和隔离两种策略比单独应用一种策略更有效。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)002【总页数】6页(P171-176)【关键词】SIQRS 传染病模型;脉冲预防接种;隔离;无病周期解;基本再生数【作者】赵明;吕显瑞【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132013;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.13近年来，对于病毒性传染病，根据康复后具有终身免疫力的实际情况，通常采用SIR模型［1－3］和SEIR模型［4］进行刻画；对于细菌感染性传染病，由于康复后可获得暂时免疫力，经过一段时间免疫力丧失后又再次发病，因此通常使用SIRS模型［5－7］、SEIRS模型［8－9］和SIQRS模型［10－11］进行描述．在传染病模型研究中，一般采用是否流行疾病的阈值——基本再生数进行分析．本文研究具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型，并对脉冲预防接种和隔离两种控制策略进行比较分析．将总人口N（t）分为易感者S（t）、染病者I（t）、隔离者Q（t）和恢复者R （t），且假设：（H1）易感人群具有常数输入（包括出生和移民），输入率为A；（H2）每个染病者对易感者的传染率为β（N（t））S（t），β（N（t））＝为饱和接触率系数，且为依赖于N（t）的函数，这里常数k＞0，α＞0；（H3）对易感者进行脉冲预防接种，p（0＜p＜1）为脉冲接种率，τ为脉冲接种周期；（H4）易感者接种或染病者康复后获得暂时的免疫力，经过一段时间失去免疫力后又变成易感者，δ≥0为失去免疫率；（H5）对传染者采取隔离措施，μ为隔离率，υ自然恢复率．建立具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型如下：其中：d为自然死亡率；a，b分别为染病者类和隔离者类的因病死亡率；γ为染病者类的自然恢复率；δ≥0；其他系数均为正数．定义基本再生数为这里：由N（t）＝S（t）＋I（t）＋Q（t）＋R（t）和N′（t）＝A－dN（t）－aI（t）－bQ（t），将模型（1）化为如下等价系统：当N（t）＞N0时N′（t）＜0，系统（2）的所有解（S（t），I（t），Q（t），N（t））最终趋于且停留在域内，因此域Ω是系统（2）的正向不变集和最终有界区域．本文主要研究系统（2）无病周期解的存在性和全局渐近稳定性，并分析比较脉冲预防接种与隔离两种控制策略的有效性．引理1［11］设常数a＞0，b＞0，0＜p＜1，则脉冲微分周期系统存在唯一的全局渐近稳定的正周期解引理2（Floquet定理）［12］设脉冲微分周期系统其中：f（t＋1，y）＝f（t，y），且系统（3）关于其周期解y（t）的线性近似系统为并设Φ（t）是系统（4）中方程的一个基本解矩阵，即满足若矩阵M＝B1Φ（1）一切特征根的绝对值均小于1，则系统（4）的零解，即系统（3）的周期解y（t）局部渐近稳定．引理3（脉冲微分系统比较定理）［12］假设函数满足脉冲微分不等式：其中：dk≥0，bk（k＝1，2，…）是常数．则对t≥t0，有引理4 系统（2）存在无病周期解其中证明：当I（t）＝Q（t）＝0时，由系统（2）知所以系统（2）的极限系统为于是，由系统（7）和引理1知系统（2）存在无病周期解定理1 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，系统（2）的无病周期解是不稳定的．证明：设（S（t），I（t），Q（t），N（t））是系统（2）的任意解，做变换则系统（2）在0＜t≤τ内的近似线性系统为易得到满足条件Φ（0）＝E（单位矩阵）的基本解矩阵为其中：0＜t≤τ；因为在下面的计算中没有用到Ei（i＝1，2，…，6），所以其具体表达式略．相应地，系统（2）的脉冲条件化为从而可获得系统（2）的单值矩阵由引理2知，无病周期解局部渐近稳定的充分必要条件是矩阵M的特征值：的模均小于1，即这等价于R0＜1．因此，当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，矩阵M的特征值λ2模大于1，无病周期解是不稳定的．定理2 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．证明：当R0＜1时，可选择充分小的ε＞0，使得由0≤N（t）≤N0与系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程由引理1和式（9）得由引理3，对任意小的ε＞0，存在一个正整数T1，使得当t＞T1时，恒有从而由式（10）和系统（2）的第二个方程有根据引理2，得利用r0＜0，由此递推得I（nτ）≤I（0＋）exp｛nr0｝，因此，又对任意的nτ＜t≤（n＋1）τ和有于是存在一个正整数T2＞T1，使得当t＞T2时，恒有I（t）＜ε．由系统（2）的第三个方程有因为ε是任意小的，所以即存在一个正整数T3＞T2，使得当t＞T3时，恒有Q（t）＜ε．类似地，由系统（2）的第四个方程有同理，由ε任意小知于是，存在正整数T4＞T3，使得当t＞T4时，恒有N（t）≥N0－ε．从而由系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程根据引理1，由系统（14）存在唯一全局渐近稳定的正周期解又由脉冲微分系统比较定理有令ε→0，则当t充分大时，由式（10），（16）有再由ε的任意性，有综上知当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局吸引的，进而由定理1知故系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．为方便，引入记号：易见k0＞kΔ．由定理1和定理2获得了疾病是否消除的阈值R0＝1，并且可得下列结论：1）当R0＜1时，系统（2）有周期为τ的全局渐近稳定的无病周期解，即疾病将逐渐消除；当R0＞1时，由定理1知无病周期解是不稳定的，表明疾病将持续存在；2）当脉冲预防接种率p＞pc或隔离率μ＞μc时，则R0＜1，疾病将逐渐消除；3）当μ＝0时，有因此，如果不采取隔离措施，则必须加大脉冲预防接种率，才能控制疾病流行并最终消除疾病；4）当p＝0时，有μ0＝β0N0－（d＋a＋γ）＞μc，表明当不进行脉冲预防接种时，传染病将会发生，需要适当加大隔离人数，才能控制疾病流行并使之逐渐消除．【相关文献】［1］ Stone L，Shulgin B，Agur Z．Theoretical Examination of the Pulse Vaccination Policy in the SIR Epidemic Model ［J］．Math Computer Modeling，2000，31（4／5）：207－215．［2］ Yoshida Naoki，Hara Tadayuki．Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Density Dependent Birth and Death Rates［J］．J Comput Appl Math，2007，201（2）：339－347．［3］朱玑，李维德，朱凌峰．基于SIR传染病模型的不同控制策略比较［J］．北华大学学报（自然科学版），2011，12（3）：265－269．（ZHU Ji，LI Weide，ZHU Lingfeng．Comparison among Different Control Strategies on SIR Epidemic Model ［J］．Journal of Beihua University（Natural Science），2011，12（3）：265－269．）［4］刘开源，陈兰荪．一类具有垂直传染与脉冲免疫的SEIR传染病模型的全局分析［J］．系统科学与数学，2010，30（3）：323－332．（LIU Kaiyuan，CHEN Lansun．Global Analysisof an SEIR Epidemic Disease Model with Vertical Transmission and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（3）：323－332．）［5］赵文才，孟新柱．一类具有Logistic死亡率的脉冲免疫接种SIRS传染病模型［J］．吉林大学学报（理学版），2009，47（6）：1165－1171．（ZHAO Wencai，MENG Xinzhu．Impulsively Vaccinating SIRS Epidemic Model with Logistic Death Rate ［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2009，47（6）：1165－1171．）［6］庞国萍，陈兰荪．具饱和传染率的脉冲免疫接种SIRS模型［J］．系统科学与数学，2007，27（4）：563－572．（PANG Guoping，CHEN Lansun．The SIRS Epidemical Model with Saturated Contact Rate and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2007，27（4）：563－572．）［7］焦建军，鲍磊，陈兰荪．具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型［J］．吉林大学学报（理学版），2011，49（1）：6－10．（JIAO Jianjun，BAO Lei，CHEN Lansun．Dynamics on a Stage－Structured Single Population Model with Birth Pulse and Impulsive Harvesting［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2011，49（1）：6－10．）［8］芦雪娟，王伟华，堵秀凤．一类具有双时滞的SEIRS传染病模型的分析［J］．数学的实践与认识，2010，40（22）：135－142．（LU Xuejuan，WANG Weihua，DU Xiufeng．A Research of SEIRS Epidemic Model with Two Delays ［J］．Mathematics in Practice and Theory，2010，40（22）：135－142．）［9］黄灿云，安小峰．一类具有多时滞和非线性发生率的脉冲接种SEIRS传染病模型［J］．兰州理工大学学报，2011，37（1）：121－125．（HUANG Canyun，AN Xiaofeng．A Impulsive Vaccination SEIRS Epidemic Model with Multi－delay and Nonlinear Incidence Rate［J］．Journal of Lanzhou University of Technology，2011，37（1）：121－125．）［10］朱凌峰，李维德，章培军．具有连续和脉冲接种的SIQVS传染病模型［J］．兰州大学学报（自然科学版），2011，47（4）：99－102．（ZHU Lingfeng，LI Weide，ZHANG Peijun．A SIQVS Epidemic Model with Continuous and Impulsive Vaccination ［J］．Journal of Lanzhou University（Natural Sciences），2011，47（4）：99－102．）［11］徐为坚．具常数输入及饱和发生率的脉冲接种SIQRS传染病模型［J］．系统科学与数学，2010，30（1）：43－52．（XU Weijian．The SIQRS Epidemic Model of Impulsive Vaccination with Constant Input and Saturation Incidence Rate［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（1）：43－52．）［12］马知恩，周义仓．传染病动力学的数学建模与研究［M］．北京：科学出版社，2004：153－164．（MA Zhi’en，ZHOU Yicang．Mathematical Modeling and Study on the Dynamics of Infectious Diseases［M］．Beijing：Science Press，2004：153－164．）。

一类具有饱和感染率与治愈率的HIV病理模型

ＡｂｔａｔＡｆｅｎｒｄｃｎｈｕｅｒｔｎｈａｕａｅｎｅｔｏａｅｉｔｈａｉＨＩｐｔｏｅｅｉｄｌｈｓｓｒｃｔｒｉｔｏｕｉｇｔｅｃｒａｅａｄｔｅｓｔｒｔｄｉｆｃｉｎｒｔｎｏｔｅｂｓｃＶａｈｇｎｓｓｍｏｅ，ｔｉ
刘祥东，刘澄
（北京科技大学东陵经济管理学院，京１０８）北００３
摘
要
将治愈率以及饱和感染率引入基本的ＨＩ病理模型，构建一个改进的ＨＩ病理模型．利ＶＶ
用微分动力系统的相关理论，明改进模型中无病平衡点和染病平衡点的全局渐近稳定性，然后执行相证关的数值模拟以验证所得结论．研究结果表明：饱和感染率的条件下，ＨＩ感染进程变缓；同时提高治在Ｖ
病毒浓度和Ｃ４Ｔ细胞（下简称Ｔ细胞）度Ｄ以浓
第２８卷第３期
２１１年Ｏ
经
济
数
学
Ｖ０．８，．１２Ｎｏ３
Ｓｅｐ．２０ｉ１
９月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＱＵＡＮＴＩＴＡＴＩＣＯＮＯＭＩＶＥＥＣＳ
一
类具有饱和感染率与治愈率的ＨＩＶ病理模型
ｐｐｒｃｎｔｕｔｅｎｉｒｖｄＨＩｐｔｏｅｅｉｍｏｅ．Ｉｒｖｓｔｅｇｏａｌｓｍｐｏｉａｔｂｌｙｏｏｈｔｅｕｉｆｃｅ — ａｅｏｓｒｃｓｄａｍｐｏｅＶａｈｇｎｓｓｄ１ｔｐｏｅｈｌｂｌａｙｔｔｃｌｓａｉｔｆｂｔｈｎｎｅｔｄｅｙｉｑｉｈｉｍｏｎｎｈｎｅｔｄｓｅｄｔｔｙａｐｙｎｈｅａｅｈｏｙｏｉｅｅｔｌｙａｃｌｙｔｍｓｎｈｎｎｍｅｉｕｌｒｕｐｉｔａｄｔｅｉｆｃｅｔａｙｓａｅｂｐｌｉｇｔｅｒｌｔｄｔｅｒｆｄｆｒｎｉｎｍｉａｓｅ，ａｄｔｅｕｒ— ｉｆａｄｓｃｌｓｍｕａｉｎｒａｒｅｕｏｃｅｋｔｅｍａｎｒｓｌ．ＴｈｖｓｉａｉｎｒｓｌｎｉａｅｔａＶｆｃｉｎｐｏｅｓｗｉｅａｉｌｔｓｗｅｅｃｒｉｄｏｔｈｃｈｉｅｕｔｏｔｓｅｉｅｔｔｅｕｔｉｄｃｔｈｔＨＩｉｅｔｒｃｓｌｂ — ｎｇｏｓｎｏｌｃｍｅｓｏｕｄｒｔｅｃｎｉｉｎｏａｕａｅｎｅｔｎｒｔ，ｎｈｔｉｒｖｎｕｅｒｔｂｅｔｏｔｏＩｉｆｃｉｎｅｆｉｎ一ｏｌｗｎｅｈｏｄｔｆｓｔｒｔｄｉｆｃｉａｅａｄｔａｏｏｍｐｏｉｇｃｒａｅｉａｌＯｃｎｒｌＶｅｔｆｉｅｔｓＨｎｏｃ

一类具有饱和传染率的SVEIR传染病r模型的定性分析

一类具有饱和传染率的SVEIR传染病r模型的定性分析吴梦媛;孙法国;陈瑶【摘要】建立带有接种的SVEIR传染病模型,得到基本再生数R 0,并讨论平衡点的存在性.通过构造Lyapunov函数及利用LaSalle不变原理,研究连续接种对传染病传播的影响.发现传染病模型的全局稳定性由基本再生数R 0决定,当R 0<1时,无病平衡点全局渐近稳定.当R 0>1时,地方病平衡点全局渐近稳定.接种是控制疾病传播的有效途径.%The SVEIR infectious disease model with vaccination is established,the basic repro-duction number is obtained,and the existence of the equilibrium point is discussed.The effects of continuous vaccination on infectious diseases by constructing Lyapunov function and the La-Salle's invariance principle.It is pointed out that the basic reproduction number R 0 determines the global stability of the epidemic model.When R 0 <1,the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable.When R 0 > 1,the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. The results show that continuous vaccination is an effective way to control the disease.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2017(031)005【总页数】7页(P706-712)【关键词】连续接种;饱和发生率;基本再生数;全局稳定性【作者】吴梦媛;孙法国;陈瑶【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048;西安工程大学理学院,陕西西安 710048【正文语种】中文【中图分类】O175利用数学模型来描述传染病的发展动态是一种应用广泛的方法,其中接种是预防和控制疾病传播最有效的方法之一[1-4].文献[5-7]假设个体接种后会具有终身免疫,即终生不会被感染.但对于麻疹、风疹、百日咳等疾病,个体接种后获得的免疫力会逐渐下降,且随着免疫力的丧失,接种者会再次成为易感者,因此需要对个体进行连续接种.文献[8-10]均考虑到免疫丧失这一因素，研究了简单的SIV传染病模型,文章考虑的免疫丧失率为常数.考虑到免疫完全丧失是个逐渐积累的过程,在此基础上,文献[11-15]把免疫的丧失看作一个连续变化的函数进行研究.文献[11]研究了带有接种的SIS传染病模型,结果表明在有限的医疗设施情况下,通过免疫接种来降低阈值R0的值,对未曾接种的易感者以及接种失败者会带来较高的危险.因为随着医疗的发展,对人群进行连续接种也变得普遍,所以在较大程度上解决了文献[11]提出的风险,故考虑连续接种是有必要的.因为人群的密集及疾病的传染力不同,其用到的传染率系数也会发生变化.双线性和标准型是两种典型的传染率,双线性发生率一般针对于人口数量较小、传染性很强的疾病,例如H5N1、SARS、手足口病等,考虑到单位时间内一个病人所能接触到的人口数目是有限的,这样与人口成正比的接触率就不符合实际情况,所以文献[16-18]分别运用不同类型的发生率来建立模型.文献[19]研究了具有接种的SVEIR模型的传染病,由于其未考虑免疫丧失的连续性这一条件,故在以上文献的启发下,本文研究了一类具有饱和发生率的SVEIR传染病模型,并且把免疫的丧失看作一个连续变量来考虑.假设把总人口N(t)分为易感者、接种者、潜伏者、感染者和恢复者5个仓室,分别用S,V,E,I,R表示.在t时刻易感者、接种者、潜伏者、感染者以及恢复者人群的数量分别用S(t),V(t),E(t),I(t)和R(t)表示.根据疾病的传播机理建立式(1)的SVEIR传染病模型：其中:在模型中,Λ表示该人群的常数输入率,且假设输入的都是易感者;μ表示个体的自然死亡率;ξ表示易感者的接种率;V(θ,t)表示在t时刻接种仓室内接种年龄的密度分布,即t时刻接种者仓室里的接种总人口是V(θ,t)dθ.α(θ)表示免疫丧失率,α(θ)=0时表示接种完全有效,这里假设0<α(θ)<1,也就是说接种不是完全有效的,进而需要对接种者进行连续接种;δ表示潜伏者成为感染者的转化率;pγ表示感染者因病毒导致的死亡率;(1-p)γ表示感染者的恢复率,其中0<p<1,其它各项参数均为正常数.利用Volterra积分方程,令系统(1)的第二个方程沿着特征线t-θ=c(c为常数)积分,得其中：考虑到实际意义,只对t>θ≥0进行研究.由文献[20]知系统(1)中的第一个方程式可写为其中：Γ(θ)=ξα(θ)Γ0(θ).模型(1)的动力学性态等价于为了在后面的讨论中方便,做以下的记号:Γ0的生物学意义是接种者在V仓室里的平均时间.接种者以两种方式离开V仓室:自然死亡μ Γ0和免疫力完全丧失1-μΓ0,其中ξ(1-μ Γ0)是由于免疫力丧失进入易感者仓室的人均比率.令N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+V(θ,t)dθ,则满足条件(2)时有≤A-dN,且由此知模型(5)的正向不变集为以下的讨论都是在可行域W中进行.由文献[21]可以求出模型(5)的基本再生数R0=.定理1 模型(5)始终存在一个无病平衡点P0(S0,0,0);当R0>1时,模型(5)在W的内部还存在唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*).证明很容易看出,模型(5)总存在一个无病平衡点P0=(S0,0,0),其中S0=;地方病平衡点P*(S*,E*,I*)满足方程组由方程组(7)的第2和第3个方程式,得把式(8)带入模型(7)中第1个方程记由表达式知g(I)在[0,+∞)关于I单调递减,且有所以R0<1时,g(I)<0,方程(9)无正解,从而模型(5)仅存在无病平衡点P0;R0>1时,g(I)存在唯一的正解I*.结合式(11)和(12)可知模型(5)在区间上有唯一正平衡点P*=(S*,E*,I*).定理2 当R0<1时,模型(5)的无病平衡点在W上全局渐近稳定;当R0>1时,模型(5)的无病平衡点在W上不稳定.证明方程组(5) 在无病平衡点处的雅克比矩阵为其特征方程为记由根与系数的关系知:当R0>1时,二次函数H(λ)=0至少有一个正实根,故无病平衡点P0不稳定;当R0<1时,二次函数H(λ)=0只存在负实根.假设λ+μ+ξ-exp(-λθ)Γ(θ)dθ=0有正实根.由Γ(θ)和Γ0(θ)的表达式知：这是矛盾的,故式(13)的所有特征根均具有负实部.因此当R0<1时,在W中是局部渐近稳定的.假定(S(t),E(t),I(t))是满足方程组(5)以及初始条件的任意解.考虑函数由g(x)=x-1-lnx≥0(x∈R+)知,则在P0处是正定的.构造Lyapunov函数利用等式则L1关于式(5)的全导数为把Λ=(μ+ξ)S0-Γ(θ)S0dθ带入,得因为ln-+1≤0(当且仅当S(t-θ)=S(t)时等式成立),所以当R0<1时<0,且在其最大不变集W内有唯一解{P0}.由LaSalle不变原理知无病平衡点是全局渐近稳定的. 定理3 当R0>1时,模型(5)的地方病平衡点P*(S*,E*,I*)在W上全局渐近稳定.证明设(S(t),E(t),I(t))是系统(5)的任意正解.考虑正定函数:构造Lyapunov函数:θ.L2关于式(5)的全导数为其中：Λ=+(μ+ξ)S*-Γ(θ)S*dθ, =(μ+δ)E*, δE*=(μ+pγ)I*.由>,+·++≥4和1+lnx-x≤0可知,当且仅当S(t)=S*,E(t)=E*,I(t)=I*和θ=0时等式成立.综上可知≤0,且只有在地方病平衡点P*(S*,E*,I*)处等式成立.在中P*(S*,E*,I*)是唯一的正平衡点,由LaSalle不变原理知在R0>1时地方病平衡点P*是全局渐近稳定的.取疾病的饱和发生率中m=0.001,对此模型进行数值模拟.首先取参数Λ=1,μ=0.02,ξ=0.95,Γ0=0.1,β=0.000 003,δ=0.01,α=1.01,γ=0.000 4.由定理2可知,无病平衡点全局渐近稳定.在图1中,取不同初始值做数值模拟,不难看出无病平衡点是全局渐近稳定的.令β=0.000 3,μ=0.046,ξ=0.05,δ=0.001,其他参数不变,由定理3可知,地方病平衡点全局渐近稳定.在图2中,取不同初始值做数值模拟,易看出地方病平衡点是全局渐近稳定的.本文讨论了接种以及免疫丧失对传染病的影响,给出了基本再生数R0的具体表达式,并且证明当R0<1时无病平衡点全局渐近稳定;当R0>1时地方病平衡点全局渐近稳定.无接种时基本再生数RNV=,通过比较可知R0<RNV.因为基本再生数代表着一个病人在平均患病期内所传染的人数,由两者的大小关系可知接种能够有效减小基本再生数,所以接种是控制疾病传播的有效途径.数值实验说明,通过适当的调整参数,可以得到无病平衡点和地方病平衡点的稳定性.E-mail:****************WU Mengyuan,SUN Faguo,CHEN Yao.An analysis of a SVEIR epidemic model with saturation incidence rate[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2017，31(5)：706-712.【相关文献】[1] HABER M,LONGINI I M,HALLORAN M E.Measures of the effects of vaccination in a randomly mixing population[J].International Journal of Epidemiology,1991,20(1):300-10.[2] SHULGIN B,STONE L,AGUR Z.Pulse vaccination strategy in the SIR epidemicmodel[J].Bull Math Biol,1998,60(6):1123-1148.[3] IANNELLIA M,MARTCHEVAB M X.Strain replacement in an epidemic model with super-infection and perfect vaccination[J].Mathematical Biosciences,2005,195(1):23-46.[4] COUTINHOABREU I V,RAMALHOORTIGAO M.Transmission blocking vaccines to control insect-borne diseases-a review[J].Memorias Do Instituto OswaldoCruz,2010,105(1):1-12.[5] PEI Y Z,LIU S Y,CHEN L S.Two different vaccination strategies in an SIR epidemic model with saturated infections force[J].International Journal of Biomathematics,2012,1(2):147-160.[6] BUONOMO B,D′ONOFRIO A,LACITIGNOLA D.Global stability of an SIR epidemic model with information dependent vaccination[J].Mathematical Biosciences,2008,216(1):9-16. [7] HUANG G,LIU X N,TAKEUCHI Y.Lyapunov functions and global stability for age-structured HIV infection model[J].Siam Journal on Applied Mathematics,2012,72(1):25-38.[8] XIAO Y N,TANG S Y.Dynamics of infection with nonlinear incidence in a simple vaccination model[J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2010,11(5):4154-4163. [9] 张静静,孙法国.一类带隔离项的具非线性传染率的SIQ模型的全局分析[J].纺织高校基础科学学报,2014,27(3):309-313.ZHANG J J,SUN F G.Global analysis of a class of SIQ models with nonlinear incidence rate with isolation terms[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(3):309-313.[10] LI J Q,YANG Y L,ZHOU Y C.Global stability of an epidemic model with latent stage and vaccination[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2011,12(12):2163-2173.[11] LI X Z,WANG J,GHOSH M.Stability and bifurcation of an SIVS epidemic model with treatment and age of vaccination[J].Applied Mathematical Modelling,2010,34(2):437-450.[12] DUAN X C,YUAN S L,LI X Z.Global stability of an SVIR model with age of vaccination[J].Applied Mathematics and Computation,2014,226(12):528-540.[13] DUAN X C,YUAN S L,QIU Z P.Global stability of an SVEIR epidemic model with ages of vaccination and latency[J].Computers and Mathematics with Application,2014,68(3):288-308.[14] GULBUDAK H,MARTCHEVA M.A structured avian influenza model with imperfect vaccination and vaccine induced asymptomatic infection[J].Bulletin of Mathematical Biology,2014,76(10):2389-2425.[15] YANG W,SUN C J,ARINO J.Global analysis for a general epidemiological model with vaccination and varying population[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,372(1):208-223.[16] 吴梦媛,孙法国,陈瑶.一类具有非线性传染率的SVEIR模型的定性分析[J].西安工程大学学报,2016,30(6):882-888.WU M Y,SUN F G,CHEN Y.Global analysis of a SVEIR epidemic model with nonlinear incidence rate[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2016,30(6):882-888.[17] 张虹,孙法国,李海赟.一类带有非线性传染率的SEIR传染病模型的全局分析[J].纺织高校基础科学学报,2011,24(4):473-478.ZHANG H,SUN F G,LI H Y.Global analysis of a SEIR epidemic model with nonlinear incidence rate[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2011,24(4):473-478.[18] NAKATA Y,ENATSU Y.Stability and bifurcation analysis of epidemic models with saturated incidence rates[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2014,11(4):785-805.[19] SAHA G P,DHAR J.Analysis of an SVEIS epidemic model with partial temporary immunity and saturation incidence rate[J].Applied MathematicalModelling,2012,36(3):908-923.[20] D′AGATA E M C,MAGAL P,RUAN S,et al.Asymptotic behavior in nosocomialepidemic models with antibiotic resistance[J].Differential and Integral Equation,2006,19(5):573-600.[21] DRIESSCHE P V D,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences,2002,180(1/2):29.。

一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性

一类具有饱和发生率的SEIR模型的稳定性杨彩虹;胡志兴【摘要】讨论了一类具有垂直传染与饱和发生率的 SEIR 模型的稳定性，考虑了接种免疫对传染病传播的影响。

通过计算得到模型的基本再生数 R0，证明了当R0≤1时，无病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的。

利用 Hurwitz 判据和第二加性复合矩阵证明了当 R0＞1时，地方病平衡点是局部渐近稳定的，且在一定条件下是全局渐近稳定的。

【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】6页(P78-83)【关键词】垂直传染;饱和发生率;SEIR;稳定性【作者】杨彩虹;胡志兴【作者单位】北京科技大学数理学院，北京 100083;北京科技大学数理学院，北京 100083【正文语种】中文【中图分类】O175传染病严重威胁人类健康，所以对传染病模型的研究越来越得到人们的重视，而且近20年来的研究也取得了显著成果。

比较简单的传染病模型有易感者-患病者(susceptible-infectious，SI)模型、易感者-患病者-康复者(susceptible-infectious-recovered，SIR)模型和易感者-潜伏者-患病者-康复者(susceptible-exposed-infectious-recovered，SEIR)模型等仓室模型。

文献[1-2]对具有饱和感染率、饱和治愈率以及垂直感染的SIR传染病模型进行了研究,这类模型将人口种群分为易感者S、患病者I和康复者R，简称SIR模型，研究发现：系统会出现后向分支和hopf分支，并分析了此类传染病的传播过程和预防治疗方向。

然而现实生活中有些传染病是具有潜伏期的，一般将携带病毒但没有发病的人群记为潜伏者E，对这类传染病可建立SEIR仓室模型。

文献[3]分别对SIR模型和SEIR模型进行了讨论，发现虽然SEIR模型比SIR模型复杂，但研究方法和结果有许多相似之处，而且当具有线性治愈率时，系统仅存在无病平衡点和一个地方病平衡点，当然也存在众多差异。

一类具有垂直传染和连续治疗的SIRS传染病模型的动力学性质

一类具有垂直传染和连续治疗的SIRS传染病模型的动力学性质宋志强;李明山;周效良【摘要】探讨一类具有垂直传染和连续治疗传染病模型.从模型中找到无病平衡点和地方病平衡点,借助李雅普诺夫函数和 LaSalle 不变集原理证明平衡点的全局渐近稳定性,最后通过中心流形研究了模型的跨临界分岔和正规形,得到了模型平衡点的稳定性与分岔性质.%This paper discusses a type of vertical transmission and continuous treatment model of an infectious disease. First, the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium point were determined from the model. Then, the invariant set principle was proved by the global asymptotic stability of the equilibrium point using Lyapunov function and LaSalle. Using the center manifold and normal form of the cross critical bifurcation model, a biological explanation for the transcritical bifurcation was provided. Eventually, the stability and bifurcation properties of the equilibrium point model were obtained.【期刊名称】《广东海洋大学学报》【年(卷),期】2017(037)006【总页数】6页(P51-56)【关键词】SIRS垂直传染病模型;治疗函数;全局渐近稳定;跨临界分岔;正规形【作者】宋志强;李明山;周效良【作者单位】暨南大学信息与计算科学学院,广东广州 510632;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江 524048;岭南师范学院数学与统计学院,广东湛江 524048【正文语种】中文【中图分类】O175.12传染病病毒的垂直传播给人类健康带来极大的威胁作用，人们为了把握传染病的传播方式及其规律，通过建立治疗模型来使之达到更好的效果。

一类具有垂直传染的传染病模型的分析

病平衡点的全局稳定性；用Ｊｃｂａ阵研究了地方病平衡点的局部稳定性，并利用Ｍａａ利ａｏｉｎ矩ｄｂ数学软件，通过数值
模拟，所建立的模型进行了仿真．对
关键词：染病模型传垂直传染稳定性
中图分类号：７．３Ｏ１５１
仃一
其中，所有参数均为正：
墨一（＋ｌ６（＋２－６６ｒ）６ｒ＋）ｑ
平均死亡率系数；：口出生率系数；：ｂ人平均传染率系数（即易感者单位时间内被感染者感染的次
：
是系统的修正再生数．
数）ｃ一个人单位时间内接触的人数；ｄ因病死；：：
（＋＋１ＥｐＥｑｌｒ）＋ｂ — ｂ，
闭集中对系统进行研究，以证明Ａ是关于系统的可
，一，ｄｒ），Ｅ（＋＋２，＝上
＝ｒＥ＋ｒｌ２
正向不变集．系统在中有两个平衡点：无病平衡点Ｐ＝１００和地方病平衡点Ｐ（ｅｉ）ｏ（，，）ｓ，且，
病者（ｆｃｏｓｉｄ－ｉａ）和治愈者（ｒａｄＩｅｔｕｎｉｖｕｌｎｉｄｓＴｅｔｅｉｉｄａｓ，分别简写为：，，总人口用 Ⅳ 表ｎｖｕｌ）ｄｉｓＥ，，
示，有则
Ｎ＝Ｅ＋ＩＴＳ＋＋
ｓ＝（ — ）卢ｓｐｅｇｄ６１ｓ— ６ — ６— ，＿ｅ＝，ｉ（＋｝ｒ）＋ｂ — ｂ＋ｉ，ｔ？ｓ６Ｉ１ｅｐｅｑｉｄｅｌ一ｉｃ＋

具饱和传染率和时滞两阶段结构的传染病模型

一。
取Ｍ＝ｍａｘ｛，（１Ｄ（Ｏ）），则ｌＤ（￡） ≤Ｍ，于是得到系统的
’ 。
有界性。
记ｘ是一个完备的矩阵空间，设Ｘｏ（＝＝Ｘ，ＸｏＣＸ，Ｘｏ一
Ｔ（￡）是Ｘ上的Ｃｏ半群，且满足
（４）Ｔ（）：Ｘｏ一，（￡）：Ｘ０一Ｘｏ
ｘ＝ａｘ（ｔ－ｒ）一（￡）一ｃｚ（），
设ｔ０＝ｉｎｆ｛ｔ￣ＯＩ（￡）一Ｏ），贝Ｕ（ｆｏ） ≤ｏ，但ｙ（ｔｏ）＝ｂｅ一卉Ｙ（岛）－ｒ）一（如）＝ｂｅ～Ｙ（ｔｏ－ｒ）＞Ｏ，矛盾，故对所有的￡＞
近些年来，关于阶段结构的传染病模型的研究已经有了很好的结果＿１］。文献［４，５］讨论了具有幼年和成年两个阶
段结构的传染病模型，本文进一步考虑具有饱和传染率和时
）一
Ｈ
）
滞阶段结构的传染病模型，因为饱和传染率比线性传染率更
为此我们建立以下的数学模型mathematicalmedicinevol262013其中st表示时刻幼年个体的数目it表示时刻幼年感染者个体的数目yt表示从易感者到感染者的比例系数为k1感染者到易感者的比例系数为k2易感者的死亡率为d1感染者的死亡率d2时刻的概率染病周期k2大大的小于成熟周期k2d1引理引理2t0yt0则有t0矛盾故对所有的其次证明对有系统1的第二个方程得由假设我们有这样我们有由归纳法得对于满足初始条件2和3的系统1的正解是最终有界的

一类具饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型的分析

一类具饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型的分析杨俊仙;闫萍【摘要】A delayed SEIR epidemic model with saturation incidence rate is proposed and analyzed,and the basic reproductive number R0 is defined.By analyzing the corresponding characteristic equations,the local stability of a disease-free equilibrium P0 and an endemic equilibrium P* are discussed.Further,by the comparison principle and constructing Lyapunov functions,it is found that if R0 <1 ,the disease free equilibrium P0 is globally asymptotically stable,and ifR0 >1 ,the endemic equilibrium P* is permanent.%提出并分析了一类具有饱和发生率的时滞 SEIR 传染病模型，定义了基本再生数 R0。

通过分析系统对应的特征方程，得到了无病平衡点 P0和地方病平衡点 P*的局部渐近稳定性。

进一步，通过比较原理和构造李雅普诺夫函数，得出：当 R0＜1时，无病平衡点 P0是全局渐近稳定的；当 R0＞1时，地方病平衡点 P*是持久的。

【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P51-55)【关键词】SEIR 传染病模型;饱和发生率;时滞;基本再生数;全局稳定性【作者】杨俊仙;闫萍【作者单位】安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036;安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036【正文语种】中文【中图分类】O175.13传染病是危害人类身体健康，威胁人类生命安全的重要疾病[1]。

一类具饱和传染率和脉冲接种的传染病模型

ＡｎＥｐｉｄｅｍｉｃＭｏｄｅｌｓｗｉｔｈＳａｔｕｒａｔｉｏｎＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＲａｔｅａｎｄＩｍｐｕｌｓｉｖｅＶａｃｃｉｎａｔｉｏｎ
ＹａｎｇＪｉｎｇｅｎ。ＺｈａｎｇＪｕｎｙｉ
存在的条件，给出了染病再生数的表达式，证明了染病再生数小于１时，无病周期解是全局吸引的．
关键词：饱和传染率；脉冲接种；染病再生数；全局吸引中图分类号：Ｏ１７５．２文献标志码：Ａ文章编号：１００３－０９７２（２０１３）０４－０４８９ — ０４
信阳师范学院学报：自然科学版
Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ NhomakorabeaｉｎｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ＮａｔｕｒｌａＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎＶｏ１．２６Ｎｏ．４０ｃｔ．２０１３
，．ｒａ
许多学者对脉冲微分方程的理论进行了研究，并证明了脉冲免疫对某些传染病比连续免疫更有效．由于不同年龄的人对同一种疾病的感染程度不一样，有些疾病只在某一类年龄段的人群中传播，有些预防疾病的措施如接种疫苗等是按年龄段来实施的，所以研究年龄结构特别是类年龄结构的流行病模型有着重要的理论和实际意义．所谓类年龄，就是个体在某一类中所度过的时间，如染病（接种疫苗、潜伏）年龄为０就是个体从进入染病（接种疫苗、潜伏）类开始在该类中所度过的时间．随着研究的深入，有

一类具饱和传染率和两阶段结构的传染病模型

（）１所有新出生的个体均为易感者；（）出生率；２ｂ为（）３ｋ为从易感者到感染者的比例，。ｋ为从感染者到易感者
ｄｍｉｑｉｉｒｕｉｌｃｌｓｍｐｏｉｔｂｌｙａｄｐｒｎｎｅｅｃｅｕｌｉｍａｙｂｓｏａｔｔｓａｉｔｎｅｍａｅｃ．ｃｉ
［ｙｗｏｄ］ｐｄｍｉｍｏｅ；ａｕａｉｎＳａｅｓｕｔｒ；ｌｂｌｓｍｐｏｉｓｂｌｙＴｒｓｏｄＫｅｒｓＥｉｅｃｄｌＳｔｒｔ；ｔ —ｒｃｅＧｏａａｙｔｔａｉｔ；ｈｅｈｌｏｇｔｕｃｔｉ
摘
要：对一类具饱和传染率和阶段结构传染病模型进行了分析，到了传染病最终消除和成为地方病的阈值，得当它小于１时，
无病平衡点是全局渐近稳定的，时疾病消除；此当它大于１时，地方病平衡点是局部渐近稳定的，此时传染病成为地方病。关键词：传染病模型；饱和传染率；阶段结构；全局渐近稳定局部渐近稳定中图分类号：Ｐ８Ｔ１２文献标识码：ＡＤ：０３６／ｉｎ１０ —９０２１．．５ＯＩ１．９．ｓ．３６７．１００９ｊｓ００１０
软件２１年第３０１２卷第１期０
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一
类具饱和传染率和两阶段结构的传染病模型
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（．１武装警察部队后勤学院信息技术教研室｝２武警８３部队指挥自天津３０６）０１２
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具有饱和接触率和垂直感染的SIR模型全局分析

具有饱和接触率和垂直感染的SIR模型全局分析作者：胡新利，孙法国，王彩霞作者单位：西安工程大学理学院,陕西,西安,710048刊名：纺织高校基础科学学报英文刊名：BASIC SCIENCES JOURNAL OF TEXTILE UNIVERSITIES年，卷(期)：2010，23(1)被引用次数：0次1.KERMARK M D,MCKENDRICK A G.Contributions to the mathematical theory of epidemics[J].Proc Roy Soc A:Part I,1927,115(5):700-721.2.马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.3.LI M Y,MULDOWNEY J S.Global stability for the SEIR model in epidemiology[J].Mathematical Biosciences,1995,125:155-168.4.ZHANG Juan,MA Zhien.Global dynamics of an SEIR epidemic model with Saturating contactrate[J].Mathematical Biosciences,2003,185:15-32.5.马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.1.期刊论文岳宗敏.李莉.YUE Zong-min.LI Li具Holling功能反应的食饵—捕食者两种群模型的极限环的唯一性-西安科技大学学报2007,27(1)研究了一类具有Holling功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性问题,其中模型中的食饵具有非线性的密度制约.通过分析平衡点以及构造Dulac函数给出了系统不存在极限环的条件,最后运用张芷芬唯一性定理的证明了该系统极限环的存在唯一性.2.期刊论文岳宗敏.胡志兴.YUE Zong-min.HU Zhi-xing一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的极限环的唯一性-生物数学学报2005,20(2)考虑具有功能反应的食饵-捕食者两种群模型:x=x(a-bx1/2-h(x))-cyx1/2,y=y(-d+ecx1/2).对该系统给出了完整的定性分析,证明了该系统极限环的存在与唯一性.3.期刊论文刘启宽.张兆强.陈冲一类具有功能反应的食饵-捕食模型的定性分析-重庆理工大学学报（自然科学版）2010,24(1)研究一类具有功能反应的食饵-捕食者系统平衡点及极限环的定性行为,得到正平衡点的稳定性,并且利用Dulac函数讨论极限环的存在性,得到此系统没有极限环的结论,进一步获得食饵种群密度与捕食者种群密度的依赖关系.4.期刊论文米晓丽.贾建文.MI Xiao-li.JIA Jian-wen一类含脉冲接种且总人口在变化的传染病模型的渐近分析-苏州科技学院学报（自然科学版）2009,26(1)讨论了一类具有比例接种和脉冲接种的传染病模型的渐近性态,给出了对疾病传播有重要影响的基本再生数.在连续预防接种下,利用广义的Dulac函数的方法证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性,对脉冲接种下的SISV传染病模型,证明了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性.5.期刊论文李益群.任谨慎.李建全.LI Yi-qun.REN Jin-shen.LI Jian-quan一类带有一般出生率的SIS传染病模型的全局分析-数学的实践与认识2009,39(23)将一般出生率系数引入SIS传染病模型,得到了种群灭绝和疾病灭绝的阈值条件.分别借助stokes定理和Dulac函数对染病者的数量模型和染病者在种群中所占比例的模型进行了讨论,得到了相应模型的全局动力学行为.6.期刊论文郑冬梅.鲁世平.ZHENG Dong-mei.LU Shi-ping一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析-杭州师范大学学报（自然科学版）2009,1(1)研究一类具有功能反应的食饵一捕食者系统平衡点及极限环的定性行为,得到正平衡点的稳定性,并利用Dulac函数讨论系统极限环的存在性,得到系统有无极限环的充分条件,进一步获得食饵种群密度与捕食者种群密度依赖关系.7.期刊论文杨秀香.YANG Xiu-xiang生态环境受污染的单种群持续生存的研究-科学技术与工程2008,8(15)利用微分方程的定性与稳定性理论以及种群动力学理论建立了在污染环境中单种群的数学模型.利用Dulac函数方法推断了模型在地方病平衡点的全局稳定性充分条件,并从生态学的角度对模型进行了生物解释.8.学位论文董霖具有非线性传染率的传染病模型研究2008本文研究了具有非线性传染率的四类传染病模型：首先，研究了一类易感者、潜伏者和染病者均有常数输入，且传染率是非线性传染率βf(S)I的SEIR传染病模型．研究表明此时系统不存在无病平衡点，只存在唯一一个地方病平衡点．利用Hurwitz判别法证明了地方病平衡点的局部稳定性，进一步利用Li和Muldowney[1]所发展的几何方法证明了地方病平衡点的全局稳定性．其次，研究了两类SIQR传染病模型，第一类为各仓室均有常数输入(除了隔离仓室)，且传染率为一般形式非线性饱和传染率的SIQR模型，第二类为具有强非线性传染率的SIQR模型．对第一个模型，当不考虑隔离者的因病死亡时，引入变量代换将四维模型转化为二维渐近自治系统，而后利用Dulac函数和极限方程理论证明了地方病平衡点的全局稳定性．对第二个模型，运用Hurwitz判别法分析了各平衡点的局部稳定性，发现了在一定的条件下，该模型会发生Hopf分支产生周期解，进一步我们应用Dulac函数和极限方程理论证明了当0<p≤1时地方病平衡点的全局稳定性．最后，研究了一类易感者和染病者均有常数输入，疾病具有垂直传染，且传染率是一般形式非线性饱和传染率的SIRI传染病模型．结果表明此时系统不存在无病平衡点，只存在唯一一个地方病平衡点．利用Hurwitz判别法证明了地方病平衡点的局部稳定性．当传染率为双线性传染率和标准传染率时，利用广义Bendixson-Dulac定理排除了三维系统的周期解，从而证明了地方病平衡点的全局稳定性．9.期刊论文李建全.杨有社.杨国平一类SIS流行病传染模型的全局分析-空军工程大学学报(自然科学版)2002,3(5)对一类具有非常数输入的SIS流行病传染模型进行分析,得到该模型解的性态和各类平衡点存在的阈值条件,通过分析各平衡点的局部稳定性和构造Dulac函数,证明了各类平衡点的全局稳定性.10.学位论文梁志清Leslie捕食者-食饵模型的进一步研究2008近年来，捕食关系是数学与生态学界研究的一个主要课题。

具有饱和治愈率的离散SIS传染病模型的动力学性态

跨临界分支、Ｆｌｉｐ分支、鞍结点分支、Ｈｏｐｆ分支、以
问题，我们将总人口划分为易感者和染病者两类，
分别用Ｓ（）和（）表示ｔ时刻在易感者和染病者
＊
收稿日期：２０１３－０８ — ０６
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｄｙｎａｍｉｃｓ
及倍周期分岔引起的混沌现象）也有一些研
０引言
究＇．
２０１３年１Ｏ月
文章编号：１０００ — ５８１１（２０１３）０５ — ０１４７ — ０４
具有饱和治愈率的离散ＳＩＳ传染病模型的动力学性态
曹慧，王玉萍
（陕西科技大学理学院，陕西西安７１００２１）
摘要：研究了一类具有饱和发生率的离散ＳＩＳ传染病模型的动力学性态，定义了模型的基本再生数，得到了无病平衡点和地方病平衡 பைடு நூலகம்的存在与稳定的条件，讨论了系统的持久性，并通过数值模拟展示了所得到的理论结果和模型复杂的动力学性态．
１模型
比较容易理解和应用，因此，近年来有关离散传染
病模型的应用和研究越来越多口］．离散传染病模型在描述ＳＡＲＳ和肺结核等具体疾病的传播过程中已经得到了成功地应用ｌ４］．

一类具有饱和治愈率和饱和接触率的流行病动力学模型研究

第３期
李
豪，张
艳
一类具有饱和治愈率和饱和接触率的流行病动力学模型研究
表示染病者的饱和恢复率，
２７
为饱和接
其中Ａ为常数输入率，为自然死亡率，为因病死亡率，ｄ３平衡点的存在性和稳定性
１＋ａ２Ｉ
定１合＝（，）＞，０ｏ＜＋＋鲁为统１正变．理Ｑ｛，：０＞，，．，集Ｉ，ＩＩＲ０ｓ）（的不集ｓＲｓ系）令Ｓ＝０ｄ警＝，＝得系（恒在病衡。（，）当ｏ警ｏ到统１存无平点Ｅ＝告，）０．０
２模型建立
我们把某地区的人群分为三类：易感者类，病者类，复者类，时刻在总人口中所占的比例分别为染恢ｔ
Ｓｔ，ｔ，（）考虑饱和接触率和饱和恢复率等因素，（），）Ｒ．（得到如下传染病模型：
＝一＋
＝
种传染病死亡的人数以万计，为了保障人类的生命安全，对传染病进行深入的研究，尽快找出传染病的控制
策略，以便应付突来的传染病，尽可能降低传染病对人类的危害就显得十分必要．因此，对传染病的传播规律、流行趋势和控制策略的研究越来越成为人们关注的焦点．
过去的几十年中，许多研究者对传染病进行了研究，提出了各种各样的数学模型，得到了许多重要的结论¨ ．Ｊ但是，传统的传染病模型研究中，对疾病治愈率的关注较少Ｔ然而，６－．Ｊ治愈率是对医院所拥有的医疗设备、医疗条件等对疾病治疗情况的一个良好的反映．从许多新暴发的疾病（ＳＲ如ＡＳ等）的控制、治疗中我们看到：在疾病暴发初期，由于有效地医疗资源的匮乏，疾病的治愈率很低．随着人们对疾病认识的深入以及医院治疗条件的改善，疾病的治愈率不断提高．但是，最终由于社区医院治疗能力的有限，当染病者的数量巨大时，疾病治愈率会达到最大值．因此，饱和治愈率能更加贴近现实情况反映疾病治疗的状况．同时，以往的许多研究中，由于理论分析困难等的原因，少会考虑双饱和率的情形．很为了更加准确的反映疾病的传播、治疗等情况，建立了一类带有饱和治愈率和饱和接触率的传染病模型，讨论了系统的平衡点的存在性、局部稳定性，并通过构造Ｌｐｎｖ函数，ｉｕｏａ得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定的条件．